Nelygybių sprendimas skaičių tiesėje. Trupmeninės racionalios nelygybės

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote gobbledygook, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių, kuriame rasite naudingiausių išteklių

Jums tereikia suprasti šį metodą ir žinoti jį kaip savo penkis pirštus! Jau vien todėl, kad jis naudojamas racionalioms nelygybėms spręsti ir todėl, kad tinkamai žinant šį metodą, šias nelygybes išspręsti stebėtinai paprasta. Šiek tiek vėliau papasakosiu keletą paslapčių, kaip sutaupyti laiko sprendžiant šias nelygybes. Na, ar jus suintrigavo? Tada eime!

Metodo esmė yra suskaidyti nelygybę į veiksnius (pakartokite temą) ir nustatyti ODZ bei veiksnių ženklą, dabar aš viską paaiškinsiu. Paimkime paprasčiausią pavyzdį: .

Čia nereikia rašyti priimtinų reikšmių diapazono (), nes nėra padalijimo iš kintamojo ir čia nėra pastebėtų radikalų (šaknų). Viskas čia mums jau suskaičiuota. Tačiau neatsipalaiduokite, visa tai tam, kad primintų jums pagrindus ir suprastumėte esmę!

Tarkime, jūs nežinote intervalo metodo, kaip išspręstumėte šią nelygybę? Žiūrėkite logiškai ir remkitės tuo, ką jau žinote. Pirma, kairė pusė bus didesnė už nulį, jei abi išraiškos skliausteliuose yra didesnės už nulį arba mažesnės už nulį, nes „pliusas“ reiškia „pliusą“ reiškia „pliusą“, o „minusas“ reiškia „minusą“ suteikia „pliusą“, tiesa? Ir jei skliausteliuose esančių posakių ženklai skiriasi, tada galiausiai kairioji pusė bus mažesnė už nulį. Ko reikia, kad išsiaiškintume tas vertes, kuriose skliausteliuose pateiktos išraiškos bus neigiamos arba teigiamos?

Reikia išspręsti lygtį, tai lygiai tas pats, kas nelygybė, tik vietoj ženklo bus ženklas, šios lygties šaknys leis nustatyti tas ribines reikšmes, nuo kurių nukrypstant faktoriai bus didesni arba mažiau nei nulis.

O dabar patys intervalai. Kas yra intervalas? Tai yra tam tikras skaičių eilutės intervalas, ty visi galimi skaičiai, esantys tarp dviejų skaičių - intervalo galų. Šiuos intervalus nėra taip lengva įsivaizduoti savo galvoje, todėl įprasta brėžti intervalus, aš jus dabar išmokysiu.

Nubrėžiame visą skaičių seriją nuo ir iki jos. Ašyje brėžiami taškai, vadinamieji funkcijos nuliai, reikšmės, kuriose išraiška lygi nuliui. Šie taškai yra „prisegti“, o tai reiškia, kad jie nėra tarp vertybių, kuriose nelygybė yra tiesa. Šiuo atveju jie pradurti, nes pažymėkite nelygybę ir ne, tai yra griežtai didesnis už ir ne didesnis arba lygus.

Noriu pasakyti, kad nebūtina žymėti nulio, tai čia be apskritimų, o tik supratimui ir orientavimuisi pagal ašį. Gerai, nubrėžėme ašį, sudėjome taškus (tiksliau, apskritimus), kas toliau, kaip tai man padės sprendžiant? - klausi tu. Dabar tiesiog paimkite x reikšmę iš eilės intervalų ir pakeiskite jas į savo nelygybę ir pažiūrėkite, kokį ženklą gauna daugyba.

Trumpai tariant, mes tiesiog paimame, pavyzdžiui, pakeiskite jį čia, jis pasiteisins, o tai reiškia, kad nelygybė galios visame intervale (per visą intervalą) nuo iki, iš kurio mes ją paėmėme. Kitaip tariant, jei x yra nuo iki, tada nelygybė yra teisinga.

Tą patį darome su intervalu nuo iki, imame arba, pavyzdžiui, pakeičiame, nustatome ženklą, ženklas bus „minusas“. Tą patį darome su paskutiniu, trečiu intervalu nuo iki, kur ženklas pasirodo esantis „pliusas“. Ten tiek daug teksto, bet nepakankamai aiškumo, tiesa?

Dar kartą pažvelkite į nelygybę.

Dabar mes taip pat taikome ženklus, kurie bus gauti kaip rezultatas, toje pačioje ašyje. Mano pavyzdyje trūkinė linija žymi teigiamas ir neigiamas ašies dalis.

Pažvelkite į nelygybę – į piešinį, vėl į nelygybę – ir vėl į piešinį, ar kas nors aišku? Dabar pabandykite pasakyti, kokiais intervalais X nelygybė bus teisinga. Tiesa, nuo iki nelygybė taip pat bus teisinga nuo iki, bet intervale nuo iki nelygybė yra nulis ir šis intervalas mums mažai įdomus, nes mes turime ženklą nelygybėje.

Na, o dabar, kai tai supratote, belieka užsirašyti atsakymą! Atsakydami rašome tuos intervalus, kurių kairioji pusė yra didesnė už nulį, kuri skaitoma kaip X priklauso intervalui nuo minus begalybės iki minus vieneto ir nuo dviejų iki plius begalybės. Verta paaiškinti, kad skliaustai reiškia, kad reikšmės, kuriomis ribojamas intervalas, nėra nelygybės sprendiniai, tai yra, jie neįtraukiami į atsakymą, o tik nurodo, kad iki, pavyzdžiui, nėra sprendimas.

Dabar pavyzdys, kuriame turėsite ne tik nubrėžti intervalą:

Ką, jūsų nuomone, reikia padaryti prieš dedant taškus ant ašies? Taip, suskirstykite tai į veiksnius:

Nubrėžiame intervalus ir dedame ženklus, pastebime, kad turime pradurtų taškų, nes ženklas yra griežtai mažesnis už nulį:

Atėjo laikas atskleisti vieną paslaptį, kurią pažadėjau šios temos pradžioje! O kas, jei sakyčiau, kad jums nereikia keisti kiekvieno intervalo reikšmių, kad nustatytumėte ženklą, bet jūs galite nustatyti ženklą viename iš intervalų, o likusiuose - tiesiog kaitalioti ženklus!

Taigi, sutaupėme šiek tiek laiko ženklų dėjimui - manau, kad šis vieningo valstybinio egzamino laikas nepakenks!

Rašome atsakymą:

Dabar apsvarstykite trupmeninės-racionalios nelygybės pavyzdį – nelygybę, kurios abi dalys yra racionalios išraiškos (žr.).

Ką galite pasakyti apie šią nelygybę? Ir jūs žiūrite į tai kaip į trupmeninę ir racionalią lygtį, ką mes darome pirmiausia? Iš karto matome, kad nėra šaknų, o tai reiškia, kad tai tikrai racionalu, bet tada tai yra trupmena ir net su nežinomuoju vardikliu!

Teisingai, mums reikia ODZ!

Taigi, eikime toliau, čia visi veiksniai, išskyrus vieną, turi pirmojo laipsnio kintamąjį, tačiau yra veiksnys, kur x turi antrąjį laipsnį. Paprastai mūsų ženklas pasikeisdavo pravažiavus vieną iš taškų, kuriame kairioji nelygybės pusė įgyja nulinę reikšmę, kuriai mes nustatėme, kam x turi būti lygus kiekviename veiksnyne. Bet čia tai visada teigiama, nes bet koks skaičius kvadratu > nulis ir teigiamas narys.

Kaip manote, ar tai turės įtakos nelygybės prasmei? Teisingai – tai neturės įtakos! Galime drąsiai padalyti nelygybę į abi dalis ir tokiu būdu pašalinti šį veiksnį, kad jis neskaudėtų.

Atėjo laikas nubrėžti intervalus, kad tai padarytumėte, turite nustatyti tas ribines vertes, nuo kurių nukrypstant daugikliai bus didesni ir mažesni už nulį. Bet atkreipkite dėmesį, kad čia yra ženklas, o tai reiškia, kad mes neišskirsime taško, kuriame kairioji nelygybės pusė įgauna nulinę reikšmę, ji yra įtraukta į sprendinių skaičių, mes turime tik vieną tokį tašką, tai taškas, kuriame x yra lygus vienetui. Ar nuspalvinsime tašką, kuriame vardiklis yra neigiamas? - Žinoma, kad ne!

Vardiklis neturi būti nulis, todėl intervalas atrodys taip:

Naudodami šią diagramą galite lengvai parašyti atsakymą, aš tiesiog pasakysiu, kad dabar turite naujo tipo laikiklį - kvadratinį! Čia yra laikiklis [ sako, kad reikšmė įtraukiama į sprendimo intervalą, t.y. yra atsakymo dalis, šis skliaustas atitinka užpildytą (neprisegtą) ašies tašką.

Taigi, ar gavote tą patį atsakymą?

Mes suskirstome jį į veiksnius ir perkeliame viską į vieną pusę, juk tereikia palikti nulį dešinėje, kad su juo būtų galima palyginti:

Atkreipiu jūsų dėmesį į tai, kad paskutinėje transformacijoje, norėdamas gauti tiek skaitiklyje, tiek vardiklyje, abi nelygybės puses padauginu iš. Atsiminkite, kad abi nelygybės puses padauginus iš nelygybės ženklas pasikeičia į priešingą!!!

Rašome ODZ:

Priešingu atveju vardiklis pasieks nulį ir, kaip prisimenate, negalite padalyti iš nulio!

Sutikite, susidariusi nelygybė vilioja sumažinti skaitiklį ir vardiklį! Tai negali būti padaryta, galite prarasti kai kuriuos sprendimus arba ODZ!

Dabar pabandykite patys išdėstyti taškus ant ašies. Pastebėsiu tik tai, kad braižant taškus reikia atkreipti dėmesį į tai, kad taškas su reikšme, kuris pagal ženklą atrodytų, kad ašyje būtų nupieštas kaip tamsintas, nebūtų užtamsintas, jis bus išmuštas! Kodėl klausiate? Ir atsiminkite ODZ, jūs taip nedalysite iš nulio?

Atminkite, ODZ yra pirmoje vietoje! Jei visos nelygybės ir lygybės ženklai sako viena, o ODZ sako kitą, pasitikėk ODZ, puikus ir galingas!

Na, jūs sukūrėte intervalus, aš tikiu, kad supratote mano užuominą apie kaitaliojimą ir gavote taip (žr. paveikslėlį žemiau) Dabar perbraukite ir daugiau nedarykite tos klaidos! Kokia klaida? - klausi tu.

Faktas yra tas, kad šioje nelygybėje veiksnys buvo pakartotas du kartus (pamenate, kaip bandėte jį sumažinti?). Taigi, jei koks nors veiksnys nelygybėje kartojasi lyginį skaičių, tai einant per ašies tašką, kuris paverčia šį koeficientą iki nulio (šiuo atveju taškas), ženklas nepasikeis, jei jis yra nelyginis , tada ženklas pasikeičia!

Ši ašis su intervalais ir ženklais bus teisinga:

Ir atkreipkite dėmesį, kad mus dominantis ženklas nėra tas, kuris buvo pradžioje (kai pirmą kartą pamatėme nelygybę, ženklas buvo), po transformacijų ženklas pasikeitė į, o tai reiškia, kad mus domina intervalai su ženklu.

Atsakymas:

Taip pat pasakysiu, kad būna situacijų, kai yra nelygybės šaknys, kurios nepatenka į jokį intervalą, atsakant jos rašomos riestiniuose skliaustuose, kaip pavyzdžiui: . Daugiau apie tokias situacijas galite perskaityti straipsnyje Vidutinis lygis.

1. Apibendrinkime, kaip išspręsti nelygybes naudojant intervalų metodą:
2. Viską perkeliame į kairę pusę, dešinėje paliekame tik nulį;
3. Randame ODZ;
4. Iš vieno iš intervalų paimame savavališką ženklą ir nustatome ženklą intervale, kuriam priklauso šaknis, kaitaliojame ženklus, atkreipdami dėmesį į šaknis, kurios nelygybėje pasikartoja kelis kartus, ar priklauso ženklas, eidamas per juos dėl to, kiek kartų jie pasikartoja, ar ne, lygumą ar nelygumą;
5. Atsakydami rašome intervalus, stebėdami pradurtus ir nepramuštus taškus (žr. ODZ), tarp jų padėdami reikiamus skliaustų tipus.

Ir galiausiai, mūsų mėgstamiausia skiltis „pasidaryk pats“!

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

INTERVALO METODAS. VIDURIO LYGIS

Linijinė funkcija

Formos funkcija vadinama tiesine. Paimkime funkciją kaip pavyzdį. Jis yra teigiamas ir neigiamas. Taškas yra funkcijos () nulis. Parodykime šios funkcijos ženklus skaičių ašyje:

Mes sakome, kad „funkcija keičia ženklą eidama per tašką“.

Matyti, kad funkcijos ženklai atitinka funkcijos grafiko padėtį: jei grafikas yra virš ašies, ženklas yra “ “, jei žemiau – “ “.

Jei gautą taisyklę apibendrinsime į savavališką tiesinę funkciją, gausime tokį algoritmą:

• Funkcijos nulio radimas;
• Pažymime jį skaičių ašyje;
• Nustatome funkcijos ženklą priešingose ​​nulio pusėse.

Kvadratinė funkcija

Tikiuosi, kad prisimenate, kaip išspręsti kvadratines nelygybes? Jei ne, skaitykite temą. Leiskite jums priminti bendrą kvadratinės funkcijos formą: .

Dabar prisiminkime, kokius ženklus užima kvadratinė funkcija. Jos grafikas yra parabolė, o funkcija naudoja ženklą " " tiems, kuriuose parabolė yra virš ašies, ir " " - jei parabolė yra žemiau ašies:

Jei funkcija turi nulius (reikšmes, kuriose), parabolė kerta ašį dviejuose taškuose - atitinkamos kvadratinės lygties šaknyse. Taigi ašis yra padalinta į tris intervalus, o funkcijos ženklai pakaitomis kinta eidami per kiekvieną šaknį.

Ar įmanoma kažkaip nustatyti ženklus kiekvieną kartą nenubrėžiant parabolės?

Prisiminkite, kad kvadratinį trinarį galima koeficientuoti:

Pavyzdžiui:.

Ašyje pažymėkime šaknis:

Prisimename, kad funkcijos ženklas gali keistis tik einant per šaknį. Pasinaudokime šiuo faktu: kiekvienam iš trijų intervalų, į kuriuos ašis dalijama šaknimis, funkcijos ženklą pakanka nustatyti tik viename savavališkai pasirinktame taške: likusiuose intervalo taškuose ženklas bus toks pat. .

Mūsų pavyzdyje: abiejose skliaustuose esančios išraiškos yra teigiamos (pakeitimas, pavyzdžiui:). Ant ašies dedame ženklą " ":

Na, kai (pavyzdžiui, pakaitalas), abu skliausteliai yra neigiami, o tai reiškia, kad produktas yra teigiamas:

Štai viskas intervalo metodas: žinodami kiekvieno intervalo veiksnių požymius, nustatome viso gaminio ženklą.

Taip pat panagrinėkime atvejus, kai funkcija neturi nulių arba turi tik vieną.

Jeigu jų nėra, vadinasi, nėra ir šaknų. Tai reiškia, kad nebus „praėjimo per šaknį“. Tai reiškia, kad funkcija užima tik vieną ženklą visoje skaičių eilutėje. Jį galima lengvai nustatyti pakeičiant jį funkcija.

Jei yra tik viena šaknis, parabolė liečia ašį, todėl funkcijos ženklas einant per šaknį nekinta. Kokią taisyklę galime sugalvoti tokioms situacijoms?

Jei įvertinsite tokią funkciją, gausite du identiškus veiksnius:

Ir bet kokia kvadratinė išraiška yra neneigiama! Todėl funkcijos ženklas nesikeičia. Tokiais atvejais paryškinsime šaknį, pro kurią važiuojant ženklas nesikeičia, apjuosdami ją kvadratu:

Tokią šaknį vadinsime kartotiniu.

Intervalinis metodas nelygybėse

Dabar bet kokią kvadratinę nelygybę galima išspręsti nenubrėžiant parabolės. Pakanka tik ant ašies išdėstyti kvadratinės funkcijos ženklus ir pasirinkti intervalus, priklausomai nuo nelygybės ženklo. Pavyzdžiui:

Išmatuokime šaknis ant ašies ir pastatykime ženklus:

Mums reikia ašies dalies su ženklu " "; kadangi nelygybė nėra griežta, į sprendimą įtraukiamos ir pačios šaknys:

Dabar apsvarstykite racionalią nelygybę – nelygybę, kurios abi pusės yra racionalios išraiškos (žr.).

Pavyzdys:

Visi veiksniai, išskyrus vieną, čia yra „linijiniai“, tai yra, juose yra kintamasis tik iki pirmosios laipsnio. Tokių tiesinių faktorių mums reikia intervalo metodo taikymui – ženklas keičiasi eidamas per jų šaknis. Tačiau daugiklis iš viso neturi šaknų. Tai reiškia, kad jis visada yra teigiamas (patikrinkite tai patys), todėl neturi įtakos visos nelygybės ženklui. Tai reiškia, kad galime iš jos padalinti kairę ir dešinę nelygybės puses ir taip jos atsikratyti:

Dabar viskas yra taip pat, kaip ir su kvadratinėmis nelygybėmis: nustatome, kuriuose taškuose kiekvienas veiksnys tampa nuliu, pažymime šiuos taškus ašyje ir išdėstome ženklus. Norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į labai svarbų faktą:

Atsakymas:. Pavyzdys:.

Norint taikyti intervalų metodą, turi būti viena iš nelygybės dalių. Todėl perkelkime dešinę pusę į kairę:

Skaitiklis ir vardiklis turi tą patį koeficientą, bet neskubėkite jo mažinti! Galų gale, mes galime pamiršti šį tašką. Šią šaknį geriau pažymėti kaip kartotinį, tai yra, einant pro ją, ženklas nepasikeis:

Atsakymas:.

Ir dar vienas labai iliustruojantis pavyzdys:

Vėlgi, tų pačių skaitiklio ir vardiklio veiksnių nepanaikiname, nes jei tai padarysime, turėsime konkrečiai prisiminti, kad taškas pradurtas.

• : kartoti kartus;
• : kartus;
• : kartus (skaitiklyje ir vienas vardiklyje).

Lyginio skaičiaus atveju darome taip pat, kaip ir anksčiau: aplink tašką nubrėžiame kvadratą, o eidami per šaknį ženklo nekeičiame. Tačiau nelyginio skaičiaus atveju ši taisyklė netaikoma: ženklas vis tiek pasikeis einant per šaknį. Todėl nieko papildomai su tokia šaknimi nedarome, lyg tai nebūtų kartotinis. Aukščiau pateiktos taisyklės taikomos visoms lyginėms ir nelyginėms galioms.

Ką turėtume parašyti atsakyme?

Jei pažeidžiamas ženklų kaitaliojimas, reikia būti labai atsargiems, nes jei nelygybė nėra griežta, atsakyme turi būti visi nuspalvinti taškai. Tačiau kai kurie iš jų dažnai išsiskiria, tai yra, jie neįtraukiami į šešėlinę sritį. Šiuo atveju mes pridedame juos prie atsakymo kaip atskirus taškus (garbanotuose skliaustuose):

Pavyzdžiai (spręskite patys):

Atsakymai:

1. Jei tarp veiksnių jis yra paprastas, tai yra šaknis, nes ją galima pavaizduoti kaip.
   .

INTERVALO METODAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Racionaliosioms nelygybėms spręsti naudojamas intervalų metodas. Jį sudaro gaminio ženklo nustatymas iš veiksnių ženklų įvairiais intervalais.

Racionaliųjų nelygybių sprendimo intervalų metodu algoritmas.

• Viską perkeliame į kairę pusę, dešinėje paliekame tik nulį;
• Randame ODZ;
• Visas nelygybės šaknis nubraižome ašyje;
• Iš vieno iš intervalų paimame savavališką ženklą ir nustatome ženklą intervale, kuriam priklauso šaknis, kaitaliojame ženklus, atkreipdami dėmesį į šaknis, kurios nelygybėje pasikartoja kelis kartus, ar priklauso ženklas, eidamas per juos dėl to, kiek kartų jie pasikartoja, ar ne, lygumą ar nelygumą;
• Atsakydami rašome intervalus, stebėdami taškinius ir nepunktuotus taškus (žr. ODZ), tarp jų padėdami reikiamus skliaustų tipus.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Už ką?

Už sėkmingai išlaikiusį vieningą valstybinį egzaminą, už įstojimą į kolegiją neviršijant biudžeto ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Per egzaminą teorijos neprašys.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Ir pabaigai...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

Lyginti kiekius ir kiekius sprendžiant praktinius uždavinius reikėjo nuo seno. Kartu atsirado ir tokie vienarūšių dydžių palyginimo rezultatus reiškiantys žodžiai kaip daugiau ir mažiau, aukščiau ir žemiau, lengvesnis ir sunkesnis, tyliau ir garsiau, pigiau ir brangiau ir kt.

Sąvokos „daugiau ir mažiau“ atsirado skaičiuojant objektus, matuojant ir lyginant dydžius. Pavyzdžiui, Senovės Graikijos matematikai žinojo, kad bet kurio trikampio kraštinė yra mažesnė už kitų dviejų kraštinių sumą ir kad didesnė kraštinė yra priešais didesnį trikampio kampą. Archimedas, skaičiuodamas apskritimą, nustatė, kad bet kurio apskritimo perimetras yra lygus tris kartus skersmeniui, o perteklius yra mažesnis nei septintoji skersmens, bet daugiau nei dešimt septyniasdešimt kartų didesnis už skersmenį.

Simboliškai parašykite ryšius tarp skaičių ir dydžių, naudodami ženklus > ir b. Įrašai, kuriuose du skaičiai sujungti vienu iš ženklų: > (didesnis nei), Su skaitine nelygybe susidūrėte ir žemesnėse klasėse. Jūs žinote, kad nelygybė gali būti tiesa arba klaidinga. Pavyzdžiui, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) yra teisinga skaitinė nelygybė, 0,23 > 0,235 yra neteisinga skaitinė nelygybė.

Nelygybė, apimanti nežinomus dalykus, gali būti teisinga kai kurioms nežinomųjų vertybėms ir klaidinga kitoms. Pavyzdžiui, nelygybė 2x+1>5 yra teisinga, kai x = 3, bet klaidinga, kai x = -3. Nelygybei su vienu nežinomuoju galite nustatyti užduotį: išspręskite nelygybę. Praktikoje nelygybių sprendimo problemos keliamos ir sprendžiamos ne rečiau nei lygčių sprendimo problemos. Pavyzdžiui, daugelis ekonominių problemų susiveda į tiesinių nelygybių sistemų tyrimą ir sprendimą. Daugelyje matematikos šakų nelygybės yra labiau paplitusios nei lygtys.

Kai kurios nelygybės yra vienintelė pagalbinė priemonė įrodyti arba paneigti tam tikro objekto egzistavimą, pavyzdžiui, lygties šaknis.

Skaitmeninės nelygybės

Galite palyginti sveikuosius skaičius ir dešimtaines trupmenas. Žinoti paprastųjų trupmenų su tais pačiais vardikliais, bet skirtingais skaitikliais lyginimo taisykles; su tais pačiais skaitikliais, bet skirtingais vardikliais. Čia sužinosite, kaip palyginti bet kuriuos du skaičius, surasdami jų skirtumo ženklą.

Praktikoje plačiai naudojamas skaičių lyginimas. Pavyzdžiui, ekonomistas lygina planinius rodiklius su faktiniais, gydytojas – paciento temperatūrą su normalia, tekintojas – apdirbtos detalės matmenis su standartu. Visais tokiais atvejais lyginami kai kurie skaičiai. Dėl skaičių palyginimo susidaro skaitinės nelygybės.

Apibrėžimas. Skaičius a yra didesnis už skaičių b, jei skirtumas a-b yra teigiamas. Skaičius a yra mažesnis už skaičių b, jei skirtumas a-b yra neigiamas.

Jei a yra didesnis už b, tada jie rašo: a > b; jei a yra mažesnis už b, tai jie rašo: a Taigi nelygybė a > b reiškia, kad skirtumas a - b yra teigiamas, t.y. a - b > 0. Nelygybė a Bet kuriems dviem skaičiams a ir b iš šių trijų santykių a > b, a = b, a Palyginti skaičius a ir b reiškia išsiaiškinti, kuris iš ženklų >, = arba Teorema. Jei a > b ir b > c, tai a > c.

Teorema. Jei prie abiejų nelygybės pusių pridėsite tą patį skaičių, nelygybės ženklas nepasikeis.
Pasekmė. Bet kuris terminas gali būti perkeltas iš vienos nelygybės dalies į kitą, pakeitus šio termino ženklą į priešingą.

Teorema. Jei abi nelygybės pusės padauginamos iš to paties teigiamo skaičiaus, tai nelygybės ženklas nekinta. Jei abi nelygybės pusės bus padaugintos iš to paties neigiamo skaičiaus, tada nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.
Pasekmė. Jei abi nelygybės puses padalinsime iš to paties teigiamo skaičiaus, tai nelygybės ženklas nepasikeis. Jei abi nelygybės pusės bus padalintos iš to paties neigiamo skaičiaus, tada nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.

Jūs žinote, kad skaitines lygybes galima sudėti ir padauginti iš termino. Toliau sužinosite, kaip atlikti panašius veiksmus su nelygybėmis. Praktikoje dažnai naudojama galimybė sudėti ir dauginti nelygybes. Šie veiksmai padeda išspręsti posakių reikšmių vertinimo ir palyginimo problemas.

Sprendžiant įvairius uždavinius, dažnai reikia pridėti arba dauginti kairę ir dešinę nelygybių puses iš termino. Kartu kartais sakoma, kad nelygybės sumuojasi arba dauginasi. Pavyzdžiui, jei pirmą dieną turistas nuėjo daugiau nei 20 km, o antrą – daugiau nei 25 km, tai galime sakyti, kad per dvi dienas jis nuėjo daugiau nei 45 km. Panašiai, jei stačiakampio ilgis yra mažesnis nei 13 cm, o plotis yra mažesnis nei 5 cm, tada galime sakyti, kad šio stačiakampio plotas yra mažesnis nei 65 cm2.

Nagrinėjant šiuos pavyzdžius buvo naudojami šie pavyzdžiai: nelygybių sudėties ir daugybos teoremos:

Teorema. Sudėjus to paties ženklo nelygybes, gaunama to paties ženklo nelygybė: jei a > b ir c > d, tai a + c > b + d.

Teorema. Dauginant to paties ženklo nelygybes, kurių kairės ir dešinės pusės yra teigiamos, gaunama to paties ženklo nelygybė: jei a > b, c > d ir a, b, c, d yra teigiami skaičiai, tai ac > bd.

Nelygybės su ženklu > (didesnis nei) ir 1/2, 3/4 b, c Kartu su griežtų nelygybių ženklais > ir Lygiai taip pat nelygybė \(a \geq b \) reiškia, kad skaičius a yra didesnis arba lygus b, ty .ir ne mažesnis b.

Nelygybės, turinčios ženklą \(\geq \) arba \(\leq \) ženklą, vadinamos negriežtomis. Pavyzdžiui, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nėra griežtos nelygybės.

Visos griežtų nelygybių savybės galioja ir negriežtoms nelygybėms. Be to, jei griežtoms nelygybėms ženklai > buvo laikomi priešingais ir žinote, kad norint išspręsti daugybę taikomųjų uždavinių, turite sukurti matematinį modelį lygties arba lygčių sistemos pavidalu. Toliau sužinosite, kad daugelio problemų sprendimo matematiniai modeliai yra nelygybės su nežinomaisiais. Bus pristatyta nelygybės sprendimo koncepcija ir parodyta, kaip patikrinti, ar duotas skaičius yra konkrečios nelygybės sprendimas.

Formos nelygybės
\(ax > b, \quad ax, kurioje a ir b yra pateikti skaičiai, o x yra nežinomasis, vadinami tiesinės nelygybės su vienu nežinomuoju.

Apibrėžimas. Nelygybės su vienu nežinomuoju sprendimas yra nežinomojo reikšmė, kuriai esant ši nelygybė tampa tikra skaitine nelygybe. Išspręsti nelygybę reiškia rasti visus jos sprendimus arba nustatyti, kad jų nėra.

Jūs išsprendėte lygtis, sumažindami jas iki paprasčiausių lygčių. Panašiai, sprendžiant nelygybes, jas, naudojant savybes, stengiamasi redukuoti iki paprastų nelygybių.

Antrojo laipsnio nelygybių su vienu kintamuoju sprendimas

Formos nelygybės
\(ax^2+bx+c >0 \) ir \(ax^2+bx+c kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai ir \(a \neq 0 \), vadinamas antrojo laipsnio nelygybės su vienu kintamuoju.

Nelygybės sprendimas
\(ax^2+bx+c >0 \) arba \(ax^2+bx+c) gali būti laikomi intervalų, kuriuose funkcija \(y= ax^2+bx+c \) įgyja teigiamą arba neigiamą reikšmės Tam pakanka išanalizuoti, kaip funkcijos \(y= ax^2+bx+c\) grafikas yra koordinačių plokštumoje: kur nukreiptos parabolės šakos – aukštyn ar žemyn, ar parabolė kerta x ašį ir jei kerta, tai kokiuose taškuose.

Antrojo laipsnio nelygybių su vienu kintamuoju sprendimo algoritmas:
1) raskite kvadratinio trinalio \(ax^2+bx+c\) diskriminantą ir išsiaiškinkite, ar trinaris turi šaknis;
2) jei trinaris turi šaknis, pažymėkite jas x ašyje ir per pažymėtus taškus nubrėžkite scheminę parabolę, kurios šakos nukreiptos į viršų, jei > 0 arba žemyn, jei 0, arba į apačią, jei yra 3) raskite x ašyje intervalus, kurių taškų parabolės yra virš x ašies (jei jos išsprendžia nelygybę \(ax^2+bx+c >0\)) arba žemiau x ašies (jei jos išsprendžia nelygybė
\(ax^2+bx+c Nelygybių sprendimas naudojant intervalų metodą

Apsvarstykite funkciją
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Šios funkcijos sritis yra visų skaičių rinkinys. Funkcijos nuliai yra skaičiai -2, 3, 5. Jie padalina funkcijos apibrėžimo sritį į intervalus \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) ir \( (5; +\infty)\)

Išsiaiškinkime, kokie yra šios funkcijos ženklai kiekviename iš nurodytų intervalų.

Išraiška (x + 2)(x - 3)(x - 5) yra trijų veiksnių sandauga. Kiekvieno iš šių veiksnių ženklas nagrinėjamais intervalais nurodytas lentelėje:

Apibendrinant, tegul funkcija pateikiama formule
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
kur x yra kintamasis, o x 1, x 2, ..., x n yra skaičiai, kurie nėra lygūs vienas kitam. Skaičiai x 1 , x 2 , ..., x n yra funkcijos nuliai. Kiekviename iš intervalų, į kuriuos apibrėžimo sritis padalinta iš funkcijos nulių, funkcijos ženklas išsaugomas, o pereinant per nulį jo ženklas keičiasi.

Ši savybė naudojama formos nelygybėms spręsti
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kur x 1, x 2, ..., x n yra skaičiai, nelygūs vienas kitam

Apsvarstytas metodas nelygybių sprendimas vadinamas intervalų metodu.

Pateiksime nelygybių sprendimo intervalų metodu pavyzdžius.

Išspręskite nelygybę:

Nubraižome funkcijos nulius skaičių ašyje ir apskaičiuojame kiekvieno intervalo ženklą:

Parenkame tuos intervalus, kuriais funkcija yra mažesnė arba lygi nuliui ir užrašome atsakymą.

Ir atkreipkite dėmesį, kad mus dominantis ženklas nėra tas, kuris buvo pradžioje (kai pirmą kartą pamatėme nelygybę, ženklas buvo), po transformacijų ženklas pasikeitė į, o tai reiškia, kad mus domina intervalai su ženklu.
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Šioje pamokoje mes ir toliau spręsime racionalias nelygybes naudodami intervalų metodą sudėtingesnėms nelygybėms. Panagrinėkime trupmeninių tiesinių ir trupmeninių kvadratinių nelygybių ir susijusių problemų sprendimą.

Dabar grįžkime prie nelygybės

Pažvelkime į kai kurias susijusias užduotis.

Raskite mažiausią nelygybės sprendimą.

Raskite natūralių nelygybės sprendimų skaičių

Raskite intervalų, sudarančių nelygybės sprendinių aibę, ilgį.

2. Gamtos mokslų portalas ().

3. Elektroninis edukacinis metodinis kompleksas, skirtas 10-11 klasių rengimui informatikos, matematikos, rusų kalbos stojamiesiems egzaminams ().

5. Švietimo centras „Mokymo technologijos“ ().

6. College.ru skyrius apie matematiką ().

1. Mordkovich A.G. ir kt. Algebra 9 kl.: Probleminė knyga bendrojo lavinimo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, T. N. Mišustina ir kt. - 4 leid. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: iliustr. Nr.28(b,c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).

Intervalinis metodas(arba kaip kartais vadinamas intervaliniu metodu) yra universalus nelygybių sprendimo metodas. Jis tinka įvairioms nelygybėms spręsti, bet patogiausias sprendžiant racionalios nelygybės su vienu kintamuoju. Todėl mokykliniame algebros kurse intervalų metodas yra glaudžiai susietas būtent su racionaliosiomis nelygybėmis, o kitų nelygybių sprendimui jo pagalba praktiškai nekreipiama dėmesio.

Šiame straipsnyje išsamiai išanalizuosime intervalų metodą ir paliesime visas nelygybių su vienu kintamuoju sprendimo subtilybes naudojant jį. Pradėkime nuo nelygybių sprendimo intervalo metodo algoritmo pateikimo. Toliau paaiškinsime, kokiais teoriniais aspektais jis grindžiamas, ir išanalizuosime algoritmo žingsnius, ypač išsamiai apsistosime ties intervalų ženklų nustatymu. Po to pereisime prie praktikos ir parodysime kelių tipiškų pavyzdžių sprendimus. Apibendrinant, mes apsvarstysime intervalų metodą bendra forma (tai yra, neatsižvelgdami į racionalias nelygybes), kitaip tariant, apibendrintą intervalų metodą.

Puslapio naršymas.

Algoritmas

Pažintis su intervalų metodu mokykloje prasideda sprendžiant formos f(x) nelygybes.<0 (знак неравенства может быть и другим ≤, >arba ≥), kur f(x) yra arba , vaizduojamas kaip produktas tiesiniai dvinariai su 1 kintamajam x ir/arba kvadratiniai trinariai su pirmaujančiu koeficientu 1 ir su neigiamu diskriminantu ir jų laipsniais arba tokių daugianario santykiu. Aiškumo dėlei pateikiame tokių nelygybių pavyzdžius: (x−5)·(x+5)≤0 , (x+3)·(x 2 −x+1)·(x+2) 3 ≥0, .

Kad tolesnis pokalbis būtų esminis, iš karto surašykime algoritmą, kaip išspręsti minėto tipo nelygybes naudojant intervalų metodą, o tada išsiaiškinsime, kas, kaip ir kodėl. Taigi, naudojant intervalo metodą:

• Pirmiausia randami skaitiklio nuliai ir vardiklio nuliai. Tam kairėje nelygybės pusėje esančios išraiškos skaitiklis ir vardiklis yra lygūs nuliui, o gautos lygtys išsprendžiamos.
• Po to rastus nulius atitinkantys taškai pažymimi brūkšneliais. Pakanka scheminio brėžinio, kuriame nebūtina stebėti mastelio, svarbiausia laikytis taškų padėties vienas kito atžvilgiu: taškas su mažesne koordinate yra kairėje nuo taško su didesnė koordinatė. Po to tampa aišku, kaip jie turėtų būti vaizduojami: įprasti ar pradurti (su tuščiu centru). Sprendžiant griežtą nelygybę (su ženklu< или >) visi taškai pavaizduoti kaip pradurti. Sprendžiant negriežtą nelygybę (su ženklu ≤ arba ≥), taškai, atitinkantys vardiklio nulius, punktuojami, o likę brūkšneliais pažymėti taškai yra įprasti. Šie taškai padalija koordinačių liniją į kelis skaitinius intervalus.
• Toliau išraiškos f(x) ženklai nustatomi iš kairės sprendžiamos nelygybės kiekviename intervale (detaliai aprašysime, kaip tai daroma vienoje iš pastraipų), o + arba − yra aukščiau. juos pagal ant jų apibrėžtus ženklus.
• Galiausiai, sprendžiant pasirašytą nelygybę< или ≤ изображается штриховка над промежутками, отмеченными знаком −, а при решении неравенства со знаком >arba ≥ - virš + ženklu pažymėtų tarpų. Rezultatas yra , kuris yra norimas nelygybės sprendimas.

Atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateiktas algoritmas atitinka intervalų metodo aprašymą mokykliniuose vadovėliuose.

Kuo pagrįstas metodas?

Metodas, kuriuo grindžiamas intervalo metodas, atsiranda dėl šios tolydžios funkcijos savybės: jei intervale (a, b) funkcija f yra tolydi ir neišnyksta, tai šiame intervale ji išlaiko pastovų ženklą (pridėtume kad panaši savybė tai galioja ir skaičių spinduliams (−∞, a) ir (a, +∞) ). Ir ši savybė, savo ruožtu, išplaukia iš Bolzano-Cauchy teoremos (jos svarstymas nepatenka į mokyklos mokymo programą), kurios formuluotę ir įrodymą, jei reikia, galima rasti, pavyzdžiui, knygoje.

F(x) išraiškoms, turinčioms ankstesnėje pastraipoje nurodytą formą, ženklo pastovumas intervaluose gali būti pateisinamas kitu būdu, pradedant nuo skaitinių nelygybių savybių ir atsižvelgiant į skaičių dauginimo ir padalijimo iš tos pačios taisyklės. ženklai ir skirtingi ženklai.

Kaip pavyzdį apsvarstykite nelygybę. Jo skaitiklio ir vardiklio nuliai padalija skaičių eilutę į tris intervalus (−∞, −1), (−1, 5) ir (5, +∞). Parodykime, kad intervale (−∞, −1) išraiška kairėje nelygybės pusėje turi pastovų ženklą (galime paimti kitą intervalą, samprotavimas bus panašus). Paimkime bet kurį skaičių t iš šio intervalo. Tai akivaizdžiai patenkins nelygybę t<−1 , и так как −1<5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5 . Из этих неравенств в силу свойств числовых неравенств следует, что t+1<0 и t−5<0. То есть, t+1 и t−5 – отрицательные числа, не зависимо от того, какое конкретно число t мы возьмем из промежутка (−∞, −1) . Тогда позволяет констатировать, что значение выражения будет положительным, откуда следует, что значение выражения будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1) . Итак, на указанном промежутке выражение имеет постоянный знак, причем, это знак +.

Taigi sklandžiai išsprendėme ženklų nustatymo intervaluose klausimą, tačiau nepraleisime pirmojo intervalo metodo žingsnio, kurio metu reikia rasti skaitiklio ir vardiklio nulius.

Kaip rasti skaitiklio ir vardiklio nulius?

Pirmoje pastraipoje nurodyto tipo trupmenos skaitiklio ir vardiklio nulių radimas paprastai nekelia problemų. Tam skaitiklio ir vardiklio išraiškos prilyginamos nuliui, o gautos lygtys išsprendžiamos. Šio tipo lygčių sprendimo principas yra išsamiai aprašytas straipsnyje lygčių sprendimas faktorizavimo metodu. Čia apsiribosime pavyzdžiu.

Apsvarstykite trupmeną ir raskite jo skaitiklio ir vardiklio nulius. Pradėkime nuo skaitiklio nulių. Skaitiklį prilyginame nuliui, gauname lygtį x·(x−0.6)=0, iš kurios pereiname prie dviejų lygčių aibės x=0 ir x−0.6=0, iš kurios randame dvi šaknis 0 ir 0.6 . Tai yra būtini skaitiklio nuliai. Dabar randame vardiklio nulius. Padarykime lygtį x 7 · (x 2 +2 × +7) 2 · (x+5) 3 =0, jis atitinka trijų lygčių rinkinį x 7 =0, (x 2 +2 x+7) 2 =0, (x+5) 3 =0, o tada x = 0, x 2 +2 x+7 =0, x+5=0. Pirmosios iš šių lygčių šaknis yra akivaizdi, ji yra 0, antroji lygtis neturi šaknų, nes jos diskriminantas yra neigiamas, o trečiosios lygties šaknis yra −5. Taigi, mes radome vardiklio nulius, jų buvo du: 0 ir −5. Atkreipkite dėmesį, kad 0 pasirodė esąs ir nulis skaitiklyje, ir nulis vardiklyje.

Norint rasti skaitiklio ir vardiklio nulius bendruoju atveju, kai kairioji nelygybės pusė yra trupmena, bet nebūtinai racionali, skaitiklis ir vardiklis taip pat prilyginami nuliui ir sprendžiamos atitinkamos lygtys.

Kaip nustatyti ženklus intervalais?

Patikimiausias būdas nustatyti išraiškos ženklą kairėje nelygybės pusėje kiekviename intervale yra apskaičiuoti šios išraiškos reikšmę bet kuriame kiekvieno intervalo taške. Šiuo atveju norimas ženklas intervale sutampa su išraiškos reikšmės ženklu bet kuriame šio intervalo taške. Paaiškinkime tai pavyzdžiu.

Paimkime nelygybę . Kairėje pusėje esančios išraiškos skaitiklyje nėra nulių, o vardiklyje esantis nulis yra skaičius −3. Jis padalija skaičių eilutę į du intervalus (−∞, −3) ir (−3, +∞). Nustatykime ant jų esančius ženklus. Norėdami tai padaryti, paimkite vieną tašką iš šių intervalų ir apskaičiuokite juose esančios išraiškos reikšmes. Iš karto atkreipkime dėmesį, kad tokius taškus patartina paimti, kad būtų lengva atlikti skaičiavimus. Pavyzdžiui, iš pirmojo intervalo (−∞, −3) galime paimti −4. Jei x=−4 turime , gavo reikšmę su minuso ženklu (neigiama), todėl šiame intervale bus minuso ženklas. Mes pereiname prie antrojo intervalo ženklo nustatymo (-3, +∞). Iš jo patogu imti 0 (jei į intervalą įtrauktas 0, tai patartina jį imti visada, nes esant x=0 skaičiavimai yra patys paprasčiausi). Esant x=0 turime . Ši reikšmė turi pliuso ženklą (teigiamas), todėl šiame intervale bus pliuso ženklas.

Yra ir kitas ženklų nustatymo būdas, kurį sudaro ženklo suradimas viename iš intervalų ir jo išlaikymas arba pakeitimas pereinant į gretimą intervalą per nulį. Turite laikytis šios taisyklės. Einant per skaitiklio nulį, bet ne vardiklį, arba per vardiklio nulį, bet ne skaitiklį, ženklas pasikeičia, jei išraiškos, suteikiančios šį nulį, laipsnis yra nelyginis, ir nesikeičia, jei jis lyginis . O einant per tašką, kuris yra ir skaitiklio nulis, ir vardiklio nulis, ženklas pasikeičia, jei reiškinių, suteikiančių šį nulį, laipsnių suma yra nelyginė, ir nesikeičia, jei ji yra lyginė.

Beje, jei išraiška dešinėje nelygybės pusėje turi formą, nurodytą šio straipsnio pirmos pastraipos pradžioje, tada dešiniajame tarpelyje bus pliuso ženklas.

Kad viskas būtų aišku, pažvelkime į pavyzdį.

Tegul prieš mus būna nelygybė , ir mes jį išsprendžiame naudodami intervalų metodą. Norėdami tai padaryti, randame skaitiklio 2, 3, 4 nulius ir vardiklio 1, 3, 4 nulius, pirmiausia pažymime juos koordinačių eilutėje brūkšneliais

tada vardiklio nulius pakeičiame pradurtų taškų vaizdais

o kadangi sprendžiame negriežtą nelygybę, likusius brūkšnelius pakeičiame įprastais taškais

Ir tada ateina momentas, kai identifikuojami ženklai. Kaip pažymėjome prieš šį pavyzdį, dešiniajame intervale (4, +∞) bus + ženklas:

Nustatykime likusius ženklus, judėdami nuo tarpo iki tarpo iš dešinės į kairę. Pereidami prie kito intervalo (3, 4), pereiname per tašką, kurio koordinatė 4. Tai yra ir skaitiklio, ir vardiklio nulis, šie nuliai duoda išraiškas (x−4) 2 ir x−4, jų laipsnių suma yra 2+1=3, o tai yra nelyginis skaičius, o tai reiškia, kad einant per šį tašką reikia pakeisti ženklą. Todėl intervale (3, 4) bus minuso ženklas:

Einame toliau į intervalą (2, 3), eidami per tašką su 3 koordinate. Tai taip pat yra ir skaitiklio, ir vardiklio nulis, jį suteikia reiškiniai (x−3) 3 ir (x−3) 5, jų laipsnių suma yra 3+5=8, o tai lyginis numeris, todėl ženklas išliks nepakitęs:

Toliau pereiname prie intervalo (1, 2). Kelią į jį blokuoja taškas, kurio koordinatė 2. Tai yra skaitiklio nulis, jis pateikiamas išraiška x−2, jo laipsnis yra 1, tai yra nelyginis, todėl, einant per šį tašką, ženklas pasikeis:

Galiausiai belieka nustatyti ženklą paskutiniame intervale (−∞, 1) . Norėdami jį pasiekti, turime įveikti tašką su 1 koordinate. Tai yra vardiklio nulis, jį suteikia išraiška (x−1) 4, jo laipsnis yra 4, tai yra lyginis, todėl einant per šį tašką ženklas nepasikeis. Taigi mes nustatėme visus ženklus, o piešinys įgauna tokią formą:

Akivaizdu, kad nagrinėjamo metodo naudojimas ypač pateisinamas, kai apskaičiuojant išraiškos reikšmę reikia daug darbo. Pavyzdžiui, apskaičiuokite išraiškos reikšmę bet kuriame intervalo taške .

Nelygybių sprendimo intervalų metodu pavyzdžiai

Dabar galite sudėti visą pateiktą informaciją, kurios pakanka nelygybėms išspręsti naudojant intervalų metodą, ir analizuoti kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Išspręskite nelygybę .

Sprendimas.

Išspręskime šią nelygybę intervalų metodu. Akivaizdu, kad skaitiklio nuliai yra 1 ir –5, o vardiklio nuliai yra 1. Pažymime juos skaičių tiesėje, taškais su koordinatėmis ir 1 išskirdami kaip vardiklio nulius, o likęs skaitiklio nulis −5 pavaizduotas paprastu tašku, nes sprendžiame negriežtą nelygybę:

Dabar mes dedame ženklus ant intervalų, laikydamiesi taisyklės išlaikyti arba pakeisti ženklą, kai praeina per nulius. Virš dešiniausio tarpo bus + ženklas (tai galima patikrinti apskaičiuojant kairėje nelygybės pusėje esančios išraiškos reikšmę tam tikrame šio tarpo taške, pavyzdžiui, ties x=3). Eidami per ženklą keičiame, važiuodami per 1 paliekame tą patį, o eidami per −5 vėl paliekame ženklą nepakeistą:

Kadangi nelygybę sprendžiame ženklu ≤, belieka nubrėžti atspalvį per ženklu pažymėtus intervalus − ir iš gauto paveikslėlio užrašyti atsakymą.

Taigi, sprendimas, kurio ieškome, yra: .

Ir atkreipkite dėmesį, kad mus dominantis ženklas nėra tas, kuris buvo pradžioje (kai pirmą kartą pamatėme nelygybę, ženklas buvo), po transformacijų ženklas pasikeitė į, o tai reiškia, kad mus domina intervalai su ženklu.

.

Teisybės dėlei atkreipkime dėmesį į tai, kad daugeliu atvejų sprendžiant racionaliąsias nelygybes jas pirmiausia reikia transformuoti į reikiamą formą, kad būtų galima jas išspręsti intervalų metodu. Straipsnyje išsamiai aptarsime, kaip atlikti tokius pokyčius. sprendžiant racionalias nelygybes, o dabar pateiksime pavyzdį, iliustruojantį vieną svarbų dalyką, susijusį su kvadratiniais trinadžiais fiksuojant nelygybes.

Pavyzdys.

Raskite nelygybės sprendimą .

Sprendimas.

Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad ši nelygybė yra tinkamos formos intervalo metodui taikyti. Tačiau nepakenks patikrinti, ar kvadratinių trinalių diskriminatoriai jo žymėjime yra tikrai neigiami. Išsiaiškinkime juos, kad palengvintume sąžinę. Trinamariui x 2 +3 x+3 turime D = 3 2 −4 1 3 = −3<0 , а для трехчлена x 2 +2·x−8 получаем D’=1 2 −1·(−8)=9>0 . Tai reiškia, kad norint suteikti šiai nelygybei norimą formą, reikalingos transformacijos. Šiuo atveju pakanka trinarį x 2 +2 x−8 pavaizduoti kaip (x+4) (x−2) , o tada išspręsti nelygybę intervalų metodu. .

Ir atkreipkite dėmesį, kad mus dominantis ženklas nėra tas, kuris buvo pradžioje (kai pirmą kartą pamatėme nelygybę, ženklas buvo), po transformacijų ženklas pasikeitė į, o tai reiškia, kad mus domina intervalai su ženklu.

.

Apibendrintas intervalo metodas

Apibendrintas intervalų metodas leidžia išspręsti f(x) formos nelygybes<0 (≤, >, ≥), kur f(x) yra savavališkas su vienu kintamuoju x. Užsirašykime nelygybių sprendimo apibendrinto intervalo metodu algoritmas:

• Pirmiausia reikia f ir šios funkcijos nulių.
• Skaičių eilutėje pažymėti apibrėžimo srities ribiniai taškai, įskaitant atskirus taškus. Pavyzdžiui, jei funkcijos domenas yra rinkinys (−5, 1]∪(3)∪ (intervale (−6, 4) ženklo neapibrėžiame, nes jis nėra funkcijos apibrėžimo srities dalis). Norėdami tai padaryti, paimkite vieną tašką iš kiekvieno intervalo, pavyzdžiui, 16, 8 , 6 ir −8, ir apskaičiuokite juose esančios funkcijos f reikšmę:
  
  

  Jei turite klausimų apie tai, kaip buvo sužinota, kokios yra apskaičiuotos funkcijos vertės, teigiamos ar neigiamos, išstudijuokite straipsnyje pateiktą medžiagą skaičių palyginimas.

  Dedame ką tik apibrėžtus ženklus, o tarpus užtepame šešėliu minuso ženklu:
  

  Atsakyme rašome dviejų intervalų sąjungą su ženklu −, turime (−∞, −6]∪(7, 12). Atkreipkite dėmesį, kad −6 yra įtrauktas į atsakymą (atitinkamas taškas yra vientisas, nepunktūruotas) Faktas yra tas, kad tai ne funkcijos nulis (kurio, spręsdami griežtą nelygybę, neįtrauktume į atsakymą), o apibrėžimo srities ribinis taškas (ji spalvota, o ne juoda). funkcijos reikšmė šiame taške yra neigiama (kaip rodo minuso ženklas per atitinkamą intervalą), tai yra, ji tenkina nelygybę, tačiau 4 nereikia įtraukti į atsakymą (kaip ir visą intervalą). ∪(7, 12) .

  Nuorodos.

  1. Algebra: 9 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2009. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  2. Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
  3. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn ir kt. Red. A. N. Kolmogorovas - 14 leidimas - M.: Išsilavinimas, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
  4. Kudrjavcevas L. D. Matematinės analizės kursas (dviejų tomų): Vadovėlis universitetų ir kolegijų studentams. – M.: Aukštesnis. mokykla, 1981, t. 1. – 687 p., iliustr.

  Intervalinis metodas– paprastas būdas išspręsti trupmenines racionaliąsias nelygybes. Taip vadinamos nelygybės, turinčios racionalias (arba trupmenines-racionalias) išraiškas, kurios priklauso nuo kintamojo.

  1. Apsvarstykite, pavyzdžiui, tokią nelygybę

  Intervalų metodas leidžia jį išspręsti per porą minučių.

  Kairėje šios nelygybės pusėje yra trupmeninė racionali funkcija. Racionalus, nes jame nėra nei šaknų, nei sinusų, nei logaritmų – tik racionalios išraiškos. Dešinėje yra nulis.

  Intervalų metodas pagrįstas šia trupmeninės racionalios funkcijos savybe.

  Trupmeninė racionali funkcija gali pakeisti ženklą tik tuose taškuose, kuriuose ji lygi nuliui arba neegzistuoja.

  Prisiminkime, kaip kvadratinis trinaris yra faktorizuojamas, tai yra formos išraiška.

  Kur ir yra kvadratinės lygties šaknys.

  Nubrėžiame ašį ir dedame taškus, kuriuose skaitiklis ir vardiklis eina į nulį.

  

  Vardiklio ir nuliai yra punkcuoti taškai, nes šiuose taškuose funkcija kairėje nelygybės pusėje nėra apibrėžta (negalite padalinti iš nulio). Skaitiklio ir - nuliai yra užtamsinti, nes nelygybė nėra griežta. Kada ir mūsų nelygybė tenkinama, nes abi jos pusės lygios nuliui.

  Šie taškai suskaido ašį į intervalus.

  Nustatykime trupmeninės racionalios funkcijos ženklą kairėje mūsų nelygybės pusėje kiekviename iš šių intervalų. Prisimename, kad trupmeninė racionali funkcija gali pakeisti ženklą tik tuose taškuose, kuriuose ji lygi nuliui arba neegzistuoja.

  Tai reiškia, kad kiekviename intervale tarp taškų, kur skaitiklis arba vardiklis eina į nulį, išraiškos ženklas kairėje nelygybės pusėje bus pastovus - arba „pliusas“, arba „minusas“.
  Todėl, norėdami nustatyti funkcijos ženklą kiekviename tokiame intervale, imame bet kurį šiam intervalui priklausantį tašką. Tokį, kuris mums patogus.

  

  . Paimkite, pavyzdžiui, ir patikrinkite išraiškos ženklą kairėje nelygybės pusėje. Kiekvienas iš „skliaustelių“ yra neigiamas. Kairėje pusėje yra ženklas.

  

  Kitas intervalas: . Patikrinkime ženklą adresu . Pastebime, kad kairioji pusė pakeitė ženklą į .

  

  Paimkim. Kai išraiška yra teigiama, todėl ji yra teigiama per visą intervalą nuo iki .

  

  Kai kairioji nelygybės pusė yra neigiama."> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

  

  Ir galiausiai, class="tex" alt="x>7

  Mes nustatėme, kokiais intervalais išraiška yra teigiama. Belieka užsirašyti atsakymą:

  Atsakymas:. Atkreipkite dėmesį: ženklai kaitaliojami tarp intervalų. Taip atsitiko todėl,.

  einant per kiekvieną tašką, lygiai vienas iš tiesinių faktorių pakeitė ženklą, o likusieji nepakeitė

  Matome, kad intervalų metodas yra labai paprastas. Norėdami išspręsti trupmeninę-racionaliąją nelygybę intervalo metodu, sumažiname ją į formą: Arba"> !} class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0

  , arba , arba .

  (kairėje pusėje yra trupmeninė racionali funkcija, dešinėje - nulis).
  Tada skaičių eilutėje pažymime taškus, kuriuose skaitiklis arba vardiklis eina į nulį.
  Šie taškai padalija visą skaičių tiesę į intervalus, kurių kiekviename trupmeninė-racionali funkcija išlaiko savo ženklą.
  Tai darome patikrindami išraiškos ženklą bet kuriame taške, priklausančiame tam tikram intervalui. Po to užrašome atsakymą. Tai viskas.

  Tačiau kyla klausimas: ar ženklai visada keičiasi? Ne, ne visada! Turite būti atsargūs ir nestatyti ženklų mechaniškai ir neapgalvotai.

  2. Panagrinėkime kitą nelygybę.

  Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ kairėje(x-3 \dešinėje))>0"> !}

  Vėl padėkite taškus ant ašies. Taškai ir yra pradurti, nes jie yra vardiklio nuliai. Taškas taip pat išbrauktas, nes nelygybė yra griežta.

  

  Kai skaitiklis yra teigiamas, abu vardiklio veiksniai yra neigiami. Tai galima lengvai patikrinti paimant bet kurį skaičių iš tam tikro intervalo, pavyzdžiui, . Kairėje pusėje yra ženklas:

  

  Kai skaitiklis yra teigiamas; Pirmasis vardiklio veiksnys yra teigiamas, antrasis veiksnys yra neigiamas. Kairėje pusėje yra ženklas:

  

  Situacija ta pati! Skaitiklis yra teigiamas, pirmasis vardiklio veiksnys yra teigiamas, antrasis yra neigiamas. Kairėje pusėje yra ženklas:

  

  Galiausiai su class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}
  
  

  Mes nustatėme, kokiais intervalais išraiška yra teigiama. Belieka užsirašyti atsakymą:

  Kodėl buvo sutrikęs ženklų kaitaliojimas? Nes einant per tašką už jį „atsako“ daugiklis ženklo nepakeitė. Vadinasi, visa kairioji mūsų nelygybės pusė ženklo nepakeitė.

  Išvada: jei tiesinis daugiklis yra lyginis laipsnis (pavyzdžiui, kvadratas), tada einant per tašką kairėje pusėje esančios išraiškos ženklas nesikeičia. Nelyginio laipsnio atveju ženklas, žinoma, pasikeičia.

  3. Panagrinėkime sudėtingesnį atvejį. Jis skiriasi nuo ankstesnio, nes nelygybė nėra griežta:

  Kairė pusė yra tokia pati kaip ir ankstesnėje užduotyje. Ženklų vaizdas bus toks pat:

  

  Gal atsakymas bus tas pats? Ne! Pridedamas sprendimas Taip atsitinka todėl, kad tiek kairėje, tiek dešinėje nelygybės pusės yra lygios nuliui, todėl šis taškas yra sprendimas.

  Mes nustatėme, kokiais intervalais išraiška yra teigiama. Belieka užsirašyti atsakymą:

  Tokia situacija dažnai pasitaiko atliekant vieningo valstybinio matematikos egzamino uždavinius. Čia kandidatai patenka į spąstus ir praranda taškus. Būkite atsargūs!

  4. Ką daryti, jei skaitiklio arba vardiklio negalima įtraukti į tiesinius veiksnius? Apsvarstykite šią nelygybę:

  Kvadratinis trinaris negali būti koeficientas: diskriminantas yra neigiamas, nėra šaknų. Bet tai yra gerai! Tai reiškia, kad išraiškos ženklas visiems yra vienodas ir konkrečiai teigiamas. Daugiau apie tai galite perskaityti straipsnyje apie kvadratinių funkcijų savybes.

  Ir dabar mes galime padalyti abi savo nelygybės puses iš vertybės, kuri yra teigiama visiems. Pasieksime lygiavertę nelygybę:

  Kuris lengvai išsprendžiamas naudojant intervalų metodą.

  Atkreipkite dėmesį, kad mes padalijome abi nelygybės puses iš vertės, kurią tikrai žinojome teigiama. Žinoma, apskritai nereikėtų nelygybės dauginti ar dalyti iš kintamojo, kurio ženklas nežinomas.

  5 . Panagrinėkime kitą nelygybę, kuri atrodo gana paprasta:

  Aš tiesiog noriu jį padauginti iš . Bet mes jau protingi ir to nedarysime. Juk tai gali būti ir teigiama, ir neigiama. Ir žinome, kad abi nelygybės puses padauginus iš neigiamos reikšmės, nelygybės ženklas pasikeičia.

  Darysime kitaip – ​​viską surinksime į vieną dalį ir suvesime į bendrą vardiklį. Dešinė pusė liks nulis:

  Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

  O po to – kreiptis intervalo metodas.