Pergerakan suatu titik dalam ruang dapat dianggap terjadi jika hukum perubahan ketiga koordinat kartesiusnya x, y, z sebagai fungsi waktu diketahui. Namun, dalam beberapa kasus gerak spasial titik-titik material (misalnya, pada area yang dibatasi oleh permukaan berbagai bentuk), penggunaan persamaan gerak dalam koordinat Cartesian tidak nyaman, karena terlalu rumit. Dalam kasus seperti ini, Anda dapat memilih tiga parameter skalar independen lainnya $q_1,(\q)_2,\\q_3$, yang disebut koordinat lengkung atau umum, yang juga secara unik menentukan posisi titik dalam ruang.
Kecepatan suatu titik M jika pergerakannya ditentukan dalam koordinat lengkung akan ditentukan dalam bentuk penjumlahan vektor komponen kecepatan yang sejajar dengan sumbu koordinat:
\[\overrightarrow(v)=\frac(d\overrightarrow(r))(dt)=\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_1)\dot(q_1)+\frac(\partial \ overrightarrow(r))(\partial q_2)\dot(q_2)+\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_3)\dot(q_3)=v_(q_1)\overline(e_1)+v_( q_2)\overline(e_2)\ +v_(q_3)\overline(e_3)\]
Proyeksi vektor kecepatan ke sumbu koordinat yang bersesuaian sama dengan: $v_(q_i)=\overline(v\ )\cdot \overline(e_i)=H_i\dot(q_i)\ \ ,\ \ i=\overline (1,3)$
Di sini $H_i=\left|(\left(\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_i)\right))_M\right|$ adalah parameter yang disebut koefisien Lame ke-i dan sama dengan nilai modulus turunan parsial dari vektor jari-jari suatu titik sepanjang koordinat lengkung ke-i yang dihitung pada suatu titik M. Masing-masing vektor $\overline(e_i)$ mempunyai arah yang sesuai dengan arah pergerakan titik akhir vektor radius $r_i$ sebagai koordinat umum ke-i. Modul kecepatan dalam sistem koordinat lengkung ortogonal dapat dihitung dari ketergantungan:
Dalam rumus di atas, nilai turunan dan koefisien Lame dihitung untuk posisi titik M saat ini dalam ruang.
Koordinat suatu titik dalam sistem koordinat bola adalah parameter skalar r, $(\mathbf \varphi ),\ (\mathbf \theta )$, diukur seperti ditunjukkan pada Gambar. 1.
Gambar 1. Vektor kecepatan pada sistem koordinat bola
Sistem persamaan gerak suatu titik dalam hal ini berbentuk:
\[\kiri\( \begin(array)(c) r=r(t) \\ \varphi =\varphi (t \\ \theta =\theta (t \end(array) \right.\]
Pada Gambar. Gambar 1 menunjukkan vektor jari-jari r yang diambil dari titik asal, sudut $(\mathbf \varphi )$ dan $(\mathbf \theta )$, serta garis koordinat dan sumbu sistem yang ditinjau pada titik sembarang M dari lintasan. Terlihat bahwa garis koordinat $((\mathbf \varphi ))$ dan $((\mathbf \theta ))$ terletak pada permukaan bola berjari-jari r. Sistem koordinat lengkung ini juga ortogonal. Koordinat kartesius dapat dinyatakan dalam koordinat bola seperti ini:
Maka koefisien Lame: $H_r=1;\ \ H_(\varphi )=rsin\varphi ;\ \ H_0=r$ ; proyeksi kecepatan titik pada sumbu sistem koordinat bola $v_r=\dot(r\ \ );$ $v_(\theta )=r\dot(\theta )$; $\ v_(\varphi )=r\dot(\varphi )sin\theta $, dan besarnya vektor kecepatan
Percepatan suatu titik dalam sistem koordinat bola
\[\overrightarrow(a)=a_r(\overrightarrow(e))_r+a_(\varphi )(\overrightarrow(e))_(\varphi )+a_(\theta )(\overrightarrow(e))_( \theta),\]
proyeksi percepatan suatu titik pada sumbu sistem koordinat bola
\ \
Modul akselerasi $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))$
Masalah 1
Titik tersebut bergerak sepanjang garis potong bola dan silinder sesuai dengan persamaan: r = R, $\varphi $ = kt/2, $\theta $ = kt/2 , (r, $\varphi $, $ \theta $ --- koordinat bola ). Temukan modulus dan proyeksi kecepatan suatu titik pada sumbu sistem koordinat bola.
Mari kita cari proyeksi vektor kecepatan pada sumbu koordinat bola:
Modulus kecepatan $v=\sqrt(v^2_r+v^2_(\varphi )+v^2_(\theta ))=R\frac(k)(2)\sqrt((sin)^2\frac(kt )(2)+1)$
Masalah 2
Dengan menggunakan kondisi soal 1, tentukan modulus percepatan suatu titik.
Mari kita cari proyeksi vektor percepatan pada sumbu koordinat bola:
\ \ \
Modul percepatan $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))=R\frac(k^2)(4)\sqrt(4+(sin)^2 \frac(kt)(2))$
tugas gerak
Mari kita gunakan persamaan (4) dan ambil turunannya terhadap waktu
Pada (8) untuk vektor satuan terdapat proyeksi vektor kecepatan pada sumbu koordinat
Proyeksi kecepatan pada sumbu koordinat didefinisikan sebagai turunan pertama kali dari koordinat yang bersesuaian.
Mengetahui proyeksinya, Anda dapat mengetahui besarnya vektor dan arahnya
,
(10)
Penentuan kecepatan dengan cara alami
tugas gerak
Biarkan lintasan suatu titik material dan hukum perubahan koordinat lengkung diberikan. Misalkan, di T 1 poin punya 
dan koordinatnya S 1 , dan pada T 2 – koordinat S 2. Selama ini
koordinatnya bertambah 
, maka kecepatan rata-rata titik tersebut
.
Untuk mencari kecepatan pada waktu tertentu, mari kita ke batasnya
,
.
(12)
Vektor kecepatan suatu titik dengan cara alami menentukan gerak didefinisikan sebagai turunan pertama terhadap waktu dari koordinat lengkung.
Percepatan titik
Di bawah percepatan suatu titik material memahami besaran vektor yang mencirikan laju perubahan vektor kecepatan suatu titik dalam besaran dan arah terhadap waktu.
Percepatan suatu titik menggunakan metode vektor untuk menentukan gerak
Bayangkan sebuah titik pada dua titik waktu T 1
(
) Dan T 2
(
), Kemudian 
- penambahan waktu, 
- peningkatan kecepatan.
Vektor 
selalu terletak pada bidang gerak dan diarahkan ke cekungan lintasan.
P 
od percepatan rata-rata suatu titik pada waktunya
T
memahami besarnya
.
(13)
Untuk mencari percepatan pada waktu tertentu, mari kita menuju ke limitnya
,
.
(14)
Percepatan suatu titik pada waktu tertentu didefinisikan sebagai turunan kedua vektor jari-jari titik terhadap waktu atau turunan pertama vektor kecepatan terhadap waktu.
Vektor percepatan terletak pada bidang kontak dan diarahkan ke cekungan lintasan.
Percepatan suatu titik dengan metode koordinat yang menentukan gerak
Mari kita gunakan persamaan untuk hubungan antara metode vektor dan koordinat untuk menentukan gerakan
Dan mari kita ambil turunan kedua darinya
,
.
(15)
Pada persamaan (15) untuk vektor satuan terdapat proyeksi vektor percepatan pada sumbu koordinat
.
(16)
Proyeksi percepatan pada sumbu koordinat didefinisikan sebagai turunan pertama terhadap waktu dari proyeksi kecepatan atau sebagai turunan kedua dari koordinat yang bersesuaian terhadap waktu.
Besaran dan arah vektor percepatan dapat dicari dengan menggunakan persamaan berikut
,
(17)
,
,
.
(18)
Percepatan suatu titik menggunakan metode alami dalam menentukan gerak
P 
Biarkan titik tersebut bergerak sepanjang jalur melengkung. Mari kita perhatikan dua posisinya pada saat tertentu T
(S, M, ay) Dan T 1
(S 1, M 1, ay 1).
Dalam hal ini percepatan ditentukan melalui proyeksinya pada sumbu sistem koordinat alam yang bergerak bersama titik M. Sumbunya diarahkan sebagai berikut:
M - garis singgung, diarahkan sepanjang garis singgung lintasan, menuju referensi jarak positif,
M N– normal utama, diarahkan sepanjang garis normal yang terletak pada bidang kontak, dan diarahkan ke cekungan lintasan,
M B– binormal, tegak lurus bidang M N dan membentuk tripel kanan dengan sumbu pertama.
Karena vektor percepatan terletak pada bidang yang bersentuhan, maka A B = 0. Carilah proyeksi percepatan pada sumbu lainnya.
.
(19)
Mari kita proyeksikan (19) ke sumbu koordinat
,
(20)
.
(21)
Mari kita menggambar sumbu titik M 1 yang sejajar dengan sumbu di titik M dan mencari proyeksi kecepatan:
Di mana - yang disebut sudut kedekatan.
Substitusikan (22) ke (20)
.
Pada T 0 0, karena 1 lalu
.
(23)
Percepatan tangensial suatu titik ditentukan oleh turunan waktu pertama kecepatan atau turunan waktu kedua koordinat lengkung.
Percepatan tangensial mencirikan perubahan besaran vektor kecepatan.
Substitusikan (22) ke (21)
.
Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan s untuk mengetahui batasannya
Di mana 
(batas indah pertama),
,
,
, Di mana
- radius kelengkungan lintasan.
Mengganti batas yang dihitung ke (24), kita memperoleh
.
(25)
Percepatan normal suatu titik ditentukan oleh perbandingan kuadrat kecepatan dengan jari-jari kelengkungan lintasan pada suatu titik tertentu.
Percepatan normal mencirikan perubahan arah vektor kecepatan dan selalu diarahkan ke cekungan lintasan.
Akhirnya, kita memperoleh proyeksi percepatan titik material pada sumbu sistem koordinat alami dan besarnya vektor
,
(26)
.
(27)
Rumus untuk menghitung kecepatan suatu titik, percepatan, jari-jari kelengkungan suatu lintasan, garis singgung, normal dan binormal dari koordinat tertentu terhadap waktu. Contoh penyelesaian masalah yang menggunakan persamaan gerak tertentu, perlu menentukan kecepatan dan percepatan suatu titik. Jari-jari kelengkungan lintasan, garis singgung, normal dan binormal juga ditentukan.
IsiPerkenalan
Kesimpulan rumus-rumus di bawah ini dan pemaparan teori diberikan pada halaman “Kinematika suatu titik material”. Di sini kita akan menerapkan hasil utama teori ini pada metode koordinat yang menentukan pergerakan suatu titik material.
Mari kita mempunyai sistem koordinat persegi panjang tetap dengan pusat di suatu titik tetap. Dalam hal ini, posisi titik M ditentukan secara unik oleh koordinatnya (x, y, z). Metode koordinat untuk menentukan pergerakan suatu titik
- ini adalah metode di mana ketergantungan koordinat terhadap waktu ditentukan. Artinya, tiga fungsi waktu ditentukan (untuk gerak tiga dimensi):
Penentuan besaran kinematik
,
Mengetahui ketergantungan koordinat terhadap waktu, secara otomatis kita menentukan vektor jari-jari titik material M menggunakan rumus:
dimana adalah vektor satuan (orts) pada arah sumbu x, y, z.
;
;
Membedakan terhadap waktu, kita menemukan proyeksi kecepatan dan percepatan pada sumbu koordinat:
;
.
.
Modul kecepatan dan akselerasi:
.
Percepatan tangensial (tangensial) adalah proyeksi percepatan total terhadap arah kecepatan:
Vektor percepatan tangensial (tangensial):
.
;
.
Akselerasi biasa:
.
Vektor satuan pada arah normal utama lintasan:
.
Radius kelengkungan lintasan:
.
.
Pusat kelengkungan lintasan:
Contoh penyelesaian masalah
Dengan menggunakan persamaan gerak suatu titik, tentukan jenis lintasannya dan, untuk sesaat, tentukan posisi titik pada lintasan tersebut, kecepatannya, percepatan total, tangensial, dan normalnya, serta jari-jarinya. kelengkungan lintasan.
Persamaan gerak suatu titik:
,cm;
, cm.
Larutan
Menentukan jenis lintasan
Kami mengecualikan waktu dari persamaan gerak. Untuk melakukan ini, kami menulis ulang mereka dalam bentuk:
;
.
Mari kita terapkan rumusnya:
.
;
;
;
.
Jadi, kita mendapatkan persamaan lintasannya:
.
Berikut persamaan parabola yang mempunyai titik sudut pada suatu titik dan sumbu simetri.
Karena
, Itu
;
.
atau
;
;
Dengan cara yang sama kita memperoleh batasan untuk koordinat:
,
Jadi, lintasan pergerakan suatu titik adalah busur parabola
bertempat di
Dan .
| 0 | 6 |
| Kami membangun parabola dari titik-titik. | 5,625 |
| 3 | 4,5 |
| 6 | 2,625 |
| 9 | 0 |
12
;
.
Kami menentukan posisi titik pada saat itu.
Menentukan kecepatan suatu titik
.
Membedakan koordinat dan terhadap waktu, kita menemukan komponen kecepatan.
Untuk membedakannya, akan lebih mudah untuk menerapkan rumus trigonometri:
;
.
.
;
.
Kemudian
.
Kami menghitung nilai komponen kecepatan pada saat itu:
Modul Kecepatan:
;
.
Menentukan percepatan suatu titik
;
.
Dengan membedakan komponen kecepatan dan waktu, kita mencari komponen percepatan suatu titik.
.
Kami menghitung nilai komponen percepatan pada saat itu:
.
Modul akselerasi:
Vektor percepatan tangensial (tangensial):
.
Percepatan tangensial adalah proyeksi percepatan total terhadap arah kecepatan:
Vektor satuan pada arah normal utama lintasan:
.
Karena vektor percepatan tangensial arahnya berlawanan dengan kecepatan.
;
.
Vektor dan diarahkan menuju pusat kelengkungan lintasan.
Lintasan suatu titik merupakan busur parabola
Kecepatan titik: .
Percepatan titik: ;
;
.
;
;
Radius kelengkungan lintasan : .
;
;
Penentuan besaran lainnya
;
;
Saat memecahkan masalah kami menemukan:
modul vektor dan kecepatan:
vektor dan modul percepatan total:
.
percepatan tangensial dan normal:
.
radius kelengkungan lintasan : .
.
Mari kita tentukan jumlah sisanya.
.
Vektor satuan yang bersinggungan dengan lintasan:
.
Vektor percepatan tangensial:
;
.
Vektor percepatan normal:
.
