Trikampio vidurio linija yra atkarpa, jungianti jo 2 kraštinių vidurio taškus. Atitinkamai, kiekvienas trikampis turi tris vidurines linijas. Žinodami vidurio linijos kokybę, taip pat trikampio kraštinių ir jo kampų ilgius, galite nustatyti vidurio linijos ilgį.

Jums reikės

Trikampio kraštinės, trikampio kampai

Instrukcijos

1. Tegu trikampyje ABC MN yra vidurio linija, jungianti kraštinių AB (taškas M) ir AC (taškas N), vidurio linija, jungianti 2 kraštinių vidurio taškus, yra lygiagreti trečiajai kraštinei ir lygi pusei. tai. Tai reiškia, kad vidurio linija MN bus lygiagreti kraštinei BC ir lygi BC/2. Vadinasi, norint nustatyti trikampio vidurio linijos ilgį, pakanka žinoti šios konkrečios trečiosios kraštinės ilgį.

2. Tegu dabar žinomos kraštinės, kurių vidurio taškus jungia vidurinė linija MN, tai yra AB ir AC, taip pat kampas BAC tarp jų. Kadangi MN yra vidurinė linija, tai AM = AB/2, o AN = AC/2 Tada pagal kosinuso teoremą objektyviai: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Vadinasi, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Jei žinomos kraštinės AB ir AC, tai vidurinę tiesę MN galima rasti žinant kampą ABC arba ACB. Tarkime, kampinis ABC garsus. Kadangi pagal vidurio linijos savybę MN lygiagreti BC, tada kampai ABC ir AMN atitinka, taigi, ABC = AMN. Tada pagal kosinuso teoremą: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Vadinasi, MN pusę galima rasti iš kvadratinės lygties (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.

2 patarimas: kaip rasti kvadratinio trikampio kraštinę

Kvadratinis trikampis teisingiau vadinamas stačiu trikampiu. Šios geometrinės figūros kraštinių ir kampų ryšiai išsamiai aptariami trigonometrijos matematinėje disciplinoje.

Jums reikės

- popieriaus lapas;
- rašiklis;
– Bradis stalai;
- skaičiuotuvas.

Instrukcijos

1. Atrask pusėje stačiakampio formos trikampis remiant Pitagoro teoremą. Pagal šią teoremą hipotenuzos kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai: c2 = a2+b2, kur c yra hipotenuzė trikampis, a ir b yra jo kojos. Norėdami pritaikyti šią lygtį, turite žinoti bet kurių dviejų stačiakampio kraštinių ilgį trikampis .

2. Jei sąlygos nurodo kojų matmenis, suraskite hipotenuzės ilgį. Norėdami tai padaryti, naudodami skaičiuotuvą, ištraukite kvadratinę šaknį iš kojų sumos, kiekvieną iš jų iš anksto kvadratu.

3. Apskaičiuokite vienos kojos ilgį, jei žinote hipotenuzės ir kitos kojos matmenis. Naudodami skaičiuotuvą ištraukite kvadratinę šaknį iš skirtumo tarp hipotenuzės kvadrato ir priekinės kojos taip pat kvadrato.

4. Jei problema nurodo hipotenuzą ir vieną iš šalia jos esančių smailiųjų kampų, naudokite Bradis lenteles. Jie pateikia trigonometrinių funkcijų reikšmes daugeliui kampų. Naudokite skaičiuotuvą su sinuso ir kosinuso funkcijomis, taip pat trigonometrijos teoremomis, apibūdinančiomis ryšius tarp stačiakampio kraštinių ir kampų trikampis .

5. Raskite kojeles naudodami pagrindines trigonometrines funkcijas: a = c*sin?, b = c*cos?, kur a yra koja, priešinga kampui?, b yra koja, esanti greta kampo?. Tuo pačiu būdu apskaičiuokite kraštų dydį trikampis, jei pateikta hipotenuzė ir kitas smailusis kampas: b = c*sin?, a = c*cos?, kur b yra kampui priešinga koja?, o koja greta kampo?.

6. Tuo atveju, kai imame koją a ir greta jos esantį smailią kampą?, nepamirškite, kad stačiakampiame trikampyje smailiųjų kampų suma visada lygi 90°: ? + ? = 90°. Raskite kampo, priešingo kojai a, reikšmę: ? = 90° – ?. Arba naudoti trigonometrines redukcijos formules: nuodėmė? = sin (90° – ?) = cos ?; tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg?.

7. Jei turime koją a ir jai priešingą smailųjį kampą?, naudodami Bradis lenteles, skaičiuotuvą ir trigonometrines funkcijas, apskaičiuokite hipotenuzą pagal formulę: c=a*sin?, koją: b=a*tg?.

Video tema

1 paveiksle pavaizduoti du trikampiai. Trikampis ABC panašus į trikampį A1B1C1. Ir gretimos kraštinės yra proporcingos, tai yra, AB yra A1B1, kaip AC yra A1C1. Iš šių dviejų sąlygų išplaukia trikampių panašumas.

Kaip rasti trikampio vidurinę liniją – tiesių lygiagretumo ženklas

2 paveiksle pavaizduotos linijos a ir b, sekant c. Taip susidaro 8 kampai. 1 ir 5 kampai atitinka, jei tiesės lygiagrečios, tai atitinkami kampai lygūs ir atvirkščiai.

Kaip rasti trikampio vidurio liniją

3 paveiksle M yra AB vidurys, o N yra AC vidurys, BC yra pagrindas. Atkarpa MN vadinama trikampio vidurio linija. Pati teorema sako: Trikampio vidurio tiesė lygiagreti pagrindui ir lygi jo pusei.

Norint įrodyti, kad MN yra trikampio vidurio linija, reikia antrojo trikampių panašumo ir tiesių lygiagretumo testo.

Trikampis AMN yra panašus į trikampį ABC pagal antrąjį požymį. Panašiuose trikampiuose atitinkami kampai lygūs, kampas 1 lygus kampui 2, o šie kampai atitinka, kai dvi tiesės susikerta su skersine, todėl tiesės lygiagrečios, MN lygiagrečios BC. Kampas A yra bendras, AM/AB = AN/AC = ½

Šių trikampių panašumo koeficientas yra ½, tai reiškia, kad ½ = MN/BC, MN = ½ BC

Taigi mes radome vidurinę trikampio liniją ir įrodėme teoremą apie trikampio vidurinę liniją, jei vis dar nesuprantate, kaip rasti vidurinę liniją, žiūrėkite žemiau esantį vaizdo įrašą.

Jums reikės

Trikampio kraštinės, trikampio kampai

Instrukcijos

Kvadratinis trikampis teisingiau vadinamas stačiu trikampiu. Šios geometrinės figūros kraštinių ir kampų ryšiai išsamiai aptariami trigonometrijos matematinėje disciplinoje.

Jums reikės

- popieriaus lapas;
- rašiklis;
- Bradis stalai;
- skaičiuotuvas.

Instrukcijos

Video tema

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas temas, reikalingas sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį matematikos egzaminą 60-65 balais. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa reikalinga teorija. Greiti vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Aiškūs sudėtingų sąvokų paaiškinimai. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.

1 Papildoma konstrukcija, vedanti į trikampio vidurio linijos teoremą, trikampių trapecijos ir panašumo savybes.

Ir ji lygus pusei hipotenuzės.
1 išvada.
2 išvada.

2 Visi stačiakampiai trikampiai su tuo pačiu smailiuoju kampu yra panašūs. Trigonometrinių funkcijų apžvalga.

3 Papildomos konstrukcijos pavyzdys yra aukštis, nuleistas iki hipotenuzės. Pitagoro teoremos išvedimas remiantis trikampių panašumu.

Iš to aišku, kad

1 Visi stačiakampiai trikampiai su tuo pačiu smailiuoju kampu yra panašūs. Trigonometrinių funkcijų apžvalga.

Trikampiai, kurių kraštinės yra brūkšniuotos ir nebrieguotos, yra panašūs tuo, kad jų abu kampai yra lygūs. Todėl kur

Tai reiškia, kad nurodyti ryšiai priklauso tik nuo stačiojo trikampio smailiojo kampo ir iš esmės jį lemia. Tai yra viena iš trigonometrinių funkcijų atsiradimo priežasčių:

Dažnai panašių stačiųjų trikampių kampų trigonometrines funkcijas rašyti yra aiškiau nei rašyti panašumo ryšius!

2 Papildomos konstrukcijos pavyzdys yra aukštis, nuleistas iki hipotenuzės. Pitagoro teoremos išvedimas remiantis trikampių panašumu.

Nuleiskime aukštį CH iki hipotenuzės AB. Turime tris panašius trikampius ABC, AHC ir CHB. Užrašykime trigonometrinių funkcijų išraiškas:

Iš to aišku, kad . Pridėjus, gauname Pitagoro teoremą, nes:

Kitą Pitagoro teoremos įrodymą rasite 4 uždavinio komentare.
3 Svarbus papildomos konstrukcijos pavyzdys yra kampo, lygaus vienam iš trikampio kampų, konstrukcija.

Iš stačiojo kampo viršūnės nubrėžiame tiesės atkarpą, kuri sudaro kampą su koja CA, lygų duoto stačiojo trikampio ABC kampui CAB. Dėl to gauname lygiašonį trikampį ACM su pagrindo kampais. Tačiau kitas trikampis, susidaręs dėl šios konstrukcijos, taip pat bus lygiašonis, nes kiekvienas jo kampas prie pagrindo yra lygus (pagal stačiojo trikampio kampų savybę ir pagal konstrukciją kampas buvo „atimtas“ iš stačiojo kampo). Dėl to, kad trikampiai BMC ir AMC yra lygiašoniai su bendra kraštine MC, turime lygybę MB=MA=MC, t.y. M.C. mediana, nubrėžta į stačiojo trikampio hipotenuzą ir ji lygus pusei hipotenuzės.
1 išvada. Hipotenuzės vidurio taškas yra apskritimo, apriboto aplink šį trikampį, centras, nes paaiškėja, kad hipotenuzės vidurio taškas yra vienodu atstumu nuo stačiojo trikampio viršūnių.
2 išvada. Stačiojo trikampio vidurinė linija, jungianti hipotenuzės vidurį ir kojos vidurį, yra lygiagreti priešingai kojai ir lygi jos pusei.

Lygiašoniuose trikampiuose BMC ir AMC aukščius MH ir MG nuleiskime iki pagrindų. Kadangi lygiašonio trikampio aukštis, nuleistas iki pagrindo, taip pat yra mediana (ir pusiausvyra), tada MH ir MG yra stačiojo trikampio linijos, jungiančios hipotenuzės vidurį su kojų vidurio taškais. Pagal konstrukciją jie pasirodo lygiagrečiai priešingoms kojoms ir lygūs jų pusėms, nes trikampiai yra lygūs MHC ir MGC yra lygūs (o MHCG yra stačiakampis). Šis rezultatas yra savavališko trikampio vidurio linijos teoremos ir trapecijos vidurio linijos bei atkarpų, atkirstų lygiagrečiomis dviejose juos kertančiose tiesėse, proporcingumo savybei.

Užduotys
Naudojant panašumo savybes -1
Pagrindinių savybių naudojimas - 2
Naudojant papildomą formavimą 3-4

1 2 3 4

Aukštis, nukritęs nuo stačiojo trikampio stačiojo kampo viršūnės, yra lygus atkarpų, į kurias jis padalija hipotenuzę, ilgių kvadratinei šaknis.

Sprendimas atrodo akivaizdus, jei žinote Pitagoro teoremos išvedimą iš trikampių panašumo:

\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
iš kur \(h^2=c_1c_2\).

Raskite visų įmanomų stačiųjų trikampių, kurių hipotenuzė AB fiksuota, medianų susikirtimo taškų (GMT) vietą.

Bet kurio trikampio medianų susikirtimo taškas nukerta trečdalį nuo medianos, skaičiuojant nuo jo susikirtimo su atitinkama kraštine taško. Stačiakampio trikampio mediana, nubrėžta iš stačiojo kampo, yra lygi pusei hipotenuzės. Todėl norimas GMT yra apskritimas, kurio spindulys lygus 1/6 hipotenuzės ilgio, kurio centras yra šios (fiksuotos) hipotenuzės viduryje.