Kaip rasti mažiausią bendrą dviejų kartotinį. Ką matematikoje reiškia NOC?

Tačiau daugelis natūraliųjų skaičių dalijasi ir iš kitų natūraliųjų skaičių.

Pavyzdžiui:

Skaičius 12 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12;

Skaičius 36 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12, iš 18, iš 36.

Skaičiai, iš kurių skaičius dalijasi iš visumos (12 yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12), vadinami skaičių dalikliai. Natūralaus skaičiaus daliklis a- yra natūralusis skaičius, dalijantis nurodytą skaičių a be pėdsakų. Vadinamas natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du daliklius sudėtinis .

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 12 ir 36 turi bendrų faktorių. Šie skaičiai yra: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Didžiausias šių skaičių daliklis yra 12. Bendras šių dviejų skaičių daliklis a Ir b- tai yra skaičius, iš kurio abu pateikti skaičiai dalijami be liekanos a Ir b.

Bendrieji kartotiniai keli skaičiai yra skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių. Pavyzdžiui, skaičių 9, 18 ir 45 bendras kartotinis yra 180. Tačiau 90 ir 360 taip pat yra jų bendrieji kartotiniai. Tarp visų bendrų kartotinių visada yra mažiausias, šiuo atveju jis yra 90. Šis skaičius vadinamas mažiausiasbendrasis kartotinis (CMM).

LCM visada yra natūralusis skaičius, kuris turi būti didesnis už didžiausią skaičių, kuriam jis yra apibrėžtas.

Mažiausias bendras kartotinis (LCM). Savybės.

Komutatyvumas:

Asociatyvumas:

Visų pirma, jei ir yra pirminiai skaičiai, tada:

Mažiausias bendrasis dviejų sveikųjų skaičių kartotinis m Ir n yra visų kitų bendrųjų kartotinių daliklis m Ir n. Be to, bendrųjų kartotinių rinkinys m, n sutampa su LCM() kartotinių rinkiniu m, n).

Asimptotika gali būti išreikšta kai kuriomis skaičių teorinėmis funkcijomis.

Taigi, Čebyševo funkcija. Ir taip pat:

Tai išplaukia iš Landau funkcijos apibrėžimo ir savybių g(n).

Kas išplaukia iš pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnio.

Mažiausio bendro kartotinio (LCM) radimas.

NOC( a, b) galima apskaičiuoti keliais būdais:

1. Jei žinomas didžiausias bendras daliklis, galite naudoti jo ryšį su LCM:

2. Tegu žinomas abiejų skaičių kanoninis išskaidymas į pirminius veiksnius:

Kur p 1 ,...,p k- įvairūs pirminiai skaičiai ir d 1 ,...,d k Ir e 1 ,...,e k— neneigiami sveikieji skaičiai (jie gali būti nuliai, jei plėtinyje nėra atitinkamo pirminio skaičiaus).

Tada NOC ( a,b) apskaičiuojamas pagal formulę:

Kitaip tariant, LCM išskaidymas apima visus pirminius veiksnius, įtrauktus į bent vieną skaičių skaidymą a, b, ir imamas didžiausias iš dviejų šio daugiklio eksponentų.

Pavyzdys:

Kelių skaičių mažiausiojo bendro kartotinio apskaičiavimas gali būti sumažintas iki kelių nuoseklių dviejų skaičių LCM skaičiavimų:

Taisyklė. Norėdami rasti skaičių serijos LCM, jums reikia:

- išskaidyti skaičius į pirminius veiksnius;

- didžiausią dekompoziciją (didžiausio duotųjų skaičiaus faktorių sandaugą) perkelkite į norimos sandaugos veiksnius, o tada pridėkite veiksnius iš kitų skaičių, kurių nėra pirmame skaičiuje arba jame nėra, skilimo. mažiau kartų;

— gauta pirminių koeficientų sandauga bus duotųjų skaičių LCM.

Bet kurie du ar daugiau natūraliųjų skaičių turi savo LCM. Jei skaičiai nėra vienas kito kartotiniai arba neturi tų pačių plėtimosi faktorių, tai jų LCM yra lygus šių skaičių sandaugai.

Skaičiaus 28 pirminiai koeficientai (2, 2, 7) papildomi koeficientu 3 (skaičiumi 21), gauta sandauga (84) bus mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 21 ir 28.

Didžiausio skaičiaus 30 pirminiai koeficientai papildomi skaičiaus 25 koeficientu 5, gauta sandauga 150 yra didesnė už didžiausią skaičių 30 ir dalijasi iš visų pateiktų skaičių be liekanos. Tai mažiausias įmanomas produktas (150, 250, 300...), kuris yra visų pateiktų skaičių kartotinis.

Skaičiai 2,3,11,37 yra pirminiai skaičiai, todėl jų LCM yra lygus duotųjų skaičių sandaugai.

Taisyklė. Norėdami apskaičiuoti pirminių skaičių LCM, turite padauginti visus šiuos skaičius.

Kitas variantas:

Norėdami rasti mažiausią bendrąjį kelių skaičių kartotinį (LCM), jums reikia:

1) pavaizduokite kiekvieną skaičių kaip jo pirminių veiksnių sandaugą, pavyzdžiui:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) užrašykite visų pirminių veiksnių laipsnius:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) užrašykite visus kiekvieno iš šių skaičių pirminius daliklius (daugiklius);

4) pasirinkti didžiausią kiekvieno iš jų laipsnį, esantį visose šių skaičių plėtiniuose;

5) padauginkite šias galias.

Pavyzdys. Raskite skaičių LCM: 168, 180 ir 3024.

Sprendimas. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Užrašome visų pirminių daliklių didžiausias laipsnius ir padauginame:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Didžiausias bendras daliklis ir mažiausias bendras kartotinis yra pagrindinės aritmetinės sąvokos, kurios palengvina darbą su trupmenomis. LCM ir dažniausiai naudojami kelių trupmenų bendram vardikliui rasti.

Pagrindinės sąvokos

Sveikojo skaičiaus X daliklis yra kitas sveikasis skaičius Y, iš kurio X dalijamas nepaliekant liekanos. Pavyzdžiui, 4 daliklis yra 2, o 36 yra 4, 6, 9. Sveikojo skaičiaus X kartotinis yra skaičius Y, kuris dalijasi iš X be liekanos. Pavyzdžiui, 3 yra 15 kartotinis, o 6 yra 12 kartotinis.

Bet kuriai skaičių porai galime rasti bendrus jų daliklius ir kartotinius. Pavyzdžiui, 6 ir 9 bendras kartotinis yra 18, o bendras daliklis yra 3. Akivaizdu, kad poros gali turėti kelis daliklius ir kartotinius, todėl skaičiuojant naudojamas didžiausias daliklis GCD ir mažiausias kartotinis LCM.

Mažiausias daliklis yra beprasmis, nes bet kuriam skaičiui jis visada yra vienas. Didžiausias kartotinis taip pat yra beprasmis, nes kartotinių seka eina iki begalybės.

Rasti gcd

Yra daug būdų, kaip rasti didžiausią bendrą daliklį, iš kurių žinomiausi yra šie:

nuosekli daliklių paieška, bendrų poros parinkimas ir didžiausio iš jų paieška;
skaičių skaidymas į nedalomus veiksnius;
Euklido algoritmas;
dvejetainis algoritmas.

Šiandien švietimo įstaigose populiariausi metodai yra skaidymas į pirminius veiksnius ir euklido algoritmas. Pastarasis, savo ruožtu, naudojamas sprendžiant diofantines lygtis: reikia ieškoti GCD, kad būtų galima patikrinti lygtį, ar yra sveikųjų skaičių skiriamoji geba.

NOC radimas

Mažiausias bendras kartotinis taip pat nustatomas nuosekliai suskaičiuojant arba suskaidant į nedalomus veiksnius. Be to, nesunku rasti LCM, jei didžiausias daliklis jau nustatytas. Skaičiams X ir Y LCM ir GCD yra susiję tokiu ryšiu:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Pavyzdžiui, jei GCM(15,18) = 3, tada LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Akivaizdžiausias LCM naudojimo pavyzdys yra rasti bendrą vardiklį, kuris yra mažiausias bendras kartotinis duotosios trupmenos.

Kopirminiai skaičiai

Jei skaičių pora neturi bendrų daliklių, tada tokia pora vadinama koprime. Tokių porų gcd visada yra lygus vienetui, o remiantis ryšiu tarp daliklių ir kartotinių, kopirminių porų gcd yra lygus jų sandaugai. Pavyzdžiui, skaičiai 25 ir 28 yra santykinai pirminiai, nes neturi bendrų daliklių, o LCM(25, 28) = 700, o tai atitinka jų sandaugą. Bet kurie du nedalomi skaičiai visada bus santykinai pirminiai.

Bendras daliklis ir daugkartinis skaičiuotuvas

Naudodami mūsų skaičiuotuvą galite apskaičiuoti GCD ir LCM tam tikram skaičių pasirinkimui. Bendrųjų daliklių ir kartotinių skaičiavimo užduotys yra 5 ir 6 klasių aritmetikoje, tačiau GCD ir LCM yra pagrindinės matematikos sąvokos ir naudojamos skaičių teorijoje, planimetrijoje ir komunikacinėje algebroje.

Realaus gyvenimo pavyzdžiai

Bendras trupmenų vardiklis

Mažiausias bendras kartotinis naudojamas ieškant kelių trupmenų bendrąjį vardiklį. Tarkime, aritmetiniame uždavinyje reikia susumuoti 5 trupmenas:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Norint pridėti trupmenas, išraiška turi būti sumažinta iki bendro vardiklio, o tai sumažina iki LCM radimo problemos. Norėdami tai padaryti, skaičiuoklėje pasirinkite 5 skaičius ir atitinkamuose langeliuose įveskite vardiklių reikšmes. Programa apskaičiuos LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Dabar kiekvienai trupmenai reikia apskaičiuoti papildomus koeficientus, kurie apibrėžiami kaip LCM ir vardiklio santykis. Taigi papildomi daugikliai atrodytų taip:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

Po to visas trupmenas padauginame iš atitinkamo papildomo koeficiento ir gauname:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Mes galime lengvai susumuoti tokias trupmenas ir gauti rezultatą kaip 159/360. Sumažiname trupmeną 3 ir matome galutinį atsakymą – 53/120.

Tiesinių diofantinių lygčių sprendimas

Tiesinės diofantinės lygtys yra ax + by = d formos išraiškos. Jei santykis d / gcd(a, b) yra sveikasis skaičius, tai lygtis gali būti išspręsta sveikaisiais skaičiais. Patikrinkime keletą lygčių, kad pamatytume, ar jos turi sveikąjį skaičių. Pirmiausia patikrinkime lygtį 150x + 8y = 37. Naudodami skaičiuotuvą randame GCD (150,8) = 2. Padalinkite 37/2 = 18,5. Skaičius nėra sveikasis skaičius, todėl lygtis neturi sveikųjų skaičių šaknų.

Patikrinkime lygtį 1320x + 1760y = 10120. Skaičiuotuvu raskite GCD(1320, 1760) = 440. Padalykime 10120/440 = 23. Rezultate gauname sveikąjį skaičių, taigi, Diofantinos koeficiento formulė. .

Išvada

GCD ir LCM vaidina didelį vaidmenį skaičių teorijoje, o pačios sąvokos yra plačiai naudojamos įvairiose matematikos srityse. Naudokite mūsų skaičiuotuvą, kad apskaičiuotumėte didžiausius bet kokio skaičių daliklius ir mažiausius kartotinius.

Žemiau pateikta medžiaga yra logiškas teorijos tęsinys iš straipsnio pavadinimu LCM – mažiausias bendras kartotinis, apibrėžimas, pavyzdžiai, ryšys tarp LCM ir GCD. Čia mes kalbėsime apie rasti mažiausią bendrą kartotinį (LCM), o ypač daug dėmesio skirsime pavyzdžių sprendimui. Pirmiausia parodysime, kaip dviejų skaičių LCM apskaičiuojamas naudojant šių skaičių GCD. Toliau panagrinėsime, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį, įtraukdami skaičius į pirminius veiksnius. Po to mes sutelksime dėmesį į trijų ar daugiau skaičių LCM suradimą, taip pat atkreipsime dėmesį į neigiamų skaičių LCM apskaičiavimą.

Puslapio naršymas.

Mažiausių bendrųjų kelių (LCM) apskaičiavimas per GCD

Vienas iš būdų rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas LCM ir GCD ryšiu. Esamas ryšys tarp LCM ir GCD leidžia apskaičiuoti mažiausią bendrą dviejų teigiamų sveikųjų skaičių kartotinį per žinomą didžiausią bendrą daliklį. Atitinkama formulė yra LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Pažvelkime į LCM suradimo pagal pateiktą formulę pavyzdžius.

Pavyzdys.

Raskite mažiausią bendrą dviejų skaičių 126 ir 70 kartotinį.

Sprendimas.

Šiame pavyzdyje a=126 , b=70 . Naudokime ryšį tarp LCM ir GCD, išreikštą formule LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Tai yra, pirmiausia turime rasti didžiausią skaičių 70 ir 126 bendrąjį daliklį, po kurio galime apskaičiuoti šių skaičių LCM naudodami rašytinę formulę.

Raskime GCD(126, 70) naudodami Euklido algoritmą: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, todėl GCD(126, 70)=14.

Dabar randame reikalingą mažiausią bendrąjį kartotinį: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126,70)= 126·70:14=630.

Atsakymas:

LCM(126, 70)=630 .

Pavyzdys.

Kam lygus LCM(68, 34)?

Sprendimas.

Nes 68 dalijasi iš 34, tada GCD(68, 34)=34. Dabar apskaičiuojame mažiausią bendrąjį kartotinį: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68,34)= 68·34:34=68.

Atsakymas:

LCM(68, 34) = 68 .

Atkreipkite dėmesį, kad ankstesnis pavyzdys atitinka šią taisyklę, kaip rasti teigiamų sveikųjų skaičių a ir b LCM: jei skaičius a dalijasi iš b, tada mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra a.

LCM nustatymas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius

Kitas būdas rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas skaičių padalijus į pirminius veiksnius. Jei sudarysite sandaugą iš visų nurodytų skaičių pirminių koeficientų, o tada iš šio sandaugos išskirsite visus bendruosius pirminius veiksnius, esančius duotųjų skaičių plėtiniuose, tada gauta sandauga bus lygi mažiausiam bendrajam duotųjų skaičių kartotiniui. .

Nurodyta LCM radimo taisyklė išplaukia iš lygybės LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Iš tikrųjų skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, dalyvaujančių skaičių a ir b plėtime, sandaugai. Savo ruožtu GCD(a, b) yra lygus visų pirminių faktorių, vienu metu esančių skaičių a ir b plėtiniuose, sandaugai (kaip aprašyta skyriuje GCD radimas naudojant skaičių išplėtimą į pirminius veiksnius).

Pateikime pavyzdį. Žinok, kad 75=3·5·5 ir 210=2·3·5·7. Sudarykime sandaugą iš visų šių plėtimų faktorių: 2·3·3·5·5·5·7 . Dabar iš šio produkto neįtraukiame visų faktorių, esančių tiek išplečiant skaičių 75, tiek išplečiant skaičių 210 (tokie faktoriai yra 3 ir 5), tada sandauga bus 2·3·5·5·7. . Šio produkto vertė yra lygi mažiausiam bendrajam 75 ir 210 kartotiniui, ty NOC(75, 210) = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1 050.

Pavyzdys.

Padalinkite skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus ir raskite mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.

Sprendimas.

Sudėkime skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus:

Gauname 441=3·3·7·7 ir 700=2·2·5·5·7.

Dabar sukurkime sandaugą iš visų veiksnių, susijusių su šių skaičių išplėtimu: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Išskirkime iš šio produkto visus veiksnius, kurie vienu metu yra abiejuose plėtiniuose (yra tik vienas toks veiksnys – tai skaičius 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Taigi, LCM(441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.

Atsakymas:

NOC(441; 700) = 44 100 .

Taisyklė, kaip rasti LCM naudojant skaičių faktorius į pirminius veiksnius, gali būti suformuluota šiek tiek kitaip. Jei trūkstamus skaičiaus b išplėtimo koeficientus pridėsime prie koeficientų iš skaičiaus a išplėtimo, tada gautos sandaugos reikšmė bus lygi mažiausiam skaičių a ir b bendrajam kartotiniui..

Pavyzdžiui, paimkime tuos pačius skaičius 75 ir 210, jų skaidymai į pirminius veiksnius yra tokie: 75=3·5·5 ir 210=2·3·5·7. Prie koeficientų 3, 5 ir 5 iš skaičiaus 75 išplėtimo pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 7 iš skaičiaus 210 išplėtimo, gauname sandaugą 2·3·5·5·7, kurios reikšmė yra lygus LCM(75, 210).

Pavyzdys.

Raskite mažiausią bendrą skaičių 84 ir 648 kartotinį.

Sprendimas.

Pirmiausia gauname skaičių 84 ir 648 skaidymus į pirminius veiksnius. Jie atrodo taip: 84=2·2·3·7 ir 648=2·2·2·3·3·3·3. Prie faktorių 2, 2, 3 ir 7 iš skaičiaus 84 išplėtimo pridedame trūkstamus koeficientus 2, 3, 3 ir 3 iš skaičiaus 648 išplėtimo, gauname sandaugą 2 2 2 3 3 3 3 7, kuri lygi 4 536 . Taigi norimas mažiausias bendras 84 ir 648 kartotinis yra 4536.

Atsakymas:

LCM(84,648)=4536.

Raskite trijų ar daugiau skaičių LCM

Mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį galima rasti nuosekliai surandant dviejų skaičių LCM. Prisiminkime atitinkamą teoremą, kuri leidžia rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.

Teorema.

Teigiami sveikieji skaičiai a 1 , a 2 , …, a k, šių skaičių mažiausias bendras kartotinis m k randamas nuosekliai apskaičiuojant m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Panagrinėkime šios teoremos taikymą, naudodami pavyzdį, kaip rasti mažiausią bendrą keturių skaičių kartotinį.

Pavyzdys.

Raskite keturių skaičių 140, 9, 54 ir 250 LCM.

Sprendimas.

Šiame pavyzdyje a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Pirmiausia randame m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Norėdami tai padaryti, naudodami Euklido algoritmą, nustatome GCD(140, 9), turime 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, todėl GCD(140, 9)=1 , iš kur GCD(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 · 9: 1 = 1 260. Tai yra, m 2 = 1 260.

Dabar randame m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Apskaičiuokime jį per GCD(1 260, 54), kurį taip pat nustatome naudodami Euklido algoritmą: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tada gcd(1,260,54)=18, iš kurio gcd(1260,54)=1260·54:gcd(1260,54)=1260·54:18=3780. Tai yra, m 3 = 3 780.

Belieka tik surasti m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Tam naudojant Euklido algoritmą randame GCD(3,780, 250): 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Todėl GCM(3,780,250)=10, iš kur GCM(3,780,250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Tai yra, m 4 = 94 500.

Taigi mažiausias bendras pradinių keturių skaičių kartotinis yra 94 500.

Atsakymas:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

Daugeliu atvejų patogu rasti mažiausią bendrąjį trijų ar daugiau skaičių kartotinį, naudojant nurodytų skaičių pirminius faktorius. Tokiu atveju turėtumėte laikytis šios taisyklės. Mažiausias kelių skaičių bendras kartotinis yra lygus sandaugai, kuri sudaryta taip: trūkstami veiksniai iš antrojo skaičiaus išplėtimo pridedami prie visų veiksnių iš pirmojo skaičiaus išplėtimo, trūkstami veiksniai išplečiant antrąjį skaičių. prie gautų faktorių pridedamas trečiasis skaičius ir pan.

Pažvelkime į mažiausio bendro kartotinio radimo pavyzdį naudojant pirminį faktorių.

Pavyzdys.

Raskite mažiausią bendrą penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 kartotinį.

Sprendimas.

Pirmiausia gauname šių skaičių skaidymus į pirminius veiksnius: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 yra pirminis skaičius, jis sutampa su jo išskaidymu į pirminius veiksnius) ir 143=11·13.

Norėdami rasti šių skaičių LCM, prie pirmojo skaičiaus 84 koeficientų (jie yra 2, 2, 3 ir 7), turite pridėti trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus 6 išplėtimo. Skaičiaus 6 skaidyme nėra trūkstamų faktorių, nes ir 2, ir 3 jau yra pirmojo skaičiaus 84 skaidyme. Toliau prie faktorių 2, 2, 3 ir 7 pridedame trūkstamus faktorius 2 ir 2 iš trečiojo skaičiaus 48 išplėtimo, gauname faktorių 2, 2, 2, 2, 3 ir 7 aibę. Kitame veiksme prie šio rinkinio daugiklių pridėti nereikės, nes jame jau yra 7. Galiausiai prie koeficientų 2, 2, 2, 2, 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 11 ir 13 iš skaičiaus 143 išplėtimo. Gauname sandaugą 2·2·2·2·3·7·11·13, kuri yra lygi 48 048.

Pažvelkime į tris būdus, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį.

Rasti pagal faktorizaciją

Pirmasis būdas yra rasti mažiausią bendrą kartotinį, suskirstant duotus skaičius į pirminius veiksnius.

Tarkime, kad turime rasti skaičių LCM: 99, 30 ir 28. Norėdami tai padaryti, kiekvieną iš šių skaičių suskirstykime į pirminius veiksnius:

Kad norimas skaičius dalytųsi iš 99, 30 ir 28, būtina ir pakanka, kad į jį būtų įtraukti visi pirminiai šių daliklių koeficientai. Norėdami tai padaryti, turime paimti visus pirminius šių skaičių veiksnius iki didžiausios galios ir padauginti juos kartu:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Taigi, LCM (99, 30, 28) = 13 860 Joks kitas skaičius, mažesnis nei 13 860, nesidalija iš 99, 30 arba 28.

Norėdami rasti mažiausią bendrąjį nurodytų skaičių kartotinį, įtraukite juos į pirminius koeficientus, tada paimkite kiekvieną pirminį koeficientą su didžiausiu eksponentu ir padauginkite tuos veiksnius kartu.

Kadangi santykinai pirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių koeficientų, jų mažiausias bendras kartotinis yra lygus šių skaičių sandaugai. Pavyzdžiui, trys skaičiai: 20, 49 ir 33 yra santykinai pirminiai. Štai kodėl

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Tą patį reikia daryti ir ieškant įvairių pirminių skaičių mažiausią bendrą kartotinį. Pavyzdžiui, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Ieškoti pagal atranką

Antrasis būdas – pasirinkti mažiausią bendrą kartotinį.

1 pavyzdys. Kai didžiausias iš nurodytų skaičių yra padalintas iš kito duoto skaičiaus, tada šių skaičių LCM yra lygus didžiausiam iš jų. Pavyzdžiui, duoti keturi skaičiai: 60, 30, 10 ir 6. Kiekvienas iš jų dalijasi iš 60, todėl:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Kitais atvejais, norint rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojama tokia procedūra:

Iš pateiktų skaičių nustatykite didžiausią skaičių.
Toliau randame skaičius, kurie yra didžiausio skaičiaus kartotiniai, padauginame jį iš natūraliųjų skaičių didėjančia tvarka ir patikriname, ar gauta sandauga dalijasi iš likusių duotųjų skaičių.

2 pavyzdys. Duoti trys skaičiai 24, 3 ir 18. Nustatome didžiausią iš jų – tai skaičius 24. Toliau randame skaičius, kurie yra 24 kartotiniai, patikrindami, ar kiekvienas iš jų dalijasi iš 18 ir 3:

24 · 1 = 24 – dalijasi iš 3, bet nesidali iš 18.

24 · 2 = 48 – dalijasi iš 3, bet nesidalija iš 18.

24 · 3 = 72 – dalijasi iš 3 ir 18.

Taigi LCM (24, 3, 18) = 72.

Rasti nuosekliai ieškant LCM

Trečiasis būdas yra rasti mažiausią bendrą kartotinį, nuosekliai ieškant LCM.

Dviejų pateiktų skaičių LCM yra lygi šių skaičių sandaugai, padalytai iš didžiausio bendro daliklio.

1 pavyzdys. Raskite dviejų nurodytų skaičių LCM: 12 ir 8. Nustatykite jų didžiausią bendrą daliklį: GCD (12, 8) = 4. Padauginkite šiuos skaičius:

Mes padalijame produktą iš jų gcd:

Taigi LCM (12, 8) = 24.

Norėdami rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, atlikite šią procedūrą:

Pirmiausia suraskite bet kurių dviejų iš šių skaičių LCM.
Tada rasto mažiausio bendro kartotinio ir trečiojo duoto skaičiaus LCM.
Tada gauto mažiausio bendro kartotinio ir ketvirtojo skaičiaus LCM ir kt.
Taigi LCM paieška tęsiasi tol, kol yra skaičių.

2 pavyzdys. Raskime trijų pateiktų skaičių LCM: 12, 8 ir 9. Skaičių 12 ir 8 LCM jau radome ankstesniame pavyzdyje (tai skaičius 24). Belieka surasti mažiausią skaičių 24 ir trečiojo duoto skaičiaus kartotinį – 9. Nustatykite jų didžiausią bendrą daliklį: GCD (24, 9) = 3. LCM padauginkite iš 9:

Mes padalijame produktą iš jų gcd:

Taigi, LCM (12, 8, 9) = 72.

Didžiausias bendras daliklis

2 apibrėžimas

Jei natūralusis skaičius a dalijasi iš natūraliojo skaičiaus $b$, tai $b$ vadinamas $a$ dalikliu, o $a$ – $b$ kartotiniu.

Tegul $a$ ir $b$ yra natūralieji skaičiai. Skaičius $c$ vadinamas bendruoju ir $a$, ir $b$ dalikliu.

Skaičių $a$ ir $b$ bendrųjų daliklių aibė yra baigtinė, nes nė vienas iš šių daliklių negali būti didesnis už $a$. Tai reiškia, kad tarp šių daliklių yra didžiausias, vadinamas didžiausiu bendru skaičių $a$ ir $b$ dalikliu ir žymimas tokiais užrašais:

$GCD\(a;b)\ arba \D\(a;b)$

Norėdami rasti didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį, jums reikia:

Raskite skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas didžiausias bendras daliklis.

1 pavyzdys

Raskite skaičių $121$ ir $132.$ gcd

242 USD=2\cdot 11\cdot 11$

132 USD=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Pasirinkite skaičius, kurie yra įtraukti į šių skaičių išplėtimą

242 USD=2\cdot 11\cdot 11$

132 USD=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Raskite skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas didžiausias bendras daliklis.

$GCD=2\cdot 11=22$

2 pavyzdys

Raskite monomijų gcd $ 63 $ ir $ 81 $.

Rasime pagal pateiktą algoritmą. Norėdami tai padaryti:

Suskaidykime skaičius į pirminius veiksnius

63 USD=3\cdot 3\cdot 7$

81 USD=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Mes pasirenkame skaičius, kurie yra įtraukti į šių skaičių išplėtimą

63 USD=3\cdot 3\cdot 7$

81 USD=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Raskime 2 žingsnyje rastų skaičių sandaugą. Gautas skaičius bus norimas didžiausias bendras daliklis.

$GCD=3\cdot 3=9$

Dviejų skaičių gcd galite rasti kitu būdu, naudodami skaičių daliklių rinkinį.

3 pavyzdys

Raskite skaičių $48$ ir $60$ gcd.

Sprendimas:

Raskime skaičiaus $48$ daliklių aibę: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Dabar suraskime skaičiaus $60$ daliklių rinkinį:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

Raskime šių aibių sankirtą: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ – šis rinkinys nustatys skaičių $48$ ir $60 bendrųjų daliklių aibę $. Didžiausias šio rinkinio elementas bus skaičius $12$. Tai reiškia, kad didžiausias bendras skaičių $48$ ir $60$ daliklis yra $12$.

NPL apibrėžimas

3 apibrėžimas

Natūraliųjų skaičių bendrieji kartotiniai$a$ ir $b$ yra natūralusis skaičius, kuris yra $a$ ir $b$ kartotinis.

Bendrieji skaičių kartotiniai yra skaičiai, kurie dalijasi iš pradinių skaičių be liekanos. Pavyzdžiui, skaičių $25$ ir $50$ bendrieji kartotiniai bus skaičiai $50,100,150,200$ ir t. t.

Mažiausias bendras kartotinis bus vadinamas mažiausiu bendruoju kartotiniu ir bus žymimas LCM$(a;b)$ arba K$(a;b).$

Norėdami rasti dviejų skaičių LCM, turite:

Veiksnių skaičiai į pirminius veiksnius
Užrašykite veiksnius, kurie yra pirmojo skaičiaus dalis, ir pridėkite prie jų veiksnius, kurie yra antrojo skaičiaus dalis ir nėra pirmojo skaičiaus dalis.

4 pavyzdys

Raskite skaičių $99 ir $77 LCM.

Rasime pagal pateiktą algoritmą. Už tai

Veiksnių skaičiai į pirminius veiksnius

99 USD=3\cdot 3\cdot 11$

Užrašykite veiksnius, įtrauktus į pirmąjį

pridėkite prie jų daugiklius, kurie yra antrojo, o ne pirmojo dalis

Raskite skaičių sandaugą, rastą 2 veiksme. Gautas skaičius bus norimas mažiausias bendras kartotinis

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Skaičių daliklių sąrašų sudarymas dažnai yra labai daug darbo reikalaujantis darbas. Yra būdas rasti GCD, vadinamas Euklido algoritmu.

Teiginiai, kuriais grindžiamas Euklido algoritmas:

Jei $a$ ir $b$ yra natūralūs skaičiai, o $a\vdots b$, tai $D(a;b)=b$

Jei $a$ ir $b$ yra natūralūs skaičiai, tokie, kad $b

Naudodami $D(a;b)= D(a-b;b)$, galime nuosekliai mažinti nagrinėjamus skaičius, kol pasieksime skaičių porą, kad vienas iš jų dalytųsi iš kito. Tada mažesnis iš šių skaičių bus pageidaujamas didžiausias skaičių $a$ ir $b$ bendras daliklis.