Dengan mempelajari sifat-sifat bangun geometri, kami membuktikan sejumlah teorema. Dalam melakukan hal ini, kami biasanya mengandalkan teorema yang telah terbukti sebelumnya. Berdasarkan apa bukti teorema geometri pertama? Jawaban atas pertanyaan ini adalah: pernyataan-pernyataan tertentu tentang sifat-sifat bangun geometri diterima sebagai titik awal, atas dasar teorema-teorema selanjutnya dibuktikan dan, secara umum, seluruh geometri dibangun. Posisi awal seperti ini disebut aksioma.
Beberapa aksioma dirumuskan kembali pada bab pertama (walaupun di sana tidak disebut aksioma). Misalnya, itu adalah aksioma bahwa
Banyak aksioma lain, meskipun tidak terlalu ditekankan, sebenarnya digunakan dalam penalaran kami. Jadi, kami membandingkan dua segmen dengan melapiskan satu segmen ke segmen lainnya. Kemungkinan tumpang tindih tersebut mengikuti aksioma berikut:
Perbandingan dua sudut didasarkan pada aksioma serupa:
Semua aksioma ini jelas dan tidak diragukan lagi. Kata “aksioma” sendiri berasal dari bahasa Yunani “axios” yang berarti “berharga, layak”. Kami menyediakan daftar lengkap aksioma planimetri yang diadopsi dalam kursus geometri kami di akhir buku teks.
Pendekatan terhadap konstruksi geometri ini, ketika posisi awal - aksioma - pertama kali dirumuskan, dan kemudian pernyataan lain dibuktikan atas dasar mereka melalui penalaran logis, berasal dari zaman kuno dan diuraikan dalam karya terkenal “Prinsip” oleh orang Yunani kuno ilmuwan Euclid. Beberapa aksioma Euclid (beberapa di antaranya ia sebut postulat) dan sekarang digunakan dalam kursus geometri, dan geometri itu sendiri, yang disajikan dalam “Elemen”, disebut Geometri Euclidean. Pada paragraf berikutnya kita akan mengenal salah satu aksioma geometri yang paling terkenal.
Aksioma garis sejajar
Perhatikan suatu garis lurus sembarang a dan titik M yang tidak terletak pada garis tersebut (Gbr. 110, a). Mari kita buktikan bahwa melalui titik M dapat ditarik garis yang sejajar dengan garis a. Caranya, tariklah dua garis lurus yang melalui titik M: pertama garis lurus c tegak lurus garis a, kemudian garis lurus b tegak lurus garis c (Gbr. 110, (b). Karena garis lurus a dan b tegak lurus terhadap garis lurus c, keduanya sejajar.
Beras. 110
Jadi, melalui titik M melewati garis b yang sejajar dengan garis a. Timbul pertanyaan berikut: apakah mungkin ditarik garis lain yang melalui titik M sejajar dengan garis lurus a?
Tampaknya bagi kita bahwa jika garis lurus b “diputar” walaupun dengan sudut yang sangat kecil di sekitar titik M, maka garis tersebut akan memotong garis lurus a (garis b" pada Gambar 110.6). Dengan kata lain, bagi kita tampaknya garis tersebut adalah tidak mungkin ditarik garis lurus lain yang melalui titik M (berbeda dengan b), sejajar dengan garis a. Apakah pernyataan tersebut dapat dibuktikan?
Pertanyaan ini memiliki sejarah yang panjang. "Elemen" Euclid berisi postulat (postulat kelima Euclid), yang menyatakan bahwa melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, hanya satu garis lurus yang dapat ditarik sejajar dengan garis tersebut. Banyak ahli matematika, mulai dari zaman kuno, telah mencoba membuktikan postulat kelima Euclid, yaitu menurunkannya dari aksioma lain. Namun, upaya ini selalu gagal. Dan baru pada abad yang lalu akhirnya diperjelas bahwa pernyataan tentang keunikan suatu garis yang melalui suatu titik tertentu yang sejajar dengan suatu garis tertentu tidak dapat dibuktikan berdasarkan aksioma Euclid yang tersisa, tetapi merupakan aksioma itu sendiri.
Matematikawan besar Rusia Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) memainkan peran besar dalam memecahkan masalah sulit ini.
Jadi, sebagai titik awal lainnya kami menerima aksioma garis sejajar.
Pernyataan yang diturunkan langsung dari aksioma atau teorema disebut konsekuensi. Misalnya, pernyataan 1 dan 2 (lihat hal. 35) merupakan konsekuensi dari teorema garis bagi segitiga sama kaki.
Mari kita perhatikan beberapa akibat wajar dari aksioma garis sejajar.
Misalkan garis lurus a dan b sejajar dan garis c memotong garis a di titik M (Gbr. 111, a). Mari kita buktikan bahwa garis c juga memotong garis b. Jika garis lurus c tidak memotong garis b, maka dua garis lurus (garis lurus a dan c) yang sejajar dengan garis lurus b akan melewati titik M (Gbr. 111, b). Namun hal ini bertentangan dengan aksioma garis sejajar, dan oleh karena itu, garis c memotong garis b.
Beras. 111
Memang benar, misalkan garis lurus a dan b sejajar dengan garis lurus c (Gbr. 112, a). Mari kita buktikan bahwa || B. Misalkan garis a dan b tidak sejajar, yaitu berpotongan di suatu titik M (Gbr. 112.6). Kemudian dua garis melewati titik M (garis a dan b), sejajar dengan garis c.
Beras. 112
Namun hal ini bertentangan dengan aksioma garis sejajar. Oleh karena itu asumsi kami salah, artinya garis a dan b sejajar.
Teorema sudut yang dibentuk oleh dua garis sejajar dan garis transversal
Setiap teorema memiliki dua bagian: kondisi Dan kesimpulan. Syarat teorema adalah apa yang diberikan, dan kesimpulannya adalah apa yang perlu dibuktikan.
Mari kita perhatikan, misalnya, sebuah teorema yang menyatakan kriteria kesejajaran dua garis lurus: jika, ketika dua garis lurus berpotongan dengan garis transversal, sudut-sudut letaknya sama besar, maka garis-garis lurus tersebut sejajar.
Dalam teorema ini, syaratnya adalah bagian pertama dari pernyataan: “bila dua garis berpotongan melintang, sudut-sudut yang terletak sama besar” (ini diberikan), dan kesimpulannya adalah bagian kedua: “garis-garis itu sejajar” (ini perlu untuk dibuktikan).
Kebalikan dari teorema ini, adalah teorema yang kondisinya merupakan kesimpulan dari teorema tersebut, dan kesimpulannya adalah kondisi dari teorema tersebut. Mari kita buktikan teorema kebalikan dari ketiga teorema pada paragraf 25.
Dalil
Bukti
Misalkan garis sejajar a dan b berpotongan dengan garis potong MN. Mari kita buktikan bahwa sudut-sudut yang bersilangan, misalnya 1 dan 2, adalah sama besar (Gbr. 113).
Beras. 113
Misalkan sudut 1 dan 2 tidak sama besar. Mari kita kurangi sinar MN suatu sudut PMN sama dengan sudut 2, sehingga PMN dan 2 adalah sudut bersilangan pada perpotongan garis MR dan b oleh garis potong MN. Berdasarkan konstruksinya, sudut-sudut yang bersilangan ini sama besar, jadi MR || B. Diketahui bahwa melalui titik M terdapat dua garis lurus (garis lurus a dan MR) yang sejajar dengan garis lurus b. Namun hal ini bertentangan dengan aksioma garis sejajar. Artinya asumsi kita salah dan ∠1 = ∠2. Teorema tersebut telah terbukti.
Komentar
Dalam membuktikan teorema ini, kami menggunakan metode penalaran yang disebut dengan pembuktian dengan kontradiksi.
Kita berasumsi bahwa ketika garis sejajar a dan b berpotongan dengan MN transversal, sudut letak 1 dan 2 tidak sama besar, yaitu kita mengasumsikan kebalikan dari apa yang perlu dibuktikan. Berdasarkan asumsi ini, melalui penalaran kita sampai pada kontradiksi dengan aksioma garis sejajar. Artinya asumsi kita salah sehingga ∠1 = ∠2.
Cara penalaran ini sering digunakan dalam matematika. Kita telah menggunakannya sebelumnya, misalnya, pada paragraf 12 ketika membuktikan bahwa dua garis yang tegak lurus garis ketiga tidak berpotongan. Kami menggunakan metode yang sama di paragraf 28 untuk membuktikan akibat wajar 1 0 dan 2 0 dari aksioma garis sejajar.
Konsekuensi
Memang, biarkan || b, c ⊥ a, yaitu ∠1 = 90° (Gbr. 114). Garis c memotong garis a, sehingga juga memotong garis b. Ketika garis sejajar a dan b berpotongan dengan garis transversal c, terbentuk sudut bersilangan yang sama besar: ∠1=∠2. Karena ∠1 = 90°, maka ∠2 = 90°, yaitu c ⊥ b, yang perlu dibuktikan.
Beras. 114
Dalil
Bukti
Misalkan garis sejajar a dan b dipotong oleh garis potong c. Mari kita buktikan bahwa sudut-sudut yang bersesuaian, misalnya 1 dan 2, adalah sama besar (lihat Gambar 102). Sejak || b, maka sudut bersilangan 1 dan 3 sama besar.
Sudut 2 dan 3 sama besar dengan sudut vertikal. Dari persamaan ∠1 = ∠3 dan ∠2 = ∠3 maka ∠1 = ∠2. Teorema tersebut telah terbukti.
Dalil
Bukti
Misalkan garis sejajar a dan b berpotongan dengan garis potong c (lihat Gambar 102). Mari kita buktikan, misalnya, bahwa ∠1 + ∠4 = 180°. Sejak || b, maka sudut-sudut yang bersesuaian 1 dan 2 sama besar. Sudut 2 dan 4 berdekatan, jadi ∠2 + ∠4 = 180°. Dari persamaan ∠1 = ∠2 dan ∠2 + ∠4 = 180° maka ∠1 + ∠4 = 180°. Teorema tersebut telah terbukti.
Komentar
Jika suatu teorema tertentu terbukti, maka pernyataan kebalikannya tidak mengikuti. Terlebih lagi, hal sebaliknya tidak selalu benar. Mari kita beri contoh sederhana. Kita tahu bahwa jika sudut-sudutnya vertikal, maka besarnya sama besar. Pernyataan sebaliknya: “jika sudut-sudutnya sama besar, maka keduanya vertikal” tentu saja salah.
Sudut yang masing-masing sisinya sejajar atau tegak lurus
Mari kita buktikan teorema tentang sudut-sudut yang sisi-sisinya sejajar.
Dalil
Bukti
Misalkan ∠AOB dan ∠A 1 O 1 B 1 adalah sudut-sudut tertentu dan OA || HAI 1 SEBUAH 1 , OB || Sekitar 1 dalam 1. Jika sudut AOB berkembang, maka sudut A 1 O 1 B 1 juga berkembang (jelaskan alasannya), sehingga sudut-sudut tersebut sama besar. Misalkan ∠AOB adalah sudut yang belum berkembang. Kemungkinan kasus letak sudut AOB dan A 1 O 1 B 1 ditunjukkan pada Gambar 115, a dan b. Garis lurus O 1 B 1 memotong garis O 1 A 1 dan oleh karena itu memotong garis OA yang sejajar dengannya di suatu titik M. Garis sejajar OB dan O 1 B 1 berpotongan dengan garis potong OM, oleh karena itu salah satu dari sudut yang terbentuk pada perpotongan garis lurus O 1 B 1 dan OA (sudut 1 pada Gambar 115), sama dengan sudut AOB (seperti sudut bersilangan). Garis sejajar OA dan O 1 A 1 berpotongan dengan garis potong O 1 M, oleh karena itu ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (Gbr. 115, a), atau ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180 ° (Gbr. 115, b). Dari persamaan ∠1 = ∠AOB dan dua persamaan terakhir maka ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (lihat Gambar 115, a), atau ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° ( lihat Gambar 115, b). Teorema tersebut telah terbukti.
Beras. 115
Sekarang mari kita buktikan teorema tentang sudut yang sisi-sisinya tegak lurus.
Dalil
Bukti
Misalkan ∠AOB dan ∠A 1 O 1 B 1 diberi sudut, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 . Jika sudut AOB terbalik atau lurus, maka sudut A 1 O 1 B 1 terbalik atau lurus (jelaskan alasannya), jadi sudut-sudut tersebut sama besar. Biarkan ∠AOB< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).
Ada dua kasus yang mungkin terjadi (Gbr. 116).
1 0 . ∠AOB< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.
2 0 . ∠AOB > 90° (lihat Gambar 116, b). Mari kita gambarkan sinar OS sehingga sudut AOS berdekatan dengan sudut AOB. Sudut AOC lancip, dan sisi-sisinya tegak lurus terhadap sisi-sisi sudut A 1 O 1 B 1 . Oleh karena itu, ∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, atau ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . Dalam kasus pertama, ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1, dalam kasus kedua, ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Teorema tersebut telah terbukti.
Tugas
196. Diberikan segitiga ABC. Berapa banyak garis sejajar sisi AB yang dapat ditarik melalui titik C?
197. Empat garis lurus ditarik melalui suatu titik yang tidak terletak pada garis p. Berapa banyak garis yang memotong garis p? Pertimbangkan semua kemungkinan kasus.
198. Garis a dan b tegak lurus terhadap garis p, garis c memotong garis a. Apakah garis c memotong garis b?
199. Garis p sejajar dengan sisi AB segitiga ABC. Buktikan bahwa garis BC dan AC memotong garis r.
200. Pada Gambar 117 M || p dan PQ || Matahari. Buktikan bahwa garis p memotong garis AB, AE, AC, BC dan PQ.
Beras. 117
201. Jumlah sudut bersilangan pada dua garis sejajar berpotongan dengan garis transversal adalah 210°. Temukan sudut-sudut ini.
202. Pada Gambar 118, garis a, b dan c berpotongan dengan garis d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Garis a, b, dan c manakah yang sejajar?
Beras. 118
203. Tentukan semua sudut yang terbentuk pada dua garis sejajar a dan b berpotongan dengan garis transversal c, jika:
a) salah satu sudutnya 150°;
b) salah satu sudutnya lebih besar 70° dari sudut lainnya.
204. Ujung-ujung ruas AB terletak pada garis sejajar a dan b. Garis lurus yang melalui titik tengah O ruas ini memotong garis a dan b di titik C dan D. Buktikan bahwa CO = OD.
205. Dengan menggunakan data pada Gambar 119, carilah ∠1.
Beras. 119
206. ABC = 70° dan ABCD = 110°. Bisakah garis AB dan CD menjadi:
a) paralel;
b) berpotongan?
207. Jawablah soal pada Soal 206 jika ∠ABC = 65° dan ∠BCD = 105°.
208. Selisih dua sudut sepihak pada perpotongan dua garis sejajar yang melintang adalah 50°. Temukan sudut-sudut ini.
209. Pada gambar 120a || b, c || d, ∠4 = 45°. Temukan sudut 1, 2 dan 3.
Beras. 120
210. Dua benda P 1 dan P 2 digantung pada ujung seutas benang yang dilemparkan ke atas balok A dan B (Gbr. 121). Benda ketiga P 3 digantung pada benang yang sama di titik C dan menyeimbangkan benda P 1 dan P 2. (Dalam hal ini, AP 1 || BP 2 || CP 3 .) Buktikan bahwa ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 .
Beras. 121
211. Dua garis sejajar berpotongan dengan garis transversal. Buktikan bahwa: a) garis bagi sudut-sudut yang berhadapan sejajar; b) garis bagi sudut satu sisi tegak lurus.
212. Garis lurus yang memuat ketinggian AA 1 dan BB 1 segitiga ABC berpotongan di titik H, sudut B tumpul, C = 20°. Carilah sudut ABB.
Jawaban atas masalah
196. Satu garis lurus.
197. Tiga atau empat.
201.105°, 105°.
203. b) Empat sudut besarnya 55°, empat sudut lainnya 125°.
206.a) Ya; b) ya.
207.a) Tidak; b) ya.
208. 115° dan 65°.
209. ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3=135°.
210. Instruksi. Perhatikan kelanjutan sinar CP 3.
Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.
Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
- Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.
Perlindungan informasi pribadi
Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.
Gambar 1-2
Misalnya, tugas diberikan untuk menggambar dua garis sejajar, dan melalui suatu titik tertentu M setidaknya salah satu garis lurus dilewati. Jadi, melalui suatu titik tertentu M menggambar garis yang saling tegak lurus M N Dan CD . Dan melalui intinya N mari kita menggambar garis lurus kedua AB , itu harus tegak lurus terhadap garis M N .
Mari kita simpulkan: lurus AB tegak lurus terhadap garis M N dan lurus CD juga tegak lurus terhadap garis M N , dan karena garis-garis ini sejajar dengan satu garis, maka sebagai konsekuensinya, garis tersebut CD paralel AB . Jadi, melalui intinya M ada garis lurus CD , yang sejajar dengan garis AB . Mari kita cari tahu: apakah mungkin menggambar garis lurus lain melalui titik tersebut? M sehingga sejajar dengan garis AB ?
Pernyataan ini adalah jawaban atas pertanyaan kita: melalui sebuah titik pada bidang yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, Anda hanya dapat menggambar satu garis lurus, yang sejajar dengan garis tersebut. Penolakan seperti itu dalam rumusan berbeda tanpa bukti diterima pada zaman dahulu oleh ilmuwan Euclid. Diketahui bahwa pernyataan seperti itu, yang diterima tanpa bukti, disebut aksioma.
Pernyataan di atas disebut aksioma garis sejajar. Aksioma Euclid ini sangat penting untuk pembuktian banyak teorema.
Mari kita pertimbangkan teorema kebalikannya. Jika suatu garis lurus memotong garis-garis sejajar, maka sudut-sudut yang terletak bersilangan pada garis-garis sejajar tersebut adalah sama besar.
Beras.
3
Bukti: misalkan demikian AC Dan ВD adalah garis sejajar, maka garis tersebut AB adalah garis potong mereka. Kita perlu membuktikannya РСАВ =Р АВD .
Kita perlu menggambar garis lurus seperti ini AC1 , ke РС1АВ=РАВD . Sesuai dengan aksioma garis sejajar AC1||ВD , dalam kondisi yang kita miliki AC||ВD . Dan ini berarti melalui titik ini A dua garis melewatinya dan sejajar dengan garis tersebut ВD . Hal ini mengakibatkan kontradiksi dengan aksioma garis sejajar yang artinya garis lurus AC1 dilakukan secara tidak benar.
Itu akan benar jika РСАВ=РАВD . Mari kita simpulkan: jika suatu garis lurus tegak lurus terhadap salah satu garis sejajar, maka garis tersebut akan tegak lurus terhadap garis kedua.
Ternyata jika (MN)^(CD) Dan (CD)||(AB) , Itu P1=P2=90о . Dan ini berarti: (MN)^(AB) (Gbr. 1) .
Mari kita buktikan teorema: jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar dengan garis kedua.
Beras. 4
Biarlah lurus A sejajar dengan garis Dengan dan lurus B juga sejajar dengan garis Dengan (Gbr. 4a) . Kita perlu membuktikannya a||b .
Anggap saja garis lurus A Dan B tidak sejajar, tetapi berpotongan di suatu titik M (Gbr. 4b) . Artinya ada dua garis lurus A Dan B , yang sejajar dengan garis yang melalui satu titik, dan ini sepenuhnya bertentangan dengan aksioma garis sejajar. Jadi milik kita langsung A Dan B paralel.
