Interaksi antara letak garis lurus dan lingkaran. Pelajaran "Kedudukan relatif suatu garis dan lingkaran"

Tujuan didaktik: pembentukan pengetahuan baru.

Tujuan pelajaran.

Pendidikan:

• untuk membentuk konsep matematika: garis singgung lingkaran, kedudukan relatif suatu garis dan lingkaran, untuk mencapai pemahaman siswa dan reproduksi konsep-konsep tersebut melalui kerja penelitian praktis.

Penghematan kesehatan:

• menciptakan iklim psikologis yang mendukung di dalam kelas;

Pendidikan:

• mengembangkan minat kognitif siswa, kemampuan menjelaskan, merangkum hasil yang diperoleh, membandingkan, membedakan, dan menarik kesimpulan.

Pendidikan:

• pendidikan budaya pribadi melalui matematika.

Bentuk pelatihan:

• konten - percakapan, kerja praktek;
• dalam mengatur kegiatan – individu, frontal.

Rencana Pelajaran

Menetapkan pekerjaan rumah.

• Peralatan:
• komputer, layar, proyektor;

materi selebaran.

Sumber Daya Pendidikan:

1. Matematika. Buku teks untuk kelas 6 lembaga pendidikan umum; / G.V.Dorofeev, M., Pendidikan, 2009

2. Markova V.I. Fitur pengajaran geometri dalam konteks penerapan standar pendidikan negara: rekomendasi metodologis, Kirov, 2010.

3. Atanasyan L.S. Buku teks “Geometri 7-9”.

1. Momen organisasi. Memperbarui pengetahuan.

Guru mengumumkan topik pelajaran. Cari tahu asosiasi apa yang muncul dengan kata “lingkaran”.

Berapa diameter lingkaran jika jari-jarinya 2,4 cm?

Berapa jari-jarinya jika diameternya 6,8 cm?

2. Penetapan tujuan.

Siswa menetapkan tujuan pelajaran, guru merangkumnya dan menetapkan tujuan pelajaran.

Sebuah program kegiatan untuk pelajaran disusun.

3. Pembiasaan dengan materi baru.

1) Bekerja dengan model: “Tunjukkan pada model bagaimana garis lurus dan lingkaran dapat ditempatkan pada bidang datar.”

Berapa banyak kesamaan poin yang mereka miliki?

2) Melaksanakan kerja penelitian praktek.

Target. Tetapkan sifat kedudukan relatif suatu garis dan lingkaran.

Peralatan: lingkaran yang digambar pada selembar kertas dan tongkat sebagai garis lurus, penggaris.

1. Dalam gambar (di selembar kertas) tentukan posisi relatif lingkaran dan garis lurus.
2. Ukur jari-jari lingkaran R dan jarak pusat lingkaran ke garis lurus d.
3. Catatlah hasil penelitian dalam sebuah tabel.

4. Buatlah kesimpulan tentang kedudukan relatif garis lurus dan lingkaran tergantung perbandingan R dan d.

Kesimpulan: Jika jarak pusat lingkaran ke garis lurus sama dengan jari-jari, maka garis lurus tersebut menyentuh lingkaran dan mempunyai satu titik persekutuan dengan lingkaran. Jika jarak pusat lingkaran ke garis lurus lebih besar dari jari-jarinya, maka lingkaran dan garis lurus tidak mempunyai titik persekutuan. Jika jarak pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jarinya, maka garis tersebut memotong lingkaran dan mempunyai dua titik yang sama dengannya.

5. Pemahaman primer, konsolidasi melalui pemecahan masalah.

1) Tugas Buku Ajar : No.498, No.499.

2) Tentukan kedudukan relatif garis dan lingkaran jika:

• 1. R=16cm, d=12cm
• 2. R=5cm, d=4,2cm
• 3. R=7,2dm, d=3,7dm
• 4. R=8cm, d=1,2dm
• 5. R=5cm, d=50mm

a) garis lurus dan lingkaran tidak mempunyai titik persekutuan;

b) garis bersinggungan dengan lingkaran;

c) garis lurus memotong lingkaran.

• d adalah jarak pusat lingkaran ke garis lurus, R adalah jari-jari lingkaran.

3) Apa yang dapat dikatakan tentang kedudukan relatif garis dan lingkaran jika diameter lingkaran 10,3 cm dan jarak pusat lingkaran ke garis 4,15 cm; 2 dm; 103mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat O dan titik A. Dimana letak titik A jika jari-jari lingkaran 7 cm dan panjang ruas OA adalah: a) 4 cm; b) 10cm; c) 70mm.

6. Refleksi

Apa yang Anda pelajari dalam pelajaran ini?

Pola apa yang terbentuk?

Selesaikan tugas berikut pada kartu:

Gambarlah garis lurus melalui setiap dua titik. Berapa banyak titik persekutuan yang dimiliki setiap garis lurus dengan lingkaran?

Garis lurus ______ dan lingkaran tidak mempunyai titik persekutuan.

Garis lurus ______ dan lingkaran hanya mempunyai satu titik ___________.

Garis lurus ______, _______, ________, _______ dan lingkaran mempunyai dua titik persekutuan.

7. Kesimpulannya. Menetapkan pekerjaan rumah:

1) menganalisis cluster yang disusun pada awal pembelajaran, memodifikasinya dengan memperhatikan pengetahuan yang diperoleh;

2) buku teks : No.500;

3) mengisi tabel (pada kartu).

Posisi relatif garis lurus dan lingkaran Mari kita cari tahu berapa banyak titik persekutuan yang dimiliki garis lurus dan lingkaran, bergantung pada posisi relatifnya. Jelaslah bahwa jika sebuah garis lurus melalui pusat lingkaran, maka garis tersebut memotong lingkaran pada kedua ujung diameternya. prima ini.

Biarlah lurus R tidak melewati pusat lingkaran jari-jari R. Mari kita menggambar garis tegak lurus DIA ke garis lurus R dan dilambangkan dengan huruf D panjang tegak lurus ini, yaitu jarak dari pusat lingkaran ini ke garis lurus (Gbr. 1 ). Kami menyelidiki posisi relatif garis dan lingkaran tergantung pada hubungan antara keduanya D Dan R. Ada tiga kemungkinan kasus.

1)d R dari titik N sisihkan dua segmen PADA Dan NV, panjang yang sama (Gbr. 1) Menurut teorema Pythagoras OA=,

0 B= Oleh karena itu, poin A Dan DI DALAM terletak pada lingkaran dan oleh karena itu merupakan titik-titik persekutuan pada garis tersebut R dan lingkaran yang diberikan.

Mari kita buktikan garis itu R dan lingkaran ini tidak mempunyai titik persekutuan lainnya. Misalkan mereka mempunyai satu lagi titik persekutuan C. Kemudian mediannya OD. segitiga sama kaki OAS. dibawa ke pangkalan AC, adalah tinggi segitiga ini, jadi TENTANGDP. Segmen OD. Dan DIA tidak cocok

sejak pertengahan D segmen AC tidak cocok dengan titik N - titik tengah segmen , AB. Kami menemukan bahwa dua garis tegak lurus ditarik dari titik O: DIA Dan OD- ke garis lurus P, yang tidak mungkin. Jadi Jika jarak jarak pusat lingkaran ke garis lurus lebih kecil dari jari-jari lingkaran(D< р), Itu garis lurus dan lingkaranAda dua poin umum. Dalam hal ini saluran tersebut disebut garis potong sehubungan dengan lingkaran.

2) d=R. Dalam hal ini DIA=R, yaitu titik N terletak pada lingkaran dan, oleh karena itu, merupakan titik persekutuan dari garis dan lingkaran (Gbr. 1, B). Lurus R dan lingkaran tidak mempunyai titik-titik yang sama, karena untuk titik mana pun M langsung R. berbeda dari intinya N, OM>OH= R(miring OM lebih tegak lurus DIA), dan karena itu , titik M tidak terletak pada lingkaran. Jadi jika balapanJarak pusat lingkaran ke garis lurus sama dengan jari-jari, maka garis lurus dan lingkaran hanya mempunyai satu titik persekutuan.

3) d>R Dalam hal ini -OH> R Itu sebabnya . untuk titik mana pun M langsung hal 0MON.>R( beras . 1,A) Jadi titik M tidak terletak pada lingkaran. Jadi, .jika jarak dari pusat lingkaranJika jarak garis lurus lebih besar dari jari-jari lingkaran, maka garis lurus dan lingkaran tidak mempunyai titik persekutuan.

Kita telah membuktikan bahwa suatu garis dan lingkaran dapat mempunyai satu atau dua titik persekutuan dan mungkin tidak mempunyai titik persekutuan. Garis lurus dengan lingkaran hanya satu titik persekutuan disebut garis singgung lingkaran, dan mereka titik persekutuannya disebut titik singgung garis dan lingkaran. Pada Gambar 2 terdapat garis lurus R- bersinggungan dengan lingkaran yang berpusat di O, A- titik kontak.

Mari kita buktikan teorema tentang sifat tangen.

Dalil. Garis singgung lingkaran adalah tegak lurus Ke radius ditarik ke titik kontak.

Bukti. Membiarkan R- bersinggungan dengan lingkaran yang berpusat di O. A- titik kontak (lihat Gambar 2). Mari kita buktikan. apa garis singgungnya R tegak lurus terhadap radius OA.

Mari kita berasumsi bahwa hal ini tidak terjadi. Maka jari-jarinya: OA cenderung ke garis lurus R. Karena garis tegak lurus ditarik dari suatu titik TENTANG ke garis lurus P, kurang cenderung OA, lalu jarak dari pusat TENTANG lingkaran ke garis lurus R kurang dari radiusnya. Oleh karena itu, lurus R dan lingkaran mempunyai dua titik persekutuan. Namun hal ini bertentangan dengan kondisi; lurus R- bersinggungan. Jadi, lurus R tegak lurus terhadap radius OA. Teorema tersebut telah terbukti.

Perhatikan dua garis singgung lingkaran yang berpusat TENTANG, melewati titik tersebut A dan menyentuh lingkaran pada titik-titiknya DI DALAM dan C (Gbr. 3). Segmen AB Dan AC ayo menelepon segmen singgungnyh, diambil dari titik A. Mereka memiliki properti berikut, yang mengikuti teorema yang telah terbukti:

Ruas-ruas garis singgung lingkaran yang ditarik dari satu titik adalah sama besar dan membentuk sudut-sudut yang sama besar dengan garis lurus yang melalui titik tersebut dan pusat lingkaran.

Untuk membuktikan pernyataan ini, mari kita lihat Gambar 3. Menurut teorema sifat singgung, sudut 1 dan 2 adalah sudut siku-siku, oleh karena itu segitiga HAI Dan ASO persegi panjang. Keduanya sama karena mempunyai sisi miring yang sama OA dan kaki yang sama OB Dan sistem operasi. Karena itu, AB=AC dan 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 height=163" height="163">

Beras. 2 Gambar. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" width="101" height="19 src=">.

Menggambar diameter melalui titik kontak AKU, kita akan mendapatkan: ; Itu sebabnya

Beras. 1 Gambar. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 height=177" height="177">.jpg" width="227 height=197" height="197" >

Ketergantungan antara busur, tali busur dan jarak tali busur dari pusat.

Teorema. Dalam satu lingkaran atau V lingkaran yang sama :

1) jika busur-busurnya sama besar, maka tali busur yang berada di bawahnya adalah sama besar dan berjarak sama dari pusat;

2) jika dua busur yang lebih kecil dari setengah lingkaran tidak sama panjang, maka busur yang lebih besar ditampung oleh tali busur yang lebih besar dan kedua tali busur yang lebih besar terletak lebih dekat ke pusat .

1) Biarkan busur AB sama dengan busur CD(Gbr. 1), perlu dibuktikan bahwa tali busur AB dan CD sama dan juga sama dan tegak lurus OE Dan DARI, diturunkan dari tengah ke akord.

Mari kita putar sektornya OAJB di sekitar tengah TENTANG ke arah yang ditunjukkan oleh panah sedemikian rupa hingga radiusnya TENTANG bertepatan dengan sistem operasi. Lalu busur VA. akan membentuk busur CD dan karena kesetaraannya, busur-busur ini akan tumpang tindih. Artinya akord AS berimpit dengan akord tersebut CD dan tegak lurus OE akan bertepatan dengan DARI(dari satu titik hanya satu garis tegak lurus yang dapat diturunkan menjadi garis lurus), mis. AB=CD Dan OE=DARI.

2) Biarkan busur AB(Gbr. 2) lebih sedikit busur CD, dan, terlebih lagi, kedua busur tersebut lebih kecil dari setengah lingkaran; diperlukan pembuktian bahwa akord tersebut AB akord yang lebih sedikit CD, dan tegak lurus OE lebih tegak lurus DARI. Mari kita letakkan di busur CD busur SK, sama dengan AB, dan menggambar tali busur bantu SK, yang menurut buktinya sama dengan tali busur AB dan sama jauhnya dari pusat. Di segitiga COD Dan JUS dua sisi yang satu sama dengan dua sisi yang lain (seperti jari-jari), tetapi sudut antara sisi-sisi ini tidak sama; dalam hal ini, seperti yang kita ketahui, melawan sudut yang lebih besar, yaitu. lCOD, sisi yang lebih besar harus berbohong, yang artinya CD>CK, dan karena itu CD>AB.

Untuk membuktikan itu OE>DARI, kami akan melakukan OLXCK dan memperhitungkan bahwa, menurut apa yang telah dibuktikan, OE=lama; oleh karena itu, cukuplah kita membandingkannya DARI Dengan OL. Dalam segitiga siku-siku 0 FM(ditutupi pada gambar dengan tanda hubung) sisi miring OM lebih banyak kaki DARI; Tetapi OL>Ya ampun; itu berarti lebih dari itu OL>DARI. dan karena itu OE>DARI.

Teorema yang kita buktikan untuk satu lingkaran tetap berlaku untuk lingkaran yang sama besar, karena lingkaran tersebut berbeda satu sama lain hanya pada posisinya.

Kebalikan teorema. Karena pada paragraf sebelumnya semua jenis kasus yang saling lepas mengenai perbandingan ukuran dua busur yang berjari-jari sama telah dipertimbangkan, dan diperoleh kesimpulan yang saling eksklusif mengenai perbandingan ukuran tali busur dan jaraknya dari pusat, maka proposisi kebalikannya haruslah benar, c. tepat:

DI DALAM satu lingkaran atau lingkaran yang sama:

1) tali busur yang sama jaraknya sama dari pusat dan membentuk busur yang sama;

2) tali busur yang berjarak sama dari pusat adalah sama dan membentuk busur yang sama;

3) dari dua tali busur yang tidak sama, tali busur yang lebih besar terletak lebih dekat ke pusat dan berada di bawah busur yang lebih besar;

4) dari dua tali busur yang jaraknya tidak sama dari pusat, yang lebih dekat ke pusat lebih besar dan membentuk busur yang lebih besar.

Proposisi-proposisi ini dapat dengan mudah dibuktikan melalui kontradiksi. Misalnya, untuk membuktikan yang pertama, kita beralasan sebagai berikut: jika tali busur ini membentuk busur yang tidak sama, maka menurut teorema langsung, tali busur tersebut tidak akan sama, yang bertentangan dengan kondisi; ini berarti bahwa tali busur yang sama harus membentuk busur yang sama; dan jika busur-busurnya sama besar, maka menurut teorema langsung, tali busur yang berada di bawahnya mempunyai jarak yang sama dari pusat.

Dalil. Diameter adalah tali busur yang terbesar .

Jika kita terhubung ke pusat TENTANG ujung-ujung tali busur yang tidak melewati titik tengah, misalnya tali busur AB(Gbr. 3) maka kita mendapatkan sebuah segitiga AOB, yang satu sisinya adalah tali busur ini, dan dua sisi lainnya adalah jari-jari, Tetapi dalam sebuah segitiga, masing-masing sisinya lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya; oleh karena itu akordnya AB kurang dari jumlah dua jari-jari; sedangkan setiap diameter CD sama dengan jumlah dua jari-jari. Artinya diameternya lebih besar dari tali busur mana pun yang tidak melewati pusatnya. Namun karena diameter juga merupakan tali busur, maka kita dapat mengatakan bahwa diameter adalah tali busur yang terbesar.

Beras. 1 Gambar. 2

Teorema tangen.

Sebagaimana telah disebutkan, ruas garis singgung yang ditarik pada lingkaran dari satu titik mempunyai panjang yang sama. Panjang ini disebut jarak singgung dari suatu titik ke lingkaran.

Tanpa teorema singgung, mustahil menyelesaikan lebih dari satu soal tentang lingkaran bertulisan, dengan kata lain, tentang lingkaran yang menyentuh sisi-sisi suatu poligon.

Jarak singgung pada suatu segitiga.

Temukan panjang segmen yang merupakan sisi-sisi segitiga ABC dibagi dengan titik singgung dengan lingkaran yang tertulis di dalamnya (Gbr. 1,a), misalnya jarak singgung itu dari titik A ke lingkaran. Mari tambahkan sisinya B Dan C, lalu kurangi sisi dari jumlahnya A. Dengan memperhatikan persamaan garis singgung yang ditarik dari satu titik, kita memperoleh 2 itu. Jadi,

ta=(b+C-A)/ 2=P-A,

Di mana p=(sebuah+b+C)/ 2 adalah setengah keliling segitiga ini. Panjang ruas sisi yang berdekatan dengan simpul DI DALAM Dan DENGAN, masing-masing sama P-B Dan P-C.

Demikian pula untuk lingkaran luar segitiga yang bersinggungan dengan (di luar) sisinya A(Gbr. 1, b), jarak singgung dari DI DALAM Dan DENGAN masing-masing sama P-C Dan P-B, dan dari atas A- Hanya P.

Perhatikan bahwa rumus ini juga dapat digunakan dalam arah yang berlawanan.

Biarkan sampai ke pojok ANDA sebuah lingkaran tertulis, dan jarak singgung dari titik sudut ke lingkaran adalah sama denganP atauP- A, Di manaP– setengah keliling segitiga ABC, A a = SM. Kemudian lingkaran tersebut menyentuh garis Matahari(masing-masing di luar atau di dalam segitiga).

Faktanya, misalnya, jarak singgungnya sama P-A. Kemudian lingkaran kita menyentuh sisi-sisi sudut pada titik yang sama dengan lingkaran dalam segitiga ABC, yang artinya bertepatan dengan itu. Oleh karena itu, ini menyentuh garis Matahari.

Segiempat berbatas. Dari teorema persamaan garis singgung langsung berikut (Gbr. 2a) bahwa

Jika sebuah lingkaran dapat dimasukkan ke dalam segi empat, maka jumlah sisi-sisi yang berhadapan sama besar:

IKLAN+ SM= AB+ CD

Perhatikan bahwa segiempat yang dijelaskan tentu saja cembung. Hal sebaliknya juga berlaku:

Jika suatu segi empat berbentuk cembung dan jumlah sisi-sisi yang berhadapan sama besar, maka dapat dibuat lingkaran di dalamnya.

Mari kita buktikan untuk segi empat selain jajar genjang. Misalkan ada dua sisi yang berhadapan pada suatu segi empat AB Dan DC, bila dilanjutkan mereka akan berpotongan di suatu titik E(Gbr. 2,b). Mari kita menulis lingkaran menjadi segitiga ADE. Jarak singgungnya te langsung ke intinya E dinyatakan dengan rumus

te=½ (AE+ED-IKLAN).

Tetapi menurut syarat, jumlah sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segi empat adalah sama, artinya IKLAN+SM=AB+CD, atau IKLAN=AB+CD-SM. Mengganti nilai ini ke dalam ekspresi untuk te, kita dapatkan

te=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+SM)= ½ (MENJADI+EC+SM),

dan ini adalah setengah keliling segitiga SM.. Dari kondisi singgung yang dibuktikan di atas maka lingkaran kita bersinggungan SM.

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width="336" height="198 src=">

Dua garis singgung lingkaran dari suatu titik di luarnya adalah sama besar dan membentuk sudut yang sama besar dengan garis lurus yang menghubungkan titik tersebut dengan pusat, yang mengikuti persamaan segitiga siku-siku AOB dan AOB1

Misalkan sebuah lingkaran dan suatu garis lurus diberikan pada sebuah bidang. Mari kita jatuhkan garis tegak lurus dari pusat lingkaran C ke garis lurus ini; mari kita nyatakan dengan alas tegak lurus ini. Sebuah titik dapat menempati tiga kemungkinan posisi relatif terhadap lingkaran: a) terletak di luar lingkaran, b) di atas lingkaran, c) di dalam lingkaran. Bergantung pada hal ini, garis lurus akan menempati salah satu dari tiga kemungkinan posisi berbeda relatif terhadap lingkaran, yang dijelaskan di bawah.

a) Misalkan alas garis tegak lurus turun dari pusat C lingkaran ke garis lurus a terletak di luar lingkaran (Gbr. 197). Maka garis lurus tersebut tidak memotong lingkaran; semua titiknya terletak di daerah terluar. Memang, dalam kasus ini, dengan syarat, ia dipindahkan dari pusat pada jarak yang lebih besar dari jari-jarinya). Selain itu, untuk setiap titik M pada garis lurus a yang kita miliki, yaitu setiap titik pada garis lurus tertentu terletak di luar lingkaran.

b) Biarkan alas garis tegak lurus jatuh pada lingkaran (Gbr. 198). Maka garis lurus a mempunyai tepat satu titik persekutuan dengan lingkaran. Memang, jika M adalah titik lain pada garis tersebut, maka (titik miring lebih panjang dari titik tegak lurus) titik M terletak di daerah luar. Garis yang mempunyai satu titik persekutuan dengan lingkaran disebut bersinggungan dengan lingkaran di titik tersebut. Mari kita tunjukkan bahwa sebaliknya, jika suatu garis lurus mempunyai satu titik persekutuan dengan lingkaran, maka jari-jari yang ditarik ke titik tersebut tegak lurus terhadap garis lurus tersebut. Memang benar, mari kita jatuhkan garis tegak lurus dari pusat ke garis ini. Jika alasnya terletak di dalam lingkaran, maka garis lurus tersebut mempunyai dua titik persekutuan, seperti ditunjukkan pada c). Jika terletak di luar lingkaran, maka karena a) garis lurus tersebut tidak mempunyai titik persekutuan dengan lingkaran.

Oleh karena itu, tetap diasumsikan bahwa garis tegak lurus jatuh pada titik persekutuan garis dan lingkaran - pada titik singgungnya. Terbukti penting

Dalil. Garis lurus yang melalui suatu titik pada lingkaran menyentuh lingkaran jika dan hanya jika garis tersebut tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik tersebut.

Perhatikan bahwa definisi garis singgung lingkaran yang diberikan di sini tidak berlaku untuk kurva lainnya. Definisi yang lebih umum tentang garis singgung garis lurus terhadap garis lengkung dikaitkan dengan konsep teori limit dan dibahas secara rinci dalam mata kuliah matematika tingkat tinggi. Di sini kami hanya akan memberikan gambaran umum tentangnya. Misalkan diberikan sebuah lingkaran dan titik A di atasnya (Gbr. 199).

Mari kita ambil titik A yang lain pada lingkaran dan hubungkan kedua titik pada garis lurus AA. Misalkan titik A, yang bergerak sepanjang lingkaran, menempati serangkaian posisi baru, semakin mendekati titik A. Garis lurus AA, yang berputar mengelilingi A, mengambil beberapa posisi: dalam hal ini, ketika titik bergerak mendekati titik A , garis lurus cenderung berimpit dengan garis singgung AT. Oleh karena itu, kita dapat menyebut garis singgung sebagai posisi batas suatu garis potong yang melalui suatu titik tertentu dan suatu titik pada suatu kurva yang mendekati titik tersebut tanpa batas. Dalam bentuk ini, definisi garis singgung dapat diterapkan pada kurva yang bentuknya sangat umum (Gbr. 200).

c) Terakhir, biarkan titik tersebut berada di dalam lingkaran (Gbr. 201). Kemudian . Kita akan membahas lingkaran miring yang ditarik ke garis lurus a dari pusat C, dengan alas bergerak menjauhi titik tersebut dalam salah satu dari dua kemungkinan arah. Panjang bidang miring akan bertambah secara monoton seiring dengan menjauhi titik alasnya; pertambahan panjang bidang miring ini terjadi secara bertahap (“terus menerus”) dari nilai yang mendekati nilai yang sangat besar, oleh karena itu tampak jelas bahwa pada posisi tertentu dari alas miring, panjangnya akan sama persis dengan titik K dan L yang bersesuaian pada garis yang terletak pada lingkaran.