Contoh sistem persamaan. Menyelesaikan soal mudah menggunakan metode penjumlahan

Materi artikel ini ditujukan untuk pengenalan pertama tentang sistem persamaan. Di sini kami akan memperkenalkan definisi sistem persamaan dan solusinya, serta mempertimbangkan jenis sistem persamaan yang paling umum. Seperti biasa, kami akan memberikan contoh penjelasan.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan?

Kita akan mendekati definisi sistem persamaan secara bertahap. Pertama, anggap saja mudah untuk memberikannya, dengan menunjukkan dua hal: pertama, jenis rekaman, dan kedua, makna yang terkandung dalam rekaman ini. Mari kita lihat satu per satu, lalu menggeneralisasi alasannya ke dalam definisi sistem persamaan.

Mari kita lihat beberapa di antaranya di depan kita. Sebagai contoh, mari kita ambil dua persamaan 2 x+y=−3 dan x=5. Mari kita tuliskan satu di bawah yang lain dan gabungkan di sebelah kiri dengan kurung kurawal:

Catatan jenis ini, yaitu beberapa persamaan yang disusun dalam satu kolom dan disatukan di sebelah kiri dengan tanda kurung kurawal, merupakan catatan sistem persamaan.

Apa arti entri tersebut? Mereka mendefinisikan himpunan semua solusi persamaan sistem yang merupakan solusi untuk setiap persamaan.

Tidak ada salahnya untuk menggambarkannya dengan kata lain. Mari kita asumsikan bahwa beberapa solusi persamaan pertama adalah solusi semua persamaan sistem lainnya. Jadi catatan sistem hanya berarti mereka.

Sekarang kita siap menerima definisi sistem persamaan secara memadai.

Definisi.

Sistem persamaan catatan panggilan yaitu persamaan yang terletak satu di bawah yang lain, disatukan di sebelah kiri dengan tanda kurung kurawal, yang menunjukkan himpunan semua solusi persamaan yang juga merupakan solusi untuk setiap persamaan sistem.

Definisi serupa diberikan dalam buku teks, namun diberikan di sana bukan untuk kasus umum, tetapi untuk dua persamaan rasional dengan dua variabel.

Tipe utama

Jelas bahwa ada banyak sekali persamaan yang berbeda. Secara alami, ada juga sistem persamaan yang jumlahnya tak terbatas yang disusun menggunakan mereka. Oleh karena itu, untuk kenyamanan mempelajari dan bekerja dengan sistem persamaan, masuk akal untuk membaginya ke dalam kelompok-kelompok sesuai dengan karakteristik yang serupa, dan kemudian melanjutkan untuk mempertimbangkan sistem persamaan tipe individu.

Pembagian pertama menunjukkan jumlah persamaan yang termasuk dalam sistem. Jika ada dua persamaan, maka kita dapat mengatakan bahwa kita mempunyai sistem dua persamaan, jika ada tiga, maka sistem tiga persamaan, dan seterusnya. Jelas bahwa tidak masuk akal membicarakan sistem persamaan tunggal, karena dalam kasus ini, pada dasarnya, kita berurusan dengan persamaan itu sendiri, dan bukan dengan sistem.

Pembagian selanjutnya didasarkan pada jumlah variabel yang terlibat dalam penulisan persamaan sistem. Jika ada satu variabel, maka kita berhadapan dengan sistem persamaan dengan satu variabel (disebut juga dengan satu variabel yang tidak diketahui), jika ada dua, maka dengan sistem persamaan dengan dua variabel (dengan dua variabel yang tidak diketahui), dan seterusnya. Misalnya, adalah sistem persamaan dengan dua variabel x dan y.

Ini mengacu pada jumlah semua variabel berbeda yang terlibat dalam pencatatan. Mereka tidak harus semuanya dimasukkan dalam catatan setiap persamaan sekaligus; kehadiran mereka dalam setidaknya satu persamaan sudah cukup. Misalnya, adalah sistem persamaan dengan tiga variabel x, y dan z. Pada persamaan pertama, variabel x hadir secara eksplisit, dan y dan z bersifat implisit (kita dapat berasumsi bahwa variabel-variabel ini memiliki nol), dan pada persamaan kedua terdapat x dan z, tetapi variabel y tidak disajikan secara eksplisit. Dengan kata lain, persamaan pertama dapat dipandang sebagai , dan yang kedua – sebagai x+0·y−3·z=0.

Hal ketiga yang membedakan sistem persamaan adalah jenis persamaan itu sendiri.

Di sekolah, pembelajaran sistem persamaan dimulai dengan sistem dua persamaan linear dalam dua variabel. Artinya, sistem seperti itu merupakan dua persamaan linier. Berikut beberapa contohnya: Dan . Mereka mempelajari dasar-dasar bekerja dengan sistem persamaan.

Saat memecahkan masalah yang lebih kompleks, Anda mungkin juga menemukan sistem tiga persamaan linier dengan tiga persamaan yang tidak diketahui.

Selanjutnya di kelas 9, persamaan nonlinier ditambahkan ke sistem dua persamaan dengan dua variabel, sebagian besar seluruh persamaan derajat kedua, lebih jarang - derajat yang lebih tinggi. Sistem ini disebut sistem persamaan nonlinier; jika perlu, jumlah persamaan dan persamaan yang tidak diketahui ditentukan. Mari kita tunjukkan contoh sistem persamaan nonlinier tersebut: Dan .

Lalu di dalam sistem juga ada, misalnya, . Mereka biasanya hanya disebut sistem persamaan, tanpa menentukan persamaan yang mana. Perlu dicatat di sini bahwa sering kali sistem persamaan hanya disebut sebagai “sistem persamaan”, dan klarifikasi ditambahkan hanya jika diperlukan.

Di sekolah menengah, seiring dengan pembelajaran materi, persamaan irasional, trigonometri, logaritma, dan eksponensial menembus ke dalam sistem: , , .

Jika kita melihat lebih jauh kurikulum universitas tahun pertama, penekanan utamanya adalah pada studi dan penyelesaian sistem persamaan aljabar linier (SLAE), yaitu persamaan yang ruas kirinya berisi polinomial derajat pertama, dan sisi kanannya berisi angka-angka tertentu. Namun di sana, berbeda dengan di sekolah, mereka tidak lagi mengambil dua persamaan linier dengan dua variabel, melainkan sejumlah persamaan yang berubah-ubah dengan jumlah variabel yang berubah-ubah, yang seringkali tidak sesuai dengan jumlah persamaannya.

Apa solusi dari sistem persamaan?

Istilah “penyelesaian sistem persamaan” secara langsung mengacu pada sistem persamaan. Di sekolah diberikan definisi penyelesaian sistem persamaan dengan dua variabel :

Definisi.

Menyelesaikan sistem persamaan dengan dua variabel disebut pasangan nilai dari variabel-variabel tersebut yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan yang benar, dengan kata lain merupakan penyelesaian dari setiap persamaan sistem.

Misalnya sepasang nilai variabel x=5, y=2 (dapat dituliskan (5, 2)) merupakan penyelesaian sistem persamaan menurut definisinya, karena persamaan sistem tersebut, ketika x= 5, y=2 disubstitusikan ke dalamnya, diubah menjadi persamaan numerik yang benar masing-masing 5+2=7 dan 5−2=3. Tetapi pasangan nilai x=3, y=0 bukanlah solusi untuk sistem ini, karena ketika nilai-nilai ini disubstitusikan ke dalam persamaan, nilai pertama akan berubah menjadi persamaan yang salah 3+0=7.

Definisi serupa dapat dirumuskan untuk sistem dengan satu variabel, serta untuk sistem dengan tiga, empat, dan seterusnya. variabel.

Definisi.

Memecahkan sistem persamaan dengan satu variabel akan ada nilai variabel yang merupakan akar dari semua persamaan sistem, yaitu mengubah semua persamaan menjadi persamaan numerik yang benar.

Mari kita beri contoh. Pertimbangkan sistem persamaan dengan satu variabel berbentuk t . Bilangan −2 adalah penyelesaiannya, karena (−2) 2 =4 dan 5·(−2+2)=0 merupakan persamaan numerik yang sebenarnya. Dan t=1 bukanlah solusi sistem, karena mensubstitusi nilai ini akan menghasilkan dua persamaan yang salah 1 2 =4 dan 5·(1+2)=0.

Definisi.

Menyelesaikan sistem dengan tiga, empat, dst. variabel disebut tiga, empat, dst. nilai-nilai variabel, masing-masing, mengubah semua persamaan sistem menjadi persamaan yang sebenarnya.

Jadi, menurut definisi, tripel nilai variabel x=1, y=2, z=0 adalah solusi sistem , karena 2·1=2, 5·2=10 dan 1+2+0=3 adalah persamaan numerik yang benar. Dan (1, 0, 5) bukanlah solusi untuk sistem ini, karena ketika nilai-nilai variabel ini disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, persamaan kedua berubah menjadi persamaan yang salah 5·0=10, dan persamaan ketiga juga 1+0+5=3.

Perhatikan bahwa sistem persamaan mungkin tidak memiliki solusi, mungkin memiliki jumlah solusi yang terbatas, misalnya satu, dua, ..., atau mungkin memiliki banyak solusi yang tak terhingga. Anda akan melihat ini saat Anda mempelajari topik ini lebih dalam.

Dengan memperhatikan pengertian sistem persamaan dan penyelesaiannya, kita dapat menyimpulkan bahwa penyelesaian suatu sistem persamaan adalah perpotongan himpunan penyelesaian semua persamaannya.

Sebagai kesimpulan, berikut adalah beberapa definisi terkait:

Definisi.

non-bersama, jika tidak memiliki solusi, jika tidak, sistem akan dipanggil persendian.

Definisi.

Sistem persamaan disebut tidak pasti, jika ia mempunyai banyak solusi yang tak terhingga, dan yakin, jika ia mempunyai jumlah solusi yang terbatas atau tidak mempunyai solusi sama sekali.

Istilah-istilah ini diperkenalkan, misalnya, dalam buku teks, tetapi jarang digunakan di sekolah; istilah-istilah ini lebih sering terdengar di lembaga pendidikan tinggi.

Referensi.

1. Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 7 pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Aljabar: kelas 9: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 7. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich. - Edisi ke-17, tambahkan. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 9. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - Edisi ke-13, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovich A.G. Aljabar dan awal mula analisis matematika. kelas 11. Dalam 2 jam Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum (tingkat profil) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - Edisi ke-2, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk kelas 10-11. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov. - Edisi ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 hal.: sakit.
7. A.G.Kurosh. Kursus aljabar yang lebih tinggi.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometri analitik: Buku Ajar: Untuk universitas. – edisi ke-5. – M.: Sains. Fizmatlit, 1999. – 224 hal. – (Mata kuliah matematika tinggi dan fisika matematika). – ISBN 5-02-015234 – X (Edisi 3)

Dalam pelajaran ini kita akan melihat metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Dalam mata kuliah matematika tingkat tinggi, sistem persamaan linier harus diselesaikan baik dalam bentuk tugas-tugas terpisah, misalnya, “Menyelesaikan sistem menggunakan rumus Cramer”, dan dalam menyelesaikan masalah lainnya. Sistem persamaan linear harus ditangani di hampir semua cabang matematika tingkat tinggi.

Pertama, sedikit teori. Apa arti kata matematika “linier” dalam kasus ini? Artinya persamaan sistem Semua variabel disertakan pada tingkat pertama: tanpa barang mewah seperti itu dll., yang hanya disukai oleh peserta olimpiade matematika.

Dalam matematika tingkat tinggi, tidak hanya huruf-huruf yang dikenal sejak kecil yang digunakan untuk menunjukkan variabel.
Opsi yang cukup populer adalah variabel dengan indeks: .
Atau huruf awal abjad latin, kecil dan besar:
Tidak jarang menemukan huruf Yunani: – dikenal banyak orang sebagai “alpha, beta, gamma”. Dan juga satu set dengan indeks, katakanlah, dengan huruf “mu”:

Penggunaan satu atau beberapa kumpulan huruf bergantung pada bagian matematika tingkat tinggi di mana kita dihadapkan pada sistem persamaan linier. Jadi, misalnya, dalam sistem persamaan linier yang ditemui saat menyelesaikan integral dan persamaan diferensial, biasanya menggunakan notasi

Namun bagaimana pun variabelnya ditetapkan, prinsip, metode, dan metode penyelesaian sistem persamaan linier tidak berubah. Oleh karena itu, jika kamu menemukan sesuatu yang menakutkan seperti , jangan buru-buru menutup buku soal karena takut, karena kamu bisa menggambar matahari, burung, dan wajah (guru). Dan, meskipun kelihatannya lucu, sistem persamaan linier dengan notasi ini juga dapat diselesaikan.

Saya rasa artikelnya akan menjadi cukup panjang, jadi daftar isinya kecil. Jadi, “pembekalan” berurutannya akan seperti ini:

– Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode substitusi (“metode sekolah”);
– Menyelesaikan sistem dengan penambahan (pengurangan) suku demi suku pada persamaan sistem;
– Solusi sistem menggunakan rumus Cramer;
– Menyelesaikan sistem menggunakan matriks invers;
– Menyelesaikan sistem menggunakan metode Gaussian.

Semua orang akrab dengan sistem persamaan linear dari kursus matematika sekolah. Intinya, kita mulai dengan pengulangan.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode substitusi

Cara ini bisa juga disebut “metode sekolah” atau metode menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui. Secara kiasan, ini juga bisa disebut “metode Gaussian yang belum selesai”.

Contoh 1

Di sini kita diberikan sistem dua persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui. Perhatikan bahwa suku bebas (angka 5 dan 7) terletak di sisi kiri persamaan. Secara umum, tidak masalah di mana letaknya, di kiri atau di kanan, hanya saja dalam soal matematika tingkat tinggi sering kali letaknya seperti itu. Dan pencatatan seperti itu tidak boleh menimbulkan kebingungan; jika perlu, sistem selalu dapat ditulis “seperti biasa”: . Jangan lupa bahwa ketika memindahkan suatu suku dari satu bagian ke bagian lainnya, tandanya perlu diubah.

Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan sistem persamaan linear? Memecahkan sistem persamaan berarti menemukan banyak solusinya. Solusi suatu sistem adalah himpunan nilai dari semua variabel yang termasuk di dalamnya, yang mengubah SETIAP persamaan sistem menjadi persamaan sejati. Selain itu, sistemnya bisa non-bersama (tidak punya solusi).Jangan malu-malu, ini adalah definisi umum =) Kita hanya akan memiliki satu nilai “x” dan satu nilai “y”, yang memenuhi setiap persamaan c-we.

Ada metode grafis untuk menyelesaikan sistem, yang dapat Anda pelajari di kelas. Masalah paling sederhana dengan sebuah garis. Di sana saya berbicara tentang pengertian geometris sistem dua persamaan linear dengan dua hal yang tidak diketahui. Namun sekarang ini adalah era aljabar, dan angka-angka, aksi-aksi.

Mari kita putuskan: dari persamaan pertama kita nyatakan:
Kami mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua:

Buka tanda kurung, tambahkan suku serupa dan temukan artinya:

Selanjutnya, kita mengingat untuk apa kita menari:
Kita sudah tahu nilainya, tinggal mencari:

Menjawab:

Setelah sistem persamaan APAPUN diselesaikan dengan cara APAPUN, saya sangat menyarankan untuk memeriksanya (secara lisan, pada draft atau kalkulator). Untungnya, hal ini dapat dilakukan dengan mudah dan cepat.

1) Substitusikan jawaban yang ditemukan ke dalam persamaan pertama:

– kesetaraan yang benar diperoleh.

2) Substitusikan jawaban yang ditemukan ke dalam persamaan kedua:

– kesetaraan yang benar diperoleh.

Atau, sederhananya, “semuanya menjadi satu”

Metode penyelesaian yang dipertimbangkan bukan satu-satunya; dari persamaan pertama dimungkinkan untuk menyatakan , dan bukan .
Anda dapat melakukan yang sebaliknya - nyatakan sesuatu dari persamaan kedua dan substitusikan ke persamaan pertama. Omong-omong, perhatikan bahwa yang paling merugikan dari keempat metode tersebut adalah menyatakan dari persamaan kedua:

Hasilnya pecahan, tapi kenapa? Ada solusi yang lebih rasional.

Namun, dalam beberapa kasus, pecahan masih sangat diperlukan. Dalam hal ini, saya ingin menarik perhatian Anda pada BAGAIMANA saya menuliskan ungkapan tersebut. Tidak seperti ini: dan tidak seperti ini: .

Jika dalam matematika tingkat tinggi Anda berurusan dengan bilangan pecahan, cobalah melakukan semua perhitungan dalam pecahan biasa biasa.

Tepat sekali, dan bukan atau!

Tanda koma hanya dapat digunakan kadang-kadang, khususnya jika itu adalah jawaban akhir untuk suatu soal, dan tidak ada tindakan lebih lanjut yang perlu dilakukan dengan nomor ini.

Banyak pembaca mungkin berpikir “kenapa penjelasan detail seperti untuk kelas koreksi, semuanya jelas.” Tidak ada yang seperti itu, sepertinya contoh sekolah yang sederhana, tetapi ada banyak kesimpulan yang SANGAT penting! Ini satu lagi:

Anda harus berusaha menyelesaikan tugas apa pun dengan cara yang paling rasional. Kalau saja karena menghemat waktu dan saraf, serta mengurangi kemungkinan melakukan kesalahan.

Jika dalam soal matematika tingkat tinggi Anda menemukan sistem dua persamaan linier dengan dua hal yang tidak diketahui, maka Anda selalu dapat menggunakan metode substitusi (kecuali jika diindikasikan bahwa sistem tersebut perlu diselesaikan dengan metode lain). bahwa kamu bodoh dan akan menurunkan nilaimu karena menggunakan “metode sekolah” "
Selain itu, dalam beberapa kasus disarankan untuk menggunakan metode substitusi dengan jumlah variabel yang lebih banyak.

Contoh 2

Memecahkan sistem persamaan linear dengan tiga hal yang tidak diketahui

Sistem persamaan serupa sering muncul ketika menggunakan apa yang disebut metode koefisien tak tentu, ketika kita menemukan integral dari fungsi rasional pecahan. Sistem yang dimaksud diambil dari sana oleh saya.

Saat menemukan integral, tujuannya adalah cepat temukan nilai koefisiennya, daripada menggunakan rumus Cramer, metode matriks invers, dll. Oleh karena itu, dalam hal ini metode substitusi yang tepat.

Ketika suatu sistem persamaan diberikan, hal pertama yang perlu dilakukan adalah mencari tahu apakah mungkin untuk menyederhanakannya SEGERA? Menganalisis persamaan sistem, kita melihat bahwa persamaan kedua sistem dapat dibagi 2, yaitu:

Referensi: tanda matematisnya berarti “dari sini mengikuti itu” dan sering digunakan dalam pemecahan masalah.

Sekarang mari kita menganalisis persamaannya; kita perlu menyatakan beberapa variabel dalam bentuk variabel lainnya. Persamaan mana yang harus saya pilih? Anda mungkin sudah menebak bahwa cara termudah untuk mencapai tujuan ini adalah dengan mengambil persamaan pertama sistem:

Di sini, apa pun variabel yang ingin diungkapkan, seseorang dapat dengan mudah menyatakan atau .

Selanjutnya, kita substitusikan ekspresi for ke dalam persamaan kedua dan ketiga dari sistem:

Kami membuka tanda kurung dan menyajikan istilah serupa:

Bagilah persamaan ketiga dengan 2:

Dari persamaan kedua kita nyatakan dan substitusikan ke persamaan ketiga:

Hampir semuanya sudah siap, dari persamaan ketiga kita temukan:
Dari persamaan kedua:
Dari persamaan pertama:

Periksa: Substitusikan nilai variabel yang ditemukan ke ruas kiri setiap persamaan sistem:

1)
2)
3)

Ruas kanan persamaan yang bersesuaian diperoleh, sehingga penyelesaiannya ditemukan dengan benar.

Contoh 3

Memecahkan sistem persamaan linear dengan 4 hal yang tidak diketahui

Ini adalah contoh yang bisa Anda pecahkan sendiri (jawaban di akhir pelajaran).

Menyelesaikan sistem dengan penambahan (pengurangan) suku demi suku dari persamaan sistem

Saat menyelesaikan sistem persamaan linier, seseorang harus mencoba untuk tidak menggunakan “metode sekolah”, tetapi metode penjumlahan (pengurangan) suku demi suku dari persamaan sistem. Mengapa? Ini menghemat waktu dan menyederhanakan perhitungan, namun sekarang semuanya akan menjadi lebih jelas.

Contoh 4

Memecahkan sistem persamaan linear:

Saya mengambil sistem yang sama seperti pada contoh pertama.
Menganalisis sistem persamaan, kita melihat bahwa koefisien-koefisien variabel memiliki besar yang sama dan berlawanan tanda (–1 dan 1). Dalam situasi seperti ini, persamaan dapat dijumlahkan suku demi suku:

Tindakan yang dilingkari merah dilakukan SECARA MENTAL.
Seperti yang Anda lihat, sebagai akibat dari penjumlahan suku demi suku, kita kehilangan variabelnya. Faktanya, inilah yang terjadi inti dari metode ini adalah menghilangkan salah satu variabel.

Lebih dapat diandalkan daripada metode grafis yang dibahas pada paragraf sebelumnya.

Metode substitusi

Kami menggunakan metode ini di kelas 7 untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Algoritma yang dikembangkan di kelas 7 cukup cocok untuk menyelesaikan sistem dua persamaan apa pun (tidak harus linier) dengan dua variabel x dan y (tentu saja, variabel tersebut dapat dilambangkan dengan huruf lain, tidak masalah). Faktanya, kami menggunakan algoritma ini pada paragraf sebelumnya, ketika masalah bilangan dua digit mengarah pada model matematika, yaitu sistem persamaan. Kami menyelesaikan sistem persamaan di atas menggunakan metode substitusi (lihat contoh 1 dari § 4).

Algoritma penggunaan metode substitusi ketika menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel x, y.

1. Nyatakan y sampai x dari salah satu persamaan sistem.
2. Substitusikan ekspresi yang dihasilkan sebagai ganti y ke dalam persamaan sistem yang lain.
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk x.
4. Substitusikan masing-masing akar persamaan yang ditemukan pada langkah ketiga sebagai ganti x ke dalam ekspresi y hingga x yang diperoleh pada langkah pertama.
5. Tulislah jawabannya dalam bentuk pasangan nilai (x;y) yang masing-masing terdapat pada langkah ketiga dan keempat.

4) Substitusikan satu per satu masing-masing nilai y yang ditemukan ke dalam rumus x = 5 - 3. Jika kemudian
5) Pasangan (2; 1) dan solusi dari sistem persamaan tertentu.

Jawaban: (2; 1);

Metode penjumlahan aljabar

Metode ini, seperti metode substitusi, sudah Anda kenal dari mata pelajaran aljabar kelas 7, yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Mari kita mengingat kembali esensi metode ini dengan menggunakan contoh berikut.

Contoh 2. Memecahkan sistem persamaan

Mari kita kalikan semua suku persamaan pertama sistem dengan 3, dan biarkan persamaan kedua tidak berubah:
Kurangi persamaan kedua sistem dari persamaan pertama:

Sebagai hasil penjumlahan aljabar dua persamaan sistem asal, diperoleh persamaan yang lebih sederhana dari persamaan pertama dan kedua sistem yang diberikan. Dengan persamaan yang lebih sederhana ini kita berhak mengganti persamaan apa pun dari sistem tertentu, misalnya persamaan kedua. Kemudian sistem persamaan yang diberikan akan diganti dengan sistem yang lebih sederhana:

Sistem ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode substitusi. Dari persamaan kedua kita temukan. Dengan mengganti persamaan ini dengan persamaan pertama sistem, kita peroleh

Tetap mengganti nilai x yang ditemukan ke dalam rumus

Jika x = 2 maka

Jadi, kami menemukan dua solusi untuk sistem ini:

Metode untuk memperkenalkan variabel baru

Anda diperkenalkan dengan metode memasukkan variabel baru saat menyelesaikan persamaan rasional dengan satu variabel pada mata pelajaran aljabar kelas 8. Inti dari metode penyelesaian sistem persamaan ini adalah sama, namun dari segi teknis ada beberapa ciri yang akan kita bahas pada contoh berikut.

Contoh 3. Memecahkan sistem persamaan

Mari kita perkenalkan variabel baru. Kemudian persamaan pertama sistem tersebut dapat ditulis ulang dalam bentuk yang lebih sederhana: Mari kita selesaikan persamaan ini terhadap variabel t:

Kedua nilai ini memenuhi kondisi dan oleh karena itu merupakan akar persamaan rasional dengan variabel t. Tapi itu berarti ketika kita menemukan bahwa x = 2y, atau
Jadi, dengan menggunakan metode memasukkan variabel baru, kami berhasil “mengelompokan” persamaan pertama sistem, yang tampilannya cukup rumit, menjadi dua persamaan yang lebih sederhana:

x = 2 tahun; kamu - 2x.

Apa selanjutnya? Kemudian masing-masing dari dua persamaan sederhana yang diperoleh harus dipertimbangkan secara bergantian dalam sistem dengan persamaan x 2 - y 2 = 3, yang belum kita ingat. Dengan kata lain, masalahnya adalah menyelesaikan dua sistem persamaan:

Kita perlu mencari solusi untuk sistem pertama, sistem kedua, dan memasukkan semua pasangan nilai yang dihasilkan ke dalam jawabannya. Mari selesaikan sistem persamaan pertama:

Mari kita gunakan metode substitusi, terutama karena semuanya sudah siap di sini: mari kita substitusikan ekspresi 2y dan bukan x ke dalam persamaan kedua sistem. Kami mengerti

Karena x = 2y, kita masing-masing mencari x 1 = 2, x 2 = 2. Jadi, diperoleh dua solusi dari sistem yang diberikan: (2; 1) dan (-2; -1). Mari kita selesaikan sistem persamaan kedua:

Mari kita gunakan metode substitusi lagi: substitusikan ekspresi 2x sebagai pengganti y ke dalam persamaan kedua sistem. Kami mengerti

Persamaan ini tidak mempunyai akar, artinya sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian. Jadi, hanya solusi dari sistem pertama yang perlu disertakan dalam jawabannya.

Jawaban: (2; 1); (-2;-1).

Metode memasukkan variabel baru ketika menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel digunakan dalam dua versi. Opsi pertama: satu variabel baru diperkenalkan dan digunakan hanya dalam satu persamaan sistem. Inilah yang terjadi pada contoh 3. Opsi kedua: dua variabel baru dimasukkan dan digunakan secara bersamaan di kedua persamaan sistem. Hal ini akan terjadi pada contoh 4.

Contoh 4. Memecahkan sistem persamaan

Mari perkenalkan dua variabel baru:

Mari kita pertimbangkan hal itu

Ini akan memungkinkan Anda untuk menulis ulang sistem yang diberikan dalam bentuk yang lebih sederhana, tetapi sehubungan dengan variabel baru a dan b:

Karena a = 1, maka dari persamaan a + 6 = 2 kita peroleh: 1 + 6 = 2; 6=1. Jadi, mengenai variabel a dan b, kita mendapat satu solusi:

Kembali ke variabel x dan y, kita memperoleh sistem persamaan

Mari kita terapkan metode penjumlahan aljabar untuk menyelesaikan sistem ini:

Sejak itu dari persamaan 2x + y = 3 kita temukan:
Jadi, mengenai variabel x dan y, kita mendapat satu solusi:

Mari kita akhiri paragraf ini dengan percakapan teoretis yang singkat namun serius. Anda telah memperoleh pengalaman dalam menyelesaikan berbagai persamaan: linier, kuadrat, rasional, irasional. Anda tahu bahwa ide utama menyelesaikan suatu persamaan adalah berpindah secara bertahap dari satu persamaan ke persamaan lainnya, lebih sederhana, tetapi setara dengan persamaan yang diberikan. Pada paragraf sebelumnya kita telah memperkenalkan konsep kesetaraan untuk persamaan dengan dua variabel. Konsep ini juga digunakan untuk sistem persamaan.

Definisi.

Dua sistem persamaan dengan variabel x dan y disebut ekuivalen jika keduanya mempunyai solusi yang sama atau jika kedua sistem tidak mempunyai solusi.

Ketiga metode (substitusi, penjumlahan aljabar, dan memasukkan variabel baru) yang kita bahas di bagian ini sepenuhnya benar dalam hal kesetaraan. Dengan kata lain, dengan menggunakan metode ini, kami mengganti satu sistem persamaan dengan sistem persamaan lain yang lebih sederhana, tetapi setara dengan sistem aslinya.

Metode grafis untuk menyelesaikan sistem persamaan

Kita telah mempelajari cara menyelesaikan sistem persamaan dengan cara yang umum dan dapat diandalkan seperti metode substitusi, penjumlahan aljabar, dan pengenalan variabel baru. Sekarang mari kita ingat metode yang telah Anda pelajari pada pelajaran sebelumnya. Yaitu, ulangi apa yang Anda ketahui tentang metode solusi grafis.

Metode penyelesaian sistem persamaan secara grafis melibatkan pembuatan grafik untuk setiap persamaan tertentu yang termasuk dalam sistem tertentu dan terletak pada bidang koordinat yang sama, serta di mana perlu untuk menemukan perpotongan titik-titik tersebut. grafik. Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah koordinat titik ini (x; y).

Harus diingat bahwa sistem persamaan grafis biasanya mempunyai satu solusi yang benar, atau solusi yang jumlahnya tak terhingga, atau tidak memiliki solusi sama sekali.

Sekarang mari kita lihat masing-masing solusi ini secara lebih rinci. Jadi, suatu sistem persamaan dapat memiliki solusi unik jika garis-garis yang merupakan grafik persamaan sistem tersebut berpotongan. Jika garis-garis ini sejajar, maka sistem persamaan seperti itu sama sekali tidak mempunyai solusi. Jika grafik garis lurus persamaan sistem bertepatan, maka sistem seperti itu memungkinkan seseorang menemukan banyak solusi.

Nah, sekarang mari kita lihat algoritma penyelesaian sistem dua persamaan dengan 2 yang tidak diketahui menggunakan metode grafis:

Pertama, pertama kita buat grafik persamaan ke-1;
Langkah kedua adalah membuat grafik yang berhubungan dengan persamaan kedua;
Ketiga, kita perlu mencari titik potong grafiknya.
Hasilnya, kita mendapatkan koordinat setiap titik potong yang akan menjadi solusi sistem persamaan tersebut.

Mari kita lihat metode ini lebih detail menggunakan sebuah contoh. Kita diberikan sistem persamaan yang perlu diselesaikan:

Memecahkan persamaan

1. Pertama, kita akan membuat grafik persamaan ini: x2+y2=9.

Namun perlu diperhatikan bahwa grafik persamaan ini akan berupa lingkaran dengan pusat di titik asal, dan jari-jarinya sama dengan tiga.

2. Langkah selanjutnya adalah membuat grafik persamaan seperti: y = x – 3.

Dalam hal ini, kita harus membuat garis lurus dan mencari titik (0;−3) dan (3;0).

3. Mari kita lihat apa yang kita dapat. Kita melihat bahwa garis lurus memotong lingkaran di dua titik A dan B.

Sekarang kita mencari koordinat titik-titik tersebut. Kita melihat bahwa koordinat (3;0) berhubungan dengan titik A, dan koordinat (0;−3) berhubungan dengan titik B.

Dan apa yang kita dapatkan sebagai hasilnya?

Bilangan (3;0) dan (0;−3) yang diperoleh ketika garis memotong lingkaran merupakan penyelesaian kedua persamaan sistem tersebut. Oleh karena itu, bilangan-bilangan ini juga merupakan solusi dari sistem persamaan ini.

Artinya, jawaban penyelesaian ini adalah bilangan: (3;0) dan (0;−3).

1. Menyelesaikan sistem dengan menggunakan metode substitusi.
2. Menyelesaikan sistem dengan penjumlahan (pengurangan) suku demi suku dari persamaan sistem.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan metode substitusi Anda harus mengikuti algoritma sederhana:
1. Ekspres. Dari persamaan apa pun kami menyatakan satu variabel.
2. Pengganti. Kami mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan lain, bukan variabel yang dinyatakan.
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Untuk memutuskan sistem dengan metode penjumlahan (pengurangan) suku demi suku perlu:
1. Pilih variabel yang akan kita buat koefisiennya sama.
2. Kita menambah atau mengurangi persamaan, sehingga menghasilkan persamaan dengan satu variabel.
3. Selesaikan persamaan linier yang dihasilkan. Kami menemukan solusi untuk sistem.

Penyelesaian sistem adalah titik potong grafik fungsi.

Mari kita pertimbangkan secara rinci solusi sistem menggunakan contoh.

Contoh #1:

Mari kita selesaikan dengan metode substitusi

2x+5y=1 (1 persamaan)
x-10y=3 (persamaan ke-2)

1. Ekspres
Terlihat pada persamaan kedua terdapat variabel x dengan koefisien 1, artinya variabel x paling mudah dinyatakan dari persamaan kedua.
x=3+10y

2.Setelah kita menyatakannya, kita substitusikan 3+10y ke persamaan pertama sebagai ganti variabel x.
2(3+10 tahun)+5 tahun=1

3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan dengan satu variabel.
2(3+10y)+5y=1 (buka tanda kurung)
6+20 tahun+5 tahun=1
25 tahun= 1-6
25 tahun=-5 |: (25)
kamu=-5:25
kamu=-0,2

Penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah titik potong grafiknya, oleh karena itu kita perlu mencari x dan y, karena titik potongnya terdiri dari x dan y, carilah x, pada titik pertama yang kita nyatakan kita substitusikan y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Biasanya kita menuliskan titik, pertama kita tulis variabel x, dan kedua variabel y.
Jawaban: (1; -0,2)

Contoh #2:

Mari kita selesaikan dengan menggunakan metode penjumlahan (pengurangan) suku demi suku.

3x-2y=1 (1 persamaan)
2x-3y=-10 (persamaan ke-2)

1. Kita memilih suatu variabel, misalkan kita memilih x. Pada persamaan pertama, variabel x memiliki koefisien 3, pada persamaan kedua - 2. Kita perlu membuat koefisiennya sama, untuk ini kita berhak mengalikan persamaan atau membaginya dengan angka berapa pun. Kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, dan persamaan kedua dengan 3 dan mendapatkan koefisien total 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama untuk menghilangkan variabel x.
__6x-4y=2

5 tahun=32 | :5
kamu=6.4

3. Temukan x. Kita substitusikan y yang ditemukan ke dalam salah satu persamaan, misalkan ke dalam persamaan pertama.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4.6

Titik potongnya adalah x=4.6; kamu=6.4
Jawaban: (4.6; 6.4)

Apakah Anda ingin mempersiapkan ujian secara gratis? Guru daring gratis. Tidak ada lelucon.

Pembelajaran dan presentasi dengan topik: "Sistem persamaan. Metode substitusi, metode penjumlahan, metode memasukkan variabel baru"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator di toko online Integral untuk kelas 9
Simulator untuk buku teks oleh Atanasyan L.S. Simulator untuk buku teks Pogorelova A.V.

Metode penyelesaian sistem pertidaksamaan

Metode substitusi

Bagaimana sebaiknya Anda melanjutkan ketika mengambil keputusan?
1. Nyatakan salah satu variabel dalam variabel lain. Variabel yang paling sering digunakan dalam persamaan adalah x dan y. Dalam salah satu persamaan kita menyatakan satu variabel dalam variabel lain. Tip: Perhatikan kedua persamaan dengan cermat sebelum Anda mulai menyelesaikannya, dan pilih persamaan yang lebih mudah untuk menyatakan variabelnya.
2. Gantikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua, bukan variabel yang dinyatakan.
3. Selesaikan persamaan yang kita peroleh.
4. Substitusikan solusi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua. Jika terdapat beberapa solusi, maka Anda perlu menggantinya secara berurutan agar tidak kehilangan beberapa solusi.
5. Hasilnya, Anda akan mendapatkan sepasang angka $(x;y)$ yang harus dituliskan sebagai jawabannya.

Contoh.
Selesaikan sistem dengan dua variabel menggunakan metode substitusi: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Larutan.
Mari kita lihat lebih dekat persamaan kita. Jelasnya, menyatakan y dalam bentuk x pada persamaan pertama jauh lebih sederhana.
$\begin(kasus)y=5-x, \\xy=6\end(kasus)$.
Mari kita substitusikan ekspresi pertama ke dalam persamaan kedua $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Mari selesaikan persamaan kedua secara terpisah:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Kami memperoleh dua solusi untuk persamaan kedua $x_1=2$ dan $x_2=3$.
Substitusikan berturut-turut ke dalam persamaan kedua.
Jika $x=2$, maka $y=3$. Jika $x=3$, maka $y=2$.
Jawabannya adalah dua pasang angka.
Jawaban: $(2;3)$ dan $(3;2)$.

Metode penjumlahan aljabar

Contoh.
Selesaikan sistem: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Larutan.
Mari kalikan persamaan pertama dengan 2.
$\begin(kasus)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(kasus)$.
Mari kita kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Seperti yang Anda lihat, bentuk persamaan yang dihasilkan jauh lebih sederhana daripada persamaan aslinya. Sekarang kita bisa menggunakan metode substitusi.
$\begin(kasus)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(kasus)$.
Mari kita nyatakan x dalam bentuk y dalam persamaan yang dihasilkan.
$\begin(kasus)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(kasus)$.
Kita mendapat $y=-1$ dan $y=-3$.
Mari kita substitusikan nilai-nilai ini secara berurutan ke dalam persamaan pertama. Kami mendapatkan dua pasang angka: $(1;-1)$ dan $(-1;-3)$.
Jawaban: $(1;-1)$ dan $(-1;-3)$.

Metode untuk memperkenalkan variabel baru

Contoh.
Selesaikan sistem: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Larutan.
Mari kita perkenalkan penggantinya $t=\frac(x)(y)$.
Mari kita tulis ulang persamaan pertama dengan variabel baru: $t+\frac(2)(t)=3$.
Mari selesaikan persamaan yang dihasilkan:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Kita mendapat $t=2$ atau $t=1$. Mari kita perkenalkan perubahan kebalikannya $t=\frac(x)(y)$.
Kita mendapatkan: $x=2y$ dan $x=y$.

Untuk setiap ekspresi, sistem asli harus diselesaikan secara terpisah:
$\begin(kasus)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(kasus)$.   
$\begin(kasus)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(kasus)$.   
$\begin(kasus)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2y, \\7y^2=1\end(kasus)$.      
$\begin(kasus)x=2y, \\y^2=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(kasus)$.     

Contoh.
$\begin(kasus)x=y, \\y=±1\end(kasus)$.

Larutan.
$\begin(kasus)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(kasus)$.    
$\begin(kasus)x=±1, \\y=±1\end(kasus)$.
Kami menerima empat pasang solusi.
Jawaban: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Selesaikan sistem: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(kasus)$.
Mari kita perkenalkan penggantinya: $z=\frac(2)(x-3y)$ dan $t=\frac(3)(2x+y)$.
Mari kita tulis ulang persamaan awal dengan variabel baru:
$\begin(kasus)z+t=2, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
Mari kita gunakan metode penjumlahan aljabar:
$\begin(kasus)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)7z=7, \\4z-3t=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)z=1, \\-3t=1-4\end(kasus)$.
$\begin(kasus)z=1, \\t=1\end(kasus)$.
Mari kita perkenalkan substitusi terbalik:
$\begin(kasus)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(kasus)$.
$\begin(kasus)x-3y=2, \\2x+y=3\end(kasus)$.
Mari kita gunakan metode substitusi:

$\begin(kasus)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(kasus)$.