Буцах Урагшаа
Анхаар! Слайдыг урьдчилан үзэх нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд үзүүлэнгийн бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та энэ ажлыг сонирхож байвал бүрэн эхээр нь татаж авна уу.
Хичээлийн зорилго:
- оюутнуудад үл мэдэгдэх геометрийн аксиомуудын талаар ойлголт өгөх, тэдэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан аксиомуудыг давтах;
- зэрэгцээ шугамын аксиомыг танилцуулах;
- аксиом, теоремоос үр дагаврын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэх;
- параллель шугамын аксиом ба түүний үр дагаврыг асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглаж байгааг харуулах;
- Оросын агуу математикч Н.И.Лобачевскийн жишээг ашиглан эх оронч үзэл, эх орондоо бахархах хүмүүжил.
Тоног төхөөрөмж:компьютер, проектор.
ХИЧЭЭЛИЙН ЯВЦ
1. Өмнөх гэрийн даалгавраа шалгах
2. Оюутнуудад аль хэдийн мэдэгдэж байсан планиметрийн аксиомуудыг давтах
Багш:Евклидийн алдарт "Элементүүд" бүтээлд (МЭӨ III зуун) тухайн үед мэдэгдэж байсан геометрийн үндсэн мэдээллийг системчилсэн байдаг. Хамгийн гол нь "Зарчмууд" -д геометрийг бий болгох аксиоматик хандлагыг боловсруулсан бөгөөд энэ нь эхлээд нотлох шаардлагагүй үндсэн заалтуудыг (аксиом) томъёолж, дараа нь тэдгээрийн үндсэн дээр бусад зүйлийг тусгасан болно. мэдэгдлүүд (теоремууд) үндэслэлээр нотлогддог. Евклидийн санал болгосон аксиомуудын заримыг геометрийн хичээлд ашигладаг хэвээр байна.
"Аксиом" гэдэг үг нь өөрөө Грекийн "аксиос" гэсэн үгнээс гаралтай бөгөөд "үнэ цэнэтэй, зохистой" гэсэн утгатай. Манай геометрийн хичээл дээр батлагдсан планиметрийн аксиомуудын бүрэн жагсаалтыг сурах бичгийн төгсгөлийн 344-348-р хуудасны хавсралтад өгсөн болно. Та эдгээр аксиомуудыг гэртээ өөрөө авч үзэх болно.
Бид эдгээр аксиомуудын заримыг аль хэдийн авч үзсэн. Эдгээр аксиомуудыг санаж, томъёол.
Оюутнууд:
1) Нэг шулуун дээр оршдоггүй дор хаяж гурван цэг байдаг.
2) Шулуун шугам нь дурын хоёр цэгийг дайран өнгөрдөг ба зөвхөн нэг.
3) Шулуун дээрх гурван цэгийн нэг нь нөгөө хоёрын дунд оршдог.
4) Шугамын О цэг бүр нь түүнийг хоёр хэсэгт (хоёр туяа) хувааснаар нэг цацрагийн дурын хоёр цэг нь О цэгийн нэг талд, өөр өөр туяатай дурын хоёр цэг нь О цэгийн эсрэг талд байх болно.
5) А шулуун бүр хавтгайг хоёр хэсэгт (хоёр хагас хавтгай) хувааснаар ижил хагас хавтгайн дурын хоёр цэг нь а шулууны нэг талд, өөр өөр хагас хавтгайн аль ч хоёр цэг нь эсрэг талд байх болно. шугамын a.
6) Хэрэв давхцах үед хоёр сегментийн төгсгөлүүд нийлсэн бол сегментүүд нь өөрөө нэгтгэгдэнэ.
7) Аливаа туяа дээр, эхнээс нь та өгөгдсөнтэй тэнцүү сегментийг зурж болно, үүнээс гадна зөвхөн нэг хэсэг.
8) Аливаа туяанаас өгөгдсөн хагас хавтгайд өгөгдсөн хөгжөөгүй өнцөгтэй тэнцэх өнцгийг зурах боломжтой бөгөөд үүнээс гадна зөвхөн нэгийг нь зурж болно.
Багш:Хавтгайд ямар шугамыг параллель гэж нэрлэдэг вэ?
Оюутнууд:Хавтгайн хоёр шулуун огтлолцохгүй бол параллель гэж нэрлэдэг.
Багш:Шугамын параллелизмын шинж тэмдгийг томъёол.
Оюутнууд:
1) Хэрэв хоёр шулуун шугам хөндлөн огтлолцох үед хэвтэх өнцөг нь тэнцүү бол шулуун шугамууд параллель байна.
2) Хэрэв хоёр шулуун хөндлөн огтлолцох үед харгалзах өнцөг нь тэнцүү бол шугамууд параллель байна.
3) Хоёр шулуун шугам хөндлөн огтлолцох үед нэг талт өнцгийн нийлбэр 180˚-тэй тэнцүү бол шулуунууд параллель байна.
3. Шинэ сэдэв. Зэрэгцээ шугамын аксиом
Багш:Бодлого шийдье: “А шулуун дээр хэвтэхгүй M цэгээр дамжуулан а шулуунтай параллель шулуун зур.”
Асуудлыг шийдвэрлэх төлөвлөгөөг бүх анги хамт олноороо хэлэлцдэг. Сурагчдын нэг нь шийдлийг самбар дээр бичдэг (дэвтэртээ бичихгүйгээр).
Багш:Асуулт гарч ирнэ: М цэгээр дамжуулан а шулуунтай зэрэгцээ өөр шугам татах боломжтой юу?
Энэ асуулт олон жилийн түүхтэй. Евклидийн элементүүд нь тав дахь постулатыг агуулдаг: "Хэрэв хоёр шулуун дээр унасан шулуун нь нэг талдаа хоёр зөв өнцгөөс бага дотоод өнцгийг үүсгэдэг бол эдгээр шулуун шугамын суналт нь өнцөг багатай талд тодорхойгүй хугацаагаар нийлнэ. хоёр зөв өнцгөөс илүү." МЭ 5-р зуунд Проклус "Өгөгдсөн шулуун дээр ороогүй цэгээр зөвхөн өгөгдсөн шулуунтай параллель нэг шулуун өнгөрдөг" гэсэн Евклидийн постулатыг илүү энгийн бөгөөд ойлгомжтой байдлаар шинэчлэн боловсруулжээ. Энэ бол параллель шугамуудын аксиом юм. Эндээс харахад дээр дурдсан асуудал өвөрмөц шийдэлтэй байна.
Олон математикчид тав дахь постулатыг батлахыг оролдсон, учир нь түүний томъёолол нь теоремыг хэтэрхий санагдуулдаг. Эдгээр бүх оролдлого бүр амжилтгүй болсон. Зөвхөн 19-р зуунд. Эвклидийн тав дахь постулат нь өөрөө аксиом гэдгийг батлах боломжгүй гэдгийг эцэст нь тодруулсан;
Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд Оросын агуу математикч Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) асар их үүрэг гүйцэтгэсэн.
4. Н.И.Лобачевскийн тухай илтгэл үзэх
5. Сурсан зүйлээ нэгтгэх. Асуудлыг шийдвэрлэх
Өгөгдсөн ∆ABC. С оройгоор AB талтай параллель хэдэн шулуун зурж болох вэ?
Шийдэл.
Зэрэгцээ шугамын аксиомын дагуу нэг шулуун шугам зурж болно.
p шулуун дээр хэвтээгүй цэгээр дөрвөн шулуун шугам татагдана. Эдгээр шугамын хэд нь p шугамыг огтолж байгаа вэ? Боломжит бүх тохиолдлыг анхаарч үзээрэй.
Шийдэл.
3 шулуун 4 шулуун
Хариулт: 3 эсвэл 4 шулуун.
Зэрэгцээ шугамын аксиомын үр дүн.
Аксиом эсвэл теоремоос шууд үүссэн мэдэгдлийг үр дагавар гэж нэрлэдэг. Зэрэгцээ шугамын аксиомын үр дагаврыг авч үзье.
Үр дүн 1˚.Хэрэв шугам нь хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэгийг нь огтолж байвал нөгөөг нь мөн огтолно.
Үр дүн 2˚.Хэрэв хоёр шугам гурав дахь шугамтай зэрэгцээ байвал тэдгээр нь зэрэгцээ байна. (Оюутнууд өөрсдөө нотлохыг хүсдэг).
Зураг нь адилхан.
Өгөгдсөн: a || b, c || б
Нотлох: a || -тай
Нотлох баримт o ("зөрчилтэй" арга):
a ба c шугамууд параллель байж болохгүй. Дараа нь тэд M цэг дээр огтлолцоно. b шулуунтай параллель хоёр өөр шулуун (a ба c) М цэгийг дайран өнгөрнө. Энэ нь параллель аксиомтой зөрчилдөж байна. Энэ нь бидний таамаг зөв биш гэсэн үг юм. Гэхдээ || гэдэг нь үнэн -тай. гэх мэт.
Зэрэгцээ шугамын аксиомын хоёр дахь үр дүн нь үндсэндээ хавтгай дээрх шугамуудын параллелизмын өөр нэг шинж тэмдэг юм.
Асуудлыг шийдвэрлэх: No 217 (аман), 218 (аман), 198, 200, 213.
№ 217 (амаар)
a ба b шугамууд c шулуунтай параллель байна. a шулуунтай огтлолцсон дурын шулуун нь b шулуунтай огтлолцдог болохыг батал.
Шийдэл.
Хэрэв || б ба б || c, дараа нь || s (үр дүн 2˚).
Хэрэв дурын шугам d ∩ a бол d ∩ b (Үндсэн үр дүн 1˚).
№ 218 (амаар)
a ба b шугамууд огтлолцоно. a шугамыг огтолж b шулуунтай параллель шугам татах боломжтой юу? Хариултаа зөвтгөөрэй.
Шийдэл.
А шулуун дээрх A b цэгийг авъя. А цэгээр зөвхөн b шулуунтай параллель нэг шулуун байна (параллель аксиом). Баригдсан шугам нь нийтлэг А цэгтэй тул a шугамыг огтолно.
a ба b шугамууд p шулуунтай перпендикуляр, c шугам нь а шугамтай огтлолцоно. c шугам b шугамтай огтлолцдог уу?
Өгөгдсөн:ар, бр, с ∩ а
Олно: c b шугамыг огтолж байна уу?
Шийдэл:хэрэв ap болон bp бол || б (теорем).
Хэрэв c ∩ a ба a || b, дараа нь c ∩ b (Үндэслэл 1˚).
Хариулт: c ∩ b.
Сурах бичгийн зураг дээр AD || p ба PQ || МЭӨ p шулуун нь AB, AE, AC, BC, PQ шулуунуудыг огтолж байгааг батал.
Сурах бичгийн зураг дээр CE = ED, BE = EF, KE = AD. KE || гэдгийг нотол Нар.
6. Дүгнэж байна
1) Евклидийн гол гавьяа юу вэ?
2) Аксиом гэж юу вэ?
3) Бид ямар аксиомуудыг мэддэг вэ?
4) Оросын аль эрдэмтэн Евклидийн бус геометрийн уялдаа холбоотой онолыг бүтээсэн бэ?
5) Математикийн утгаараа үр дагавар гэж юу вэ?
6) Өнөөдөр бид ямар үр дагаварт суралцсан бэ?
7. Гэрийн даалгавар:
§2, догол мөр 27, 28, геометрийн аксиомын хавсралт 344-348-р тал, 7-11-р асуултууд 68-р хуудас, №199, 214.
№199: p шулуун ABC гурвалжны AB талтай параллель байна. BC ба AC шулуунууд p шулууныг огтолж байгааг батал.
№214: ABC гурвалжны AD биссектрисын дундыг дайран өнгөрч, AD-д перпендикуляр шугам AC талыг M цэгээр огтолж байна. MD¦AB гэдгийг батал.
Уран зохиол:
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И.Геометр, 7-9: Боловсролын байгууллагад зориулсан сурах бичиг. − М.: Боловсрол, 2003 он.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Некрасов В.Б., Юдина И.И. 7, 8, 9-р ангийн геометрийн хичээл: Сурах бичгийн арга зүйн зөвлөмж. Багш нарт зориулсан ном. − М.: Боловсрол, 2003 он.
- Дорофеева А.В.Математикийн хичээл дэх түүхийн хуудас: Багш нарт зориулсан ном. − М.: Боловсрол, 2007.
- Википедиа.
"Зэрэгцээ шугамын аксиом" видео хичээл нь геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх практикт өргөн хэрэглэгддэг геометрийн чухал аксиом болох параллель шугамын аксиом, түүний онцлог, энэ аксиомын үр дагаврыг нарийвчлан авч үзэх болно. Энэхүү видео хичээлийн зорилго нь аксиом ба түүний үр дагаврыг цээжлэхэд хялбар болгох, түүний онцлог шинж чанар, асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах талаархи ойлголтыг бий болгох явдал юм.
Материалыг видео хичээл хэлбэрээр үзүүлэх нь багшийн хувьд шинэ боломжуудыг нээж өгдөг. Сургалтын материалын стандарт блокийг оюутнуудад хүргэх ажлыг автоматжуулсан. Үүний зэрэгцээ, самбар дээр хийгдсэн бүтээн байгуулалтыг бодит байдалд ойртуулдаг харааны дүрслэл, хөдөлгөөнт эффектээр баяжуулсан тул материалын танилцуулгын чанар сайжирдаг. Түүхийн мэдээллийг зураг, гэрэл зургаар толилуулж, судалж буй сэдвийн сонирхлыг төрүүлдэг. Видео нь мөн багшийг заах явцад бие даасан ажлыг гүнзгийрүүлэх боломжийг олгодог.
Нэгдүгээрт, энэ видео нь сэдвийн нэрийг харуулж байна. Аксиомыг авч үзэх нь түүний загварыг бүтээхээс эхэлдэг. Дэлгэц нь a шугам ба түүний гадна байрлах M цэгийг харуулав. Дараа нь өгөгдсөн M цэгээр дамжуулан өгөгдсөн шугамтай параллель шугам байгуулах боломжтой гэсэн мэдэгдлийн баталгааг тайлбарлав. c шулууныг а шулуунд перпендикуляр, дараа нь b шугамыг M цэг дээр c шулуунаас перпендикуляр татна. Гурав дахь перпендикуляр хоёр шулууны параллелизмын тухай мэдэгдэлд үндэслэн b шугам нь анхны а шугамтай параллель байгааг тэмдэглэж байна. Үүнийг харгалзан үзээд бид M цэг дээр үүнтэй параллель шулуун шугам зурсан болохыг харуулж байна. Гэсэн хэдий ч М-ээр өөр зэрэгцээ шугам татах боломжтой эсэхийг шалгах шаардлагатай хэвээр байна. М цэг дээрх шулуун b-ийн эргэлт нь а шулуунтай огтлолцох шулуун шугам барихад хүргэнэ гэдгийг дэлгэц харуулж байна. Гэсэн хэдий ч өөр шулуун шугам татах боломжгүй гэдгийг батлах боломжтой юу?
Үүнтэй зэрэгцээд өөр шугам татах боломжгүйг нотлох асуудал эрт дээр үеэс бий. Оюутнуудад асуудлын түүхийг богино хугацаанд үзэхийг санал болгож байна. Евклидийн "Элементүүд" бүтээлд энэ мэдэгдлийг тав дахь постулат хэлбэрээр өгсөн болохыг тэмдэглэжээ. Эрдэмтдийн энэхүү мэдэгдлийг батлах гэсэн оролдлого амжилтгүй болсон. Олон зууны турш математикчид энэ асуудлыг сонирхож ирсэн. Гэсэн хэдий ч өнгөрсөн зуунд л энэ мэдэгдэл нь Евклидийн геометрийн хувьд нотлогдох боломжгүй гэдгийг эцэст нь нотолсон. Энэ бол аксиом юм. Оюутнууд математикийн шинжлэх ухаанд томоохон хувь нэмэр оруулсан алдартай математикчдын нэг Николай Иванович Лобачевскийтэй танилцаж байна. Тэр л асуудлыг эцэслэн шийдвэрлэхэд чухал үүрэг гүйцэтгэсэн. Иймээс энэ хичээлд хэлэлцсэн мэдэгдэл нь бусад аксиомуудын хамт шинжлэх ухааны үндэс суурь болох аксиом юм.
Дараа нь бид энэ аксиомын үр дагаврыг авч үзэхийг санал болгож байна. Үүний тулд "үр дагавар" гэсэн ойлголтыг тодруулах шаардлагатай. Дэлгэц нь теорем эсвэл аксиомоос шууд үүсэлтэй мэдэгдлүүдийн үр дагаварын тодорхойлолтыг харуулдаг. Энэ тодорхойлолтыг оюутнуудад дэвтэр дээрээ бичихийг санал болгож болно. Үр дагаврын тухай ойлголтыг 18-р видео хичээл дээр авч үзсэн жишээн дээр харуулсан болно. Дэлгэц дээр ижил өнцөгт гурвалжны шинж чанаруудын тухай теорем гарч ирнэ. Энэ теоремыг нотолсоны дараа үүнээс багагүй чухал үр дагаврыг авч үзсэнийг санаж байна. Тэгэхээр, хэрэв гол теорем нь тэгш өнцөгт гурвалжны биссектриса нь медиан ба өндөр гэж заасан бол үр дагавар нь ижил төстэй агуулгатай байсан бөгөөд тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь биссектрис ба медиан, мөн түүнчлэн дундаж өнцөг юм. тэгш өнцөгт гурвалжин нь биссектриса ба өндөр юм.
Үр дагаврын тухай ойлголтыг тодруулсны дараа бид параллель шугамуудын энэхүү аксиомоос үүсэх үр дагаврыг шууд авч үздэг. Зэрэгцээ шугамын аль нэгтэй шугамын огтлолцол нь түүний хоёр дахь зэрэгцээ шугамтай огтлолцохыг хэлнэ гэж аксиомын эхний үр дүнгийн бичвэр дэлгэц дээр гарч ирнэ. Үр дүнгийн текстийн доорх зураг нь шулуун b ба зэрэгцээ шулуун a-г харуулж байна. Хоёр дахь шугам нь а шугамд хамаарах M цэг дээр c шугамыг огтолж байна. c шугам нь b шугамтай огтлолцоно гэсэн баталгааг өгсөн болно. Зэрэгцээ шугамын аксиомыг ашиглан нотолгоо нь зөрчилдөөнтэй байна. Хэрэв бид c шугамыг b-тэй огтлолцохгүй гэж үзвэл энэ цэгээр заасан шугамтай зэрэгцээ нэг шугам зурж болно гэсэн үг юм. Гэхдээ параллель шугамын аксиомыг харгалзан энэ нь боломжгүй юм. Иймд c нь мөн b шугамыг огтолно. Мөрдөн байцаалтын ажиллагаа нотлогдсон.
Дараа нь бид энэ аксиомын хоёр дахь үр дүнг авч үзье. Дэлгэц дээр хоёр шугам гуравны нэгтэй параллель байвал тэдгээр нь хоорондоо параллель байна гэж баталж болно гэсэн дүгнэлтийн текстийг харуулна. Энэ мэдэгдлийг харуулсан зураг дээр a, b, c шулуун шугамуудыг байгуулав. Энэ тохиолдолд хоёр мөрөнд параллель c шугамыг цэнхэр өнгөөр тодруулна. Энэ мэдэгдлийг нотлохыг санал болгож байна. Баталгаажуулах явцад c шулуунтай параллель a ба b шулуунууд хоорондоо параллель биш гэж үздэг. Энэ нь тэд огтлолцох цэгтэй гэсэн үг юм. Энэ нь М цэгийг дайран өнгөрөх хоёр шулуун нь параллель шугамын аксиомтой зөрчилддөг гэсэн үг юм. Энэ үр дүн нь зөв юм.
“Зэрэгцээ шугамын аксиом” видео хичээл нь багш сурагчдад аксиомын онцлог, түүний үр дагаврыг нотлоход хялбар болгож, сурагчдад ердийн хичээлээр материалыг цээжлэхэд хялбар болгоно. Мөн энэхүү видео материалыг зайн сургалтанд ашиглаж болох бөгөөд бие даан суралцахыг зөвлөж байна.
7-р ангийн сурагч "G" MBOU "OK" 3-р лицей" Гаврилов Дмитрий төгссөн.
Аксиом
"Үнэ цэнэтэй, зохистой" гэсэн утгатай Грекийн "axios" -аас гаралтай бөгөөд шууд ятгах чадварын улмаас логик нотолгоогүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн байр суурь нь онолын жинхэнэ эхлэлийн байр суурь юм. (Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг)
Татаж авах:
Урьдчилан үзэх:
Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд түүн рүү нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com
Слайдын тайлбар:
Зэрэгцээ шугамын аксиом "Г" MBOU 7-р ангийн сурагч "ОК "3-р лицей" Гаврилов Дмитрий 2015-2016 оны хичээлийн жил (багш Конарева Т.Н.)
Мэдэгдэж буй тодорхойлолт, баримтууд. Өгүүлбэрийг дуусга. 1. Х шугамыг a ба b шулуунтай харьцуулахад хөндлөн гэж нэрлэдэг бол... 2. Хоёр шулуун огтлолцох үед хөндлөн огтлолцол ... хөгжөөгүй өнцөг үүснэ. 3. Хэрэв AB ба C D шулуунууд нь B D шулуунаар огтлолцсон бол B D шулуун гэж нэрлэнэ... 4. Хэрэв B ба D цэгүүд нь АС зүсэлттэй харьцуулахад өөр хагас хавтгайд оршдог бол BAC ба DCA өнцгийг... гэнэ. 5. Хэрэв B ба D цэгүүд нь АС-тай харьцуулахад нэг хагас хавтгайд оршдог бол BAC ба DCA өнцгийг... 6. Нэг хосын дотоод өнцөг тэнцүү бол нөгөө хосын дотоод өнцөг гэж нэрлэнэ. тэнцүү байна... D C A C B D A B
Даалгаврыг шалгаж байна. 1. ... хоёр цэгээр огтлолцвол 2. 8 3. ... секант 4. ... хөндлөн хэвтэх 5. ... нэг талт 6. ... тэнцүү
Тохирох a) a b m 1) a | | b, учир нь дотоод хөндлөн өнцөг тэнцүү b) 2) a | | b, харгалзах өнцгүүд тэнцүү байх тул c) a b 3) a | | б, учир нь дотоод нэг талын өнцгийн нийлбэр нь 180° 50 º 130 º 45 º 45 º m a b m a 150 º 150º-тэй тэнцүү байна.
Геометрийн аксиомуудын тухай
Аксиом нь Грекийн "аксиос" гэсэн үгнээс гаралтай бөгөөд "үнэ цэнэтэй, зохистой" гэсэн утгатай. Шууд ятгах чадварын улмаас логик нотолгоогүйгээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн байр суурь нь онолын жинхэнэ анхны байр суурь юм. Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг
Шулуун шугам нь дурын хоёр цэгийг дайран өнгөрөх ба зөвхөн нэг хавтгайд байрлах дурын хоёр цэгээр хэдэн шулуун шугам татах вэ?
Ямар ч туяанд өгөгдсөнтэй тэнцэх сегментийг таслаж болох бөгөөд үүнээс гадна өгөгдсөн урттай хэдэн сегментийг цацрагийн эхнээс нь буулгаж болох вэ?
Өгөгдсөн чиглэлийн аль ч туяанаас өгөгдсөн хөгжөөгүй өнцөгтэй тэнцүү өнцгийг зурах боломжтой бөгөөд зөвхөн нэг туяанаас өгөгдсөн хагас хавтгайд өгөгдсөнтэй тэнцүү хэдэн өнцгийг зурах боломжтой вэ?
аксиом теорем логик үндэслэл алдарт эссэ “Принсипиа” Евклидийн геометр Геометрийн логик бүтэц
Зэрэгцээ шугамын аксиом
M a M цэгээр a c b a ┴ c b ┴ c a II c шулуунтай параллель шугам татах боломжтойг баталцгаая.
М цэгээр дамжуулан а шулуунтай зэрэгцээ өөр шугам татах боломжтой юу? a M in 1 Үүнийг батлах боломжтой юу?
Эрт дээр үеэс олон математикчид энэ мэдэгдлийг батлах гэж оролдсон бөгөөд Евклидийн элементүүдэд энэ мэдэгдлийг тав дахь постулат гэж нэрлэдэг. Евклидийн тав дахь постулатыг батлах оролдлого бүтэлгүйтсэн бөгөөд зөвхөн 19-р зуунд өгөгдсөн шугамтай параллель өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх шугамын өвөрмөц байдлын тухай мэдэгдлийг Евклидийн бусад аксиомуудын үндсэн дээр батлах боломжгүй гэдгийг эцэслэн тодруулсан. , гэхдээ өөрөө аксиом юм. Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд Оросын математикч Николай Иванович Лобачевский асар их үүрэг гүйцэтгэсэн.
Евклидийн тав дахь постулат 1792-1856 Николай Иванович
“Өгөгдсөн шулуун дээр ороогүй цэгээр зөвхөн өгөгдсөн шулуунтай параллель нэг шулуун дамждаг.” "Өгөгдсөн шулуун дээр хэвтээгүй цэгээр дамжуулан өгөгдсөн шугамтай параллель шугам зурж болно." Эдгээр мэдэгдлүүдийн аль нь аксиом вэ? Дээрх мэдэгдлүүд юугаараа ялгаатай вэ?
Өгөгдсөн шулуун дээр ороогүй цэгээр өгөгдсөнтэй параллель зөвхөн нэг шулуун дамждаг. Аксиом эсвэл теоремоос үүссэн мэдэгдлүүдийг үр дүн гэж нэрлэдэг.Үйлдэл 1. Хэрэв шулуун хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэгийг нь огтолж байвал нөгөөг нь мөн огтолно. a II b , c b ⇒ c a Параллелизмын аксиом ба түүнээс гарах үр дагавар. a Үр дүн 2. Гурав дахь шулуунтай зэрэгцээ хоёр шулуун байвал параллель байна. a II c, b II c a II b a b c c b
Мэдлэгийг нэгтгэх. Туршилтын тэмдэглэгээг "+" тэмдгээр зөв, алдаатай мэдэгдлийг "-" тэмдгээр тэмдэглэ. Сонголт 1 1. Аксиом гэдэг нь геометрийн дүрсүүдийн шинж чанарын тухай математик хэллэг бөгөөд нотлох баримт шаарддаг. 2. Шулуун шугам дурын хоёр цэгийг дайран өнгөрдөг. 3. Аль ч туяан дээр эхнээсээ өгөгдсөнтэй тэнцүү, хүссэн хэмжээгээрээ хэрчмүүдийг зурж болно. 4. Өгөгдсөн шулуун дээр хэвтээгүй цэгээр зөвхөн өгөгдсөн шулуунтай параллель нэг шулуун өнгөрдөг. 5. Хэрэв хоёр шулуун гуравны нэгтэй параллель байвал тэдгээр нь хоорондоо параллель байна. Сонголт 2 1. Аксиом гэдэг нь геометрийн дүрсүүдийн шинж чанарын тухай математикийн илэрхийлэл бөгөөд нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөгддөг. 2. Шулуун шугам нь дурын хоёр цэгийг дайран өнгөрч, зөвхөн нэг цэгээр дамждаг. 3. Өгөгдсөн шулуун дээр хэвтээгүй цэгээр зөвхөн өгөгдсөн шулуунтай параллель хоёр шулуун өнгөрдөг. 4. Хэрэв шулуун хоёр зэрэгцээ шулууны аль нэгийг нь огтолж байвал нөгөө шулуунтай перпендикуляр байна. 5. Хэрэв шулуун хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэгийг нь огтолж байвал нөгөөг нь мөн огтолно.
Тестийн хариулт 1 1. “-” 2. “-” 3. “-” 4. “+” 5. “+” Сонголт 2 “+” “+” “-” “-” “+”
"Геометр нь адал явдлаар дүүрэн байдаг, учир нь аливаа асуудлын ард сэтгэлгээний адал явдал байдаг. Асуудлыг шийдэх нь адал явдалтай тулгарна гэсэн үг." (В. Произволов)
Геометрийн дүрсийн шинж чанарыг судалснаар бид хэд хэдэн теоремуудыг нотолсон. Ингэхдээ бид дүрэм ёсоор өмнө нь батлагдсан теоремуудад тулгуурласан. Геометрийн хамгийн анхны теоремуудын баталгаа юунд үндэслэсэн бэ? Энэ асуултын хариулт нь: геометрийн дүрсүүдийн шинж чанарын талаархи тодорхой мэдэгдлүүдийг эхлэлийн цэг болгон хүлээн авч, үүний үндсэн дээр цаашдын теоремуудыг баталж, ерөнхийдөө бүх геометрийг бий болгодог. Ийм анхны байрлалыг нэрлэдэг аксиомууд.
Зарим аксиомыг эхний бүлэгт буцааж томъёолсон (хэдийгээр тэдгээрийг аксиом гэж нэрлээгүй байсан ч). Жишээлбэл, энэ нь аксиом юм
Бусад олон аксиомуудыг онцлон тэмдэглээгүй ч бидний үндэслэлд ашигласан. Тиймээс бид нэг сегментийг нөгөө сегмент дээр давхарлаж хоёр сегментийг харьцуулсан. Ийм давхцах боломж нь дараах аксиомоос үүдэлтэй.
Хоёр өнцгийг харьцуулах нь ижил төстэй аксиом дээр суурилдаг.
Эдгээр бүх аксиомууд нь тодорхой бөгөөд эргэлзээгүй юм. "Аксиом" гэдэг үг нь өөрөө Грекийн "axios" гэсэн үгнээс гаралтай бөгөөд "үнэ цэнэтэй, зохистой" гэсэн утгатай. Бид сурах бичгийн төгсгөлд геометрийн хичээл дээр батлагдсан планиметрийн аксиомуудын бүрэн жагсаалтыг өгдөг.
Анхны байрлалууд болох аксиомуудыг томъёолж, дараа нь бусад мэдэгдлүүдийг логик үндэслэлээр нотолсон геометрийг бүтээх ийм хандлага нь эрт дээр үеэс үүссэн бөгөөд эртний Грекийн алдарт "Зарчмууд" бүтээлд дурдсан байдаг. эрдэмтэн Евклид. Евклидийн зарим аксиомууд (заримыг нь тэр гэж нэрлэдэг постулатууд) бөгөөд одоо геометрийн хичээлд ашиглагдаж байгаа бөгөөд "Зарчмууд" -д үзүүлсэн геометрийг өөрөө гэж нэрлэдэг. Евклидийн геометр. Дараагийн догол мөрөнд бид геометрийн хамгийн алдартай аксиомуудын нэгтэй танилцах болно.
Зэрэгцээ шугамын аксиом
Дурын шулуун a шулуун ба түүн дээр хэвтэхгүй M цэгийг авч үзье (Зураг 110, а). М цэгээр дамжуулан а шулуунтай параллель шугам татах боломжтойг баталъя. Үүнийг хийхийн тулд М цэгээр хоёр шулуун зурна: эхлээд а шулуунд перпендикуляр шулуун c, дараа нь c шулуунд перпендикуляр шулуун b шулуун шугам (Зураг 110, (б). a ба b шулуун шугамууд нь перпендикуляр байдаг тул a, b шулуун шугамууд. шулуун c, тэдгээр нь зэрэгцээ байна.
Цагаан будаа. 110
Тиймээс M цэгээр a шулуунтай параллель b шулуун өнгөрдөг. Дараах асуулт гарч ирнэ: M цэгээр a шулуунтай зэрэгцээ өөр шугам татах боломжтой юу?
Хэрэв b шулуун шугамыг М цэгийн эргэн тойронд маш бага өнцгөөр ч "эргэв" гэвэл энэ нь шулуун а шулуунтай огтлолцоно (Зураг 110.6-ийн b шулуун). М цэгээр (b-ээс ялгаатай) өөр шулуун шугам татах боломжгүй, энэ мэдэгдлийг батлах боломжтой юу?
Энэ асуулт олон жилийн түүхтэй. Евклидийн "Элементүүд" нь постулатыг (Евклидийн тав дахь постулат) агуулдаг бөгөөд үүнээс үзэхэд өгөгдсөн шулуун дээр ороогүй цэгээр зөвхөн нэг шулуун шугамыг өгөгдсөнтэй параллель зурж болно. Эрт дээр үеэс эхлэн олон математикчид Евклидийн тав дахь постулатыг нотлохыг оролдсон, өөрөөр хэлбэл бусад аксиомуудаас гаргаж авсан. Гэсэн хэдий ч эдгээр оролдлого бүр амжилтгүй болсон. Зөвхөн өнгөрсөн зуунд өгөгдсөн цэгийг өгөгдсөн шугамтай параллель өнгөрөх шугамын өвөрмөц байдлын тухай мэдэгдлийг Евклидийн үлдсэн аксиомын үндсэн дээр нотлох боломжгүй, харин өөрөө аксиом гэдгийг эцэст нь тодруулсан.
Энэхүү хэцүү асуудлыг шийдвэрлэхэд Оросын агуу математикч Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) асар их үүрэг гүйцэтгэсэн.
Тиймээс, өөр нэг эхлэлийн цэг болгон бид хүлээн зөвшөөрч байна зэрэгцээ шугамын аксиом.
Аксиом эсвэл теоремоос шууд үүсэлтэй мэдэгдлүүдийг нэрлэдэг үр дагавар. Жишээлбэл, 1 ба 2-р мэдэгдлүүд (35-р хуудсыг үз) нь ижил өнцөгт гурвалжны биссектрисын теоремын үр дагавар юм.
Зэрэгцээ шугамын аксиомоос зарим үр дүнг авч үзье.
Үнэн хэрэгтээ, a ба b шулуун шугамууд параллель байх ба c шулуун шугам нь M цэг дээр шулуун а шулуунтай огтлолцоно (Зураг 111, а). c шулуун нь b шулуунтай огтлолцдог гэдгийг баталцгаая. Хэрэв c шулуун нь b шулуунтай огтлолцоогүй бол b шулуунтай параллель хоёр шулуун (a ба c шулуун) М цэгээр дамжин өнгөрөх болно (Зураг 111, b). Гэхдээ энэ нь параллель шугамын аксиомтой зөрчилдөж байгаа тул c шугам нь b шугамыг огтолж байна.
Цагаан будаа. 111
Үнэн хэрэгтээ a ба b шулуун шугамууд нь c шулуунтай параллель байг (Зураг 112, а). || гэдгийг баталцгаая б. a ба b шулуунууд параллель биш, өөрөөр хэлбэл M цэг дээр огтлолцдог гэж үзье (Зураг 112.6). Дараа нь M цэгээр (a ба b шугам), в шулуунтай параллель хоёр шулуун өнгөрнө.
Цагаан будаа. 112
Гэхдээ энэ нь зэрэгцээ шугамын аксиомтой зөрчилдөж байна. Тиймээс бидний таамаглал буруу бөгөөд энэ нь a ба b шугамууд зэрэгцээ байна гэсэн үг юм.
Хоёр зэрэгцээ ба хөндлөн шугамаар үүссэн өнцгийн тухай теоремууд
Теорем бүр хоёр хэсэгтэй: нөхцөлТэгээд дүгнэлт. Теоремын нөхцөл нь өгөгдсөн зүйл, дүгнэлт нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.
Жишээлбэл, хоёр шулуун шугамын параллелизмын шалгуурыг илэрхийлдэг теоремыг авч үзье: хэрэв хоёр шулуун хөндлөн огтлолцох үед хэвтэх өнцөг нь тэнцүү бол шулуун шугамууд параллель байна.
Энэ теоремын нөхцөл нь "хоёр шулуун хөндлөн огтлолцох үед хэвтэх өнцөг нь тэнцүү байна" гэсэн мэдэгдлийн эхний хэсэг (энэ нь өгөгдсөн), дүгнэлт нь хоёрдугаар хэсэг: "шугамууд зэрэгцээ байна" (үүнд хэрэгтэй. нотлох).
Энэ теоремын эсрэг тал, бол нөхцөл нь теоремын дүгнэлт, дүгнэлт нь теоремын нөхцөл байх теорем юм. 25-р догол мөр дэх гурван теоремын эсрэг теоремуудыг баталъя.
Теорем
Баталгаа
a ба b зэрэгцээ шулуунуудыг MN зүсэгчээр огтолцгооё. Хөндлөн хэвтэх өнцөг, жишээ нь 1 ба 2 тэнцүү гэдгийг баталъя (Зураг 113).
Цагаан будаа. 113
1 ба 2 өнцгийг тэнцүү биш гэж үзье. MN туяанаас 2 өнцөгтэй тэнцүү PMN өнцгийг хасъя, тэгвэл ∠PMN ба ∠2 нь MN зүсэгчээр MR ба b шулуунуудын огтлолцол дахь хөндлөн өнцөг болно. Барилгын хувьд эдгээр хөндлөн өнцөг нь тэнцүү тул MR || б. М цэгээр дамжин b шулуунтай параллель хоёр шулуун (шулуун шугам a ба MR) байгааг олж мэдсэн. Гэхдээ энэ нь зэрэгцээ шугамын аксиомтой зөрчилдөж байна. Энэ нь бидний таамаг буруу, ∠1 = ∠2 гэсэн үг. Теорем нь батлагдсан.
Сэтгэгдэл
Энэ теоремыг батлахдаа бид гэж нэрлэгддэг үндэслэлийн аргыг ашигласан зөрчилдөөнөөр нотлох замаар.
Бид a ба b параллель шулуунууд нь хөндлөн MN-тэй огтлолцох үед хэвтэх 1 ба 2 өнцгүүд тэнцүү биш гэж үзсэн, өөрөөр хэлбэл нотлох ёстой зүйлийн эсрэгээр тооцсон. Энэхүү таамаглал дээр үндэслэн бид үндэслэлээр параллель шугамын аксиомтой зөрчилдсөн. Энэ нь бидний таамаг буруу, тиймээс ∠1 = ∠2 гэсэн үг юм.
Ийм үндэслэлийг математикт ихэвчлэн ашигладаг. Бид үүнийг өмнө нь, жишээлбэл, 12-р зүйлд гурав дахь перпендикуляр хоёр шугам огтлолцохгүй гэдгийг батлахдаа ашигласан. Зэрэгцээ шулуунуудын аксиомоос 1 0 ба 2 0 үр дагаварыг батлахын тулд бид 28-р зүйлд ижил аргыг ашигласан.
Үр дагавар
Үнэхээр || b, c ⊥ a, өөрөөр хэлбэл ∠1 = 90 ° (Зураг 114). c шугам нь а шугамтай огтлолцдог тул b шугамтай бас огтлолцоно. a ба b параллель шулуунууд нь хөндлөн c-тэй огтлолцох үед тэнцүү хөндлөн өнцөг үүснэ: ∠1=∠2. ∠1 = 90° тул ∠2 = 90°, өөрөөр хэлбэл c ⊥ b, үүнийг батлах шаардлагатай.
Цагаан будаа. 114
Теорем
Баталгаа
a ба b параллель шулуунуудыг c зүсэлтээр огтолцгооё. Харгалзах өнцгүүд, жишээ нь 1 ба 2 нь тэнцүү гэдгийг баталцгаая (102-р зургийг үз). оноос хойш || b, тэгвэл хөндлөн өнцөг 1 ба 3 тэнцүү байна.
2 ба 3-р өнцөг нь босоо байрлалтай тэнцүү байна. ∠1 = ∠3 ба ∠2 = ∠3 тэгшитгэлээс ∠1 = ∠2 гарна. Теорем нь батлагдсан.
Теорем
Баталгаа
Зэрэгцээ шулуунууд a ба b-г зүсэлтээр огтолцгооё (102-р зургийг үз). Жишээлбэл, ∠1 + ∠4 = 180° гэдгийг баталъя. оноос хойш || b, тэгвэл харгалзах өнцөг 1 ба 2 тэнцүү байна. 2 ба 4 өнцөг нь зэргэлдээ байгаа тул ∠2 + ∠4 = 180° байна. ∠1 = ∠2 ба ∠2 + ∠4 = 180°-ийн тэгшитгэлээс ∠1 + ∠4 = 180° байна. Теорем нь батлагдсан.
Сэтгэгдэл
Хэрэв тодорхой теорем батлагдсан бол эсрэг заалт дагахгүй. Түүнээс гадна, эсрэгээрээ үргэлж үнэн байдаггүй. Энгийн жишээ хэлье. Хэрэв өнцөг нь босоо байвал тэд тэнцүү байна гэдгийг бид мэднэ. "Хэрэв өнцөг нь тэнцүү бол тэдгээр нь босоо байна" гэсэн эсрэг заалт нь мэдээжийн хэрэг худал юм.
Параллель эсвэл перпендикуляр талуудтай өнцөгүүд
Харгалзах параллель талуудтай өнцгийн тухай теоремыг баталъя.
Теорем
Баталгаа
Өгөгдсөн өнцгүүдийг ∠AOB ба ∠A 1 O 1 B 1 ба OA || O 1 A 1 , OB || 1-д 1 орчим. Хэрэв AOB өнцөг үүссэн бол A 1 O 1 B 1 өнцөг бий болно (яагаад гэдгийг тайлбарла), тэгэхээр эдгээр өнцөг нь тэнцүү байна. ∠AOB нь хөгжөөгүй өнцөг гэж үзье. AOB ба A 1 O 1 B 1 өнцгүүдийн байршлын боломжит тохиолдлуудыг Зураг 115, a, b-д үзүүлэв. O 1 B 1 шугам нь O 1 A 1 шугамыг огтолж байгаа тул ямар нэгэн M цэг дээр үүнтэй параллель OA шугамыг огтолно. OB ба O 1 B 1 параллель шугамууд нь OM таслагчаар огтлолцдог тул өнцгүүдийн аль нэг нь байна. O 1 B 1 ба OA шугамуудын огтлолцол дээр үүссэн (115-р зураг дээрх өнцөг 1) нь AOB өнцөгтэй тэнцүү (хөндлөн өнцөг гэх мэт). OA ба O 1 A 1 зэрэгцээ шугамууд нь O 1 M таслагчаар огтлолцсон тул ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (Зураг 115, a), эсвэл ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180 байна. ° (Зураг. . 115, b). ∠1 = ∠AOB тэгшитгэл ба сүүлийн хоёр тэгшитгэлээс харахад ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (115-р зураг, а-г үзнэ үү), эсвэл ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° байна. (Зураг 115, b-г үзнэ үү). Теорем нь батлагдсан.
Цагаан будаа. 115
Одоо перпендикуляр талуудтай өнцгийн тухай теоремыг баталъя.
Теорем
Баталгаа
∠AOB ба ∠A 1 O 1 B 1 өнцгүүдийг, OA ⊥ O 1 A 1, OB ⊥ O 1 B 1 гэж өгье. Хэрэв AOB өнцөг урвуу эсвэл шулуун байвал A 1 O 1 B 1 өнцөг урвуу эсвэл шулуун байна (яагаад учрыг нь тайлбарла) тиймээс эдгээр өнцөг нь тэнцүү байна. ∠AOB гэж үзье< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).
Хоёр тохиолдол боломжтой (Зураг 116).
1 0 . ∠AOB< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.
2 0 . ∠AOB > 90° (116-р зургийг үз, b). AOS өнцөг нь AOB өнцөгтэй зэргэлдээ байхаар OS туяаг зурцгаая. AOC өнцөг нь хурц бөгөөд түүний талууд нь A 1 O 1 B 1 өнцгийн талуудтай харгалзах перпендикуляр байна. Иймд ∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, эсвэл ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 байна. Эхний тохиолдолд ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1, хоёр дахь тохиолдолд ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° байна. Теорем нь батлагдсан.
Даалгаврууд
196. ABC гурвалжин өгөгдсөн. С оройгоор AB талтай параллель хэдэн шулуун зурж болох вэ?
197. p шулуун дээр хэвтээгүй цэгээр дөрвөн шулуун зурсан. Эдгээр шугамын хэд нь p шугамыг огтолж байгаа вэ? Боломжит бүх тохиолдлыг анхаарч үзээрэй.
198. a ба b шулуунууд p шулуунтай перпендикуляр, c шулуун нь а шулуунтай огтлолцоно. c шугам b шугамтай огтлолцдог уу?
199. p шулуун нь ABC гурвалжны AB талтай параллель байна. BC ба AC шулуунууд p шулууныг огтолж байгааг батал.
200. МЭ 117-р зурагт || p ба PQ || Нар. p шулуун нь AB, AE, AC, BC, PQ шулуунуудыг огтолж байгааг батал.
Цагаан будаа. 117
201. Хоёр зэрэгцээ шугам хөндлөн огтлолцох үеийн хөндлөн өнцгийн нийлбэр нь 210°-тай тэнцүү байна. Эдгээр өнцгүүдийг ол.
202. 118-р зурагт a, b ба c шугамыг d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138° шугамаар огтолж байна. a, b, c шулуунуудын аль нь параллель вэ?
Цагаан будаа. 118
203. Хоёр зэрэгцээ a ба b шулуунууд хөндлөн c-тэй огтлолцоход үүсэх бүх өнцгийг ол, хэрэв:
a) өнцгүүдийн аль нэг нь 150 °;
б) өнцгүүдийн аль нэг нь нөгөөгөөсөө 70° их байна.
204. AB хэрчмийн төгсгөлүүд a ба b зэрэгцээ шулуунууд дээр байна. Энэ хэрчим O дундыг дайран өнгөрөх шулуун нь a ба b шулуунуудыг C ба D цэгүүдээр огтолно.CO = OD гэдгийг батал.
205. Зураг 119-ийн өгөгдлийг ашиглан ∠1-ийг ол.
Цагаан будаа. 119
206. ∠ABC = 70°, ABCD = 110°. Шууд AB болон CD нь дараахь байж болно.
а) зэрэгцээ;
б) огтлолцох уу?
207. ∠ABC = 65°, ∠BCD = 105° бол 206-р бодлогын асуултад хариулна уу.
208. Хоёр зэрэгцээ шугам хөндлөн огтлолцох үед нэг талт хоёр өнцгийн ялгаа 50° байна. Эдгээр өнцгүүдийг ол.
209. Зураг 120 a || b, c || d, ∠4 = 45°. 1, 2, 3 өнцгийг ол.
Цагаан будаа. 120
210. P 1 ба P 2 хоёр бие нь A ба B блокууд дээр шидсэн утаснуудын төгсгөлд дүүжлэгдсэн байна (Зураг 121). Гурав дахь бие P 3 нь ижил утаснаас C цэг дээр дүүжлэгдсэн бөгөөд P 1 ба P 2 биетүүдийг тэнцвэржүүлдэг. (Энэ тохиолдолд AP 1 || BP 2 || CP 3 .) ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 гэдгийг батал.
Цагаан будаа. 121
211. Хоёр зэрэгцээ шугамыг хөндлөн огтлолцоно. Үүнийг батална уу: a) эсрэг өнцгүүдийн биссектрис параллель байна; б) нэг талт өнцгийн биссектриса нь перпендикуляр байна.
212. ABC гурвалжны AA 1 ба BB 1 өндрийг агуулсан шулуунууд Н цэгт огтлолцдог, В өнцөг нь мохоо, ∠C = 20°. ABB өнцгийг ол.
Асуудлын хариултууд
196. Нэг шулуун шугам.
197. Гурав, дөрөв.
201. 105°, 105°.
203. б) Дөрвөн өнцөг нь 55°, бусад дөрвөн өнцөг нь 125° байна.
206. a) Тийм; б) тийм.
207. a) Үгүй; б) тийм.
208. 115° ба 65°.
209. ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3=135°.
210. Заавар. CP 3 цацрагийн үргэлжлэлийг авч үзье.
§ 1 Зэрэгцээ шулуунуудын аксиом
Ямар мэдэгдлүүдийг аксиом гэж нэрлэдэгийг олж мэдье, аксиомын жишээг өгье, параллель шулуунуудын аксиомыг томъёолж, түүний зарим үр дагаврыг авч үзье.
Геометрийн дүрс, тэдгээрийн шинж чанарыг судлахдаа янз бүрийн мэдэгдлүүд - теоремуудыг батлах хэрэгцээ гарч ирдэг. Тэдгээрийг батлахдаа өмнө нь батлагдсан теоремууд дээр тулгуурладаг. Асуулт гарч ирнэ: хамгийн анхны теоремуудын нотолгоо юунд үндэслэсэн бэ? Геометрийн хувьд зарим анхны байрлалыг хүлээн зөвшөөрч, тэдгээрийн үндсэн дээр теоремуудыг цаашид нотолсон болно. Ийм анхны заалтуудыг аксиом гэж нэрлэдэг. Аксиомыг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг. Аксиом гэдэг үг нь Грекийн "аксиос" гэсэн үгнээс гаралтай бөгөөд "үнэ цэнэтэй, зохистой" гэсэн утгатай.
Бид зарим аксиомуудыг аль хэдийн мэддэг болсон. Жишээлбэл, аксиом гэдэг нь дурын хоёр цэгээр шулуун шугам дамждаг бөгөөд зөвхөн нэг нь.
Хоёр шугамын сегмент ба хоёр өнцгийг харьцуулахдаа бид нэг шугамын сегментийг нөгөө талд нь, нөгөө өнцөгт өнцгийг давхарласан. Ийм ногдуулах боломж нь дараахь аксиомуудаас үүдэлтэй.
· аль ч цацраг дээр түүний эхнээс нь өгөгдсөнтэй тэнцүү сегментийг зурах боломжтой бөгөөд зөвхөн нэг;
· Өгөгдсөн чиглэлийн аль ч туяанаас өгөгдсөн хөгжөөгүй өнцөгтэй тэнцэх өнцгийг, үүнээс гадна зөвхөн нэг өнцгийг гаргаж болно.
Геометр бол эртний шинжлэх ухаан юм. Бараг хоёр мянган жилийн турш геометрийг эртний Грекийн эрдэмтэн Евклидийн алдарт "Элементүүд" бүтээлийн дагуу судалж ирсэн. Евклид эхлээд эхлэлийн цэгүүд - постулатуудыг томъёолж, дараа нь тэдгээрт үндэслэн логик үндэслэлээр бусад мэдэгдлүүдийг нотолсон. Принсипид үзүүлсэн геометрийг Евклидийн геометр гэж нэрлэдэг. Эрдэмтдийн гар бичмэлүүдэд тав дахь постулат гэж нэрлэгддэг мэдэгдэл байдаг бөгөөд түүний эргэн тойронд маргаан маш удаан үргэлжилсэн. Олон тооны математикчид Евклидийн тав дахь постулатын нотлохыг оролдсон, i.e. үүнийг бусад аксиомуудаас гаргаж авсан боловч нотолгоо нь бүрэн бус эсвэл мухардалд хүрсэн. Зөвхөн 19-р зуунд л тав дахь постулатыг Евклидийн үлдсэн аксиомууд дээр үндэслэн батлах боломжгүй бөгөөд энэ нь өөрөө аксиом гэдгийг эцэст нь тодруулсан. Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд Оросын математикч Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) асар их үүрэг гүйцэтгэсэн. Тиймээс тав дахь постулат нь параллель шугамуудын аксиом юм.
Аксиом: өгөгдсөн шулуун дээр хэвтээгүй цэгээр зөвхөн нэг шулуунтай параллель нэг шулуун дамждаг.
§ 2 Зэрэгцээ шулуунуудын аксиомын үр дүн
Аксиом эсвэл теоремоос шууд үүссэн мэдэгдлийг үр дагавар гэж нэрлэдэг. Зэрэгцээ шугамын аксиомоос зарим үр дүнг авч үзье.
Дүгнэлт 1. Хэрэв шулуун хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэгийг нь огтолж байвал нөгөөг нь мөн огтолно.
Өгөгдсөн: a ба b шулуунууд параллель, в шулуун нь а шугамыг А цэг дээр огтолж байна.
Нотлох: c шугам b шулууныг огтолно.
Баталгаа: хэрэв c шулуун b шулуунтай огтлолцоогүй бол a ба c хоёр шулуун b шулуунтай параллель А цэгийг дайран өнгөрнө. Гэхдээ энэ нь параллель шугамын аксиомтой зөрчилдөж байна: өгөгдсөн шулуун дээр ороогүй цэгээр зөвхөн өгөгдсөн шулуунтай параллель нэг шулуун дамждаг. Энэ нь c шугам нь b шугамыг огтолж байна гэсэн үг юм.
Дүгнэлт 2. Хэрэв хоёр шулуун гурав дахь шулуунтай параллель байвал тэдгээр нь зэрэгцээ байна.
Өгөгдсөн: a ба b шугамууд нь c шулуунтай параллель байна. (a||c, b||c)
Нотлох: а шугам b шулуунтай параллель байна.
Баталгаа: a ба b шугамууд параллель биш гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. А цэг дээр огтлолцоно. Дараа нь а ба b хоёр шулуун нь в шулуунтай параллель А цэгийг дайран өнгөрнө. Гэхдээ параллель шугамын аксиомын дагуу өгөгдсөн шулуун дээр хэвтээгүй цэгээр зөвхөн нэг шулуун шугам дамжин өнгөрдөг. Энэ нь бидний таамаглал буруу, тиймээс a ба b шугамууд параллель байна гэсэн үг юм.
Ашигласан уран зохиолын жагсаалт:
- Геометр. 7-9-р анги: сурах бичиг. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / L.S. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев нар - М.: Боловсрол, 2013. - 383 х.: өвчтэй.
- Гаврилова Н.Ф. Геометрийн 7-р ангийн хичээлийн хөгжил. - М.: "VAKO", 2004, 288 х. - (Сургуулийн багшид туслах).
- Белицкая О.В. Геометр. 7-р анги. 1-р хэсэг. Туршилтууд. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 х.
Ашигласан зургууд:
