Pertimbangkan untuk mendefinisikan sebuah garis pada bidang yang variabelnya x, y adalah fungsi dari variabel ketiga t (disebut parameter):
Untuk setiap nilai T dari interval tertentu nilai-nilai tertentu sesuai X Dan kamu, sebuah, oleh karena itu, suatu titik tertentu M (x, y) pada bidang tersebut. Kapan T berjalan melalui semua nilai dari interval tertentu, lalu titik M (x, kamu) menjelaskan beberapa baris L. Persamaan (2.2) disebut persamaan garis parametrik L.
Jika fungsi x = φ(t) mempunyai invers t = Ф(x), maka substitusi persamaan ini ke dalam persamaan y = g(t), kita peroleh y = g(Ф(x)), yang menyatakan kamu sebagai fungsi dari X. Dalam hal ini, kita katakan bahwa persamaan (2.2) mendefinisikan fungsi kamu secara parametrik.
Contoh 1. Membiarkan M(x,y)– titik sembarang pada lingkaran berjari-jari R dan berpusat pada titik asal. Membiarkan T– sudut antar sumbu Sapi dan radius OM(lihat Gambar 2.3). Kemudian x, kamu diungkapkan melalui T:
Persamaan (2.3) merupakan persamaan parametrik lingkaran. Mari kita kecualikan parameter t dari persamaan (2.3). Untuk melakukan ini, kita kuadratkan setiap persamaan dan menjumlahkannya, kita mendapatkan: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) atau x 2 + y 2 = R 2 – persamaan lingkaran dalam Cartesian sistem koordinat. Ini mendefinisikan dua fungsi: Masing-masing fungsi ini diberikan oleh persamaan parametrik (2.3), tetapi untuk fungsi pertama , dan untuk fungsi kedua .
Contoh 2. Persamaan parametrik
tentukan elips dengan sumbu semi a, b(Gbr. 2.4). Tidak termasuk parameter dari persamaan T, kita memperoleh persamaan kanonik elips:
Contoh 3. Sikloid adalah suatu garis yang digambarkan oleh suatu titik yang terletak pada suatu lingkaran jika lingkaran tersebut menggelinding tanpa meluncur pada suatu garis lurus (Gbr. 2.5). Mari kita perkenalkan persamaan parametrik sikloid. Biarkan jari-jari lingkaran bergulir menjadi A, titik M, menggambarkan sikloid, pada awal pergerakannya bertepatan dengan titik asal koordinat. 
Mari kita tentukan koordinatnya X, y poin M setelah lingkaran berputar membentuk sudut T
(Gbr. 2.5), t = ÐMCB. Panjang busur MB sama dengan panjang segmen tersebut O.B. karena lingkaran itu menggelinding tanpa tergelincir, oleh karena itu
OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),
y = AM = CB – CD = a – biaya = a(1 – biaya).
Jadi, persamaan parametrik sikloid diperoleh:
Saat mengubah parameter T dari 0 hingga 2π lingkaran berputar satu putaran, dan titik M menggambarkan satu busur sikloid. Persamaan (2.5) berikan kamu sebagai fungsi dari X. Meskipun fungsinya x = a(t – dosa) memiliki fungsi invers, tetapi tidak dinyatakan dalam fungsi dasar, jadi fungsinya kamu = f(x) tidak dinyatakan melalui fungsi dasar.
Mari kita perhatikan diferensiasi suatu fungsi yang didefinisikan secara parametrik oleh persamaan (2.2). Fungsi x = φ(t) pada interval perubahan tertentu t mempunyai fungsi invers t = (x), Kemudian kamu = g(Ф(x)). Membiarkan x = φ(t), kamu = g(t) memiliki turunan, dan x"t≠0. Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks kamu"x=y"t×t"x. Berdasarkan aturan diferensiasi fungsi invers, maka:
Rumus yang dihasilkan (2.6) memungkinkan seseorang menemukan turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara parametrik.
Contoh 4 Biarkan fungsinya kamu, tergantung pada X, ditentukan secara parametrik:
Larutan. 
.
Contoh 5. Temukan kemiringannya k bersinggungan dengan sikloid di titik M 0 sesuai dengan nilai parameter.
Larutan. Dari persamaan sikloid: y" t = tidak, x" t = a(1 – biaya), Itu sebabnya 
Garis singgung kemiringan pada suatu titik M0 sama dengan nilai di t 0 = π/4:
FUNGSI DIFERENSIAL
Biarkan fungsinya pada intinya x 0 memiliki turunan. Menurut definisi: 
oleh karena itu, menurut sifat-sifat limit (Bagian 1.8), dimana A– sangat kecil di Δx → 0. Dari sini
y = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)
Karena Δx → 0, suku kedua dalam persamaan (2.7) adalah orde tinggi yang sangat kecil, dibandingkan dengan 
, oleh karena itu Δy dan f " (x 0)×Δx ekuivalen, sangat kecil (untuk f "(x 0) ≠ 0).
Jadi, kenaikan fungsi Δy terdiri dari dua suku, yang f "(x 0)×Δx pertama adalah bagian utama kenaikan Δy, linier terhadap Δx (untuk f "(x 0)≠ 0).
Diferensial fungsi f(x) di titik x 0 disebut bagian utama dari kenaikan fungsi dan dilambangkan: mati atau df(x0). Karena itu,
df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)
Contoh 1. Temukan diferensial suatu fungsi mati dan kenaikan fungsi Δy untuk fungsi y = x 2 di:
1) sewenang-wenang X dan Δ X; 2) x 0 = 20, x = 0,1.
Larutan
1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.
2) Jika x 0 = 20, Δx = 0,1, maka Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; hari = 40×0,1= 4.
Mari kita tulis persamaan (2.7) dalam bentuk:
Δy = dy + a×Δx. (2.9)
Kenaikan Δy berbeda dengan diferensial mati ke tingkat yang sangat kecil dibandingkan dengan Δx, oleh karena itu, dalam perhitungan perkiraan, persamaan perkiraan Δy ≈ dy digunakan jika Δx cukup kecil.
Mengingat Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), kita memperoleh rumus perkiraan:
f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)
Contoh 2. Hitung kira-kira.
Larutan. Mempertimbangkan:
Dengan menggunakan rumus (2.10), kita memperoleh:
Jadi, ≈ 2,025.
Mari kita perhatikan arti geometris dari diferensial df(x 0)(Gbr. 2.6). 
Mari kita tarik garis singgung grafik fungsi y = f(x) di titik M 0 (x0, f(x 0)), misalkan φ adalah sudut antara garis singgung KM0 dan sumbu Ox, maka f"( x 0) = tanφ. Dari M0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Tetapi PN adalah pertambahan ordinat singgung ketika x berubah dari x 0 menjadi x 0 + Δx.
Akibatnya, diferensial fungsi f(x) di titik x 0 sama dengan pertambahan ordinat garis singgung.
Mari kita cari diferensial fungsinya
kamu = x. Karena (x)" = 1, maka dx = 1×Δx = Δx. Kita asumsikan bahwa diferensial variabel bebas x sama dengan kenaikannya, yaitu dx = Δx.
Jika x adalah bilangan sembarang, maka dari persamaan (2.8) kita memperoleh df(x) = f "(x)dx, dari mana 
.
Jadi, turunan suatu fungsi y = f(x) sama dengan rasio diferensialnya terhadap diferensial argumennya.
Mari kita perhatikan sifat-sifat diferensial suatu fungsi.
Jika u(x), v(x) adalah fungsi terdiferensiasi, maka rumus berikut ini valid:
Untuk membuktikan rumus-rumus tersebut digunakan rumus turunan jumlah, hasil kali dan hasil bagi suatu fungsi. Mari kita buktikan, misalnya rumus (2.12):
d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.
Mari kita perhatikan diferensial suatu fungsi kompleks: y = f(x), x = φ(t), mis. kamu = f(φ(t)).
Maka dy = y" t dt, tetapi y" t = y" x ×x" t, jadi dy =y" x x" t dt. Mempertimbangkan,
bahwa x" t = dx, kita mendapatkan dy = y" x dx =f "(x)dx.
Jadi, diferensial suatu fungsi kompleks y = f(x), di mana x =φ(t), berbentuk dy = f "(x)dx, sama seperti ketika x adalah variabel bebas. Sifat ini disebut invarian dari bentuk diferensial A.
Diferensiasi logaritmik
Turunan dari fungsi dasar
Aturan dasar diferensiasi
Diferensial fungsi
Bagian linier utama dari kenaikan fungsi A D X dalam menentukan diferensiasi suatu fungsi
D f=f(X)- F(X 0)=SEBUAH(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0
disebut diferensial fungsi F(X) pada intinya X 0 dan dilambangkan
df(X 0)=f¢(X 0)D x=SEBUAH D X.
Perbedaannya tergantung pada intinya X 0 dan dari kenaikan D X. Di D X pada saat yang sama mereka melihatnya sebagai variabel independen, jadi di setiap titik diferensialnya adalah fungsi linier dari kenaikan D X.
Jika kita menganggapnya sebagai sebuah fungsi F(X)=x, lalu kita dapatkan dx= D x,dy=Tambahanx. Hal ini sesuai dengan notasi Leibniz
Interpretasi geometris dari diferensial sebagai pertambahan ordinat suatu garis singgung.
Beras. 4.3
1) f= konstanta , f¢= 0,df= 0D x= 0.
2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.
3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = kamu dv + v du.
Konsekuensi. (lih(X))¢=cf¢(X), (C 1 F 1 (X)+…+cnfn(X))¢ = c 1 f¢ 1 (X)+…+ c n f¢ n(X)
4) f=u/v, v(X 0)¹0 dan turunannya ada f¢=(u¢v-v¢ kamu)/ay 2 .
Untuk singkatnya kami akan menunjukkannya kamu = kamu(X), kamu 0 =kamu(X 0), lalu
Melewati batas di D x® 0 kami memperoleh kesetaraan yang diperlukan.
5) Turunan dari fungsi kompleks.
Dalil. Jika ada f¢(X 0), g¢(X 0)dan x 0 =g(T 0), lalu di beberapa lingkungan t 0 fungsi kompleks f didefinisikan(G(T)), terdiferensiasi di titik t 0 Dan
Bukti.
F(X)- F(X 0)=f¢(X 0)(x-x 0)+ A( X)(x-x 0), XÎ kamu(X 0).
F(G(T))- F(G(T 0))= f¢(X 0)(G(T)- G(T 0))+ A( G(T))(G(T)- G(T 0)).
Mari kita bagi kedua ruas persamaan ini dengan ( t - t 0) dan mari kita pergi ke batas di t®t 0 .
6) Perhitungan turunan fungsi invers.
Dalil. Misalkan f kontinu dan monoton[a,b]. Misalkan pada titik x 0 Î( a,b)ada f¢(X 0)¹ 0 , maka fungsi invers x=f -1 (kamu)ada di titik y 0 turunan sama dengan
Bukti. Kami menghitung F kalau begitu, meningkat secara monoton F -1 (kamu) kontinu, meningkat secara monoton sebesar [ F(A),F(B)]. Ayo taruh kamu 0 =f(X 0), kamu=f(X), x - x 0 =D X,
Y y 0 =D kamu. Karena kontinuitas fungsi invers D kamu®0 Þ D X®0, sudah
Melewati batasnya, kita memperoleh kesetaraan yang diperlukan.
7) Turunan fungsi genap adalah ganjil, turunan fungsi ganjil adalah genap.
Memang benar jika x® - x 0 , Itu - x® x 0 , Itu sebabnya
Untuk fungsi genap untuk fungsi ganjil
1) f= konstanta, f¢(X)=0.
2) F(X)=x,f¢(X)=1.
3) F(X)=ex, f¢(X)= ex ,
4) F(X)=a x ,(sebuah x)¢ = kapak dalam A.
5) dalam A.
6) F(X)=dalam X,
Konsekuensi. (turunan fungsi genap adalah ganjil)
7) (X M )¢= M X m -1 , X>0, X M =e M dalam X .
8) (dosa X)¢= karena X,
9) (kos X)¢=- dosa X,(kos X)¢= (dosa( x+ hal/2)) ¢= karena( x+ p/2)=-dosa X.
10) (tg X)¢= 1/karena 2 X.
11) (ctg X)¢= -1/dosa 2 X.
16)sh X, bab X.
f(x),, dari situlah berikut ini f¢(X)=f(X)(ln F(X))¢ .
Rumus yang sama dapat diperoleh secara berbeda F(X)=e dalam F(X) , f¢=e dalam F(X) (ln F(X))¢.
Contoh. Menghitung turunan suatu fungsi f=xx .
=xx = xx = xx = xx(ln x+ 1).
Letak geometris titik-titik pada bidang
kita akan menyebutnya grafik suatu fungsi, diberikan secara parametrik. Mereka juga berbicara tentang spesifikasi parametrik suatu fungsi.
Catatan 1. Jika x, kamu terus menerus untuk [a,b] Dan X(T) sangat monoton di segmen tersebut (misalnya, meningkat secara monoton), lalu pada [ a,b], Sebuah=x(A) , b=x(B) fungsi ditentukan F(X)=kamu(T(X)), dimana t(X) – fungsi invers ke x(t). Grafik fungsi ini bertepatan dengan grafik fungsi
Jika domain definisi fungsi yang diberikan secara parametrik dapat dibagi menjadi sejumlah segmen yang terbatas ,k= 1,2,...,N, yang masing-masingnya mempunyai fungsi X(T) sangat monotonik, maka fungsi yang ditentukan secara parametrik terurai menjadi sejumlah fungsi biasa yang terbatas fk(X)=kamu(T -1 (X)) dengan domain [ X(A k), X(B k)] untuk menambah bagian X(T) dan dengan domain [ X(B k), X(A k)] untuk area yang mengalami penurunan fungsi X(T). Fungsi yang diperoleh dengan cara ini disebut cabang bernilai tunggal dari fungsi yang ditentukan secara parametrik.
Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi yang ditentukan secara parametrik
Dengan parameterisasi yang dipilih, area definisi dibagi menjadi lima bagian dengan fungsi monotonisitas yang ketat sin(2 T), tepat: TÎ TÎ ,TÎ ,TÎ , dan, oleh karena itu, grafik akan dibagi menjadi lima cabang yang tidak ambigu sesuai dengan bagian ini.
Beras. 4.4
Beras. 4.5
Anda dapat memilih parameterisasi berbeda dari susunan titik geometris yang sama
Dalam hal ini hanya akan ada empat cabang tersebut. Mereka akan sesuai dengan area yang sangat monoton TÎ ,TÎ ,TÎ ,TÎ fungsi dosa(2 T).
Beras. 4.6
Empat bagian monotonisitas fungsi sin(2 T) pada segmen yang panjang.
Beras. 4.7
Penggambaran kedua grafik dalam satu gambar memungkinkan Anda untuk menggambarkan secara kasar grafik fungsi yang ditentukan secara parametrik, menggunakan area monotonisitas dari kedua fungsi.
Sebagai contoh, perhatikan cabang pertama yang sesuai dengan segmen tersebut TÎ . Di akhir bagian ini fungsinya x= dosa(2 T) mengambil nilai -1 dan 1 , jadi cabang ini akan ditentukan di [-1,1] . Setelah ini, Anda perlu melihat area monoton dari fungsi kedua kamu= karena( T), dia melanjutkan dua bagian monoton . Hal ini memungkinkan kita untuk mengatakan bahwa cabang pertama memiliki dua bagian monotonisitas. Setelah menemukan titik-titik akhir grafik, Anda dapat menghubungkannya dengan garis lurus untuk menunjukkan sifat monoton dari grafik tersebut. Setelah melakukan ini dengan setiap cabang, kami memperoleh area monotonisitas dari cabang-cabang grafik yang tidak ambigu (disorot dengan warna merah pada gambar)
Beras. 4.8
Cabang bernilai tunggal pertama F 1 (X)=kamu(T(X)) , sesuai dengan situs akan ditentukan untuk X tentang[-1,1] . Cabang bernilai tunggal pertama TÎ , X tentang[-1,1].
Ketiga cabang lainnya juga akan memiliki domain definisi [-1,1] .
Beras. 4.9
Cabang kedua TÎ X tentang[-1,1].
Beras. 4.10
Cabang ketiga TÎ X tentang[-1,1]
Beras. 4.11
Cabang keempat TÎ X tentang[-1,1]
Beras. 4.12
Komentar 2. Fungsi yang sama dapat memiliki pengaturan parametrik yang berbeda. Perbedaannya mungkin menyangkut fungsi itu sendiri X(T), kamu(T) , dan domain definisi fungsi-fungsi ini.
Contoh penugasan parametrik yang berbeda untuk fungsi yang sama
Dan T tentang[-1, 1] .
Catatan 3. Jika x,y kontinu , X(T)- sangat monoton di segmen tersebut dan ada turunannya kamu¢(T 0),x¢(T 0)¹0, maka ada f¢(X 0)= .
Benar-benar, .
Pernyataan terakhir juga berlaku untuk cabang bernilai tunggal dari fungsi yang ditentukan secara parametrik.
4.2 Derivatif dan diferensial dari orde yang lebih tinggi
Derivatif dan diferensial yang lebih tinggi. Diferensiasi fungsi ditentukan secara parametrik. rumus Leibniz.
Biarkan fungsi ditentukan secara parametrik:
(1)
dimana beberapa variabel disebut parameter. Dan biarkan fungsi tersebut memiliki turunan pada nilai variabel tertentu.
(2)
Selain itu, fungsi tersebut juga mempunyai fungsi invers di lingkungan titik tertentu.
;
.
Maka sistem (2) dapat ditulis sebagai berikut:
Bukti
Secara kondisi, fungsi tersebut memiliki fungsi invers. Mari kita nyatakan sebagai
.
Kemudian fungsi aslinya dapat direpresentasikan sebagai fungsi kompleks:
.
Mari kita cari turunannya menggunakan aturan diferensiasi fungsi kompleks dan invers:
.
Aturan itu sudah terbukti.
Buktikan dengan cara kedua
Mari kita cari turunannya dengan cara kedua, berdasarkan definisi turunan fungsi di titik:
.
Mari kita perkenalkan notasinya:
.
Maka rumus sebelumnya berbentuk:
.
Mari kita manfaatkan fakta bahwa fungsi tersebut memiliki fungsi invers di lingkungan titik.
Mari kita perkenalkan notasi berikut:
;
;
;
.
Bagilah pembilang dan penyebut pecahan dengan:
.
Pada , . Kemudian
.
Aturan itu sudah terbukti.
Derivatif tingkat tinggi
Untuk mencari turunan orde yang lebih tinggi, perlu dilakukan diferensiasi beberapa kali. Katakanlah kita perlu mencari turunan orde kedua dari suatu fungsi yang didefinisikan secara parametrik, dengan bentuk berikut:
(1)
Dengan menggunakan rumus (2) kita mencari turunan pertama, yang juga ditentukan secara parametrik:
(2)
Mari kita nyatakan turunan pertama dengan variabel:
.
Kemudian, untuk mencari turunan kedua suatu fungsi terhadap variabel, Anda perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut terhadap variabel.
(3)
Ketergantungan suatu variabel pada suatu variabel juga ditentukan secara parametrik:
Membandingkan (3) dengan rumus (1) dan (2), kita menemukan: Sekarang mari kita nyatakan hasilnya melalui fungsi dan . :
.
Untuk melakukan ini, mari kita gantikan dan terapkan
.
rumus turunan pecahan
Kemudian
.
Dari sini kita memperoleh turunan kedua dari fungsi tersebut terhadap variabel:
Itu juga diberikan dalam bentuk parametrik. Perhatikan bahwa baris pertama juga dapat ditulis sebagai berikut:
;
.
Melanjutkan prosesnya, Anda bisa mendapatkan turunan fungsi dari variabel orde ketiga dan lebih tinggi.
Perhatikan bahwa kita tidak perlu memperkenalkan notasi untuk turunannya.
Anda dapat menulisnya seperti ini:
Contoh 1
Temukan turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan secara parametrik: Larutan Kami menemukan turunan terhadap .
;
.
Dari
.
tabel turunan
.
tabel turunan
kami menemukan:
.
Kami melamar:
Di Sini .
Turunan yang diperlukan:
Anda dapat menulisnya seperti ini:
Menjawab Contoh 2 :
.
Temukan turunan dari fungsi yang dinyatakan melalui parameter:
.
Mari kita buka tanda kurung menggunakan rumus untuk fungsi daya dan akar.
.
Menemukan turunannya:
.
Kami melamar:
Menemukan turunannya.
Untuk melakukan ini, kami memperkenalkan variabel dan menerapkannya
Anda dapat menulisnya seperti ini:
rumus turunan fungsi kompleks
Kami menemukan turunan yang diinginkan:
Untuk mencari turunan kedua terhadap , kita perlu mencari turunan pertama terhadap .
Mari kita bedakan berdasarkan.
.
Kami menemukan turunan dari dalam Contoh 1:
.
Turunan orde kedua terhadap sama dengan turunan orde pertama terhadap:
.
Jadi, kami menemukan turunan orde kedua terhadap bentuk parametrik:
Sekarang kita cari turunan orde ketiga. Mari kita perkenalkan sebutannya.
Kemudian kita perlu mencari turunan orde pertama dari fungsi tersebut, yang ditentukan secara parametrik:
.
Temukan turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan secara parametrik:
.
Carilah turunan terhadap .
.
Untuk melakukan ini, kami menulis ulang dalam bentuk yang setara:
Turunan orde ketiga terhadap sama dengan turunan orde pertama terhadap:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Kami melamar:
Komentar
Anda tidak perlu memasukkan variabel dan , yang masing-masing merupakan turunan dari dan . Kemudian Anda bisa menulisnya seperti ini:
Dalam representasi parametrik, turunan orde kedua memiliki bentuk sebagai berikut:
Turunan orde ketiga. 
Jangan stres, semua yang ada di paragraf ini juga cukup sederhana. Anda dapat menuliskan rumus umum fungsi yang ditentukan secara parametrik, namun untuk lebih jelasnya saya akan langsung menuliskan contoh spesifiknya. Dalam bentuk parametrik, fungsi tersebut diberikan oleh dua persamaan: . Seringkali persamaan ditulis bukan di bawah tanda kurung kurawal, tetapi berurutan: , . Variabel tersebut disebut parameter dan dapat mengambil nilai dari “minus infinity” hingga “plus infinity”. Misalnya saja nilainya dan substitusikan ke dalam kedua persamaan:.
. Atau dalam istilah manusia: “jika x sama dengan empat, maka y sama dengan satu.” Anda dapat menandai suatu titik pada bidang koordinat, dan titik ini akan sesuai dengan nilai parameter. Demikian pula, Anda dapat menemukan titik untuk nilai apa pun dari parameter “te”. Mengenai fungsi “reguler”, bagi orang Indian Amerika yang memiliki fungsi yang ditentukan secara parametrik, semua hak juga dihormati: Anda dapat membuat grafik, menemukan turunan, dll. Omong-omong, jika Anda perlu membuat grafik fungsi yang ditentukan secara parametrik, unduh program geometri saya di halaman 
Rumus dan tabel matematika 
Dalam kasus yang paling sederhana, fungsi dapat direpresentasikan secara eksplisit. Mari kita nyatakan parameter dari persamaan pertama:
– dan substitusikan ke persamaan kedua:
. Hasilnya adalah fungsi kubik biasa.
Dalam kasus yang lebih “parah”, trik ini tidak berhasil. Tapi tidak masalah, karena ada rumus mencari turunan fungsi parametrik: Kami menemukan turunan dari "permainan terhadap variabel te":. Ganti saja secara mental semua “X” di tabel dengan huruf “Te”.
Kita mencari turunan “x terhadap variabel te”: 
Sekarang tinggal mengganti turunan yang ditemukan ke dalam rumus kita: 
Siap. Turunannya, seperti halnya fungsi itu sendiri, juga bergantung pada parameternya.
Sedangkan untuk notasinya, daripada menuliskannya di rumus, cukup ditulis tanpa subskrip, karena ini merupakan turunan “reguler” “terhadap X”. Namun dalam literatur selalu ada pilihan, jadi saya tidak akan menyimpang dari standar.
Contoh 6
Kami menggunakan rumusnya
Dalam hal ini:
Dengan demikian: 
Ciri khusus dalam mencari turunan fungsi parametrik adalah kenyataan bahwa pada setiap langkah, ada baiknya untuk menyederhanakan hasilnya sebanyak mungkin. Jadi, dalam contoh yang dipertimbangkan, ketika saya menemukannya, saya membuka tanda kurung di bawah root (walaupun saya mungkin tidak melakukan ini). Ada kemungkinan besar ketika menggantinya ke dalam rumus, banyak hal akan tereduksi dengan baik. Meskipun, tentu saja, ada contoh dengan jawaban yang janggal.
Contoh 7
Temukan turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara parametrik 
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.
Dalam artikel tersebut Masalah tipikal yang paling sederhana dengan turunan kita melihat contoh di mana kita perlu mencari turunan kedua suatu fungsi. Untuk fungsi yang ditentukan secara parametrik, Anda juga dapat mencari turunan keduanya, dan mencarinya menggunakan rumus berikut: . Jelas sekali bahwa untuk mencari turunan keduanya, Anda harus mencari turunan pertamanya terlebih dahulu.
Contoh 8
Temukan turunan pertama dan kedua dari suatu fungsi yang diberikan secara parametrik
Pertama, cari turunan pertamanya.
Kami menggunakan rumusnya
Dalam hal ini: 
Substitusikan turunan yang ditemukan ke dalam rumus. Untuk menyederhanakan, kami menggunakan rumus trigonometri: 
Saya perhatikan bahwa dalam masalah mencari turunan suatu fungsi parametrik, cukup sering, untuk penyederhanaan, perlu menggunakan rumus trigonometri . Ingatlah atau simpanlah, dan jangan lewatkan kesempatan untuk menyederhanakan setiap hasil antara dan jawaban. Untuk apa? Sekarang kita harus mengambil turunan dari , dan ini jelas lebih baik daripada mencari turunan dari .
Mari kita cari turunan keduanya.
Kami menggunakan rumus: .
Mari kita lihat rumus kita. Penyebutnya sudah ditemukan pada langkah sebelumnya. Tetap mencari pembilang - turunan dari turunan pertama terhadap variabel "te":
Tetap menggunakan rumus: 
Untuk memperkuat materi, saya menawarkan beberapa contoh lagi untuk Anda pecahkan sendiri.
Contoh 9
Contoh 10
Temukan dan untuk fungsi yang ditentukan secara parametrik 
Saya berharap Anda sukses!
Saya harap pelajaran ini bermanfaat, dan kini Anda dapat dengan mudah menemukan turunan fungsi yang ditentukan secara implisit dan dari fungsi parametrik
Solusi dan jawaban:
Contoh 3: Solusi:
Dengan demikian:
