Distribusi variabel acak diskrit x diberikan dalam tabel. Hukum distribusi hipergeometri

Definisi 2.3. Suatu variabel acak, dilambangkan dengan X, disebut diskrit jika variabel tersebut mempunyai himpunan nilai yang berhingga atau dapat dihitung, yaitu. himpunan – himpunan berhingga atau dapat dihitung.

Mari kita perhatikan contoh variabel acak diskrit.

1. Dua buah uang logam dilempar satu kali. Banyaknya emblem pada percobaan ini merupakan variabel acak X. Nilai yang mungkin adalah 0,1,2, mis. – himpunan berhingga.

2. Jumlah panggilan ambulans dalam jangka waktu tertentu dicatat. Variabel acak X– jumlah panggilan. Nilai yang mungkin adalah 0, 1, 2, 3, ..., mis. =(0,1,2,3,...) adalah himpunan terhitung.

3. Ada 25 siswa dalam kelompok tersebut. Pada hari tertentu, jumlah siswa yang datang ke kelas dicatat – variabel acak X. Nilai yang mungkin: 0, 1, 2, 3, ...,25 yaitu. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Meskipun semua 25 orang dalam contoh 3 tidak boleh melewatkan kelas, variabel acak X dapat mengambil nilai ini. Artinya nilai suatu variabel acak mempunyai probabilitas yang berbeda-beda.

Mari kita pertimbangkan model matematika dari variabel acak diskrit.

Biarkan percobaan acak dilakukan, yang sesuai dengan ruang kejadian dasar yang terbatas atau dapat dihitung. Mari kita pertimbangkan pemetaan ruang ini ke dalam himpunan bilangan real, yaitu, mari kita tetapkan bilangan real tertentu pada setiap kejadian dasar, . Himpunan bilangan dapat berhingga atau dapat dihitung, yaitu. atau

Sistem himpunan bagian, yang mencakup himpunan bagian apa pun, termasuk himpunan bagian satu titik, membentuk -aljabar dari himpunan numerik ( – berhingga atau dapat dihitung).

Karena setiap kejadian dasar dikaitkan dengan probabilitas tertentu pi saya(dalam kasus segalanya berhingga), dan , maka setiap nilai variabel acak dapat dikaitkan dengan probabilitas tertentu pi saya, seperti yang .

Membiarkan X adalah bilangan real sembarang. Mari kita tunjukkan R X (x) probabilitas bahwa variabel acak X mengambil nilai yang sama dengan X, yaitu. P X (x)=P(X=x). Lalu fungsinya R X (x) dapat mengambil nilai positif hanya untuk nilai tersebut X, yang termasuk dalam himpunan berhingga atau dapat dihitung , dan untuk semua nilai lainnya probabilitas nilai ini P X (x)=0.

Jadi, kita telah mendefinisikan himpunan nilai, -aljabar sebagai sistem himpunan bagian apa pun dan untuk setiap kejadian ( x = x) membandingkan probabilitasnya untuk apa pun, mis. membangun ruang probabilitas.

Misalnya, ruang kejadian dasar suatu percobaan yang terdiri dari pelemparan sebuah koin simetris dua kali terdiri dari empat kejadian dasar: , di mana

Ketika koin dilempar dua kali, muncul dua ekor; ketika uang logam dilempar dua kali, dua lambang jatuh;

Pada pelemparan koin pertama, muncul hash, dan pada pelemparan kedua, lambang;

Pada pelemparan koin pertama, lambang muncul, dan pada pelemparan kedua, sebuah hash.

Biarkan variabel acak X– jumlah putus sekolah. Itu didefinisikan pada dan himpunan nilainya . Semua himpunan bagian yang mungkin, termasuk himpunan titik tunggal, membentuk aljabar, mis. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Probabilitas suatu kejadian ( X=x saya}, і = 1,2,3, kita definisikan sebagai peluang terjadinya suatu peristiwa yang merupakan prototipenya:

Jadi, pada kejadian dasar ( X = xi) mengatur fungsi numerik Rx, Jadi .

Definisi 2.4. Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah himpunan pasangan bilangan (xi, р i), di mana x i adalah nilai kemungkinan dari variabel acak tersebut, dan р i adalah probabilitas yang mengambil nilai-nilai tersebut, dan .

Bentuk paling sederhana untuk menentukan hukum distribusi variabel acak diskrit adalah tabel yang mencantumkan kemungkinan nilai variabel acak dan probabilitas yang sesuai:

			…		…
			…		…

Tabel seperti ini disebut deret distribusi. Untuk memberikan tampilan yang lebih visual pada rangkaian distribusi, digambarkan secara grafis: pada sumbu Oh titik x saya dan menggambar garis tegak lurus dengan panjangnya pi saya. Titik-titik yang dihasilkan dihubungkan dan diperoleh poligon, yang merupakan salah satu bentuk hukum distribusi (Gbr. 2.1).

Jadi, untuk menentukan variabel acak diskrit, Anda perlu menentukan nilainya dan probabilitas yang sesuai.

Contoh 2.2. Slot uang tunai pada mesin dipicu setiap kali koin dimasukkan dengan probabilitas R. Setelah dipicu, koin tidak turun. Membiarkan X– jumlah koin yang harus dimasukkan sebelum slot uang tunai mesin terpicu. Membangun serangkaian distribusi variabel acak diskrit X.

Larutan. Nilai yang mungkin dari variabel acak X: x 1 = 1, x 2 = 2,..., xk = k, ... Mari kita cari probabilitas dari nilai-nilai ini: hal 1– probabilitas bahwa penerima uang akan beroperasi pada kali pertama diturunkan, dan hal 1 = hal; hal 2 – probabilitas bahwa dua percobaan akan dilakukan. Untuk melakukan ini, perlu: 1) penerima uang tidak berfungsi pada upaya pertama; 2) pada percobaan kedua berhasil. Peluang kejadian ini adalah (1–р)р. Juga dan sebagainya, . Rentang distribusi X akan mengambil formulir tersebut

	1	2	3	…	Ke	…
	R	qp	q 2 hal		q r -1 hal

Perhatikan bahwa probabilitasnya r k membentuk barisan geometri dengan penyebutnya: 1–p=q, Q<1, oleh karena itu distribusi probabilitas ini disebut geometris.

Mari kita asumsikan lebih lanjut bahwa model matematika telah dibangun percobaan yang dijelaskan oleh variabel acak diskrit X, dan pertimbangkan untuk menghitung probabilitas terjadinya peristiwa sewenang-wenang.

Misalkan suatu kejadian sembarang mengandung himpunan nilai yang terbatas atau dapat dihitung x saya: SEBUAH= {x 1, x 2,..., x saya, ...) .Peristiwa A dapat direpresentasikan sebagai gabungan peristiwa-peristiwa yang tidak kompatibel dalam bentuk: . Kemudian, menggunakan aksioma Kolmogorov 3 , kita dapatkan

karena kita telah menentukan peluang terjadinya suatu peristiwa sama dengan peluang terjadinya peristiwa yang merupakan prototipenya. Artinya kemungkinan terjadinya suatu kejadian , , dapat dihitung dengan menggunakan rumus, karena kejadian ini dapat direpresentasikan dalam bentuk gabungan kejadian, dimana .

Kemudian fungsi distribusi F(x) = P(–<Х<х) ditemukan oleh rumus. Oleh karena itu fungsi distribusi variabel acak diskrit X terputus-putus dan meningkat dalam lompatan, yaitu fungsi langkah (Gbr. 2.2):

Jika himpunan berhingga, maka banyaknya suku dalam rumus tersebut juga berhingga, tetapi jika himpunan tersebut dapat dihitung, maka jumlah sukunya pun dapat dihitung.

Contoh 2.3. Perangkat teknis terdiri dari dua elemen yang beroperasi secara independen satu sama lain. Peluang kegagalan elemen pertama selama waktu T adalah 0,2, dan peluang kegagalan elemen kedua adalah 0,1. Variabel acak X– jumlah elemen yang gagal selama waktu T. Temukan fungsi distribusi variabel acak dan buat grafiknya.

Larutan. Ruang kejadian dasar suatu percobaan yang terdiri dari mempelajari keandalan dua elemen suatu perangkat teknis ditentukan oleh empat kejadian dasar , , , : – kedua elemen tersebut operasional; – elemen pertama berfungsi, elemen kedua rusak; – elemen pertama rusak, elemen kedua berfungsi; – kedua elemen rusak. Masing-masing peristiwa dasar dapat dinyatakan melalui peristiwa dasar ruang Dan , dimana – elemen pertama beroperasi; – elemen pertama gagal; – elemen kedua berfungsi; – elemen kedua gagal. Kemudian, dan karena elemen-elemen perangkat teknis bekerja secara independen satu sama lain, maka

8. Berapa peluang bahwa nilai suatu variabel acak diskrit termasuk dalam interval tersebut?

Seperti diketahui, variabel acak disebut besaran variabel yang dapat mengambil nilai tertentu tergantung pada kasusnya. Variabel acak dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin (X, Y, Z), dan nilainya dilambangkan dengan huruf kecil yang sesuai (x, y, z). Variabel acak dibagi menjadi diskontinyu (diskrit) dan kontinu.

Variabel acak diskrit adalah variabel acak yang hanya mengambil himpunan nilai berhingga atau tak terhingga (dapat dihitung) dengan probabilitas tertentu yang bukan nol.

Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah fungsi yang menghubungkan nilai-nilai variabel acak dengan probabilitasnya yang bersesuaian. Hukum distribusi dapat ditentukan dengan salah satu cara berikut.

1 . Hukum distribusi dapat diberikan dalam tabel:

dimana λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) dengan menggunakan fungsi distribusi F(x) , yang menentukan untuk setiap nilai x probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai kurang dari x, yaitu. F(x) = P(X< x).

Sifat-sifat fungsi F(x)

3 . Hukum distribusi dapat ditentukan secara grafis – poligon distribusi (poligon) (lihat soal 3).

Perhatikan bahwa untuk menyelesaikan beberapa masalah tidak perlu mengetahui hukum distribusi. Dalam beberapa kasus, cukup mengetahui satu atau beberapa angka yang mencerminkan ciri terpenting hukum distribusi. Ini bisa berupa angka yang memiliki arti “nilai rata-rata” dari suatu variabel acak, atau angka yang menunjukkan besarnya rata-rata deviasi suatu variabel acak dari nilai rata-ratanya.

Bilangan semacam ini disebut ciri numerik suatu variabel acak. :

Karakteristik numerik dasar dari variabel acak diskrit Harapan matematis (nilai rata-rata) dari variabel acak diskrit.
M(X)=Σ x saya p saya
Untuk distribusi binomial M(X)=np, untuk distribusi Poisson M(X)=λ Penyebaran variabel acak diskrit D(X)=M2 atau D(X) = M(X 2)− 2
. Selisih X–M(X) disebut deviasi suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya.
Untuk distribusi binomial D(X)=npq, untuk distribusi Poisson D(X)=λ Deviasi standar (deviasi standar).

σ(X)=√D(X)

Contoh penyelesaian masalah pada topik “Hukum distribusi variabel acak diskrit”

1000 tiket lotre diterbitkan: 5 di antaranya akan memenangkan 500 rubel, 10 akan memenangkan 100 rubel, 20 akan memenangkan 50 rubel, 50 akan memenangkan 10 rubel. Tentukan hukum distribusi probabilitas dari variabel acak X - kemenangan per tiket.

Larutan. Menurut kondisi soal, nilai variabel acak X berikut ini mungkin: 0, 10, 50, 100, dan 500.

Banyaknya tiket tanpa kemenangan adalah 1000 – (5+10+20+50) = 915, maka P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Demikian pula, kita menemukan semua probabilitas lainnya: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Mari kita sajikan hukum yang dihasilkan dalam bentuk tabel:

Mari kita cari ekspektasi matematis dari nilai X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tugas 3.

Perangkat ini terdiri dari tiga elemen yang beroperasi secara independen.

Larutan. 1. Peluang kegagalan setiap elemen dalam satu percobaan adalah 0,1. Buatlah hukum distribusi jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan, buatlah poligon distribusi. Temukan fungsi distribusi F(x) dan plotlah. Temukan ekspektasi matematis, varians, dan deviasi standar dari variabel acak diskrit.

Variabel acak diskrit X = (jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan) memiliki kemungkinan nilai berikut: x 1 = 0 (tidak ada elemen perangkat yang gagal), x 2 = 1 (satu elemen gagal), x 3 = 2 ( dua elemen gagal ) dan x 4 =3 (tiga elemen gagal). Kegagalan elemen tidak bergantung satu sama lain, kemungkinan kegagalan setiap elemen adalah sama, oleh karena itu dapat diterapkan rumus Bernoulli
. Mengingat, berdasarkan kondisi, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, kita menentukan probabilitas nilai:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;

Periksa: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Jadi, hukum distribusi binomial X yang diinginkan berbentuk:

3. Kami memplot kemungkinan nilai x i sepanjang sumbu absis, dan probabilitas p i yang sesuai sepanjang sumbu ordinat. Mari kita buat poin M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Dengan menghubungkan titik-titik tersebut dengan ruas garis lurus, diperoleh poligon distribusi yang diinginkan.

Mari kita cari fungsi distribusi F(x) = Р(Х<0) = 0;
Untuk x ≤ 0 kita mempunyai F(x) = Р(Х< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
untuk 0< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
untuk 1< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
untuk 2

untuk x > 3 maka F(x) = 1, karena acara tersebut dapat diandalkan.

4. Grafik fungsi F(x)
Untuk distribusi binomial X:
- varians D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- simpangan baku σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Kita dapat menyoroti hukum distribusi variabel acak diskrit yang paling umum:

Hukum distribusi binomial
hukum distribusi Poisson
Hukum distribusi geometris
Hukum distribusi hipergeometri

Untuk distribusi variabel acak diskrit tertentu, perhitungan probabilitas nilainya, serta karakteristik numerik (ekspektasi matematis, varians, dll.) dilakukan dengan menggunakan “rumus” tertentu. Oleh karena itu, sangat penting untuk mengetahui jenis-jenis distribusi dan sifat dasarnya.

1. Hukum distribusi binomial.

Variabel acak diskrit $X$ tunduk pada hukum distribusi probabilitas binomial jika mengambil nilai $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ dengan probabilitas $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\kiri(1-p\kanan))^(n-k)$. Faktanya, variabel acak $X$ adalah jumlah kemunculan peristiwa $A$ dalam uji coba independen $n$. Hukum distribusi probabilitas variabel acak $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \titik & n \\
\hline
p_i & P_n\kiri(0\kanan) & P_n\kiri(1\kanan) & \titik & P_n\kiri(n\kanan) \\
\hline
\end(array)$

Untuk variabel acak seperti itu, ekspektasi matematisnya adalah $M\left(X\right)=np$, variansnya adalah $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Contoh . Keluarga itu memiliki dua anak. Dengan asumsi peluang mempunyai anak laki-laki dan perempuan sama dengan $0,5$, carilah hukum distribusi variabel acak $\xi$ - jumlah anak laki-laki dalam keluarga.

Misalkan variabel acak $\xi $ adalah jumlah anak laki-laki dalam keluarga. Nilai yang dapat diambil $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$. Probabilitas nilai-nilai ini dapat ditemukan menggunakan rumus $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, dimana $n =2$ adalah jumlah percobaan independen, $p=0.5$ adalah probabilitas suatu kejadian terjadi dalam serangkaian $n$ percobaan. Kami mendapatkan:

$P\kiri(\xi =0\kanan)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\kiri(1-0,5\kanan))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\kiri(\xi =1\kanan)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\kiri(1-0,5\kanan))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$

$P\kiri(\xi =2\kanan)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\kiri(1-0,5\kanan))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$

Maka hukum distribusi variabel acak $\xi $ adalah korespondensi antara nilai $0,\ 1,\ 2$ dan probabilitasnya, yaitu:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(array)$

Jumlah probabilitas dalam hukum distribusi harus sama dengan $1$, yaitu $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.

Harapan $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varians $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0,5=0,5$, deviasi standar $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\kira-kira $0,707.

2. Hukum distribusi Poisson.

Jika variabel acak diskrit $X$ hanya dapat mengambil nilai bilangan bulat non-negatif $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ dengan probabilitas $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Komentar. Keunikan distribusi ini adalah, berdasarkan data eksperimen, kita menemukan perkiraan $M\kiri(X\kanan),\ D\kiri(X\kanan)$, jika perkiraan yang diperoleh berdekatan, maka kita punya alasan untuk menyatakan bahwa variabel acak tunduk pada hukum distribusi Poisson.

Contoh . Contoh variabel acak yang tunduk pada hukum distribusi Poisson dapat berupa: jumlah mobil yang akan dilayani oleh sebuah SPBU besok; jumlah item cacat dalam produk yang diproduksi.

Contoh . Pabrik mengirimkan produk senilai $500 ke pangkalan. Kemungkinan kerusakan pada produk dalam perjalanan adalah $0,002$. Temukan hukum distribusi variabel acak $X$ yang sama dengan jumlah produk rusak; apa itu $M\kiri(X\kanan),\ D\kiri(X\kanan)$.

Misalkan variabel acak diskrit $X$ adalah jumlah produk yang rusak. Variabel acak seperti itu tunduk pada hukum distribusi Poisson dengan parameter $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Probabilitas nilainya sama dengan $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\kiri(X=0\kanan)=((1^0)\lebih (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\kiri(X=1\kanan)=((1^1)\lebih (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\kiri(X=2\kanan)=((1^2)\lebih (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\kiri(X=3\kanan)=((1^3)\lebih (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\kiri(X=4\kanan)=((1^4)\lebih (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\kiri(X=5\kanan)=((1^5)\lebih (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\kiri(X=6\kanan)=((1^6)\lebih (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\kiri(X=k\kanan)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Hukum distribusi variabel acak $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$

Untuk variabel acak seperti itu, ekspektasi dan varians matematisnya sama satu sama lain dan sama dengan parameter $\lambda $, yaitu $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. Hukum distribusi geometri.

Jika variabel acak diskrit $X$ hanya dapat mengambil nilai natural $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ dengan probabilitas $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) kanan)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, maka mereka mengatakan bahwa variabel acak $X$ tunduk pada hukum geometri distribusi probabilitas. Faktanya, distribusi geometri merupakan uji Bernoulli hingga keberhasilan pertama.

Contoh . Contoh variabel acak yang mempunyai sebaran geometri dapat berupa: jumlah tembakan sebelum sasaran pertama mengenai sasaran; jumlah pengujian perangkat hingga kegagalan pertama; jumlah pelemparan koin sampai muncul kepala pertama, dan seterusnya.

Ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak yang tunduk pada distribusi geometri masing-masing sama dengan $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ $2.

Contoh . Dalam perjalanan ikan menuju tempat pemijahan terdapat gembok $4$. Peluang ikan melewati setiap gerbang adalah $p=3/5$. Buatlah rangkaian distribusi variabel acak $X$ - jumlah gembok yang dilewati ikan sebelum penahanan pertama pada gembok tersebut. Temukan $M\kiri(X\kanan),\ D\kiri(X\kanan),\ \sigma \kiri(X\kanan)$.

Biarkan variabel acak $X$ menjadi jumlah gembok yang dilewati ikan sebelum penangkapan pertama pada gembok tersebut. Variabel acak seperti itu tunduk pada hukum geometri distribusi probabilitas. Nilai yang dapat diambil oleh variabel acak $X:$1, 2, 3, 4. Probabilitas nilai-nilai ini dihitung menggunakan rumus: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, dimana: $ p=2/5$ - peluang ikan tertahan melalui gembok, $q=1-p=3/5$ - peluang ikan melewati gembok, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\kiri(X=1\kanan)=((2)\lebih dari (5))\cdot (\kiri(((3)\lebih (5))\kanan))^0=((2)\ lebih (5))=0,4;$

$P\kiri(X=2\kanan)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24;

$P\kiri(X=3\kanan)=((2)\lebih (5))\cdot (\kiri(((3)\lebih (5))\kanan))^2=((2)\ lebih (5))\cdot ((9)\lebih (25))=((18)\lebih (125))=0,144;$

$P\kiri(X=4\kanan)=((2)\lebih dari (5))\cdot (\kiri(((3)\lebih (5))\kanan))^3+(\kiri(( (3)\over (5))\kanan))^4=((27)\over (125))=0,216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\kiri(X_i\kanan) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(array)$

Harapan matematis:

$M\kiri(X\kanan)=\jumlah^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Penyebaran:

$D\kiri(X\kanan)=\jumlah^n_(i=1)(p_i(\kiri(x_i-M\kiri(X\kanan)\kanan))^2=)0,4\cdot (\ kiri( 1-2,176\kanan))^2+0,24\cdot (\kiri(2-2,176\kanan))^2+0,144\cdot (\kiri(3-2,176\kanan))^2+$

$+\0,216\cdot (\kiri(4-2,176\kanan))^2\kira-kira 1,377.$

Deviasi standar:

$\sigma \kiri(X\kanan)=\sqrt(D\kiri(X\kanan))=\sqrt(1,377)\kira-kira 1,173.$

4. Hukum distribusi hipergeometri.

Jika objek $N$, di antaranya objek $m$ memiliki properti tertentu. Objek $n$ diambil secara acak tanpa dikembalikan, di antaranya terdapat objek $k$ yang memiliki properti tertentu. Distribusi hipergeometri memungkinkan untuk memperkirakan probabilitas bahwa objek $k$ dalam sampel memiliki properti tertentu. Misalkan variabel acak $X$ adalah jumlah objek dalam sampel yang mempunyai properti tertentu. Maka peluang nilai variabel acak $X$:

$P\kiri(X=k\kanan)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Komentar. Fungsi statistik HYPERGEOMET dari wizard fungsi $f_x$ Excel memungkinkan Anda menentukan probabilitas bahwa sejumlah pengujian tertentu akan berhasil.

$f_x\ke$ statistik$\ke$ HIPERGEOMET$\ke$ OKE. Sebuah kotak dialog akan muncul yang perlu Anda isi. Di kolom Jumlah_kesuksesan_dalam_sampel menunjukkan nilai $k$. ukuran_sampel sama dengan $n$. Di kolom Jumlah_kesuksesan_dalam_bersama menunjukkan nilai $m$. ukuran_populasi sama dengan $N$.

Ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak diskrit $X$, sesuai dengan hukum distribusi geometri, masing-masing sama dengan $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

Contoh . Departemen kredit bank mempekerjakan 5 spesialis dengan pendidikan keuangan tinggi dan 3 spesialis dengan pendidikan hukum tinggi. Manajemen bank memutuskan untuk mengirimkan 3 orang spesialis untuk meningkatkan kualifikasinya, memilih mereka secara acak.

a) Membuat rangkaian distribusi jumlah dokter spesialis dengan pendidikan keuangan tinggi yang dapat dikirim untuk meningkatkan keterampilannya;

b) Temukan karakteristik numerik dari distribusi ini.

Misalkan variabel acak $X$ adalah jumlah spesialis dengan pendidikan keuangan yang lebih tinggi di antara tiga spesialis yang dipilih. Nilai yang dapat diambil $X: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Variabel acak $X$ ini didistribusikan menurut distribusi hipergeometri dengan parameter berikut: $N=8$ - ukuran populasi, $m=5$ - jumlah keberhasilan dalam populasi, $n=3$ - ukuran sampel, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - jumlah keberhasilan dalam sampel. Maka probabilitas $P\left(X=k\right)$ dapat dihitung dengan rumus: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ lebih dari C_( N)^(n) ) $. Kami memiliki:

$P\kiri(X=0\kanan)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\kira-kira 0,018;$

$P\kiri(X=1\kanan)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\kira-kira 0,268;$

$P\kiri(X=2\kanan)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\kira-kira 0,536;$

$P\kiri(X=3\kanan)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\kira-kira 0,179.$

Kemudian deret distribusi variabel acak $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(array)$

Mari kita menghitung karakteristik numerik dari variabel acak $X$ menggunakan rumus umum distribusi hipergeometri.

$M\kiri(X\kanan)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\kiri(X\kanan)=((nm\kiri(1-((m)\over (N))\kanan)\kiri(1-((n)\over (N))\kanan)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\kanan))\lebih dari (8-1))=((225)\lebih (448))\kira-kira 0,502.$

$\sigma \kiri(X\kanan)=\sqrt(D\kiri(X\kanan))=\sqrt(0,502)\kira-kira 0,7085.$

Definisi 1

Variabel acak $X$ disebut diskrit (diskontinu) jika himpunan nilainya tidak terhingga atau berhingga tetapi dapat dihitung.

Dengan kata lain suatu besaran disebut diskrit jika nilainya dapat diberi nomor.

Variabel acak dapat dijelaskan dengan menggunakan hukum distribusi.

Hukum distribusi variabel acak diskrit $X$ dapat ditentukan dalam bentuk tabel, baris pertama menunjukkan semua kemungkinan nilai variabel acak dalam urutan menaik, dan baris kedua berisi probabilitas yang sesuai dari variabel acak tersebut. nilai:

Gambar 1.

dimana $р1+ р2+ ... + рn = 1$.

Tabel ini adalah dekat distribusi variabel acak diskrit.

Jika himpunan nilai yang mungkin dari suatu variabel acak tidak terhingga, maka deret $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ konvergen dan jumlahnya akan sama dengan $1$.

Hukum distribusi variabel acak diskrit $X$ dapat direpresentasikan secara grafis, di mana garis putus-putus dibangun dalam sistem koordinat (persegi panjang), yang secara berurutan menghubungkan titik-titik dengan koordinat $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Jalur yang kami dapatkan disebut poligon distribusi.

Gambar 2.

Hukum distribusi variabel acak diskrit $X$ juga dapat direpresentasikan secara analitis (menggunakan rumus):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Operasi pada probabilitas diskrit

Saat menyelesaikan banyak masalah dalam teori probabilitas, perlu dilakukan operasi mengalikan variabel acak diskrit dengan konstanta, menjumlahkan dua variabel acak, mengalikannya, dan mensubstitusikannya ke pangkat. Dalam kasus ini, aturan berikut untuk besaran diskrit acak harus dipatuhi:

Definisi 3

Perkalian dari variabel acak diskrit $X$ dengan konstanta $K$ adalah variabel acak diskrit $Y=KX,$ yang ditentukan oleh persamaan: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ kiri(x_i\kanan)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Definisi 4

Dua variabel acak $x$ dan $y$ dipanggil mandiri, jika hukum distribusi salah satunya tidak bergantung pada nilai yang mungkin diperoleh besaran kedua.

Definisi 5

Jumlah dua variabel acak diskrit independen $X$ dan $Y$ disebut variabel acak $Z=X+Y,$ ditentukan oleh persamaan: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij )\kanan)= P\kiri(x_i\kanan)P\kiri(y_j\kanan)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\kiri (x_i\kanan)=p_i$, $P\kiri(y_j\kanan)=p"_j$.

Definisi 6

Perkalian dua variabel acak diskrit independen $X$ dan $Y$ disebut variabel acak $Z=XY,$ ditentukan oleh persamaan: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\kiri( x_i\kanan)P\kiri(y_j\kanan)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ kiri(x_i\kanan )=p_i$, $P\kiri(y_j\kanan)=p"_j$.

Mari kita perhatikan bahwa beberapa produk $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ bisa sama satu sama lain. Dalam hal ini, probabilitas penjumlahan suatu produk sama dengan jumlah probabilitas yang bersesuaian.

Misalnya, jika $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $maka probabilitas $x_2y_3$ (atau $x_5y_7$ yang sama) akan sama dengan $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Hal di atas juga berlaku untuk jumlahnya. Jika $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ maka peluang $x_1+\ y_2$ (atau $x_4+\ y_6$ yang sama) akan sama dengan $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6. $

Variabel acak $X$ dan $Y$ ditentukan oleh hukum distribusi:

Gambar 3.

Dimana $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Maka hukum distribusi jumlah $X+Y$ akan berbentuk

Gambar 4.

Dan hukum distribusi produk $XY$ akan berbentuk

Gambar 5.

Fungsi distribusi

Penjelasan lengkap tentang variabel acak juga diberikan oleh fungsi distribusi.

Secara geometris, fungsi distribusi dijelaskan sebagai probabilitas bahwa variabel acak $X$ mengambil nilai yang diwakili pada garis bilangan dengan titik yang terletak di sebelah kiri titik $x$.

Contoh penyelesaian masalah pada topik “Variabel acak”.

Tugas 1 . Ada 100 tiket yang dikeluarkan untuk lotere. Satu kemenangan sebesar 50 USD telah diundi. dan sepuluh kemenangan masing-masing 10 USD. Temukan hukum distribusi nilai X - biaya kemungkinan kemenangan.

Larutan. Nilai yang mungkin untuk X: x 1 = 0; X 2 = 10 dan x 3 = 50. Karena ada 89 tiket “kosong”, maka p 1 = 0,89, kemungkinan menang $10. (10 tiket) – hal 2 = 0,10 dan untuk memenangkan 50 USD -P 3 = 0,01. Dengan demikian:


	0,89	0,10	0,01

Mudah dikendalikan: .

Tugas 2. Probabilitas pembeli telah membaca iklan produk terlebih dahulu adalah 0,6 (p=0,6). Pengendalian selektif terhadap kualitas iklan dilakukan dengan mensurvei pembeli terlebih dahulu yang telah mempelajari iklan tersebut terlebih dahulu. Buatlah rangkaian distribusi untuk jumlah pembeli yang disurvei.

Larutan. Sesuai dengan kondisi soal, p = 0,6. Dari: q=1 -p = 0,4. Mengganti nilai-nilai ini, kita mendapatkan: dan buat rangkaian distribusi:


pi saya		0,24

Tugas 3. Komputer terdiri dari tiga elemen yang bekerja secara independen: unit sistem, monitor, dan keyboard. Dengan satu peningkatan tegangan yang tajam, kemungkinan kegagalan setiap elemen adalah 0,1. Berdasarkan distribusi Bernoulli, buatlah hukum distribusi jumlah elemen yang gagal selama lonjakan listrik dalam jaringan.

Larutan. Mari kita pertimbangkan Distribusi Bernoulli(atau binomial): probabilitas bahwa N tes, event A akan muncul persis k sekali: , atau:


	Q N					P N

DI DALAM Mari kita kembali ke tugas.

Nilai yang mungkin untuk X (jumlah kegagalan):

x 0 =0 – tidak ada elemen yang gagal;

x 1 =1 – kegagalan satu elemen;

x 2 =2 – kegagalan dua elemen;

x 3 =3 – kegagalan semua elemen.

Karena dengan syarat p = 0,1, maka q = 1 – p = 0,9. Dengan menggunakan rumus Bernoulli, kita peroleh

, ,

, .

Kontrol: .

Oleh karena itu, hukum distribusi yang diperlukan:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Masalah 4. 5000 putaran diproduksi. Kemungkinan satu kartrid rusak . Berapa peluang terdapat tepat 3 kartrid yang rusak dalam keseluruhan batch?

Larutan. Berlaku Distribusi racun: Distribusi ini digunakan untuk menentukan probabilitas yang sangat besar

banyaknya pengujian (tes massal), yang masing-masing peluang terjadinya kejadian A sangat kecil, kejadian A akan terjadi sebanyak k kali: , Di mana .

Di sini n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Kita cari , maka probabilitas yang diinginkan: .

Masalah 5. Saat menembak hingga pukulan pertama dengan probabilitas pukulan p = 0,6 saat menembak, Anda perlu mencari kemungkinan terjadinya pukulan pada tembakan ketiga.

Larutan. Mari kita terapkan distribusi geometri: biarkan percobaan independen dilakukan, yang masing-masing kejadian A mempunyai peluang terjadinya p (dan tidak terjadinya q = 1 – p). Tes berakhir segera setelah kejadian A terjadi.

Dalam keadaan demikian, peluang terjadinya kejadian A pada percobaan ke-k ditentukan dengan rumus: . Di sini p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Oleh karena itu, .

Masalah 6. Biarkan hukum distribusi variabel acak X diberikan:

Temukan ekspektasi matematisnya.

Larutan. .

Perhatikan bahwa arti probabilistik dari ekspektasi matematis adalah nilai rata-rata dari variabel acak.

Masalah 7. Temukan varians dari variabel acak X dengan hukum distribusi berikut:

Larutan. Di Sini .

Hukum distribusi untuk nilai kuadrat X 2 :

X 2

Varians yang diperlukan: .

Dispersi mencirikan ukuran deviasi (dispersi) suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya.

Masalah 8. Biarkan variabel acak diberikan oleh distribusi:

			10m

Temukan karakteristik numeriknya.

Solusi: m, m 2 ,

M 2 , M.

Mengenai variabel acak X kita dapat mengatakan: ekspektasi matematisnya adalah 6,4 m dengan varians 13,04 m 2 , atau – ekspektasi matematisnya adalah 6,4 m dengan deviasi m. Rumusan kedua jelas lebih jelas.

Tugas 9. Variabel acak X diberikan oleh fungsi distribusi:
.

Tentukan peluang bahwa sebagai hasil pengujian nilai X akan mengambil nilai yang terdapat dalam interval tersebut .

Larutan. Probabilitas X akan mengambil nilai dari suatu interval tertentu sama dengan pertambahan fungsi integral dalam interval tersebut, yaitu. . Dalam kasus kami dan , oleh karena itu