Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Urutan bilangan. Perkembangan geometri"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator di toko online Integral untuk kelas 9
Pangkat dan akar Fungsi dan grafik

Teman-teman, hari ini kita akan berkenalan dengan jenis perkembangan lainnya.
Topik pelajaran hari ini adalah perkembangan geometri.

Kemajuan geometris

Contoh. 1,2,4,8,16... Suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan satu, dan $q=2$.

Contoh. 8,8,8,8... Suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan delapan,
dan $q=1$.

Contoh. 3,-3,3,-3,3... Perkembangan geometri yang suku pertamanya sama dengan tiga,
dan $q=-1$.

Perkembangan geometri mempunyai sifat monoton.
Jika $b_(1)>0$, $q>1$,
maka urutannya semakin meningkat.
Jika $b_(1)>0$, $0 Barisan tersebut biasanya dilambangkan dengan bentuk: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Seperti halnya barisan aritmatika, jika dalam barisan geometri jumlah anggotanya berhingga, maka barisan tersebut disebut barisan geometri berhingga.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Perhatikan bahwa jika suatu barisan merupakan barisan geometri, maka barisan kuadrat suku-sukunya juga merupakan barisan geometri. Pada barisan kedua, suku pertamanya sama dengan $b_(1)^2$, dan penyebutnya sama dengan $q^2$.

Rumus suku ke-n suatu barisan geometri

Mari kita kembali ke contoh kita.

Contoh. 1,2,4,8,16... Perkembangan geometri yang suku pertamanya sama dengan satu,
dan $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Contoh. 16,8,4,2,1,1/2… Suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan enam belas, dan $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Contoh. 8,8,8,8... Suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan delapan, dan $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Contoh. 3,-3,3,-3,3... Suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan tiga, dan $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Contoh. Perkembangan geometri $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ diberikan.
a) Diketahui $b_(1)=6, q=3$. Temukan $b_(5)$.
b) Diketahui $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Temukan n.
c) Diketahui $q=-2, b_(6)=96$. Temukan $b_(1)$.
d) Diketahui $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Temukan q.

Larutan.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, karena $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Contoh. Selisih suku ketujuh dan suku kelima suatu barisan geometri adalah 192, jumlah suku kelima dan keenam barisan tersebut adalah 192. Tentukan suku kesepuluh barisan tersebut.

Larutan.
Kita tahu bahwa: $b_(7)-b_(5)=192$ dan $b_(5)+b_(6)=192$.
Kita juga tahu: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Kemudian:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Kami menerima sistem persamaan:
$\begin(kasus)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(kasus)$.
Menyamakan persamaan kita, kita mendapatkan:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Kami mendapat dua solusi q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Substitusikan secara berurutan ke dalam persamaan kedua:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ tidak ada solusi.
Kita mendapatkan: $b_(1)=4, q=2$.
Mari kita cari suku kesepuluh: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Jumlah barisan geometri berhingga

Misalkan suatu barisan geometri berhingga diberikan: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Mari kita perkenalkan sebutan untuk jumlah suku-sukunya: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Dalam kasus ketika $q=1$. Semua suku barisan geometri sama dengan suku pertama, maka jelas $S_(n)=n*b_(1)$.
Sekarang mari kita perhatikan kasus $q≠1$.
Kalikan jumlah di atas dengan q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Catatan:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Kita telah memperoleh rumus jumlah barisan geometri berhingga.

Larutan.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Contoh.
Tentukan suku kelima barisan geometri yang diketahui: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Larutan.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Sifat karakteristik perkembangan geometri

Suatu barisan bilangan disebut suatu barisan geometri hanya jika kuadrat setiap anggotanya sama dengan hasil kali dua anggota barisan yang berdekatan. Jangan lupa bahwa untuk perkembangan terbatas kondisi ini tidak terpenuhi pada suku pertama dan terakhir.

Modulus suatu suku suatu barisan geometri sama dengan rata-rata geometri dua suku yang berdekatan.

Larutan.
Mari kita gunakan properti karakteristik:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ dan $x_(2)=-1$.
Mari kita substitusikan solusi kita secara berurutan ke dalam ekspresi aslinya:
Dengan $x=2$, kita mendapatkan barisan: 4;6;9 – barisan geometri dengan $q=1.5$.
Untuk $x=-1$, kita mendapatkan urutannya: 1;0;0.
Jawaban: $x=2.$

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

Kemajuan geometris tidak kalah pentingnya dalam matematika dibandingkan dengan aritmatika. Barisan geometri adalah barisan bilangan b1, b2,..., b[n], yang setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap. Angka ini, yang juga mencirikan laju pertumbuhan atau penurunan perkembangan, disebut penyebut barisan geometri dan menunjukkan

Untuk menyatakan secara lengkap suatu barisan geometri, selain penyebutnya, perlu juga diketahui atau ditentukan suku pertamanya. Jika penyebutnya bernilai positif, maka barisan tersebut merupakan barisan monotonik, dan jika barisan bilangan tersebut menurun secara monoton dan jika meningkat secara monoton. Kasus ketika penyebutnya sama dengan satu tidak dipertimbangkan dalam praktiknya, karena kita memiliki barisan bilangan yang identik, dan penjumlahannya bukanlah kepentingan praktis.

Istilah umum barisan geometri dihitung dengan rumus

Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri ditentukan oleh rumus

Mari kita lihat solusi untuk masalah deret geometri klasik. Mari kita mulai dengan hal yang paling sederhana untuk dipahami.

Contoh 1. Suku pertama suatu barisan geometri adalah 27 dan penyebutnya adalah 1/3. Tentukan enam suku pertama barisan geometri tersebut.

Solusi: Mari kita tuliskan kondisi masalahnya dalam bentuk

Untuk perhitungannya kita menggunakan rumus suku ke-n suatu barisan geometri

Berdasarkan hal tersebut, kami menemukan syarat-syarat perkembangan yang tidak diketahui

Seperti yang Anda lihat, menghitung suku-suku suatu barisan geometri tidaklah sulit. Perkembangannya sendiri akan terlihat seperti ini

Contoh 2. Tiga suku pertama suatu barisan geometri diberikan: 6; -12; 24. Tentukan penyebut dan suku ketujuhnya.

Penyelesaian: Kita menghitung penyebut barisan geomitri berdasarkan definisinya

Kita memperoleh barisan geometri bolak-balik yang penyebutnya sama dengan -2. Suku ketujuh dihitung dengan menggunakan rumus

Ini menyelesaikan masalahnya.

Contoh 3 Suatu barisan geometri dinyatakan oleh dua sukunya . Temukan suku kesepuluh dari perkembangan tersebut.

Larutan:

Mari kita tuliskan nilai yang diberikan menggunakan rumus

Menurut aturan, kita perlu mencari penyebutnya dan kemudian mencari nilai yang diinginkan, tetapi untuk suku kesepuluh kita punya

Rumus yang sama dapat diperoleh berdasarkan manipulasi sederhana dengan data masukan. Bagilah suku keenam deret tersebut dengan suku lain, dan hasilnya kita peroleh

Jika nilai yang dihasilkan dikalikan dengan suku keenam, kita mendapatkan suku kesepuluh

Jadi, untuk masalah seperti itu, dengan menggunakan transformasi sederhana dengan cara yang cepat, Anda dapat menemukan solusi yang tepat.

Contoh 4 Perkembangan geometri diberikan dengan rumus berulang

Temukan penyebut barisan geometri dan jumlah enam suku pertama.

Larutan:

Mari kita tuliskan data yang diberikan dalam bentuk sistem persamaan

Nyatakan penyebutnya dengan membagi persamaan kedua dengan persamaan pertama

Mari kita cari suku pertama barisan dari persamaan pertama

Mari kita hitung lima suku berikut untuk mencari jumlah barisan geometri

Tingkat masuk

Kemajuan geometris. Panduan komprehensif dengan contoh (2019)

Urutan nomor

Jadi, mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, ada angka tersebut). Berapapun banyaknya angka yang kita tulis, kita selalu bisa mengatakan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya sampai yang terakhir, yaitu kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan:

Urutan nomor adalah sekumpulan angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan khusus hanya untuk satu nomor dalam urutan. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam barisan tersebut. Angka kedua (seperti angka ke-th) selalu sama.

Bilangan yang mempunyai bilangan disebut anggota barisan ke-n.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Jenis barisan yang paling umum adalah aritmatika dan geometri. Dalam topik ini kita akan berbicara tentang tipe kedua - perkembangan geometri.

Mengapa deret geometri diperlukan dan sejarahnya?

Bahkan di zaman kuno, biarawan matematikawan Italia Leonardo dari Pisa (lebih dikenal sebagai Fibonacci) menangani kebutuhan praktis perdagangan. Bhikkhu tersebut dihadapkan pada tugas untuk menentukan berapa jumlah anak timbangan terkecil yang dapat digunakan untuk menimbang suatu produk? Dalam karyanya, Fibonacci membuktikan bahwa sistem bobot seperti itu optimal: Ini adalah salah satu situasi pertama di mana orang harus berurusan dengan deret geometri, yang mungkin pernah Anda dengar dan setidaknya Anda pahami secara umum. Setelah Anda benar-benar memahami topiknya, pikirkan mengapa sistem seperti itu optimal?

Saat ini, dalam praktik kehidupan, perkembangan geometris memanifestasikan dirinya ketika menginvestasikan uang di bank, ketika jumlah bunga dibebankan pada jumlah yang terakumulasi dalam rekening untuk periode sebelumnya. Dengan kata lain, jika Anda menaruh uang pada deposito berjangka di bank tabungan, maka setelah satu tahun simpanan tersebut akan bertambah sebesar jumlah aslinya, yaitu. jumlah baru akan sama dengan kontribusi dikalikan. Di tahun berikutnya, jumlah ini akan meningkat sebesar, yaitu. jumlah yang diperoleh saat itu akan dikalikan lagi dan seterusnya. Situasi serupa dijelaskan dalam masalah penghitungan yang disebut bunga majemuk- persentasenya diambil setiap kali dari jumlah yang ada di rekening, dengan memperhitungkan bunga sebelumnya. Kami akan membicarakan tugas-tugas ini nanti.

Masih banyak lagi kasus sederhana yang menerapkan perkembangan geometri. Misalnya, penyebaran influenza: satu orang menulari orang lain, mereka kemudian menulari orang lain, dan dengan demikian gelombang infeksi kedua adalah seseorang, dan mereka, pada gilirannya, menulari orang lain... dan seterusnya.. .

Omong-omong, piramida keuangan, MMM yang sama, adalah perhitungan sederhana dan kering berdasarkan sifat-sifat deret geometri. Menarik? Mari kita cari tahu.

Kemajuan geometris.

Katakanlah kita mempunyai barisan bilangan:

Anda akan langsung menjawab bahwa ini mudah dan nama barisan tersebut adalah barisan aritmatika dengan selisih suku-sukunya. Bagaimana dengan ini:

Jika Anda mengurangkan bilangan sebelumnya dari bilangan berikutnya, Anda akan melihat bahwa setiap kali Anda mendapatkan selisih baru (dan seterusnya), namun barisan tersebut pasti ada dan mudah diperhatikan - setiap bilangan berikutnya kali lebih besar dari bilangan sebelumnya!

Urutan bilangan seperti ini disebut perkembangan geometri dan ditunjuk.

Perkembangan geometri () adalah barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri.

Batasan suku pertama ( ) tidak sama dan tidak acak. Anggap saja tidak ada, dan suku pertamanya masih sama, dan q sama dengan, hmm.. biarlah, maka ternyata:

Setuju bahwa ini bukan lagi suatu kemajuan.

Seperti yang anda pahami, kita akan mendapatkan hasil yang sama jika ada bilangan selain nol, a. Dalam kasus ini, tidak akan ada perkembangan, karena seluruh rangkaian bilangan akan semuanya nol, atau satu angka, dan sisanya akan menjadi nol.

Sekarang mari kita bahas lebih detail tentang penyebut suatu barisan geometri, yaitu o.

Mari kita ulangi: - ini nomornya berapa kali setiap suku berikutnya berubah? perkembangan geometri.

Menurut Anda apa yang mungkin terjadi? Itu benar, positif dan negatif, tetapi bukan nol (kita membicarakannya sedikit lebih tinggi).

Mari kita asumsikan bahwa kita positif. Misalkan dalam kasus kita, a. Berapakah nilai suku kedua dan? Anda dapat dengan mudah menjawabnya:

Itu benar. Oleh karena itu, jika, maka semua suku-suku perkembangan berikutnya memiliki tanda yang sama - mereka positif.

Bagaimana jika hasilnya negatif? Misalnya, a. Berapakah nilai suku kedua dan?

Ini adalah cerita yang sangat berbeda

Coba hitung syarat-syarat perkembangan ini. Berapa banyak yang kamu dapat? Saya memiliki. Jadi, jika, maka tanda-tanda suku-suku barisan geometri itu berselang-seling. Artinya, jika Anda melihat suatu barisan yang anggota-anggotanya berganti tanda, maka penyebutnya negatif. Pengetahuan ini dapat membantu Anda menguji diri sendiri ketika memecahkan masalah pada topik ini.

Sekarang mari kita berlatih sedikit: coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan geometri dan mana yang merupakan barisan aritmatika:

Mengerti? Mari kita bandingkan jawaban kita:

• Perkembangan geometri - 3, 6.
• Perkembangan aritmatika - 2, 4.
• Ini bukan barisan aritmatika atau geometri - 1, 5, 7.

Mari kita kembali ke perkembangan terakhir kita dan mencoba mencari anggotanya, seperti pada bilangan aritmatika. Seperti yang sudah Anda duga, ada dua cara untuk menemukannya.

Kami secara berturut-turut mengalikan setiap suku dengan.

Jadi, suku ke-th barisan geometri yang dijelaskan adalah sama dengan.

Seperti yang sudah Anda duga, sekarang Anda sendiri akan mendapatkan rumus yang akan membantu Anda menemukan anggota barisan geometri mana pun. Atau apakah Anda sudah mengembangkannya sendiri, menjelaskan cara menemukan anggota ke-th langkah demi langkah? Jika ya, periksa kebenaran alasan Anda.

Mari kita ilustrasikan hal ini dengan contoh mencari suku ke-th dari barisan ini:

Dengan kata lain:

Temukan sendiri nilai suku barisan geometri yang diberikan.

Apakah itu berhasil? Mari kita bandingkan jawaban kita:

Harap dicatat bahwa Anda mendapatkan angka yang persis sama seperti pada metode sebelumnya, ketika kita mengalikan secara berurutan dengan setiap suku sebelumnya dari barisan geometri.
Mari kita coba untuk “mendepersonalisasikan” rumus ini - mari kita letakkan dalam bentuk umum dan dapatkan:

Rumus turunannya berlaku untuk semua nilai - baik positif maupun negatif. Periksa sendiri dengan menghitung suku-suku barisan geometri dengan ketentuan sebagai berikut: , a.

Apakah kamu menghitung? Mari kita bandingkan hasilnya:

Setuju bahwa suku suatu perkembangan dapat ditemukan dengan cara yang sama seperti suku, namun ada kemungkinan perhitungannya salah. Dan jika kita telah menemukan suku ke-th dari barisan geometri tersebut, lalu apa yang lebih sederhana daripada menggunakan bagian rumus yang “terpotong”.

Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas.

Baru-baru ini, kita berbicara tentang fakta bahwa itu bisa lebih besar atau lebih kecil dari nol, namun ada nilai khusus yang disebut deret geometri. menurun tanpa batas.

Menurut Anda mengapa nama ini diberikan?
Pertama, mari kita tuliskan beberapa barisan geometri yang terdiri dari suku-suku.
Katakanlah:

Kita melihat bahwa setiap suku berikutnya lebih kecil satu faktor dari suku sebelumnya, tetapi apakah akan ada bilangan? Anda akan segera menjawab - “tidak”. Itulah sebabnya ia terus berkurang tanpa batas - ia berkurang dan berkurang, tetapi tidak pernah menjadi nol.

Untuk memahami dengan jelas tampilannya secara visual, mari kita coba menggambar grafik perkembangan kita. Jadi, untuk kasus kita, rumusnya berbentuk sebagai berikut:

Pada grafik kita terbiasa memplot ketergantungan, oleh karena itu:

Inti dari ekspresi tersebut tidak berubah: pada entri pertama kami menunjukkan ketergantungan nilai anggota barisan geometri pada bilangan urutnya, dan pada entri kedua kami hanya mengambil nilai anggota barisan geometri sebagai , dan menetapkan nomor urut bukan sebagai, tetapi sebagai. Yang perlu dilakukan hanyalah membuat grafik.
Mari kita lihat apa yang Anda punya. Berikut grafik yang saya buat:

Apakah kamu melihat? Fungsinya mengecil, cenderung nol, tetapi tidak pernah melewatinya, sehingga menurun tak terhingga. Mari kita tandai titik-titik kita pada grafik, sekaligus koordinat dan artinya:

Cobalah untuk menggambarkan secara skematis grafik suatu barisan geometri jika suku pertamanya juga sama. Analisa apa bedanya dengan grafik kita sebelumnya?

Apakah Anda berhasil? Berikut grafik yang saya buat:

Sekarang setelah Anda sepenuhnya memahami dasar-dasar topik barisan geometri: Anda tahu apa itu barisan geometri, Anda tahu cara mencari sukunya, dan Anda juga tahu apa itu barisan geometri yang menurun tak terhingga, mari kita beralih ke sifat utamanya.

Sifat perkembangan geometri.

Apakah Anda ingat sifat-sifat suku-suku suatu barisan aritmatika? Ya, ya, bagaimana cara mencari nilai suatu bilangan suatu perkembangan jika ada nilai sebelumnya dan selanjutnya dari suku-suku perkembangan tersebut. Apakah kamu ingat? Ini dia:

Sekarang kita dihadapkan pada pertanyaan yang persis sama tentang suku-suku barisan geometri. Untuk mendapatkan rumus seperti itu, mari kita mulai menggambar dan menalar. Soalnya, caranya sangat mudah, dan jika lupa, Anda bisa mengeluarkannya sendiri.

Mari kita ambil barisan geometri sederhana lainnya yang kita ketahui dan. Bagaimana cara menemukannya? Dengan perkembangan aritmatika itu mudah dan sederhana, tapi bagaimana dengan disini? Sebenarnya, tidak ada yang rumit dalam geometri juga - Anda hanya perlu menuliskan setiap nilai yang diberikan kepada kita sesuai rumus.

Anda mungkin bertanya, apa yang harus kita lakukan sekarang? Ya, sangat sederhana. Pertama, mari kita gambarkan rumus-rumus ini dalam sebuah gambar dan coba lakukan berbagai manipulasi dengannya untuk mendapatkan nilainya.

Mari kita abstrak dari angka-angka yang diberikan kepada kita, mari kita fokus hanya pada ekspresi mereka melalui rumus. Kita perlu menemukan nilai yang disorot dengan warna oranye, mengetahui suku-suku yang berdekatan dengannya. Mari kita coba melakukan berbagai tindakan dengan mereka, yang hasilnya bisa kita peroleh.

Tambahan.
Mari kita coba menambahkan dua ekspresi dan kita mendapatkan:

Dari ungkapan ini, seperti yang Anda lihat, kami tidak dapat mengungkapkannya dengan cara apa pun, oleh karena itu, kami akan mencoba opsi lain - pengurangan.

Pengurangan.

Seperti yang Anda lihat, kami juga tidak dapat mengungkapkannya, oleh karena itu, mari kita coba mengalikan ekspresi ini satu sama lain.

Perkalian.

Sekarang perhatikan baik-baik apa yang kita miliki dengan mengalikan suku-suku barisan geometri yang diberikan kepada kita dibandingkan dengan apa yang perlu dicari:

Coba tebak apa yang saya bicarakan? Benar, untuk mencarinya kita perlu mengalikan akar kuadrat dari bilangan deret geometri yang berdekatan dengan bilangan yang diinginkan:

Ini dia. Anda sendiri yang memperoleh properti perkembangan geometri. Cobalah untuk menulis rumus ini dalam bentuk umum. Apakah itu berhasil?

Lupa syaratnya? Pikirkan mengapa itu penting, misalnya coba hitung sendiri. Apa yang akan terjadi dalam kasus ini? Benar sekali, benar-benar tidak masuk akal karena rumusnya terlihat seperti ini:

Oleh karena itu, jangan lupakan batasan ini.

Sekarang mari kita hitung apa persamaannya

Jawaban yang benar adalah! Jika Anda tidak melupakan kemungkinan nilai kedua saat menghitung, maka Anda hebat dan dapat segera melanjutkan ke pelatihan, dan jika Anda lupa, bacalah apa yang dibahas di bawah ini dan perhatikan mengapa kedua akar perlu ditulis. dalam jawabannya.

Mari kita menggambar kedua barisan geometri kita - yang satu memiliki nilai dan yang lainnya memiliki nilai dan memeriksa apakah keduanya berhak untuk ada:

Untuk memeriksa apakah barisan geometri tersebut ada atau tidak, perlu dilihat apakah semua suku-sukunya sama? Hitung q untuk kasus pertama dan kedua.

Lihat mengapa kita harus menulis dua jawaban? Karena tanda istilah yang dicari tergantung positif atau negatifnya! Dan karena kita tidak tahu apa itu, kita perlu menuliskan kedua jawaban tersebut dengan plus dan minus.

Sekarang setelah Anda menguasai poin-poin utama dan memperoleh rumus sifat-sifat barisan geometri, temukan, ketahui dan

Bandingkan jawaban Anda dengan jawaban yang benar:

Bagaimana menurut anda, bagaimana jika kita tidak diberi nilai suku-suku barisan geometri yang berdekatan dengan bilangan yang diinginkan, tetapi berjarak sama dari bilangan tersebut. Misalnya, kita perlu mencari, dan diberikan dan. Bisakah kita menggunakan rumus yang kita peroleh dalam kasus ini? Cobalah untuk mengkonfirmasi atau menyangkal kemungkinan ini dengan cara yang sama, dengan menjelaskan isi setiap nilai, seperti yang Anda lakukan saat pertama kali menurunkan rumus, di.
Apa yang kamu dapatkan?

Sekarang perhatikan baik-baik lagi.
dan, karenanya:

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa rumus tersebut berhasil tidak hanya dengan tetangga dengan suku-suku barisan geometri yang diinginkan, tetapi juga dengan sama jauh dari apa yang dicari anggotanya.

Jadi, rumus awal kita berbentuk:

Artinya, jika pada kasus pertama kita mengatakan demikian, sekarang kita mengatakan bahwa bilangan tersebut dapat sama dengan bilangan asli apa pun yang lebih kecil. Yang utama adalah angkanya sama untuk kedua angka yang diberikan.

Berlatihlah dengan contoh spesifik, berhati-hatilah!

1. , . Menemukan.
2. , . Menemukan.
3. , . Menemukan.

Diputuskan? Saya harap Anda sangat perhatian dan memperhatikan tangkapan kecil.

Mari kita bandingkan hasilnya.

Dalam dua kasus pertama, kami dengan tenang menerapkan rumus di atas dan mendapatkan nilai berikut:

Dalam kasus ketiga, setelah memeriksa dengan cermat nomor seri dari nomor-nomor yang diberikan kepada kami, kami memahami bahwa nomor-nomor tersebut tidak berjarak sama dari nomor yang kami cari: ini adalah nomor sebelumnya, tetapi dihilangkan pada suatu posisi, jadi itu adalah tidak mungkin menerapkan rumus tersebut.

Bagaimana cara mengatasinya? Ini sebenarnya tidak sesulit kelihatannya! Mari kita tuliskan terdiri dari apa saja setiap angka yang diberikan kepada kita dan nomor yang kita cari.

Jadi kita punya dan. Mari kita lihat apa yang bisa kita lakukan dengan mereka? Saya sarankan membaginya dengan. Kami mendapatkan:

Kami mengganti data kami ke dalam rumus:

Langkah selanjutnya yang bisa kita temukan adalah - untuk ini kita perlu mengambil akar pangkat tiga dari bilangan yang dihasilkan.

Sekarang mari kita lihat lagi apa yang kita miliki. Kami memilikinya, tetapi kami perlu menemukannya, dan itu, pada gilirannya, sama dengan:

Kami menemukan semua data yang diperlukan untuk perhitungan. Substitusikan ke dalam rumus:

Jawaban kami: .

Coba selesaikan sendiri masalah serupa lainnya:
Diberikan: ,
Menemukan:

Berapa banyak yang kamu dapat? Saya memiliki - .

Seperti yang Anda lihat, pada dasarnya Anda membutuhkannya ingat satu rumus saja- . Anda dapat menarik sendiri sisanya tanpa kesulitan apa pun kapan saja. Untuk melakukan ini, cukup tuliskan barisan geometri paling sederhana pada selembar kertas dan tuliskan berapa masing-masing bilangannya, sesuai dengan rumus yang dijelaskan di atas.

Jumlah suku-suku suatu barisan geometri.

Sekarang mari kita lihat rumus yang memungkinkan kita menghitung dengan cepat jumlah suku suatu barisan geometri dalam interval tertentu:

Untuk mendapatkan rumus jumlah suku suatu barisan geometri berhingga, kita mengalikan semua bagian persamaan di atas dengan. Kami mendapatkan:

Perhatikan baik-baik: apa persamaan dari dua rumus terakhir? Benar, anggota biasa misalnya, dan seterusnya, kecuali anggota pertama dan terakhir. Mari kita coba kurangi persamaan ke-1 dari persamaan ke-2. Apa yang kamu dapatkan?

Sekarang nyatakan suku barisan geometri melalui rumus dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam rumus terakhir kita:

Kelompokkan ekspresi tersebut. Anda harus mendapatkan:

Yang perlu dilakukan hanyalah mengungkapkan:

Oleh karena itu, dalam hal ini.

Bagaimana kalau? Rumus apa yang berhasil? Bayangkan suatu barisan geometri di. Seperti apa dia? Rangkaian angka yang identik sudah benar, sehingga rumusnya akan terlihat seperti ini:

Ada banyak legenda tentang perkembangan aritmatika dan geometri. Salah satunya adalah legenda Set, pencipta catur.

Banyak orang mengetahui bahwa permainan catur ditemukan di India. Ketika raja Hindu bertemu dengannya, dia senang dengan kecerdasannya dan berbagai posisi yang mungkin ada dalam dirinya. Setelah mengetahui bahwa itu ditemukan oleh salah satu rakyatnya, raja memutuskan untuk memberinya hadiah secara pribadi. Dia memanggil penemunya dan memerintahkannya untuk meminta semua yang dia inginkan, berjanji untuk memenuhi keinginan yang paling terampil sekalipun.

Seta meminta waktu untuk berpikir, dan ketika keesokan harinya Seta muncul di hadapan raja, dia mengejutkan raja dengan permintaannya yang rendah hati dan belum pernah terjadi sebelumnya. Dia meminta untuk memberikan sebutir gandum untuk kotak pertama papan catur, sebutir gandum untuk kotak kedua, sebutir gandum untuk kotak ketiga, keempat, dan seterusnya.

Raja marah dan mengusir Seth, mengatakan bahwa permintaan pelayan itu tidak sesuai dengan kemurahan hati raja, tetapi berjanji bahwa pelayan itu akan menerima gandumnya untuk semua kotak papan.

Dan sekarang pertanyaannya: dengan menggunakan rumus jumlah suku suatu barisan geometri, hitung berapa banyak butir yang harus diterima Seth?

Mari kita mulai berpikir. Karena menurut syarat, Seth meminta sebutir gandum untuk kotak pertama papan catur, untuk kotak kedua, untuk kotak ketiga, untuk kotak keempat, dan seterusnya, maka kita melihat bahwa masalahnya adalah tentang barisan geometri. Apa persamaannya dalam kasus ini?
Benar.

Jumlah luas papan catur. Masing-masing, . Kami memiliki semua datanya, yang tersisa hanyalah memasukkannya ke dalam rumus dan menghitungnya.

Untuk membayangkan setidaknya kira-kira “skala” suatu bilangan tertentu, kita mentransformasikannya menggunakan sifat-sifat derajat:

Tentu saja, jika mau, Anda dapat mengambil kalkulator dan menghitung angka yang Anda dapatkan, dan jika tidak, Anda harus percaya pada kata-kata saya: nilai akhir dari ekspresi tersebut adalah.
Yaitu:

triliun kuadriliun triliun miliar juta ribu.

Fiuh) Jika Anda ingin membayangkan besarnya jumlah ini, maka perkirakan berapa luas sebuah gudang yang dibutuhkan untuk menampung seluruh jumlah gandum.
Jika gudang itu tingginya m dan lebarnya m, maka panjangnya harus diperpanjang hingga km, yaitu. dua kali jarak Bumi ke Matahari.

Jika raja kuat dalam matematika, dia bisa saja mengundang ilmuwan itu sendiri untuk menghitung butir, karena untuk menghitung satu juta butir, dia memerlukan setidaknya satu hari penghitungan yang tak kenal lelah, dan mengingat menghitung triliunan itu perlu, maka biji-bijian harus dihitung sepanjang hidupnya.

Sekarang mari kita selesaikan soal sederhana yang melibatkan jumlah suku suatu barisan geometri.
Seorang siswa kelas 5A Vasya terserang flu, namun tetap bersekolah. Setiap hari Vasya menulari dua orang, yang kemudian menulari dua orang lagi, dan seterusnya. Hanya ada orang di kelas. Dalam berapa hari seluruh kelas akan terkena flu?

Jadi, suku pertama barisan geometri adalah Vasya, yaitu seseorang. Suku ke-tiga dari deret geometri tersebut adalah dua orang yang tertular pada hari pertama kedatangannya. Jumlah total suku-suku perkembangan sama dengan jumlah siswa 5A. Oleh karena itu, kita berbicara tentang kemajuan di mana:

Mari kita substitusikan data kita ke dalam rumus jumlah suku-suku suatu barisan geometri:

Seluruh kelas akan sakit dalam beberapa hari. Tidak percaya rumus dan angka? Cobalah untuk menggambarkan sendiri “penularan” siswa. Apakah itu berhasil? Lihat tampilannya bagi saya:

Hitung sendiri berapa hari yang dibutuhkan siswa untuk terserang flu jika masing-masing menulari satu orang, dan hanya ada satu orang di kelas.

Nilai apa yang Anda dapatkan? Ternyata semua orang mulai sakit setelah satu hari.

Seperti yang Anda lihat, tugas dan gambar seperti itu menyerupai piramida, di mana setiap tugas berikutnya “membawa” orang baru. Namun, cepat atau lambat akan tiba saatnya ketika yang terakhir tidak dapat menarik perhatian siapa pun. Dalam kasus kita, jika kita membayangkan kelas tersebut terisolasi, orang dari menutup rantai (). Jadi, jika seseorang terlibat dalam piramida keuangan di mana uang diberikan, jika Anda membawa dua peserta lainnya, maka orang tersebut (atau secara umum) tidak akan membawa siapa pun, dan karenanya, mereka akan kehilangan semua yang mereka investasikan dalam penipuan keuangan ini.

Segala sesuatu yang dikatakan di atas mengacu pada barisan geometri yang menurun atau meningkat, tetapi, seperti yang Anda ingat, kami memiliki tipe khusus - barisan geometri yang menurun tanpa batas. Bagaimana cara menghitung jumlah anggotanya? Dan mengapa perkembangan jenis ini memiliki ciri-ciri tertentu? Mari kita cari tahu bersama.

Jadi, pertama-tama, mari kita lihat kembali gambar barisan geometri yang menurun tak terhingga dari contoh kita:

Sekarang mari kita lihat rumus jumlah suatu barisan geometri, yang diturunkan sedikit sebelumnya:
atau

Apa yang kita perjuangkan? Betul, grafiknya cenderung nol. Artinya, pada, akan hampir sama, masing-masing, saat menghitung ekspresi yang akan kita dapatkan hampir. Dalam hal ini, kami percaya bahwa ketika menghitung jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga, tanda kurung ini dapat diabaikan, karena akan sama.

- rumus adalah jumlah suku-suku barisan geometri yang menurun tak terhingga.

PENTING! Kita menggunakan rumus jumlah suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga hanya jika kondisinya secara eksplisit menyatakan bahwa kita perlu mencari jumlah tersebut tak terbatas jumlah anggota.

Jika bilangan tertentu n ditentukan, maka kita menggunakan rumus jumlah n suku, meskipun atau.

Sekarang mari kita berlatih.

1. Tentukan jumlah suku pertama barisan geometri dengan dan.
2. Tentukan jumlah suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan dan.

Saya harap Anda sangat berhati-hati. Mari kita bandingkan jawaban kita:

Sekarang Anda tahu segalanya tentang perkembangan geometri, dan inilah saatnya beralih dari teori ke praktik. Soal barisan geometri yang paling banyak ditemui dalam ujian adalah soal menghitung bunga majemuk. Inilah yang akan kita bicarakan.

Masalah dalam menghitung bunga majemuk.

Anda mungkin pernah mendengar apa yang disebut rumus bunga majemuk. Apakah Anda mengerti maksudnya? Jika belum, mari kita cari tahu, karena begitu Anda memahami proses itu sendiri, Anda akan langsung memahami apa hubungannya deret geometri dengan proses tersebut.

Kita semua pergi ke bank dan mengetahui bahwa ada ketentuan yang berbeda untuk simpanan: ini termasuk jangka waktu, layanan tambahan, dan bunga dengan dua cara penghitungan yang berbeda - sederhana dan kompleks.

DENGAN bunga sederhana semuanya kurang lebih jelas: bunga dibebankan satu kali pada akhir jangka waktu simpanan. Artinya, jika kita mengatakan bahwa kita menyetor 100 rubel selama setahun, maka mereka hanya akan dikreditkan pada akhir tahun. Oleh karena itu, pada akhir setoran kami akan menerima rubel.

Bunga majemuk- ini adalah opsi yang memunculkannya kapitalisasi bunga, yaitu. penambahannya pada jumlah simpanan dan perhitungan pendapatan selanjutnya bukan dari awal, tetapi dari akumulasi jumlah simpanan. Kapitalisasi tidak terjadi terus-menerus, namun dengan frekuensi tertentu. Biasanya, periode tersebut sama dan paling sering bank menggunakan bulan, kuartal, atau tahun.

Misalkan kita menyetorkan rubel yang sama setiap tahunnya, namun dengan kapitalisasi setoran bulanan. Apa yang kita lakukan?

Apakah Anda memahami semuanya di sini? Jika belum, mari kita cari tahu langkah demi langkah.

Kami membawa rubel ke bank. Pada akhir bulan, kita akan memiliki jumlah di rekening kita yang terdiri dari rubel ditambah bunganya, yaitu:

Setuju?

Kita bisa mengeluarkannya dari tanda kurung dan kemudian kita mendapatkan:

Setuju, rumus ini sudah lebih mirip dengan yang kami tulis di awal. Yang tersisa hanyalah mencari tahu persentasenya

Dalam rumusan masalah kita diberitahu tentang tarif tahunan. Seperti yang Anda ketahui, kami tidak mengalikan dengan - kami mengubah persentase menjadi pecahan desimal, yaitu:

Benar? Sekarang Anda mungkin bertanya, dari mana nomor tersebut berasal? Sangat sederhana!
Saya ulangi: pernyataan masalah mengatakan tentang TAHUNAN bunga yang timbul BULANAN. Seperti yang Anda ketahui, dalam satu tahun bulan, bank akan membebankan kepada kita sebagian dari bunga tahunan per bulan:

Menyadarinya? Sekarang coba tuliskan seperti apa bagian rumus ini jika saya mengatakan bahwa bunga dihitung setiap hari.
Apakah Anda berhasil? Mari kita bandingkan hasilnya:

Bagus sekali! Mari kita kembali ke tugas kita: tulis berapa banyak yang akan dikreditkan ke rekening kita pada bulan kedua, dengan mempertimbangkan bunga yang dikenakan pada jumlah akumulasi deposit.
Inilah yang saya dapatkan:

Atau dengan kata lain:

Saya pikir Anda telah memperhatikan sebuah pola dan melihat perkembangan geometris dalam semua ini. Tuliskan berapa jumlah anggotanya, atau dengan kata lain berapa jumlah uang yang akan kita terima pada akhir bulan.
Telah melakukan? Mari kita periksa!

Seperti yang Anda lihat, jika Anda menaruh uang di bank selama setahun dengan tingkat bunga sederhana, Anda akan menerima rubel, dan jika dengan tingkat bunga majemuk, Anda akan menerima rubel. Keuntungannya kecil, tetapi ini hanya terjadi pada tahun ke-th, tetapi untuk jangka waktu yang lebih lama, kapitalisasi jauh lebih menguntungkan:

Mari kita lihat jenis permasalahan lain yang melibatkan bunga majemuk. Setelah apa yang Anda ketahui, itu akan menjadi dasar bagi Anda. Jadi, tugasnya:

Perusahaan Zvezda mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2000, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak tahun 2001 memperoleh keuntungan sebesar modal tahun sebelumnya. Berapa keuntungan yang diperoleh perusahaan Zvezda pada akhir tahun 2003 jika keuntungan tidak ditarik dari peredaran?

Ibukota perusahaan Zvezda pada tahun 2000.
- modal perusahaan Zvezda pada tahun 2001.
- modal perusahaan Zvezda pada tahun 2002.
- modal perusahaan Zvezda pada tahun 2003.

Atau kita bisa menulis secara singkat:

Untuk kasus kami:

2000, 2001, 2002 dan 2003.

Masing-masing:
rubel
Perlu diketahui bahwa dalam soal ini kami tidak melakukan pembagian dengan atau dengan, karena persentasenya diberikan SETIAP TAHUN dan dihitung SETIAP TAHUN. Artinya, ketika membaca soal bunga majemuk, perhatikan berapa persentase yang diberikan dan pada periode berapa dihitung, baru kemudian dilanjutkan ke perhitungan.
Sekarang Anda tahu segalanya tentang perkembangan geometri.

Pelatihan.

1. Tentukan suku barisan geometri jika diketahui, dan
2. Tentukan jumlah suku pertama barisan geometri jika diketahui, dan
3. Perusahaan MDM Capital mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2003, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak tahun 2004 memperoleh keuntungan sebesar modal tahun sebelumnya. Perusahaan Arus Kas MSK mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2005 sebesar $10.000, dan mulai menghasilkan keuntungan pada tahun 2006 sebesar. Berapa dolar modal suatu perusahaan lebih besar dari perusahaan lain pada akhir tahun 2007, jika laba tidak ditarik dari peredaran?

Jawaban:

1. Karena rumusan masalah tidak menyatakan bahwa perkembangannya tidak terbatas dan diperlukan untuk mencari jumlah sejumlah suku tertentu, maka perhitungannya dilakukan sesuai dengan rumus:
2. 
   Perusahaan Modal MDM:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - meningkat 100%, yaitu 2 kali lipat.
   Masing-masing:
   rubel
   Perusahaan Arus Kas MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - bertambah, yaitu berkali-kali lipat.
   Masing-masing:
   rubel
   rubel

Mari kita rangkum.

1) Barisan geometri ( ) adalah barisan bilangan yang suku pertamanya berbeda dengan nol, dan setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri.

2) Persamaan suku-suku barisan geometri adalah .

3) dapat mengambil nilai apa pun kecuali dan.

• jika, maka semua suku perkembangan berikutnya memiliki tanda yang sama - mereka positif;
• jika, maka semua suku perkembangan berikutnya tanda-tanda alternatif;
• kapan - perkembangannya disebut menurun tak terhingga.

4) , dengan - properti barisan geometri (suku-suku yang berdekatan)

atau
, di (istilah yang berjarak sama)

Ketika Anda menemukannya, jangan lupakan itu seharusnya ada dua jawaban.

Misalnya,

5) Jumlah suku-suku barisan geometri dihitung dengan rumus:
atau

Jika perkembangannya menurun tak terhingga, maka:
atau

PENTING! Kita menggunakan rumus jumlah suku-suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga hanya jika kondisinya secara eksplisit menyatakan bahwa kita perlu mencari jumlah suku-suku yang tak terhingga jumlahnya.

6) Masalah bunga majemuk dihitung juga dengan rumus suku ke-th suatu barisan geometri, dengan ketentuan dana belum ditarik dari peredaran:

PROGRESI GEOMETRIS. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Kemajuan geometris( ) adalah barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Nomor ini dipanggil penyebut suatu barisan geometri.

Penyebut barisan geometri dapat mengambil nilai apa pun kecuali dan.

• Jika, maka semua suku perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama - positif;
• jika, maka semua anggota perkembangan selanjutnya berganti tanda;
• kapan - perkembangannya disebut menurun tak terhingga.

Persamaan suku-suku barisan geometri - .

Jumlah suku suatu barisan geometri dihitung dengan rumus:
atau

Matematika adalah apamanusia mengendalikan alam dan diri mereka sendiri.

Matematikawan Soviet, akademisi A.N. Kolmogorov

Kemajuan geometris.

Selain soal-soal barisan aritmatika, soal-soal yang berkaitan dengan konsep barisan geometri juga sering ditemukan pada ujian masuk matematika. Agar berhasil menyelesaikan soal-soal tersebut, Anda perlu mengetahui sifat-sifat barisan geometri dan memiliki keterampilan yang baik dalam menggunakannya.

Artikel ini dikhususkan untuk pemaparan sifat-sifat dasar barisan geometri. Contoh penyelesaian masalah umum juga disediakan di sini., dipinjam dari tugas-tugas ujian masuk matematika.

Mari kita perhatikan terlebih dahulu sifat-sifat dasar barisan geometri dan mengingat kembali rumus dan pernyataan yang paling penting, terkait dengan konsep ini.

Definisi. Suatu barisan bilangan disebut barisan geometri jika setiap bilangan mulai dari bilangan kedua sama dengan bilangan sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Bilangan tersebut disebut penyebut suatu barisan geometri.

Untuk perkembangan geometrirumusnya valid

, (1)

Di mana . Rumus (1) disebut rumus suku umum suatu barisan geometri, dan rumus (2) menyatakan sifat utama suatu barisan geometri: setiap suku barisan tersebut berimpit dengan rata-rata geometri suku-suku tetangganya dan .

Catatan, bahwa justru karena sifat inilah perkembangan yang dimaksud disebut “geometris”.

Rumus (1) dan (2) di atas digeneralisasikan sebagai berikut:

, (3)

Untuk menghitung jumlahnya Pertama anggota barisan geometrirumus berlaku

Jika kita menyatakan , maka

Di mana . Karena , rumus (6) merupakan generalisasi dari rumus (5).

Dalam kasus ketika dan perkembangan geometrimenurun tanpa batas. Untuk menghitung jumlahnyadari semua suku barisan geometri yang menurun tak terhingga, digunakan rumus

. (7)

Misalnya , menggunakan rumus (7) dapat kita tunjukkan, Apa

Di mana . Persamaan tersebut diperoleh dari rumus (7) dengan syarat , (persamaan pertama) dan , (persamaan kedua).

Dalil. Jika , maka

Bukti. Jika , maka

Teorema tersebut telah terbukti.

Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah pada topik “Perkembangan Geometri”.

Contoh 1. Diberikan: , dan . Menemukan .

Larutan. Jika kita menerapkan rumus (5), maka

Menjawab: .

Contoh 2. Biarkan saja. Menemukan .

Larutan. Sejak dan , kita menggunakan rumus (5), (6) dan memperoleh sistem persamaan

Jika persamaan kedua sistem (9) dibagi dengan persamaan pertama, lalu atau . Oleh karena itu . Mari kita pertimbangkan dua kasus.

1. Jika, maka dari persamaan pertama sistem (9) kita punya.

2. Jika , maka .

Contoh 3. Biarkan , dan . Menemukan .

Larutan. Dari rumus (2) berikut ini atau . Sejak , lalu atau .

Sesuai dengan kondisinya. Namun, oleh karena itu. Sejak dan maka di sini kita memiliki sistem persamaan

Jika persamaan kedua sistem dibagi dengan persamaan pertama, maka atau .

Karena persamaan tersebut memiliki akar unik yang cocok. Dalam hal ini, mengikuti persamaan pertama sistem.

Dengan mempertimbangkan rumus (7), kita peroleh.

Menjawab: .

Contoh 4. Diberikan: dan . Menemukan .

Larutan. Sejak itu.

Sejak , lalu atau

Menurut rumus (2) kita punya . Dalam hal ini, dari persamaan (10) kita peroleh atau .

Namun, dengan syarat.

Contoh 5. Diketahui bahwa. Menemukan .

Larutan. Menurut teorema, kita memiliki dua persamaan

Sejak , lalu atau . Karena, kalau begitu.

Menjawab: .

Contoh 6. Diberikan: dan . Menemukan .

Larutan. Dengan mempertimbangkan rumus (5), kita peroleh

Sejak itu. Sejak , dan , lalu .

Contoh 7. Biarkan saja. Menemukan .

Larutan. Menurut rumus (1) kita dapat menulis

Oleh karena itu, kita mempunyai atau . Diketahui bahwa dan , oleh karena itu dan .

Menjawab: .

Contoh 8. Temukan penyebut barisan geometri menurun tak terhingga jika

Dan .

Larutan. Dari rumus (7) berikut ini Dan . Dari sini dan dari kondisi masalah diperoleh sistem persamaan

Jika persamaan pertama sistem tersebut dikuadratkan, lalu bagi persamaan yang dihasilkan dengan persamaan kedua, lalu kita dapatkan

Atau .

Menjawab: .

Contoh 9. Temukan semua nilai yang barisannya , , merupakan barisan geometri.

Larutan. Biarkan , dan . Menurut rumus (2), yang mendefinisikan sifat dasar suatu barisan geometri, kita dapat menulis atau .

Dari sini kita mendapatkan persamaan kuadrat, yang akarnya Dan .

Mari kita periksa: jika, lalu , dan ;

jika , maka , dan . Dalam kasus pertama yang kita miliki

dan , dan yang kedua – dan .

Menjawab: , .Contoh 10.

, (11)

Selesaikan persamaannya

dimana dan .

Dari rumus (7) berikut ini, Apa Larutan. Ruas kiri persamaan (11) adalah jumlah barisan geometri menurun tak terhingga, dimana dan , tunduk pada: dan .. Dalam hal ini, persamaan (11) mengambil bentuk atau . Akar yang cocok

Menjawab: .

persamaan kuadrat adalah Contoh 11. Pbarisan bilangan positif membentuk barisan aritmatika , A– perkembangan geometri

Larutan., dan di sini. Menemukan . Karena barisan aritmatika , Itu(sifat utama perkembangan aritmatika). Sejak , lalu atau . Oleh karena itu,bahwa barisan geometri mempunyai bentuk. Menurut rumus (2)

, lalu kita tuliskan itu. Sejak dan , lalu. Dalam hal ini, ekspresi mengambil bentuk atau . Sesuai dengan kondisinya,jadi dari Persamaan. kami memperoleh solusi unik untuk masalah yang sedang dipertimbangkan

Menjawab: .

, yaitu. . Contoh 12.

. (12)

Larutan. Hitung Jumlah

Kalikan kedua ruas persamaan (12) dengan 5 dan dapatkan barisan aritmatika

Jika kita mengurangi (12) dari ekspresi yang dihasilkan

atau .

Menjawab: .

Untuk menghitung, kita substitusikan nilainya ke dalam rumus (7) dan dapatkan . Sejak itu., Contoh pemecahan masalah yang diberikan di sini akan berguna bagi pelamar ketika mempersiapkan ujian masuk. Untuk mempelajari lebih dalam tentang metode pemecahan masalah, berkaitan dengan perkembangan geometri

1. Kumpulan Soal Matematika untuk Pelamar Perguruan Tinggi / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir dan Pendidikan, 2013. – 608 hal.

2. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: bagian tambahan dari kurikulum sekolah. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 hal.

3. Medinsky M.M. Kursus matematika dasar lengkap dalam soal dan latihan. Buku 2: Urutan Angka dan Perkembangannya. – M.: Editus, 2015. – 208 hal.

Masih ada pertanyaan?

Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumber aslinya.

instruksi

10, 30, 90, 270...

Anda perlu mencari penyebut suatu barisan geometri.
Larutan:

Pilihan 1. Mari kita ambil suku sembarang dari perkembangan tersebut (misalnya, 90) dan membaginya dengan suku sebelumnya (30): 90/30=3.

Jika diketahui jumlah beberapa suku suatu barisan geometri atau jumlah semua suku suatu barisan geometri menurun, maka untuk mencari penyebut barisan tersebut, gunakan rumus yang sesuai:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), dengan Sn adalah jumlah n suku pertama barisan geometri dan
S = b1/(1-q), dengan S adalah jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga (jumlah seluruh suku barisan yang penyebutnya kurang dari satu).
Contoh.

Suku pertama suatu barisan geometri menurun sama dengan satu, dan jumlah semua sukunya sama dengan dua.

Hal ini diperlukan untuk menentukan penyebut perkembangan ini.
Larutan:

Gantikan data dari soal ke dalam rumus. Ternyata:
2=1/(1-q), maka – q=1/2.

Kemajuan adalah urutan angka. Dalam suatu barisan geometri, setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tertentu q, yang disebut penyebut barisan tersebut.

instruksi

Jika dua suku geometri yang berdekatan b(n+1) dan b(n) diketahui, untuk mendapatkan penyebutnya, Anda perlu membagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan sebelumnya: q=b(n+1)/b (N). Berikut ini definisi perkembangan dan penyebutnya. Syarat penting adalah suku pertama dan penyebut suatu barisan tidak sama dengan nol, jika tidak maka dianggap tidak terdefinisi.

Jadi, hubungan berikut terbentuk antara suku-suku barisan: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Dengan menggunakan rumus b(n)=b1 q^(n-1), suku apa pun dari barisan geometri yang penyebutnya q dan suku b1 diketahui dapat dihitung. Selain itu, masing-masing perkembangan mempunyai modulus yang sama dengan rata-rata anggota tetangganya: |b(n)|=√, dari situlah perkembangan tersebut mendapatkan .

Analog dari barisan geometri adalah fungsi eksponensial paling sederhana y=a^x, dengan x adalah eksponen, a adalah bilangan tertentu. Dalam hal ini, penyebut barisan tersebut bertepatan dengan suku pertama dan sama dengan bilangan a. Nilai fungsi y dapat dipahami sebagai suku ke-n dari barisan tersebut jika argumen x dianggap bilangan asli n (penghitung).

Terdapat untuk jumlah n suku pertama suatu barisan geometri: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Rumus ini berlaku untuk q≠1. Jika q=1, maka jumlah n suku pertama dihitung dengan rumus S(n)=n b1. Omong-omong, perkembangannya disebut meningkat jika q lebih besar dari satu dan b1 positif. Jika penyebut suatu barisan tidak melebihi satu dalam nilai mutlaknya, maka barisan tersebut disebut menurun.

Kasus khusus suatu barisan geometri adalah barisan geometri yang menurun tak terhingga (deret geometri yang menurun tak terhingga). Faktanya adalah suku-suku barisan geometri menurun akan berkurang berulang kali, tetapi tidak akan pernah mencapai nol. Meskipun demikian, adalah mungkin untuk menemukan jumlah semua suku dari perkembangan tersebut. Ditentukan dengan rumus S=b1/(1-q). Jumlah suku n tidak terhingga.

Untuk memvisualisasikan bagaimana Anda dapat menjumlahkan bilangan tak terhingga tanpa menjadi tak terhingga, buatlah kue. Potong setengahnya. Kemudian potong 1/2 bagiannya, dan seterusnya. Potongan-potongan yang akan Anda peroleh tidak lebih dari anggota barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan penyebut 1/2. Jika Anda menjumlahkan semua bagian ini, Anda mendapatkan kue aslinya.

Soal geometri adalah jenis latihan khusus yang memerlukan pemikiran spasial. Jika Anda tidak dapat menyelesaikan geometri tugas, coba ikuti aturan di bawah ini.

instruksi

Bacalah ketentuan tugas dengan cermat; jika Anda tidak ingat atau tidak memahami sesuatu, bacalah kembali.

Cobalah untuk menentukan jenis soal geometri yang dimaksud, misalnya: soal komputasi, ketika Anda perlu mencari suatu nilai, soal yang melibatkan , memerlukan rangkaian penalaran yang logis, soal yang melibatkan konstruksi menggunakan kompas dan penggaris. Lebih banyak tugas tipe campuran. Setelah Anda mengetahui jenis masalahnya, cobalah berpikir logis.

Terapkan teorema yang diperlukan untuk tugas tertentu, tetapi jika Anda ragu atau tidak ada pilihan sama sekali, cobalah mengingat teori yang Anda pelajari pada topik yang relevan.

Tuliskan juga penyelesaian masalah dalam bentuk draft. Coba gunakan metode yang diketahui untuk memeriksa kebenaran solusi Anda.

Isilah penyelesaian soal dengan hati-hati di buku catatan Anda, tanpa menghapus atau mencoret, dan yang terpenting - . Namun, segera setelah Anda menguasai proses ini, Anda akan mulai melakukan tugas-tugas seperti orang gila, menikmatinya!

Barisan geometri adalah barisan bilangan b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) sedemikian sehingga b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Dengan kata lain, setiap suku suatu barisan diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikannya dengan suatu penyebut yang bukan nol dari barisan tersebut q.

instruksi

Masalah barisan paling sering diselesaikan dengan menyusun dan kemudian mengikuti sistem terhadap suku pertama barisan b1 dan penyebut barisan q. Untuk membuat persamaan, ada gunanya mengingat beberapa rumus.

Cara menyatakan suku ke-n suatu barisan melalui suku pertama barisan dan penyebut barisan tersebut: b(n)=b1*q^(n-1).

Mari kita perhatikan secara terpisah kasus |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии