Leonhardas Euleris (1707-1783) – žymus šveicarų ir rusų matematikas, Sankt Peterburgo mokslų akademijos narys, didžiąją gyvenimo dalį gyveno Rusijoje. Matematinės analizės, statistikos, informatikos ir logikos žinomiausias yra Eilerio apskritimas (Eulerio-Veno diagrama), naudojamas sąvokų ir elementų rinkinių apimčiai nurodyti.

Johnas Vennas (1834-1923) – anglų filosofas ir logikas, Eulerio-Venno diagramos bendraautoris.

Suderinamos ir nesuderinamos sąvokos

Sąvoka logikoje reiškia mąstymo formą, atspindinčią esmines vienarūšių objektų klasės ypatybes. Jie žymimi vienu ar žodžių grupe: „pasaulio žemėlapis“, „dominuojantis kvint akordas“, „pirmadienis“ ir kt.

Tuo atveju, kai vienos sąvokos apimties elementai visiškai ar iš dalies priklauso kitos, kalbame apie suderinamas sąvokas. Jei nei vienas tam tikros sąvokos apimties elementas nepriklauso kitos sąvokos apimčiai, turime situaciją su nesuderinamomis sąvokomis.

Savo ruožtu kiekvienas sąvokos tipas turi savo galimų santykių rinkinį. Suderinamos sąvokos yra šios:

• tūrių tapatumas (lygiavertiškumas);
• tūrių susikirtimas (dalinis sutapimas);
• pavaldumas (subordinacija).

Nesuderinamiems dalykams:

• pavaldumas (koordinacija);
• priešingas (priešingas);
• prieštaravimas (prieštaravimas).

Schematiškai ryšiai tarp sąvokų logikoje dažniausiai žymimi naudojant Eulerio-Venno apskritimus.

Lygiavertiškumo ryšiai

Šiuo atveju sąvokos reiškia tą patį dalyką. Atitinkamai, šių sąvokų apimtis visiškai sutampa. Pavyzdžiui:

A – Sigmundas Freudas;

B yra psichoanalizės pradininkas.

A - kvadratas;

B - lygiakraštis stačiakampis;

C yra lygiakampis rombas.

Žymėjimui naudojami visiškai sutampantys Eulerio apskritimai.

Sankryža (dalinė atitiktis)

A - mokytojas;

B yra muzikos mylėtojas.

Kaip matyti iš šio pavyzdžio, sąvokų apimtis iš dalies sutampa: tam tikra mokytojų grupė gali pasirodyti melomanai, ir atvirkščiai – tarp melomanų gali būti ir mokytojo profesijos atstovų. Panašus ryšys bus ir tuo atveju, kai sąvoka A yra, pavyzdžiui, „miesto gyventojas“, o sąvoka B – „vairuotojas“.

Subordinacija (pavaldumas)

Schematiškai žymimi kaip skirtingų mastelių Eulerio apskritimai. Santykiams tarp sąvokų šiuo atveju būdinga tai, kad šalutinė sąvoka (mažesnės apimties) visiškai įtraukiama į šalutinę (didesnės apimties). Tuo pačiu metu pavaldi sąvoka visiškai neišsemia pavaldinio.

Pavyzdžiui:

A - medis;

B - pušis.

Sąvoka B bus pavaldus sąvokai A. Kadangi pušis priklauso medžiams, sąvoka A šiame pavyzdyje tampa subordinuota, „sugerianti“ sąvokos B tūrį.

Pavaldumas (koordinavimas)

Santykis apibūdina dvi ar daugiau sąvokų, kurios išskiria viena kitą, bet kartu priklauso tam tikram bendriniam ratui. Pavyzdžiui:

A - klarnetas;

B - gitara;

C - smuikas;

D – muzikos instrumentas.

Sąvokos A, B, C nepersidengia viena su kita, tačiau visos priklauso muzikos instrumentų kategorijai (sąvoka D).

Priešingai (priešingai)

Priešingi sąvokų santykiai reiškia, kad šios sąvokos priklauso tai pačiai genčiai. Be to, viena iš sąvokų turi tam tikrų savybių (ženklų), o kita jas neigia, gamtoje pakeisdama priešingomis. Taigi, mes susiduriame su antonimais. Pavyzdžiui:

A - nykštukas;

B yra milžinas.

Esant priešingiems sąvokų santykiams, Eilerio apskritimas yra padalintas į tris segmentus, iš kurių pirmasis atitinka sąvoką A, antrasis – sąvoką B, o trečiasis – visas kitas galimas sąvokas.

Prieštaravimas (prieštaravimas)

Šiuo atveju abi sąvokos reiškia tos pačios genties rūšis. Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, viena iš sąvokų nurodo tam tikras savybes (ženklus), o kita jas paneigia. Tačiau, skirtingai nei opozicijos santykis, antroji, priešinga sąvoka nepakeičia paneigtų savybių kitomis, alternatyviomis. Pavyzdžiui:

A – sunki užduotis;

B yra lengva užduotis (ne-A).

Išreiškiant tokio pobūdžio sąvokų apimtį, Eulerio ratas yra padalintas į dvi dalis – trečiosios, tarpinės grandies šiuo atveju nėra. Taigi sąvokos taip pat yra antonimai. Tokiu atveju vienas iš jų (A) tampa teigiamas (patvirtinantis kokį nors požymį), o antrasis (B arba ne A) tampa neigiamas (paneigiamas atitinkamas požymis): „baltas popierius“ - „ne baltas popierius“, „buitinis“. istorija“ – „užsienio istorija“ ir kt.

Taigi sąvokų tūrių santykis vienas kito atžvilgiu yra pagrindinė charakteristika, apibrėžianti Eulerio apskritimus.

Ryšiai tarp aibių

Taip pat turėtumėte atskirti elementų ir rinkinių sąvokas, kurių tūrį atspindi Eilerio apskritimai. Aibės sąvoka yra pasiskolinta iš matematikos mokslo ir turi gana plačią reikšmę. Logikos ir matematikos pavyzdžiai parodo jį kaip tam tikrą objektų rinkinį. Patys objektai yra šio rinkinio elementai. „Aibė yra daug dalykų, suvokiama kaip vienas“ (Georgas Cantoras, aibių teorijos įkūrėjas).

Rinkiniai žymimi didžiosiomis raidėmis: A, B, C, D... ir tt, rinkinių elementai žymimi mažosiomis raidėmis: a, b, c, d... ir tt Rinkinio pavyzdžiai gali būti mokiniai ta pati klasė, tam tikroje lentynoje stovinčios knygos (arba, pavyzdžiui, visos tam tikros bibliotekos knygos), dienoraščio puslapiai, uogos miško proskynoje ir pan.

Savo ruožtu, jei tam tikroje aibėje nėra nė vieno elemento, tada ji vadinama tuščia ir žymima ženklu Ø. Pavyzdžiui, lygiagrečių tiesių susikirtimo taškų aibė, lygties x 2 = -5 sprendinių aibė.

Problemų sprendimas

Eulerio apskritimai aktyviai naudojami sprendžiant daugybę problemų. Logikos pavyzdžiai aiškiai parodo ryšį tarp loginių operacijų ir aibių teorijos. Šiuo atveju naudojamos sąvokų tiesos lentelės. Pavyzdžiui, apskritimas, pažymėtas pavadinimu A, reiškia tiesos sritį. Taigi sritis už apskritimo reikš melą. Norėdami nustatyti loginės operacijos diagramos plotą, turėtumėte nuspalvinti sritis, apibrėžiančias Eulerio apskritimą, kurioje jo elementų A ir B reikšmės bus teisingos.

Eulerio apskritimų naudojimas buvo plačiai pritaikytas įvairiose pramonės šakose. Pavyzdžiui, profesinio pasirinkimo situacijoje. Jei subjektas yra susirūpinęs dėl būsimos profesijos pasirinkimo, jis gali vadovautis šiais kriterijais:

W - ką aš mėgstu veikti?

D - ką aš darau?

P - kaip aš galiu uždirbti gerų pinigų?

Pavaizduokime tai diagramos pavidalu: Eulerio apskritimai (logikos pavyzdžiai – sankirtos santykis):

Rezultatas bus tos profesijos, kurios bus visų trijų ratų sankirtoje.

Matematikoje (aibių teorijoje) skaičiuojant derinius ir savybes Eulerio-Veno apskritimai užima ypatingą vietą. Stačiakampio, žyminčio universaliąją aibę (U), paveiksle yra elementų aibės Eulerio apskritimai. Vietoj apskritimų galima naudoti ir kitas uždaras figūras, tačiau esmė nesikeičia. Figūros susikerta viena su kita, pagal uždavinio sąlygas (bendriausiu atveju). Be to, šie skaičiai turi būti atitinkamai pažymėti. Nagrinėjamų rinkinių elementai gali būti taškai, esantys įvairiuose diagramos segmentuose. Remiantis juo, tam tikros sritys gali būti nuspalvintos, taip pažymint naujai suformuotus rinkinius.

Su šiomis aibėmis galima atlikti pagrindines matematines operacijas: sudėtį (elementų aibių sumą), atimtį (skirtumą), daugybą (sandarą). Be to, Eulerio-Venno diagramų dėka galima palyginti rinkinius pagal juose esančių elementų skaičių, jų neskaičiuojant.

Darbo tekstas skelbiamas be vaizdų ir formulių.
Pilną darbo versiją rasite skirtuke „Darbo failai“ PDF formatu

Šiais laikais aplink mus sukaupta labai daug informacijos, kurią suprasti gali būti sunku. Todėl daugelis nežino, kad už pavadinimo „Eulerio apskritimai“ slypi praktiškas ir patogus įvairių problemų sprendimo būdas. Visi yra apie juos girdėję, tačiau tik nedaugelis gali paaiškinti, kas tai yra. Tačiau manau, kad Eulerio apskritimai yra naudingi tiek kasdieniame gyvenime, tiek moksle, todėl kiekvienas turėtų žinoti, kaip jais naudotis. Šiame darbe surinkau visą reikiamą informaciją, kad suprasčiau, kas yra Eulerio apskritimai ir kur juos patogu naudoti.

Eulerio apskritimai yra geometrinė diagrama, kurią galima naudoti norint vizualizuoti skirtingų aibių ir poaibių ryšius. Ši schema padeda rasti loginius ryšius tarp reiškinių ir sąvokų, ją sugalvojo Leonhardas Euleris, ji naudojama matematikoje ir kitose mokslo disciplinose. Eulerio ratų naudojimas supaprastina samprotavimą ir padeda greičiau ir lengviau gauti atsakymą. (1), (2)

Eulerio apskritimai yra neatsiejamai susiję su aibės sąvoka. Todėl, norėdami geriau suprasti, kas pavaizduota ant Eilerio apskritimų, turite žinoti, kas yra rinkinys ir kokių tipų rinkiniai yra.

Aibė gali būti suprantama kaip bet kokių objektų, vadinamų rinkinio elementais, rinkinys. Rinkiniai gali sujungti bet kokius objektus su bendra charakteristika. Pavyzdžiui, 11 gimnazijos ir 7 „B“ klasės mokinių rinkinys sudaro atskirą rinkinį. Taip pat gali būti negyvų objektų rinkiniai. Pavyzdžiui, daug knygų, parašytų kokio nors autoriaus. Eulerio apskritimų pagalba aibė žymima kaip tuščias apskritimas, o jos elementai – taškais. (5)

Nubraižykime daug skaičių. Paveiksle kontūras žymi rinkinį, o šio rinkinio elementai – taškais.

Yra trijų tipų rinkiniai:

· Baigtinis (pavyzdžiui, daug skaičių)

· Begalinis (pavyzdžiui, skaičių rinkinys)

· Tuščias (natūraliųjų skaičių rinkinys

mažiau nei nulis). (5)

Objektų grupė, kuri sudaro aibę didesnėje aibėje, vaizduojama kaip mažesnis apskritimas, nubrėžtas didesnio apskritimo viduje, ir vadinama poaibiu. Šis ryšys susidaro tarp daugybės gyvūnų ir jų plokščiųjų kirmėlių pogrupio. (5)

Tais atvejais, kai dvi sąvokos sutampa tik iš dalies, santykis tarp tokių aibių vaizduojamas naudojant du susikertančius apskritimus. Toks ryšys susiformuoja tarp daugelio 7 „B“ klasės mokinių ir daugelio C mokinių. Kai kurie 7 „B“ klasės mokinių aibės elementai taip pat priklauso C mokinių aibei. (5)

Kai joks objektas iš vienos aibės vienu metu negali priklausyti antrajai aibei, tada jų tarpusavio santykis vaizduojamas dviem apskritimais, nubrėžtais vienas už kito. Tokios aibės yra neigiamų ir teigiamų skaičių aibė. (5)

Eulerio apskritimai buvo išrasti ir pavadinti Leonardo Eulerio vardu (portretas kairėje). Jis buvo Šveicarijos matematikas, daug prisidėjęs prie matematikos, taip pat mechanikos, fizikos, astronomijos ir daugelio taikomųjų mokslų plėtros. Euleris gimė Šveicarijoje, studijavo Vokietijoje, bet dirbo ir mirė Rusijoje. Šis mokslininkas yra 800 darbų autorius. Leonhardas Euleris gimė 1707 m. pastoriaus šeimoje. Jo tėvas buvo Bernoulli šeimos draugas. Euleris parodė ankstyvus matematinius sugebėjimus. Mokydamasis gimnazijoje vaikinas entuziastingai studijavo matematiką, o vėliau pradėjo lankyti Johano Bernoulli paskaitas universitete. 1720 m. spalio 20 d. Leonhardas Euleris tapo Bazelio universiteto Menų fakulteto studentu. Gabus jaunuolis patraukė profesoriaus Johano Bernoulli dėmesį. Jis davė studentui mokytis matematinių straipsnių, taip pat pakvietė atvykti į savo namus kartu analizuoti nesuprantamo. Savo mokytojo namuose Euleris susitiko ir pradėjo bendrauti su Bernoulli sūnumis Danieliumi (portretas kairėje) ir Nikolajumi (portretas dešinėje), kurie taip pat užsiėmė matematika. (6)

Jaunasis Euleris parašė keletą mokslinių darbų. „Fizikos disertacija apie garsą“ sulaukė palankaus įvertinimo. Tuo metu laisvų mokslo darbo vietų Šveicarijoje buvo nedaug. Todėl broliai Daniilas ir Nikolajus Bernulai išvyko į Rusiją, kur pradėjo kurtis Rusijos mokslų akademija; jie pažadėjo ten dirbti Eulerio poste. 1726 metų žiemos pradžioje Euleris gavo laišką iš Sankt Peterburgo: broliams Bernuliams rekomendavus buvo pakviestas į fiziologijos adjunkto pareigas su 200 rublių atlyginimu. Euleris daug laiko praleido Rusijoje, kur reikšmingai prisidėjo prie Rusijos mokslo. 1731 metais buvo išrinktas Sankt Peterburgo akademijos akademiku. Puikiai mokėjo rusų kalbą, leido esė ir vadovėlius rusų kalba. (6)

Tada Euleris išsamiai aprašo savo tam tikrų problemų sprendimo metodą naudojant Eulerio apskritimus. 1741 m. Euleris rašo „Laiškus įvairiais fiziniais ir filosofiniais dalykais tam tikrai vokiečių princesei...“, kuriame mini „Eulerio ratus“. Euleris rašė, kad „apskritimai yra labai tinkami mūsų mąstymui palengvinti“. (3)

Eulerio metodas sulaukė pelnyto pripažinimo ir populiarumo. Ir po jo daugelis mokslininkų tai naudojo savo darbe, taip pat savaip modifikavo. Bernardas Bolzano naudojo tą patį metodą, bet su stačiakampiais raštais. Dėl Venno indėlio šis metodas netgi vadinamas Venno diagramomis arba Eulerio-Veno diagramomis. Eulerio apskritimai turi taikomąjį tikslą, tai yra, su jų pagalba praktiškai išsprendžiamos problemos, susijusios su matematikos, logikos, valdymo ir kt. aibių sąjunga ar susikirtimu. (1)

Štai keletas problemų, kurias reikia išspręsti ir kurias patogu naudoti naudojant Eulerio apskritimus:

1 užduotis.

Vienos mokyklos vaikai buvo paklausti apie savo augintinius. 100 iš jų atsakė, kad namuose turi šunį ir/ar katę. 87 vaikinai turėjo vieną šunį, o 63 vaikinai – vieną katę. Kiek vaikinų turi ir šunį, ir katę?

Sprendimas:

Norėdami išspręsti šią problemą nenaudodami Eulerio apskritimų, turite suskaičiuoti, kiek šunų ir kačių turėjo mokiniai. Tam reikia pridėti 87 ir 63. 87+63=150 augintinių. Buvo tik 100 studentų, o nedidelio skaičiaus augintinių negalima gauti. Tai reiškia, kad jei kiekvienas mokinys turi 1 augintinį, vis tiek lieka 50 papildomų. Todėl 50 mokinių turi 2 augintinius. O kadangi problema nurodo, kad nei vienas iš mokinių neturi 2 kačių ar 2 šunų, tai reiškia, kad 50 mokinių turi ir katę, ir šunį.

Tačiau šis metodas yra ilgas ir tinka tik paprastoms užduotims. Daug patogiau tokią problemą išspręsti naudojant Eulerio apskritimus.

Šunų savininkų rinkinį pavaizduokime raudonu apskritimu, o kačių – mėlynu apskritimu. Iš viso mokėsi 100 mokinių, kurie turi ir katę, ir šunį X. Norint rasti mokinių, turinčių tik šunį, skaičių reikia atimti X iš 87. Kadangi iš viso yra 100 mokinių, gauname:

X=50 mokinių

Atsakymas: 50 studentų turi ir katę, ir šunį

2 užduotis.

Vieną dieną mokiniai buvo paklausti, kuriam iš jų patinka matematika, kuriam rusų kalba, o kuriam – fizika. Paaiškėjo, kad iš 36 mokinių 2 nemėgo nei matematikos, nei rusų kalbos, nei fizikos. Matematika patinka 25, rusų – 11, fizika – 17; tiek matematika, tiek rusų kalba - 6; tiek matematika, tiek fizika - 10; Rusų kalba ir fizika - 4.

Kiek žmonių mėgsta visas tris temas?

Sprendimas:

Pavaizduokime 3 rinkinius. Raudonas rinkinys yra tiems, kurie mėgsta matematiką, mėlynas - tiems, kurie mėgsta rusų kalbą, o žalias yra fizika.

Dabar įveskite elementų skaičių į rinkinius. 6 žmonės mėgsta rusų kalbą ir matematiką. Iš jų X žmonės taip pat mėgsta fiziką. Tai reiškia, kad matematiką ir rusų kalbą mėgsta tik 6 žmonės. Tik matematika ir fizika 10-X žmonės, tik rusų kalba ir fizika 4-X žmonės. 25 žmonės mėgsta matematiką. Tačiau X, 6-X, 10-X žmonės taip pat mėgsta kitus objektus. Tai reiškia, kad tik matematiką mėgsta 25-(6-X)-(10-X)-X= 25-6+X-10+X -X=5+X žmonės. Tik rusų kalbą mėgsta 11-(6-Х)-(4-Х)-Х= 11-10+2Х-Х=1+Х mokinių, tik fiziką 17-(10-Х)-(4-Х) -Х= 17-14+2X-X= 3+X.

Kadangi 2 žmonėms nepatinka nė vienas iš šių elementų, tada:

3+X+9+X+1+X+6-X+10-X+4-X+X=36-2

Atsakymas: 1 žmogui patinka visi trys daiktai

3 užduotis.

Lentelėje pateikiamos užklausos ir rastų puslapių skaičius tam tikram interneto segmentui.

Kiek puslapių (tūkstančiais) bus rasta užklausai pobūdis? (4)

Sprendimas :

Žmonių prašymu rasta 2100 tūkst. 900 iš jų taip pat apie gamtą. Tai reiškia, kad yra 2100-900=200 tūkstančių puslapių tik apie žmogų, o X-900 tūkstančių tik apie gamtą. Mes tai gauname:

2100-900+X-900+900=3400

2100-900+X=3400

X=2200 tūkst puslapių

Atsakymas: užklausa gamta ras 2200 tūkstančių puslapių.

Kaip matote, Eulerio apskritimai yra naudingas ir svarbus atradimas matematikai apskritai ir kiekvienam iš mūsų konkrečiai. Eulerio apskritimai randami ne tik egzaminuose, bet mums jų reikia ir kasdieniame gyvenime. Tai įdomus ir reikalingas dalykas, kurio nevalia pamiršti.

Literatūra:

https://www.tutoronline.ru/blog/krugi-jejlera

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%B8_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1 %80%D0%B0

http://sibac.info/shcoolconf/science/xvii/42485

http://www.jwy.narod.ru/logic/_04_eiler.html

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80,_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD %D0%B0%D1%80%D0%B4

Logikos. Vadovėlis Gusevas Dmitrijus Aleksejevičius

1.6. Eilerio apskritimo diagramos

1.6. Eilerio apskritimo diagramos

Kaip jau žinome, logikoje yra šeši sąvokų santykių variantai. Bet kurios dvi panašios sąvokos būtinai yra viename iš šių santykių. Pavyzdžiui, sąvokos rašytojas Ir rusų yra sankryžos atžvilgiu, rašytojas Ir Žmogaus– pateikimas, Maskva Ir Rusijos sostinė– lygiavertiškumas, Maskva Ir Peterburgas– pavaldumas, šlapias kelias Ir sausas kelias- priešingybės, Antarktida Ir žemynas– pateikimas, Antarktida Ir Afrika– pavaldumas ir pan., ir t.t.

Turime atkreipti dėmesį į tai, kad jei dvi sąvokos žymi, pavyzdžiui, dalį ir visumą mėnuo Ir metų, tada juos sieja pavaldumo santykiai, nors gali atrodyti, kad tarp jų yra pavaldumo santykiai, nes mėnuo įskaičiuojamas į metus. Tačiau jei sąvokos mėnuo Ir metų buvo pavaldiniai, tuomet reiktų tvirtinti, kad mėnuo būtinai yra metai, o metai – nebūtinai mėnuo (prisiminkime pavaldumo santykį pasitelkdami sąvokų pavyzdį karosas Ir žuvis: karosas būtinai yra žuvis, bet žuvis nebūtinai karosas). Mėnuo nėra metai, o metai nėra mėnuo, bet abu yra laiko tarpas, todėl mėnesio ir metų sąvokos, taip pat sąvokos knyga Ir knygos puslapis, automobilis Ir automobilio ratas, molekulė Ir atomas ir pan., yra pavaldumo santykiuose, nes dalis ir visuma nėra tas pats, kas rūšis ir gentis.

Pradžioje buvo sakoma, kad sąvokos gali būti palyginamos ir nepalyginamos. Manoma, kad šeši nagrinėjamų santykių variantai yra taikomi tik palyginamoms sąvokoms. Tačiau galima teigti, kad visos nepalyginamos sąvokos viena su kita yra susijusios subordinacijos santykiu. Pavyzdžiui, tokios neprilygstamos sąvokos kaip pingvinas Ir dangaus kūnas gali būti laikomas pavaldiniu, nes pingvinas nėra dangaus kūnas ir atvirkščiai, bet tuo pačiu ir sąvokų apimtis pingvinas Ir dangaus kūnas yra įtrauktos į platesnę trečiosios sąvokos apimtį, su jais susijusią bendrinę: tai gali būti sąvoka supančio pasaulio objektas arba materijos forma(juk ir pingvinas, ir dangaus kūnas yra skirtingi supančio pasaulio objektai arba skirtingos materijos formos). Jei viena sąvoka reiškia kažką materialaus, o kita – nematerialų (pvz. medis Ir maniau), tada šių (kaip galima teigti) antraeilių sąvokų bendroji sąvoka yra būties forma, nes medis, mintis ir visa kita yra skirtingos būties formos.

Kaip jau žinome, sąvokų ryšiai pavaizduoti Eulerio apskritimo diagramomis. Be to, iki šiol schematiškai pavaizdavome dviejų sąvokų ryšį, ir tai galima padaryti naudojant daugybę sąvokų. Pavyzdžiui, sąvokų santykiai bokseris, juodas Ir Žmogaus

Santykinė apskritimų padėtis rodo, kad sąvokos boksininkas Ir juodaodis žmogus yra susiję su sankryža (boksininkas gali būti negras ir gali nebūti, o negras gali būti boksininkas ir gali nebūti), ir sąvokos boksininkas Ir Žmogus, kaip ir sąvokos juodaodis žmogus Ir Žmogaus yra subordinacijos santykiuose (juk bet koks boksininkas ir bet koks negras būtinai yra asmuo, bet žmogus negali būti nei boksininkas, nei negras).

Panagrinėkime sąvokų ryšius senelis, tėvas, vyras, žmogus naudojant apskritą diagramą:

Kaip matome, šios keturios sąvokos yra nuoseklios subordinacijos santykiu: senelis būtinai yra tėvas, o tėvas nebūtinai yra senelis; bet kuris tėvas būtinai yra vyras, bet ne kiekvienas vyras yra tėvas; ir galiausiai vyras būtinai yra vyras, bet ne tik vyras gali būti vyras. Sąvokų ryšiai plėšrūnas, žuvis, ryklys, piranija, lydeka, gyva būtybė yra pavaizduoti šioje diagramoje:

Pabandykite patys pakomentuoti šią diagramą, nustatydami visų tipų ryšius tarp joje esančių sąvokų.

Apibendrinant pastebime, kad sąvokų santykiai yra santykiai tarp jų tūrių. Tai reiškia, kad tam, kad būtų galima nustatyti sąvokų ryšius, jų apimtis turi būti aštri, o turinys atitinkamai aiškus, t. y. šios sąvokos turi būti apibrėžtos. Kalbant apie aukščiau aptartas neapibrėžtas sąvokas, nustatyti tikslius ryšius tarp jų yra gana sunku, iš tikrųjų neįmanoma, nes dėl jų turinio neapibrėžtumo ir neaiškios apimties bet kurios dvi neapibrėžtos sąvokos gali būti apibūdinamos kaip lygiavertės arba susikertančios, arba kaip. pavaldinys ir tt Pavyzdžiui, ar galima nustatyti ryšius tarp neaiškių sąvokų aplaidumas Ir aplaidumas? Ar tai bus lygiavertiškumas, ar pavaldumas, tiksliai pasakyti neįmanoma. Taigi neapibrėžtų sąvokų santykiai taip pat yra neapibrėžti. Todėl akivaizdu, kad tose intelektualinės ir kalbos praktikos situacijose, kai būtinas tikslumas ir nedviprasmiškumas nustatant sąvokų ryšius, neaiškių sąvokų vartojimas yra nepageidautinas.