kai kurios funkcijos. Jei atkursime funkciją iš jos bendro diferencialo, rasime bendrąjį diferencialinės lygties integralą. Žemiau kalbėsime apie funkcijos atkūrimo iš viso skirtumo metodas.
Kairioji diferencialinės lygties pusė yra bendras tam tikros funkcijos skirtumas U(x, y) = 0, jei tenkinama sąlyga.
Nes pilna diferencialo funkcija U(x, y) = 0 Tai 
, o tai reiškia, kad įvykdžius sąlygą teigiama, kad .
Tada 
.
Iš pirmosios sistemos lygties gauname 
. Funkciją randame naudodami antrąją sistemos lygtį:
Taip rasime reikiamą funkciją U(x, y) = 0.
Pavyzdys.
Raskime bendrą DE sprendimą 
.
Sprendimas.
Mūsų pavyzdyje. Sąlyga įvykdyta, nes:
Tada kairioji pradinės diferencialinės lygties pusė yra bendras tam tikros funkcijos skirtumas U(x, y) = 0. Turime rasti šią funkciją.
Nes 
yra visas funkcijos skirtumas U(x, y) = 0, Reiškia:
.
Mes integruojame iki x 1-oji sistemos lygtis ir diferencijuoti atsižvelgiant į y rezultatas:
.
Iš 2-osios sistemos lygties gauname . Priemonės:
Kur SU- savavališka konstanta.
Taigi duotosios lygties bendrasis integralas bus 
.
Yra ir antras funkcijos apskaičiavimo iš jos bendro skirtumo metodas. Jį sudaro fiksuoto taško linijos integralas (x 0, y 0)į tašką su kintamomis koordinatėmis (x, y): 
. Šiuo atveju integralo reikšmė nepriklauso nuo integracijos kelio. Integravimo keliu patogu paimti trūkinę liniją, kurios jungtys yra lygiagrečios koordinačių ašims.
Pavyzdys.
Raskime bendrą DE sprendimą 
.
Sprendimas.
Tikriname sąlygos įvykdymą:
Taigi kairioji diferencialinės lygties pusė yra visiškas kokios nors funkcijos diferencialas U(x, y) = 0. Raskime šią funkciją apskaičiuodami kreivinį taško integralą (1; 1) prieš (x, y). Kaip integravimo kelią imame trūkinę liniją: pirmoji trūkinės linijos atkarpa eina tiesia linija y = 1 nuo taško (1, 1) prieš (x, 1), kaip antrąją kelio atkarpą paimame tiesios atkarpą iš taško (x, 1) prieš (x, y):
Taigi, bendras nuotolinio valdymo pulto sprendimas atrodo taip: 
.
Pavyzdys.
Nustatykime bendrą DE sprendimą.
Sprendimas.
Nes , o tai reiškia, kad sąlyga neįvykdyta, tada kairioji diferencialinės lygties pusė nebus pilnas funkcijos diferencialas ir reikia naudoti antrąjį sprendimo būdą (ši lygtis yra diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais).
Diferencialinis vadinama formos lygtimi
P(x,y)dx + K(x,y)dy = 0 ,
kur kairioji pusė yra bet kurios dviejų kintamųjų funkcijos bendras skirtumas.
Dviejų kintamųjų nežinomą funkciją (tai reikia rasti sprendžiant lygtis suminiuose diferencialuose) pažymėkime F ir mes greitai prie to grįšime.
Pirmas dalykas, į kurį turėtumėte atkreipti dėmesį, yra tai, kad dešinėje lygties pusėje turi būti nulis, o ženklas, jungiantis du terminus kairėje pusėje, turi būti pliusas.
Antra, reikia laikytis tam tikros lygybės, kuri patvirtina, kad ši diferencialinė lygtis yra visų diferencialų lygtis. Šis patikrinimas yra privaloma lygčių suminiuose diferencialuose sprendimo algoritmo dalis (ji yra antroje šios pamokos pastraipoje), taigi funkcijos paieškos procesas F gana daug darbo reikalaujantis ir svarbu jau pradiniame etape pasirūpinti, kad negaištume laiko.
Taigi, nežinoma funkcija, kurią reikia rasti, žymima F. Visų nepriklausomų kintamųjų dalinių skirtumų suma sudaro bendrą skirtumą. Todėl, jei lygtis yra visuminė diferencialinė lygtis, kairioji lygties pusė yra dalinių skirtumų suma. Tada pagal apibrėžimą
dF = P(x,y)dx + K(x,y)dy .
Prisiminkime dviejų kintamųjų funkcijos bendro skirtumo apskaičiavimo formulę:
Išspręsdami paskutines dvi lygybes, galime rašyti
.
Pirmąją lygybę skiriame kintamojo „y“ atžvilgiu, antrąją – kintamojo „x“ atžvilgiu:
.
kuri yra sąlyga, kad duotoji diferencialinė lygtis tikrai būtų visuminė diferencialinė lygtis.
Diferencialinių lygčių suminiuose diferencialuose sprendimo algoritmas
1 žingsnis.Įsitikinkite, kad lygtis yra visuminė diferencialinė lygtis. Kad būtų išraiška 
buvo visiškas tam tikros funkcijos skirtumas F(x, y) yra būtinas ir pakankamas, kad . Kitaip tariant, reikia imti dalinę išvestinę x o dalinė išvestinė atžvilgiu y kitas narys ir, jei šios išvestinės yra lygios, tada lygtis yra visuminė diferencialinė lygtis.
2 žingsnis. Užrašykite dalinių diferencialinių lygčių sistemą, kuri sudaro funkciją F:
3 veiksmas. Integruokite pirmąją sistemos lygtį – by x (y F:
,
y.
Alternatyvus variantas (jei taip lengviau rasti integralą) yra integruoti antrąją sistemos lygtį - y (x išlieka konstanta ir išimama iš integralo ženklo). Tokiu būdu atkuriama ir funkcija F:
,
kur yra dar nežinoma funkcija X.
4 veiksmas. 3 žingsnio rezultatas (rastas bendrasis integralas) yra diferencijuojamas pagal y(ar alternatyva - pagal x) ir prilygsta antrajai sistemos lygčiai:
,
o alternatyvioje versijoje - į pirmąją sistemos lygtį:
.
Iš gautos lygties nustatome (arba)
5 veiksmas. 4 veiksmo rezultatas yra integruoti ir rasti (arba rasti ).
6 veiksmas. 5 veiksmo rezultatą pakeiskite 3 veiksmo rezultatu – funkcija, atkurta iš dalies integruojant F. Savavališka konstanta C dažnai rašoma po lygybės ženklo – dešinėje lygties pusėje. Taip gauname bendrą diferencialinės lygties sprendimą suminiais diferencialais. Jis, kaip jau minėta, turi formą F(x, y) = C.
Suminių diferencialų diferencialinių lygčių sprendinių pavyzdžiai
1 pavyzdys.
1 žingsnis. lygtis bendruose skirtumuose
x vienas terminas kairėje išraiškos pusėje
o dalinė išvestinė atžvilgiu y kitas terminas
lygtis bendruose skirtumuose
.
2 žingsnis. F:
3 veiksmas. Autorius x (y išlieka konstanta ir išimamas iš integralo ženklo). Taip atkuriame funkciją F:
kur yra dar nežinoma funkcija y.
4 veiksmas. y
.
.
5 veiksmas.
6 veiksmas. F. Savavališka konstanta C
:
.
Kokia klaida čia dažniausiai pasitaiko? Dažniausios klaidos yra paimti dalinį integralą per vieną iš įprasto funkcijų sandaugos kintamųjų ir bandyti integruoti dalimis arba pakaitiniu kintamuoju, o taip pat dviejų veiksnių dalinę išvestinę paimti kaip išvestinę. funkcijų sandaugą ir pagal atitinkamą formulę ieškokite išvestinės.
Tai reikia atsiminti: skaičiuojant dalinį integralą vieno iš kintamųjų atžvilgiu, kitas yra konstanta ir išimamas iš integralo ženklo, o skaičiuojant dalinę išvestinę vieno iš kintamųjų atžvilgiu, kitas taip pat yra konstanta, o išraiškos išvestinė randama kaip „veikiančio“ kintamojo, padauginto iš konstantos, išvestinė.
Tarp lygtys suminiuose diferencialuose Neretai galima rasti pavyzdžių su eksponentine funkcija. Tai yra kitas pavyzdys. Jis taip pat pastebimas tuo, kad jo sprendimas naudoja alternatyvų variantą.
2 pavyzdys. Išspręskite diferencialinę lygtį
.
1 žingsnis.Įsitikinkite, kad lygtis yra lygtis bendruose skirtumuose
. Norėdami tai padaryti, randame dalinę išvestinę x vienas terminas kairėje išraiškos pusėje 
o dalinė išvestinė atžvilgiu y kitas terminas
. Šios išvestinės yra lygios, o tai reiškia, kad lygtis yra lygtis bendruose skirtumuose
.
2 žingsnis. Parašykime dalinių diferencialinių lygčių, sudarančių funkciją, sistemą F:
3 veiksmas. Integruokime antrąją sistemos lygtį – by y (x išlieka konstanta ir išimamas iš integralo ženklo). Taip atkuriame funkciją F:
kur yra dar nežinoma funkcija X.
4 veiksmas. Mes atskiriame 3 žingsnio rezultatą (rastą bendrąjį integralą) pagal X
ir prilyginkite pirmajai sistemos lygčiai:
Iš gautos lygties nustatome:
.
5 veiksmas. Integruojame 4 veiksmo rezultatą ir randame: 
.
6 veiksmas. 5 veiksmo rezultatą pakeičiame 3 veiksmo rezultatu - funkcija, atkurta iš dalies integruojant F. Savavališka konstanta C rašyti po lygybės ženklo. Taip gauname bendrą sumą sprendžiant diferencialinę lygtį suminiuose diferencialuose
:
.
Toliau pateiktame pavyzdyje grįžtame nuo alternatyvios parinkties prie pagrindinės.
3 pavyzdys. Išspręskite diferencialinę lygtį
1 žingsnis.Įsitikinkite, kad lygtis yra lygtis bendruose skirtumuose
. Norėdami tai padaryti, randame dalinę išvestinę y vienas terminas kairėje išraiškos pusėje
o dalinė išvestinė atžvilgiu x kitas terminas 
. Šios išvestinės yra lygios, o tai reiškia, kad lygtis yra lygtis bendruose skirtumuose
.
2 žingsnis. Parašykime dalinių diferencialinių lygčių, sudarančių funkciją, sistemą F:
3 veiksmas. Integruokime pirmąją sistemos lygtį - 
Autorius x (y išlieka konstanta ir išimamas iš integralo ženklo). Taip atkuriame funkciją F:
kur yra dar nežinoma funkcija y.
4 veiksmas. Mes atskiriame 3 žingsnio rezultatą (rastą bendrąjį integralą) pagal y
ir prilyginkite antrajai sistemos lygčiai:
Iš gautos lygties nustatome:
.
5 veiksmas. Integruojame 4 veiksmo rezultatą ir randame: 
6 veiksmas. 5 veiksmo rezultatą pakeičiame 3 veiksmo rezultatu - funkcija, atkurta iš dalies integruojant F. Savavališka konstanta C rašyti po lygybės ženklo. Taip gauname bendrą sumą sprendžiant diferencialinę lygtį suminiuose diferencialuose
:
.
4 pavyzdys. Išspręskite diferencialinę lygtį
1 žingsnis.Įsitikinkite, kad lygtis yra lygtis bendruose skirtumuose
. Norėdami tai padaryti, randame dalinę išvestinę y vienas terminas kairėje išraiškos pusėje
o dalinė išvestinė atžvilgiu x kitas terminas
. Šios išvestinės yra lygios, o tai reiškia, kad lygtis yra visuminė diferencialinė lygtis.
2 žingsnis. Parašykime dalinių diferencialinių lygčių, sudarančių funkciją, sistemą F:
3 veiksmas. Integruokime pirmąją sistemos lygtį - 
Autorius x (y išlieka konstanta ir išimamas iš integralo ženklo). Taip atkuriame funkciją F:
kur yra dar nežinoma funkcija y.
4 veiksmas. Mes atskiriame 3 žingsnio rezultatą (rastą bendrąjį integralą) pagal y
ir prilyginkite antrajai sistemos lygčiai:
Iš gautos lygties nustatome:
.
5 veiksmas. Integruojame 4 veiksmo rezultatą ir randame: 
6 veiksmas. 5 veiksmo rezultatą pakeičiame 3 veiksmo rezultatu - funkcija, atkurta iš dalies integruojant F. Savavališka konstanta C rašyti po lygybės ženklo. Taip gauname bendrą sumą sprendžiant diferencialinę lygtį suminiuose diferencialuose
:
.
5 pavyzdys. Išspręskite diferencialinę lygtį
.
1 žingsnis.Įsitikinkite, kad lygtis yra lygtis bendruose skirtumuose
. Norėdami tai padaryti, randame dalinę išvestinę y vienas terminas kairėje išraiškos pusėje 
o dalinė išvestinė atžvilgiu x kitas terminas 
. Šios išvestinės yra lygios, o tai reiškia, kad lygtis yra lygtis bendruose skirtumuose
.
Parodo, kaip atpažinti diferencialinę lygtį suminiuose diferencialuose. Pateikiami jo sprendimo būdai. Pateikiamas lygties, esančios suminiuose diferencialuose, sprendimo dviem būdais pavyzdys.
TurinysĮvadas
Pirmos eilės diferencialinė lygtis bendruose diferencialuose yra tokios formos lygtis:(1) ,
kur kairioji lygties pusė yra suminis kokios nors funkcijos U diferencialas (x, y) iš kintamųjų x, y:
.
Kuriame.
Jei randama tokia funkcija U (x, y), tada lygtis įgauna tokią formą:
dU (x, y) = 0.
Jo bendras integralas yra:
U (x, y) = C,
kur C yra konstanta.
Jei pirmos eilės diferencialinė lygtis parašyta pagal jos išvestinę:
,
tada nesunku jį suformuoti (1)
. Norėdami tai padaryti, padauginkite lygtį iš dx. Tada .
(1)
.
Dėl to gauname lygtį, išreikštą diferencialais:
Diferencialinės lygties savybė suminiuose diferencialuose (1)
Kad lygtis
(2)
.
buvo lygtis bendruose diferencialuose, ji yra būtina ir pakankama, kad ryšys galiotų:
Įrodymas Be to, darome prielaidą, kad visos įrodyme naudojamos funkcijos yra apibrėžtos ir turi atitinkamas išvestines tam tikrame kintamųjų x ir y reikšmių diapazone. Taškas x 0, y 0
taip pat priklauso šiai sričiai..
Įrodykime sąlygos (2) būtinumą (1)
Tegul kairioji lygties pusė (x, y):
.
yra kokios nors funkcijos U diferencialas
;
.
Tada
;
.
Kadangi antroji išvestinė nepriklauso nuo diferenciacijos eilės, tai (2)
Tai seka .
Būtinumo sąlyga.
įrodyta. (2)
:
(2)
.
Įrodykime sąlygos (2) pakankamumą (x, y) Tegul sąlyga būna patenkinta
.
Parodykime, kad galima rasti tokią funkciją U (x, y) kad jo skirtumas yra:
(3)
;
(4)
.
Tai reiškia, kad yra tokia funkcija U (3)
, kuris tenkina lygtis: 0
Raskime tokią funkciją. Integruokime lygtį
;
;
(5)
.
x iš x (2)
:
.
į x, darant prielaidą, kad y yra konstanta: (4)
Diferencijuojame y atžvilgiu, darydami prielaidą, kad x yra konstanta ir taikoma
.
Lygtis 0
bus įvykdytas, jei
;
;
.
Integruoti per y iš y (5)
:
(6)
.
y:
.
Pakeisti į
Taigi, mes radome funkciją, kurios diferencialas (6) Pakankamas įrodytas. Formulėje,U (x, y)(x 0, y 0) Be to, darome prielaidą, kad visos įrodyme naudojamos funkcijos yra apibrėžtos ir turi atitinkamas išvestines tam tikrame kintamųjų x ir y reikšmių diapazone. Taškas x yra konstanta – funkcijos U reikšmė
taške x
. Jai gali būti suteikta bet kokia vertė.
(1)
.
Kaip atpažinti diferencialinę lygtį suminiuose diferencialuose (2)
:
(2)
.
Apsvarstykite diferencialinę lygtį:
Norėdami nustatyti, ar ši lygtis yra bendruose skirtumuose, turite patikrinti sąlygą
Patikrinkite, ar lygtis yra bendruose skirtumuose:
.
Čia
,
.
Atsižvelgdami į x konstantą, skiriame y atžvilgiu:
.
Atskirkime
.
Nes:
,
tada duotoji lygtis yra suminiais diferencialais.
Suminių diferencialų diferencialinių lygčių sprendimo metodai
Nuosekliojo diferencinio ištraukimo metodas
Paprasčiausias būdas išspręsti lygtį suminiais diferencialais yra nuoseklaus diferencialo išskyrimo metodas. Norėdami tai padaryti, naudojame diferenciacijos formules, parašytas diferencine forma:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (UV);
;
.
Šiose formulėse u ir v yra savavališkos išraiškos, sudarytos iš bet kokių kintamųjų derinių.
1 pavyzdys
Išspręskite lygtį:
.
Anksčiau mes nustatėme, kad ši lygtis yra bendruose skirtumuose. Paverskime jį:
(P1) .
Lygtį išsprendžiame nuosekliai išskirdami diferencialą.
;
;
;
;
.
Integruoti per y iš y (P1):
;
.
Sėkmingos integracijos metodas
Šiuo metodu ieškome funkcijos U (x, y), tenkinančios lygtis:
(3)
;
(4)
.
Integruokime lygtį (3)
x, atsižvelgiant į y konstantą:
.
Čia φ (y)- savavališka y funkcija, kurią reikia nustatyti. Tai integracijos konstanta. Pakeisti į lygtį (4)
:
.
Iš čia:
.
Integruodami randame φ (y) taigi, U (x, y).
2 pavyzdys
Išspręskite lygtį suminiais diferencialais:
.
Anksčiau mes nustatėme, kad ši lygtis yra bendruose skirtumuose. Įveskime tokį užrašą:
,
.
Ieškau pareigos U (x, y), kurio diferencialas yra kairioji lygties pusė:
.
Tada:
(3)
;
(4)
.
Integruokime lygtį (3)
x, atsižvelgiant į y konstantą:
(P2)
.
Atskirkite y atžvilgiu:
.
Pakeiskime (4)
:
;
.
Integruokime:
.
Pakeiskime (P2):
.
Bendrasis lygties integralas:
U (x, y) = konst.
Sujungiame dvi konstantas į vieną.
Integravimo išilgai kreivės metodas
Funkcija U, apibrėžta santykiu:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
galima rasti integruojant šią lygtį išilgai taškus jungiančios kreivės Formulėje Ir (x, y):
(7)
.
Nes
(8)
,
tada integralas priklauso tik nuo pradinės koordinačių Formulėje ir galutinis (x, y) taškų ir nepriklauso nuo kreivės formos. Iš (7)
Ir (8)
mes randame:
(9)
.
Čia x 0
ir y 0
- nuolatinis. Todėl U Formulėje- taip pat pastovus.
Tokio U apibrėžimo pavyzdys buvo gautas įrodyme:
(6)
.
Čia pirmiausia integruojama išilgai atkarpos, lygiagrečios y ašiai nuo taško (x 0, y 0) iki taško (x 0, y). Tada integravimas atliekamas išilgai atkarpos, lygiagrečios x ašiai nuo taško (x 0, y) iki taško (x, y) .
Apskritai, jūs turite pavaizduoti kreivės, jungiančios taškus, lygtį (x 0, y 0) Ir (x, y) parametrine forma:
x 1 = s(t 1); y 1 = r(t 1);
x 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
ir integruoti per t 1
nuo t 0
prie t.
Lengviausias būdas integruoti yra per segmentą, jungiantį taškus (x 0, y 0) Ir (x, y). Tokiu atveju:
x 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0
; t = 1
;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Po pakeitimo gauname integralą virš t of 0
prieš 1
.
Tačiau šis metodas lemia gana sudėtingus skaičiavimus.
Nuorodos:
V.V. Stepanovas, Diferencialinių lygčių kursas, „LKI“, 2015 m.
Apibrėžimas 8.4. Formos diferencialinė lygtis
Kur 
vadinama visumine diferencialine lygtimi.
Atkreipkite dėmesį, kad kairioji tokios lygties pusė yra bendras tam tikros funkcijos skirtumas 
.
Apskritai (8.4) lygtis gali būti pavaizduota kaip
Vietoj (8.5) lygties galime nagrinėti lygtį
,
kurio sprendinys yra (8.4) lygties bendrasis integralas. Taigi, norint išspręsti (8.4) lygtį, reikia rasti funkciją 
. Pagal (8.4) lygties apibrėžimą turime
(8.6)
Funkcija 
ieškosime funkcijos, atitinkančios vieną iš šių sąlygų (8.6):
Kur 
- savavališka funkcija, nepriklausoma nuo 
.
Funkcija 
apibrėžiamas taip, kad būtų įvykdyta antroji išraiškos (8.6) sąlyga
(8.7)
Iš išraiškos (8.7) nustatoma funkcija 
. Pakeičiant jį išraiška už 
ir gauti bendrąjį pradinės lygties integralą.
8.3 problema. Integruoti lygtį
Čia 
.
Todėl ši lygtis priklauso diferencialinių lygčių tipui bendruose diferencialuose. Funkcija 
ieškosime jo formoje
.
Kitoje pusėje,
.
Kai kuriais atvejais būklė 
gali būti neįvykdytas.
Tada tokios lygtys redukuojamos iki nagrinėjamo tipo, padauginus iš vadinamojo integravimo koeficiento, kuris paprastai yra tik funkcija 
arba 
.
Jei kuri nors lygtis turi integruojantį koeficientą, kuris priklauso tik nuo 
, tada jis nustatomas pagal formulę
kur yra santykis 
turėtų būti tik funkcija 
.
Panašiai integruojantis veiksnys priklauso tik nuo 
, nustatoma pagal formulę
kur yra santykis 
turėtų būti tik funkcija 
.
Pirmuoju atveju kintamojo nebuvimas duotuose santykiuose 
, o antroje – kintamasis 
, yra tam tikros lygties integravimo veiksnio egzistavimo ženklas.
8.4 problema. Sumažinkite šią lygtį iki visų skirtumų lygties.
.
Apsvarstykite santykį:
.
8.2 tema. Tiesinės diferencialinės lygtys
Apibrėžimas 8.5. Diferencialinė lygtis 
vadinamas tiesiniu, jei jis yra tiesinis norimos funkcijos atžvilgiu 
, jo vedinys 
ir jame nėra norimos funkcijos ir jos išvestinės sandaugos.
Bendroji tiesinės diferencialinės lygties forma pavaizduota tokiu ryšiu:
(8.8)
Jei santykyje (8.8) dešinioji pusė 
, tada tokia lygtis vadinama tiesine vienalyte. Tuo atveju, kai dešinėje pusėje 
, tada tokia lygtis vadinama tiesine nehomogeniška.
Parodykime, kad (8.8) lygtis gali būti integruota kvadratais.
Pirmajame etape nagrinėjame tiesinę homogeninę lygtį.
Tokia lygtis yra lygtis su atskiriamais kintamaisiais. tikrai,
;
/
Paskutinis ryšys nustato tiesinės vienalytės lygties bendrąjį sprendimą.
Norint rasti bendrą tiesinės nehomogeninės lygties sprendimą, naudojamas konstantos išvestinės keitimo metodas. Metodo idėja yra ta, kad bendras tiesinės nehomogeninės lygties sprendinys yra tokios pat formos kaip ir atitinkamos homogeninės lygties sprendimas, bet savavališka konstanta 
pakeista kokia nors funkcija 
turi būti nustatyta. Taigi mes turime:
(8.9)
Į santykį (8.8) pakeičiant atitinkamas išraiškas 
Ir 
, mes gauname
Paskutinę išraišką pakeitę santykiu (8.9), gauname tiesinės nehomogeninės lygties bendrąjį integralą.
Taigi tiesinės nehomogeninės lygties bendrąjį sprendimą lemia dvi kvadratūros: tiesinės vienalytės lygties bendrasis sprendinys ir tiesinės nevienalytės lygties specialusis sprendinys.
8.5 problema. Integruoti lygtį 
Taigi pradinė lygtis priklauso tiesinių nehomogeninių diferencialinių lygčių tipui.
Pirmajame etape rasime bendrą tiesinės homogeninės lygties sprendimą.
;
Antrame etape nustatome bendrą tiesinės nehomogeninės lygties sprendinį, kuris randamas formoje
,
Kur 
- funkcija turi būti nustatyta.
Taigi mes turime:
Santykių pakeitimas 
Ir 
į pradinę tiesinę nehomogeninę lygtį gauname:
;
;
.
Bendrasis tiesinės nehomogeninės lygties sprendimas bus toks:
.
Standartinė forma $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, kurioje kairioji pusė yra suminis kokios nors funkcijos $F skirtumas \left(x,y\right)$ vadinama visa diferencialine lygtimi.
Visų diferencialų lygtis visada gali būti perrašyta kaip $dF\left(x,y\right)=0$, kur $F\left(x,y\right)$ yra tokia funkcija, kad $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.
Integruokime abi lygties puses $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; nulinės dešinės pusės integralas lygus savavališkai konstantai $C$. Taigi bendras šios lygties sprendimas numanoma forma yra $F\left(x,y\right)=C$.
Kad duotoji diferencialinė lygtis būtų lygtis visuminiuose diferencialuose, būtina ir pakanka, kad sąlyga $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ būti patenkintam. Jei nurodyta sąlyga įvykdyta, tada yra funkcija $F\left(x,y\right)$, kuriai galime parašyti: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, iš kurio gauname du ryšius : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ ir $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) )$.
Integruojame pirmąjį santykį $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ per $x$ ir gauname $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, kur $U\left(y\right)$ yra savavališka $y$ funkcija.
Pažymime taip, kad antrasis ryšys $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ būtų patenkintas. Norėdami tai padaryti, išskiriame gautą $F\left(x,y\right)$ santykį su $y$ ir prilyginame rezultatą $Q\left(x,y\right)$. Gauname: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left (x,y\dešinė)$.
Tolesnis sprendimas yra:
- iš paskutinės lygybės randame $U"\left(y\right)$;
- integruoti $U"\left(y\right)$ ir rasti $U\left(y\right)$;
- pakeiskite $U\left(y\right)$ į lygybę $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ ir galiausiai gauname funkciją $F\left(x,y\right)$.
Mes randame skirtumą:
Integruojame $U"\left(y\right)$ virš $y$ ir randame $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.
Raskite rezultatą: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.
Bendrąjį sprendimą rašome forma $F\left(x,y\right)=C$, būtent:
Raskite konkretų sprendimą $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, kur $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 USD:
Dalinis sprendimas turi tokią formą: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.
