Neatsiejama vieningo valstybinio egzamino dalis yra trigonometrinės lygtys.

Deja, nėra bendro vieningo metodo, kuriuo būtų galima išspręsti bet kokią lygtį, apimančią trigonometrines funkcijas. Sėkmę čia gali užtikrinti tik geras formulių išmanymas ir gebėjimas įžvelgti tam tikras naudingas kombinacijas, kurias galima išvystyti tik praktikuojant.

Bendrasis tikslas paprastai yra transformuoti trigonometrinę išraišką, įtrauktą į lygtį, kad šaknis būtų galima rasti iš vadinamųjų paprasčiausių lygčių:

Norėdami tai padaryti, turite mokėti naudoti trigonometrines formules. Naudinga žinoti ir vadinti juos „vardais“:

1. Dvigubo argumento, trigubo argumento formulės:

сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

sin 2x = 2 sin x cos x;

tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;

ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;

sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;

cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;

tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);

ctg 3x = (3 ctg x – 3 ctg x)/(3 ctg 2 x – 1);

2. Pusinio argumento arba laipsnio sumažinimo formulės:

sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; cos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;

tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);

vaikiška lovelė 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);

3. Pagalbinio argumento įvedimas:

Panagrinėkime lygties a sin x + b cos x = c pavyzdį, būtent kampą x nustatę iš sąlygų sin y = b/v(a 2 + b 2), cos y = a/v(a 2 + b 2), nagrinėjamą lygtį galime redukuoti iki paprasčiausios nuodėmės (x + y) = c/v(a 2 + b 2), kurios sprendinius galima nesunkiai išrašyti; taip nustatant pradinės lygties sprendinius.

4. Sudėjimo ir atimties formulės:

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;

sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;

cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);

tg (a – b) = (tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);

5. Universalus trigonometrinis pakeitimas:

sin a = 2 tan (a/2)/(1 + ( tg 2 (a/2));

cos a = (1 – tan 2 (a/2))/(1 + ( tg 2 (a/2));

tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));

6. Kai kurie svarbūs santykiai:

sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));

cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));

7. Trigonometrinių funkcijų sumos pavertimo sandauga formulės:

sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;

tan a + tan b = sin (a + b)/(cos a cos b);

tan a – tan b = sin (a – b)/(cos a cos b).

Taip pat ir redukcijos formulės.

Sprendimo procese reikia ypač atidžiai stebėti lygčių lygiavertiškumą, kad būtų išvengta šaknų praradimo (pavyzdžiui, mažinant kairę ir dešinę lygties puses bendru koeficientu) arba papildomų šaknų įgijimo ( pavyzdžiui, padalijus abi lygties puses kvadratu). Be to, būtina kontroliuoti, ar priimančiosios šaknys priklauso nagrinėjamos lygties ODZ.

Visais būtinais atvejais (t.y. kai buvo leidžiamos nelygios transformacijos) būtina patikrinti. Sprendžiant lygtis, būtina mokinius išmokyti jas redukuoti iki tam tikrų tipų, dažniausiai pradedant lengvomis lygtimis.

Susipažinkime su lygčių sprendimo būdais:

1. Redukcija į formą ax 2 + bx + c = 0

2. Lygčių vienarūšiškumas.

3. Faktorizavimas.

4. Redukcija iki formos a 2 + b 2 + c 2 = 0

5. Kintamųjų keitimas.

6. Lygties redukavimas į lygtį su vienu kintamuoju.

7. Kairiosios ir dešiniosios dalių įvertinimas.

8. Žvilgsnio metodas.

9. Pagalbinio kampo įvedimas.

10. „Skaldyk ir valdyk“ metodas.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

1. Išspręskite lygtį: sin x + cos 2 x = 1/4.

Sprendimas: Išspręskite redukuodami iki kvadratinės lygties. Išreikškime cos 2 x per sin 2 x

sin x + 1 – sin 2 x = 1/4

4 nuodėmė 2 x – 4 nuodėmė x – 3 = 0

sin x = -1/2, sin x = 3/2 (netenkina sąlygos x€[-1;1]),

tie. x = (-1) k+1 arcsin 1/2 + k, k€z,

Atsakymas: (-1) k+1 /6 + k, k€z.

2. Išspręskite lygtį: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,

išspręsti faktorizavimo metodu

2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0, kur x /2 + k, k €z,

2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0

(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0

2 cos x – 1 = 0 arba tg x – 1 = 0

cos x = 1/2, tgx = 1,

y., x = ± /3 + 2k, k€z, x = /4 + m, m€z.

Atsakymas: ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.

3. Išspręskite lygtį: sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0.

Sprendimas: sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 homogeninė 2 laipsnio lygtis. Kadangi cos x = 0 nėra šios lygties šaknis, kairę ir dešinę puses padalijame iš cos 2 x. Dėl to gauname kvadratinę tan x lygtį

tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0,

tg x = 1 ir tg x = 2,

iš kur x = /4 + m, m€z,

x = arctan 2 + k, k€z.

Atsakymas: /4 + m, m€z, arctan 2 + k, k€z.

4. Išspręskite lygtį: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.

Sprendimas: naujo kintamojo įvedimo metodas

Tegul 5x + 6 = y, tada cos 2y + 4 2 sin y = 4

1 – 2 nuodėmė 2 m + 4 2 sin y – 4 = 0

sin y = t, kur t€[-1;1]

2t 2-4 2t + 3 = 0

t = 2/2 ir t = 3 2/2 (netenkina sąlygos t€[-1;1])

nuodėmė (5x + 6) = 2/2,

5x + 6 = (-1) k /4 + k, k€z,

x = (-1) k /20 – 6/5 + k/5, k€z.

Atsakymas: (-1) k?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.

5. Išspręskite lygtį: (sin x – cos y) 2 + 40x 2 = 0

Sprendimas: Naudojame a 2 + b 2 + c 2 = 0, tiesa, jei a = 0, b = 0, c = 0. Lygybė galima, jei sin x – cos y = 0, o iš čia 40x = 0:

x = 0, o sin 0 – cos y = 0, todėl x = 0, o cos y = 0, taigi: x = 0, ir y = /2 + k, k€z, taip pat galima rašyti ( 0; / 2 + k) k€z.

Atsakymas: (0; /2 + k) k€z.

6. Išspręskite lygtį: sin 2 x + cos 4 x – 2 sin x + 1 = 0

Sprendimas: pertvarkykite lygtį ir pritaikykite „skaldyk ir valdyk“ metodą

(sin 2 x – 2 sin x +1) + cos 4 x = 0;

(sin x – 1) 2 + cos 4 x = 0; tai įmanoma, jei

(sin x – 1) 2 = 0, o cos 4 x = 0, taigi:

sin x – 1 = 0 ir cos x = 0,

sin x = 1, o cos x = 0, todėl

x = /2 + k, k€z

Atsakymas: /2 + k, k€z.

7. Išspręskite lygtį: sin 5x + sin x = 2 + cos 2 x.

Sprendimas: Taikome kairiosios ir dešiniosios pusės bei cos ir sin funkcijų ribos įvertinimo metodą.

- 1 nuodėmė 5x 1 ir -1 nuodėmė x 1

0 + 2 2 + cos 2 x 1 + 2

2 2 + cos 2 x 3

sin 5x + sin x 2 ir 2 + cos 2 x 2

2 sin 5x + nuodėmė x 2, t.y.

nuodėmė 5x + nuodėmė x 2,

kairė pusė yra 2, o dešinė pusė yra 2,

lygybė įmanoma, jei jie abu yra lygūs 2.

cos 2 x = 0, o sin 5x + sin x = 2, todėl

x = /2 + k, k€z (būtinai patikrinkite).

Atsakymas: /2 + k, k€z.

8. Išspręskite lygtį: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.

Sprendimas: Išspręskite faktorizavimo metodu. Kairėje pusėje esančius terminus sugrupuojame į poras.

(Šiuo atveju bet koks grupavimo būdas veda į tikslą.) Naudojame formulę cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.

2 cos 3/2х cos x/2 + 2 cos 7/2х cos x/2 = 0,

cos x/2 (cos 3/2x + cos 7/2x) = 0,

2 cos 5/2x cos x/2 cos x = 0,

Atsiranda trys atvejai:

Atsakymas: + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.

Atkreipkime dėmesį, kad antrasis atvejis apima pirmąjį. (Jei antruoju atveju imsime k = 4 + 5, gausime + 2n). Todėl pasakyti, kuris teisingesnis, neįmanoma, bet bet kokiu atveju atsakymas atrodys „kultūringesnis ir gražesnis“: x 1 = /5 + 2/5k, x 2 = /2 + k, k€z. (Vėlgi, tipinė situacija, vedanti į įvairias atsakymo įrašymo formas). Pirmasis atsakymas taip pat teisingas.

Nagrinėjama lygtis iliustruoja labai tipišką sprendimo schemą – lygties faktorizavimą poromis grupuojant ir naudojant formules:

sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;

sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.

Šaknų parinkimo, nereikalingų šaknų išsijojimo sprendžiant trigonometrines lygtis problema yra labai specifinė ir dažniausiai pasirodo sudėtingesnė nei algebrinių lygčių atveju. Pateiksime lygčių, iliustruojančių tipiškus papildomų (pašalinių) šaknų atsiradimo atvejus, sprendimus ir „kovos“ su jomis būdus.

Papildomos šaknys gali atsirasti dėl to, kad sprendimo proceso metu buvo išplėsta lygčių apibrėžimo sritis. Pateikime pavyzdžių.

9. Išspręskite lygtį: (sin 4x – sin 2x – cos 3x + 2sin x -1)/(2sin 2x – 3) = 0.

Sprendimas: Prilyginkime skaitiklį nuliui (šiuo atveju lygties apibrėžimo sritis išplečiama - pridedamos x reikšmės, paverčiant vardiklį į nulį) ir pabandykime jį koeficientuoti. Turime:

2 cos 3x sin x – cos 3x + 2sin x – 1 = 0,

(cos 3x + 1) (2 sin x – 1) = 0.

Gauname dvi lygtis:

cos 3x + 1 = 0, x = /3 + 2/3k.

Pažiūrėkime, kuris k mums tinka. Pirmiausia atkreipiame dėmesį, kad kairioji mūsų lygties pusė yra periodinė funkcija su periodu 2. Todėl pakanka rasti lygties sprendimą, tenkinantį sąlygą 0 x< 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.

Nelygybė 0 x< 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.

Pirmasis netinka, nes nuodėmė 2/3 = 3/2, vardiklis eina į nulį.

Pirmojo atvejo atsakymas: x 1 = + 2k, x 2 = 5/3 + 2k (galite x 2 = – /3 + 2k), k€z.

Raskime šios lygties sprendimą, tenkinantį sąlygą 0 x< 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.

Atsakymas: + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.

10. Raskite lygčių šaknis: v(cos 2x + sin 3x) = v2 cos x.

Šios lygties sprendimas suskirstytas į du etapus:

1) lygties, gautos iš duotosios lygties, sprendimas padalijus abi jos dalis kvadratu;

2) parinkimas tų šaknų, kurios tenkina sąlygą cos x 0. Šiuo atveju (kaip ir algebrinių lygčių atveju) nereikia jaudintis dėl sąlygos cos 2x + sin 3x 0. Visos k reikšmės, atitinkančios kvadratinę lygtį, tenkina šią sąlygą.

Pirmasis žingsnis veda mus į lygtį sin 3x = 1, iš kurios x 1 = /6 + 2/3k.

Dabar turime nustatyti, kiek k cos (/6 + 2/3k) 0, kad tai padarytumėte, pakanka atsižvelgti į k reikšmes 0, 1, 2, t.y. kaip įprasta, „apvažiuokite ratą vieną kartą“, nes toliau kosinuso reikšmės skirsis nuo tų, kurios jau buvo laikomos 2 kartotiniu.

Atsakymas: /6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.

11. Išspręskite lygtį: sin 8 x – cos 5 x = 1.

Šios lygties sprendimas grindžiamas tokiu paprastu svarstymu: jei 0< a < 1 то a t убывает с ростом t.

Tai reiškia sin 8 x sin 2 x, – cos 5 x cos 2 x;

Sudėjus šias nelygybes po termino, gauname:

sin 8 x – cos 5 x sin 2 x + cos 2 x = 1.

Todėl kairioji šios lygties pusė yra lygi vienetui tada ir tik tada, kai tenkinamos dvi lygybės:

sin 8 x = sin 2 x, cos 5 x = cos 2 x,

tie. sin x gali turėti reikšmes -1, 0

Atsakymas: /2 + k, + 2k, k€z.

Norėdami užbaigti paveikslėlį, apsvarstykite kitą pavyzdį.

12. Išspręskite lygtį: 4 cos 2 x – 4 cos 2 3x cos x + cos 2 3x = 0.

Sprendimas: Kairiąją šios lygties pusę laikysime kvadratiniu trinaliu cos x atžvilgiu.

Tegu D yra šio trinalio diskriminantas:

1/4 D = 4 (cos 4 3x – cos 2 3x).

Iš nelygybės D 0 išplaukia cos 2 3x 0 arba cos 2 3x 1.

Tai reiškia, kad atsiranda dvi galimybės: cos 3x = 0 ir cos 3x = ± 1.

Jei cos 3x = 0, tai iš lygties išplaukia, kad cos x = 0, iš kur x = /2 + k.

Šios x reikšmės atitinka lygtį.

Jei cos 3x = 1, tai iš lygties cos x = 1/2 randame x = ± /3 + 2k. Šios vertės taip pat atitinka lygtį.

Atsakymas: /2 + k, /3 + 2k, k€z.

13. Išspręskite lygtį: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.

Sprendimas: Transformuokite išraišką sin 4 x + cos 4 x, paryškindami tobulą kvadratą: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 4 x – 2 sin 2 x cos 2 x = ( sin 2 x + cos 2 x) 2 – 2 sin 2 x cos 2 x, iš kur sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2x. Naudodamiesi gauta formule, rašome lygtį į formą

1-1/2 nuodėmės 2 2x = 7/4 nuodėmės 2x.

reiškia nuodėmę 2x = t, -1 t 1,

gauname kvadratinę lygtį 2t 2 + 7t – 4 = 0,

išspręsdami, randame t 1 = 1/2, t 2 = – 4

lygtis sin 2x = 1/2

2x = (- 1) k /6 + k, k€z, x = (- 1) k //12 + k /2, k€z.

Viena iš matematikos sričių, su kuria mokiniai kovoja labiausiai, yra trigonometrija. Nenuostabu: norint laisvai įsisavinti šią žinių sritį, reikia erdvinio mąstymo, gebėjimo pagal formules rasti sinusus, kosinusus, tangentus, kotangentus, supaprastinti išraiškas ir mokėti naudoti skaičių pi. skaičiavimai. Be to, įrodydami teoremas turite mokėti naudoti trigonometriją, o tam reikia arba išvystytos matematinės atminties, arba gebėjimo išvesti sudėtingas logines grandines.

Trigonometrijos ištakos

Susipažinimas su šiuo mokslu turėtų prasidėti nuo kampo sinuso, kosinuso ir liestinės apibrėžimo, tačiau pirmiausia turite suprasti, ką apskritai daro trigonometrija.

Istoriškai pagrindinis šios matematikos mokslo šakos tyrimo objektas buvo stačiakampiai trikampiai. 90 laipsnių kampo buvimas leidžia atlikti įvairias operacijas, kurios leidžia nustatyti visų nagrinėjamos figūros parametrų reikšmes naudojant dvi puses ir vieną kampą arba du kampus ir vieną pusę. Anksčiau žmonės pastebėjo šį modelį ir pradėjo aktyviai jį naudoti pastatų statyboje, navigacijoje, astronomijoje ir net mene.

Pradinis etapas

Iš pradžių žmonės kalbėjo apie kampų ir kraštinių santykį tik naudodamiesi stačiųjų trikampių pavyzdžiu. Tada buvo atrastos specialios formulės, kurios leido išplėsti šios matematikos šakos naudojimo kasdieniame gyvenime ribas.

Trigonometrijos studijos mokykloje šiandien pradedamos nuo stačiųjų trikampių, po kurių mokiniai panaudoja įgytas fizikos žinias ir spręsdami abstrakčias trigonometrines lygtis, kurios prasideda vidurinėje mokykloje.

Sferinė trigonometrija

Vėliau, kai mokslas pasiekė kitą išsivystymo lygį, formulės su sinusu, kosinusu, liestine ir kotangentu pradėtos naudoti sferinėje geometrijoje, kur galioja skirtingos taisyklės, o trikampio kampų suma visada yra didesnė nei 180 laipsnių. Šis skyrius nėra mokomas mokykloje, tačiau apie jo egzistavimą būtina žinoti bent jau todėl, kad žemės paviršius ir bet kurios kitos planetos paviršius yra išgaubtas, o tai reiškia, kad bet koks paviršiaus žymėjimas bus „lanko formos“ per tris. -dimensinė erdvė.

Paimkite gaublį ir siūlą. Pritvirtinkite siūlą prie bet kurių dviejų rutulio taškų, kad jis būtų įtemptas. Atkreipkite dėmesį – jis įgavo lanko formą. Tokias formas nagrinėja sferinė geometrija, kuri naudojama geodezijoje, astronomijoje ir kitose teorinėse bei taikomosiose srityse.

Statusis trikampis

Šiek tiek sužinoję apie trigonometrijos naudojimo būdus, grįžkime prie pagrindinės trigonometrijos, kad geriau suprastume, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė, kokius skaičiavimus galima atlikti su jų pagalba ir kokias formules naudoti.

Pirmas žingsnis yra suprasti sąvokas, susijusias su stačiu trikampiu. Pirma, hipotenuzė yra pusė, priešinga 90 laipsnių kampui. Jis yra ilgiausias. Prisimename, kad pagal Pitagoro teoremą jos skaitinė reikšmė yra lygi kitų dviejų kraštinių kvadratų sumos šaknei.

Pavyzdžiui, jei abi pusės yra atitinkamai 3 ir 4 centimetrai, hipotenuzės ilgis bus 5 centimetrai. Beje, senovės egiptiečiai apie tai žinojo maždaug prieš keturis su puse tūkstančio metų.

Dvi likusios pusės, kurios sudaro stačią kampą, vadinamos kojomis. Be to, turime atsiminti, kad trikampio kampų suma stačiakampėje koordinačių sistemoje yra lygi 180 laipsnių.

Apibrėžimas

Galiausiai, tvirtai suvokus geometrinį pagrindą, galima pereiti prie kampo sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimo.

Kampo sinusas yra priešingos kojos (t. y. pusės, priešingos norimam kampui) santykis su hipotenuze. Kampo kosinusas yra gretimos kraštinės ir hipotenuzės santykis.

Atminkite, kad nei sinusas, nei kosinusas negali būti didesnis už vienetą! Kodėl? Kadangi hipotenuzė pagal nutylėjimą yra ilgiausia, nesvarbu, kokia yra koja, ji bus trumpesnė už hipotenuzą, o tai reiškia, kad jų santykis visada bus mažesnis nei vienas. Taigi, jei atsakydami į užduotį gausite sinusą arba kosinusą, kurio reikšmė didesnė nei 1, ieškokite skaičiavimų ar samprotavimų klaidos. Šis atsakymas yra aiškiai neteisingas.

Galiausiai kampo liestinė yra priešingos pusės ir gretimos kraštinės santykis. Padalijus sinusą iš kosinuso gausime tą patį rezultatą. Žiūrėkite: pagal formulę kraštinės ilgį padaliname iš hipotenuzės, tada padalijame iš antrosios kraštinės ilgio ir padauginame iš hipotenuzės. Taigi gauname tą patį ryšį kaip ir tangento apibrėžime.

Atitinkamai, kotangentas yra kraštinės, esančios šalia kampo, ir priešingos pusės santykis. Tą patį rezultatą gauname padalydami iš liestinės.

Taigi, mes pažvelgėme į apibrėžimus, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, ir galime pereiti prie formulių.

Paprasčiausios formulės

Trigonometrijoje neapsieisite be formulių - kaip be jų rasti sinusą, kosinusą, liestinę, kotangentą? Bet būtent to ir reikia sprendžiant problemas.

Pirmoji formulė, kurią reikia žinoti pradedant mokytis trigonometrijos, sako, kad kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra lygi vienetui. Ši formulė yra tiesioginė Pitagoro teoremos pasekmė, tačiau ji taupo laiką, jei reikia žinoti kampo dydį, o ne kraštinę.

Daugelis mokinių neprisimena antrosios formulės, kuri taip pat labai populiari sprendžiant mokyklinius uždavinius: vieneto ir kampo liestinės kvadrato suma lygi vienai, padalytai iš kampo kosinuso kvadrato. Pažvelkite atidžiau: tai tas pats teiginys kaip ir pirmoje formulėje, tik abi tapatybės pusės buvo padalintos kosinuso kvadratu. Pasirodo, dėl paprasto matematinio veiksmo trigonometrinė formulė tampa visiškai neatpažįstama. Atminkite: žinodami, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, transformacijos taisykles ir kelias pagrindines formules, bet kuriuo metu galite išvesti reikiamas sudėtingesnes formules ant popieriaus lapo.

Dvigubo kampo formulės ir argumentų pridėjimas

Dar dvi formulės, kurias turite išmokti, yra susijusios su sinuso ir kosinuso reikšmėmis kampų sumai ir skirtumui. Jie pateikti paveikslėlyje žemiau. Atkreipkite dėmesį, kad pirmuoju atveju sinusas ir kosinusas padauginami abu kartus, o antruoju pridedama sinuso ir kosinuso porinė sandauga.

Taip pat yra formulių, susijusių su dvigubo kampo argumentais. Jie yra visiškai išvesti iš ankstesnių – kaip praktika, pabandykite juos gauti patys, imdami alfa kampą, lygų beta kampui.

Galiausiai atkreipkite dėmesį, kad dvigubo kampo formules galima pertvarkyti, kad būtų sumažinta sinuso, kosinuso, tangento alfa galia.

Teoremos

Dvi pagrindinės pagrindinės trigonometrijos teoremos yra sinuso teorema ir kosinuso teorema. Naudodami šias teoremas galite lengvai suprasti, kaip rasti sinusą, kosinusą ir liestinę, taigi ir figūros plotą, kiekvienos pusės dydį ir kt.

Sinuso teorema teigia, kad padalijus kiekvienos trikampio kraštinės ilgį iš priešingo kampo, gaunamas tas pats skaičius. Be to, šis skaičius bus lygus dviem apibrėžtojo apskritimo spinduliams, tai yra apskritimui, kuriame yra visi nurodyto trikampio taškai.

Kosinuso teorema apibendrina Pitagoro teoremą, projektuodama ją į bet kokius trikampius. Pasirodo, iš dviejų kraštinių kvadratų sumos atimkite jų sandaugą, padaugintą iš gretimo kampo dvigubo kosinuso - gauta vertė bus lygi trečiosios kraštinės kvadratui. Taigi Pitagoro teorema pasirodo esanti ypatingas kosinuso teoremos atvejis.

Neatsargios klaidos

Net ir žinant, kas yra sinusas, kosinusas ir tangentas, nesunku suklysti dėl neblaivumo ar paprasčiausių skaičiavimų klaidos. Norėdami išvengti tokių klaidų, pažvelkime į populiariausias.

Pirma, neturėtumėte konvertuoti trupmenų į dešimtaines, kol negausite galutinio rezultato – taip pat galite palikti atsakymą kaip trupmeną, nebent sąlygose nurodyta kitaip. Tokios transformacijos negalima pavadinti klaida, tačiau reikia atsiminti, kad kiekviename problemos etape gali atsirasti naujų šaknų, kurias, autoriaus sumanymu, reikėtų sumažinti. Tokiu atveju sugaišite savo laiką nereikalingiems matematiniams veiksmams. Tai ypač pasakytina apie tokias vertybes kaip trijų arba dviejų šaknis, nes jos randamos kiekviename žingsnyje problemose. Tas pats pasakytina ir apie „bjaurių“ skaičių apvalinimą.

Be to, atkreipkite dėmesį, kad kosinuso teorema taikoma bet kuriam trikampiui, bet ne Pitagoro teoremai! Jei per klaidą pamiršite atimti dvigubą kraštinių sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso, gausite ne tik visiškai neteisingą rezultatą, bet ir pademonstruosite visišką dalyko nesupratimą. Tai yra blogiau nei neatsargumo klaida.

Trečia, nepainiokite sinusų, kosinusų, liestinių, kotangentų 30 ir 60 laipsnių kampų verčių. Atsiminkite šias reikšmes, nes 30 laipsnių sinusas yra lygus 60 kosinusui ir atvirkščiai. Juos nesunku supainioti, dėl to neišvengiamai gausite klaidingą rezultatą.

Taikymas

Daugelis studentų neskuba pradėti studijuoti trigonometrijos, nes nesupranta jos praktinės reikšmės. Kas yra sinusas, kosinusas, tangentas inžinieriui ar astronomui? Tai sąvokos, leidžiančios apskaičiuoti atstumą iki tolimų žvaigždžių, numatyti meteorito kritimą ar nusiųsti tyrimo zondą į kitą planetą. Be jų neįmanoma pastatyti pastato, suprojektuoti automobilio, apskaičiuoti paviršiaus apkrovą ar objekto trajektoriją. Ir tai tik ryškiausi pavyzdžiai! Juk trigonometrija vienokia ar kitokia forma naudojama visur – nuo ​​muzikos iki medicinos.

Apibendrinant

Taigi jūs esate sinusas, kosinusas, tangentas. Galite naudoti juos skaičiavimuose ir sėkmingai išspręsti mokyklos problemas.

Visa trigonometrijos esmė yra ta, kad naudojant žinomus trikampio parametrus reikia apskaičiuoti nežinomus. Iš viso yra šeši parametrai: trijų kraštinių ilgis ir trijų kampų dydis. Vienintelis skirtumas tarp užduočių yra tas, kad pateikiami skirtingi įvesties duomenys.

Dabar žinote, kaip rasti sinusą, kosinusą, tangentą pagal žinomus kojų arba hipotenuzės ilgius. Kadangi šie terminai reiškia ne ką kitą, kaip santykį, o santykis yra trupmena, pagrindinis trigonometrijos uždavinio tikslas yra rasti įprastos lygties ar lygčių sistemos šaknis. Ir čia jums padės įprasta mokyklinė matematika.

Trigonometrijos tyrimą pradėsime nuo stačiojo trikampio. Apibrėžkime, kas yra sinusas ir kosinusas, taip pat smailiojo kampo liestinė ir kotangentas. Tai yra trigonometrijos pagrindai.

Prisiminkime tai stačiu kampu yra kampas, lygus 90 laipsnių. Kitaip tariant, pusė pasukto kampo.

Aštrus kampas- mažiau nei 90 laipsnių.

Bukas kampas- didesnis nei 90 laipsnių. Taikant tokį kampą, „bukas“ yra ne įžeidimas, o matematinis terminas :-)

Nubrėžkime statųjį trikampį. Status kampas paprastai žymimas . Atkreipkite dėmesį, kad priešinga kampo pusė pažymėta ta pačia raide, tik maža. Taigi, priešinga kampas A yra pažymėtas .

Kampas žymimas atitinkama graikiška raide.

Hipotenuzė stačiojo trikampio kraštinė yra priešinga stačiajam kampui.

Kojos- šonai, esantys priešais smailius kampus.

Priešais kampą esanti koja vadinama priešinga(kampo atžvilgiu). Kita koja, esanti vienoje iš kampo pusių, vadinama gretimas.

Sinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra priešingos kraštinės ir hipotenuzės santykis:

Kosinusas smailus kampas stačiakampiame trikampyje - gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:

Tangentas smailus kampas stačiakampiame trikampyje - priešingos kraštinės ir gretimos santykis:

Kitas (ekvivalentiškas) apibrėžimas: smailiojo kampo liestinė yra kampo sinuso ir jo kosinuso santykis:

Kotangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje - gretimų kraštinių ir priešingos pusės santykis (arba, kuris yra tas pats, kosinuso ir sinuso santykis):

Toliau atkreipkite dėmesį į pagrindinius sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ryšius. Jie mums pravers sprendžiant problemas.

Įrodykime kai kuriuos iš jų.

Gerai, mes pateikėme apibrėžimus ir užrašėme formules. Bet kodėl mums vis dar reikia sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento?

Mes tai žinome bet kurio trikampio kampų suma lygi.

Mes žinome ryšį tarp vakarėliams stačiakampis trikampis. Tai Pitagoro teorema: .

Pasirodo, žinodami du trikampio kampus, galite rasti trečiąjį. Žinodami dvi stačiojo trikampio kraštines, galite rasti trečiąją. Tai reiškia, kad kampai turi savo santykį, o šonai - savo. Bet ką daryti, jei stačiakampiame trikampyje žinote vieną kampą (išskyrus stačią) ir vieną kraštinę, bet jums reikia rasti kitas puses?

Su tuo susidurdavo žmonės, kurdami vietovės ir žvaigždėto dangaus žemėlapius. Juk ne visada galima tiesiogiai išmatuoti visas trikampio kraštines.

Sinusas, kosinusas ir tangentas – dar vadinami trigonometrinių kampų funkcijos- suteikti ryšius tarp vakarėliams Ir kampus trikampis. Žinodami kampą, visas jo trigonometrines funkcijas galite rasti naudodami specialias lenteles. O žinodami trikampio ir vienos iš jo kraštinių kampų sinusus, kosinusus ir tangentus, galite rasti likusias dalis.

Taip pat nubraižysime sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento verčių lentelę „geriems“ kampams nuo iki.

Atkreipkite dėmesį į du raudonus brūkšnelius lentelėje. Esant atitinkamoms kampo vertėms, liestinė ir kotangentė neegzistuoja.

Pažvelkime į keletą trigonometrijos problemų iš FIPI užduočių banko.

1. Trikampyje kampas yra , . Rasti.

Problema išspręsta per keturias sekundes.

Nuo ,.

2. Trikampyje kampas yra , , . Rasti.

Raskime jį naudodami Pitagoro teoremą.

Problema išspręsta.

Dažnai problemose yra trikampių su kampais ir arba su kampais ir. Prisiminkite pagrindinius jų santykius mintinai!

Trikampiui su kampais ir kojelė, priešinga kampui ties, yra lygi pusė hipotenuzės.

Trikampis su kampais ir yra lygiašonis. Jame hipotenuzė yra kartų didesnė už koją.

Mes pažvelgėme į uždavinius sprendžiant stačiuosius trikampius – tai yra, kaip rasti nežinomas puses ar kampus. Bet tai dar ne viskas! Vieningame valstybiniame matematikos egzamine yra daug problemų, susijusių su trikampio išorinio kampo sinusu, kosinusu, tangentu arba kotangentu. Daugiau apie tai kitame straipsnyje.

Trigonometrinių funkcijų verčių lentelė

Pastaba. Šioje trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje naudojamas √ ženklas kvadratinei šaknei pavaizduoti. Norėdami nurodyti trupmeną, naudokite simbolį „/“.

Taip pat žr naudingos medžiagos:

Už nustatant trigonometrinės funkcijos reikšmę, raskite jį tiesės, rodančios trigonometrinę funkciją, sankirtoje. Pavyzdžiui, sinusas 30 laipsnių - ieškome stulpelio su antrašte sin (sinusas) ir randame šios lentelės stulpelio sankirtą su eilute „30 laipsnių“, jų sankirtoje skaitome rezultatą - vieną pusę. Panašiai randame kosinusas 60 laipsnių, sinusas 60 laipsnių (dar kartą nuodėmės stulpelio ir 60 laipsnių linijos sankirtoje randame reikšmę sin 60 = √3/2) ir kt. Lygiai taip pat randamos ir kitų „populiarių“ kampų sinusų, kosinusų ir tangentų reikšmės.

Sinuso pi, kosinuso pi, tangento pi ir kiti kampai radianais

Žemiau esanti kosinusų, sinusų ir liestinių lentelė taip pat tinka norint rasti trigonometrinių funkcijų, kurių argumentas yra pateikiami radianais. Norėdami tai padaryti, naudokite antrą kampo verčių stulpelį. Dėl to galite konvertuoti populiarių kampų vertę iš laipsnių į radianus. Pavyzdžiui, pirmoje eilutėje suraskime 60 laipsnių kampą ir po juo perskaitykime jo reikšmę radianais. 60 laipsnių yra lygus π/3 radianams.

Skaičius pi vienareikšmiškai išreiškia apskritimo priklausomybę nuo kampo laipsnio mato. Taigi pi radianai yra lygūs 180 laipsnių.

Bet kuris skaičius, išreikštas pi (radianais), gali būti lengvai konvertuojamas į laipsnius, pakeičiant pi (π) į 180.

Pavyzdžiai:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
taigi, pi sinusas yra toks pat kaip 180 laipsnių sinusas ir lygus nuliui.

2. Kosinusas pi.
cos π = cos 180 = -1
taigi, pi kosinusas yra toks pat kaip 180 laipsnių kosinusas ir yra lygus minus vienetui.

3. Tangentas pi
tg π = tg 180 = 0
taigi liestinė pi yra tokia pati kaip 180 laipsnių liestinė ir lygi nuliui.

Sinuso, kosinuso, liestinės verčių lentelė kampams nuo 0 iki 360 laipsnių (bendrosios vertės)

Jei trigonometrinių funkcijų verčių lentelėje vietoj funkcijos reikšmės nurodomas brūkšnys (liestinė (tg) 90 laipsnių, kotangentė (ctg) 180 laipsnių), tada nurodytai kampo laipsnio mato vertei funkcija neturi konkrečios vertės. Jei brūkšnelio nėra, langelis tuščias, vadinasi, dar neįvedėme reikiamos reikšmės. Mes domimės, kokių užklausų vartotojai kreipiasi į mus ir papildo lentelę naujomis reikšmėmis, nepaisant to, kad dabartinių duomenų apie dažniausiai pasitaikančių kampų reikšmių kosinusų, sinusų ir liestinių reikšmes visiškai pakanka daugeliui išspręsti. problemų.

Trigonometrinių funkcijų sin, cos, tg reikšmių lentelė populiariausiems kampams
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 laipsnių
(skaitinės reikšmės „pagal Bradis lenteles“)

Sinusas Stačiojo trikampio smailusis kampas α yra santykis priešinga koja iki hipotenuzės.
Jis žymimas taip: sin α.

Kosinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas α yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.
Jis žymimas taip: cos α.

Tangentas smailusis kampas α yra priešingos pusės ir gretimos pusės santykis.
Jis žymimas taip: tg α.

Kotangentas smailusis kampas α yra gretimos ir priešingos pusės santykis.
Jis žymimas taip: ctg α.

Kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas priklauso tik nuo kampo dydžio.

Taisyklės:

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės stačiakampiame trikampyje:

(α - smailus kampas, priešingas kojai b ir greta kojos a . Šoninė Su – hipotenuzė. β – antrasis smailusis kampas).

Didėjant smailiam kampuisin α irįdegio α padidėjimas, ircos α mažėja.

Bet kuriam smailiam kampui α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Pavyzdys-paaiškinimas:

Įtraukite stačiakampį trikampį ABC
AB = 6,
BC = 3,
kampas A = 30º.

Išsiaiškinkime kampo A sinusą ir kampo B kosinusą.

Sprendimas.

1) Pirmiausia randame kampo B reikšmę. Čia viskas paprasta: kadangi stačiakampio trikampio smailiųjų kampų suma yra 90º, tada kampas B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Apskaičiuokime nuodėmę A. Žinome, kad sinusas lygus priešingos pusės ir hipotenuzės santykiui. Kampui A priešinga pusė yra kraštinė BC. Taigi:

BC 31
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Dabar apskaičiuokime cos B. Žinome, kad kosinusas yra lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui. Kampui B gretima kojelė yra ta pati pusė BC. Tai reiškia, kad vėl turime padalyti BC iš AB - tai yra, atlikti tuos pačius veiksmus, kaip ir skaičiuojant kampo A sinusą:

BC 31
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultatas yra:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Iš to išplaukia, kad stačiakampiame trikampyje vieno smailiojo kampo sinusas yra lygus kito smailiojo kampo kosinusui ir atvirkščiai. Būtent tai reiškia mūsų dvi formulės:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Dar kartą tuo įsitikinkime:

1) Tegul α = 60º. Pakeitę α reikšmę į sinuso formulę, gauname:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Tegul α = 30º. Pakeitę α reikšmę kosinuso formulėje, gauname:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(Daugiau informacijos apie trigonometriją rasite skyriuje Algebra)