Lebih dapat diandalkan daripada metode grafis yang dibahas pada paragraf sebelumnya.

Metode substitusi

Kami menggunakan metode ini di kelas 7 untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Algoritma yang dikembangkan di kelas 7 cukup cocok untuk menyelesaikan sistem dua persamaan apa pun (tidak harus linier) dengan dua variabel x dan y (tentu saja, variabel tersebut dapat dilambangkan dengan huruf lain, tidak masalah). Faktanya, kami menggunakan algoritma ini pada paragraf sebelumnya, ketika masalah bilangan dua digit mengarah pada model matematika, yaitu sistem persamaan. Kami menyelesaikan sistem persamaan di atas menggunakan metode substitusi (lihat contoh 1 dari § 4).

Algoritma penggunaan metode substitusi ketika menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel x, y.

1. Nyatakan y sampai x dari salah satu persamaan sistem.
2. Substitusikan ekspresi yang dihasilkan sebagai ganti y ke dalam persamaan sistem yang lain.
3. Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk x.
4. Substitusikan masing-masing akar persamaan yang ditemukan pada langkah ketiga sebagai ganti x ke dalam ekspresi y hingga x yang diperoleh pada langkah pertama.
5. Tulislah jawabannya dalam bentuk pasangan nilai (x;y) yang masing-masing terdapat pada langkah ketiga dan keempat.

4) Substitusikan satu per satu masing-masing nilai y yang ditemukan ke dalam rumus x = 5 - 3. Jika kemudian
5) Pasangan (2; 1) dan solusi dari sistem persamaan tertentu.

Jawaban: (2; 1);

Metode penjumlahan aljabar

Metode ini, seperti metode substitusi, sudah Anda kenal dari mata pelajaran aljabar kelas 7, yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Mari kita mengingat kembali esensi metode ini dengan menggunakan contoh berikut.

Contoh 2. Memecahkan sistem persamaan

Mari kita kalikan semua suku persamaan pertama sistem dengan 3, dan biarkan persamaan kedua tidak berubah:
Kurangi persamaan kedua sistem dari persamaan pertama:

Sebagai hasil penjumlahan aljabar dua persamaan sistem asal, diperoleh persamaan yang lebih sederhana dari persamaan pertama dan kedua sistem yang diberikan. Dengan persamaan yang lebih sederhana ini kita berhak mengganti persamaan apa pun dari sistem tertentu, misalnya persamaan kedua. Kemudian sistem persamaan yang diberikan akan diganti dengan sistem yang lebih sederhana:

Sistem ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode substitusi. Dari persamaan kedua kita temukan. Dengan mengganti persamaan ini dengan persamaan pertama sistem, kita peroleh

Tetap mengganti nilai x yang ditemukan ke dalam rumus

Jika x = 2 maka

Jadi, kami menemukan dua solusi untuk sistem ini:

Metode untuk memperkenalkan variabel baru

Anda diperkenalkan dengan metode memasukkan variabel baru saat menyelesaikan persamaan rasional dengan satu variabel pada mata pelajaran aljabar kelas 8. Inti dari metode penyelesaian sistem persamaan ini adalah sama, namun dari segi teknis ada beberapa ciri yang akan kita bahas pada contoh berikut.

Contoh 3. Memecahkan sistem persamaan

Mari kita perkenalkan variabel baru. Kemudian persamaan pertama sistem tersebut dapat ditulis ulang dalam bentuk yang lebih sederhana: Mari kita selesaikan persamaan ini terhadap variabel t:

Kedua nilai ini memenuhi kondisi dan oleh karena itu merupakan akar persamaan rasional dengan variabel t. Tapi itu berarti ketika kita menemukan bahwa x = 2y, atau
Jadi, dengan menggunakan metode memasukkan variabel baru, kami berhasil “mengelompokan” persamaan pertama sistem, yang tampilannya cukup rumit, menjadi dua persamaan yang lebih sederhana:

x = 2 tahun; kamu - 2x.

Apa selanjutnya? Kemudian masing-masing dari dua persamaan sederhana yang diperoleh harus dipertimbangkan secara bergantian dalam sistem dengan persamaan x 2 - y 2 = 3, yang belum kita ingat. Dengan kata lain, masalahnya adalah menyelesaikan dua sistem persamaan:

Kita perlu mencari solusi untuk sistem pertama, sistem kedua, dan memasukkan semua pasangan nilai yang dihasilkan ke dalam jawabannya. Mari selesaikan sistem persamaan pertama:

Mari kita gunakan metode substitusi, terutama karena semuanya sudah siap di sini: mari kita substitusikan ekspresi 2y dan bukan x ke dalam persamaan kedua sistem. Kami mengerti

Karena x = 2y, kita masing-masing mencari x 1 = 2, x 2 = 2. Jadi, diperoleh dua solusi dari sistem yang diberikan: (2; 1) dan (-2; -1). Mari kita selesaikan sistem persamaan kedua:

Mari kita gunakan metode substitusi lagi: substitusikan ekspresi 2x sebagai pengganti y ke dalam persamaan kedua sistem. Kami mengerti

Persamaan ini tidak mempunyai akar, artinya sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian. Jadi, hanya solusi dari sistem pertama yang perlu disertakan dalam jawabannya.

Jawaban: (2; 1); (-2;-1).

Metode memasukkan variabel baru ketika menyelesaikan sistem dua persamaan dengan dua variabel digunakan dalam dua versi. Opsi pertama: satu variabel baru diperkenalkan dan digunakan hanya dalam satu persamaan sistem. Inilah yang terjadi pada contoh 3. Opsi kedua: dua variabel baru dimasukkan dan digunakan secara bersamaan di kedua persamaan sistem. Hal ini akan terjadi pada contoh 4.

Contoh 4. Memecahkan sistem persamaan

Mari perkenalkan dua variabel baru:

Mari kita pertimbangkan hal itu

Ini akan memungkinkan Anda untuk menulis ulang sistem yang diberikan dalam bentuk yang lebih sederhana, tetapi sehubungan dengan variabel baru a dan b:

Karena a = 1, maka dari persamaan a + 6 = 2 kita peroleh: 1 + 6 = 2; 6=1. Jadi, mengenai variabel a dan b, kita mendapat satu solusi:

Kembali ke variabel x dan y, kita memperoleh sistem persamaan

Mari kita terapkan metode penjumlahan aljabar untuk menyelesaikan sistem ini:

Sejak itu dari persamaan 2x + y = 3 kita temukan:
Jadi, mengenai variabel x dan y, kita mendapat satu solusi:

Mari kita akhiri paragraf ini dengan percakapan teoretis yang singkat namun serius. Anda telah memperoleh pengalaman dalam menyelesaikan berbagai persamaan: linier, kuadrat, rasional, irasional. Anda tahu bahwa ide utama menyelesaikan suatu persamaan adalah berpindah secara bertahap dari satu persamaan ke persamaan lainnya, lebih sederhana, tetapi setara dengan persamaan yang diberikan. Pada paragraf sebelumnya kita telah memperkenalkan konsep kesetaraan untuk persamaan dengan dua variabel. Konsep ini juga digunakan untuk sistem persamaan.

Definisi.

Dua sistem persamaan dengan variabel x dan y disebut ekuivalen jika keduanya mempunyai solusi yang sama atau jika kedua sistem tidak mempunyai solusi.

Ketiga metode (substitusi, penjumlahan aljabar, dan memasukkan variabel baru) yang kita bahas di bagian ini sepenuhnya benar dalam hal kesetaraan. Dengan kata lain, dengan menggunakan metode ini, kami mengganti satu sistem persamaan dengan sistem persamaan lain yang lebih sederhana, tetapi setara dengan sistem aslinya.

Metode grafis untuk menyelesaikan sistem persamaan

Kita telah mempelajari cara menyelesaikan sistem persamaan dengan cara yang umum dan dapat diandalkan seperti metode substitusi, penjumlahan aljabar, dan pengenalan variabel baru. Sekarang mari kita ingat metode yang telah Anda pelajari pada pelajaran sebelumnya. Yaitu, ulangi apa yang Anda ketahui tentang metode solusi grafis.

Metode penyelesaian sistem persamaan secara grafis melibatkan pembuatan grafik untuk setiap persamaan tertentu yang termasuk dalam sistem tertentu dan terletak pada bidang koordinat yang sama, serta di mana perlu untuk menemukan perpotongan titik-titik tersebut. grafik. Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah koordinat titik ini (x; y).

Harus diingat bahwa sistem persamaan grafis biasanya mempunyai satu solusi yang benar, atau solusi yang jumlahnya tak terhingga, atau tidak memiliki solusi sama sekali.

Sekarang mari kita lihat masing-masing solusi ini secara lebih rinci. Jadi, suatu sistem persamaan dapat memiliki solusi unik jika garis-garis yang merupakan grafik persamaan sistem tersebut berpotongan. Jika garis-garis ini sejajar, maka sistem persamaan seperti itu sama sekali tidak mempunyai solusi. Jika grafik garis lurus persamaan sistem bertepatan, maka sistem seperti itu memungkinkan seseorang menemukan banyak solusi.

Nah, sekarang mari kita lihat algoritma penyelesaian sistem dua persamaan dengan 2 yang tidak diketahui menggunakan metode grafis:

Pertama, pertama kita buat grafik persamaan ke-1;
Langkah kedua adalah membuat grafik yang berhubungan dengan persamaan kedua;
Ketiga, kita perlu mencari titik potong grafiknya.
Hasilnya, kita mendapatkan koordinat setiap titik potong yang akan menjadi solusi sistem persamaan tersebut.

Mari kita lihat metode ini lebih detail menggunakan sebuah contoh. Kita diberikan sistem persamaan yang perlu diselesaikan:

Memecahkan persamaan

1. Pertama, kita akan membuat grafik persamaan ini: x2+y2=9.

Namun perlu diperhatikan bahwa grafik persamaan ini akan berupa lingkaran dengan pusat di titik asal, dan jari-jarinya sama dengan tiga.

2. Langkah selanjutnya adalah membuat grafik persamaan seperti: y = x – 3.

Dalam hal ini, kita harus membuat garis lurus dan mencari titik (0;−3) dan (3;0).

3. Mari kita lihat apa yang kita dapat. Kita melihat bahwa garis lurus memotong lingkaran di dua titik A dan B.

Sekarang kita mencari koordinat titik-titik tersebut. Kita melihat bahwa koordinat (3;0) berhubungan dengan titik A, dan koordinat (0;−3) berhubungan dengan titik B.

Dan apa yang kita dapatkan sebagai hasilnya?

Bilangan (3;0) dan (0;−3) yang diperoleh ketika garis memotong lingkaran merupakan penyelesaian kedua persamaan sistem tersebut. Oleh karena itu, bilangan-bilangan ini juga merupakan solusi dari sistem persamaan ini.

Artinya, jawaban penyelesaian ini adalah bilangan: (3;0) dan (0;−3).

Kita sudah familiar dengan konsep persamaan linear dalam dua hal yang tidak diketahui. Persamaan dapat hadir dalam satu soal baik secara individual atau beberapa persamaan sekaligus. Dalam kasus seperti itu, persamaan digabungkan menjadi sistem persamaan.

Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear

Sistem persamaan- ini adalah dua atau lebih persamaan yang semua solusi umumnya perlu dicari. Biasanya, untuk menulis sistem persamaan, ditulis dalam kolom dan digambar satu tanda kurung kurawal. Rekaman sistem persamaan linear disajikan di bawah ini.

( 4x + 3 tahun = 6
( 2x + kamu = 4

Entri ini berarti bahwa sistem dua persamaan dengan dua variabel diberikan. Jika ada tiga persamaan dalam sistem, maka yang kita bicarakan adalah sistem tiga persamaan. Dan seterusnya untuk sejumlah persamaan.

Jika semua persamaan yang ada dalam suatu sistem adalah linier, maka dikatakan sistem persamaan linier tersebut diberikan. Pada contoh di atas, disajikan sistem dua persamaan linier. Seperti disebutkan di atas, sistem mungkin memiliki solusi umum. Kita akan membahas istilah “solusi umum” di bawah ini.

Apa solusinya?

Penyelesaian sistem dua persamaan yang dua variabelnya tidak diketahui adalah sepasang bilangan (x,y) sehingga jika bilangan-bilangan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, maka masing-masing persamaan sistem tersebut menjadi persamaan sejati.

Misalnya, kita mempunyai sistem dua persamaan linear. Penyelesaian persamaan pertama adalah semua pasangan bilangan yang memenuhi persamaan tersebut.

Untuk persamaan kedua, solusinya adalah pasangan bilangan yang memenuhi persamaan tersebut. Jika terdapat pasangan bilangan yang memenuhi persamaan pertama dan kedua, maka pasangan bilangan tersebut merupakan penyelesaian sistem dua persamaan linier dalam dua bilangan yang tidak diketahui.

Solusi grafis

Secara grafis, penyelesaian persamaan linier adalah semua titik pada suatu garis pada bidang.

Untuk sistem persamaan linier, kita akan mempunyai beberapa garis lurus (sesuai dengan banyaknya persamaan). Dan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah titik perpotongan SEMUA garis. Jika tidak ada titik seperti itu, maka sistem tidak akan mempunyai solusi. Titik perpotongan semua garis adalah milik masing-masing garis tersebut, oleh karena itu penyelesaiannya disebut umum.

Ngomong-ngomong, memplot persamaan suatu sistem dan menemukan titik persekutuannya adalah salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan. Metode ini disebut grafis.

Cara lain untuk menyelesaikan persamaan linear

Ada cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua hal yang tidak diketahui.

instruksi

Metode penambahan.
Anda perlu menulis dua di bawah satu sama lain:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Dalam persamaan yang dipilih secara sewenang-wenang (dari sistem), masukkan angka 11 alih-alih “permainan” yang sudah ditemukan dan hitung yang tidak diketahui kedua:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Jawaban sistem persamaan ini adalah x=116, y=11.

Metode grafis.
Ini terdiri dari pencarian praktis koordinat titik di mana garis-garis ditulis secara matematis dalam sistem persamaan. Grafik kedua garis harus digambar secara terpisah dalam sistem koordinat yang sama. Pandangan umum: – y=khx+b. Untuk membuat garis lurus, cukup mencari koordinat dua titik, dan x dipilih secara sembarang.
Misalkan sistemnya diberikan: 2x – y=4

kamu=-3x+1.
Sebuah garis lurus dibuat menggunakan garis pertama; untuk memudahkan, Anda perlu menuliskannya: y=2x-4. Temukan nilai (lebih mudah) untuk x, substitusikan ke dalam persamaan, selesaikan, dan temukan y. Kami mendapatkan dua titik di mana garis lurus dibangun. (lihat gambar)
x 0 1

kamu -4 -2
Garis lurus dibuat menggunakan persamaan kedua: y=-3x+1.
Buat juga garis lurus. (lihat gambar)

kamu 1 -5
Temukan koordinat titik potong dua garis yang dibangun pada grafik (jika garis-garis tersebut tidak berpotongan, maka sistem persamaan tidak ada - jadi).

Video tentang topik tersebut

Saran yang berguna

Jika Anda menyelesaikan sistem persamaan yang sama dengan tiga cara berbeda, jawabannya akan sama (jika penyelesaiannya benar).

Sumber:

• aljabar kelas 8
• selesaikan persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui secara online
• Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua

Sistem persamaan adalah kumpulan catatan matematika yang masing-masing berisi sejumlah variabel. Ada beberapa cara untuk mengatasinya.

Anda akan membutuhkan

• -penggaris dan pensil;
• -kalkulator.

instruksi

Perhatikan barisan penyelesaian sistem yang terdiri dari persamaan linear berbentuk: a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2. Dimana x dan y adalah variabel yang tidak diketahui, dan b,c adalah suku bebas. Saat menerapkan metode ini, setiap sistem mewakili koordinat titik-titik yang bersesuaian dengan setiap persamaan. Untuk memulainya, dalam setiap kasus, nyatakan satu variabel dalam variabel lain. Kemudian atur variabel x ke sejumlah nilai berapa pun. Dua sudah cukup. Substitusikan ke dalam persamaan dan temukan y. Bangunlah sistem koordinat, tandai titik-titik yang dihasilkan di atasnya dan tarik garis melaluinya. Perhitungan serupa harus dilakukan untuk bagian lain dari sistem.

Sistem mempunyai solusi unik jika garis-garis yang dibangun berpotongan dan mempunyai satu titik yang sama. Tidak kompatibel jika sejajar satu sama lain. Dan ia memiliki banyak solusi yang tak terhingga ketika garis-garisnya bergabung satu sama lain.

Cara ini dinilai sangat visual. Kerugian utama adalah bahwa perhitungan yang tidak diketahui mempunyai nilai perkiraan. Hasil yang lebih akurat diberikan melalui apa yang disebut metode aljabar.

Solusi apa pun terhadap sistem persamaan patut untuk diperiksa. Untuk melakukan ini, gantikan nilai yang dihasilkan dengan variabel. Anda juga dapat menemukan solusinya menggunakan beberapa metode. Jika solusi sistemnya benar, maka semua orang akan mendapatkan hasil yang sama.

Seringkali ada persamaan yang salah satu sukunya tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan, Anda perlu mengingat dan melakukan serangkaian tindakan tertentu dengan angka-angka ini.

Anda akan membutuhkan

• - selembar kertas;
• - pena atau pensil.

instruksi

Bayangkan ada 8 ekor kelinci di depan Anda, dan Anda hanya memiliki 5 wortel. Coba pikirkan, Anda masih perlu membeli lebih banyak wortel agar setiap kelinci mendapat satu.

Mari kita nyatakan soal ini dalam bentuk persamaan: 5 + x = 8. Mari kita substitusikan angka 3 ke tempat x.

Saat Anda mensubstitusi suatu bilangan dengan x, Anda melakukan hal yang sama seperti saat Anda mengurangkan 5 dari 8. Jadi, untuk mencari tidak dikenal suku, kurangi suku yang diketahui dari jumlah tersebut.

Misalkan Anda mempunyai 20 ekor kelinci dan hanya 5 wortel. Mari kita berbaikan. Persamaan adalah persamaan yang hanya berlaku untuk nilai-nilai tertentu dari huruf-huruf yang ada di dalamnya. Huruf-huruf yang perlu dicari maknanya disebut . Tulis persamaan dengan satu yang tidak diketahui, sebut saja x. Saat menyelesaikan soal kelinci, kita mendapatkan persamaan berikut: 5 + x = 20.

Mari kita cari selisih antara 20 dan 5. Saat mengurangkan, bilangan yang dikurangi adalah bilangan yang dikurangi. Bilangan yang dikurangi disebut , dan hasil akhirnya disebut selisih. Jadi x = 20 – 5; x = 15. Kamu perlu membeli 15 wortel untuk kelincinya.

Periksa: 5 + 15 = 20. Persamaan terselesaikan dengan benar. Tentu saja, jika menyangkut hal sederhana seperti itu, pemeriksaan tidak perlu dilakukan. Namun, ketika Anda memiliki persamaan dengan angka tiga digit, empat digit, dan seterusnya, Anda pasti perlu memeriksanya untuk benar-benar yakin dengan hasil pekerjaan Anda.

Video tentang topik tersebut

Saran yang berguna

Untuk mencari minuend yang tidak diketahui, Anda perlu menambahkan pengurang pada selisihnya.

Untuk mencari pengurang yang tidak diketahui, Anda perlu mengurangkan selisihnya dari minuend.

Tip 4: Cara menyelesaikan sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui

Suatu sistem yang terdiri dari tiga persamaan dengan tiga persamaan yang tidak diketahui mungkin tidak memiliki solusi, meskipun jumlah persamaannya mencukupi. Anda dapat mencoba menyelesaikannya dengan menggunakan metode substitusi atau menggunakan metode Cramer. Metode Cramer, selain menyelesaikan sistem, memungkinkan Anda mengevaluasi apakah sistem dapat dipecahkan sebelum menemukan nilai yang tidak diketahui.

instruksi

Metode substitusi terdiri dari satu hal yang tidak diketahui melalui dua hal lainnya secara berurutan dan mensubstitusi hasil yang dihasilkan ke dalam persamaan sistem. Biarkan sistem tiga persamaan diberikan dalam bentuk umum:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Nyatakan x dari persamaan pertama: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - dan substitusikan ke persamaan kedua dan ketiga, lalu nyatakan y dari persamaan kedua dan substitusikan ke persamaan ketiga. Anda akan memperoleh ekspresi linier untuk z melalui koefisien persamaan sistem. Sekarang lakukan “mundur”: substitusikan z ke persamaan kedua dan selesaikan y, lalu substitusikan z dan y ke persamaan pertama dan selesaikan x. Prosesnya umumnya ditunjukkan pada gambar sebelum menemukan z. Penulisan lebih lanjut dalam bentuk umum akan terlalu rumit; dalam praktiknya, dengan mengganti , Anda dapat dengan mudah menemukan ketiga hal yang tidak diketahui.

Metode Cramer terdiri dari membangun matriks sistem dan menghitung determinan matriks tersebut, serta tiga matriks tambahan lainnya. Matriks sistem terdiri dari koefisien suku-suku persamaan yang tidak diketahui. Kolom berisi angka-angka di ruas kanan persamaan, kolom di ruas kanan. Itu tidak digunakan dalam sistem, tetapi digunakan saat menyelesaikan sistem.

Video tentang topik tersebut

Harap dicatat

Semua persamaan dalam sistem harus memberikan informasi tambahan yang tidak bergantung pada persamaan lainnya. Jika tidak, sistem akan tidak dapat ditentukan dan solusi yang pasti tidak akan dapat ditemukan.

Saran yang berguna

Setelah menyelesaikan sistem persamaan, substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam sistem asli dan periksa apakah nilai tersebut memenuhi semua persamaan.

Dengan sendirinya persamaan dengan tiga tidak dikenal memiliki banyak solusi, sehingga paling sering dilengkapi dengan dua persamaan atau kondisi lagi. Tergantung pada data awalnya, jalannya pengambilan keputusan akan sangat bergantung.

Anda akan membutuhkan

• - sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui.

instruksi

Jika dua dari tiga sistem hanya mempunyai dua dari tiga variabel yang tidak diketahui, cobalah nyatakan beberapa variabel dalam variabel lain dan substitusikan ke dalam persamaan dengan tiga tidak dikenal. Tujuan Anda dalam hal ini adalah mengubahnya menjadi normal persamaan dengan orang yang tidak dikenal. Jika ya, solusi selanjutnya cukup sederhana - substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan lain dan temukan semua nilai yang tidak diketahui lainnya.

Beberapa sistem persamaan dapat dikurangkan dari satu persamaan ke persamaan lainnya. Lihat apakah mungkin untuk mengalikan salah satu atau suatu variabel sehingga dua variabel yang tidak diketahui dihilangkan sekaligus. Jika ada peluang seperti itu, manfaatkanlah, kemungkinan besar, solusi selanjutnya tidak akan sulit. Ingatlah bahwa saat mengalikan suatu bilangan, Anda harus mengalikan ruas kiri dan ruas kanannya. Begitu pula saat mengurangkan persamaan, harus diingat bahwa ruas kanan juga harus dikurangi.

Jika metode sebelumnya tidak membantu, gunakan metode umum untuk menyelesaikan persamaan apa pun dengan tiga tidak dikenal. Caranya, tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Sekarang buatlah matriks koefisien untuk x (A), matriks yang tidak diketahui (X) dan matriks yang tidak diketahui (B). Perlu diketahui bahwa dengan mengalikan matriks koefisien dengan matriks yang tidak diketahui, diperoleh matriks suku bebas, yaitu A*X=B.

Carilah matriks A pangkat (-1) dengan terlebih dahulu mencari , perhatikan bahwa matriks tersebut tidak boleh sama dengan nol. Setelah itu, kalikan matriks yang dihasilkan dengan matriks B, sebagai hasilnya Anda akan mendapatkan matriks X yang diinginkan, yang menunjukkan semua nilai.

Anda juga dapat menemukan solusi sistem tiga persamaan menggunakan metode Cramer. Untuk melakukannya, cari determinan orde ketiga ∆ yang bersesuaian dengan matriks sistem. Kemudian secara berturut-turut temukan tiga determinan lagi ∆1, ∆2 dan ∆3, dengan mengganti nilai suku bebas dengan nilai kolom yang bersesuaian. Sekarang cari x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Sumber:

• solusi persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui

Saat mulai menyelesaikan sistem persamaan, cari tahu jenis persamaannya. Metode penyelesaian persamaan linear telah dipelajari dengan cukup baik. Persamaan nonlinier seringkali tidak terselesaikan. Hanya ada satu kasus khusus, yang masing-masing bersifat individual. Oleh karena itu, pembelajaran teknik penyelesaian harus dimulai dengan persamaan linier. Persamaan seperti itu bahkan dapat diselesaikan secara algoritmik murni.

instruksi

Mulailah proses belajar Anda dengan mempelajari cara menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui X dan Y melalui eliminasi. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Koefisien persamaan ditunjukkan dengan indeks yang menunjukkan lokasinya. Jadi, koefisien a21 menekankan fakta bahwa koefisien tersebut ditulis di tempat pertama pada persamaan kedua. Dalam notasi yang berlaku umum, sistem ditulis dengan persamaan yang letaknya satu di bawah yang lain, dilambangkan dengan tanda kurung kurawal di kanan atau kiri (untuk lebih jelasnya lihat Gambar 1a).

Penomoran persamaan bisa berubah-ubah. Pilihlah yang paling sederhana, misalnya yang salah satu variabelnya diawali dengan koefisien 1 atau paling tidak bilangan bulat. Jika ini adalah persamaan (1), selanjutnya nyatakan, katakanlah, Y yang tidak diketahui dalam bentuk X (kasus tidak termasuk Y). Untuk melakukannya, ubah (1) ke bentuk a12*Y=b1-a11*X (atau a11*X=b1-a12*Y jika tidak termasuk X)), lalu Y=(b1-a11*X)/a12 . Substitusi persamaan terakhir ke persamaan (2) tulis a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Selesaikan persamaan ini untuk X.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) atau X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Dengan menggunakan koneksi yang ditemukan antara Y dan X, Anda akhirnya akan mendapatkan Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21) kedua yang tidak diketahui.

Jika sistem ditentukan dengan koefisien numerik tertentu, maka perhitungannya tidak akan terlalu rumit. Tetapi solusi umum memungkinkan kita untuk mempertimbangkan fakta bahwa hal-hal yang tidak diketahui yang ditemukan adalah persis sama. Ya, dan pembilangnya menunjukkan beberapa pola dalam konstruksinya. Jika dimensi sistem persamaan lebih besar dari dua, maka metode eliminasi akan menghasilkan perhitungan yang sangat rumit. Untuk menghindarinya, solusi algoritmik murni telah dikembangkan. Yang paling sederhana adalah algoritma Cramer (rumus Cramer). Untuk itu Anda harus mengetahui sistem persamaan umum dari n persamaan.

Suatu sistem yang terdiri dari n persamaan aljabar linier dengan n persamaan yang tidak diketahui memiliki bentuk (lihat Gambar 1a). Di dalamnya, aij adalah koefisien sistem,
xj – tidak diketahui, bi – suku bebas (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Sistem seperti itu dapat ditulis secara kompak dalam bentuk matriks AX=B. Di sini A adalah matriks koefisien sistem, X adalah matriks kolom yang tidak diketahui, B adalah matriks kolom suku bebas (lihat Gambar 1b). Menurut metode Cramer, setiap xi yang tidak diketahui =∆i/∆ (i=1,2…,n). Penentu ∆ matriks koefisien disebut determinan utama, dan ∆i disebut determinan bantu. Untuk setiap yang tidak diketahui, determinan bantu dicari dengan mengganti kolom ke-i determinan utama dengan kolom suku bebas. Metode Cramer untuk kasus sistem orde kedua dan ketiga disajikan secara rinci pada Gambar. 2.

Sistem adalah kombinasi dari dua atau lebih persamaan, yang masing-masing berisi dua atau lebih persamaan yang tidak diketahui. Ada dua cara utama untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang digunakan dalam kurikulum sekolah. Salah satunya disebut metode, yang lainnya disebut metode penjumlahan.

Bentuk standar sistem dua persamaan

Penyelesaian sistem menggunakan metode penjumlahan

Misalnya, suatu sistem yang terdiri dari dua persamaan diberikan. Yang pertama berbentuk 2x+4y=8, yang kedua berbentuk 6x+2y=6. Salah satu opsi untuk menyelesaikan tugas ini adalah dengan mengalikan persamaan kedua dengan koefisien -2, yang akan menghasilkan bentuk -12x-4y=-12. Pilihan koefisien yang tepat adalah salah satu tugas utama dalam proses penyelesaian sistem menggunakan metode penjumlahan, karena ini menentukan keseluruhan prosedur selanjutnya untuk menemukan yang tidak diketahui.

Sekarang kita perlu menambahkan dua persamaan sistem. Jelasnya, saling penghancuran variabel-variabel yang koefisiennya sama nilainya tetapi berlawanan tanda akan menghasilkan bentuk -10x=-4. Setelah itu, persamaan sederhana ini perlu diselesaikan, yang dengan jelas menyatakan bahwa x = 0,4.

Langkah terakhir dalam proses penyelesaian adalah mensubstitusi nilai yang ditemukan dari salah satu variabel ke dalam persamaan asli yang tersedia dalam sistem. Misalnya, dengan mensubstitusi x=0,4 ke dalam persamaan pertama, Anda akan mendapatkan persamaan 2*0,4+4y=8, yang menghasilkan y=1,8. Jadi, x=0,4 dan y=1,8 adalah akar-akar sistem contoh.

Untuk memastikan bahwa akar-akarnya ditemukan dengan benar, ada baiknya untuk memeriksa dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang ditemukan ke dalam persamaan kedua sistem. Misalnya, dalam kasus ini kita mendapatkan persamaan bentuk 0,4*6+1,8*2=6, yang mana benar.

Video tentang topik tersebut

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Persamaan linier dengan dua variabel mempunyai bentuk umum ax + by + c = 0. Di dalamnya, a, b dan c adalah koefisien - beberapa bilangan; dan x dan y adalah variabel – bilangan tak dikenal yang perlu dicari.

Penyelesaian persamaan linear dua variabel adalah sepasang bilangan x dan y, yang ax + by + c = 0 merupakan persamaan sejati.

Persamaan linier dua variabel tertentu (misalnya 3x + 2y – 1 = 0) mempunyai himpunan solusi, yaitu himpunan pasangan bilangan yang persamaannya benar. Persamaan linier dua variabel diubah menjadi fungsi linier berbentuk y = kx + m, yaitu garis lurus pada bidang koordinat. Koordinat semua titik yang terletak pada garis ini merupakan penyelesaian persamaan linier dua variabel.

Jika diberikan dua persamaan linier berbentuk ax + by + c = 0 dan diperlukan untuk mencari nilai x dan y yang keduanya mempunyai penyelesaian, maka kita katakan bahwa kita harus menyelesaikan sistem persamaan. Suatu sistem persamaan ditulis di bawah kurung kurawal biasa. Contoh:

Suatu sistem persamaan tidak akan memiliki solusi jika garis-garis yang merupakan grafik dari fungsi linier yang bersesuaian tidak berpotongan (yaitu sejajar satu sama lain). Untuk menyimpulkan tidak ada penyelesaian, cukup dengan mengubah kedua persamaan linear dua variabel menjadi bentuk y = kx + m. Jika k adalah bilangan yang sama pada kedua persamaan, maka sistem tersebut tidak mempunyai penyelesaian.

Jika suatu sistem persamaan ternyata terdiri dari dua persamaan identik (yang mungkin tidak langsung terlihat jelas, tetapi setelah transformasi), maka persamaan tersebut mempunyai jumlah penyelesaian yang tak terhingga. Dalam hal ini kita berbicara tentang ketidakpastian.

Dalam semua kasus lainnya, sistem memiliki satu solusi. Kesimpulan ini dapat diambil dari kenyataan bahwa dua garis yang tidak sejajar hanya dapat berpotongan di satu titik. Titik potong inilah yang terletak pada garis pertama dan garis kedua, yang berarti merupakan penyelesaian persamaan pertama dan persamaan kedua. Oleh karena itu, ini adalah solusi untuk sistem persamaan. Namun, perlu untuk menetapkan situasi ketika batasan tertentu dikenakan pada nilai x dan y (biasanya sesuai dengan kondisi soal). Misalnya x > 0, y > 0. Dalam hal ini, meskipun sistem persamaan mempunyai solusi, tetapi tidak memenuhi syarat, maka ditarik kesimpulan bahwa sistem persamaan tersebut tidak mempunyai solusi pada kondisi tertentu. .

Ada tiga cara untuk menyelesaikan sistem persamaan:

1. Dengan metode seleksi. Seringkali hal ini sangat sulit dilakukan.
2. Metode grafis. Ketika dua garis lurus (grafik fungsi persamaan yang bersesuaian) digambar pada bidang koordinat dan titik potongnya ditemukan. Cara ini mungkin tidak memberikan hasil yang akurat jika koordinat titik potongnya berupa bilangan pecahan.
3. Metode aljabar. Mereka serbaguna dan dapat diandalkan.