Apakah poligon termasuk bangun poligonal? Poligon beraturan

§ 1 Konsep segitiga

Dalam pelajaran ini Anda akan mengenal bangun-bangun seperti segitiga dan poligon.

Jika tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama dihubungkan oleh segmen-segmen, maka diperoleh sebuah segitiga. Segitiga mempunyai tiga titik sudut dan tiga sisi.

Sebelum berbentuk segitiga ABC, segitiga tersebut mempunyai tiga titik sudut (titik A, titik B, dan titik C) dan tiga sisi (AB, AC, dan CB).

Omong-omong, sisi yang sama ini bisa disebut berbeda:

AB=BA, AC=SA, CB=BC.

Sisi-sisi segitiga membentuk tiga sudut pada titik sudut segitiga. Pada gambar terlihat sudut A, sudut B, sudut C.

Jadi, segitiga adalah bangun datar yang dibentuk oleh tiga ruas yang menghubungkan tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus.

§ 2 Konsep poligon dan jenis-jenisnya

Selain segitiga, ada segi empat, segi lima, segi enam, dan lain sebagainya. Singkatnya, mereka bisa disebut poligon.

Pada gambar Anda melihat DMKE segi empat.

Titik D, M, K dan E merupakan titik sudut pada segiempat.

Ruas DM, MK, KE, ED adalah sisi-sisi segi empat tersebut. Seperti halnya segitiga, sisi-sisi segi empat membentuk empat sudut pada titik sudutnya, seperti yang Anda duga, maka dinamakan segi empat. Untuk segiempat ini terlihat pada gambar sudut D, sudut M, sudut K dan sudut E.

Segi empat apa yang sudah kamu ketahui?

Persegi dan persegi panjang! Masing-masing memiliki empat sudut dan empat sisi.

Jenis poligon lainnya adalah segi lima.

Titik O, P, X, Y, T adalah titik sudut segi lima, dan ruas TO, OP, PX, XY, YT adalah sisi-sisi segi lima tersebut. Sebuah segi lima masing-masing memiliki lima sudut dan lima sisi.

Menurut Anda, berapa banyak sudut dan berapa sisi yang dimiliki segi enam? Benar, enam! Dengan cara yang sama, kita dapat mengetahui berapa banyak sisi, simpul, atau sudut yang dimiliki suatu poligon tertentu. Dan kita dapat menyimpulkan bahwa segitiga juga merupakan poligon yang mempunyai tepat tiga sudut, tiga sisi, dan tiga titik sudut.

Jadi, dalam pelajaran ini Anda telah mengenal konsep-konsep seperti segitiga dan poligon. Kita telah mengetahui bahwa segitiga mempunyai 3 titik sudut, 3 sisi dan 3 sudut, segi empat mempunyai 4 titik sudut, 4 sisi dan 4 sudut, segi lima mempunyai 5 sisi, 5 titik sudut, 5 sudut, dan seterusnya.

Daftar literatur bekas:

1. Matematika kelas 5. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. dan lain-lain. Edisi ke-31, terhapus. - L: 2013.
2. Materi didaktik matematika kelas 5. Penulis - Popov M.A. - 2013
3. Kami menghitung tanpa kesalahan. Bekerja dengan tes mandiri dalam matematika kelas 5-6. Penulis - Minaeva S.S. - 2014
4. Materi didaktik matematika kelas 5. Penulis: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Tes dan kerja mandiri matematika kelas 5. Penulis - Popov M.A. - 2012
6. Matematika. kelas 5: mendidik. untuk siswa pendidikan umum. institusi / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - Edisi ke-9, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2009

Jenis poligon:

Segiempat

Segiempat, masing-masing terdiri dari 4 sisi dan sudut.

Sisi dan sudut yang berhadapan disebut di depan.

Diagonal membagi segi empat cembung menjadi segitiga (lihat gambar).

Jumlah sudut suatu segi empat cembung adalah 360° (menggunakan rumus: (4-2)*180°).

Jajar genjang

Genjang adalah segiempat cembung yang sisi-sisinya berhadapan sejajar (nomor 1 pada gambar).

Sisi-sisi dan sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang selalu sama besar.

Dan diagonal-diagonal pada titik potongnya terbagi dua.

Rekstok gantung

Trapesium- ini juga segi empat, dan c trapesium Hanya dua sisi yang sejajar, yang disebut alasan. Sisi lainnya adalah sisi.

Trapesium pada gambar diberi nomor 2 dan 7.

Seperti dalam segitiga:

Jika sisi-sisinya sama panjang, maka trapesium tersebut adalah sama kaki;

Jika salah satu sudutnya siku-siku, maka trapesium tersebut adalah persegi panjang.

Garis tengah trapesium sama dengan setengah jumlah alasnya dan sejajar dengannya.

Belah ketupat

Belah ketupat adalah jajar genjang yang semua sisinya sama panjang.

Selain sifat-sifat jajar genjang, belah ketupat memiliki sifat khusus tersendiri - Diagonal-diagonal belah ketupat tegak lurus satu sama lain dan membagi dua sudut belah ketupat.

Pada gambar tersebut terdapat belah ketupat angka 5.

Persegi panjang

Persegi panjang adalah jajar genjang yang masing-masing sudutnya siku-siku (lihat gambar nomor 8).

Selain sifat-sifat jajar genjang, persegi panjang memiliki sifat khusus tersendiri - diagonal-diagonal persegi panjang tersebut sama besar.

Kotak

Persegi adalah persegi panjang yang semua sisinya sama besar (No. 4).

Ia mempunyai sifat-sifat persegi panjang dan belah ketupat (karena semua sisinya sama besar).

Dalam pelajaran ini kita akan memulai topik baru dan memperkenalkan konsep baru bagi kita: “poligon”. Kita akan melihat konsep dasar yang terkait dengan poligon: sisi, sudut titik, konveksitas, dan nonkonveksitas. Kemudian kita akan membuktikan fakta-fakta yang paling penting, seperti teorema jumlah sudut dalam suatu poligon, teorema jumlah sudut luar suatu poligon. Sebagai hasilnya, kita akan hampir mempelajari kasus-kasus khusus poligon, yang akan dibahas dalam pelajaran selanjutnya.

Topik: Segi Empat

Pelajaran: Poligon

Dalam kursus geometri, kita mempelajari sifat-sifat bangun geometri dan telah mempertimbangkan sifat-sifat yang paling sederhana: segitiga dan lingkaran. Pada saat yang sama, kita juga membahas kasus-kasus khusus yang spesifik dari bangun-bangun tersebut, seperti segitiga siku-siku, segitiga sama kaki, dan segitiga beraturan. Sekarang saatnya berbicara tentang angka yang lebih umum dan kompleks - poligon.

Dengan kasus khusus poligon kita sudah familiar - ini adalah segitiga (lihat Gambar 1).

Beras. 1. Segitiga

Namanya sendiri sudah menegaskan bahwa ini adalah sosok dengan tiga sudut. Oleh karena itu, di poligon mungkin ada banyak dari mereka, mis. lebih dari tiga. Misalnya, mari menggambar segi lima (lihat Gambar 2), mis. gambar dengan lima sudut.

Beras. 2. Segi lima. Poligon cembung

Definisi.Poligon- gambar yang terdiri dari beberapa titik (lebih dari dua) dan sejumlah segmen yang menghubungkannya secara berurutan. Poin-poin ini disebut puncak poligon, dan segmennya adalah pesta. Dalam hal ini, tidak ada dua sisi yang berdekatan terletak pada garis lurus yang sama dan tidak ada dua sisi yang tidak berdekatan yang berpotongan.

Definisi.Poligon beraturan adalah poligon cembung yang semua sisi dan sudutnya sama besar.

Setiap poligon membagi bidang menjadi dua area: internal dan eksternal. Area internal juga disebut sebagai poligon.

Dengan kata lain, misalnya, ketika mereka berbicara tentang segi lima, yang mereka maksud adalah seluruh wilayah internal dan perbatasannya. Dan wilayah dalam mencakup semua titik yang terletak di dalam poligon, mis. intinya juga mengacu pada segi lima (lihat Gambar 2).

Poligon juga kadang-kadang disebut n-gon untuk menekankan bahwa kasus umum keberadaan sejumlah sudut yang tidak diketahui jumlahnya (n buah) dipertimbangkan.

Definisi. Keliling poligon- jumlah panjang sisi poligon.

Sekarang kita perlu mengenal jenis-jenis poligon. Mereka dibagi menjadi cembung Dan tidak cembung. Misalnya, poligon yang ditunjukkan pada Gambar. 2 cembung, dan pada Gambar. 3 tidak cembung.

Beras. 3. Poligon tidak cembung

Definisi 1. Poligon ditelepon cembung, jika ketika menggambar garis lurus melalui salah satu sisinya, keseluruhannya poligon terletak hanya pada satu sisi garis lurus ini. Non-cembung adalah orang lain poligon.

Sangat mudah untuk membayangkan bahwa ketika salah satu sisi segi lima diperpanjang pada Gambar. 2 semuanya akan berada pada satu sisi garis lurus ini, yaitu. itu cembung. Tetapi ketika menggambar garis lurus melalui segiempat pada Gambar. 3 kita sudah melihat bahwa ia membaginya menjadi dua bagian, yaitu. itu tidak cembung.

Namun ada definisi lain tentang konveksitas poligon.

Definisi 2. Poligon ditelepon cembung, jika ketika memilih dua titik interiornya dan menghubungkannya dengan sebuah segmen, semua titik pada segmen tersebut juga merupakan titik interior poligon.

Demonstrasi penggunaan definisi ini dapat dilihat pada contoh pembuatan segmen pada Gambar. 2 dan 3.

Definisi. Diagonal poligon adalah setiap segmen yang menghubungkan dua simpul yang tidak berdekatan.

Untuk mendeskripsikan sifat-sifat poligon, ada dua teorema terpenting tentang sudutnya: teorema jumlah sudut dalam poligon cembung Dan teorema jumlah sudut luar poligon cembung. Mari kita lihat mereka.

Dalil. Tentang jumlah sudut dalam poligon cembung (N-gon).

Dimana banyaknya sudut (sisinya).

Bukti 1. Mari kita gambarkan pada Gambar. 4 n-gon cembung.

Beras. 4. n-gon cembung

Dari titik puncak kita menggambar semua kemungkinan diagonal. Mereka membagi n-gon menjadi segitiga, karena masing-masing sisi poligon membentuk segitiga, kecuali sisi-sisi yang berdekatan dengan titik sudut. Sangat mudah untuk melihat dari gambar bahwa jumlah sudut semua segitiga ini akan sama persis dengan jumlah sudut dalam n-gon. Karena jumlah sudut suatu segitiga adalah , maka jumlah sudut dalam suatu n-gon adalah:

Q.E.D.

Bukti 2. Bukti lain dari teorema ini dimungkinkan. Mari kita menggambar n-gon serupa pada Gambar. 5 dan hubungkan salah satu titik interiornya dengan semua simpul.

Beras. 5.

Kita telah memperoleh partisi n-gon menjadi n segitiga (sebanyak sisi yang ada segitiga). Jumlah semua sudutnya sama dengan jumlah sudut dalam poligon dan jumlah sudut di titik dalam, dan inilah sudutnya. Kami memiliki:

Q.E.D.

Terbukti.

Berdasarkan teorema yang telah dibuktikan, jelas bahwa jumlah sudut suatu n-gon bergantung pada jumlah sisinya (pada n). Misalnya pada segitiga, jumlah sudutnya adalah . Pada segi empat, jumlah sudutnya adalah, dan seterusnya.

Dalil. Tentang jumlah sudut luar poligon cembung (N-gon).

Dimana banyaknya sudut (sisinya), dan , …, adalah sudut luarnya.

Bukti. Mari kita gambarkan n-gon cembung pada Gambar. 6 dan tentukan sudut dalam dan luarnya.

Beras. 6. N-gon cembung dengan sudut luar yang ditentukan

Karena Sudut luar dihubungkan dengan sudut dalam sebagai sudut yang berdekatan dan demikian pula untuk sudut luar yang tersisa. Kemudian:

Selama transformasi, kami menggunakan teorema yang sudah terbukti tentang jumlah sudut dalam n-gon.

Terbukti.

Fakta menarik mengikuti teorema yang terbukti bahwa jumlah sudut luar n-gon cembung sama dengan berdasarkan jumlah sudut (sisinya). Omong-omong, berbeda dengan jumlah sudut dalam.

Referensi

1. Alexandrov A.D. dan lain-lain. - M.: Pendidikan, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, kelas 8. - M.: Pendidikan, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, kelas 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua().
2. Narod.ru().
3. Xvatit.com().

Pekerjaan rumah

Sifat-sifat Poligon

Poligon adalah bangun datar geometris, biasanya didefinisikan sebagai garis putus-putus tertutup tanpa perpotongan sendiri (poligon sederhana (Gbr. 1a)), tetapi terkadang perpotongan sendiri diperbolehkan (maka poligonnya tidak sederhana).

Titik sudut suatu poligon disebut simpul poligon, dan ruas-ruasnya disebut sisi-sisi poligon. Titik-titik sudut suatu poligon disebut bertetangga jika titik-titik tersebut merupakan ujung salah satu sisinya. Ruas-ruas yang menghubungkan titik-titik sudut yang tidak berdekatan pada suatu poligon disebut diagonal.

Sudut (atau sudut dalam) poligon cembung pada suatu titik sudut tertentu adalah sudut yang dibentuk oleh sisi-sisinya yang bertemu pada titik sudut tersebut, dan sudutnya dihitung dari sisi poligon tersebut. Khususnya, sudut dapat melebihi 180° jika poligonnya tidak cembung.

Sudut luar poligon cembung pada suatu titik sudut tertentu adalah sudut yang berdekatan dengan sudut dalam poligon pada titik sudut tersebut. Secara umum sudut luar adalah selisih antara 180° dan sudut dalam. Dari setiap titik sudut -gon untuk > 3 terdapat 3 diagonal, sehingga jumlah diagonal -gon tersebut adalah sama.

Poligon dengan tiga simpul disebut segitiga, dengan empat simpul disebut segi empat, dengan lima simpul disebut segi lima, dan seterusnya.

Poligon dengan N disebut simpul N- persegi.

Poligon datar adalah bangun datar yang terdiri atas poligon dan bagian berhingga dari luas yang dibatasi oleh poligon tersebut.

Suatu poligon disebut cembung jika salah satu kondisi (ekuivalen) berikut terpenuhi:

• 1. terletak pada salah satu sisi garis lurus yang menghubungkan simpul-simpul tetangganya. (yaitu, perpanjangan sisi-sisi poligon tidak memotong sisi-sisi lainnya);
• 2. merupakan perpotongan (yaitu bagian umum) dari beberapa setengah bidang;
• 3. setiap segmen yang ujungnya pada titik-titik yang termasuk dalam poligon sepenuhnya menjadi miliknya.

Poligon cembung disebut beraturan jika semua sisinya sama besar dan semua sudutnya sama besar, misalnya segitiga sama sisi, persegi, dan segi lima.

Suatu poligon cembung dikatakan dibatasi terhadap suatu lingkaran jika semua sisinya menyentuh suatu lingkaran

Poligon beraturan adalah poligon yang semua sudut dan sisinya sama besar.

Sifat-sifat poligon:

1 Setiap diagonal -gon cembung, jika >3, menguraikannya menjadi dua poligon cembung.

2 Jumlah semua sudut pada segitiga cembung adalah sama besar.

D-vo: Kita akan membuktikan teorema tersebut dengan menggunakan metode induksi matematika. Pada = 3 sudah jelas. Mari kita asumsikan bahwa teorema ini benar untuk a -gon, di mana <, dan buktikan untuk -gon.

Misalkan adalah poligon yang diberikan. Mari menggambar diagonal poligon ini. Menurut Teorema 3, poligon diuraikan menjadi segitiga dan segitiga cembung (Gbr. 5). Dengan hipotesis induksi. Di sisi lain,. Menambahkan persamaan ini dan mempertimbangkannya (- balok sudut dalam ) Dan (- balok sudut dalam ), kita dapatkan. Ketika kita mendapatkan: .

3 Di sekitar poligon beraturan Anda dapat menggambarkan sebuah lingkaran, dan hanya satu.

D-vo: Misalkan itu adalah poligon beraturan, dan dan menjadi garis bagi sudut-sudutnya, dan (Gbr. 150). Karena itu, maka, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке TENTANG. Mari kita buktikan itu HAI = OA 2 = TENTANG =… = OA N . Segi tiga TENTANG oleh karena itu sama kaki TENTANG= TENTANG. Oleh karena itu, menurut kriteria kedua persamaan segitiga, TENTANG = TENTANG. Demikian pula terbukti TENTANG = TENTANG dll. Jadi intinya TENTANG berjarak sama dari semua simpul poligon, sehingga berbentuk lingkaran dengan pusat TENTANG radius TENTANG dibatasi di sekitar poligon.

Sekarang mari kita buktikan bahwa hanya ada satu lingkaran yang dibatasi. Perhatikan tiga titik sudut suatu poligon, misalnya, A 2 , . Karena hanya satu lingkaran yang melalui titik-titik tersebut, maka kelilingi poligon … Anda tidak dapat mendeskripsikan lebih dari satu lingkaran.

• 4 Anda dapat menuliskan lingkaran ke dalam poligon beraturan mana pun, dan hanya satu.
• 5 Sebuah lingkaran pada poligon beraturan menyentuh sisi-sisi poligon pada titik tengahnya.
• 6 Pusat lingkaran yang dibatasi pada poligon beraturan berimpit dengan pusat lingkaran pada poligon yang sama.
• 7 Simetri:

Dikatakan suatu bangun datar simetris (simetris) jika ada gerak (tidak identik) yang menerjemahkan bangun tersebut ke dalam dirinya sendiri.

• 7.1. Segitiga umum tidak memiliki sumbu atau pusat simetri; segitiga tersebut asimetris. Segitiga sama kaki (tetapi tidak sama sisi) memiliki satu sumbu simetri: garis bagi yang tegak lurus dengan alasnya.
• 7.2. Segitiga sama sisi mempunyai tiga sumbu simetri (garis bagi tegak lurus terhadap sisi-sisinya) dan simetri putar terhadap pusatnya dengan sudut putar 120°.

7.3 Setiap n-gon beraturan mempunyai n sumbu simetri, semuanya melalui pusatnya. Ia juga memiliki simetri rotasi terhadap pusat dengan sudut rotasi.

Ketika genap N Beberapa sumbu simetri melewati titik sudut yang berlawanan, yang lain melalui titik tengah sisi yang berlawanan.

Untuk yang aneh N setiap sumbu melewati bagian atas dan tengah sisi yang berlawanan.

Pusat poligon beraturan yang jumlah sisinya genap adalah pusat simetrinya. Poligon beraturan dengan jumlah sisi ganjil tidak memiliki pusat simetri.

8 Kesamaan:

Dengan kemiripan dan -gon menjadi -gon, setengah bidang menjadi setengah bidang, oleh karena itu cembung N-gon menjadi cembung N-gon.

Teorema: Jika sisi dan sudut poligon cembung memenuhi persamaan:

dimana adalah koefisien podium

maka poligon-poligon ini serupa.

• 8.1 Perbandingan keliling dua poligon sebangun sama dengan koefisien kemiripan.
• 8.2. Perbandingan luas dua poligon cembung yang sebangun sama dengan kuadrat koefisien kemiripan.

teorema keliling segitiga poligon

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.