Perhitungan matriks invers. Aljabar matriks - invers matriks

Menemukan matriks invers- masalah yang sering diselesaikan dengan dua metode:

• metode penjumlahan aljabar, yang memerlukan pencarian determinan dan transposisi matriks;
• metode Gaussian untuk menghilangkan yang tidak diketahui, yang memerlukan transformasi dasar matriks (menjumlahkan baris, mengalikan baris dengan angka yang sama, dll.).

Bagi yang penasaran, ada metode lain, misalnya metode transformasi linier. Dalam pelajaran ini kita akan menganalisis tiga metode dan algoritma yang disebutkan untuk mencari matriks invers menggunakan metode ini.

Matriks terbalik A, matriks seperti itu disebut

A
. (1)

Matriks terbalik , yang perlu dicari untuk matriks persegi tertentu A, matriks seperti itu disebut

produk yang matriksnya A di sebelah kanan adalah matriks identitas, mis.
. (1)

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya sama dengan satu.

Dalil.Untuk setiap matriks persegi non-singular (non-degenerasi, non-singular), dapat ditemukan matriks inversnya, dan hanya satu. Untuk matriks persegi khusus (degenerasi, tunggal), matriks inversnya tidak ada.

Matriks persegi disebut tidak istimewa(atau tidak merosot, non-tunggal), jika determinannya tidak nol, dan spesial(atau merosot, tunggal) jika determinannya nol.

Invers suatu matriks hanya dapat dicari pada matriks persegi. Tentu saja, matriks invers juga akan berbentuk persegi dan ordonya sama dengan matriks yang diberikan. Matriks yang dapat dicari matriks inversnya disebut matriks invertibel.

Untuk matriks terbalik Ada analogi yang relevan dengan kebalikan suatu bilangan. Untuk setiap nomor A, tidak sama dengan nol, ada bilangan seperti itu B itu pekerjaan A Dan B sama dengan satu: ab= 1 . Nomor B disebut invers suatu bilangan B. Misalnya, untuk angka 7 kebalikannya adalah 1/7, karena 7*1/7=1.

Mencari matriks invers menggunakan metode penjumlahan aljabar (matriks gabungan)

Untuk matriks persegi non-tunggal A kebalikannya adalah matriks

dimana adalah determinan matriks A, a adalah matriks yang bersekutu dengan matriks tersebut A.

Bersekutu dengan matriks persegi A adalah matriks berorde sama, yang unsur-unsurnya merupakan komplemen aljabar dari unsur-unsur yang bersesuaian dari determinan matriks yang ditransposisikan terhadap matriks A. Jadi, jika

Itu

Dan

Algoritma mencari matriks invers menggunakan metode penjumlahan aljabar

1. Temukan determinan matriks ini A. Jika determinannya sama dengan nol, pencarian invers matriks berhenti, karena matriksnya tunggal dan inversnya tidak ada.

2. Temukan matriks yang ditransposisikan terhadap A.

3. Hitung elemen matriks gabungan sebagai komplemen aljabar maritz yang ditemukan pada langkah 2.

4. Terapkan rumus (2): kalikan invers determinan matriks A, ke matriks gabungan yang ditemukan di langkah 4.

5. Periksa hasil yang diperoleh pada langkah 4 dengan mengalikan matriks ini A ke matriks terbalik. Jika hasil kali matriks-matriks tersebut sama dengan matriks identitas, maka matriks inversnya ditemukan dengan benar. Jika tidak, mulai lagi proses solusinya.

Contoh 1. Untuk matriks

carilah matriks inversnya.

Larutan. Untuk mencari matriks invers, Anda perlu mencari determinan matriks tersebut A. Kami menemukan dengan aturan segitiga:

Oleh karena itu, matriks A– non-singular (non-degenerasi, non-singular) dan ada kebalikannya.

Mari kita cari matriks yang bersekutu dengan matriks ini A.

Mari kita cari matriks yang ditransposisikan terhadap matriks tersebut A:

Kami menghitung elemen-elemen matriks gabungan sebagai komplemen aljabar dari matriks yang ditransposisikan terhadap matriks tersebut A:

Oleh karena itu, matriks bersekutu dengan matriks A, memiliki formulir

Komentar. Urutan penghitungan elemen dan transposisi matriks mungkin berbeda. Pertama-tama Anda dapat menghitung komplemen aljabar matriks A, lalu transpos matriks komplemen aljabar. Hasilnya harus berupa elemen matriks gabungan yang sama.

Dengan menerapkan rumus (2), kita menemukan invers matriks terhadap matriks tersebut A:

Menemukan matriks invers menggunakan metode eliminasi Gaussian yang tidak diketahui

Langkah pertama untuk mencari matriks invers menggunakan metode eliminasi Gaussian adalah menugaskan matriks tersebut A matriks identitas dengan orde yang sama, pisahkan dengan garis vertikal. Kami akan mendapatkan matriks ganda. Kalikan kedua ruas matriks ini dengan , lalu kita peroleh

,

Algoritma mencari matriks invers menggunakan metode eliminasi Gaussian yang tidak diketahui

1. Ke matriks A menetapkan matriks identitas dengan ordo yang sama.

2. Transformasikan matriks ganda yang dihasilkan sehingga pada ruas kiri diperoleh matriks satuan, kemudian pada ruas kanan, sebagai pengganti matriks identitas, otomatis diperoleh matriks invers. Matriks A di sisi kiri diubah menjadi matriks identitas dengan transformasi matriks dasar.

2. Jika sedang dalam proses transformasi matriks A dalam matriks identitas hanya akan ada nol pada setiap baris atau kolom, maka determinan matriks tersebut sama dengan nol, dan akibatnya matriks tersebut A akan berbentuk tunggal dan tidak mempunyai matriks invers. Dalam hal ini, penentuan lebih lanjut dari matriks invers berhenti.

Contoh 2. Untuk matriks

carilah matriks inversnya.

dan kita akan mengubahnya sehingga di sisi kiri kita mendapatkan matriks identitas. Kami memulai transformasi.

Kalikan baris pertama matriks kiri dan kanan dengan (-3) dan tambahkan ke baris kedua, lalu kalikan baris pertama dengan (-4) dan tambahkan ke baris ketiga, maka kita dapatkan

.

Untuk memastikan tidak ada bilangan pecahan pada transformasi selanjutnya, pertama-tama mari kita buat satuan pada baris kedua di sisi kiri matriks ganda. Caranya, kalikan baris kedua dengan 2 dan kurangi baris ketiga, lalu kita dapatkan

.

Mari kita tambahkan baris pertama dengan baris kedua, lalu kalikan baris kedua dengan (-9) dan tambahkan dengan baris ketiga. Lalu kita dapatkan

.

Bagilah baris ketiga dengan 8, lalu

.

Kalikan baris ketiga dengan 2 dan tambahkan ke baris kedua. Ternyata:

.

Mari kita tukar baris kedua dan ketiga, akhirnya kita mendapatkan:

.

Kita melihat bahwa di sisi kiri kita mempunyai matriks identitas, oleh karena itu, di sisi kanan kita memiliki matriks invers. Dengan demikian:

.

Anda dapat memeriksa kebenaran perhitungan dengan mengalikan matriks asli dengan matriks invers yang ditemukan:

Hasilnya harus berupa matriks terbalik.

Contoh 3. Untuk matriks

carilah matriks inversnya.

Larutan. Menyusun matriks ganda

dan kami akan mengubahnya.

Kita kalikan baris pertama dengan 3, dan baris kedua dengan 2, lalu kurangi baris kedua, lalu kita kalikan baris pertama dengan 5, dan baris ketiga dengan 2, dan kurangi baris ketiga, maka kita peroleh

.

Kita kalikan baris pertama dengan 2 dan tambahkan ke baris kedua, lalu kurangi baris kedua dari baris ketiga, lalu kita dapatkan

.

Kita melihat bahwa pada baris ketiga di sisi kiri semua elemen sama dengan nol. Oleh karena itu, matriksnya berbentuk tunggal dan tidak mempunyai matriks invers. Kami berhenti menemukan maritz terbalik.

Matriks $A^(-1)$ disebut invers matriks persegi $A$ jika kondisi $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ terpenuhi, dimana $E$ adalah matriks identitas yang ordenya sama dengan orde matriks $A$.

Matriks tak tunggal adalah matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. Dengan demikian, matriks singular adalah matriks yang determinannya sama dengan nol.

Matriks invers $A^(-1)$ ada jika dan hanya jika matriks $A$ non-singular. Jika matriks invers $A^(-1)$ ada, maka matriks tersebut unik.

Ada beberapa cara untuk mencari invers suatu matriks, dan kita akan melihat dua di antaranya. Halaman ini akan membahas metode matriks adjoin, yang dianggap standar di sebagian besar mata kuliah matematika tingkat tinggi. Metode kedua untuk mencari matriks invers (metode transformasi elementer), yaitu menggunakan metode Gauss atau metode Gauss-Jordan, dibahas pada bagian kedua.

Metode matriks adjoin

Biarkan matriks $A_(n\times n)$ diberikan. Untuk mencari matriks invers $A^(-1)$, diperlukan tiga langkah:

1. Temukan determinan matriks $A$ dan pastikan bahwa $\Delta A\neq 0$, mis. bahwa matriks A adalah non-singular.
2. Buatlah komplemen aljabar $A_(ij)$ dari setiap elemen matriks $A$ dan tuliskan matriks $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ dari hasil aljabar yang ditemukan pelengkap.
3. Tulis matriks invers dengan menggunakan rumus $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matriks $(A^(*))^T$ sering disebut adjoint (timbal balik, bersekutu) dengan matriks $A$.

Jika penyelesaiannya dilakukan secara manual, maka cara pertama hanya baik untuk matriks dengan orde yang relatif kecil: kedua (), ketiga (), keempat (). Untuk mencari invers matriks orde tinggi, digunakan metode lain. Misalnya metode Gaussian yang dibahas pada bagian kedua.

Contoh No.1

Cari invers dari matriks $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 & - 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \kanan)$.

Karena semua elemen kolom keempat sama dengan nol, maka $\Delta A=0$ (yaitu matriks $A$ berbentuk tunggal). Karena $\Delta A=0$, tidak ada matriks invers ke matriks $A$.

Contoh No.2

Cari invers dari matriks $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Kami menggunakan metode matriks adjoint. Pertama, cari determinan matriks $A$:

$$ \Delta A=\kiri| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Karena $\Delta A \neq 0$, maka matriks inversnya ada, oleh karena itu kita akan melanjutkan penyelesaiannya. Menemukan komplemen aljabar

\mulai(sejajar) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(sejajar)

Kita membuat matriks penjumlahan aljabar: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Kita transposisi matriks yang dihasilkan: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the matriks yang dihasilkan sering disebut matriks adjoint atau sekutu terhadap matriks $A$). Dengan menggunakan rumus $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, kita mendapatkan:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \kiri(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\kanan) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Jadi, matriks inversnya ditemukan: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\kanan) $. Untuk memeriksa kebenaran hasilnya, cukup dengan memeriksa kebenaran salah satu persamaan: $A^(-1)\cdot A=E$ atau $A\cdot A^(-1)=E$. Mari kita periksa persamaan $A^(-1)\cdot A=E$. Agar lebih sedikit mengerjakan pecahan, kita akan mengganti matriks $A^(-1)$ bukan dalam bentuk $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, dan dalam bentuk $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\kanan)$:

Menjawab: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Contoh No.3

Carilah matriks invers dari matriks tersebut $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ .

Mari kita mulai dengan menghitung determinan matriks $A$. Jadi, determinan matriks $A$ adalah:

$$ \Delta A=\kiri| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \kanan| = 18-36+56-12=26. $$

Karena $\Delta A\neq 0$, maka matriks inversnya ada, oleh karena itu kita akan melanjutkan penyelesaiannya. Kami menemukan komplemen aljabar dari setiap elemen matriks tertentu:

Kami membuat matriks penjumlahan aljabar dan mengubah urutannya:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \kanan); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \kanan) $$

Dengan menggunakan rumus $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, kita peroleh:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \kiri(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \kanan)= \kiri(\begin(array) (ccc) 13/3 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \kanan) $$

Jadi $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 13/3 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \kanan)$. Untuk memeriksa kebenaran hasilnya, cukup dengan memeriksa kebenaran salah satu persamaan: $A^(-1)\cdot A=E$ atau $A\cdot A^(-1)=E$. Mari kita periksa persamaan $A\cdot A^(-1)=E$. Agar lebih sedikit mengerjakan pecahan, kita akan mensubstitusi matriks $A^(-1)$ bukan dalam bentuk $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, dan dalam bentuk $\frac(1)(26 )\cdot \kiri( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \kanan)$:

Pengecekan berhasil, matriks invers $A^(-1)$ ditemukan dengan benar.

Menjawab: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 13/3 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \kanan)$.

Contoh No.4

Mencari invers matriks dari matriks $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \kanan)$.

Untuk matriks orde keempat, mencari matriks invers menggunakan penjumlahan aljabar agak sulit. Namun, contoh seperti itu memang terjadi di kertas ujian.

Untuk mencari invers suatu matriks, pertama-tama Anda perlu menghitung determinan matriks $A$. Cara terbaik untuk melakukan hal ini dalam situasi ini adalah dengan memperluas determinan sepanjang baris (kolom). Kami memilih baris atau kolom mana pun dan menemukan komplemen aljabar dari setiap elemen baris atau kolom yang dipilih.

Definisi 1: suatu matriks disebut tunggal jika determinannya sama dengan nol.

Definisi 2: suatu matriks disebut non-singular jika determinannya tidak sama dengan nol.

Matriks "A" disebut matriks terbalik, jika kondisi A*A-1 = A-1 *A = E (matriks satuan) terpenuhi.

Matriks persegi hanya dapat dibalik jika matriks tersebut non-tunggal.

Skema penghitungan matriks invers:

1) Hitung determinan matriks "A" jika ∆ A = 0, maka matriks inversnya tidak ada.

2) Temukan semua komplemen aljabar matriks "A".

3) Membuat matriks penjumlahan aljabar (Aij)

4) Transpos matriks komplemen aljabar (Aij )T

5) Kalikan matriks yang ditransposisikan dengan invers determinan matriks tersebut.

6) Lakukan pemeriksaan:

Sekilas mungkin terlihat rumit, namun nyatanya semuanya sangat sederhana. Semua penyelesaian didasarkan pada operasi aritmatika sederhana, hal utama dalam penyelesaiannya adalah jangan sampai tertukar dengan tanda “-” dan “+” dan jangan sampai hilang.

Sekarang mari kita selesaikan masalah praktis bersama-sama dengan menghitung matriks invers.

Tugas: mencari invers matriks “A” seperti pada gambar di bawah ini:

1. Hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari determinan matriks "A":

Penjelasan:

Kami telah menyederhanakan determinan kami menggunakan fungsi dasarnya. Pertama, kita menambahkan elemen baris pertama ke baris ke-2 dan ke-3, dikalikan dengan satu angka.

Kedua, kita mengubah kolom determinan ke-2 dan ke-3, dan sesuai dengan propertinya, kita mengubah tanda di depannya.

Ketiga, kita hilangkan faktor persekutuan (-1) pada baris kedua, sehingga mengubah tandanya lagi, dan menjadi positif. Kami juga menyederhanakan baris 3 dengan cara yang sama seperti di awal contoh.

Kita mempunyai determinan segitiga yang elemen-elemennya di bawah diagonalnya sama dengan nol, dan berdasarkan sifat 7 sama dengan hasil kali elemen-elemen diagonalnya. Pada akhirnya kami mendapatkannya ∆ A = 26, maka matriks inversnya ada.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Langkah selanjutnya adalah menyusun matriks dari penjumlahan yang dihasilkan:

5. Kalikan matriks ini dengan invers determinannya, yaitu dengan 1/26:

6. Sekarang kita hanya perlu memeriksa:

Selama pengujian, kami menerima matriks identitas, oleh karena itu, penyelesaian dilakukan dengan benar.

2 cara menghitung matriks invers.

1. Transformasi matriks dasar

2. Matriks terbalik melalui konverter dasar.

Transformasi matriks dasar meliputi:

1. Mengalikan suatu string dengan bilangan yang tidak sama dengan nol.

2. Menambah suatu baris pada suatu baris, dikalikan dengan sebuah angka.

3. Tukar baris matriks.

4. Dengan menerapkan rantai transformasi elementer, kita memperoleh matriks lain.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * SEBUAH = E

Mari kita lihat menggunakan contoh praktis dengan bilangan real.

Latihan: Temukan matriks inversnya.

Larutan:

Mari kita periksa:

Sedikit klarifikasi tentang solusinya:

Pertama, kita susun ulang baris 1 dan 2 matriks, lalu kalikan baris pertama dengan (-1).

Setelah itu, baris pertama kita kalikan dengan (-2) dan dijumlahkan dengan baris kedua matriks tersebut. Lalu kita mengalikan baris 2 dengan 1/4.

Tahap akhir transformasi adalah mengalikan baris kedua dengan 2 dan menjumlahkannya dengan baris pertama. Hasilnya, kita mempunyai matriks identitas di sebelah kiri, sehingga matriks inversnya adalah matriks di sebelah kanan.

Setelah diperiksa, kami yakin bahwa keputusan itu benar.

Seperti yang Anda lihat, menghitung matriks invers sangat sederhana.

Di akhir kuliah ini, saya juga ingin meluangkan sedikit waktu untuk membahas sifat-sifat matriks tersebut.

Mari kita lanjutkan pembahasan tentang aksi dengan matriks. Yaitu, selama mempelajari kuliah ini Anda akan mempelajari cara mencari matriks invers. Mempelajari. Meskipun matematika itu sulit.

Apa itu matriks invers? Di sini kita dapat menggambar analogi dengan bilangan terbalik: misalnya bilangan optimis 5 dan bilangan kebalikannya. Hasil kali bilangan-bilangan ini sama dengan satu: . Semuanya serupa dengan matriks! Hasil kali suatu matriks dan matriks inversnya sama dengan – matriks identitas, yang merupakan analog matriks dari satuan numerik. Namun, pertama-tama – mari kita selesaikan masalah praktis yang penting terlebih dahulu, yaitu mempelajari cara mencari matriks invers ini.

Apa yang perlu Anda ketahui dan dapat lakukan untuk mencari matriks invers? Anda harus bisa memutuskan kualifikasi. Anda harus memahami apa itu matriks dan dapat melakukan beberapa tindakan dengan mereka.

Ada dua metode utama untuk mencari matriks invers:
dengan menggunakan penjumlahan aljabar Dan menggunakan transformasi dasar.

Hari ini kita akan mempelajari metode pertama yang lebih sederhana.

Mari kita mulai dengan hal yang paling mengerikan dan tidak dapat dipahami. Mari kita pertimbangkan persegi matriks. Matriks invers dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

Dimana adalah determinan matriks, adalah matriks yang ditransposisikan dari komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.

Konsep matriks invers hanya ada untuk matriks persegi, matriks “dua per dua”, “tiga per tiga”, dll.

Sebutan: Seperti yang mungkin telah Anda ketahui, matriks invers dilambangkan dengan superskrip

Mari kita mulai dengan kasus paling sederhana - matriks dua-dua. Paling sering, tentu saja, "tiga per tiga" diperlukan, namun demikian, saya sangat menyarankan mempelajari tugas yang lebih sederhana untuk memahami prinsip umum solusinya.

Contoh:

Temukan invers suatu matriks

Mari kita putuskan. Akan lebih mudah untuk menguraikan urutan tindakan poin demi poin.

1) Pertama kita mencari determinan matriksnya.

Jika pemahaman Anda tentang tindakan ini kurang baik, bacalah materinya Bagaimana cara menghitung determinannya?

Penting! Jika determinan matriksnya sama dengan NOL– matriks terbalik TIDAK ADA.

Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, ternyata , yang artinya semuanya beres.

2) Temukan matriks anak di bawah umur.

Untuk mengatasi masalah kita tidak perlu mengetahui apa itu anak di bawah umur, namun disarankan untuk membaca artikelnya Cara menghitung determinan.

Matriks minor mempunyai dimensi yang sama dengan matriks, yaitu dalam hal ini.
Satu-satunya hal yang harus dilakukan adalah menemukan empat angka dan menempatkannya di tempat bintang.

Mari kembali ke matriks kita
Mari kita lihat elemen kiri atas terlebih dahulu:

Bagaimana menemukannya kecil?
Dan ini dilakukan seperti ini: SECARA MENTAL mencoret baris dan kolom di mana elemen ini berada:

Jumlah sisanya adalah kecil dari elemen ini, yang kami tulis dalam matriks anak di bawah umur:

Perhatikan elemen matriks berikut:

Coret secara mental baris dan kolom tempat elemen ini muncul:

Yang tersisa adalah minor dari elemen ini, yang kita tuliskan dalam matriks kita:

Demikian pula, kami mempertimbangkan elemen baris kedua dan menemukan minornya:


Siap.

Sederhana saja. Dalam matriks anak di bawah umur yang Anda butuhkan TANDA PERUBAHAN dua angka:

Ini angka-angka yang saya lingkari!

– matriks penjumlahan aljabar dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.

Dan hanya...

4) Temukan matriks transposisi penjumlahan aljabar.

– matriks transposisi komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.

5) Jawaban.

Mari kita ingat rumus kita
Semuanya telah ditemukan!

Jadi matriks inversnya adalah:

Lebih baik biarkan jawabannya apa adanya. TIDAK PERLU bagilah setiap elemen matriks dengan 2, karena hasilnya adalah bilangan pecahan. Nuansa ini dibahas lebih detail di artikel yang sama. Tindakan dengan matriks.

Bagaimana cara memeriksa solusinya?

Anda perlu melakukan perkalian matriks atau

Penyelidikan:

Diterima sudah disebutkan matriks identitas adalah matriks dengan satuan per diagonal utama dan nol di tempat lain.

Dengan demikian, matriks invers ditemukan dengan benar.

Jika Anda melakukan tindakan tersebut, hasilnya juga akan menjadi matriks identitas. Ini adalah salah satu dari sedikit kasus di mana perkalian matriks bersifat komutatif, detail lebih lanjut dapat ditemukan di artikel Sifat-sifat operasi pada matriks. Ekspresi Matriks. Perhatikan juga bahwa selama pemeriksaan, konstanta (pecahan) dimajukan dan diproses di bagian paling akhir - setelah perkalian matriks. Ini adalah teknik standar.

Mari kita beralih ke kasus yang lebih umum dalam praktiknya - matriks tiga kali tiga:

Contoh:

Temukan invers suatu matriks

Algoritmenya persis sama dengan kasus “dua per dua”.

Kita mencari matriks invers menggunakan rumus: , di mana adalah matriks transposisi komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.

1) Temukan determinan matriks.

Di sini determinannya terungkap di baris pertama.

Juga, jangan lupa itu, yang berarti semuanya baik-baik saja - matriks terbalik ada.

2) Temukan matriks anak di bawah umur.

Matriks anak di bawah umur mempunyai dimensi “tiga per tiga” , dan kita perlu menemukan sembilan angka.

Saya akan melihat lebih dekat beberapa anak di bawah umur:

Perhatikan elemen matriks berikut:

SECARA MENTAL coret baris dan kolom tempat elemen ini berada:

Empat bilangan sisanya kita tuliskan pada determinan “dua per dua”.

Penentu dua-dua ini dan adalah minor dari elemen ini. Itu perlu dihitung:


Selesai, minor sudah ditemukan, kita tuliskan ke dalam matriks minor kita:

Seperti yang mungkin Anda duga, Anda perlu menghitung sembilan determinan dua-dua. Prosesnya, tentu saja, membosankan, tapi kasusnya bukan yang paling parah, malah bisa lebih buruk.

Nah, untuk mengkonsolidasikan – temukan anak di bawah umur lainnya di gambar:

Cobalah untuk menghitung sendiri sisa anak di bawah umur.

Hasil akhir:
– matriks minor dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.

Fakta bahwa semua anak di bawah umur ternyata negatif adalah murni kecelakaan.

3) Temukan matriks penjumlahan aljabar.

Dalam matriks anak di bawah umur itu perlu TANDA PERUBAHAN hanya untuk elemen berikut:

Dalam hal ini:

Kami tidak mempertimbangkan untuk mencari matriks invers untuk matriks “empat kali empat”, karena tugas seperti itu hanya dapat diberikan oleh guru yang sadis (agar siswa menghitung satu determinan “empat kali empat” dan 16 determinan “tiga kali tiga” ). Dalam praktik saya, hanya ada satu kasus seperti itu, dan pelanggan tes membayar cukup mahal atas siksaan saya =).

Di sejumlah buku teks dan manual, Anda dapat menemukan pendekatan yang sedikit berbeda untuk mencari matriks invers, namun saya sarankan menggunakan algoritma solusi yang diuraikan di atas. Mengapa? Karena kemungkinan terjadinya kebingungan dalam perhitungan dan tanda jauh lebih kecil.

Mirip dengan kebalikan di banyak properti.

YouTube ensiklopedis

1 / 5

✪ Cara mencari invers suatu matriks - bezbotvy

✪ Matriks terbalik (2 cara mencari)

✪ Matriks terbalik #1

✪ 28-01-2015. Matriks terbalik 3x3

✪ 27-01-2015. Matriks terbalik 2x2

Subtitle

Sifat-sifat matriks invers

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Di mana det (\displaystyle \\det ) menunjukkan determinan.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) untuk dua matriks persegi yang dapat dibalik A (\gaya tampilan A) Dan B (\gaya tampilan B).
• (AT) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Di mana (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) menunjukkan matriks yang ditransposisikan.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) untuk koefisien apa pun k ≠ 0 (\displaystyle k\tidak =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Jika perlu menyelesaikan sistem persamaan linier, (b adalah vektor bukan nol) di mana x (\gaya tampilan x) adalah vektor yang diinginkan, dan jika A − 1 (\gaya tampilan A^(-1)) ada, kalau begitu x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Jika tidak, maka dimensi ruang solusi lebih besar dari nol, atau tidak ada solusi sama sekali.

Metode untuk mencari matriks invers

Jika matriksnya dapat dibalik, maka untuk mencari matriks inversnya dapat menggunakan salah satu cara berikut:

Metode eksak (langsung).

Metode Gauss-Jordan

Mari kita ambil dua matriks: the A dan lajang E. Mari kita sajikan matriksnya A ke matriks identitas menggunakan metode Gauss-Jordan, menerapkan transformasi sepanjang baris (Anda juga dapat menerapkan transformasi sepanjang kolom, tetapi tidak dicampur). Setelah menerapkan setiap operasi pada matriks pertama, terapkan operasi yang sama pada matriks kedua. Ketika reduksi matriks pertama menjadi bentuk satuan selesai, matriks kedua akan sama dengan SEBUAH−1.

Bila menggunakan metode Gaussian, matriks pertama akan dikalikan di sebelah kiri dengan salah satu matriks elementer Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(matriks transveksi atau diagonal dengan matriks pada diagonal utama, kecuali satu posisi):

Matriks kedua setelah menerapkan semua operasi akan sama dengan Λ (\displaystyle \Lambda), yaitu, itu akan menjadi yang diinginkan. Kompleksitas algoritma - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Menggunakan matriks komplemen aljabar

Matriks kebalikan dari matriks A (\gaya tampilan A), dapat direpresentasikan dalam bentuk

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Di mana adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matriks adjoin;

Kompleksitas algoritma bergantung pada kompleksitas algoritma untuk menghitung determinan O det dan sama dengan O(n²)·O det.

Menggunakan Dekomposisi LU/LUP

Persamaan matriks A X = Saya n (\displaystyle AX=I_(n)) untuk matriks invers X (\gaya tampilan X) dapat dianggap sebagai koleksi n (\gaya tampilan n) sistem formulir A x = b (\gaya tampilan Ax=b). Mari kita tunjukkan saya (\gaya tampilan i) kolom matriks X (\gaya tampilan X) melalui X saya (\gaya tampilan X_(i)); Kemudian A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ltitik ,n),Karena saya (\gaya tampilan i) kolom matriks Saya n (\displaystyle I_(n)) adalah vektor satuan e i (\displaystyle e_(i)). dengan kata lain, mencari matriks invers berarti menyelesaikan n persamaan dengan matriks yang sama dan ruas kanan yang berbeda. Setelah melakukan dekomposisi LUP (waktu O(n³), menyelesaikan masing-masing n persamaan membutuhkan waktu O(n²), sehingga bagian pekerjaan ini juga memerlukan waktu O(n³).

Jika matriks A nonsingular, maka dekomposisi LUP dapat dihitung PA = LU (\displaystyle PA=LU). Membiarkan PA = B (\gaya tampilan PA=B), B − 1 = D (\gaya tampilan B^(-1)=D). Kemudian dari sifat-sifat matriks invers kita dapat menulis: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Jika Anda mengalikan persamaan ini dengan U dan L, Anda akan mendapatkan dua persamaan bentuk UD = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Dan D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Persamaan pertama adalah sistem persamaan linier n² untuk n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) yang sisi kanannya diketahui (dari sifat-sifat matriks segitiga). Yang kedua juga mewakili sistem persamaan linear n² untuk n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) yang diketahui sisi kanannya (juga dari sifat-sifat matriks segitiga). Bersama-sama mereka mewakili sistem persamaan n². Dengan menggunakan persamaan tersebut, kita dapat menentukan secara rekursif seluruh n² elemen matriks D. Kemudian dari persamaan (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. kita memperoleh persamaan tersebut A − 1 = DP (\displaystyle A^(-1)=DP).

Dalam hal menggunakan dekomposisi LU, permutasi kolom matriks D tidak diperlukan, tetapi solusinya mungkin berbeda meskipun matriks A non-singular.

Kompleksitas algoritmanya adalah O(n³).

Metode berulang

metode Schultz

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\jumlah _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(kasus)))

Perkiraan kesalahan

Memilih Pendekatan Awal

Masalah pemilihan perkiraan awal dalam proses inversi matriks berulang yang dipertimbangkan di sini tidak memungkinkan kita untuk memperlakukannya sebagai metode universal independen yang bersaing dengan metode inversi langsung, misalnya, berdasarkan dekomposisi matriks LU. Ada beberapa rekomendasi untuk memilih kamu 0 (\gaya tampilan U_(0)), memastikan terpenuhinya kondisi ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (jari-jari spektral matriks kurang dari satu), yang diperlukan dan cukup untuk konvergensi proses. Namun dalam hal ini, pertama-tama perlu diketahui dari atas estimasi spektrum matriks A atau matriks yang dapat dibalik. AT (\displaystyle AA^(T))(yaitu, jika A adalah matriks definit positif simetris dan ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), lalu kamu bisa mengambilnya kamu 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Di mana ; jika A adalah matriks non-tunggal sembarang dan ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), lalu mereka percaya U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), dimana juga α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \di \kiri(0,(\frac (2)(\beta ))\kanan)); Anda tentu saja dapat menyederhanakan situasi dan memanfaatkan fakta tersebut ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), meletakkan U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Kedua, ketika menentukan matriks awal dengan cara ini, tidak ada jaminan bahwa ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) akan menjadi kecil (bahkan mungkin akan menjadi kecil ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), dan tingkat konvergensi tingkat tinggi tidak akan segera terungkap.

Contoh

Matriks 2x2

(\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(iklan- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).) Inversi matriks 2x2 hanya dimungkinkan jika.