Turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara implisit.
Turunan dari fungsi yang ditentukan secara parametrik

Pada artikel ini kita akan melihat dua tugas umum yang sering ditemukan dalam tes matematika tingkat tinggi. Agar berhasil menguasai materi, Anda harus bisa menemukan turunannya setidaknya pada tingkat menengah. Anda dapat belajar menemukan turunan secara praktis dari awal dalam dua pelajaran dasar dan Turunan dari fungsi kompleks. Jika keterampilan diferensiasi Anda baik-baik saja, ayo pergi.

Turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara implisit

Atau, singkatnya, turunan dari fungsi implisit. Apa yang dimaksud dengan fungsi implisit? Pertama-tama mari kita ingat definisi fungsi dari satu variabel:

Fungsi variabel tunggal adalah aturan yang menyatakan bahwa setiap nilai variabel bebas berhubungan dengan satu dan hanya satu nilai fungsi.

Variabelnya disebut variabel independen atau argumen.
Variabelnya disebut variabel terikat atau fungsi .

Sejauh ini kita telah melihat fungsi-fungsi yang didefinisikan dalam eksplisit membentuk. Apa maksudnya? Mari kita lakukan pembekalan dengan menggunakan contoh-contoh spesifik.

Pertimbangkan fungsinya

Kita melihat bahwa di sebelah kiri kita memiliki satu-satunya "pemain", dan di sebelah kanan - hanya "X". Artinya, fungsinya secara eksplisit dinyatakan melalui variabel independen.

Mari kita lihat fungsi lainnya:

Di sinilah variabel-variabelnya tercampur. Lebih-lebih lagi mustahil dengan cara apa pun nyatakan “Y” hanya melalui “X”. Apa sajakah metode-metode tersebut? Memindahkan suku dari bagian ke bagian dengan perubahan tanda, mengeluarkannya dari tanda kurung, membuang faktor menurut aturan perbandingan, dll. Tulis ulang persamaannya dan coba nyatakan “y” secara eksplisit: . Anda dapat memutarbalikkan persamaan tersebut selama berjam-jam, tetapi Anda tidak akan berhasil.

Izinkan saya memperkenalkan Anda: – contoh fungsi implisit.

Dalam analisis matematis terbukti fungsi implisit ada(namun, tidak selalu), ia memiliki grafik (seperti fungsi “normal”). Fungsi implisitnya persis sama ada turunan pertama, turunan kedua, dan seterusnya. Seperti yang mereka katakan, semua hak seksual minoritas dihormati.

Dan dalam pelajaran ini kita akan belajar bagaimana mencari turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan secara implisit. Ini tidak terlalu sulit! Semua aturan diferensiasi dan tabel turunan fungsi dasar tetap berlaku. Perbedaannya terletak pada satu momen aneh, yang akan kita bahas sekarang.

Ya, dan saya akan memberi tahu Anda kabar baiknya - tugas yang dibahas di bawah ini dilakukan sesuai dengan algoritma yang cukup ketat dan jelas tanpa hambatan di depan tiga trek.

Contoh 1

1) Pada tahap pertama, kita lampirkan guratan pada kedua bagian:

2) Kami menggunakan aturan linearitas turunan (dua aturan pertama dalam pelajaran Bagaimana cara mencari turunannya? Contoh solusi):

3) Diferensiasi langsung.
Cara membedakannya sudah sangat jelas. Apa yang harus dilakukan jika ada “permainan” di bawah pukulan?

- sampai pada titik aib, turunan suatu fungsi sama dengan turunannya: .

Bagaimana membedakannya
Ini dia fungsi yang kompleks. Mengapa? Tampaknya di bawah sinus hanya ada satu huruf “Y”. Tapi faktanya hanya ada satu huruf "y" - ADALAH FUNGSI SENDIRI(lihat definisi di awal pelajaran). Jadi, sinus merupakan fungsi eksternal dan merupakan fungsi internal. Kami menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks :

Kami membedakan produk menurut aturan biasa :

Harap dicatat bahwa – juga merupakan fungsi yang kompleks, “permainan dengan lonceng dan peluit” apa pun adalah fungsi yang kompleks:

Solusinya sendiri akan terlihat seperti ini:

Jika ada tanda kurung, perluas:

4) Di sisi kiri kita kumpulkan suku-suku yang mengandung "Y" dengan bilangan prima. Pindahkan semuanya ke sisi kanan:

5) Di sisi kiri kita keluarkan turunannya dari tanda kurung:

6) Dan menurut aturan proporsi, kita masukkan tanda kurung ini ke dalam penyebut di ruas kanan:

Turunannya telah ditemukan. Siap.

Menarik untuk dicatat bahwa fungsi apa pun dapat ditulis ulang secara implisit. Misalnya saja fungsinya dapat ditulis ulang seperti ini: . Dan bedakan menggunakan algoritma yang baru saja dibahas. Faktanya, frasa “fungsi implisit” dan “fungsi implisit” berbeda dalam satu nuansa semantik. Ungkapan “fungsi yang ditentukan secara implisit” lebih umum dan benar, – fungsi ini ditentukan secara implisit, tetapi di sini Anda dapat mengekspresikan “permainan” dan menyajikan fungsinya secara eksplisit. Frasa “fungsi implisit” mengacu pada fungsi implisit “klasik” ketika “y” tidak dapat diungkapkan.

Solusi kedua

Perhatian! Anda dapat membiasakan diri dengan metode kedua hanya jika Anda yakin dapat menemukannya turunan parsial. Tolong, para pemula dan bodoh kalkulus jangan membaca dan melewatkan poin ini, jika tidak, kepalamu akan berantakan total.

Mari kita cari turunan dari fungsi implisit menggunakan metode kedua.

Kami memindahkan semua suku ke sisi kiri:

Dan pertimbangkan fungsi dari dua variabel:

Kemudian turunan kita dapat dicari dengan menggunakan rumus tersebut
Mari kita cari turunan parsialnya:

Dengan demikian:

Solusi kedua memungkinkan Anda melakukan pemeriksaan. Namun tidak disarankan bagi mereka untuk menulis tugas versi final, karena turunan parsial baru dikuasai kemudian, dan siswa yang mempelajari topik “Turunan fungsi suatu variabel” seharusnya belum mengetahui turunan parsial.

Mari kita lihat beberapa contoh lagi.

Contoh 2

Temukan turunan dari suatu fungsi yang diberikan secara implisit

Tambahkan goresan pada kedua bagian:

Kami menggunakan aturan linearitas:

Menemukan turunan:

Membuka semua tanda kurung:

Kami memindahkan semua suku ke sisi kiri, sisanya ke sisi kanan:

Jawaban akhir:

Contoh 3

Temukan turunan dari suatu fungsi yang diberikan secara implisit

Solusi lengkap dan contoh desain di akhir pelajaran.

Tidak jarang pecahan muncul setelah diferensiasi. Dalam kasus seperti itu, Anda perlu menghilangkan pecahan. Mari kita lihat dua contoh lagi.

Contoh 4

Temukan turunan dari suatu fungsi yang diberikan secara implisit

Kami menyertakan kedua bagian di bawah garis dan menggunakan aturan linearitas:

Diferensialkan menggunakan aturan untuk membedakan fungsi kompleks dan aturan diferensiasi hasil bagi :

Memperluas tanda kurung:

Sekarang kita perlu menghilangkan pecahannya. Ini bisa dilakukan nanti, tapi lebih rasional jika dilakukan segera. Penyebut pecahan tersebut mengandung . Berkembang biak pada . Secara detail akan terlihat seperti ini:

Terkadang setelah diferensiasi muncul 2-3 pecahan. Jika kita memiliki pecahan lain, misalnya, maka operasinya perlu diulang - kalikan setiap istilah dari setiap bagian pada

Di sisi kiri kami mengeluarkannya dari tanda kurung:

Jawaban akhir:

Contoh 5

Temukan turunan dari suatu fungsi yang diberikan secara implisit

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Satu-satunya hal adalah sebelum Anda menghilangkan pecahan, pertama-tama Anda harus menghilangkan struktur tiga lantai dari pecahan itu sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Turunan dari fungsi yang ditentukan secara parametrik

Jangan stres, semua yang ada di paragraf ini juga cukup sederhana. Anda dapat menuliskan rumus umum fungsi yang ditentukan secara parametrik, namun untuk lebih jelasnya saya akan langsung menuliskan contoh spesifiknya. Dalam bentuk parametrik, fungsi tersebut diberikan oleh dua persamaan: . Seringkali persamaan ditulis bukan di bawah tanda kurung kurawal, tetapi berurutan: , .

Variabel tersebut disebut parameter dan dapat mengambil nilai dari “minus infinity” hingga “plus infinity”. Misalnya saja nilainya dan substitusikan ke dalam kedua persamaan: . Atau dalam istilah manusia: “jika x sama dengan empat, maka y sama dengan satu.” Anda dapat menandai suatu titik pada bidang koordinat, dan titik ini akan sesuai dengan nilai parameter. Demikian pula, Anda dapat menemukan titik untuk nilai apa pun dari parameter “te”. Mengenai fungsi “reguler”, bagi orang Indian Amerika yang memiliki fungsi yang ditentukan secara parametrik, semua hak juga dihormati: Anda dapat membuat grafik, menemukan turunan, dll. Omong-omong, jika Anda perlu memplot grafik fungsi yang ditentukan secara parametrik, Anda dapat menggunakan program saya.

Dalam kasus yang paling sederhana, fungsi dapat direpresentasikan secara eksplisit. Mari kita nyatakan parameter dari persamaan pertama: – dan substitusikan ke persamaan kedua: . Hasilnya adalah fungsi kubik biasa.

Dalam kasus yang lebih “parah”, trik ini tidak berhasil. Tapi tidak masalah, karena ada rumus mencari turunan fungsi parametrik:

Kami menemukan turunan dari "permainan terhadap variabel te":

Semua aturan diferensiasi dan tabel turunannya tentu saja berlaku untuk huruf tersebut, jadi, tidak ada hal baru dalam proses pencarian turunan. Ganti saja secara mental semua “X” di tabel dengan huruf “Te”.

Kita mencari turunan “x terhadap variabel te”:

Sekarang tinggal mengganti turunan yang ditemukan ke dalam rumus kita:

Siap. Turunannya, seperti halnya fungsi itu sendiri, juga bergantung pada parameternya.

Sedangkan untuk notasinya, daripada menuliskannya di rumus, cukup ditulis tanpa subskrip, karena ini merupakan turunan “reguler” “terhadap X”. Namun dalam literatur selalu ada pilihan, jadi saya tidak akan menyimpang dari standar.

Contoh 6

Kami menggunakan rumusnya

Dalam hal ini:

Dengan demikian:

Ciri khusus dalam mencari turunan fungsi parametrik adalah kenyataan bahwa pada setiap langkah, ada baiknya untuk menyederhanakan hasilnya sebanyak mungkin. Jadi, dalam contoh yang dipertimbangkan, ketika saya menemukannya, saya membuka tanda kurung di bawah root (walaupun saya mungkin tidak melakukan ini). Ada kemungkinan besar ketika menggantinya ke dalam rumus, banyak hal akan tereduksi dengan baik. Meskipun, tentu saja, ada contoh dengan jawaban yang janggal.

Contoh 7

Temukan turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara parametrik

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.

Dalam artikel tersebut Masalah tipikal yang paling sederhana dengan turunan kita melihat contoh di mana kita perlu mencari turunan kedua suatu fungsi. Untuk fungsi yang ditentukan secara parametrik, Anda juga dapat mencari turunan keduanya, dan mencarinya menggunakan rumus berikut: . Jelas sekali bahwa untuk mencari turunan keduanya, Anda harus mencari turunan pertamanya terlebih dahulu.

Contoh 8

Temukan turunan pertama dan kedua dari suatu fungsi yang diberikan secara parametrik

Pertama, cari turunan pertamanya.
Kami menggunakan rumusnya

Dalam hal ini:

Kami mengganti turunan yang ditemukan ke dalam rumus. Untuk menyederhanakan, kami menggunakan rumus trigonometri:

Variabel tersebut disebut parameter dan dapat mengambil nilai dari “minus infinity” hingga “plus infinity”. Misalnya saja nilainya dan substitusikan ke dalam kedua persamaan: . Atau dalam istilah manusia: “jika x sama dengan empat, maka y sama dengan satu.” Anda dapat menandai suatu titik pada bidang koordinat, dan titik ini akan sesuai dengan nilai parameter. Demikian pula, Anda dapat menemukan titik untuk nilai apa pun dari parameter “te”. Mengenai fungsi “reguler”, bagi orang Indian Amerika yang memiliki fungsi yang ditentukan secara parametrik, semua hak juga dihormati: Anda dapat membuat grafik, menemukan turunan, dll. Omong-omong, jika Anda perlu membuat grafik fungsi yang ditentukan secara parametrik, unduh program geometri saya di halaman Rumus dan tabel matematika.

Dalam kasus yang lebih “parah”, trik ini tidak berhasil. Tapi tidak masalah, karena ada rumus mencari turunan fungsi parametrik:

Kami menemukan turunan dari "permainan terhadap variabel te":

Kita mencari turunan “x terhadap variabel te”:

Sekarang tinggal mengganti turunan yang ditemukan ke dalam rumus kita:

Siap. Turunannya, seperti halnya fungsi itu sendiri, juga bergantung pada parameternya.

Contoh 6

Kami menggunakan rumusnya

Dalam hal ini:

Dengan demikian:

Contoh 7

Temukan turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara parametrik

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.

Contoh 8

Temukan turunan pertama dan kedua dari suatu fungsi yang diberikan secara parametrik

Pertama, cari turunan pertamanya.
Kami menggunakan rumusnya

Dalam hal ini:

Substitusikan turunan yang ditemukan ke dalam rumus. Untuk menyederhanakan, kami menggunakan rumus trigonometri:

Saya perhatikan bahwa dalam masalah mencari turunan suatu fungsi parametrik, cukup sering untuk menyederhanakan perlu menggunakan rumus trigonometri . Ingatlah atau simpanlah, dan jangan lewatkan kesempatan untuk menyederhanakan setiap hasil antara dan jawaban. Untuk apa? Sekarang kita harus mengambil turunan dari , dan ini jelas lebih baik daripada mencari turunan dari .

Mari kita cari turunan keduanya.
Kami menggunakan rumus: .

Mari kita lihat rumus kita. Penyebutnya sudah ditemukan pada langkah sebelumnya. Tetap mencari pembilang - turunan dari turunan pertama terhadap variabel "te":

Tetap menggunakan rumus:

Untuk memperkuat materi, saya menawarkan beberapa contoh lagi untuk Anda pecahkan sendiri.

Contoh 9

Contoh 10

Temukan dan untuk fungsi yang ditentukan secara parametrik

Saya berharap Anda sukses!

Saya harap pelajaran ini bermanfaat, dan kini Anda dapat dengan mudah menemukan turunan fungsi yang ditentukan secara implisit dan dari fungsi parametrik

Solusi dan jawaban:

Contoh 3: Solusi:

Dengan demikian:

Fungsi tersebut dapat ditentukan dalam beberapa cara. Hal ini tergantung pada aturan yang digunakan untuk menentukannya. Bentuk eksplisit dari penspesifikasian fungsi adalah y = f(x). Ada kalanya penjelasannya tidak mungkin atau tidak nyaman. Jika terdapat banyak pasangan (x; y) yang perlu dihitung untuk parameter t pada interval (a; b). Menyelesaikan sistem x = 3 cos t y = 3 sin t dengan 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definisi fungsi parametrik

Dari sini kita mendapatkan bahwa x = φ (t), y = ψ (t) terdefinisi untuk suatu nilai t ∈ (a; b) dan mempunyai fungsi invers t = Θ (x) untuk x = φ (t), maka kita berbicara tentang menentukan persamaan parametrik dari suatu fungsi berbentuk y = ψ (Θ (x)) .

Ada kalanya, untuk mempelajari suatu fungsi, perlu mencari turunannya terhadap x. Mari kita perhatikan rumus turunan fungsi terdefinisi secara parametrik berbentuk y x " = ψ " (t) φ " (t), mari kita bicara tentang turunan orde ke-2 dan ke-n.

Penurunan rumus turunan fungsi yang ditentukan secara parametrik

Kita mempunyai x = φ (t), y = ψ (t), terdefinisi dan terdiferensiasi untuk t ∈ a; b, dimana x t " = φ " (t) ≠ 0 dan x = φ (t), maka terdapat fungsi invers berbentuk t = Θ (x).

Untuk memulainya, Anda harus beralih dari tugas parametrik ke tugas eksplisit. Untuk melakukan ini, Anda perlu mendapatkan fungsi kompleks dalam bentuk y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), di mana terdapat argumen x.

Berdasarkan aturan mencari turunan suatu fungsi kompleks, diperoleh bahwa y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Hal ini menunjukkan bahwa t = Θ (x) dan x = φ (t) merupakan fungsi invers dari rumus fungsi invers Θ " (x) = 1 φ " (t), maka y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan penyelesaian beberapa contoh menggunakan tabel turunan menurut aturan diferensiasi.

Contoh 1

Tentukan turunan fungsi x = t 2 + 1 y = t.

Larutan

Dengan syarat kita mendapatkan φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, dari sini kita peroleh bahwa φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Anda harus menggunakan rumus turunan dan menuliskan jawabannya dalam bentuk:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Menjawab: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Saat bekerja dengan turunan suatu fungsi h, parameter t menentukan ekspresi argumen x melalui parameter yang sama t, agar tidak kehilangan hubungan antara nilai turunan dan fungsi yang ditentukan secara parametrik dengan argumen ke yang sesuai dengan nilai-nilai ini.

Untuk menentukan turunan orde kedua dari suatu fungsi yang diberikan secara parametrik, Anda perlu menggunakan rumus turunan orde pertama dari fungsi yang dihasilkan, maka kita mendapatkan bahwa

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Contoh 2

Tentukan turunan orde ke-2 dan ke-2 dari fungsi yang diberikan x = cos (2 t) y = t 2 .

Larutan

Dengan syarat kita peroleh bahwa φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Kemudian setelah transformasi

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Oleh karena itu y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Kita peroleh bentuk turunan orde 1 adalah x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Untuk menyelesaikannya, Anda perlu menerapkan rumus turunan orde kedua. Kami mendapatkan ekspresi formulir

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Kemudian tentukan turunan orde 2 menggunakan fungsi parametrik

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Solusi serupa dapat diselesaikan dengan menggunakan metode lain. Kemudian

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 ton) " = 2

Dari sini kita mendapatkannya

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Menjawab: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Turunan orde tinggi dengan fungsi yang ditentukan secara parametrik ditemukan dengan cara yang sama.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Biarkan fungsi ditentukan secara parametrik:
(1)
dimana beberapa variabel disebut parameter. Dan biarkan fungsi tersebut memiliki turunan pada nilai variabel tertentu.
(2)

Selain itu, fungsi tersebut juga mempunyai fungsi invers di lingkungan titik tertentu.
;
.

Maka fungsi (1) mempunyai turunan di titik tersebut, yang dalam bentuk parametriknya ditentukan dengan rumus:

Di sini dan merupakan turunan dari fungsi dan terhadap variabel (parameter).

Mereka sering ditulis sebagai berikut:
.
Maka sistem (2) dapat ditulis sebagai berikut:
.
Bukti
.

Secara kondisi, fungsi tersebut memiliki fungsi invers. Mari kita nyatakan sebagai

Kemudian fungsi aslinya dapat direpresentasikan sebagai fungsi kompleks:

Mari kita cari turunannya menggunakan aturan diferensiasi fungsi kompleks dan invers:
.
Aturan itu sudah terbukti.
.
Buktikan dengan cara kedua
.

Mari kita cari turunannya dengan cara kedua, berdasarkan definisi turunan fungsi di titik:
Mari kita perkenalkan notasinya:
; ;
; .
Maka rumus sebelumnya berbentuk:
.
Mari kita manfaatkan fakta bahwa fungsi tersebut memiliki fungsi invers di lingkungan titik.
.

Secara kondisi, fungsi tersebut memiliki fungsi invers. Mari kita nyatakan sebagai

Mari kita perkenalkan notasi berikut:

Bagilah pembilang dan penyebut pecahan dengan:
(1)

Dengan menggunakan rumus (2) kita mencari turunan pertama, yang juga ditentukan secara parametrik:
(2)

Mari kita nyatakan turunan pertama dengan variabel:
.
Kemudian, untuk mencari turunan kedua suatu fungsi terhadap variabel, Anda perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut terhadap variabel.
(3)
Ketergantungan suatu variabel pada suatu variabel juga ditentukan secara parametrik:

Membandingkan (3) dengan rumus (1) dan (2), kita menemukan:
.
Sekarang mari kita nyatakan hasilnya melalui fungsi dan .
.

Untuk melakukannya, substitusikan dan terapkan rumus pecahan turunan:

Kemudian
.

Dari sini kita memperoleh turunan kedua dari fungsi tersebut terhadap variabel:

Itu juga diberikan dalam bentuk parametrik. Perhatikan bahwa baris pertama juga dapat ditulis sebagai berikut:
;
.

Melanjutkan prosesnya, Anda bisa mendapatkan turunan fungsi dari variabel orde ketiga dan lebih tinggi.

Perhatikan bahwa kita tidak perlu memperkenalkan notasi untuk turunannya.

Anda dapat menulisnya seperti ini:

Contoh 1
Temukan turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan secara parametrik:
;
.
Larutan

.
Kami menemukan turunan terhadap .

.
Kami menemukan turunan terhadap .

Dari tabel turunan kita temukan:
.

Kami melamar:

Di Sini .

Turunan yang diperlukan:

Anda dapat menulisnya seperti ini:

Menjawab
.

Contoh 2

.

Temukan turunan dari fungsi yang dinyatakan melalui parameter:

.

Mari kita perluas tanda kurung menggunakan rumus fungsi pangkat dan akar:
.

Kami melamar:

Menemukan turunannya:

Menemukan turunannya.

Anda dapat menulisnya seperti ini:

Untuk melakukan ini, kami memperkenalkan variabel dan menerapkan rumus turunan fungsi kompleks.

Kami menemukan turunan yang diinginkan:

Contoh 3

Temukan turunan orde kedua dan ketiga dari fungsi yang didefinisikan secara parametrik pada Contoh 1:
.
Dalam Contoh 1 kami menemukan turunan orde pertama:
.
Mari kita perkenalkan sebutannya.
.

Maka fungsinya merupakan turunan terhadap .

Ini ditentukan secara parametrik:

Untuk mencari turunan kedua terhadap , kita perlu mencari turunan pertama terhadap .
.
Mari kita bedakan berdasarkan.
.

Kami menemukan turunan dari dalam Contoh 1:
.

Turunan orde kedua terhadap sama dengan turunan orde pertama terhadap:

Jadi, kami menemukan turunan orde kedua terhadap bentuk parametrik:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Kami melamar:

Sekarang kita cari turunan orde ketiga. Mari kita perkenalkan sebutannya.

Kemudian kita perlu mencari turunan orde pertama dari fungsi tersebut, yang ditentukan secara parametrik:

Pertimbangkan untuk mendefinisikan sebuah garis pada bidang yang variabelnya x, y adalah fungsi dari variabel ketiga t (disebut parameter):

Untuk setiap nilai T dari interval tertentu nilai-nilai tertentu sesuai X Dan kamu, sebuah, oleh karena itu, suatu titik tertentu M (x, y) pada bidang tersebut. Kapan T berjalan melalui semua nilai dari interval tertentu, lalu titik M (x, kamu) menjelaskan beberapa baris L. Persamaan (2.2) disebut persamaan garis parametrik L.

Jika fungsi x = φ(t) mempunyai invers t = Ф(x), maka substitusi persamaan ini ke dalam persamaan y = g(t), kita peroleh y = g(Ф(x)), yang menyatakan kamu sebagai fungsi dari X. Dalam hal ini, kita katakan bahwa persamaan (2.2) mendefinisikan fungsi kamu secara parametrik.

Contoh 1. Membiarkan M(x,y)– titik sembarang pada lingkaran berjari-jari R dan berpusat pada titik asal. Membiarkan T– sudut antar sumbu Sapi dan radius OM(lihat Gambar 2.3). Kemudian x, kamu diungkapkan melalui T:

Persamaan (2.3) merupakan persamaan parametrik lingkaran. Mari kita kecualikan parameter t dari persamaan (2.3). Untuk melakukan ini, kita kuadratkan setiap persamaan dan menjumlahkannya, kita mendapatkan: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) atau x 2 + y 2 = R 2 – persamaan lingkaran dalam Cartesian sistem koordinat. Ini mendefinisikan dua fungsi: Masing-masing fungsi ini diberikan oleh persamaan parametrik (2.3), tetapi untuk fungsi pertama , dan untuk fungsi kedua .

Contoh 2. Persamaan parametrik

tentukan elips dengan sumbu semi a, b(Gbr. 2.4). Tidak termasuk parameter dari persamaan T, kita memperoleh persamaan kanonik elips:

Contoh 3. Sikloid adalah suatu garis yang digambarkan oleh suatu titik yang terletak pada suatu lingkaran jika lingkaran tersebut menggelinding tanpa meluncur pada suatu garis lurus (Gbr. 2.5). Mari kita perkenalkan persamaan parametrik sikloid. Biarkan jari-jari lingkaran bergulir menjadi A, titik M, menggambarkan sikloid, pada awal pergerakannya bertepatan dengan titik asal koordinat.

Mari kita tentukan koordinatnya X, y poin M setelah lingkaran berputar membentuk sudut T
(Gbr. 2.5), t = ÐMCB. Panjang busur MB sama dengan panjang segmen tersebut O.B. karena lingkaran itu menggelinding tanpa tergelincir, oleh karena itu

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – biaya = a(1 – biaya).

Jadi, persamaan parametrik sikloid diperoleh:

Saat mengubah parameter T dari 0 hingga 2π lingkaran berputar satu putaran, dan titik M menggambarkan satu busur sikloid. Persamaan (2.5) berikan kamu sebagai fungsi dari X. Meskipun fungsinya x = a(t – dosa) memiliki fungsi invers, tetapi tidak dinyatakan dalam fungsi dasar, jadi fungsinya kamu = f(x) tidak dinyatakan melalui fungsi dasar.

Mari kita perhatikan diferensiasi suatu fungsi yang didefinisikan secara parametrik oleh persamaan (2.2). Fungsi x = φ(t) pada interval perubahan tertentu t mempunyai fungsi invers t = (x), Kemudian kamu = g(Ф(x)). Membiarkan x = φ(t), kamu = g(t) memiliki turunan, dan x"t≠0. Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks kamu"x=y"t×t"x. Berdasarkan aturan diferensiasi fungsi invers, maka:

Rumus yang dihasilkan (2.6) memungkinkan seseorang menemukan turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara parametrik.

Contoh 4 Biarkan fungsinya kamu, tergantung pada X, ditentukan secara parametrik:

Larutan. .
Contoh 5. Temukan kemiringannya k bersinggungan dengan sikloid di titik M 0 sesuai dengan nilai parameter.
Larutan. Dari persamaan sikloid: y" t = tidak, x" t = a(1 – biaya), Itu sebabnya

Garis singgung kemiringan pada suatu titik M0 sama dengan nilai di t 0 = π/4:

FUNGSI DIFERENSIAL

Biarkan fungsinya pada intinya x 0 memiliki turunan. Menurut definisi:
oleh karena itu, menurut sifat-sifat limit (Bagian 1.8), dimana A– sangat kecil di Δx → 0. Dari sini

y = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Karena Δx → 0, suku kedua dalam persamaan (2.7) adalah orde tinggi yang sangat kecil, dibandingkan dengan , oleh karena itu Δy dan f " (x 0)×Δx ekuivalen, sangat kecil (untuk f "(x 0) ≠ 0).

Jadi, kenaikan fungsi Δy terdiri dari dua suku, yang f "(x 0)×Δx pertama adalah bagian utama kenaikan Δy, linier terhadap Δx (untuk f "(x 0)≠ 0).

Diferensial fungsi f(x) di titik x 0 disebut bagian utama dari kenaikan fungsi dan dilambangkan: mati atau df(x0). Karena itu,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Contoh 1. Temukan diferensial suatu fungsi mati dan kenaikan fungsi Δy untuk fungsi y = x 2 di:
1) sewenang-wenang X dan Δ X; 2) x 0 = 20, x = 0,1.

Larutan

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Jika x 0 = 20, Δx = 0,1, maka Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; hari = 40×0,1= 4.

Mari kita tulis persamaan (2.7) dalam bentuk:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Kenaikan Δy berbeda dengan diferensial mati ke tingkat yang sangat kecil dibandingkan dengan Δx, oleh karena itu, dalam perhitungan perkiraan, persamaan perkiraan Δy ≈ dy digunakan jika Δx cukup kecil.

Mengingat Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), kita memperoleh rumus perkiraan:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Contoh 2. Hitung kira-kira.

Larutan. Mempertimbangkan:

Dengan menggunakan rumus (2.10), kita memperoleh:

Jadi, ≈ 2,025.

Mari kita perhatikan arti geometris dari diferensial df(x 0)(Gbr. 2.6).

Mari kita tarik garis singgung grafik fungsi y = f(x) di titik M 0 (x0, f(x 0)), misalkan φ adalah sudut antara garis singgung KM0 dan sumbu Ox, maka f"( x 0) = tanφ. Dari M0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Tetapi PN adalah pertambahan ordinat singgung ketika x berubah dari x 0 menjadi x 0 + Δx.

Akibatnya, diferensial fungsi f(x) di titik x 0 sama dengan pertambahan ordinat garis singgung.

Mari kita cari diferensial fungsinya
kamu = x. Karena (x)" = 1, maka dx = 1×Δx = Δx. Kita asumsikan bahwa diferensial variabel bebas x sama dengan kenaikannya, yaitu dx = Δx.

Jika x adalah bilangan sembarang, maka dari persamaan (2.8) kita memperoleh df(x) = f "(x)dx, dari mana .
Jadi, turunan suatu fungsi y = f(x) sama dengan rasio diferensialnya terhadap diferensial argumennya.

Mari kita perhatikan sifat-sifat diferensial suatu fungsi.

Jika u(x), v(x) adalah fungsi terdiferensiasi, maka rumus berikut ini valid:

Untuk membuktikan rumus-rumus tersebut digunakan rumus turunan jumlah, hasil kali dan hasil bagi suatu fungsi. Mari kita buktikan, misalnya rumus (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Mari kita perhatikan diferensial suatu fungsi kompleks: y = f(x), x = φ(t), mis. kamu = f(φ(t)).

Maka dy = y" t dt, tetapi y" t = y" x ×x" t, jadi dy =y" x x" t dt. Mempertimbangkan,

bahwa x" t = dx, kita mendapatkan dy = y" x dx =f "(x)dx.

Jadi, diferensial suatu fungsi kompleks y = f(x), di mana x =φ(t), berbentuk dy = f "(x)dx, sama seperti ketika x adalah variabel bebas. Sifat ini disebut invarian dari bentuk diferensial A.