Pengurangan menjadi satu indikator akar. Mengalikan akar: aturan dasar

AkarN-derajat dan sifat dasarnya

Derajat bilangan real A dengan indikator alami N ada pekerjaan N faktor yang masing-masing sama A:

a1 = sebuah; a2 = a · a; A N =

Misalnya,

25 = 2 2 2 2 2 = 32,

5 kali

(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.

4 kali

Bilangan nyata A ditelepon dasar gelarnya, dan bilangan asli n adalah eksponen.

Sifat dasar pangkat dengan eksponen natural mengikuti langsung definisi: pangkat bilangan positif dengan sembarang N e N positif; Pangkat suatu bilangan negatif yang berpangkat genap adalah positif, dan pangkat ganjil adalah negatif.

Misalnya,

(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.

Tindakan dengan derajat dilakukan sebagai berikut: aturan.

1. Untuk mengalikan pangkat dengan basis yang sama, cukup dengan menjumlahkan eksponennya dan membiarkan basisnya tetap sama, yaitu

Misalnya, p5∙ p3 = p5+3 =p8

2. Untuk membagi pangkat dengan basis yang sama, cukup dengan mengurangkan eksponen pembagi dari indeks pembagi dan membiarkan basisnya tetap sama, yaitu

https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">

2. Untuk menaikkan derajat ke suatu pangkat, cukup dengan mengalikan eksponennya, membiarkan basisnya tetap sama, yaitu

(ap)M = di · hal. Misalnya, (23)2 = 26.

4. Untuk menaikkan suatu produk ke pangkat, cukup dengan menaikkan setiap faktor ke pangkat ini dan mengalikan hasilnya, yaitu

(A B)P= ap∙BN.

Misalnya, (2у3)2= 4y6.

5. Untuk menaikkan pecahan ke pangkat, cukup dengan menaikkan pembilang dan penyebutnya secara terpisah ke pangkat ini dan membagi hasil pertama dengan yang kedua, yaitu

https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">

Perhatikan bahwa terkadang berguna untuk membaca rumus ini dari kanan ke kiri. Dalam hal ini mereka menjadi peraturan. Misalnya, dalam kasus 4, apvp= (av) hal kita mendapatkan aturan berikut: ke untuk mengalikan pangkat dengan eksponen yang sama, cukup mengalikan basisnya, membiarkan eksponennya tetap sama.

Penggunaan aturan ini efektif, misalnya, saat menghitung produk berikut

(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.

Sekarang mari kita berikan definisi root.

akar ke-n dari suatu bilangan real A disebut bilangan real X, pangkat ke-n sama dengan A.

Tentunya sesuai dengan sifat dasar pangkat dengan eksponen alami, dari sembarang bilangan positif terdapat dua nilai akar pangkat genap yang berlawanan, misalnya bilangan 4 dan -4 adalah akar kuadrat dari 16, karena ( -4)2 = 42 = 16, dan bilangan 3 dan -3 merupakan akar keempat dari 81, karena (-3)4 = 34 = 81.

Selain itu, tidak ada akar genap dari bilangan negatif pangkat genap suatu bilangan real adalah non-negatif. Sedangkan untuk akar ganjil, untuk setiap bilangan real hanya terdapat satu akar ganjil dari bilangan tersebut. Misalnya, 3 adalah akar ketiga dari 27, karena 33 = 27, dan -2 adalah akar kelima dari -32, karena (-2)5 = 32.

Karena adanya dua akar derajat genap dari bilangan positif, kami memperkenalkan konsep akar aritmatika untuk menghilangkan ambiguitas akar tersebut.

Nilai non-negatif dari akar ke-n suatu bilangan non-negatif disebut akar aritmatika.

Misalnya, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.

Perlu diingat bahwa ketika menyelesaikan persamaan irasional, akar-akarnya selalu dianggap sebagai aritmatika.

Mari kita perhatikan properti utama dari root ke-n.

Nilai akar tidak akan berubah jika indikator akar dan derajat ekspresi radikal dikalikan atau dibagi dengan bilangan asli yang sama, yaitu

Contoh 7. Kurangi menjadi penyebut yang sama dan

Salam, kucing! Terakhir kali kita membahas secara detail apa itu root (jika Anda tidak ingat, saya sarankan membacanya). Kesimpulan utama dari pelajaran tersebut: hanya ada satu definisi universal tentang akar, yaitu definisi yang perlu Anda ketahui. Selebihnya hanya omong kosong dan buang-buang waktu.

Hari ini kita melangkah lebih jauh. Kita akan belajar mengalikan akar, kita akan mempelajari beberapa soal yang berhubungan dengan perkalian (jika soal tersebut tidak diselesaikan maka akan berakibat fatal dalam ujian) dan kita akan berlatih dengan benar. Jadi siapkan popcorn, bersantailah, dan mari kita mulai :)

Anda juga belum merokok, bukan?

Pelajarannya ternyata cukup panjang, jadi saya membaginya menjadi dua bagian:

1. Pertama kita akan melihat aturan perkalian. Cap sepertinya mengisyaratkan: ini adalah saat ada dua akar, di antara keduanya ada tanda "kalikan" - dan kami ingin melakukan sesuatu dengannya.
2. Lalu mari kita lihat situasi sebaliknya: ada satu akar besar, namun kita ingin merepresentasikannya sebagai hasil kali dua akar yang lebih sederhana. Mengapa ini perlu, adalah pertanyaan tersendiri. Kami hanya akan menganalisis algoritmanya.

Bagi yang sudah tidak sabar untuk segera lanjut ke bagian kedua, dipersilahkan. Mari kita mulai dengan sisanya secara berurutan.

Aturan Dasar Perkalian

Mari kita mulai dengan hal yang paling sederhana - akar kuadrat klasik. Yang sama dilambangkan dengan $\sqrt(a)$ dan $\sqrt(b)$. Semuanya jelas bagi mereka:

Aturan perkalian. Untuk mengalikan satu akar kuadrat dengan akar kuadrat lainnya, Anda cukup mengalikan ekspresi akarnya, dan menuliskan hasilnya di bawah akar kuadrat yang sama:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Tidak ada batasan tambahan yang dikenakan pada bilangan di kanan atau kiri: jika faktor akarnya ada, maka hasil kali juga ada.

Contoh. Mari kita lihat empat contoh dengan angka sekaligus:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, arti utama aturan ini adalah menyederhanakan ekspresi irasional. Dan jika pada contoh pertama kita sendiri yang mengekstrak akar dari 25 dan 4 tanpa aturan baru, maka segalanya menjadi sulit: $\sqrt(32)$ dan $\sqrt(2)$ tidak dianggap sendiri, tetapi hasil kali mereka ternyata kuadrat sempurna, sehingga akarnya sama dengan bilangan rasional.

Saya secara khusus ingin menyoroti baris terakhir. Di sana, kedua ekspresi radikal tersebut adalah pecahan. Berkat produknya, banyak faktor yang dibatalkan, dan seluruh ekspresi menjadi angka yang memadai.

Tentu saja, segala sesuatunya tidak selalu indah. Kadang-kadang akan ada omong kosong total di akarnya - tidak jelas apa yang harus dilakukan dengannya dan bagaimana mengubahnya setelah perkalian. Nanti, ketika Anda mulai mempelajari persamaan dan pertidaksamaan irasional, akan ada berbagai macam variabel dan fungsi. Dan seringkali, penulis masalah mengandalkan fakta bahwa Anda akan menemukan beberapa syarat atau faktor yang membatalkan, setelah itu masalahnya akan disederhanakan berkali-kali lipat.

Selain itu, sama sekali tidak perlu mengalikan tepat dua akar. Anda bisa mengalikan tiga, empat, atau bahkan sepuluh sekaligus! Hal ini tidak akan mengubah aturan. Lihatlah:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(sejajarkan)\]

Dan sekali lagi catatan kecil tentang contoh kedua. Seperti yang Anda lihat, di faktor ketiga ada pecahan desimal di bawah akar - dalam proses perhitungan kami menggantinya dengan pecahan biasa, setelah itu semuanya mudah dikurangi. Jadi: Saya sangat menyarankan untuk menghilangkan pecahan desimal dalam ekspresi irasional apa pun (yaitu mengandung setidaknya satu simbol radikal). Ini akan menghemat banyak waktu dan kegelisahan Anda di masa depan.

Tapi ini adalah penyimpangan liris. Sekarang mari kita pertimbangkan kasus yang lebih umum - ketika eksponen akar berisi bilangan sembarang $n$, dan bukan hanya dua bilangan “klasik”.

Kasus indikator sewenang-wenang

Jadi, kami telah memilah akar kuadratnya. Apa yang harus dilakukan dengan yang kubik? Atau bahkan dengan akar derajat sembarang $n$? Ya, semuanya sama. Aturannya tetap sama:

Untuk mengalikan dua akar derajat $n$, cukup dengan mengalikan ekspresi akarnya, lalu tuliskan hasilnya di bawah satu akar.

Secara umum, tidak ada yang rumit. Kecuali jumlah perhitungannya mungkin lebih besar. Mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh. Hitung produk:

\[\begin(sejajarkan) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(sejajarkan)\]

Dan sekali lagi, perhatian pada ekspresi kedua. Kita mengalikan akar pangkat tiga, menghilangkan pecahan desimal, dan berakhir dengan penyebut yang merupakan produk dari angka 625 dan 25. Ini adalah angka yang cukup besar - secara pribadi, saya pribadi tidak tahu apa yang sama dengan angka di atas kepalaku.

Oleh karena itu, kita cukup mengisolasi kubus eksak pada pembilang dan penyebutnya, lalu menggunakan salah satu properti utama (atau, jika Anda lebih suka, definisi) dari akar $n$th:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\kiri| a\benar|. \\ \end(sejajarkan)\]

“Intrik” seperti itu dapat menghemat banyak waktu Anda dalam ujian atau ulangan, jadi ingatlah:

Jangan terburu-buru mengalikan angka menggunakan ekspresi radikal. Pertama, periksa: bagaimana jika tingkat ekspresi apa pun “terenkripsi” di sana?

Terlepas dari pernyataan ini yang jelas, saya harus mengakui bahwa sebagian besar siswa yang tidak siap tidak melihat derajat yang tepat dari jarak dekat. Sebaliknya, mereka mengalikan semuanya sekaligus, dan kemudian bertanya-tanya: mengapa mereka mendapatkan angka yang begitu brutal :)

Namun, semua ini hanyalah pembicaraan kecil dibandingkan dengan apa yang akan kita pelajari sekarang.

Mengalikan akar dengan eksponen berbeda

Oke, sekarang kita bisa mengalikan akar-akarnya dengan indikator yang sama. Bagaimana jika indikatornya berbeda? Katakanlah, bagaimana cara mengalikan $\sqrt(2)$ biasa dengan omong kosong seperti $\sqrt(23)$? Apakah mungkin untuk melakukan ini?

Ya tentu saja bisa. Semuanya dilakukan menurut rumus ini:

Aturan untuk mengalikan akar. Untuk mengalikan $\sqrt[n](a)$ dengan $\sqrt[p](b)$, cukup melakukan transformasi berikut:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Namun rumus ini hanya berfungsi jika ekspresi radikal tidak negatif. Ini adalah catatan yang sangat penting yang akan kita bahas lagi nanti.

Untuk saat ini, mari kita lihat beberapa contoh:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Sekarang mari kita cari tahu dari mana persyaratan non-negatif itu berasal, dan apa yang akan terjadi jika kita melanggarnya :)

Mengapa ekspresi radikal harus non-negatif?

Tentu saja, Anda bisa menjadi seperti guru sekolah dan mengutip buku teks dengan tampilan yang cerdas:

Persyaratan non-negatif dikaitkan dengan definisi yang berbeda dari akar-akar derajat genap dan ganjil (oleh karena itu, domain definisinya juga berbeda).

Nah, apakah sudah lebih jelas? Secara pribadi, ketika saya membaca omong kosong ini di kelas 8, saya memahami sesuatu seperti berikut: "Persyaratan non-negatif dikaitkan dengan *#&^@(*#@^#)~%" - singkatnya, saya tidak Aku tidak mengerti apa-apa saat itu. :)

Jadi sekarang saya akan menjelaskan semuanya dengan cara biasa.

Pertama, mari kita cari tahu dari mana rumus perkalian di atas berasal. Untuk melakukan ini, izinkan saya mengingatkan Anda tentang satu properti penting dari root:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Dengan kata lain, kita dapat dengan mudah menaikkan ekspresi radikal ke pangkat alami $k$ - dalam hal ini, eksponen akar harus dikalikan dengan pangkat yang sama. Oleh karena itu, kita dapat dengan mudah mereduksi akar apa pun menjadi eksponen persekutuan, lalu mengalikannya. Dari sinilah rumus perkalian berasal:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Namun ada satu masalah yang sangat membatasi penggunaan semua rumus ini. Pertimbangkan nomor ini:

Berdasarkan rumus yang baru saja diberikan, kita dapat menambahkan derajat apa pun. Mari kita coba menambahkan $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\kiri(-5 \kanan))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Kami menghilangkan minus justru karena kuadrat membakar minus (seperti derajat genap lainnya). Sekarang mari kita lakukan transformasi terbalik: “kurangi” keduanya dalam eksponen dan pangkat. Bagaimanapun, persamaan apa pun dapat dibaca dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Panah Kanan \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](A); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Panah Kanan \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\akar(5). \\ \end(sejajarkan)\]

Tapi kemudian ternyata ada semacam omong kosong:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Hal ini tidak dapat terjadi, karena $\sqrt(-5) \lt 0$, dan $\sqrt(5) \gt 0$. Artinya, untuk pangkat genap dan bilangan negatif, rumus kami tidak lagi berfungsi. Setelah itu kita memiliki dua pilihan:

1. Untuk membentur tembok dan menyatakan bahwa matematika adalah ilmu pengetahuan yang bodoh, di mana “ada beberapa aturan, tetapi aturan-aturan ini tidak tepat”;
2. Terapkan batasan tambahan sehingga formula akan 100% berfungsi.

Pada opsi pertama, kita harus terus-menerus menangani kasus-kasus yang “tidak berfungsi” - ini sulit, memakan waktu, dan umumnya jelek. Oleh karena itu, ahli matematika lebih memilih opsi kedua :)

Tapi jangan khawatir! Dalam praktiknya, batasan ini tidak mempengaruhi perhitungan dengan cara apa pun, karena semua masalah yang dijelaskan hanya menyangkut akar-akar yang berderajat ganjil, dan minus dapat diambil darinya.

Oleh karena itu, mari kita rumuskan satu aturan lagi, yang secara umum berlaku untuk semua tindakan yang memiliki akar:

Sebelum mengalikan akar, pastikan ekspresi radikalnya non-negatif.

Contoh. Di angka $\sqrt(-5)$ Anda dapat menghilangkan tanda minus dari bawah tanda root - maka semuanya akan normal:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Panah Kanan \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Apakah Anda merasakan perbedaannya? Jika Anda meninggalkan minus di bawah root, maka ketika ekspresi radikal dikuadratkan, itu akan hilang, dan omong kosong akan dimulai. Dan jika Anda menghilangkan minusnya terlebih dahulu, maka Anda dapat mengkuadratkan/menghapusnya sampai wajahnya membiru - angkanya akan tetap negatif :).

Jadi, cara memperbanyak akar yang paling benar dan dapat diandalkan adalah sebagai berikut:

1. Hapus semua hal negatif dari kaum radikal. Minus hanya ada pada akar dengan multiplisitas ganjil - minus dapat ditempatkan di depan akar dan, jika perlu, dikurangi (misalnya, jika ada dua minus ini).
2. Lakukan perkalian sesuai aturan yang dibahas di atas dalam pelajaran hari ini. Jika indikator akar-akarnya sama, kita cukup mengalikan ekspresi akarnya. Dan jika berbeda, kita menggunakan rumus jahat \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Nikmati hasil dan nilai bagus. :)

Dengan baik? Bagaimana kalau kita berlatih?

Contoh 1: Sederhanakan ekspresi:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \kanan)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ persegi(64)=-4; \end(sejajarkan)\]

Ini adalah pilihan paling sederhana: akar-akarnya sama dan ganjil, satu-satunya masalah adalah faktor kedua negatif. Kami menghilangkan minus ini dari gambar, setelah itu semuanya dihitung dengan mudah.

Contoh 2: Sederhanakan ekspresi:

\[\begin(sejajarkan) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\kiri(((2)^(5)) \kanan))^(3))\cdot ((\kiri(((2)^(2)) \kanan))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( meluruskan)\]

Di sini, banyak orang akan bingung dengan kenyataan bahwa keluarannya ternyata berupa bilangan irasional. Ya, itu terjadi: kami tidak dapat sepenuhnya menghilangkan akarnya, tetapi setidaknya kami menyederhanakan ekspresinya secara signifikan.

Contoh 3: Sederhanakan ekspresi:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(sejajarkan)\]

Saya ingin menarik perhatian Anda pada tugas ini. Ada dua poin di sini:

1. Akarnya bukanlah angka atau pangkat tertentu, melainkan variabel $a$. Pada pandangan pertama, ini agak tidak biasa, tetapi kenyataannya, ketika menyelesaikan masalah matematika, Anda paling sering harus berurusan dengan variabel.
2. Pada akhirnya, kita berhasil “menurunkan” indikator radikal dan derajat ekspresi radikal. Hal ini cukup sering terjadi. Artinya, penghitungan dapat disederhanakan secara signifikan jika Anda tidak menggunakan rumus dasar.

Misalnya, Anda dapat melakukan ini:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \kanan))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\akhir(sejajarkan)\]

Faktanya, semua transformasi hanya dilakukan dengan radikal kedua. Dan jika Anda tidak menjelaskan secara rinci semua langkah peralihan, maka pada akhirnya jumlah perhitungan akan berkurang secara signifikan.

Faktanya, kita telah menemui tugas serupa di atas ketika kita menyelesaikan contoh $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Sekarang dapat ditulis lebih sederhana:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\kiri(((5)^(2))\cdot 3 \kanan))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\kiri(75 \kanan))^(2))) =\sqrt(75). \end(sejajarkan)\]

Nah, kita sudah memilah perkalian akar. Sekarang mari kita pertimbangkan operasi sebaliknya: apa yang harus dilakukan ketika ada produk di bawah root?

Materi dalam artikel ini harus dianggap sebagai bagian dari topik konversi ekspresi irasional. Di sini kita akan menggunakan contoh untuk menganalisis semua seluk-beluk dan nuansa (yang banyak terdapat) yang muncul ketika melakukan transformasi berdasarkan sifat-sifat akar.

Navigasi halaman.

Mari kita mengingat kembali sifat-sifat akar

Karena kita akan membahas transformasi ekspresi menggunakan sifat-sifat akar, tidak ada salahnya mengingat yang utama, atau bahkan lebih baik, menuliskannya di kertas dan meletakkannya di depan Anda.

Pertama, akar kuadrat dan sifat-sifatnya berikut ini dipelajari (a, b, a 1, a 2, ..., ak adalah bilangan real):

Dan kemudian gagasan tentang akar diperluas, definisi akar derajat ke-n diperkenalkan, dan sifat-sifat berikut dipertimbangkan (a, b, a 1, a 2, ..., ak adalah bilangan real, m, n, n 1, n 2, ... , n k - bilangan asli):

Mengonversi ekspresi dengan angka di bawah tanda radikal

Seperti biasa, mereka pertama-tama belajar bekerja dengan ekspresi numerik, dan baru setelah itu mereka beralih ke ekspresi dengan variabel. Kita akan melakukan hal yang sama, dan pertama-tama kita akan membahas transformasi ekspresi irasional yang hanya berisi ekspresi numerik di bawah tanda akar, dan kemudian di paragraf berikutnya kita akan memperkenalkan variabel di bawah tanda akar.

Bagaimana ini bisa digunakan untuk mengubah ekspresi? Sederhana saja: misalnya, kita bisa mengganti ekspresi irasional dengan ekspresi atau sebaliknya. Artinya, jika ekspresi yang dikonversi berisi ekspresi yang tampilannya cocok dengan ekspresi dari bagian kiri (kanan) dari salah satu properti akar yang terdaftar, maka ekspresi tersebut dapat diganti dengan ekspresi yang sesuai dari bagian kanan (kiri). Ini adalah transformasi ekspresi menggunakan properti akar.

Mari kita berikan beberapa contoh lagi.

Mari kita sederhanakan ekspresinya . Angka 3, 5 dan 7 adalah positif, sehingga kita dapat menerapkan sifat-sifat akar dengan aman. Di sini Anda dapat bertindak dengan cara yang berbeda. Misalnya, root berdasarkan properti dapat direpresentasikan sebagai , dan root menggunakan properti dengan k=3 - as , dengan pendekatan ini solusinya akan terlihat seperti ini:

Seseorang dapat melakukannya secara berbeda dengan mengganti dengan , dan kemudian dengan , dalam hal ini solusinya akan terlihat seperti ini:

Solusi lain juga dimungkinkan, misalnya:

Mari kita lihat solusinya dengan contoh lain. Mari kita ubah ekspresinya. Melihat daftar properti akar, kita memilih darinya properti yang kita perlukan untuk menyelesaikan contoh; jelas bahwa dua di antaranya berguna di sini dan , yang valid untuk semua a . Kami memiliki:

Sebagai alternatif, pertama-tama seseorang dapat mengubah ekspresi radikal menggunakan

dan kemudian terapkan properti akarnya

Hingga saat ini, kami telah mengonversi ekspresi yang hanya berisi akar kuadrat. Saatnya bekerja dengan akar yang memiliki indikator berbeda.

Contoh.

Ubah ekspresi irasionalnya .

Larutan.

Berdasarkan properti faktor pertama suatu produk dapat diganti dengan angka −2:

Mari kita lanjutkan. Berdasarkan sifat-sifatnya, faktor kedua dapat direpresentasikan sebagai , dan tidak ada salahnya mengganti 81 dengan pangkat empat kali lipat tiga, karena pada faktor-faktor lainnya angka 3 muncul di bawah tanda-tanda akar:

Disarankan untuk mengganti akar pecahan dengan perbandingan akar-akar yang bentuknya , yang dapat diubah lebih lanjut: . Kita punya

Setelah melakukan operasi dengan dua, ekspresi yang dihasilkan akan berbentuk , dan yang tersisa hanyalah mengubah hasil kali akar-akarnya.

Untuk mengubah hasil kali akar, biasanya direduksi menjadi satu indikator, oleh karena itu disarankan untuk mengambil indikator semua akar. Dalam kasus kita, KPK(12, 6, 12) = 12, dan hanya akarnya yang harus direduksi menjadi indikator ini, karena dua akar lainnya sudah memiliki indikator tersebut. Kesetaraan, yang diterapkan dari kanan ke kiri, memungkinkan kita mengatasi tugas ini. Jadi . Dengan mempertimbangkan hasil ini, kami punya

Sekarang produk dari akar dapat diganti dengan akar dari produk dan sisanya, yang sudah jelas, transformasi dapat dilakukan:

Mari kita tulis versi singkat solusinya:

Menjawab:

.

Kami tekankan secara terpisah bahwa untuk menerapkan sifat-sifat akar, perlu memperhitungkan batasan yang dikenakan pada bilangan di bawah tanda akar (a≥0, dll.). Mengabaikannya dapat menyebabkan hasil yang salah. Misalnya, kita mengetahui bahwa properti tersebut berlaku untuk a non-negatif. Berdasarkan hal tersebut, kita dapat dengan mudah berpindah, misalnya dari ke, karena 8 adalah bilangan positif. Namun jika kita mengambil akar makna dari suatu bilangan negatif, misalnya, dan, berdasarkan sifat yang ditunjukkan di atas, menggantinya dengan , maka kita sebenarnya mengganti −2 dengan 2. Memang benar. Artinya, untuk negatif a persamaannya mungkin salah, sama seperti sifat-sifat akar lainnya mungkin salah tanpa memperhitungkan kondisi yang ditentukan untuknya.

Namun apa yang telah dikatakan pada paragraf sebelumnya tidak berarti sama sekali bahwa ekspresi bilangan negatif di bawah tanda akar tidak dapat ditransformasikan menggunakan sifat-sifat akar. Mereka hanya perlu “bersiap” terlebih dahulu dengan menerapkan aturan pengoperasian bilangan atau menggunakan definisi akar ganjil dari bilangan negatif, yang sesuai dengan persamaan , di mana −a adalah bilangan negatif (sementara a adalah positif). Misalnya, bilangan tersebut tidak dapat langsung diganti dengan , karena −2 dan −3 adalah bilangan negatif, namun bilangan ini memungkinkan kita berpindah dari akar ke , dan selanjutnya menerapkan properti akar suatu produk: . Dan dalam salah satu contoh sebelumnya, tidak perlu berpindah dari akar ke akar pangkat kedelapan belas , dan sebagainya .

Jadi, untuk mengubah ekspresi menggunakan properti akar, Anda perlu

• pilih properti yang sesuai dari daftar,
• pastikan angka-angka di bawah akar memenuhi kondisi untuk properti yang dipilih (jika tidak, Anda perlu melakukan transformasi awal),
• dan melaksanakan transformasi yang diinginkan.

Mengubah ekspresi dengan variabel di bawah tanda radikal

Untuk mentransformasikan ekspresi irasional yang tidak hanya berisi angka tetapi juga variabel di bawah tanda akar, sifat-sifat akar yang tercantum di paragraf pertama artikel ini harus diterapkan dengan hati-hati. Hal ini sebagian besar disebabkan oleh kondisi yang harus dipenuhi oleh angka-angka yang terlibat dalam rumus. Misalnya, berdasarkan rumus, ekspresi dapat diganti dengan ekspresi hanya untuk nilai x yang memenuhi kondisi x≥0 dan x+1≥0, karena rumus yang ditentukan ditentukan untuk a≥0 dan b ≥0.

Apa bahayanya jika mengabaikan kondisi ini? Jawaban atas pertanyaan ini ditunjukkan dengan jelas melalui contoh berikut. Katakanlah kita perlu menghitung nilai ekspresi pada x=−2. Jika kita segera mengganti variabel x dengan bilangan −2, kita akan mendapatkan nilai yang kita perlukan . Sekarang mari kita bayangkan, berdasarkan beberapa pertimbangan, kita mengubah ekspresi yang diberikan ke bentuk , dan baru setelah itu kita memutuskan untuk menghitung nilainya. Kita mengganti bilangan −2 dengan x dan sampai pada persamaannya , yang tidak masuk akal.

Mari kita lihat apa yang terjadi rentang nilai yang diizinkan (APV) variabel x saat berpindah dari ekspresi ke ekspresi. Bukan suatu kebetulan kami menyebutkan ODZ, karena ini adalah alat yang serius untuk memantau diterimanya transformasi yang dilakukan, dan perubahan pada ODZ setelah transformasi suatu ekspresi, setidaknya, harus menimbulkan tanda bahaya. Menemukan ODZ untuk ekspresi ini tidaklah sulit. Untuk ekspresi ODZ ditentukan dari pertidaksamaan x·(x+1)≥0, solusinya menghasilkan himpunan numerik (−∞, −1]∪∪∪)