Himpunan semua bilangan real dapat direpresentasikan sebagai gabungan tiga himpunan: himpunan bilangan positif, himpunan bilangan negatif, dan himpunan yang terdiri dari satu bilangan - bilangan nol. Untuk menunjukkan nomor itu A positif, gunakan rekamannya sebuah > 0, untuk menunjukkan bilangan negatif gunakan notasi lain A< 0 .
Jumlah dan hasil kali bilangan positif juga merupakan bilangan positif. Jika nomornya A negatif, lalu angkanya -A positif (dan sebaliknya). Untuk setiap bilangan positif a pasti terdapat bilangan rasional positif R, Apa R< а . Fakta-fakta inilah yang mendasari teori kesenjangan.
Menurut definisinya, pertidaksamaan a > b (atau, yang sama, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0 yaitu jika bilangan a – b positif.
Secara khusus, pertimbangkan kesenjangan A< 0 . Apa arti ketimpangan ini? Menurut definisi di atas, maksudnya adalah 0 - sebuah > 0, yaitu. -a > 0 atau dengan kata lain berapa nomornya -A secara positif. Tapi ini terjadi jika dan hanya jika jumlahnya A negatif. Jadi ketimpangan A< 0 berarti nomor tersebut tapi negatif.
Notasi ini juga sering digunakan ab(atau, apa yang sama, ba).
Catatan ab, menurut definisi, berarti keduanya sebuah > b, atau a = b. Jika kita mempertimbangkan rekornya ab sebagai pernyataan tak tentu, maka dalam notasi logika matematika dapat kita tuliskan
(a b) [(a > b) V (a = b)]
Contoh 1. Apakah pertidaksamaan 5 0, 0 0 benar?
Pertidaksamaan 5 0 adalah pernyataan kompleks yang terdiri dari dua pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan kata penghubung logis “atau” (disjungsi). Entah 5 > 0 atau 5 = 0. Pernyataan pertama 5 > 0 benar, pernyataan kedua 5 = 0 salah. Berdasarkan definisi disjungsi, pernyataan kompleks seperti itu benar.
Entri 00 dibahas dengan cara yang sama.
Ketimpangan bentuk Sebuah > b, sebuah< b kami akan menyebutnya ketat, dan ketidaksetaraan bentuknya ab, ab- tidak tegas.
Ketimpangan sebuah > b Dan c > d(atau A< b Dan Dengan< d ) akan disebut pertidaksamaan yang mempunyai arti yang sama, dan pertidaksamaan sebuah > b Dan C< d - ketidaksetaraan yang berlawanan makna. Perhatikan bahwa kedua istilah ini (pertidaksamaan yang maknanya sama dan berlawanan) hanya merujuk pada bentuk penulisan pertidaksamaan tersebut, dan bukan pada fakta itu sendiri yang diungkapkan oleh pertidaksamaan tersebut. Jadi, kaitannya dengan ketimpangan A< b ketidaksamaan Dengan< d adalah pertidaksamaan yang maknanya sama, dan dalam notasi d>c(artinya sama) - ketidaksetaraan dengan arti yang berlawanan.
Seiring dengan ketimpangan bentuk a>b, ab apa yang disebut pertidaksamaan ganda digunakan, yaitu pertidaksamaan bentuk A< с < b
, ac< b
, A< cb
,
Acb. Secara definisi, sebuah rekor
A< с < b
(1)
berarti kedua pertidaksamaan tersebut berlaku:
A< с Dan Dengan< b.
Ketimpangan mempunyai arti yang serupa acb, ac< b, а < сb.
Pertidaksamaan ganda (1) dapat dituliskan sebagai berikut:
(A< c < b) [(a < c) & (c < b)]
dan ketimpangan ganda a ≤ c ≤ b dapat ditulis dalam bentuk berikut:
(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]
Sekarang mari kita lanjutkan ke pemaparan sifat-sifat dasar dan aturan-aturan tindakan terhadap ketidaksetaraan, setelah sepakat bahwa dalam artikel ini huruf-hurufnya a, b, c singkatan dari bilangan real, dan N berarti bilangan asli.
1) Jika a > b dan b > c, maka a > c (transitivitas).
Bukti.
Sejak dengan syarat sebuah > b Dan b > c, lalu angkanya a - b Dan b - c positif, dan karena itu jumlahnya a - c = (a - b) + (b - c), sebagai jumlah bilangan positif, juga positif. Artinya, menurut definisi, itu sebuah > c.
2) Jika a > b, maka untuk sembarang c pertidaksamaan a + c > b + c berlaku.
Bukti.
Karena sebuah > b, lalu nomornya a - b secara positif. Oleh karena itu, nomornya (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b juga positif, yaitu.
a + c > b + c.
3) Jika a + b > c, maka a > b - c, yaitu, suatu suku dapat dipindahkan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian pertidaksamaan lainnya dengan mengubah tanda suku tersebut menjadi kebalikannya.
Pembuktiannya mengikuti sifat 2) cukup untuk kedua ruas pertidaksamaan a + b > c tambahkan nomor - B.
4) Jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d, yaitu, bila menjumlahkan dua pertidaksamaan yang mempunyai arti yang sama, diperoleh suatu pertidaksamaan yang mempunyai arti yang sama.
Bukti.
Berdasarkan definisi ketimpangan, cukuplah ditunjukkan perbedaannya
(a + c) - (b + c) positif. Perbedaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Karena sesuai dengan kondisi nomornya a - b Dan c - d kalau begitu, itu positif (a + c) - (b + d) ada juga angka positif.
Konsekuensi. Dari aturan 2) dan 4) berikut Aturan pengurangan pertidaksamaan: jika a > b, c > d, Itu a - d > b - c(sebagai buktinya cukup menerapkan kedua sisi pertidaksamaan a + c > b + d tambahkan nomor - c - d).
5) Jika a > b, maka untuk c > 0 kita mempunyai ac > bc, dan untuk c< 0 имеем ас < bc.
Dengan kata lain, ketika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan dengan salah satu bilangan positif, tanda pertidaksamaan tetap dipertahankan (yaitu diperoleh pertidaksamaan yang maknanya sama), tetapi jika dikalikan dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan berubah menjadi kebalikannya. (yaitu, diperoleh pertidaksamaan dengan arti yang berlawanan.
Bukti.
Jika sebuah > b, Itu a - b adalah bilangan positif. Oleh karena itu, tanda perbedaannya ac-bc = c(a - b) cocok dengan tanda nomor tersebut Dengan: Jika Dengan adalah bilangan positif, maka selisihnya ac - SM adalah positif dan oleh karena itu ac > bс, dan jika Dengan< 0 , maka perbedaan ini negatif dan karenanya SM - ac positif, yaitu SM > ac.
6) Jika a > b > 0 dan c > d > 0, maka ac > bd, Artinya, jika semua suku dari dua pertidaksamaan yang maknanya sama adalah positif, maka jika pertidaksamaan tersebut dikalikan suku demi suku, diperoleh pertidaksamaan yang maknanya sama.
Bukti.
Kita punya ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Karena c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, lalu ac - bd > 0, yaitu ac > bd.
Komentar. Dari buktinya jelas kondisinya d > 0 dalam perumusan sifat 6) tidak penting: agar sifat ini sah, cukup dipenuhi syarat-syaratnya a > b > 0, c > d, c > 0. Jika (jika pertidaksamaan terpenuhi a > b, c > d) angka a, b, c tidak semuanya positif, maka terjadi ketimpangan ac > bd mungkin tidak terpenuhi. Misalnya kapan A = 2, B =1, C= -2, D= -3 yang kita punya Sebuah > b, c > D, tapi ketimpangan ac > bd(yaitu -4 > -3) gagal. Jadi, syarat bilangan a, b, c positif dalam rumusan sifat 6) adalah penting.
7) Jika a ≥ b > 0 dan c > d > 0, maka (pembagian pertidaksamaan).
Bukti.
Kita punya 
Pembilang pecahan sebelah kanan positif (lihat sifat 5), 6)), penyebutnya juga positif. Karena itu,. Ini membuktikan sifat 7).
Komentar. Mari kita perhatikan kasus khusus penting dari aturan 7), yang diperoleh untuk a = b = 1: jika c > d > 0, maka. Jadi, jika suku-suku pertidaksamaan itu positif, maka jika diteruskan ke kebalikannya kita memperoleh pertidaksamaan dengan arti yang berlawanan. Kami mengundang pembaca untuk memeriksa bahwa aturan ini juga berlaku pada 7) Jika ab > 0 dan c > d > 0, maka (pembagian pertidaksamaan).
Bukti. Itu.
Di atas telah kita buktikan beberapa sifat pertidaksamaan yang ditulis dengan menggunakan tanda > (lagi). Namun, semua sifat tersebut dapat dirumuskan dengan menggunakan tanda < (kurang), karena ketimpangan B< а secara definisi berarti sama dengan ketimpangan sebuah > b. Selain itu, sebagaimana mudah untuk diverifikasi, sifat-sifat yang dibuktikan di atas juga dipertahankan untuk ketidaksetaraan yang tidak ketat. Misalnya, sifat 1) untuk pertidaksamaan tidak tegas akan berbentuk sebagai berikut: jika ab dan SM, Itu ac.
Tentu saja, penjelasan di atas tidak membatasi sifat-sifat umum pertidaksamaan. Ada juga serangkaian pertidaksamaan umum yang terkait dengan pertimbangan fungsi pangkat, eksponensial, logaritma, dan trigonometri. Pendekatan umum untuk menuliskan ketidaksetaraan semacam ini adalah sebagai berikut. Jika beberapa fungsi kamu = f(x) meningkat secara monoton pada segmen tersebut [a, b], maka untuk x 1 > x 2 (di mana x 1 dan x 2 termasuk dalam segmen ini) kita mempunyai f (x 1) > f(x 2). Begitu pula jika fungsinya kamu = f(x) menurun secara monoton pada interval tersebut [a, b], lalu kapan x 1 > x 2 (di mana x 1 Dan X 2 termasuk dalam segmen ini) yang kita miliki f(x 1)< f(x 2 ). Tentu saja apa yang telah dikatakan tidak berbeda dengan definisi monotonisitas, tetapi teknik ini sangat berguna untuk menghafal dan menulis ketidaksetaraan.
Jadi, misalnya, untuk sembarang bilangan asli n fungsinya kamu = xn meningkat secara monoton sepanjang sinar }
