Bilangan asli merupakan sifat kuantitatif dari suatu himpunan yang tidak berubah, namun dalam prakteknya jumlah benda selalu berubah, misalnya jumlah ternak pada suatu peternakan tertentu. Selain itu, barisan bilangan asli yang paling sederhana, tetapi juga terpenting, segera muncul dalam proses penghitungan - ini adalah barisan bilangan asli: 1, 2, 3, ....
Jika perubahan jumlah benda dalam suatu populasi tertentu ditetapkan dalam bentuk barisan bilangan asli (anggota barisan) tertentu, maka barisan lain segera muncul secara alami - barisan bilangan, misalnya
Dalam hal ini, muncul masalah penamaan anggota suatu barisan. Menunjuk setiap anggota dengan surat khusus sangatlah merepotkan karena alasan berikut. Pertama, barisan tersebut mungkin mengandung suku-suku yang sangat banyak, atau bahkan tak terhingga jumlahnya. Kedua, huruf yang berbeda menyembunyikan fakta bahwa anggota barisan tersebut berasal dari populasi yang sama, meskipun jumlah elemennya berubah. Terakhir, dalam hal ini nomor anggota dalam barisan tidak akan ditampilkan.
Alasan-alasan ini memaksa kita untuk menunjuk anggota barisan dengan satu huruf dan membedakannya berdasarkan indeks. Misalnya suatu barisan yang terdiri dari sepuluh suku dapat dilambangkan dengan huruf A: A 1 , A 2 , A 3 , …, A 10. Fakta bahwa barisan tersebut tidak terhingga diungkapkan oleh elipsis, seolah-olah memperluas barisan ini tanpa batas: A 1 , A 2 , A 3, ... Terkadang urutannya mulai diberi nomor dari awal: : A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , …
Beberapa barisan dapat dianggap sebagai kumpulan angka acak, karena hukum pembentukan anggota barisan tidak diketahui, atau bahkan tidak ada. Namun, perhatian khusus diberikan pada urutan yang diketahui hukumnya.
Untuk menunjukkan hukum pembentukan anggota barisan, dua metode paling sering digunakan. Yang pertama adalah sebagai berikut. Suku pertama ditentukan, dan kemudian metode ditentukan, yang dengannya suku berikutnya diperoleh dengan menggunakan suku terakhir yang sudah diketahui. Untuk menulis suatu hukum digunakan anggota barisan yang bilangannya tidak dapat ditentukan, misalnya dan k dan anggota berikutnya dan k +1, setelah itu rumus yang menghubungkannya ditulis.
Contoh yang paling terkenal dan penting adalah barisan aritmatika dan geometri. Perkembangan aritmatika ditentukan oleh rumus dan k +1 = dan k + r(atau dan k +1 = dan k – r). Suku-suku barisan aritmatika bertambah beraturan (seperti tangga) atau berkurang beraturan (juga seperti tangga). Besarnya R disebut perbedaan perkembangan karena dan k +1 – dan k = r. Contoh barisan aritmatika dengan suku alami adalah
a) bilangan asli ( sebuah 1 = 1 ;dan k +1 = dan k+1);
b) barisan tak terhingga 1, 3, 5, 7, … ( sebuah 1 = 1 ;dan k +1 = dan k+2);
c) barisan terakhir 15, 12, 9, 6, 3 ( sebuah 1 = 15 ;dan k +1 = dan k–3 ).
Perkembangan geometri diberikan oleh rumus bk +1 = bk ∙q. Besarnya Q disebut penyebut suatu barisan geometri karena bk +1:bk = q. Perkembangan geometri dengan suku-suku alam dan penyebut melebihi satu tumbuh dan berkembang dengan cepat, bahkan seperti longsoran salju. Contoh barisan geometri dengan suku alami adalah
a) barisan tak terhingga 1, 2, 4, 8, … ( b 1 = 1 ;bk +1 = bk ∙2);
b) barisan tak terhingga 3, 12, 48, 192, 768,… ( b 1 = 3 ;bk +1 = bk ∙4).
Cara kedua untuk menunjukkan hukum menentukan suku-suku suatu barisan adalah dengan menunjukkan rumus yang memungkinkan Anda menghitung anggota barisan dengan bilangan yang tidak ditentukan (suku umum), misalnya, dan k, menggunakan nomor tersebut k.
Suku-suku barisan aritmatika dan geometri juga dapat dihitung dengan cara ini. Karena perkembangan aritmatika ditentukan oleh rumus dan k +1 = dan k + r, mudah untuk memahami bagaimana istilah tersebut diungkapkan dan k menggunakan nomor tersebut k:
sebuah 1– ditentukan secara sewenang-wenang;
sebuah 2 = sebuah 1 + r= sebuah 1 + 1∙r;
sebuah 3 = a 2 + r = a 1 + r + r = a 1 + 2∙r;
sebuah 4 = a 3 + r = a 1 + 2∙r + r = a 1 + 3∙r;
…………………………………
dan k = sebuah 1 + (k–1)∙r– rumus akhir.
Untuk barisan geometri, rumus suku umum diturunkan dengan cara yang sama: bk = b 1 ∙ qk –1 .
Selain barisan aritmatika dan geometri, barisan lain yang mempunyai sifat perubahan khusus dapat ditentukan dengan cara yang sama. Sebagai contoh, mari kita berikan barisan kuadrat bilangan asli: sk = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…
Ada cara yang lebih kompleks untuk membentuk barisan, misalnya satu barisan dibangun dengan bantuan barisan yang lain. Yang paling penting dalam aritmatika adalah barisan geometri yang ditentukan oleh parameter b 1 = 1, Q= 10, yaitu barisan pangkat sepuluh: 1 = 10 0, 10 = 10 1, 10 2, 10 3, ..., 10 k, ... Digunakan untuk menyatakan bilangan asli pada bilangan posisi sistem. Apalagi untuk setiap bilangan asli N sebuah urutan muncul yang terdiri dari angka-angka yang dengannya angka tersebut ditulis: an a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. Nomor dan k menunjukkan berapa banyak suku tipe 10 k berisi nomor N.
Konsep barisan mengarah pada konsep kuantitas dan fungsi yang paling penting dalam matematika. Besaran adalah karakteristik numerik yang berubah-ubah dari suatu objek atau fenomena. Perubahannya dianggap sebagai rangkaian angka. Adanya hubungan antara suku-suku itu sendiri dengan bilangan-bilangannya, serta pengungkapannya dengan menggunakan rumus-rumus, erat kaitannya dengan konsep suatu fungsi.
10. Sistem bilangan desimal.Penemuan matematika terpenting yang digunakan oleh hampir setiap anggota masyarakat yang cukup maju adalah sistem bilangan posisi. Hal ini memungkinkan untuk memecahkan masalah utama penghitungan, yaitu kemampuan untuk menyebutkan lebih banyak angka baru, menggunakan notasi (digit) hanya untuk beberapa angka pertama.
Sistem bilangan posisional secara tradisional dikaitkan dengan angka sepuluh, tetapi sistem lain, misalnya biner, dapat dibangun dengan prinsip yang sama. Saat membangun sistem bilangan posisi desimal, sepuluh angka Arab diperkenalkan: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Dengan bantuan mereka, Anda dapat menulis suatu bilangan yang menyatakan jumlah benda. himpunan berhingga apa pun. Untuk tujuan ini, algoritma khusus digunakan, yaitu urutan tindakan dasar yang jelas.
Barang-barang yang dihitung digabungkan menjadi kelompok sepuluh, yang sesuai dengan pembagian sepuluh dengan sisanya. Hasilnya, dua himpunan terbentuk - satuan dan puluhan. Puluhan tersebut kembali dikelompokkan berdasarkan puluhan menjadi ratusan. Jelas bahwa angka puluhan (kita nyatakan dengan sebuah 1) tentu kurang dari sepuluh, dan oleh karena itu, sebuah 1 dapat ditunjukkan dengan angka. Kemudian ratusan dikelompokkan menjadi ribuan, ribuan menjadi puluhan ribu, dan seterusnya hingga semua item terkelompokkan. Konstruksi bilangan diselesaikan dengan menuliskan bilangan yang dihasilkan dari kiri ke kanan dari indeks besar ke indeks yang lebih kecil. Digital dan k sesuai dengan jumlah kelompok benda 10 k. Catatan akhir suatu bilangan terdiri dari rangkaian angka yang berhingga an a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. Angka yang sesuai sama dengan ekspresi
а n ·10 n + а n – 1 ·10 n – 1 + … + а 2 ·10 2 + а 1 ·10 1 + а 0 ·10 0.
Kata “posisional” pada nama sistem bilangan disebabkan karena suatu bilangan berubah maknanya tergantung pada posisinya dalam notasi bilangan tersebut. Digit terakhir menunjukkan jumlah satuan, digit kedua dari belakang menunjukkan jumlah puluhan, dan seterusnya.
Perhatikan bahwa algoritma untuk memperoleh catatan bilangan dalam sistem bilangan dengan basis apa pun N: terdiri dari pengelompokan objek secara berurutan menurut N hal-hal. Saat menulis angka, Anda harus menggunakan N angka
Jika setiap bilangan asli n dikaitkan dengan suatu bilangan real x n, maka kita katakan diberikan urutan nomor
X 1 , X 2 , … xn , …
Nomor X 1 disebut anggota barisan dengan nomor 1 atau suku pertama barisan tersebut, nomor X 2 - anggota barisan dengan nomor 2 atau anggota kedua dari barisan, dll. Nomor x n dipanggil anggota barisan dengan nomor N.
Ada dua cara untuk menentukan urutan angka - dengan dan dengan rumus berulang.
Urutan menggunakan rumus suku umum suatu barisan– ini adalah tugas urutan
X 1 , X 2 , … xn , …
menggunakan rumus yang menyatakan ketergantungan suku x n pada bilangan nnya.
Contoh 1. Urutan nomor
1, 4, 9, … N 2 , …
diberikan dengan menggunakan rumus suku umum
xn = N 2 , N = 1, 2, 3, …
Menetapkan barisan dengan menggunakan rumus yang menyatakan anggota barisan x n melalui anggota barisan dengan bilangan sebelumnya disebut menentukan barisan menggunakan rumus berulang.
X 1 , X 2 , … xn , …
ditelepon dalam urutan yang meningkat, lagi anggota sebelumnya.
Dengan kata lain, untuk semua orang N
X N + 1 >X N
Contoh 3. Barisan bilangan asli
1, 2, 3, … N, …
adalah urutan menaik.
Definisi 2. Urutan bilangan
X 1 , X 2 , … xn , …
ditelepon urutan menurun jika setiap anggota barisan ini lebih sedikit anggota sebelumnya.
Dengan kata lain, untuk semua orang N= 1, 2, 3, … pertidaksamaan terpenuhi
X N + 1 < X N
Contoh 4. Selanjutnya
diberikan oleh rumus
adalah urutan menurun.
Contoh 5. Urutan nomor
1, - 1, 1, - 1, …
diberikan oleh rumus
xn = (- 1) N , N = 1, 2, 3, …
tidak tidak bertambah dan tidak berkurang urutan.
Definisi 3. Barisan bilangan yang bertambah dan berkurang disebut urutan monoton.
Barisan Berbatas dan Tidak Berbatas
Definisi 4. Urutan bilangan
X 1 , X 2 , … xn , …
ditelepon dibatasi dari atas, jika ada bilangan M sedemikian rupa sehingga setiap anggota barisan ini lebih sedikit angka M.
Dengan kata lain, untuk semua orang N= 1, 2, 3, … pertidaksamaan terpenuhi
Definisi 5. Urutan bilangan
X 1 , X 2 , … xn , …
ditelepon dibatasi di bawah, jika ada bilangan m sehingga setiap anggota barisan ini lagi angka m.
Dengan kata lain, untuk semua orang N= 1, 2, 3, … pertidaksamaan terpenuhi
Definisi 6. Urutan bilangan
X 1 , X 2 , … xn , …
disebut terbatas jika itu terbatas baik di atas maupun di bawah.
Dengan kata lain ada bilangan M dan m sedemikian sehingga untuk semua N= 1, 2, 3, … pertidaksamaan terpenuhi
M< x n < M
Definisi 7. Barisan numerik itu tidak terbatas, ditelepon urutan yang tidak terbatas.
Contoh 6. Urutan nomor
1, 4, 9, … N 2 , …
diberikan oleh rumus
xn = N 2 , N = 1, 2, 3, … ,
dibatasi di bawah, misalnya angka 0. Namun urutan ini tidak terbatas dari atas.
Contoh 7. Selanjutnya
diberikan oleh rumus
adalah urutan terbatas, karena untuk semua orang N= 1, 2, 3, … pertidaksamaan terpenuhi
Di situs web kami, Anda juga dapat membiasakan diri dengan materi pendidikan yang dikembangkan oleh para guru dari pusat pelatihan Resolventa untuk persiapan Ujian Negara Bersatu dan Ujian Negara Bersatu dalam matematika.
Bagi anak sekolah yang ingin mempersiapkan diri dengan baik dan lulus Ujian Negara Bersatu dalam matematika atau bahasa Rusia untuk skor tinggi, pusat pelatihan Resolventa mengadakan
| kursus persiapan untuk anak sekolah di kelas 10 dan 11 |
Pendahuluan…………………………………………………………………………………3
1. Bagian teori………………………………………………………….4
Konsep dan Istilah Dasar……………………………………………………………......4
1.1 Jenis-jenis barisan……………………………………………………………...6
1.1.1.Deret bilangan terbatas dan tidak terbatas…..6
1.1.2.Monotonisitas barisan…………………………………6
1.1.3.Deret yang sangat besar dan sangat kecil…….7
1.1.4.Sifat-sifat barisan yang sangat kecil…………………8
1.1.5. Barisan konvergen dan divergen serta sifat-sifatnya.....9
1.2 Batas barisan………………………………………………….11
1.2.1.Teorema limit barisan……………………………15
1.3. Perkembangan aritmatika……………………………………………………………17
1.3.1. Sifat-sifat barisan aritmatika……………………………..17
1.4Perkembangan geometri……………………………………………………………..19
1.4.1. Sifat-sifat barisan geometri…………………………………….19
1.5. Bilangan Fibonacci……………………………………………………………..21
1.5.1 Keterkaitan bilangan Fibonacci dengan bidang ilmu lainnya………………….22
1.5.2. Menggunakan deret bilangan Fibonacci untuk mendeskripsikan alam hidup dan alam mati…………………………………………………………………………………………….23
2. Penelitian sendiri……………………………………………………….28
Kesimpulan………………………………………………………………………………….30
Daftar referensi……………………………………………………………....31
Perkenalan.
Urutan angka adalah topik yang sangat menarik dan mendidik. Topik ini ditemukan dalam tugas-tugas dengan kompleksitas yang meningkat yang ditawarkan kepada siswa oleh penulis materi didaktik, dalam soal-soal olimpiade matematika, ujian masuk Perguruan Tinggi dan Ujian Negara Bersatu. Saya tertarik mempelajari bagaimana barisan matematika berhubungan dengan bidang pengetahuan lainnya.
Tujuan penelitian: Untuk memperluas pengetahuan tentang barisan bilangan.
1. Perhatikan urutannya;
2. Perhatikan sifat-sifatnya;
3. Pertimbangkan tugas analitis dari barisan tersebut;
4. Menunjukkan perannya dalam pengembangan bidang ilmu lainnya.
5. Mendemonstrasikan penggunaan deret angka Fibonacci untuk menggambarkan alam hidup dan alam mati.
1. Bagian teoritis.
Konsep dan istilah dasar.
Definisi. Barisan numerik adalah fungsi yang berbentuk y = f(x), x О N, dengan N adalah himpunan bilangan asli (atau fungsi argumen natural), dilambangkan dengan y = f(n) atau y1, y2, …, ya,…. Nilai y1, y2, y3,... masing-masing disebut anggota barisan pertama, kedua, ketiga,....
Suatu bilangan a disebut limit barisan x = (x n ) jika untuk suatu bilangan positif kecil sembarang yang telah ditentukan sebelumnya ε terdapat bilangan asli N sehingga untuk semua n>N pertidaksamaan |x n - a|< ε.
Jika bilangan a adalah limit barisan x = (x n ), maka dikatakan x n cenderung ke a, dan tuliskan
.Suatu barisan (yn) dikatakan bertambah jika masing-masing anggota (kecuali anggota pertama) lebih besar dari anggota sebelumnya:
kamu1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….
Suatu barisan (yn) disebut menurun jika setiap suku (kecuali suku pertama) lebih kecil dari suku sebelumnya:
y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .
Barisan naik dan turun digabungkan dalam istilah umum - barisan monotonik.
Suatu barisan disebut periodik jika terdapat bilangan asli T sehingga, dimulai dari suatu n, persamaan yn = yn+T berlaku. Bilangan T disebut panjang periode.
Perkembangan aritmatika adalah suatu barisan (an) yang setiap sukunya dimulai dari suku kedua sama dengan jumlah suku sebelumnya dan bilangan yang sama d, disebut barisan aritmatika, dan bilangan d adalah selisih suatu perkembangan aritmatika.
Jadi, barisan aritmatika adalah barisan bilangan (an) yang didefinisikan secara berulang oleh relasi
a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)
Barisan geometri adalah suatu barisan yang semua sukunya bukan nol dan setiap sukunya, mulai dari suku kedua, diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikannya dengan bilangan yang sama q.
Jadi, barisan geometri adalah barisan bilangan (bn) yang didefinisikan secara berulang oleh relasi
b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).
1.1 Jenis barisan.
1.1.1 Urutan yang dibatasi dan tidak dibatasi.
Suatu barisan (bn) dikatakan terbatas di atas jika terdapat suatu bilangan M sehingga untuk sembarang bilangan n pertidaksamaan bn≤ M berlaku;
Suatu barisan (bn) disebut berbatas di bawah jika terdapat bilangan M sedemikian rupa sehingga untuk sembarang bilangan n pertidaksamaan bn≥ M berlaku;
Misalnya:
1.1.2 Urutan yang monoton.
Suatu barisan (bn) disebut tidak bertambah (tidak berkurang) jika untuk sembarang bilangan n pertidaksamaan bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) benar;
Suatu barisan (bn) disebut menurun (menaik) jika untuk sembarang n pertidaksamaan bn> bn+1 (bn Barisan yang menurun dan naik disebut monotonik, barisan yang tidak bertambah disebut monotonik dalam arti luas. Barisan yang dibatasi di atas dan di bawah disebut berbatas. Urutan semua tipe ini disebut monotonik. 1.1.3 Barisan yang sangat besar dan kecil. Barisan yang sangat kecil adalah fungsi atau barisan numerik yang cenderung nol. Suatu barisan an dikatakan sangat kecil jika Suatu fungsi disebut sangat kecil di lingkungan titik x0 jika ℓimx→x0 f(x)=0. Suatu fungsi disebut sangat kecil di tak terhingga jika ℓimx→.+∞ f(x)=0 atau ℓimx→-∞ f(x)=0 Fungsi yang juga sangat kecil adalah selisih antara suatu fungsi dan limitnya, yaitu jika ℓimx→.+∞ f(x)=a, maka f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0. Barisan besar tak terhingga adalah fungsi numerik atau barisan yang cenderung tak terhingga. Suatu barisan an dikatakan besar tak terhingga jika ℓimn→0 dan=∞. Suatu fungsi dikatakan sangat besar di lingkungan titik x0 jika ℓimx→x0 f(x)= ∞. Suatu fungsi dikatakan sangat besar hingga tak terhingga jika ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ atau ℓimx→-∞ f(x)= ∞ . 1.1.4 Sifat-sifat barisan yang sangat kecil. Jumlah dua barisan yang sangat kecil itu sendiri juga merupakan barisan yang sangat kecil. Selisih dua barisan yang sangat kecil itu sendiri juga merupakan barisan yang sangat kecil. Jumlah aljabar dari sejumlah barisan yang sangat kecil hingga bilangan berhingga itu sendiri juga merupakan barisan yang sangat kecil. Hasil kali barisan berbatas dan barisan yang sangat kecil adalah barisan yang sangat kecil. Hasil kali sejumlah barisan yang sangat kecil hingga banyaknya adalah barisan yang sangat kecil. Setiap barisan yang sangat kecil dibatasi. Jika suatu barisan stasioner sangat kecil, maka semua elemennya, mulai dari suatu titik tertentu, sama dengan nol. Jika seluruh barisan yang sangat kecil terdiri dari unsur-unsur yang identik, maka unsur-unsur tersebut adalah nol. Jika (xn) suatu barisan yang besarnya tak terhingga tidak mengandung suku nol, maka terdapat barisan (1/xn) yang sangat kecil. Akan tetapi, jika (xn) mengandung unsur nol, maka barisan (1/xn) masih dapat didefinisikan mulai dari suatu bilangan n, dan akan tetap sangat kecil. Jika (an) suatu barisan yang sangat kecil tidak mengandung suku nol, maka terdapat barisan (1/an) yang besarnya tak terhingga. Jika (an) tetap mengandung unsur nol, maka barisan (1/an) masih dapat didefinisikan mulai dari suatu bilangan n, dan akan tetap besarnya tak terhingga. 1.1.5 Barisan konvergen dan divergen serta sifat-sifatnya. Barisan konvergen adalah barisan anggota himpunan X yang mempunyai limit pada himpunan tersebut. Barisan divergen adalah barisan yang tidak konvergen. Setiap barisan yang sangat kecil adalah konvergen. Batasnya adalah nol. Menghapus sejumlah elemen yang terbatas dari barisan yang tak terbatas tidak mempengaruhi konvergensi maupun batas barisan itu. Setiap barisan konvergen mempunyai batas. Namun, tidak semua barisan berbatas konvergen. Jika barisan (xn) konvergen, tetapi tidak sangat kecil, maka dimulai dari suatu bilangan tertentu, ditentukan suatu barisan (1/xn) yang berbatas. Jumlah barisan konvergen juga merupakan barisan konvergen. Perbedaan barisan konvergen juga merupakan barisan konvergen. Hasil kali barisan konvergen juga merupakan barisan konvergen. Hasil bagi dua barisan konvergen ditentukan dimulai dari suatu elemen, kecuali barisan kedua sangat kecil. Jika hasil bagi dua barisan konvergen ditentukan, maka barisan tersebut termasuk barisan konvergen. Jika suatu barisan konvergen dibatasi di bawah, maka tidak ada satupun terkecilnya yang melebihi batasnya. Jika suatu barisan konvergen dibatasi di atas, maka limitnya tidak melebihi batas atasnya. Jika untuk suatu bilangan suku-suku suatu barisan konvergen tidak melebihi suku-suku barisan konvergen lainnya, maka limit barisan pertama juga tidak melebihi limit barisan kedua. Perhatikan deret bilangan asli: 1, 2, 3, , N
– 1, N,
. Jika kita mengganti setiap bilangan asli N dalam seri ini dengan nomor tertentu A N, mengikuti beberapa hukum, kita mendapatkan rangkaian angka baru: A 1 ,
A 2 ,
A 3 , , A N –1 ,
A N ,
, ditunjuk dan dipanggil secara singkat urutan numerik. Besarnya A N disebut anggota persekutuan suatu barisan bilangan. Biasanya barisan bilangan diberikan dengan suatu rumus A N
= F(N) memungkinkan Anda menemukan anggota barisan mana pun berdasarkan nomornya N; rumus ini disebut rumus suku umum. Perhatikan bahwa tidak selalu mungkin untuk mendefinisikan barisan numerik menggunakan rumus suku umum; terkadang suatu urutan ditentukan dengan mendeskripsikan anggotanya. Menurut definisinya, suatu barisan selalu mengandung unsur-unsur yang jumlahnya tak terhingga: setiap dua unsur yang berbeda berbeda setidaknya dalam jumlahnya, yang jumlahnya tak terhingga banyaknya. Barisan bilangan merupakan kasus khusus dari suatu fungsi. Barisan adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli dan mengambil nilai pada himpunan bilangan real, yaitu fungsi yang berbentuk F
: N
R. Selanjutnya Terkadang lebih mudah untuk menggunakan tidak semua bilangan asli sebagai bilangan, tetapi hanya beberapa di antaranya (misalnya, bilangan asli yang dimulai dari suatu bilangan asli N 0). Untuk penomoran juga dimungkinkan untuk menggunakan tidak hanya bilangan asli, tetapi juga bilangan lain, misalnya, N= 0, 1, 2, (di sini nol ditambahkan sebagai bilangan lain ke himpunan bilangan asli). Dalam kasus seperti itu, saat menentukan urutannya, tunjukkan nilai apa yang diambil angka-angka tersebut N. Jika dalam urutan tertentu untuk apa pun N N
Contoh 1
.
Barisan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, ... merupakan barisan bilangan asli dan mempunyai suku yang sama A N
= N. Contoh 2
.
Barisan bilangan 2, 4, 6, 8, 10, ... merupakan barisan bilangan genap dan mempunyai suku yang sama A N
= 2N. Contoh 3
.
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – urutan numerik nilai perkiraan dengan akurasi yang meningkat. Pada contoh terakhir tidak mungkin memberikan rumus suku umum barisan tersebut. Contoh 4
.
Tulislah 5 suku pertama suatu barisan bilangan dengan menggunakan suku persekutuannya Tes 6
.
Suku persekutuan barisan 1, 2, 6, 24, 120, adalah: 1)
2)
3)
4)
Tes 7
.
1)
2)
3)
4)
Tes 8
.
Anggota umum dari barisan tersebut 1)
2)
3)
4)
Perhatikan suatu barisan bilangan yang suku persekutuannya mendekati suatu bilangan A ketika nomor seri bertambah N. Dalam hal ini barisan bilangan dikatakan mempunyai limit. Konsep ini memiliki definisi yang lebih ketat. Nomor A disebut limit suatu barisan bilangan jika untuk sembarang > 0 terdapat bilangan tersebut N 0
= N 0 (), bergantung pada , yang mana Definisi ini berarti bahwa A suatu barisan bilangan mempunyai batas jika suku persekutuannya mendekati tanpa batas A dengan meningkatnya N. Secara geometris, ini berarti bahwa untuk > 0 mana pun, seseorang dapat menemukan bilangan tersebut N 0 , yang dimulai dari N
> N 0 , semua anggota barisan terletak di dalam interval ( A
– ,
A+ ). Barisan yang mempunyai limit disebut konvergen; jika tidak - berbeda. Suatu barisan bilangan hanya dapat mempunyai satu limit (berhingga atau tidak terbatas) dari suatu tanda tertentu. Contoh 5
.
Urutan harmonik Contoh 6
.
Barisan 2, 5, 2, 5, divergen. Memang, tidak ada interval yang panjangnya kurang dari, misalnya satu, yang dapat memuat semua anggota barisan, mulai dari bilangan tertentu. Urutannya disebut terbatas, jika nomor tersebut ada M, Apa Contoh 7
.
Selanjutnya Nomor e ditelepon bilangan Euler dan kira-kira sama dengan 2,718 28. Tes 9
.
Barisan 1, 4, 9, 16, adalah: 1) konvergen; 2) berbeda; 3) terbatas; Tes 10
.
Selanjutnya 1) konvergen; 2) berbeda; 3) terbatas; 4) perkembangan aritmatika; 5) barisan geometri. Tes 11
.
Selanjutnya 1) konvergen; 2) berbeda; 3) terbatas; 4) harmonis. Tes
12
.
Batas barisan yang diberikan oleh suku umum 1
Definisi 2
Contoh 3
Operasi pada urutan 4
Selanjutnya 4.1
Contoh 4.2
Properti 5
Titik batas urutan 6
Batas urutan 7
Beberapa jenis urutan 7.1
Barisan Berbatas dan Tidak Berbatas 7.1.1
Kriteria batasan suatu barisan numerik 7.1.2
Sifat-sifat barisan berbatas 7.2
Urutan yang sangat besar dan sangat kecil 7.2.1
Sifat-sifat barisan yang sangat kecil 7.3
Barisan konvergen dan divergen 7.3.1
Sifat-sifat barisan konvergen 7.4
Urutan monoton 7.5
Urutan Mendasar Urutan nomor- Ini selanjutnya elemen ruang bilangan. Urutan angka merupakan salah satu objek pertimbangan utama dalam analisis matematis. Biarkan setnya X adalah himpunan bilangan real atau himpunan bilangan kompleks. Kemudian barisan unsur-unsur himpunan tersebut X ditelepon urutan numerik. Pada banyak semua barisan elemen himpunan X dapat ditentukan hitung dan lainnya operasi, jika ditentukan di himpunan X. Operasi semacam itu biasanya didefinisikan secara alami, yaitu elemen demi elemen. Biarkan di lokasi syuting X bertekad N operasi -ary F: Lalu untuk elemennya Misalnya, beginilah cara operasi aritmatika untuk barisan bilangan didefinisikan. Jumlah
X N) Dan ( kamu Nz N) seperti yang z N = X N
+ kamu N . Berdasarkan perbedaan
urutan angka ( X N) Dan ( kamu N) disebut barisan bilangan ( z N) seperti yang z N = X N
− kamu N . Pekerjaan
urutan angka X N Dan kamu N disebut barisan bilangan ( z N) seperti yang . Pribadi
urutan nomor X N dan urutan nomor kamu N, semua elemennya berbeda dari nol, disebut barisan bilangan Tentu saja, operasi aritmatika dapat didefinisikan tidak hanya pada himpunan barisan numerik, tetapi juga pada sembarang himpunan barisan elemen himpunan yang operasi aritmatikanya didefinisikan, baik itu bidang atau bahkan cincin. Selanjutnya
urutan ( X N) adalah barisan dimana ( k N) adalah barisan elemen himpunan bilangan asli yang meningkat. Dengan kata lain, suatu barisan diperoleh dari suatu barisan dengan menghilangkan sejumlah elemen yang terbatas atau dapat dihitung. Selanjutnya bilangan prima adalah barisan bilangan asli. Barisan bilangan asli, kelipatan 12
, adalah lanjutan dari barisan tersebut bahkan bilangan asli. Setiap urutan adalah urutannya sendiri-sendiri. Barisan barisan konvergen konvergen hingga limit yang sama dengan barisan asal. Jika semua barisan barisan asal konvergen, maka limitnya sama. Setiap barisan yang berhingga besarnya juga tidak terhingga besarnya. Dari barisan bilangan tak terhingga, seseorang dapat memilih barisan yang besarnya tak terhingga, yang semua elemennya mempunyai tanda tertentu. Dari barisan numerik apa pun, seseorang dapat memilih barisan yang konvergen atau barisan yang besarnya tak terhingga, yang semua elemennya mempunyai tanda tertentu. Artikel utama: Batas titik
Titik batas urutan
adalah suatu titik di lingkungan mana pun yang terdapat banyak sekali elemen barisan ini. Untuk barisan bilangan konvergen, titik limitnya berimpit dengan membatasi. Artikel utama: Batas urutan
Batas urutan
- ini adalah objek yang didekati anggota barisan seiring bertambahnya jumlah. Jadi secara gratis ruang topologi limit suatu barisan adalah suatu elemen dalam sembarang lingkungan yang memuat semua suku barisan, dimulai dari beberapa. Khususnya, untuk barisan bilangan, limit adalah suatu bilangan di lingkungan mana pun yang semua anggota barisan tersebut dimulai dari suatu titik tertentu. Batas urutan parsial
adalah limit dari salah satu barisan berikutnya. Untuk barisan bilangan konvergen selalu bertepatan dengan limit biasanya. Batas urutan atas
adalah titik batas terbesar barisan ini. Batas urutan bawah
adalah titik batas terkecil barisan ini. Urutan stasioner
adalah barisan yang semua anggotanya, dimulai pada titik tertentu, adalah sama. (X N) tidak bergerak Dengan asumsi urutan linier set X unsur suatu barisan, kita dapat mengenalkan konsep barisan berbatas dan tidak berbatas. Barisan berbatas atas
X, yang semua anggotanya tidak melebihi beberapa elemen dari himpunan ini. Elemen ini disebut tepi atas
urutan ini. (X N) dibatasi di atas Barisan dibatasi di bawah
adalah barisan elemen-elemen suatu himpunan X, yang dalam himpunan ini terdapat elemen yang tidak melebihi seluruh anggotanya. Elemen ini disebut tepi bawah
urutan ini. (X N) dibatasi di bawah Urutan terbatas
(barisan dibatasi pada kedua sisinya
) adalah barisan yang dibatasi di atas dan di bawah. (X N) terbatas Urutan tidak terbatas
merupakan barisan yang tidak terbatas. (X N) tidak terbatas Suatu barisan bilangan dibatasi jika dan hanya jika terdapat suatu bilangan sedemikian rupa modul dari semua anggota barisan tidak melebihinya. (X N) terbatas Urutan yang sangat kecil
adalah sebuah urutan membatasi yang sama dengan nol. Urutan yang sangat besar
adalah barisan yang limitnya adalah ketakterbatasan. Urutan yang sangat kecil dibedakan oleh sejumlah properti luar biasa yang digunakan secara aktif analisis matematis, serta dalam disiplin ilmu terkait dan lebih umum. Jumlah dua barisan yang sangat kecil itu sendiri juga merupakan barisan yang sangat kecil. Selisih dua barisan yang sangat kecil itu sendiri juga merupakan barisan yang sangat kecil. Jumlah aljabar dari sejumlah barisan yang sangat kecil hingga bilangan berhingga itu sendiri juga merupakan barisan yang sangat kecil. Hasil kali barisan berbatas dan barisan yang sangat kecil adalah barisan yang sangat kecil. Hasil kali sejumlah barisan yang sangat kecil hingga banyaknya adalah barisan yang sangat kecil. Setiap barisan yang sangat kecil dibatasi. Jika suatu barisan stasioner sangat kecil, maka semua elemennya, mulai dari suatu titik tertentu, sama dengan nol. Jika seluruh barisan yang sangat kecil terdiri dari unsur-unsur yang identik, maka unsur-unsur tersebut adalah nol. Jika ( X N) adalah barisan yang besarnya tak terhingga yang tidak mengandung suku nol, maka terdapat barisan (1 / X N), yang sangat kecil. X N Jika ( X N N) masih mengandung unsur nol, maka barisan (1 / , dan akan tetap sangat kecil. N Jika (α N) adalah barisan yang sangat kecil yang tidak mengandung suku nol, maka terdapat barisan (1 / α N), yang sangat besar. N Jika (α N) masih mengandung unsur nol, maka barisan (1 / α Urutan konvergen
adalah barisan elemen-elemen suatu himpunan X, memiliki membatasi dalam jumlah banyak ini. Urutan divergen
adalah barisan yang tidak konvergen. Setiap barisan yang sangat kecil adalah konvergen. Batasannya adalah nol. Menghapus sejumlah elemen yang terbatas dari barisan yang tak terbatas tidak mempengaruhi konvergensi maupun batas barisan itu. Setiap barisan elemen yang konvergen ruang Hausdorff hanya mempunyai satu batasan. Setiap barisan konvergen mempunyai batas. Namun, tidak semua barisan berbatas konvergen. Suatu barisan konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut dibatasi dan juga batas atas dan bawah cocok. Jika barisan ( X N) konvergen tetapi tidak sangat kecil, maka dimulai dari suatu bilangan tertentu barisan (1 / X N), yang terbatas. Jumlah barisan konvergen juga merupakan barisan konvergen. Perbedaan barisan konvergen juga merupakan barisan konvergen. Hasil kali barisan konvergen juga merupakan barisan konvergen. Hasil bagi dua barisan konvergen ditentukan dimulai dari suatu elemen, kecuali barisan kedua sangat kecil. Jika hasil bagi dua barisan konvergen ditentukan, maka barisan tersebut termasuk barisan konvergen. Jika suatu barisan konvergen dibatasi di bawah, maka tidak ada satupun terkecilnya yang melebihi batasnya. Jika suatu barisan konvergen dibatasi di atas, maka limitnya tidak melebihi batas atasnya. Jika untuk suatu bilangan suku-suku suatu barisan konvergen tidak melebihi suku-suku barisan konvergen lainnya, maka limit barisan pertama juga tidak melebihi limit barisan kedua. Jika semua elemen suatu barisan tertentu, dimulai dari suatu bilangan tertentu, terletak pada ruas antara elemen-elemen yang bersesuaian dari dua barisan lainnya yang konvergen pada limit yang sama, maka barisan tersebut juga konvergen pada limit yang sama. Setiap barisan konvergen ( X N) dapat direpresentasikan sebagai ( X N)
= (A + α N), Di mana A- batas urutan ( X N), dan α N- beberapa urutan yang sangat kecil. Setiap barisan konvergen adalah mendasar. Artikel utama:
Urutan monoton
Urutan monotonik adalah barisan yang tidak bertambah atau tidak berkurang. Dalam hal ini, diasumsikan bahwa pada himpunan dari mana elemen-elemen barisan tersebut diambil,. Artikel utama:
Urutan Mendasar
(Urutan Mendasar
,
barisan konvergen
Urutan Cauchy ) adalah urutan elemen ruang metrik , di mana untuk setiap jarak yang telah ditentukan terdapat elemen sedemikian rupa sehingga jarak dari elemen mana pun yang mengikutinya tidak melebihi jarak yang ditentukan. Untuk barisan bilangan, konsep barisan fundamental dan barisan konvergen adalah ekuivalen, namun secara umum tidak demikian. Seri Nomor Urut Abstrak >> Matematika Deret konvergen Va numerik selanjutnya baris - tak ada habisnya selanjutnya angka-angka dihubungkan dengan tanda... alur peristiwa alur peristiwa- kejadian yang terjadi secara acak... -va: 1. F(x) didefinisikan secara keseluruhan numerik
ditelepon meningkat(menurun), jika ada N N
Urutan seperti ini disebut sangat monoton.
maka urutannya dipanggil tidak menurun(tidak meningkat). Urutan seperti ini disebut membosankan.
. Untuk menghitung A 1 diperlukan dalam rumus untuk suku umum A N alih-alih N gantikan 1 untuk menghitung A 2 − 2, dst. Maka kita mempunyai: 
adalah:
adalah:
Batas urutan nomor
:
(1)
pada N
> N 0 .
memiliki bilangan limit 0. Memang, untuk interval apa pun (–; +) sebagai bilangan N 0 dapat berupa bilangan bulat apa pun yang lebih besar dari . Lalu untuk semua orang N
> N 0 >kita punya 
untuk semua orang N. Setiap barisan konvergen mempunyai batas. Setiap barisan monotonik dan berbatas mempunyai limit. Setiap barisan konvergen mempunyai limit yang unik.
semakin meningkat dan terbatas. Dia punya batas 
=e.
adalah:
tidak:
setara.Definisi
Contoh
Operasi pada urutan
,
,
…,
himpunan semua barisan elemen himpunan X operasi F akan ditentukan sebagai berikut:
. Jika secara berurutan kamu N posisinya masih mempunyai unsur nol, maka hasil pembagian dengan barisan tersebut masih dapat didefinisikan sebagai barisan tersebut 
.Selanjutnya
Contoh
Properti
Titik batas urutan
Batas urutan
Beberapa jenis urutan
Barisan Berbatas dan Tidak Berbatas
Kriteria batasan suatu barisan numerik
Sifat-sifat barisan berbatas
Urutan yang sangat besar dan sangat kecil
Sifat-sifat barisan yang sangat kecil
Barisan konvergen dan divergen
Sifat-sifat barisan konvergen
Dalam hal ini, barisan bilangan fundamental selalu konvergen (seperti barisan fundamental elemen ruang lengkap).
hubungan pesanan
