Įrodykime dvi teoremas, kurios nustato ryšį tarp. Teoremos, nustatančios ryšį tarp lygiagretumo Teoremos, nustatančios ryšį tarp tiesių lygiagretumo ir

Pamokos tikslai:

1) įtvirtinti teorinius klausimus tema „Tiesės ir plokštumos statmena“;

2) ugdyti įgūdžius sprendžiant pagrindinius uždavinius, susijusius su tiesės ir plokštumos statmenumu.

Pamokos eiga

I. Organizacinis momentas

Pateikite temą ir pamokos planą.

II. Mokinių žinių atnaujinimas

1) Teorinė apklausa.

Suformuluokite ir įrodykite teoremą apie tiesę, statmeną plokštumai (vienas iš mokinių ruošiasi prie lentos, tada su visa klase klausosi jo atsakymo).

2) Individualios rašto užduotys:

Įrodykite teoremą apie dviejų lygiagrečių tiesių statmeną trečdaliui (1 mokinys);

Įrodyti teoremą, nustatančią tiesių lygiagretumo ir jų statmenumo plokštumai ryšį (1 mokinys);

Įrodyti atvirkštinę teoremą, nustatančią ryšį tarp tiesių lygiagretumo ir jų statmenumo plokštumai (1 mokinys);

Įrodykite tiesės ir plokštumos statmenumo ženklą (1 mokinys).

3) Savarankiškas problemų sprendimas naudojant paruoštus brėžinius, po kurio prireikus atliekamas patikrinimas ir aptarimas.

I lygis: Nr. 1, 2, 5.

II lygis: Nr. 3, 4, 6.

Taškas M yra už ABC plokštumos.

1. pav. 1. Įrodykite: tiesė AC yra statmena plokštumai AMB.

2. pav. 2. BMDC – stačiakampis. Įrodykite: linija CD yra statmena plokštumai ABC.

3. pav. 3. ABCD – stačiakampis. Įrodykite: AD ⊥ AM.

1-6 uždavinių sprendimas.

4. pav. 4. Įrodykite: BC ⊥ DE.

5. pav. 5. ABCD yra lygiagretainis. Įrodykite: tiesė MO yra statmena plokštumai ABC.

6. pav. 6. ABCD – rombas. Įrodykite: tiesė BD yra statmena plokštumai AMC.

Įrodymas:

AC ⊥ AB (pagal būklę), AC ⊥ AM (pagal būklę),

Įrodymas:

Kadangi BMDC yra stačiakampis, tada ∠MBC = 90°, o tai reiškia

MB ⊥ (ABC) (pagal tiesės ir plokštumos statmenumą).

MB || DC (pagal stačiakampio kraštinių savybes). Vadinasi, DC ⊥ (ABC) (pagal teoremą apie ryšį tarp tiesių lygiagretumo ir jų statmenumo plokštumai).

Įrodymas:

1) Kadangi ABCD yra stačiakampis, tada ∠ABC = 90°, o tai reiškia BC ⊥ AB, AB ⊂ (ABM)

BC ⊥ (AMB) (remiantis tiesės ir plokštumos statmenu).

2) BC || AD (pagal stačiakampio kraštinių savybes). Vadinasi, AD ⊥ (AMB) (pagal teoremą apie ryšį tarp tiesių lygiagretumo ir jų statmenumo plokštumai).

3) AD ⊥ AM (pagal plokštumai statmenos tiesės apibrėžimą).

Nr. 4 (7 pav.)

Įrodymas: Kadangi ΔСМВ yra lygiašonis (pagal sąlygą), o MD yra aukštis, tai MD yra mediana (pagal lygiašonio trikampio aukščio savybę).

Tai reiškia, kad CD = BD (pagal medianos apibrėžimą).

1) Kadangi ΔABC yra lygiašonis trikampis (pagal sąlygą), o AD yra mediana (pagal apibrėžimą), tai AD yra aukštis (pagal lygiašonio trikampio medianos savybę). Tai reiškia, kad pr. Kr. ⊥ Kr.

2) BC ⊥ (AMD) (remiantis tiesės ir plokštumos statmenu).

3) BC ⊥ DE (pagal plokštumai statmenos tiesės apibrėžimą).

Įrodymas:

1) AC ∩ BD = O; AO = OS, VO = OD (pagal lygiagretainio įstrižainių savybę).

2) ΔBMD yra lygiašonis (pagal sąlygą), o MO yra mediana (pagal apibrėžimą), o tai reiškia, kad MO yra aukštis (pagal lygiašonio trikampio medianos savybę).

Todėl MO ⊥ BD.

3) ΔAMC: MO ⊥ AC (įrodyta panašiai kaip 2 punkte).

4) MO ⊥ (ABC) (remiantis tiesės ir plokštumos statmenu).

Nr. 6 (8 pav.)

Įrodymas: AC ⊥ BD ir AO = OS, VO = OD (pagal rombo įstrižainių savybę). ΔBMD yra lygiašonis (pagal sąlygą), o MO yra mediana (pagal apibrėžimą), o tai reiškia, kad MO yra aukštis (pagal lygiašonio trikampio medianos savybę).

Todėl MO ⊥ BD.

(remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu).

III. Problemų sprendimas

Uždavinio Nr.130 (išsamus sprendimas vadovėlyje), Nr.134 (su mokytojo pagalba) sprendimas raštu ant lentos ir sąsiuviniuose, pakvieskite prie lentos stiprų mokinį.

(Prieš pradėdami spręsti problemą, pakartokite sąvokas: atstumas tarp dviejų taškų ir atstumas nuo taško iki tiesės. Suformuluokite šių sąvokų apibrėžimus.)

Duota: ABCD - kvadratas; MB – tiesus (9 pav.).

Raskite: a) MA, MD, MS; b) ρ (M; AC), ρ (M; BD).

1) AB = BC = CD = AD = n (pagal kvadrato kraštinių savybes).

2) ΔАВМ ir ΔСВМ yra stačiakampiai, nes ∠MBA = ∠МВС = 90°.

Pagal Pitagoro teoremą: Mes gauname,

3) Kadangi BD yra kvadrato įstrižainė, tai

4) Kadangi ∠MBA = ∠MBC = 90°, tada

MB ⊥ (ABC) (pagal tiesės ir plokštumos statmenumą). Tai reiškia MB ⊥ BD, BD ⊂ (ABC) (pagal plokštumai statmenos tiesės apibrėžimą).

5) ΔMBD – stačiakampis (kadangi MB ⊥ BD, tada ∠MBD = 90°). Pagal Pitagoro teoremą:

6) ρ (M; BD) = MB (pagal atstumo nuo taško iki linijos apibrėžimą). Tai reiškia, kad ρ (M; BD) = m.

7) AO = OS, VO = OD (pagal kvadrato įstrižainių savybę). Nes tada ΔAMC yra lygiašonis (pagal apibrėžimą), o MO yra mediana (pagal apibrėžimą), o tai reiškia, kad MO yra aukštis (pagal lygiašonio trikampio, nubrėžto į jo pagrindą, medianos savybę). Todėl MO ⊥ AC.

Teoremos, nustatančios ryšį tarp tiesių lygiagretumo ir jų statmenumo plokštumai. 2 teorema: Jei dvi tiesės yra statmenos plokštumai, tai jos lygiagrečios viena kitai. 1 tema: Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena plokštumai, tai kita tiesė yra statmena šiai plokštumai.

Archyvo su pristatymu dydis yra 415 KB.

kitų pristatymų santrauka

"Simetrijos pavyzdžiai gamtoje" - Simetrija geologijoje. Cilindro simetrija. Simetrija biologijoje. Simetrijos rūšys. Simetrija geografijoje. Simetrinio pasiskirstymo pavyzdžiai. Simetrija gamtoje. Kas yra simetrija. Diskreti simetrija. Žmonės, daugelis gyvūnų ir augalų turi dvišalę simetriją. Gamtos objektai. Simetrija yra pagrindinė gamtos savybė. Išorinės kristalo formos simetrija. Simetrija fizikoje.

„Pjūvių konstravimo užduotys“ - Tetraedras. Šonkaulių vidurys. Taškai. Taškas. Sekcijos statyba. Gretasienio atkarpa. Lygis. Meniu. Lygiagretainio pjūvis plokštuma. Pjūvio plotas. Sukurkite tetraedro skerspjūvį. Raskite linijos susikirtimo tašką. Kubo atkarpa. Kubas Tetraedro pjūvis. Taškiniai duomenys. Daugiakampis. Reikalingas skyrius. Vidurys. Sukurkite kubo atkarpą naudodami plokštumą.

„Stereometrijos aksiomų išvados“ - Sukurkite kubo vaizdą. Diktantas. Savarankiškas darbas. Nurodykite teoremą. Raskite plokštumų susikirtimo liniją. Stereometrijos aksiomos ir paprasčiausios jų pasekmės. Skaidrės ant geometrijos. Paaiškinkite savo atsakymą. Skirtingi lėktuvai. Kiek veidų praeina per vieną, du, tris, keturis taškus. Lėktuvo egzistavimas. Tiesės ir plokštumos sankirta. Pavadinkite šių plokštumų susikirtimo liniją. Tiesios linijos, susikertančios taške.

„Pagrindinės stereometrijos aksiomos“ - senovės kinų patarlė. Geometriniai kūnai. Stereometrijos dalykas. Geometrija. Keturi lygiakraščiai trikampiai. Išvados iš aksiomų. Cheopso piramidė. Tiesios linijos taškai yra plokštumoje. Pagrindinės figūros erdvėje. Lėktuvas. Pirmosios stereometrijos pamokos. Stereometrijos aksiomų išvados. Aksioma. Lėktuvai turi bendrą tašką. Šaltiniai ir nuorodos. Erdvinių figūrų vaizdai. Stereometrijos aksiomos.

„Lygiagretainis“ – tetraedras gali būti įrašytas į gretasienį. Stačiakampio gretasienio tūrio formulės išvedimas. Linijos atkarpa, jungianti dvi viršūnes. Priešingos gretasienio formos yra lygiagrečios ir lygios. Bet koks gretasienis. Taip atrodo gretasienis išvyniotas. Stačiakampio gretasienio paviršiaus plotas. Stačiakampis gretasienis. "Zalcburgo lygiagrečiai". Gretasienis yra simetriškas apie savo įstrižainės vidurį.

Šis skyrius skirtas ryšiams tarp lygiagretumo ir tiesių bei plokštumų statmenumo nustatyti, plačiai naudojami geometrijoje ir jos taikymuose.

Apie ryšių egzistavimą tarp paralelizmo ir

Statmenumą erdvėje rodo mūsų patirtis. Iš tiesų, vertikaliai sumontuoti stulpai yra lygiagrečiai vienas kitam (394 pav.); vertikaliai nukreipti ledo varvekliai yra lygiagreti (395 pav.), vertikaliai

statinius puošiančios kolonos (396 pav.) ir kt.

Panašių jungčių planimetrijoje turinys yra gerai žinomas: du statmenai vienai tiesei yra lygiagretūs vienas kitam, ir atvirkščiai, tiesė, statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, taip pat yra statmena antrajai. Tačiau tiesių linijų erdvėje atveju šie teiginiai ne visada teisingi (pabandykite patys pateikti atitinkamų pavyzdžių). Tuo pačiu galima tirti situacijas, susijusias su tiesių ir plokštumų lygiagretumu ir statmenumu erdvėje.

Išsamiau panagrinėkime tiesių lygiagretumo ir jų plokštumos statmenumo ryšį. Šie ryšiai atspindi ryšius tarp realių objektų, kuriuos naudojame.

1 teorema (apie dvi lygiagrečias tieses, iš kurių viena statmena plokštumai).

Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena plokštumai, tai antroji tiesė yra statmena šiai plokštumai.

Aukščiau pateikta teorema yra tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas, tai yra, ji naudojama tiesės ir plokštumos statmenumui nustatyti. Jis plačiai naudojamas ne tik geometrijoje, bet ir praktinėje veikloje. Pastatų sienų statyba su

svambalo linijos naudojimas yra aiškus šio statmenumo tiesei ir plokštumai ženklo naudojimo pavyzdys. Iš tiesų, svambalo linijos sriegis yra vertikaliai, o jei konstrukcijos kraštas yra lygiagretus sriegiui, tada jis yra ir vertikalus (398 pav.).

Svarstant 1 teoremą natūraliai kyla klausimas: ar dvi tai pačiai plokštumai statmenos tiesės bus lygiagrečios? Atsakymą į tai mums siūlo patirtis (du vertikaliai sumontuoti stulpai yra lygiagrečiai!), ir tai patvirtina ši teorema, priešingai nei 1 teorema.

2 teorema (apie plokštumai statmenų tiesių lygiagretumą).

Jei dvi tiesės yra statmenos tai pačiai plokštumai, tada jos yra lygiagrečios.

Aukščiau pateikta teorema taip pat yra ženklas. Su jo pagalba nustatomas erdvinių struktūrų linijų lygiagretumas. Juk vertikalumas arba statmenumas

Ryšys tarp lygiagretumo ir tiesių bei plokštumų statmenumo 391

plokštumas kartais lengviau patikrinti (ypač ant didelių gabaritų objektų) nei lygiagretumą. Kalbame, pavyzdžiui, apie skersinių sijų vietą statant pastato perdangą, atpažįstant tiesių linijų lygiagretumą geometrinėse konfigūracijose ir kt.

Geometrijoje ir jos pritaikymuose ne mažiau svarbūs yra jungtys tarp plokštumų lygiagretumo ir jų statmenumo tiesei. Mes kalbame apie dvi plokštumas ir vieną tiesę. Jei dvi plokštumos yra lygiagrečios, o viena iš jų yra statmena tiesei, tai kaip antroji plokštuma bus išdėstyta šios tiesės atžvilgiu? Kaip yra dvi plokštumos, jei jos abi yra statmenos?

ar mes tiesioginiai? Praktinė patirtis taip pat mums pateikia atsakymus į šiuos klausimus. Jei įkalsite vinį į lentą statmenai vienai lentos pusei, tai ji bus statmena priešingai (399 pav.). Jeigu ant aširačio ašies iš abiejų pusių sumontuoti ratai taip, kad jų plokštumos būtų statmenos ašiai, tai šių ratų plokštumos bus lygiagrečios (400 pav.).

Suformuluokime du tarpusavyje atvirkštinius teiginius, atspindinčius ryšį tarp plokštumų lygiagretumo ir jų statmenumo tiesei.

3 teorema (apie lygiagrečias plokštumas, iš kurių viena yra statmena tiesei).

Jei viena iš dviejų lygiagrečių plokštumų yra statmena tiesei, tai antroji plokštuma yra statmena tai pačiai tiesei.

4 teorema (apie dvi tiesei statmenas plokštumas).

Jei dvi plokštumos yra statmenos vienai tiesei, tada jos yra lygiagrečios.

Dėmesį patraukia dviejų pirmiau minėtų teoremų porų panašumas. Kiekvieną iš jų galima suformuluoti pakeičiant terminą „tiesi linija“ į „plokštuma“ ir atvirkščiai.

3 ir 4 teoremos taip pat yra ženklai.

392 Tiesių ir plokštumų statmenumas

Tiesės ir plokštumos statmenumo ženklą (3 teorema) iliustruoja atraminių kolonų vieta grindų ir lubų atžvilgiu. Jei lubų ir grindų plokštumos lygiagrečios, tai pakanka pastatyti koloną statmenai grindims, kuri

jei jis būtų statmenas luboms

4 teorema išreikštos savybės praktinę vertę iliustruoja gelžbetoninės stačiakampės plokštės transportavimas horizontalioje padėtyje kranu. Tam mes naudojame

naudojami keturi vienodi kabeliai, kurių galai pritvirtinti taškuose A 1, A 2, A 3, A 4

plokštėmis ir su kabliu taške S (402 pav.). Autorius

Kadangi plokštė kabo laisvai, kabelis, ant kurio pritvirtintas kabliukas, yra statmenas žemės paviršiui ir yra tiesioje linijoje, einančioje per plokštės masės centrą (vienalyčiai plokštei). Jei neatsižvelgsime į plokštės storį, tada jos centras yra stačiakampio A 1 A 2 A 3 A 4 įstrižainių sankirtoje. Kadangi SA 1 = SA 2 = SA 3 = SA 4, tai tiesi linija, jungianti tašką S su įstrižainių susikirtimo tašku, yra statmena plokštės plokštumai (1 uždavinys §18). Todėl pagal 4 teoremą plokštė yra horizontaliai.

Pateikti pavyzdžiai neišsemia nagrinėjamų savybių pritaikymo įvairovės sprendžiant praktines problemas. Šios savybės taip pat svarbios tolesniam geometrinių žinių gilinimui.

Ryšys tarp lygiagretumo ir tiesių bei plokštumų statmenumo 393

1 pavyzdys. Iš kvadrato ABCD viršūnės A nubrėžiama atkarpa AM statmena plokštumai ABC. Sukurti:

1) plokštuma, einanti per tašką M, statmena tiesei AC;

2) tiesė, einanti per atkarpos MC vidurį statmenai plokštumai ABC.

 Pavaizduokime pavyzdinę sąlygą pav. 404, a.

1) Apsvarstykite MAS plokštumą. Pagal sąlygą tiesė MA yra statmena tiesei AC. Norint sukonstruoti norimą plokštumą, pakanka per tašką A nubrėžti kitą tiesę, statmeną tiesei AC. Kadangi tiesė BD yra statmena tiesei AC, norima tiesė turi būti lygiagreti tiesei BD.

Statyba. Per tašką A brėžiame tiesę AK, lygiagrečią tiesei BD (404 pav., b). Jis yra statmenas tiesei AC. Plokštuma MAK yra statmena tiesei AC, pagal tiesės ir plokštumos statmenumo ženklą (1 teorema § 18).

2) Tegu N yra atkarpos MC vidurys (405 pav., a). Norima tiesė lygiagreti tiesei MA, plokštumai statmenų tiesių lygiagretumo teorema (2 teorema). Tai būtina sąlyga.

To pakanka, pagal teoremą apie dvi lygiagrečias tieses, kurių viena yra statmena plokštumai (1 teorema).

Statyba. Per tašką N brėžiame tiesę, lygiagrečią tiesei MA (405 pav., b). Jo susikirtimo taškas O su kvadrato plokštuma yra kvadrato centras, nes tiesė NO yra plokštumoje MAC ir eina per atkarpos AC vidurį (pagal Thaleso teoremą). ■

Panagrinėkime aukščiau pateiktų teoremų apie tiesių ir plokštumų lygiagretumo ir statmenumo sąsajų įrodymą. Nurodytas ryšys tarp dviejų teoremų porų ir tarpusavyje poromis

leidžia tikėtis, kad vienos iš teoremų įrodymas palengvins kitų teoremų įrodymą. Pradėkime nuo 1 teoremos. Parašykime ją ženklo-simbolio forma.

1 teorema. Duota: a 1 || a 2, a 1 α.

Įrodykite: a 2 α .

 Norėdami įrodyti teoremą, naudosime per-

tiesės ir plokštumos statmena.

O 1 pažymėkime tiesės a 1 ir plokštumos α susikirtimo tašką. Pagal teoremą apie plokštumos susikirtimą lygiagrečiomis tiesėmis (6 teoremos § 8), tiesė a 2, lygiagreti tiesei a 1, taip pat kerta plokštumą α tam tikrame taške O 2 (406 pav., a).

Tiesėse a 1 ir a 2 paimkite taškus A 1 ir A 2 vienoje plokštumos α pusėje, kad atkarpos O 1 A 1 ir O 2 A 2 būtų lygios. Keturkampis O 1 A 1 A 2 O 2 (406 pav., b) yra lygiagretainis, nes O 1 A 1 || O 2 A 2, O 1 A 1 = O 2 A 2. Panašiai sukuriame lygiagretainį O 1 B 1 B 2 O 2 savavališkai krypčiai α plokštumoje. Norėdami tai padaryti, per taškus O 1 ir O 2 plokštumoje α nubrėžiame savavališkas lygiagrečias linijas, ant kurių pasirenkame taškus B 1 ir B 2 taip pat, kaip pasirenkant taškus A 1 ir A 2 (406 pav., c). ).

Tiesių ir plokštumų lygiagretumo ir statmenumo ryšys 395

Iš aukščiau pateiktų konstrukcijų išplaukia, kad keturkampis A 1 B 1 B 2 A 2 yra lygiagretainis. Iš tiesų, atkarpos A 1 A 2 ir B 1 B 2 yra lygiagrečios ir lygios pagal tiesių lygiagretumo ir ilgių lygybės santykių tranzityvumo savybes.

(A 1A 2 || O 1O 2, O 1O 2 || B 1B 2, A 1A 2 = O 1O 2, O 1O 2 = B 1B 2).

Dabar apsvarstykite trikampius A 1 O 1 B 1 ir A 2 O 2 B 2. Jie lygūs trims kraštinėms: A 1 O 1 = A 2 O 2, O 1 B 1 = O 2 B 2 pagal konstrukciją, A 1 B 1 = A 2 B 2 kaip priešingos lygiagretainio kraštinės. Todėl atitinkami šių trikampių kampai yra lygūs, visų pirma, A 1 O 1 B 1 = A 2 O 2 B 2. Bet kampas A 1 O 1 B 1 pagal sąlygą yra tiesus. Todėl kampas A 2 O 2 B 2 taip pat bus tiesus. Ir tai reiškia, kad tiesė a 2 yra statmena kiekvienai plokštumos α tiesei, einančiai per tašką O 2. Pagal apibrėžimą jis yra statmenas α plokštumai. ■

2 teorema. Duota: a 1 α, a 2 α.

Įrodykite: a 1 || a 2.

 Tegul tiesės a 1 ir a 2 yra statmenos plokštumai α, O 1, O 2 - jų susikirtimo su plokštuma α taškai (407 pav., a). Per tašką O 2 brėžiame tiesę b, lygiagrečią tiesei a 1 (407 pav., b). Pagal 1 teoremą b α. Jei tiesė b nesutampa su tiese a 2, tai per jas galima nubrėžti plokštumą β, kertančią plokštumą α išilgai tiesės c (407 pav., c). Tiesės a 2 ir b yra statmenos tiesei c pagal tiesės ir plokštumos statmenumą. Tačiau plokštumoje per tam tikrą tašką galima nubrėžti tik vieną tiesę, statmeną nurodytai tiesei. Gautas prieštaravimas reiškia, kad tiesės a 2 ir b sutampa, tai yra, a 1 ||a 2. ■

3 ir 4 teoremų įrodymas vykdomas pagal tą pačią schemą, kaip ir atitinkamai 1 ir 2 teoremų įrodymas. Padarykite tai patys, vadovaudamiesi instrukcijomis, pateiktomis po 3 ir 4 teoremų teiginiais.

Stereometrijai ir jos taikymams skirtų teoremų svarbą, kaip jau minėta, lemia tai, kad kiekviena iš jų yra ženklas: pirmasis ir trečiasis yra tiesės ir plokštumos statmenumo ženklai, antrasis yra tiesių lygiagretumas, ketvirtasis yra plokštumų lygiagretumo ženklas. Tai išplečia mūsų galimybes tiriant tiesių ir plokštumų santykines padėtis bei atliekant konstrukcijas.

1 uždavinio rezultato apibendrinimas yra tokia teorema.

5 teorema (apie tiesę, statmeną duotai plokštumai).

Per savavališką erdvės tašką eina tiesė, statmena nurodytai plokštumai, ir, be to, tik viena.

 Pirmoji teoremos dalis apie tokios tiesės egzistavimą yra pagrįsta sprendžiant uždavinį

1. Norėdami įrodyti tokios linijos unikalumą, manykime, kad yra priešingai, būtent:

per kurį nors tašką A eina dvi skirtingos tiesės a 1 ir a 2, statmenos plokštumai α (408 pav.). Pagal 2 teoremą jie yra lygiagretūs, tai yra, neturi bendrų taškų.

Šis prieštaravimas patvirtina teiginį. ■

Ankstesnės dalies 2 uždavinio rezultatas turi panašų apibendrinimą.

6 teorema (apie duotai tiesei statmeną plokštumą).

Per bet kurį erdvės tašką eina plokštuma, statmena nurodytai tiesei, ir, be to, tik viena.

 Tokios plokštumos buvimas pateisinamas sprendžiant ankstesnės pastraipos 3 uždavinį. Belieka įrodyti plokštumos, atitinkančios teoremos sąlygas, unikalumą. Kaip įprasta tokiais atvejais, tarkime priešingai, būtent: per duotą

Lygiagretumo ir tiesių bei plokštumų statmenumo ryšys 397

Per šį tašką A, statmeną tiesei a, eina dvi skirtingos plokštumos α1 ir α2 (409 pav.). Pagal 4 teoremą jie yra lygiagretūs. Tačiau šios plokštumos turi bendrą tašką A. Atsiradęs prieštaravimas patvirtina teiginį. ■

2 pavyzdys. Iš kvadrato ABCD viršūnės A brėžiama tiesė, statmena kvadrato plokštumai, ir joje paimamas taškas S. Sukurti:

1) tiesė, einanti per kvadrato centrą O, statmeną jo plokštumai;

2) plokštuma, einanti per jai statmenos atkarpos AS vidurį P;

3) plokštuma, einanti per tašką A, statmena tiesei BD;

4) tiesė, einanti per tašką A, statmena plokštumai SBD.

 1) Pagal sąlygą tiesė AS yra statmena kvadrato plokštumai. Bet kuri kita tiesė, statmena šiai plokštumai, pagal 2 teoremą bus lygiagreti tiesei AS, tai yra, tiesės AS lygiagretumas yra būtina norimos tiesios plokštumos statmenumo sąlyga. Tai taip pat yra pakankama sąlyga pagal 1 teoremą.

Statyba. Per tašką O brėžiame tiesę OE, lygiagrečią tiesei AS (410 pav.). Tiesė OE yra statmena kvadrato plokštumai pagal dviejų eilių teoremą

lygiagrečios tiesės, iš kurių viena yra statmena plokštumai.

2) Pagal sąlygą tiesė AS yra statmena -

lėktuve ABCD. Bet kuri kita plokštuma, statmena tiesei AS, pagal 4 teoremą bus lygiagreti plokštumai ABCD. Norimos plokštumos lygiagretumas plokštumai ABCD pagal 3 teoremą yra pakankama sąlyga.

Statyba. Per tašką P nubrėžkime plokštumą, lygiagrečią plokštumai ABCD.

Norėdami tai padaryti, nubrėžkite tiesias linijas per tašką P

PK ir PL, lygiagrečios atitinkamai tiesėms AD ir AB (411 pav.). PKL lėktuvas

lygiagreti plokštumai ABCD, remiantis plokštumų lygiagretumu, todėl

yra tai, ko mes ieškome.

398 Tiesių ir plokštumų statmenumas

3) Kvadrato įstrižainės yra statmenos, tai yra VO AO (žr. 410 pav.). Todėl tiesi linija AO yra norimoje plokštumoje. Jei per tašką O nubrėžiame kitą tiesę OE, statmeną BO, tai tiesė BO bus statmena plokštumai AOE, remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu (1 teorema §18). Šioje plokštumoje yra taškas A.

Statyba. Per tašką O nubrėžkime tiesę OE, lygiagrečią tiesei AS. Jis bus statmenas plokštumai ABCD (412 pav.). Tiesi linija OE yra statmena

tiesė BO, pagal tiesės ir plokštumos statmenumą. AOE plokštuma yra pageidaujama.

4) Apsvarstykite trikampius ABD ir SBD

(413 pav., a). Jie yra lygiašoniai, nes

AD = AB, pagal sąlygą, o lygybė SB = SD išplaukia iš stačiųjų trikampių ASD ir ASB lygybės. Jų medianos SO ir AO yra aukščiai, todėl tiesė BD yra statmena plokštumai AOS, remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu (1 teorema). Stačiame trikampyje AOS nuo stačiojo kampo viršūnės A nubrėžiame aukštį AE (413 pav., b). Tiesioginis AE yra pageidaujamas. Iš tiesų, plokštumoje SBD nubrėžkime tiesę EF per tašką E lygiagrečiai tiesei BD. Ši tiesė pagal 1 teoremą bus statmena plokštumai AOS. Tai reiškia, kad ji statmena tiesei AE. Pagal tiesės ir plokštumos statmenumo kriterijų (1 teorema § 18) tiesė AE yra statmena plokštumai SBD. ■

Ryšys tarp lygiagretumo ir tiesių bei plokštumų statmenumo 399

9 9 Testo klausimai

1. Ar tiesa, kad dvi tiesės, statmenos tam tikrai plokštumai, yra toje pačioje plokštumoje?

2. Ar gali dvi piramidės šoninės briaunos būti statmenos?- naujos piramidės pagrindo plokštumos?

3. Ar galima nubrėžti tiesią liniją, statmeną dviem sankirtoms?- atgailaujantys lėktuvai?

4. Ar yra ryšys tarp šimto kojų padėties- ar palyginti su jo paviršiumi ir grindimis, ant kurių jis stovi?

5. Ar yra kubo atkarpa plokštuma, statmena tiksliai dviem jo kraštinėms?

6. Ar galima nubrėžti tam pačiam statmeną plokštumą– lygiai dvi kirtimo linijos?

7. Kodėl pavasarį ant stogo kabantys ledo varvekliai gali būti laikomi lygiagrečiais vienas kitam (neatsižvelgiant į jų storį?- Nojus)?

8. Prie lubų yra pritvirtintas kabliukas. Naudojant virves, platformą reikia pakabinti nuo jos taip, kad jos plokštuma būtų- horizontaliai. Kaip tai padaryti?

9. Ar galima nubrėžti tris ryšius per tam tikrą erdvės tašką?– Ar tai statmenos linijos? O kaip keturi?

10. Kiek skirtingų plokštumų nubrėžia keturios vienai plokštumai statmenos tiesės?

Grafiniai pratimai

400 Tiesių ir plokštumų statmena

2. Pav. 415 rodomas taisyklingasis trikampis ABC, O yra jo centras, OS yra

atkarpa, statmena trikampio plokštumai, taškai M, N yra atitinkamai kraštinių AB, BC vidurio taškai. Burna-

Atnaujinkite santykinę padėtį: 1) tiesioji AB ir plokštuma SOC;

2) tiesė MN ir plokštuma SOB;

3) tiesios AC ir MNS plokštumos.

3. Pav. 416 pavaizduotas apskritimas, kurio centras yra O, AB ir CD – jo statmena viena kitai

skersmuo, MB - apskritimo liestinė, gerai, BL - vienodi segmentai,

statmena apskritimo plokštumai. Nustatykite santykinę padėtį:

1) tiesė BL ir plokštuma AOC;

2) tiesė BM ir plokštuma LOK;

3) tiesė BM ir plokštuma COK;

4) tiesė KL ir plokštuma DOK;

5) lėktuvai DOK ir MBL;

6) tiesė BK ir plokštuma CLD.

4. Sukurkite brėžinį pagal pateiktus duomenis.

1) Lėktuvas, einantis per kraštą Taisyklingo tetraedro SABC AB yra statmena briaunai SC.

2) AC statmena plokštuma eina per tašką M, esantį ant taisyklingos keturkampės piramidės SABCD įstrižainės AC.

407. Iš stačiojo kampo viršūnės Iš lygiašonio stačiojo trikampio ABC, statmeno šio trikampio plokštumai, nubrėžiama tiesė ir joje paimamas taškas S. Sukurti:

1°) plokštuma, einanti per tašką S, statmena tiesei AB;

2°) tiesi linija, einanti per atkarpos AS vidurį statmenai plokštumai ABC;

3°) plokštuma, einanti per tašką A, lygiagreti BCS plokštumai;

Ryšys tarp lygiagretumo ir tiesių bei plokštumų statmenumo 401

4) tiesė, einanti per tašką C, statmena plokštumai ABS, jei AC = 2 3 CS.

408. Iš lygiašonio stačiojo trikampio ABC hipotenuzės vidurio taško K nubrėžiama tiesė, statmena šio trikampio plokštumai, ir joje paimamas taškas M.

1°) plokštuma, einanti per tašką M, statmena tiesei AC;

2°) tiesė, einanti per atkarpos AM vidurį statmenai plokštumai ABC;

3°) plokštuma, einanti per tašką A, lygiagreti BCM plokštumai;

4) plokštuma, einanti per tašką K statmena tiesei AM, jei MK = CK.

409. Iš taisyklingo trikampio ABC centro O nubrėžiama tiesė, statmena trikampio plokštumai, ir joje paimamas taškas S.

1°) plokštuma, einanti per tašką O statmena tiesei BC;

2°) tiesi linija, einanti per atkarpos AS vidurį statmenai plokštumai ABC;

3) plokštuma, einanti per atkarpos vidurį AS statmena tiesei OS;

4*) tiesė, einanti per tašką A statmena BCS plokštumai.

410. Duotas kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Sukurti:

1°) tiesi linija, einanti per veido centrą A1 B1 C1 D1 juosta – statmenas priešingam veidui; 2°) plokštuma, einanti per viršūnę O statmuo lygiagretus įstrižai BD;

3) tiesi linija, einanti per veido AA 1 B 1 B centrą statmenai plokštumai BDD 1;

4*) plokštuma, einanti per tašką D, statmena tiesei ВD 1.

411. Tetraedro SABC visi paviršiai yra taisyklingi trikampiai, taškas O yra ABC centras, D yra briaunos BC vidurys, taškas N priklauso briaunai SA.

1°) Nustatykite tiesės SO ir plokštumos ABC santykinę padėtį.

2°) Nustatykite tiesės BC ir plokštumos ASD santykinę padėtį.

3) Nubrėžkite tiesią liniją per tašką N, statmeną veidui ABC.

4*) Sukurkite tetraedro atkarpą su plokštuma, einančia per tašką N, statmeną tiesei OS.

412°. Nuo 7 m aukščio stulpo iki 4 m aukščio pastato reikia ištempti du elektros laidus Kiek reikia turėti, jei atstumas nuo pastato iki stulpo yra 10 m ir reikia pridėti 3 proc. ilgis vielos įstrižai?

413. Vienoje iš stačiakampio viršūnių įrengtas stebėjimo bokštas stačiakampio ploto apsaugai. Atstumai nuo ant bokšto stovinčio stebėtojo iki likusių stačiakampio viršūnių yra a, b, c ir a > b > c. Koks yra bokšto aukštis?

414. Trys lygiagrečios tiesės a, b, c nėra vienoje plokštumoje. Per tašką M, esantį tiesėje a, tiesėms b ir c brėžiami statmenys, atitinkamai jas susikertantys taškuose P ir Q. Įrodykite, kad tiesė PQ yra statmena tiesėms b ir c.

415. Per tašką O, esantį trikampio ABC aukštyje CD, į jo plokštumą nubrėžta statmena OM. Įrodykite, kad plokštuma, einanti per tieses CD ir OM, yra statmena tiesei AB.

416*. Duota plokštuma α ir tiesė a, kuri kerta plokštumą taške M ir nėra statmena α. Įrodykite, kad plokštumoje α per tašką M eina tiesė, statmena tiesei a, ir, be to, tik viena.

417. Tiesėje, statmenoje plokštumai α, paimti du taškai A ir B, kurie nėra plokštumoje α, o du taškai X ir Y – į plokštumą α. Yra žinoma, kad XA > XB. Palyginkite segmentus

YA ir YB.

Ryšys tarp lygiagretumo ir tiesių bei plokštumų statmenumo 403

Pratimai kartoti

418. Įrodykite, kad visos tiesios plokštumos, statmenos duotai tiesei plokštumai, sudaro šią plokštumą.

419. Kaip padalinti atkarpą per pusę naudojant tik šabloną: a) stačiu kampu; b) smailusis kampas?

420. Lygiagretainio kraštinės yra 2 m ir 16 dm; atstumas tarp didžiųjų kraštų 8 dm. Nustatykite atstumą tarp mažesnių kraštų.

Pagrindiniai teiginiai