Tai, kas vadinama jėgos momento formule. Naudojant inercijos momentą ir kampinį pagreitį

Jėgos momentas apie ašį yra jėgos projekcijos į ašiai statmeną plokštumą momentas ašies susikirtimo su šia plokštuma taško atžvilgiu

Momentas apie ašį yra teigiamas, jei jėga, žiūrint į ašį, linkusi sukti ašiai statmeną plokštumą prieš laikrodžio rodyklę.

Jėgos momentas apie ašį yra 0 dviem atvejais:

Jei jėga lygiagreti ašiai

Jei jėga kerta ašį

Jei veikimo linija ir ašis yra toje pačioje plokštumoje, tada jėgos momentas apie ašį yra lygus 0.

27. Ryšys tarp jėgos momento apie ašį ir vektorinio jėgos momento apie tašką.

Mz(F)=Mo(F)*cosαJėgos momentas ašies atžvilgiu yra lygus jėgos momento vektoriaus projekcijai ašies taško atžvilgiu į šią ašį.

28. Pagrindinė statikos teorema apie jėgų sistemos atvedimą į duotą centrą (Poinsot teorema). Pagrindinis vektorius ir pagrindinis jėgų sistemos momentas.

Bendruoju atveju bet kurią erdvinę jėgų sistemą galima pakeisti lygiaverte sistema, susidedančia iš vienos jėgos, veikiančios tam tikrame kūno taške (redukcijos centre) ir lygios pagrindiniam šios jėgų sistemos vektoriui, ir vienos jėgų poros. , kurio momentas lygus pagrindiniam visų jėgų momentui pasirinkto adukcinio centro atžvilgiu.

Pagrindinis jėgų sistemos vektorius vadinamas vektoriumi R, lygi šių jėgų vektorinei sumai:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= F i.

Plokščios jėgų sistemos pagrindinis vektorius yra šių jėgų veikimo plokštumoje.

Pagrindinis jėgų sistemos taškas centro O atžvilgiu vadinamas vektoriumi L O, lygi šių jėgų vektorinių momentų sumai taško O atžvilgiu:

L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F i).

Vektorius R nepriklauso nuo centro O pasirinkimo ir vektoriaus L Kai pasikeičia centro padėtis, O paprastai gali pasikeisti.

Puanso teorema: Savavališka erdvinė jėgų sistema gali būti pakeista viena jėga, kurios pagrindinis vektorius yra jėgų sistemos, ir jėgų pora su pagrindiniu momentu, nepažeidžiant kietojo kūno būsenos. Pagrindinis vektorius yra geometrinė visų jėgų, veikiančių kietą kūną, suma ir yra jėgų veikimo plokštumoje. Pagrindinis vektorius nagrinėjamas per jo projekcijas koordinačių ašyse.

Norint nukreipti jėgas į tam tikrą centrą, veikiančią tam tikrame kieto kūno taške, reikia: 1) perkelti jėgą lygiagrečiai sau į nurodytą centrą, nekeičiant jėgos modulio; 2) duotame centre taikyti jėgų porą, kurios vektorinis momentas lygus perkeliamos jėgos vektoriniam momentui naujo centro atžvilgiu ši pora vadinama prijungta pora.

Pagrindinio momento priklausomybė nuo redukcijos centro pasirinkimo. Pagrindinis momentas apie naują redukcijos centrą yra lygus pagrindinio momento apie senąjį redukcijos centrą geometrinei sumai ir spindulio vektoriaus, jungiančio naująjį redukcijos centrą su senuoju pagrindiniu vektoriumi, vektorinei sandaugai.

29 Ypatingi erdvinės jėgų sistemos mažinimo atvejai

Jėgų, veikiančių kietą kūną, sistema yra subalansuota. 30. Sumažinimas iki dinamiškumo.

Mechanikoje dinamika vadinama tokia kietą kūną veikiančių jėgų ir jėgų porų () visuma, kurioje jėga yra statmena jėgų poros veikimo plokštumai. Naudodamiesi jėgų poros vektoriniu momentu, dinamiškumą taip pat galime apibrėžti kaip jėgos ir poros, kurios jėga lygiagreti jėgų poros vektoriniam momentui, derinį. Centrinės sraigtinės ašies lygtis

Tarkime, kad redukcijos centre, imame kaip koordinačių pradžia, gaunamas pagrindinis vektorius su projekcijomis koordinačių ašyse ir pagrindinis momentas su projekcijomis, kai jėgų sistema nukreipiama į redukcijos centrą O 1 (1 pav.). 30), gaunama dina su pagrindiniu vektoriumi ir pagrindiniu momentu, vektoriais ir kaip sudarant linamą. yra lygiagrečios ir todėl gali skirtis tik skaliariniu koeficientu k 0. Turime, nes pagrindiniai momentai ir tenkina ryšį

Kuris lygus jėgos ir jos peties sandaugai.

Jėgos momentas apskaičiuojamas pagal formulę: F Kur - jėga, l

- jėgos petys.- tai trumpiausias atstumas nuo jėgos veikimo linijos iki kūno sukimosi ašies. Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas standus korpusas, kuris gali suktis aplink ašį. Šio kūno sukimosi ašis yra statmena figūros plokštumai ir eina per tašką, kuris žymimas raide O. Jėgos petys Ftčia yra atstumas - jėga,, nuo sukimosi ašies iki jėgos veikimo linijos. Tai apibrėžiama taip. Pirmiausia nubrėžkite jėgos veikimo liniją, tada iš taško O, per kurį eina kūno sukimosi ašis, nuleiskite statmeną jėgos veikimo linijai. Pasirodo, šio statmens ilgis yra tam tikros jėgos ranka.

Jėgos momentas apibūdina jėgos sukimosi veiksmą. Šis veiksmas priklauso ir nuo jėgos, ir nuo sverto. Kuo didesnė ranka, tuo mažesnė jėga turi būti taikoma norint gauti norimą rezultatą, ty tą patį jėgos momentą (žr. paveikslėlį aukščiau). Būtent todėl duris atidaryti stumiant šalia vyrių yra daug sunkiau, nei suėmus už rankenos, o veržlę atsukti ilguoju nei trumpu veržliarakčiu daug lengviau.

Jėgos momento SI vienetu laikomas 1 N jėgos momentas, kurio peties 1 m – niutonmetras (N m).

Akimirkų taisyklė.

Tvirtas kūnas, galintis suktis aplink fiksuotą ašį, yra pusiausvyroje, jei jėgos momentas M 1 sukant jį pagal laikrodžio rodyklę yra lygus jėgos momentui M 2 , kuris sukasi prieš laikrodžio rodyklę:

Momentų taisyklė yra vienos iš mechanikos teoremų, kurią 1687 m. suformulavo prancūzų mokslininkas P. Varignonas, pasekmė.

Pora jėgų.

Jei kūną veikia 2 lygios ir priešingos krypties jėgos, kurios nėra toje pačioje tiesėje, tai toks kūnas nėra pusiausvyroje, nes susidaręs šių jėgų momentas bet kurios ašies atžvilgiu nėra lygus nuliui, nes abi jėgos turi ta pačia kryptimi nukreiptus momentus . Dvi tokios jėgos, vienu metu veikiančios kūną, vadinamos pora jėgų. Jei kūnas yra pritvirtintas prie ašies, tada, veikiant porai jėgų, jis sukasi. Jei laisvam kūnui bus taikomos kelios jėgos, jis suksis aplink savo ašį. einanti per kūno svorio centrą, figūra b.

Jėgų poros momentas yra vienodas apie bet kurią ašį, statmeną poros plokštumai. Visa akimirka M porų visada lygi vienos iš jėgų sandaugai Fį atstumą - jėga, tarp jėgų, kuri vadinama poros pečių, nesvarbu, kokie segmentai - jėga,, ir dalijasi poros peties ašies padėtimi:

Kelių jėgų, kurių rezultatas lygus nuliui, momentas bus vienodas visų viena kitai lygiagrečių ašių atžvilgiu, todėl visų šių jėgų veikimas kūnui gali būti pakeistas vienos jėgų poros poveikiu momentas.

Poros jėgų akimirka

Jėgos momentas bet kurio taško (centro) atžvilgiu yra vektorius, kuris skaitine prasme yra lygus jėgos modulio ir rankos sandaugai, t.y. iki trumpiausio atstumo nuo nurodyto taško iki jėgos veikimo linijos, ir nukreipta statmenai plokštumai, einančia per pasirinktą tašką, ir jėgos veikimo linijai ta kryptimi, iš kurios „sukimas“ atliekamas jėgos aplink atrodo, kad taškas atsiranda prieš laikrodžio rodyklę. Jėgos momentas apibūdina jo sukimosi veiksmą.

Jeigu APIE– taškas, kurio atžvilgiu yra jėgos momentas F, tada jėgos momentas žymimas simboliu M o (F). Parodykime, kad jei jėgos taikymo taškas F nustato spindulio vektorius r, tada ryšys galioja

M o (F) = r × F. (3.6)

Pagal šį santykį jėgos momentas lygus vektoriaus vektorinei sandaugai r pagal vektorių F.

Tiesą sakant, vektoriaus sandaugos modulis yra lygus

M o ( F)=rF nuodėmė = Fh, (3.7)

Jėgos momentas apskaičiuojamas pagal formulę: h- jėgos petys. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad vektorius M o (F) nukreiptos statmenai plokštumai, einančia per vektorius r Ir F, ta kryptimi, iš kurios trumpiausias vektoriaus posūkis r vektoriaus kryptimi F pasirodo, vyksta prieš laikrodžio rodyklę. Taigi (3.6) formulė visiškai nustato jėgos momento modulį ir kryptį F.

Kartais pravartu formoje parašyti formulę (3.7).

M o ( F)=2S, (3.8)

Jėgos momentas apskaičiuojamas pagal formulę: S– trikampio plotas OAV.

Leiskite x, y, z yra jėgos taikymo taško koordinatės ir Fx, Fy, F z– jėgos projekcijos į koordinačių ašis. Tada jei taškas APIE yra ištakoje, jėgos momentas išreiškiamas taip:

Iš to išplaukia, kad jėgos momento projekcijos į koordinačių ašis nustatomos pagal formules:

M Jautis(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Dabar pristatykime jėgos projekcijos į plokštumą sąvoką.

Tegul stiprybė suteikiama F ir kažkoks lėktuvas. Į šią plokštumą numeskime statmenus nuo jėgos vektoriaus pradžios ir pabaigos.

Jėgos projekcija į plokštumą paskambino vektorius , kurios pradžia ir pabaiga sutampa su jėgos pradžios ir pabaigos projekcija į šią plokštumą.

Jei laikysime lėktuvą kaip nagrinėjamą lėktuvą xOy, tada jėgos projekcija Fšioje plokštumoje bus vektorius Fxy.

jėgos momentas Fxy taško atžvilgiu APIE(ašių susikirtimo taškai z su lėktuvu xOy) galima apskaičiuoti naudojant (3.9) formulę, jei imsime z=0, F z=0. Mes gauname

MO(Fxy)=(xF y -yF x)k.

Taigi momentas nukreiptas išilgai ašies z, ir jo projekcija į ašį z tiksliai sutampa su jėgos momento projekcija į tą pačią ašį F taško atžvilgiu APIE. Kitaip tariant,

M Ozas(F)=M Ozas(Fxy)= xF y -yF x. (3.11)

Akivaizdu, kad tą patį rezultatą galima gauti, jei projektuojame jėgą F bet kuriai kitai lygiagrečiai plokštumai xOy. Šiuo atveju ašies susikirtimo taškas z su plokštuma bus kitokia (naują susikirtimo tašką žymime APIE 1). Tačiau visi dydžiai, įtraukti į dešinę lygybės pusę (3.11) X, adresu, F x, F m išliks nepakitęs, todėl gali būti parašytas

M Ozas(F)=M O 1 z ( Fxy).

Kitaip tariant, jėgos momento projekcija taško atžvilgiu į ašį, einančią per šį tašką, nepriklauso nuo taško pasirinkimo ašyje . Todėl toliau, vietoj simbolio M Ozas(F) naudosime simbolį M z(F). Ši momento projekcija vadinama jėgos momentas apie ašį z. Jėgos momentą apie ašį dažnai patogiau apskaičiuoti projektuojant jėgą F ašiai statmenoje plokštumoje ir apskaičiuojant reikšmę M z(Fxy).

Pagal (3.7) formulę ir atsižvelgdami į projekcijos ženklą gauname:

M z(F)=M z(Fxy)=± F xy h*. (3.12)

Čia h*– jėgos petys Fxy taško atžvilgiu APIE. Jeigu stebėtojas iš teigiamos z ašies krypties mato, kad jėga Fxy linkęs sukti kūną aplink ašį z prieš laikrodžio rodyklę, tada paimamas „+“ ženklas, o kitu atveju „–“ ženklas.

Formulė (3.12) leidžia suformuluoti tokią jėgos momento apie ašį apskaičiavimo taisyklę. Norėdami tai padaryti, jums reikia:

· pasirinkti savavališką ašies tašką ir sukonstruoti ašiai statmeną plokštumą;

· projektuoti jėgą į šią plokštumą;

· nustatyti jėgos projekcijos h* petį.

Jėgos momentas ašies atžvilgiu yra lygus jėgos projekcijos ant peties modulio sandaugai, paimtam su atitinkamu ženklu (žr. aukščiau pateiktą taisyklę).

Iš (3.12) formulės išplaukia, kad jėgos momentas apie ašį yra lygus nuliui dviem atvejais:

· kai jėgos projekcija į ašiai statmeną plokštumą lygi nuliui, t.y. kai jėga ir ašis lygiagrečios ;

kai peties projekcija h* lygus nuliui, t.y. kai veikimo linija kerta ašį .

Abu šie atvejai gali būti sujungti į vieną: jėgos momentas apie ašį yra lygus nuliui tada ir tik tada, kai jėgos veikimo linija ir ašis yra toje pačioje plokštumoje .

3.1 užduotis. Apskaičiuokite santykį su tašku APIE jėgos momentas F, pritaikytas taškui A ir įstrižai nukreiptas kubo veidas su šonu A.

Sprendžiant tokias problemas, pirmiausia patartina apskaičiuoti jėgos momentus F koordinačių ašių atžvilgiu x, y, z. Taško koordinatės A jėgos taikymas F valios

Jėgos projekcijos F ant koordinačių ašių:

Pakeitę šias reikšmes į lygybes (3.10), randame

, , .

Tie patys posakiai jėgos momentams F koordinačių ašių atžvilgiu galima gauti naudojant (3.12) formulę. Norėdami tai padaryti, suprojektuojame jėgą F ašiai statmenoje plokštumoje X Ir adresu. Tai akivaizdu . Taikydami aukščiau pateiktą taisyklę, gauname, kaip ir galima tikėtis, tokias pačias išraiškas:

, , .

Momento modulis nustatomas pagal lygybę

.

Dabar pristatykime poros akimirkos sampratą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokiai porą sudarančių jėgų momentų suma yra lygi savavališko taško atžvilgiu. Leiskite APIE yra savavališkas erdvės taškas ir F Ir F“ – jėgos, kurios sudaro porą.

Tada M o (F)= OA × F, M o (F") = OB × F",

M o (F)+ M o (F")= OA × F+ OB × F",

bet nuo tada F = -F", Tai

M o (F)+ M o (F")= OA × F- OB × F=(OA-OB)× F.

Atsižvelgiant į lygybę OA-OB = BA , pagaliau randame:

M o (F)+ M o (F")= VA × F.

Vadinasi, jėgų momentų, sudarančių porą, suma nepriklauso nuo taško, kurio atžvilgiu paimti momentai, padėties .

Vektorinis meno kūrinys VA × F ir yra vadinamas pora akimirka . Poros momentas pažymėtas simboliu M(F, F"), ir

M(F, F")=VA × F= AB × F",

arba trumpai tariant,

M=VA × F= AB × F". (3.13)

Atsižvelgdami į dešinę šios lygybės pusę, tai pastebime poros momentas yra vektorius, statmenas poros plokštumai, moduliu lygus vienos poros jėgos modulio sandaugai iš poros peties (t. y. trumpiausiu atstumu tarp poros veikimo linijų porą sudarančios jėgos) ir nukreiptos ta kryptimi, iš kurios matomas poros „sukimasis“ prieš laikrodžio rodyklę. . Jeigu h– tuomet poros petys M(F, F")=h × F.

Iš paties apibrėžimo aišku, kad jėgų poros momentas yra laisvasis vektorius, kurio veikimo linija nėra apibrėžta (papildomas šios pastabos pagrindimas išplaukia iš šio skyriaus 2 ir 3 teoremų).

Kad jėgų pora sudarytų subalansuotą sistemą (jėgų sistemą, lygiavertę nuliui), būtina ir pakanka, kad poros momentas būtų lygus nuliui. Iš tiesų, jei poros momentas yra nulis, M=h × F, tada arba F=0, t.y. nėra jėgų, ar poros peties h lygus nuliui. Tačiau šiuo atveju poros jėgos veiks viena tiesia linija; kadangi jie yra vienodo dydžio ir nukreipti priešingomis kryptimis, tada, remiantis 1 aksioma, jie sudarys subalansuotą sistemą. Ir atvirkščiai, jei dvi jėgos F 1 Ir F 2, sudarantys porą, yra subalansuoti, tada, remiantis ta pačia 1 aksioma, jie veikia vienoje tiesėje. Bet šiuo atveju poros svertas h lygus nuliui ir todėl M=h × F=0.

Porų teoremos

Įrodykime tris teoremas, kurių pagalba tampa įmanomos lygiavertės porų transformacijos. Visais atvejais reikia atsiminti, kad jie reiškia poras, veikiančias bet kurį vieną tvirtą kūną.

1 teorema. Dvi poros, esančios toje pačioje plokštumoje, gali būti pakeistos viena pora, esančia toje pačioje plokštumoje, kurios momentas yra lygus šių dviejų porų momentų sumai.

Norėdami įrodyti šią teoremą, apsvarstykite dvi poras ( F 1,F“ 1) Ir ( F 2,F" 2) ir perkelkite visų jėgų veikimo taškus pagal jų veikimo linijas į taškus A Ir IN atitinkamai. Sudėję jėgas pagal 3 aksiomą, gauname

R=F 1+F 2 Ir R"=F" 1+F" 2,

Bet F 1=-F“ 1 Ir F 2=-F" 2.

Vadinasi, R = - R", t.y. stiprumo R Ir R" sudaryti porą. Raskime šios poros momentą naudodami formulę (3.13):

M=M(R, R")=VA× R= VA× (F 1+F 2)=VA× F 1+VA× F 2. (3.14)

Kai porą sudarančios jėgos perkeliamos jų veikimo linijomis, nesikeičia nei petys, nei poros sukimosi kryptis, todėl nesikeičia ir poros momentas. Reiškia,

BA × F 1 = M(F 1,F“ 1)=M 1, VA× F 2 = M(F 2,F" 2)=M 2

o formulė (3.14) įgaus formą

M=M1+M2, (3.15)

kas įrodo aukščiau suformuluotos teoremos pagrįstumą.

Šiai teoremai pateiksime dvi pastabas.

1. Jėgų, sudarančių poras, veikimo linijos gali pasirodyti lygiagrečios. Teorema šiuo atveju lieka galioti, tačiau norint ją įrodyti, reikėtų pasinaudoti lygiagrečių jėgų sudėjimo taisykle.

2. Pridėjus gali pasirodyti, kad M(R, R")=0; Remiantis anksčiau pateikta pastaba, darytina išvada, kad dviejų porų ( F 1,F“ 1, F 2,F" 2)=0.

2 teorema. Dvi poros, turinčios geometriškai vienodus momentus, yra lygiavertės.

Leiskite ant kūno plokštumoje aš pora ( F 1,F“ 1) su akimirka M 1. Parodykime, kad šią porą galima pakeisti kita su pora ( F 2,F" 2), esantis lėktuve II, jei tik jos akimirka M 2 lygus M 1(pagal apibrėžimą (žr. 1.1) tai reikš, kad poros ( F 1,F“ 1) Ir ( F 2,F" 2) yra lygiaverčiai). Visų pirma pažymime, kad lėktuvai aš Ir II turi būti lygiagrečios, ypač gali sutapti. Iš tiesų, iš akimirkų paralelizmo M 1 Ir M 2(mūsų atveju M 1=M 2) iš to seka, kad porų, statmenų momentams, veikimo plokštumos taip pat lygiagrečios.

Pristatykime naują porą ( F 3,F" 3) ir pritvirtinkite kartu su pora ( F 2,F" 2) prie kūno, abi poras išdėliodami plokštumoje II. Norėdami tai padaryti, pagal 2 aksiomą, turite pasirinkti porą ( F 3,F" 3) su akimirka M 3 kad taikoma jėgų sistema ( F 2,F" 2, F 3,F" 3) buvo subalansuotas. Tai galima padaryti, pavyzdžiui, taip: įdėti F 3=-F“ 1 Ir F" 3 =-F 1 ir sujungti šių jėgų taikymo taškus su projekcijomis A 1 ir IN 1 taškas A Ir INį lėktuvą II. Pagal konstrukciją turėsime: M3 = -M1 arba, atsižvelgiant į tai M 1 = M 2,

M2 + M3 = 0.

Atsižvelgdami į antrąją ankstesnės teoremos pastabą, gauname ( F 2,F" 2, F 3,F" 3)=0. Taigi, poros ( F 2,F" 2) Ir ( F 3,F" 3) yra tarpusavyje subalansuoti ir jų prisirišimas prie kūno nepažeidžia jo būsenos (2 aksioma), todėl

(F 1,F“ 1)= (F 1,F“ 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3). (3.16)

Kita vertus, jėgos F 1 Ir F 3, ir taip pat F“ 1 Ir F" 3 galima pridėti pagal lygiagrečių jėgų, nukreiptų viena kryptimi, pridėjimo taisyklę. Modulyje visos šios jėgos yra lygios viena kitai, taigi ir jų rezultantai R Ir R" turi būti taikomas stačiakampio įstrižainių susikirtimo taške ABB 1 A 1 ; be to, jie yra vienodo dydžio ir nukreipti priešingomis kryptimis. Tai reiškia, kad jie sudaro sistemą, lygiavertę nuliui. Taigi,

(F 1,F“ 1, F 3,F" 3)=(R, R")=0.

Dabar galime rašyti

(F 1,F“ 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3)=(F 3,F" 3). (3.17)

Palyginę ryšius (3.16) ir (3.17), gauname ( F 1,F“ 1)=(F 2,F" 2), ką reikėjo įrodyti.

Iš šios teoremos išplaukia, kad jėgų pora gali būti judama jos veikimo plokštumoje, perkelta į lygiagrečią plokštumą; galiausiai poroje galite vienu metu keisti jėgas ir svertą, išlaikydami tik poros sukimosi kryptį ir jos momento dydį ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

Toliau mes plačiai naudosime tokias lygiavertes porų transformacijas.

3 teorema. Dvi poros, esančios susikertančiose plokštumose, yra lygiavertės vienai porai, kurios momentas yra lygus dviejų duotųjų porų momentų sumai.

Tegul poros ( F 1,F“ 1) Ir ( F 2,F" 2) yra susikertančiose plokštumose aš Ir II atitinkamai. Naudodamiesi 2 teoremos išvadomis, abi poras sumažiname iki peties AB, esantis plokštumų susikirtimo linijoje aš Ir II. Pažymėkime transformuotas poras ( 1 klausimas,Q" 1) Ir ( 2 klausimas,Q" 2). Tokiu atveju lygybės turi būti tenkinamos

M1 = M(1 klausimas,Q" 1)=M(F 1,F“ 1) Ir M2 = M(2 klausimas,Q" 2)=M(F 2,F" 2).

Pridėkime pagal aksiomą 3 taškuose veikiančias jėgas A Ir IN atitinkamai. Tada gauname R = Q 1 + Q 2 Ir R" = Q" 1 + Q" 2. Atsižvelgiant į tai Q" 1 = -Q 1 Ir Q" 2 = -Q 2, gauname R=-R". Taigi, mes įrodėme, kad dviejų porų sistema yra lygi vienai porai ( R,R").

Raskime akimirką Mši pora. Remdamiesi (3.13) formule turime

M(R,R")=VA× (Q 1 + Q 2)=VA× Q 1 + VA× 2 klausimas=

=M(1 klausimas,Q" 1)+M(2 klausimas,Q" 2)=M(F 1,F“ 1)+M(F 2,F" 2)

M=M1+M2,

tie. teorema įrodyta.

Atkreipkite dėmesį, kad gautas rezultatas galioja ir lygiagrečiose plokštumose gulinčioms poroms. Pagal 2 teoremą tokias poras galima redukuoti į vieną plokštumą, o pagal 1 teoremą jas pakeisti viena pora, kurios momentas lygus sudedamųjų porų momentų sumai.

Aukščiau įrodytos poros teoremos leidžia padaryti svarbią išvadą: poros momentas yra laisvas vektorius ir visiškai nulemia poros veiksmą ant absoliučiai standaus kūno . Tiesą sakant, mes jau įrodėme, kad jei dvi poros turi tuos pačius momentus (taigi, yra toje pačioje plokštumoje arba lygiagrečiose plokštumose), tada jos yra lygiavertės viena kitai (2 teorema). Kita vertus, dvi poros, esančios susikertančiose plokštumose, negali būti lygiavertės, nes tai reikštų, kad viena iš jų ir kitai priešinga pora yra lygiavertės nuliui, o tai neįmanoma, nes tokių porų momentų suma nėra lygi nuliui.

Taigi pristatyta poros akimirkos samprata yra itin naudinga, nes ji visiškai atspindi mechaninį poros poveikį kūnui. Šia prasme galime teigti, kad akimirka išsamiai atspindi poros veiksmą ant standaus kūno.

Deformuojamiesiems kūnams aukščiau aprašyta porų teorija netaikoma. Dvi priešingos poros, veikiančios, pavyzdžiui, strypo galuose, kieto kūno statikos požiūriu yra lygiavertės nuliui. Tuo tarpu jų veikimas deformuojamą strypą sukelia jo sukimąsi, ir kuo didesnis, tuo didesnis momento modulis.

Pereikime prie pirmosios ir antrosios statikos uždavinių sprendimo, kai kūną veikia tik jėgų poros.

Sukamasis judesys yra mechaninio judėjimo rūšis.

Absoliučiai standaus kūno sukimosi judesio metu jo taškai apibūdina lygiagrečiose plokštumose esančius apskritimus. Visų apskritimų centrai yra toje pačioje tiesėje, statmenoje apskritimų plokštumoms ir vadinamos sukimosi ašimi. Sukimosi ašis gali būti kūno viduje arba išorėje. Sukimosi ašis tam tikroje atskaitos sistemoje gali būti judama arba stacionari. Pavyzdžiui, atskaitos rėme, susijusiame su Žeme, generatoriaus rotoriaus sukimosi ašis elektrinėje yra stacionari.

Kinetinės charakteristikos:

Viso standaus kūno sukimasis apibūdinamas kampu, išmatuotu kampiniais laipsniais arba radianais, kampiniu greičiu (matuojama rad/s) ir kampiniu pagreičiu (matavimo vienetas – rad/s²).

Su vienodu sukimu (T apsisukimai per sekundę):

Sukimosi dažnis yra kūno apsisukimų skaičius per laiko vienetą.

Sukimosi laikotarpis yra vieno pilno apsisukimo laikas.

Sukimosi periodas T ir jo dažnis yra susieti ryšiu.

Taško, esančio atstumu R nuo sukimosi ašies, tiesinis greitis

Kūno sukimosi kampinis greitis

Jėgos momentas (sinonimai: sukimo momentas, sukimo momentas, sukimo momentas, sukimo momentas) yra vektorinis fizinis dydis, lygus spindulio vektoriaus sandaugai (nubrėžtas nuo sukimosi ašies iki jėgos taikymo taško – pagal apibrėžimą) ir šios jėgos vektorius.

Kampinio momento išsaugojimo dėsnis (kampinio momento išsaugojimo dėsnis) yra vienas iš pagrindinių išsaugojimo dėsnių. Jis išreiškiamas matematiškai per visą kampinio momento vektorinę sumą, susijusią su pasirinkta uždara kūnų sistema, ir išlieka pastovi, kol sistemą veikia išorinės jėgos. Pagal tai uždaros sistemos kampinis impulsas bet kurioje koordinačių sistemoje laikui bėgant nekinta.

Kampinio momento išsaugojimo dėsnis yra erdvės izotropijos sukimosi atžvilgiu pasireiškimas.

16. Sukamojo judėjimo dinamikos lygtis. Inercijos momentas.

Pagrindinė materialaus taško sukimosi judėjimo dinamikos lygtis yra taško kampinis pagreitis jo sukimosi aplink fiksuotą ašį metu yra proporcingas sukimo momentui ir atvirkščiai proporcingas inercijos momentui.

M = E*J arba E = M/J

Palyginus gautą išraišką su antruoju Niutono dėsniu su transliacijos dėsniu, matome, kad inercijos momentas J yra kūno inercijos matas sukamajame judėjime. Kaip ir masė, kiekis yra priedas.

Inercijos momentas yra skaliarinis (bendrai, tenzorinis) fizikinis dydis, inercijos matas sukantis aplink ašį, kaip kūno masė yra jo inercijos matas transliaciniame judėjime. Jam būdingas masių pasiskirstymas kūne: inercijos momentas lygus elementariųjų masių sandaugų sumai jų atstumų iki bazinės aibės (taško, tiesės ar plokštumos) kvadratu.

SI vienetas: kg m² Pavadinimas: I arba J.

Priklausomai nuo kolektoriaus, nuo kurio matuojamas taškų atstumas, yra keli inercijos momentai.

Inercijos momento savybės:

1. Sistemos inercijos momentas lygus jos dalių inercijos momentų sumai.

2. Kūno inercijos momentas yra šiam kūnui būdingas dydis.

Standaus kūno inercijos momentas yra dydis, apibūdinantis masės pasiskirstymą kūne ir yra kūno inercijos matas sukimosi metu.

Inercijos momento formulė:

Steinerio teorema:

Kūno inercijos momentas apie bet kurią ašį lygus inercijos momentui apie lygiagrečią ašį, einantį per inercijos centrą, pridėjus prie reikšmės m*(R*R), kur R – atstumas tarp ašių.

Mechaninės sistemos inercijos momentas fiksuotos ašies atžvilgiu („ašinis inercijos momentas“) yra vertė Ja, lygi visų n sistemos materialių taškų masių sandaugų sumai atstumų kvadratais. į ašį:

Ašinis kūno inercijos momentas Ja yra kūno, besisukančio aplink ašį, inercijos matas, lygiai taip pat, kaip kūno masė yra jo judesio judesio inercijos matas.

Centrinis inercijos momentas (arba inercijos momentas apie tašką O) yra dydis

.

Galios akimirka Savavališko centro atžvilgiu jėgos veikimo plokštumoje vadinama jėgos modulio ir peties sandauga.

Pečius- trumpiausias atstumas nuo centro O iki jėgos veikimo linijos, bet ne iki jėgos taikymo taško, nes jėgos slydimo vektorius.

Akimirkos ženklas:

Pagal laikrodžio rodyklę - minusas, prieš laikrodžio rodyklę - pliusas;

Jėgos momentą galima išreikšti vektoriumi. Tai yra statmena plokštumai pagal Gimleto taisyklę.

Jei plokštumoje yra kelios jėgos arba jėgų sistema, tada jų momentų algebrinė suma duos mums pagrindinis dalykas jėgų sistemos.

Apsvarstykime jėgos momentą apie ašį, apskaičiuokime jėgos momentą apie Z ašį;

Projektuokime F į XY;

F xy = F cosα= ab

m 0 (F xy) = m z (F), tai yra, m z = F xy * h= F cosα* h

Jėgos momentas ašies atžvilgiu yra lygus jos projekcijos momentui į ašiai statmeną plokštumą, paimtą ašių ir plokštumos sankirtoje

Jeigu jėga lygiagreti ašiai arba ją kerta, tai m z (F)=0

Jėgos momento išreiškimas kaip vektorinė išraiška

Nubrėžkime r a į tašką A. Apsvarstykite OA x F.

Tai trečiasis vektorius m o , statmenas plokštumai. Kryžminio sandaugos dydį galima apskaičiuoti naudojant du kartus didesnį už tamsinto trikampio plotą.

Analitinė jėgos išraiška koordinačių ašių atžvilgiu.

Tarkime, kad Y ir Z, X ašys su vienetiniais vektoriais i, j, k yra susietos su tašku O. Atsižvelgiant į tai:

r x =X * Fx ; r y =Y * F y ; r z =Z * F y gauname: m o (F)=x =

Išplėskime determinantą ir gaukime:

m x =YF z - ZF y

m y = ZF x - XF z

m z =XF y - YF x

Šios formulės leidžia apskaičiuoti vektoriaus momento projekciją ašyje, o tada patį vektoriaus momentą.

Varinjono teorema dėl rezultato momento

Jei jėgų sistema turi rezultatą, tai jos momentas bet kurio centro atžvilgiu yra lygus visų jėgų momentų algebrinei sumai, susijusiai su šiuo tašku.

Jei taikysime Q= -R, tai sistema (Q,F 1 ... F n) bus vienodai subalansuota.

Momentų apie bet kurį centrą suma bus lygi nuliui.

Plokščios jėgų sistemos analitinė pusiausvyros sąlyga

Tai plokščia jėgų sistema, kurios veikimo linijos yra toje pačioje plokštumoje

Šio tipo uždavinių skaičiavimo tikslas – nustatyti išorinių jungčių reakcijas. Tam naudojamos pagrindinės lygtys plokštuminėje jėgų sistemoje.

Galima naudoti 2 arba 3 momentų lygtis.

Pavyzdys

Sukurkime visų X ir Y ašių jėgų sumos lygtį.