Tiesės lygtis c. Tiesi linija

Pamoka iš serijos „Geometriniai algoritmai“

Sveiki, mielas skaitytojau!

Šiandien pradėsime mokytis su geometrija susijusių algoritmų. Faktas yra tas, kad kompiuterių moksle yra gana daug olimpiadų uždavinių, susijusių su skaičiavimo geometrija, ir tokių problemų sprendimas dažnai sukelia sunkumų.

Per kelias pamokas apsvarstysime keletą elementarių antrinių užduočių, kuriomis grindžiamas daugumos skaičiavimo geometrijos uždavinių sprendimas.

Šioje pamokoje mes sukursime programą, skirtą tiesės lygties radimas, einantis per duotą du taškai. Norint išspręsti geometrines problemas, mums reikia tam tikrų skaičiavimo geometrijos žinių. Dalį pamokos skirsime jų pažinimui.

Įžvalgos iš skaičiavimo geometrijos

Skaičiavimo geometrija – kompiuterių mokslo šaka, tirianti geometrinių uždavinių sprendimo algoritmus.

Pradiniai tokių problemų duomenys gali būti taškų rinkinys plokštumoje, atkarpų rinkinys, daugiakampis (nurodytas, pavyzdžiui, jo viršūnių sąrašu pagal laikrodžio rodyklę) ir kt.

Rezultatas gali būti atsakymas į kokį nors klausimą (pvz., ar taškas priklauso atkarpai, ar du atkarpos susikerta, ...), arba koks nors geometrinis objektas (pavyzdžiui, mažiausias išgaubtas daugiakampis, jungiantis duotus taškus, plotas daugiakampis ir pan.).

Skaičiavimo geometrijos uždavinius nagrinėsime tik plokštumoje ir tik Dekarto koordinačių sistemoje.

Vektoriai ir koordinatės

Norint taikyti skaičiavimo geometrijos metodus, reikia geometrinius vaizdus išversti į skaičių kalbą. Darysime prielaidą, kad plokštumai duota Dekarto koordinačių sistema, kurioje sukimosi kryptis prieš laikrodžio rodyklę vadinama teigiama.

Dabar geometriniai objektai gauna analitinę išraišką. Taigi, norint nurodyti tašką, pakanka nurodyti jo koordinates: skaičių porą (x; y). Atkarpą galima nurodyti nurodant jo galų koordinates. Tiesė gali būti nurodyta nurodant jos taškų poros koordinates.

Tačiau pagrindinis mūsų įrankis problemoms spręsti bus vektoriai. Todėl leiskite man priminti šiek tiek informacijos apie juos.

Segmentas AB, kuris turi prasmę A yra laikoma pradžia (taikymo tašku) ir tašku IN– galas, vadinamas vektoriumi AB ir žymimas, pavyzdžiui, arba paryškinta mažąja raide A .

Norėdami pažymėti vektoriaus ilgį (tai yra atitinkamo segmento ilgį), naudosime modulio simbolį (pavyzdžiui, ).

Savavališkas vektorius turės koordinates, lygias skirtumui tarp atitinkamų jo pabaigos ir pradžios koordinačių:

,

štai taškai A Ir B turėti koordinates atitinkamai.

Skaičiavimams naudosime sąvoką orientuotas kampas, tai yra kampas, kuriame atsižvelgiama į santykinę vektorių padėtį.

Orientuotas kampas tarp vektorių a Ir b teigiamas, jei sukimas vyksta iš vektoriaus a į vektorių b atliekama teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodyklę), o kitu atveju – neigiama. Žr. 1a pav., 1b pav. Taip pat sakoma, kad vektorių pora a Ir b teigiamai (neigiamai) orientuotas.

Taigi, orientuoto kampo reikšmė priklauso nuo vektorių sąrašo eilės ir gali įgauti vertes intervale .

Daugelis skaičiavimo geometrijos problemų naudoja vektorinių (kreipinių arba pseudoskaliarinių) vektorių sandaugų sąvoką.

Vektorių a ir b vektorinė sandauga yra šių vektorių ilgių ir kampo tarp jų sinuso sandauga:

.

Kryžminė vektorių sandauga koordinatėse:

Dešinėje esanti išraiška yra antros eilės determinantas:

Skirtingai nuo apibrėžimo, pateikto analitinėje geometrijoje, tai yra skaliarinis.

Vektoriaus sandaugos ženklas nustato vektorių padėtį vienas kito atžvilgiu:

a Ir b pozityviai orientuotas.

Jei reikšmė yra , tada vektorių pora a Ir b neigiamai orientuotas.

Nulinių vektorių kryžminė sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai jie yra kolineariniai ( ). Tai reiškia, kad jie yra toje pačioje linijoje arba lygiagrečiose linijose.

Pažvelkime į keletą paprastų problemų, kurios būtinos sprendžiant sudėtingesnes.

Iš dviejų taškų koordinačių nustatykime tiesės lygtį.

Tiesės, einančios per du skirtingus taškus, apibrėžtus jų koordinatėmis, lygtis.

Tiesėje pateiksime du nesutampančius taškus: su koordinatėmis (x1; y1) ir su koordinatėmis (x2; y2). Atitinkamai vektorius, kurio pradžia taške ir pabaiga taške, turi koordinates (x2-x1, y2-y1). Jei P(x, y) yra savavališkas taškas mūsų tiesėje, tai vektoriaus koordinatės lygios (x-x1, y – y1).

Naudojant vektorių sandaugą, vektorių kolineariškumo sąlygą galima parašyti taip:

Tie. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1) = 0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

Paskutinę lygtį perrašome taip:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Taigi, tiesią liniją galima nurodyti (1) formos lygtimi.

1 uždavinys. Pateikiamos dviejų taškų koordinatės. Raskite jo atvaizdavimą forma ax + by + c = 0.

Šioje pamokoje sužinojome šiek tiek informacijos apie skaičiavimo geometriją. Išsprendėme tiesės lygties iš dviejų taškų koordinačių radimo uždavinį.

Kitoje pamokoje sukursime programą dviejų tiesių, pateiktų mūsų lygtimis, susikirtimo taškui rasti.

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis. Straipsnyje" " Pažadėjau pažvelgti į antrąjį pateiktų išvestinės paieškos problemų sprendimo būdą, pateikus funkcijos grafiką ir šio grafiko liestinę. Šį metodą aptarsime , nepraleiskite to! Kodėl kitame?

Faktas yra tas, kad ten bus naudojama tiesės lygties formulė. Žinoma, galėtume tiesiog parodyti šią formulę ir patarti jos išmokti. Bet geriau paaiškinti, iš kur jis kilęs (kaip jis gaunamas). Tai būtina! Jei pamiršite, galėsite greitai jį atkurtinebus sunku. Toliau viskas išsamiai aprašyta. Taigi koordinačių plokštumoje turime du taškus A(x 1;y 1) ir B(x 2;y 2), per nurodytus taškus nubrėžiama tiesi linija:

Štai pati tiesioginė formulė:

*Tai yra, pakeitę konkrečias taškų koordinates, gauname y=kx+b formos lygtį.

**Jei tiesiog „įsiminsite“ šią formulę, yra didelė tikimybė susipainioti su indeksais, kai X. Be to, indeksai gali būti žymimi įvairiais būdais, pavyzdžiui:

Štai kodėl svarbu suprasti prasmę.

Dabar šios formulės išvedimas. Tai labai paprasta!

Trikampiai ABE ir ACF yra panašūs smailiuoju kampu (pirmasis stačiųjų trikampių panašumo ženklas). Iš to išplaukia, kad atitinkamų elementų santykiai yra lygūs, tai yra:

Dabar mes tiesiog išreiškiame šiuos segmentus per taškų koordinačių skirtumą:

Žinoma, klaidų nebus, jei elementų ryšius parašysite kita tvarka (svarbiausia išlaikyti nuoseklumą):

Rezultatas bus ta pati linijos lygtis. Tai viskas!

Tai yra, kad ir kaip būtų pažymėti patys taškai (ir jų koordinatės), supratę šią formulę visada rasite tiesės lygtį.

Formulę galima išvesti naudojant vektorių savybes, tačiau išvedimo principas bus tas pats, nes kalbėsime apie jų koordinačių proporcingumą. Šiuo atveju veikia tas pats stačiųjų trikampių panašumas. Mano nuomone, aukščiau aprašyta išvada yra aiškesnė)).

Peržiūrėkite išvestį per vektorines koordinates >>>

Koordinačių plokštumoje, einančioje per du nurodytus taškus A(x 1;y 1) ir B(x 2;y 2), nubrėžiama tiesė. Pažymėkime savavališką tašką C tiesėje koordinatėmis ( x; y). Taip pat žymime du vektorius:

Yra žinoma, kad vektoriams, esantiems lygiagrečiose tiesėse (arba toje pačioje tiesėje), jų atitinkamos koordinatės yra proporcingos, tai yra:

— užrašome atitinkamų koordinačių santykių lygybę:

Pažiūrėkime į pavyzdį:

Raskite tiesės, einančios per du taškus, kurių koordinatės (2;5) ir (7:3), lygtį.

Jums net nereikia tiesti pačios tiesios linijos. Taikome formulę:

Sudarant santykį svarbu suvokti korespondenciją. Negalite suklysti, jei rašote:

Atsakymas: y=-2/5x+29/5 eiti y=-0,4x+5,8

Norėdami įsitikinti, kad gauta lygtis rasta teisingai, būtinai patikrinkite - pakeiskite į ją taškų būklės duomenų koordinates. Lygtys turi būti teisingos.

Tai viskas. Tikiuosi, kad medžiaga jums buvo naudinga.

Pagarbiai, Aleksandrai.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Šiame straipsnyje tęsiama tiesės lygties plokštumoje tema: tokio tipo lygtį laikysime bendrąja tiesės lygtimi. Apibrėžkime teoremą ir pateiksime jos įrodymą; Išsiaiškinkime, kas yra neišsami bendroji linijos lygtis ir kaip atlikti perėjimus iš bendrosios lygties į kitų tipų linijos lygtis. Visą teoriją sustiprinsime iliustracijomis ir praktinių problemų sprendimais.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Plokštumoje nurodykime stačiakampę koordinačių sistemą O x y.

1 teorema

Bet kuri pirmojo laipsnio lygtis, turinti formą A x + B y + C = 0, kur A, B, C yra kai kurie realieji skaičiai (A ir B tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui), apibrėžia tiesę stačiakampė koordinačių sistema plokštumoje. Savo ruožtu bet kuri tiesė stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje yra nustatoma pagal lygtį, kurios forma yra A x + B y + C = 0 tam tikram reikšmių rinkiniui A, B, C.

Įrodymas

Ši teorema susideda iš dviejų punktų, įrodysime kiekvieną iš jų.

1. Įrodykime, kad lygtis A x + B y + C = 0 apibrėžia tiesę plokštumoje.

Tebūnie koks nors taškas M 0 (x 0 , y 0), kurio koordinatės atitinka lygtį A x + B y + C = 0. Taigi: A x 0 + B y 0 + C = 0. Iš kairės ir dešinės lygčių A x + B y + C = 0 pusių atimkite lygties A x 0 + B y 0 + C = 0 kairę ir dešinę puses, gausime naują lygtį, kuri atrodo kaip A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Jis yra lygus A x + B y + C = 0.

Gauta lygtis A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 yra būtina ir pakankama vektorių n → = (A, B) ir M 0 M → = (x - x) statmenumo sąlyga. 0, y - y 0) . Taigi taškų aibė M (x, y) apibrėžia tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje, statmenoje vektoriaus n → = (A, B) krypčiai. Galime manyti, kad taip nėra, bet tada vektoriai n → = (A, B) ir M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nebūtų statmeni, o lygybė A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nebūtų teisinga.

Vadinasi, lygtis A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 apibrėžia tam tikrą tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje, todėl lygiavertė lygtis A x + B y + C = 0 apibrėžia ta pati linija. Taip įrodėme pirmąją teoremos dalį.

1. Pateiksime įrodymą, kad bet kurią tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje galima nurodyti pirmojo laipsnio lygtimi A x + B y + C = 0.

Apibrėžkime tiesę a stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje; taškas M 0 (x 0 , y 0), per kurį eina ši tiesė, taip pat šios tiesės normalusis vektorius n → = (A, B) .

Tegul taip pat yra tam tikras taškas M (x, y) – tiesės slankusis taškas. Šiuo atveju vektoriai n → = (A, B) ir M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) yra statmeni vienas kitam, o jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Perrašykime lygtį A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, apibrėžkime C: C = - A x 0 - B y 0 ir kaip galutinį rezultatą gausime lygtį A x + B y + C = 0.

Taigi mes įrodėme antrąją teoremos dalį ir įrodėme visą teoremą kaip visumą.

1 apibrėžimas

Formos lygtis A x + B y + C = 0 - Tai bendroji tiesės lygtis plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemojeOxy.

Remdamiesi įrodyta teorema, galime daryti išvadą, kad tiesė ir jos bendroji lygtis, apibrėžta plokštumoje fiksuotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje, yra neatsiejamai susijusios. Kitaip tariant, pradinė eilutė atitinka jos bendrąją lygtį; bendroji linijos lygtis atitinka duotąją tiesę.

Iš teoremos įrodymo taip pat išplaukia, kad kintamųjų x ir y koeficientai A ir B yra tiesės normaliojo vektoriaus koordinatės, kurią pateikia bendroji tiesės lygtis A x + B y + C = 0.

Panagrinėkime konkretų bendrosios tiesės lygties pavyzdį.

Tegu yra lygtis 2 x + 3 y - 2 = 0, kuri atitinka tiesę duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje. Normalus šios linijos vektorius yra vektorius n → = (2, 3) . Nubrėžkime brėžinyje nurodytą tiesią liniją.

Taip pat galime teigti: tiesė, kurią matome brėžinyje, yra nustatoma pagal bendrąją lygtį 2 x + 3 y - 2 = 0, nes visų duotoje tiesėje esančių taškų koordinatės atitinka šią lygtį.

Lygtį λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 galime gauti padauginę abi bendrosios tiesės lygties puses iš skaičiaus λ, nelygaus nuliui. Gauta lygtis yra lygiavertė pradinei bendrajai lygčiai, todėl ji apibūdins tą pačią tiesę plokštumoje.

Užbaikite bendrąją linijos lygtį– tokia bendroji tiesės A x + B y + C = 0 lygtis, kurioje skaičiai A, B, C skiriasi nuo nulio. Priešingu atveju lygtis yra nepilnas.

Išanalizuokime visus nepilnos bendrosios tiesės lygties variantus.

1. Kai A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, bendroji lygtis įgauna formą B y + C = 0. Tokia nepilna bendroji lygtis stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y apibrėžia tiesę, lygiagrečią O x ašiai, nes bet kuriai realiajai x reikšmei kintamasis y įgaus reikšmę - C B. Kitaip tariant, bendroji tiesės A x + B y + C = 0 lygtis, kai A = 0, B ≠ 0, nurodo taškų (x, y), kurių koordinatės lygios tam pačiam skaičiui, vietą. - C B.
2. Jei A = 0, B ≠ 0, C = 0, bendroji lygtis yra y = 0. Ši nepilna lygtis apibrėžia x ašies O x .
3. Kai A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, gauname nepilną bendrąją lygtį A x + C = 0, apibrėžiančią tiesę, lygiagrečią ordinatėms.
4. Tegu A ≠ 0, B = 0, C = 0, tada nepilna bendroji lygtis bus x = 0, ir tai yra koordinačių tiesės O y lygtis.
5. Galiausiai, kai A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, nepilna bendroji lygtis įgauna formą A x + B y = 0. Ir ši lygtis apibūdina tiesią liniją, kuri eina per pradžią. Tiesą sakant, skaičių pora (0, 0) atitinka lygybę A x + B y = 0, nes A · 0 + B · 0 = 0.

Grafiškai pavaizduokime visus aukščiau išvardintus nepilnos bendrosios tiesės lygties tipus.

1 pavyzdys

Yra žinoma, kad duota tiesė yra lygiagreti ordinačių ašiai ir eina per tašką 2 7, - 11. Būtina užrašyti bendrąją duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Ordinačių ašiai lygiagreti tiesė pateikiama A x + C = 0 formos lygtimi, kurioje A ≠ 0. Sąlyga taip pat nurodo taško, per kurį eina tiesė, koordinates, o šio taško koordinatės atitinka nepilnos bendrosios lygties A x + C = 0 sąlygas, t.y. lygybė yra tiesa:

A 2 7 + C = 0

Iš jo galima nustatyti C, jei A suteikiame kokią nors ne nulį reikšmę, pavyzdžiui, A = 7. Šiuo atveju gauname: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Žinome abu koeficientus A ir C, juos pakeisime lygtimi A x + C = 0 ir gauname reikiamą tiesės lygtį: 7 x - 2 = 0

Atsakymas: 7 x - 2 = 0

2 pavyzdys

Brėžinyje pavaizduota tiesė, reikia užrašyti jos lygtį.

Sprendimas

Pateiktas brėžinys leidžia lengvai paimti pradinius duomenis, kad išspręstume problemą. Brėžinyje matome, kad duotoji tiesė yra lygiagreti O x ašiai ir eina per tašką (0, 3).

Tiesi linija, lygiagreti abscisei, nustatoma nepilna bendroji lygtis B y + C = 0. Raskime B ir C reikšmes. Taško (0, 3) koordinatės, kadangi per jį eina duotoji tiesė, tenkins tiesės B y + C = 0 lygtį, tuomet galioja lygybė: B · 3 + C = 0. Nustatykime B vertę, kuri skiriasi nuo nulio. Tarkime B = 1, tokiu atveju iš lygybės B · 3 + C = 0 galime rasti C: C = - 3. Naudodami žinomas B ir C reikšmes, gauname reikiamą tiesės lygtį: y - 3 = 0.

Atsakymas: y-3 = 0.

Bendroji tiesės, einančios per tam tikrą plokštumos tašką, lygtis

Tegul duotoji tiesė eina per tašką M 0 (x 0 , y 0), tada jos koordinatės atitinka bendrąją tiesės lygtį, t.y. lygybė yra teisinga: A x 0 + B y 0 + C = 0. Atimkime kairę ir dešinę šios lygties puses iš kairės ir dešinės bendrosios pilnosios lygties pusės. Gauname: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ši lygtis yra lygiavertė pradinei bendrajai, eina per tašką M 0 (x 0, y 0) ir turi normalią vektorius n → = (A, B) .

Gautas rezultatas leidžia užrašyti bendrąją tiesės lygtį su žinomomis normalaus linijos vektoriaus koordinatėmis ir tam tikro šios linijos taško koordinatėmis.

3 pavyzdys

Duotas taškas M 0 (- 3, 4), per kurį eina tiesė, ir šios tiesės normalusis vektorius n → = (1 , - 2) . Būtina užrašyti duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Pradinės sąlygos leidžia gauti reikiamus duomenis lygčiai sudaryti: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Tada:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problema galėjo būti išspręsta kitaip. Bendroji tiesės lygtis yra A x + B y + C = 0. Pateiktas normalus vektorius leidžia gauti koeficientų A ir B reikšmes, tada:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Dabar suraskime C reikšmę naudodami tašką M 0 (- 3, 4), nurodytą uždavinio sąlygos, per kurį eina tiesė. Šio taško koordinatės atitinka lygtį x - 2 · y + C = 0, t.y. - 3 - 2 4 + C = 0. Taigi C = 11. Reikiama tiesės lygtis yra tokia: x - 2 · y + 11 = 0.

Atsakymas: x - 2 y + 11 = 0 .

4 pavyzdys

Duota tiesė 2 3 x - y - 1 2 = 0 ir taškas M 0, esantis šioje tiesėje. Žinoma tik šio taško abscisė ir ji lygi – 3. Būtina nustatyti duoto taško ordinatę.

Sprendimas

Taško M 0 koordinates pažymėkime x 0 ir y 0 . Šaltiniai duomenys rodo, kad x 0 = - 3. Kadangi taškas priklauso duotai tiesei, tai jo koordinatės atitinka bendrąją šios tiesės lygtį. Tada lygybė bus tiesa:

2 3 x 0 – y 0 – 1 2 = 0

Apibrėžkite y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Atsakymas: - 5 2

Perėjimas nuo bendrosios tiesės lygties prie kitų tiesės lygčių tipų ir atgal

Kaip žinome, yra keletas lygčių tipų, skirtų tai pačiai tiesei plokštumoje. Lygties tipo pasirinkimas priklauso nuo uždavinio sąlygų; galima pasirinkti patogiau sprendžiant. Čia labai praverčia įgūdžiai konvertuoti vieno tipo lygtį į kito tipo lygtį.

Pirmiausia panagrinėkime perėjimą nuo bendrosios A x + B y + C = 0 lygties į kanoninę lygtį x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Jei A ≠ 0, tai terminą B y perkeliame į dešinę bendrosios lygties pusę. Kairėje pusėje mes išimame A iš skliaustų. Dėl to gauname: A x + C A = - B y.

Šią lygybę galima parašyti kaip proporciją: x + C A - B = y A.

Jei B ≠ 0, kairėje bendrosios lygties pusėje paliekame tik terminą A x, kitus perkeliame į dešinę, gauname: A x = - B y - C. Iš skliaustų paimame – B, tada: A x = - B y + C B .

Perrašykime lygybę proporcijos forma: x - B = y + C B A.

Žinoma, nereikia įsiminti gautų formulių. Pereinant nuo bendrosios lygties prie kanoninės, pakanka žinoti veiksmų algoritmą.

5 pavyzdys

Pateikiama bendroji tiesės 3 lygtis y - 4 = 0. Būtina jį paversti kanonine lygtimi.

Sprendimas

Parašykime pradinę lygtį kaip 3 y – 4 = 0. Toliau einame pagal algoritmą: terminas 0 x lieka kairėje pusėje; o dešinėje pusėje dedame - 3 iš skliaustų; gauname: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Gautą lygybę parašykime proporcija: x - 3 = y - 4 3 0 . Taigi, mes gavome kanoninės formos lygtį.

Atsakymas: x - 3 = y - 4 3 0.

Norint paversti bendrąją tiesės lygtį į parametrines, pirmiausia pereinama prie kanoninės formos, o po to pereinama nuo kanoninės tiesės lygties prie parametrinių lygčių.

6 pavyzdys

Tiesi linija pateikiama lygtimi 2 x - 5 y - 1 = 0. Užrašykite šios eilutės parametrines lygtis.

Sprendimas

Pereikime nuo bendrosios lygties prie kanoninės:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Dabar paimame abi gautos kanoninės lygties puses, lygias λ, tada:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Atsakymas:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Bendrąją lygtį galima konvertuoti į tiesės, kurios nuolydis y = k · x + b, lygtį, bet tik tada, kai B ≠ 0. Perėjimui terminą B y paliekame kairėje pusėje, likusieji perkeliami į dešinę. Gauname: B y = - A x - C . Padalinkime abi gautos lygybės puses iš B, kurios skiriasi nuo nulio: y = - A B x - C B.

7 pavyzdys

Pateikiama bendroji tiesės lygtis: 2 x + 7 y = 0. Turite konvertuoti šią lygtį į nuolydžio lygtį.

Sprendimas

Atlikime reikiamus veiksmus pagal algoritmą:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Atsakymas: y = - 2 7 x .

Iš bendrosios tiesės lygties pakanka tiesiog gauti lygtį x a + y b = 1 formos atkarpose. Norėdami atlikti tokį perėjimą, skaičių C perkeliame į dešinę lygybės pusę, gautos lygybės abi puses padaliname iš – C ir galiausiai perkeliame kintamųjų x ir y koeficientus į vardiklius:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

8 pavyzdys

Reikia paversti bendrąją tiesės x - 7 y + 1 2 = 0 lygtį į tiesės lygtį atkarpomis.

Sprendimas

Perkelkime 1 2 į dešinę pusę: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Abi lygybės puses padalinkime iš -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Atsakymas: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Apskritai atvirkštinis perėjimas taip pat yra lengvas: nuo kitų tipų lygčių prie bendrosios.

Tiesios linijos lygtis atkarpose ir lygtis su kampiniu koeficientu gali būti lengvai konvertuojama į bendrą, tiesiog surinkus visus terminus kairėje lygybės pusėje:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanoninė lygtis konvertuojama į bendrąją pagal šią schemą:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Norėdami pereiti nuo parametrinių, pirmiausia pereikite prie kanoninio, o tada prie bendro:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

9 pavyzdys

Pateikiamos tiesės x = - 1 + 2 · λ y = 4 parametrinės lygtys. Būtina užrašyti bendrąją šios tiesės lygtį.

Sprendimas

Pereikime nuo parametrinių lygčių prie kanoninių:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Pereikime nuo kanoninio prie bendro:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Atsakymas: y – 4 = 0

10 pavyzdys

Pateikta tiesės lygtis atkarpose x 3 + y 1 2 = 1. Būtina pereiti prie bendrosios lygties formos.

Sprendimas:

Tiesiog perrašome lygtį reikiama forma:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Atsakymas: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Bendrosios tiesės lygties sudarymas

Aukščiau sakėme, kad bendrąją lygtį galima parašyti žinomomis normaliojo vektoriaus koordinatėmis ir taško, per kurį eina linija, koordinatėmis. Tokia tiesė apibrėžiama lygtimi A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Ten taip pat išanalizavome atitinkamą pavyzdį.

Dabar pažvelkime į sudėtingesnius pavyzdžius, kuriuose pirmiausia turime nustatyti normalaus vektoriaus koordinates.

11 pavyzdys

Duota tiesė, lygiagreti tiesei 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Taip pat žinomas taškas M 0 (4, 1), per kurį eina duotoji tiesė. Būtina užrašyti duotosios tiesės lygtį.

Sprendimas

Pradinės sąlygos mums sako, kad tiesės yra lygiagrečios, tada kaip normalųjį tiesės vektorių, kurios lygtį reikia parašyti, imame tiesės n → = (2, - 3) krypties vektorių: 2 x – 3 m. + 3 3 = 0. Dabar mes žinome visus reikalingus duomenis, kad sukurtume bendrą linijos lygtį:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Atsakymas: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

12 pavyzdys

Duota tiesė eina per pradžią statmenai tiesei x - 2 3 = y + 4 5. Būtina sukurti bendrąją lygtį duotai linijai.

Sprendimas

Normalusis tam tikros linijos vektorius bus tiesės x - 2 3 = y + 4 5 krypties vektorius.

Tada n → = (3, 5) . Tiesi linija eina per pradžią, t.y. per tašką O (0, 0). Sukurkime bendrąją duotosios linijos lygtį:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Atsakymas: 3 x + 5 y = 0 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Kanoninės tiesės erdvėje lygtys yra lygtys, apibrėžiančios tiesę, einančią per nurodytą tašką kolineariai krypties vektoriui.

Tegu duotas taškas ir krypties vektorius. Savavališkas taškas yra tiesėje l tik jei vektoriai ir yra kolineariniai, t.y., jiems tenkinama sąlyga:

.

Aukščiau pateiktos lygtys yra kanoninės tiesės lygtys.

Skaičiai m , n Ir p yra krypties vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis. Kadangi vektorius yra ne nulis, tada visi skaičiai m , n Ir p vienu metu negali būti lygus nuliui. Tačiau vienas ar du iš jų gali pasirodyti lygūs nuliui. Pavyzdžiui, analitinėje geometrijoje leidžiamas šis įrašas:

,

o tai reiškia, kad vektoriaus projekcijos ašyje Oy Ir Ozas yra lygūs nuliui. Todėl ir vektorius, ir tiesė, apibrėžta kanoninėmis lygtimis, yra statmenos ašims Oy Ir Ozas t.y. lėktuvai yOz .

1 pavyzdys. Parašykite lygtis tiesei, esančioje statmenai plokštumai ir einančios per šios plokštumos susikirtimo su ašimi tašką Ozas .

Sprendimas. Raskime šios plokštumos susikirtimo tašką su ašimi Ozas. Kadangi bet kuris taškas, esantis ant ašies Ozas, Turi koordinates , Tada, darant prielaidą, kad pateiktoje plokštumos lygtyje x = y = 0, gauname 4 z- 8 = 0 arba z= 2. Todėl šios plokštumos susikirtimo taškas su ašimi Ozas turi koordinates (0; 0; 2) . Kadangi norima tiesė yra statmena plokštumai, ji lygiagreti jos normaliajam vektoriui. Todėl tiesės krypties vektorius gali būti normalusis vektorius duotas lėktuvas.

Dabar užrašykite reikiamas tiesės, einančios per tašką, lygtis A= (0; 0; 2) vektoriaus kryptimi:

Tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtys

Tiesią liniją galima apibrėžti dviem taškais, esančiais ant jos Ir Šiuo atveju tiesės nukreipiantis vektorius gali būti vektorius . Tada kanoninės linijos lygtys įgauna formą

.

Aukščiau pateiktos lygtys nustato tiesę, einančią per du nurodytus taškus.

2 pavyzdys. Parašykite lygtį tiesės erdvėje, einančios per taškus ir .

Sprendimas. Užrašykime reikiamas tiesės lygtis tokia forma, kokia pateikta teorinėje nuorodoje:

.

Kadangi , Tada norima tiesi linija yra statmena ašiai Oy .

Tiesi kaip plokštumų susikirtimo linija

Tiesė erdvėje gali būti apibrėžta kaip dviejų nelygiagrečių plokštumų susikirtimo linija, t.y. kaip taškų rinkinys, atitinkantis dviejų tiesinių lygčių sistemą.

Sistemos lygtys dar vadinamos bendrosiomis tiesės erdvėje lygtimis.

3 pavyzdys. Sudarykite kanonines tiesės lygtis erdvėje, pateiktą bendromis lygtimis

Sprendimas. Norėdami parašyti kanonines tiesės lygtis arba, kas yra tas pats, tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis, turite rasti bet kurių dviejų tiesės taškų koordinates. Pavyzdžiui, jie gali būti tiesės susikirtimo taškai su bet kuriomis dviem koordinačių plokštumomis yOz Ir xOz .

Tiesės ir plokštumos susikirtimo taškas yOz turi abscisę x= 0. Todėl šioje lygčių sistemoje darant prielaidą x= 0, gauname sistemą su dviem kintamaisiais:

Jos sprendimas y = 2 , z= 6 kartu su x= 0 apibrėžia tašką A(0; 2; 6) norima eilutė. Tada darant prielaidą, kad pateiktoje lygčių sistemoje y= 0, gauname sistemą

Jos sprendimas x = -2 , z= 0 kartu su y= 0 apibrėžia tašką B(-2; 0; 0) tiesės susikirtimas su plokštuma xOz .

Dabar užrašykime tiesės, einančios per taškus, lygtis A(0; 2; 6) ir B (-2; 0; 0) :

,

arba padalijus vardiklius iš -2:

,

Šiame straipsnyje mes apsvarstysime bendrąją tiesės plokštumoje lygtį. Pateiksime bendrosios tiesės lygties sudarymo pavyzdžius, jei žinomi du šios tiesės taškai arba vienas taškas ir šios tiesės normalusis vektorius. Pateiksime bendrosios formos lygties transformavimo į kanonines ir parametrines formas metodus.

Tegu pateikta savavališka Dekarto stačiakampių koordinačių sistema Oxy. Apsvarstykite pirmojo laipsnio arba tiesinę lygtį:

Kur A, B, C− kai kurios konstantos ir bent vienas iš elementų A Ir B skiriasi nuo nulio.

Parodysime, kad tiesinė lygtis plokštumoje apibrėžia tiesę. Įrodykime tokią teoremą.

1 teorema. Savavališkoje Dekarto stačiakampių koordinačių sistemoje plokštumoje kiekviena tiesė gali būti nurodyta tiesine lygtimi. Ir atvirkščiai, kiekviena tiesinė lygtis (1) savavališkoje Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje apibrėžia tiesę.

Įrodymas. Pakanka įrodyti, kad tiesė L yra nustatytas bet kurios Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos tiesine lygtimi, nes tada ji bus nustatyta tiesine lygtimi bet kokiai Dekarto stačiakampių koordinačių sistemai.

Tegul plokštumoje pateikiama tiesi linija L. Parinkime tokią koordinačių sistemą, kad ašis Jautis sutapo su tiesia linija L, ir ašis Oy buvo jai statmenas. Tada linijos lygtis L bus tokia forma:

Visi taškai tiesėje L tenkins tiesinę (2) lygtį, o visi už šios linijos esantys taškai netenkins (2) lygties. Pirmoji teoremos dalis įrodyta.

Tegu pateikta Dekarto stačiakampė koordinačių sistema ir tiesinė lygtis (1), kurioje bent vienas iš elementų A Ir B skiriasi nuo nulio. Raskime geometrinį lokusą taškų, kurių koordinatės tenkina (1) lygtį. Kadangi bent vienas iš koeficientų A Ir B skiriasi nuo nulio, tada (1) lygtis turi bent vieną sprendimą M(x 0 ,y 0). (Pavyzdžiui, kada A≠0, taškas M 0 (−C/A, 0) priklauso nurodytam geometriniam taškų lokusui). Pakeitę šias koordinates į (1), gauname tapatybę

Iš (1) atimkime tapatybę (3):

Akivaizdu, kad (4) lygtis yra lygiavertė (1) lygčiai. Todėl pakanka įrodyti, kad (4) apibrėžia tam tikrą tiesę.

Kadangi nagrinėjame Dekarto stačiakampę koordinačių sistemą, iš lygybės (4) išplaukia, kad vektorius su komponentais ( x−x 0 , y-y 0 ) stačiakampis vektoriui n su koordinatėmis ( A, B}.

Panagrinėkime tiesią liniją L, einantis per tašką M 0 (x 0 , y 0) ir statmenai vektoriui n(1 pav.). Tegul taškas M(x,y) priklauso eilutei L. Tada vektorius su koordinatėmis x−x 0 , y-y 0 statmenai n ir (4) lygtis tenkinama (vektorių skaliarinė sandauga). n ir lygus nuliui). Ir atvirkščiai, jei taškas M(x,y) nėra ant linijos L, tada vektorius su koordinatėmis x−x 0 , y-y 0 nėra stačiakampis vektoriui n ir (4) lygtis netenkinama. Teorema įrodyta.

Įrodymas. Kadangi linijos (5) ir (6) apibrėžia tą pačią tiesę, tada normalieji vektoriai n 1 ={A 1 ,B 1) ir n 2 ={A 2 ,B 2) kolinearinis. Kadangi vektoriai n 1 ≠0, n 2 ≠0, tada yra toks skaičius λ , Ką n 2 =n 1 λ . Iš čia turime: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Įrodykime tai C 2 =C 1 λ . Akivaizdu, kad sutampančios linijos turi bendrą tašką M 0 (x 0 , y 0). Padauginus lygtį (5) iš λ ir iš jos atėmę lygtį (6), gauname:

Kadangi pirmosios dvi lygybės iš reiškinių (7) yra tenkinamos, tada C 1 λ −C 2 = 0. Tie. C 2 =C 1 λ . Pastaba pasitvirtino.

Atkreipkite dėmesį, kad (4) lygtis apibrėžia tiesės, einančios per tašką, lygtį M 0 (x 0 , y 0) ir turintis normalųjį vektorių n={A, B). Todėl, jei yra žinomas tiesės normalusis vektorius ir jai priklausantis taškas, tai bendrąją tiesės lygtį galima sudaryti naudojant (4) lygtį.

1 pavyzdys. Tiesė eina per tašką M=(4,−1) ir turi normalųjį vektorių n=(3, 5). Sukurkite bendrąją tiesės lygtį.

Sprendimas. Turime: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Norėdami sudaryti bendrąją tiesės lygtį, šias reikšmes pakeičiame (4) lygtimi:

Atsakymas:

Vektorius yra lygiagretus tiesei L ir todėl statmenai normaliajam tiesės vektoriui L. Sukurkime normaliosios linijos vektorių L, atsižvelgiant į tai, kad vektorių skaliarinė sandauga n ir lygus nuliui. Galime rašyti pvz. n={1,−3}.

Norėdami sudaryti bendrąją tiesės lygtį, naudojame formulę (4). Pakeiskime taško koordinates į (4) M 1 (taip pat galime paimti taško koordinates M 2) ir normalusis vektorius n:

Taškų koordinates pakeitimas M 1 ir M 2 (9) galime įsitikinti, kad tiesė, nurodyta (9) lygtyje, eina per šiuos taškus.

Atsakymas:

Iš (1) atimkite (10):

Gavome kanoninę tiesės lygtį. Vektorius q={−B, A) yra linijos (12) krypties vektorius.

Žiūrėkite atvirkštinį konvertavimą.

3 pavyzdys. Tiesė plokštumoje pavaizduota tokia bendra lygtimi:

Perkelkime antrąjį narį į dešinę ir padalykime abi lygties puses iš 2·5.