Setiap pertidaksamaan yang memuat suatu fungsi di bawah akar disebut irasional. Ada dua jenis ketidaksetaraan tersebut:
Dalam kasus pertama, root fungsi yang lebih sedikit g (x), yang kedua - lebih banyak. Jika g(x) - konstan, ketimpangan menjadi sangat disederhanakan. Harap diperhatikan: secara lahiriah kesenjangan ini sangat mirip, namun skema penyelesaiannya berbeda secara mendasar.
Hari ini kita akan belajar bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan irasional tipe pertama - ini adalah yang paling sederhana dan paling mudah dipahami. Tanda pertidaksamaan bisa tegas atau tidak tegas. Pernyataan berikut ini benar bagi mereka:
Dalil. Bentuk ketidaksetaraan yang tidak rasional
Setara dengan sistem pertidaksamaan:
Tidak lemah? Mari kita lihat dari mana sistem ini berasal:
- f (x) ≤ g 2 (x) - semuanya jelas di sini. Ini adalah pertidaksamaan awal yang dikuadratkan;
- f (x) ≥ 0 adalah ODZ dari akar. Izinkan saya mengingatkan Anda: aritmatika akar kuadrat hanya ada dari non-negatif angka;
- g(x) ≥ 0 adalah jangkauan akar. Dengan mengkuadratkan ketimpangan, kita menghilangkan hal-hal negatif. Akibatnya, akar tambahan mungkin muncul. Pertidaksamaan g(x) ≥ 0 memotongnya.
Banyak siswa “terpaku” pada pertidaksamaan pertama sistem: f (x) ≤ g 2 (x) - dan melupakan dua lainnya. Hasilnya dapat diprediksi: keputusan yang salah, kehilangan poin.
Karena kesenjangan yang tidak rasional saja sudah cukup topik yang kompleks, mari kita lihat 4 contoh sekaligus. Dari yang mendasar hingga yang sangat rumit. Semua masalah diambil dari ujian masuk Universitas Negeri Moskow dinamai demikian M.V.Lomonosov.
Contoh pemecahan masalah
Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:
Di depan kita ada yang klasik ketimpangan yang tidak rasional: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - konstan. Kami memiliki:
Dari ketiga ketimpangan tersebut, hanya dua yang tersisa di akhir penyelesaian. Karena pertidaksamaan 2 ≥ 0 selalu berlaku. Mari kita selesaikan kesenjangan yang tersisa:
Jadi, x ∈ [−1.5; 0,5]. Semua titik diarsir karena kesenjangannya tidak terlalu ketat.
Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:
Kami menerapkan teorema:
Mari kita selesaikan pertidaksamaan pertama. Untuk melakukan ini, kami akan mengungkapkan kuadrat selisihnya. Kami memiliki:
2x 2 − 18x + 16< (x
− 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x
2 − 8x
+ 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).
Sekarang mari kita selesaikan pertidaksamaan kedua. Di sana juga trinomial kuadrat:
2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)
