Бүх цаг үеийн жинхэнэ мэдлэг нь тодорхой нөхцөл байдалд хэв маягийг тогтоож, түүний үнэн зөвийг нотлоход суурилдаг. Ийм урт хугацааны туршид логик үндэслэл бий болж, дүрэм журмын томъёоллыг гаргаж, Аристотель "зөв үндэслэл" -ийн жагсаалтыг хүртэл эмхэтгэсэн. Түүхийн хувьд бүх дүгнэлтийг бетоноос олон (индукц) ба эсрэгээр (дедукц) гэсэн хоёр төрөлд хуваадаг заншилтай байдаг. Нотлох баримтын төрөл зүйлээс ерөнхийд, ерөнхийөөс тодорхой руу чиглэсэн нотлох баримтын төрлүүд нь зөвхөн хамтад нь оршдог бөгөөд тэдгээрийг сольж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Математик дахь индукц
"Индукц" гэсэн нэр томъёо нь латин үндэстэй бөгөөд шууд утгаараа "удирдамж" гэж орчуулагддаг. Нарийвчлан судалсны дараа үгийн бүтцийг тодруулж болно, тухайлбал латин угтвар - in- (дотогшоо чиглэсэн үйлдлийг илэрхийлдэг) ба -дукц - оршил. Бүрэн ба бүрэн бус индукц гэсэн хоёр төрөл байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Бүрэн хэлбэр нь тодорхой ангийн бүх объектыг судалсны үр дүнд гаргасан дүгнэлтээр тодорхойлогддог.
Бүрэн бус - ангийн бүх хичээлд хамаарах дүгнэлт, гэхдээ зөвхөн зарим нэгжийг судалсны үндсэн дээр хийсэн дүгнэлт.
Математикийн бүрэн индукц гэдэг нь энэхүү функциональ холболтын талаархи мэдлэг дээр үндэслэн байгалийн цуврал тоонуудын харьцаагаар функциональ холбогдсон аливаа объектын бүхэл бүтэн ангийн талаархи ерөнхий дүгнэлтэд үндэслэсэн дүгнэлт юм. Энэ тохиолдолд нотлох үйл явц гурван үе шаттайгаар явагдана.
- Эхнийх нь математик индукцийн байрлалын зөвийг нотолж байна. Жишээ нь: f = 1, индукц;
- дараагийн шат нь бүх натурал тоонуудын хувьд байрлал хүчинтэй гэсэн таамаглал дээр суурилдаг. Өөрөөр хэлбэл, f=h нь индуктив таамаглал юм;
- Гурав дахь шатанд өмнөх цэгийн байрлалын зөв байдалд үндэслэн f=h+1 тооны байрлалын үнэн зөвийг нотолсон - энэ нь индукцийн шилжилт буюу математик индукцийн алхам юм. Жишээ нь, хэрэв дараалсан эхний чулуу унавал (суурь), дараа нь эгнээний бүх чулуу унана (шилжилт).
Хошигносон ч, нухацтай ч
Ойлгоход хялбар болгох үүднээс математикийн индукцийн аргыг ашиглан шийдлийн жишээг хошигнол хэлбэрээр үзүүлэв. Энэ бол "Эелдэг дараалал" даалгавар юм:
- Зан үйлийн дүрмүүд нь эрэгтэй хүн эмэгтэй хүний өмнө ээлжлэн явахыг хориглодог (ийм нөхцөл байдалд тэр цааш явахыг зөвшөөрдөг). Энэ мэдэгдлээс харахад хамгийн сүүлд эрэмбэлэгдсэн нь эрэгтэй хүн байвал бусад нь эрэгтэй гэсэн үг.
Математик индукцийн аргын тод жишээ бол "Хэмжээгүй нислэгийн" асуудал юм.
- Микроавтобусанд хэдэн ч хүн багтах боломжтой гэдгийг батлах шаардлагатай. Тээврийн хэрэгсэлд нэг хүн ямар ч хүндрэлгүйгээр багтдаг нь үнэн (үндсэн). Гэхдээ микроавтобус хичнээн дүүрэн байсан ч 1 зорчигч үргэлж багтах болно (индукцийн алхам).
Танил хүрээлэл
Бодлого, тэгшитгэлийг математик индукцийн аргаар шийдвэрлэх жишээнүүд нэлээд түгээмэл байдаг. Энэ аргын жишээ болгон дараах асуудлыг авч үзье.
Нөхцөл байдал: онгоцонд h тойрог байна. Дүрсүүдийн аль ч зохицуулалтын хувьд тэдгээрийн үүсгэсэн газрын зургийг хоёр өнгөөр зөв будаж болохыг батлах шаардлагатай.
Шийдэл: h=1 үед уг мэдэгдлийн үнэн тодорхой байх тул h+1 тойргийн тоогоор нотлох баримтыг байгуулна.
Энэ мэдэгдэл нь ямар ч газрын зурагт хүчинтэй байх ба хавтгай дээр h+1 тойрог байна гэсэн таамаглалыг хүлээн зөвшөөрье. Нийт тойргийн аль нэгийг хасснаар та хоёр өнгөөр (хар, цагаан) зөв будсан газрын зургийг авах боломжтой.
Устгасан тойргийг сэргээх үед хэсэг бүрийн өнгө эсрэгээр өөрчлөгдөнө (энэ тохиолдолд тойрог дотор). Үр дүн нь хоёр өнгөөр зөв будагдсан газрын зураг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай.
Натурал тоо бүхий жишээнүүд
Математик индукцийн аргын хэрэглээг доор тодорхой харуулав.
Шийдлийн жишээ:
Дурын h-ийн хувьд дараах тэгшитгэл зөв болохыг батал.
1 2 +2 2 +3 2 +…+ц 2 =ц(ц+1)(2ц+1)/6.
1. h=1 гэж үзье, энэ нь:
R 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1
Үүнээс үзэхэд h=1-ийн хувьд уг мэдэгдэл зөв байна.
2. h=d гэж үзвэл тэгшитгэл гарна.
R 1 =d 2 =d(d+1)(2d+1)/6=1
3. h=d+1 гэж үзвэл:
R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6
R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.
Ийнхүү h=d+1 тэгшитгэлийн үнэн зөв нь батлагдсан тул математик индукцийн жишээний шийдэлд үзүүлсэн шиг аливаа натурал тооны хувьд уг мэдэгдэл үнэн байна.
Даалгавар
Нөхцөл байдал: h-ийн дурын утгын хувьд 7 h -1 илэрхийлэл 6-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг болохыг батлах шаардлагатай.
Шийдэл:
1. Энэ тохиолдолд h=1 гэж үзье.
R 1 =7 1 -1=6 (өөрөөр хэлбэл 6-д үлдэгдэлгүй хуваагдана)
Тиймээс h=1-ийн хувьд мэдэгдэл үнэн;
2. h=d ба 7 d -1-ийг 6-д үлдэгдэлгүй хуваая;
3. h=d+1-ийн хувьд мэдэгдлийн хүчинтэй байдлын баталгаа нь дараах томьёо юм.
R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6
Энэ тохиолдолд эхний гишүүн нь эхний цэгийн таамаглалын дагуу 6-д хуваагдаж, хоёр дахь гишүүн нь 6-тай тэнцүү байна.7 h -1 нь 6-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана гэсэн үг нь аль ч натурал h-д хуваагдана.
Шийдвэрлэх явцад гарсан алдаа
Ашигласан логик бүтцүүдийн буруугаас болж нотлох баримтад ихэвчлэн буруу үндэслэлийг ашигладаг. Энэ нь нотлох баримтын бүтэц, логикийг зөрчсөн тохиолдолд голчлон тохиолддог. Буруу үндэслэлийн жишээ бол дараах зураг юм.
Даалгавар
Нөхцөл байдал: аливаа овоолгын чулуу овоо биш гэдгийг нотлох шаардлагатай.
Шийдэл:
1. h=1 гэж үзье, энэ тохиолдолд овоолгод 1 чулуу байгаа бөгөөд мэдэгдэл үнэн (үндсэн);
2. Чулууны овоолго нь овоо биш гэдгийг h=d хувьд үнэн гэж үзье (таамаглал);
3. h=d+1 гэж бодъё, үүнээс нэг чулуу нэмэхэд олонлог овоо биш болно. Дүгнэлт нь таамаглал нь бүх байгалийн h-д хүчинтэй гэдгийг харуулж байна.
Алдаа нь овоо хэдэн чулуу үүсдэг гэсэн тодорхойлолт байдаггүй. Математикийн индукцийн аргад ийм орхигдлыг яаравчлан ерөнхийлөлт гэж нэрлэдэг. Жишээ нь үүнийг тодорхой харуулж байна.
Индукц ба логикийн хуулиуд
Түүхийн хувьд тэд үргэлж "гар гараасаа хөтлөлцөн алхдаг". Логик, философи зэрэг шинжлэх ухааны салбарууд тэдгээрийг эсрэг талын хэлбэрээр дүрсэлдэг.
Логикийн хуулийн үүднээс индуктив тодорхойлолтууд нь баримтад тулгуурладаг бөгөөд байрны үнэн зөв байдал нь үр дүнгийн мэдэгдлийн үнэн зөвийг тодорхойлдоггүй. Ихэнхдээ дүгнэлтийг тодорхой магадлал, үнэмшилтэй байдлаар гаргаж авдаг бөгөөд үүнийг мэдээжийн хэрэг нэмэлт судалгаагаар баталгаажуулж, баталгаажуулах ёстой. Логик дахь индукцийн жишээ нь дараах мэдэгдэл байж болно.
Эстонид ган гачиг, Латвид ган, Литвад ган гачиг байна.
Эстони, Латви, Литва нь Балтийн орнууд юм. Балтийн бүх орнуудад ган гачиг байна.
Жишээлбэл, индукцийн аргыг ашиглан шинэ мэдээлэл эсвэл үнэнийг олж авах боломжгүй гэж бид дүгнэж болно. Тооцоож болох зүйл бол дүгнэлтийн үнэн зөв байх явдал юм. Түүнээс гадна байрны үнэн нь ижил дүгнэлтийг баталгаажуулдаггүй. Гэсэн хэдий ч энэ баримт нь индукц нь хасалтын ирмэг дээр зогсдог гэсэн үг биш юм: индукцийн аргыг ашиглан асар олон тооны заалт, шинжлэх ухааны хуулиудыг нотолсон болно. Жишээ нь математик, биологи болон бусад шинжлэх ухаан байж болно. Энэ нь ихэвчлэн бүрэн индукцийн аргатай холбоотой боловч зарим тохиолдолд хэсэгчилсэн индукцийг бас ашиглаж болно.
Эрхэм хүндэт индукцийн нас нь хүний үйл ажиллагааны бараг бүх салбарт нэвтрэх боломжийг олгосон - энэ бол шинжлэх ухаан, эдийн засаг, өдөр тутмын дүгнэлт юм.
Шинжлэх ухааны нийгэмлэгт нэвтрүүлэх
Индукцийн арга нь нямбай хандлагыг шаарддаг, учир нь бүхэл бүтэн судлагдсан хэсгүүдийн тооноос хэт их зүйл хамаардаг: судлагдсан тоо их байх тусам үр дүн нь илүү найдвартай байх болно. Энэ шинж чанарт үндэслэн индукцийн аргаар олж авсан шинжлэх ухааны хуулиудыг боломжит бүх бүтцийн элементүүд, холболт, нөлөөллийг тусгаарлах, судлахын тулд магадлалын таамаглалын түвшинд удаан хугацаагаар туршдаг.
Шинжлэх ухаанд индуктив дүгнэлт нь санамсаргүй заалтыг эс тооцвол чухал шинж чанарууд дээр суурилдаг. Энэ баримт нь шинжлэх ухааны мэдлэгийн онцлогтой холбоотой чухал ач холбогдолтой юм. Энэ нь шинжлэх ухаан дахь индукцийн жишээнүүдээс тодорхой харагдаж байна.
Шинжлэх ухааны ертөнцөд индукцийн хоёр төрөл байдаг (судлах аргатай холбоотой):
- индукц-сонгомол (эсвэл сонголт);
- индукц - хасах (арилгах).
Эхний төрөл нь тухайн анги (дэд анги) -ын дээжийг өөр өөр бүс нутгуудаас арга зүйн (нямбай) сонгох замаар ялгагдана.
Энэ төрлийн индукцийн жишээ нь: мөнгө (эсвэл мөнгөний давс) нь усыг цэвэршүүлдэг. Дүгнэлт нь олон жилийн ажиглалт (нэг төрлийн баталгаа, няцаалт - сонголт) дээр үндэслэсэн болно.
Хоёрдахь төрлийн индукц нь учир шалтгааны холбоог бий болгож, түүний шинж чанарт тохирохгүй нөхцөл байдлыг, тухайлбал түгээмэл байдал, цаг хугацааны дарааллыг дагаж мөрдөх, зайлшгүй шаардлагатай, хоёрдмол утгагүй байдлыг үгүйсгэдэг дүгнэлтэд суурилдаг.
Философийн байр сууринаас индукц ба дедукц
Түүхээс харахад индукц гэдэг нэр томъёог анх Сократ дурдсан байдаг. Аристотель философи дахь индукцийн жишээг илүү ойролцоо нэр томъёоны толь бичигт тодорхойлсон боловч бүрэн бус индукцийн тухай асуудал нээлттэй хэвээр байна. Аристотелийн силлогизмыг хавчуулсны дараа индуктив аргыг байгалийн шинжлэх ухаанд үр дүнтэй, цорын ганц боломжтой гэж хүлээн зөвшөөрч эхлэв. Бэконыг бие даасан тусгай аргын хувьд индукцийн эцэг гэж үздэг ч түүний үеийнхний шаардсанаар индукцийг дедуктив аргаас салгаж чадаагүй юм.
Индукцийг Ж.Милл цаашид хөгжүүлж, индуктив онолыг тохироо, зөрүү, үлдэгдэл, харгалзах өөрчлөлт гэсэн дөрвөн үндсэн аргын үүднээс авч үзсэн. Өнөөдөр жагсаасан аргуудыг нарийвчлан судалж үзэхэд дедуктив байгаа нь гайхах зүйл биш юм.
Бэкон, Милл хоёрын онолын зөрчилдөөнийг ухаарсан нь эрдэмтэд индукцийн магадлалын үндэслэлийг судлахад хүргэсэн. Гэсэн хэдий ч энд ч гэсэн зарим нэг туйлширсан зүйлүүд байсан: магадлалын онол руу оруулах индукцийг бүх үр дагавартай нь бууруулах оролдлого хийсэн.
Индукц нь тодорхой сэдвийн хүрээнд практик хэрэглээ болон индуктив суурийн хэмжүүрийн нарийвчлалын ачаар итгэлийн санал авдаг. Философи дахь индукц ба дедукцийн жишээг Бүх нийтийн таталцлын хууль гэж үзэж болно. Энэ хуулийг нээсэн өдөр Ньютон үүнийг 4 хувийн нарийвчлалтай шалгаж чадсан юм. Хоёр зуу гаруй жилийн дараа шалгаж үзэхэд үнэн зөв нь 0.0001 хувийн нарийвчлалтай батлагдсан боловч баталгаажуулалтыг ижил индуктив ерөнхий дүгнэлтээр хийсэн.
Орчин үеийн философи нь дедукцид илүү анхаарал хандуулдаг бөгөөд энэ нь урьд өмнө мэдэгдэж байсан зүйлээс туршлага, зөн совингоо ашиглахгүйгээр, харин "цэвэр" үндэслэлийг ашиглан шинэ мэдлэг (эсвэл үнэн) олж авах логик хүсэл эрмэлзэлээс үүдэлтэй. Дедукцийн аргаар үнэн байрыг дурдахдаа бүх тохиолдолд гаралт нь үнэн мэдэгдэл юм.
Энэ маш чухал шинж чанар нь индуктив аргын үнэ цэнийг сүүдэрлэх ёсгүй. Туршлагын ололт амжилтад үндэслэсэн индукц нь түүнийг боловсруулах хэрэгсэл болж хувирдаг (ерөнхийлөл, системчилэл орно).
Индукцийг эдийн засагт хэрэглэх
Индукц ба дедукцийг эдийн засгийг судлах, түүний хөгжлийг урьдчилан таамаглах арга болгон эртнээс ашиглаж ирсэн.
Индукцийн аргын хэрэглээний хүрээ нэлээд өргөн: урьдчилсан үзүүлэлтүүдийн биелэлтийг судлах (ашиг, элэгдэл гэх мэт), аж ахуйн нэгжийн төлөв байдлын ерөнхий үнэлгээ; баримт, тэдгээрийн харилцаанд тулгуурлан аж ахуйн нэгжийг дэмжих үр дүнтэй бодлогыг бий болгох.
Индукцийн ижил аргыг "Шьюхартын газрын зураг" -д ашигладаг бөгөөд процессыг хяналттай ба хяналтгүй гэж хуваадаг гэж үзвэл хяналттай үйл явцын хүрээ идэвхгүй байна гэж заасан байдаг.
Шинжлэх ухааны хуулиудыг индукцийн аргыг ашиглан нотолж, баталгаажуулдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд эдийн засаг нь математик анализ, эрсдэлийн онол, статистикийг ихэвчлэн ашигладаг шинжлэх ухаан тул индукцийг үндсэн аргуудын жагсаалтад оруулсан нь гайхах зүйл биш юм.
Эдийн засаг дахь индукц ба дедукцийн жишээ бол дараах нөхцөл байдал юм. Хүнсний үнэ (хэрэглээний сагснаас) болон зайлшгүй шаардлагатай бараа бүтээгдэхүүний үнийн өсөлт нь хэрэглэгчийг мужид шинээр гарч ирж буй өндөр зардлын талаар бодоход хүргэдэг (индукц). Үүний зэрэгцээ, өндөр үнийн баримтаас математикийн аргыг ашиглан тус бүрийн бараа эсвэл барааны ангиллын үнийн өсөлтийн үзүүлэлтийг (хасах) гаргаж авах боломжтой.
Ихэнхдээ удирдлагын ажилтнууд, менежерүүд, эдийн засагчид индукцийн аргад ханддаг. Аж ахуйн нэгжийн хөгжил, зах зээлийн зан байдал, өрсөлдөөний үр дагаврыг хангалттай үнэн зөвөөр урьдчилан таамаглахын тулд мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх, боловсруулахад индуктив-дедуктив хандлага шаардлагатай.
Алдаатай дүгнэлттэй холбоотой эдийн засгийн индукцийн тод жишээ:
- компанийн ашиг 30% -иар буурсан;
өрсөлдөгч компани бүтээгдэхүүнийхээ хүрээг өргөжүүлсэн;
өөр юу ч өөрчлөгдөөгүй; - өрсөлдөгч компанийн үйлдвэрлэлийн бодлого нь ашгийг 30% -иар бууруулахад хүргэсэн;
- тиймээс нэг үйлдвэрлэлийн бодлого явуулах хэрэгтэй.
Энэ жишээ нь индукцийн аргыг зүй бусаар ашиглах нь аж ахуйн нэгжийг сүйрүүлэхэд хэрхэн нөлөөлж байгааг харуулсан өнгөлөг жишээ юм.
Сэтгэл судлалын дедукц ба индукц
Арга байдаг болохоор логикийн хувьд зөв зохион байгуулалттай сэтгэлгээ (аргыг ашиглах) бас бий. Сэтгэл судлал нь сэтгэцийн үйл явц, тэдгээрийн үүсэх, хөгжил, харилцаа холбоо, харилцан үйлчлэлийг судалдаг шинжлэх ухаан бөгөөд дедукц, индукцийн илрэлийн нэг хэлбэр болох "дедуктив" сэтгэлгээнд анхаарлаа хандуулдаг. Харамсалтай нь Интернет дэх сэтгэл судлалын хуудсууд дээр дедуктив-индуктив аргын бүрэн бүтэн байдлыг зөвтгөх үндэслэл бараг байдаггүй. Хэдийгээр мэргэжлийн сэтгэл судлаачид индукцийн илрэл, эс тэгвээс алдаатай дүгнэлттэй ихэвчлэн тулгардаг.
Сэтгэл судлал дахь индукцийн жишээ бол алдаатай дүгнэлтийн жишээ юм: миний ээж хуурч байна, тиймээс бүх эмэгтэйчүүд хууран мэхлэгч байдаг. Та амьдралаас индукцийн илүү "алдаатай" жишээг олж авч болно:
- сурагч математикийн хичээлд муу дүн авбал юу ч хийх чадваргүй;
- тэр бол тэнэг;
- тэр ухаалаг;
- Би юу ч хийж чадна;
Бүрэн санамсаргүй, заримдаа ач холбогдолгүй байранд үндэслэсэн бусад олон үнэлэмжийн дүгнэлтүүд.
Энд тэмдэглэх нь зүйтэй: хүний дүгнэлтийн төөрөгдөл нь утгагүй байдалд хүрэх үед сэтгэл засалчдад ажлын хязгаар гарч ирдэг. Мэргэжилтнээр томилох нэг жишээ:
"Өвчтөн улаан өнгө нь түүний хувьд ямар ч хэлбэрээр аюултай гэдэгт бүрэн итгэлтэй байна. Үүний үр дүнд тэр хүн энэ өнгөний схемийг амьдралаас нь хассан - аль болох их. Гэртээ тав тухтай амьдрах олон боломж бий. Та улаан өнгийн бүх зүйлээс татгалзаж эсвэл өөр өнгөт схемээр хийсэн аналогоор сольж болно. Гэхдээ олон нийтийн газар, ажил дээрээ, дэлгүүрт - энэ нь боломжгүй юм. Өвчтөн стресстэй нөхцөл байдалд орох бүртээ өөр өөр сэтгэл хөдлөлийн "түрлэг"-ийг мэдрэх бөгөөд энэ нь бусдад аюул учруулж болзошгүй юм."
Индукц ба ухамсаргүй индукцийн энэ жишээг "тогтмол санаа" гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ нь сэтгэцийн хувьд эрүүл хүнд тохиолдвол сэтгэцийн үйл ажиллагааны зохион байгуулалт хангалтгүй байгаа тухай ярьж болно. Обсессив байдлаас ангижрах арга бол дедуктив сэтгэлгээний анхан шатны хөгжил байж болно. Бусад тохиолдолд сэтгэцийн эмч нар ийм өвчтөнүүдтэй ажилладаг.
Индукцийн дээрх жишээнүүд нь "хуулийг үл тоомсорлох нь таныг үр дагавраас (алдаатай шүүлтээс) чөлөөлөхгүй" гэдгийг харуулж байна.
Дедуктив сэтгэлгээний сэдвээр ажиллаж буй сэтгэл судлаачид хүмүүст энэ аргыг эзэмшихэд нь туслах зорилготой зөвлөмжийн жагсаалтыг гаргажээ.
Эхний цэг бол асуудлыг шийдвэрлэх явдал юм. Эндээс харахад математикт ашигладаг индукцийн хэлбэрийг "сонгодог" гэж үзэж болох бөгөөд энэ аргыг ашиглах нь оюун ухааны "сахилга бат" -д хувь нэмэр оруулдаг.
Дедуктив сэтгэлгээг хөгжүүлэх дараагийн нөхцөл бол алсын хараагаа тэлэх явдал юм (тодорхой сэтгэдэг хүмүүс өөрийгөө тодорхой илэрхийлдэг). Энэхүү зөвлөмж нь "зовлон"-ыг шинжлэх ухаан, мэдээллийн санд (номын сан, вэбсайт, боловсролын санаачлага, аялал гэх мэт) чиглүүлдэг.
"Сэтгэл зүйн индукц" гэж нэрлэгддэг зүйлийг онцгой дурдах хэрэгтэй. Энэ нэр томъёог Интернетээс олж болно. Бүх эх сурвалжид энэ нэр томъёоны тодорхойлолтын талаар дор хаяж товч тайлбар өгөөгүй боловч "амьдралаас авсан жишээнүүд" -ийг иш татдаг бөгөөд энэ нь шинэ төрлийн санал, сэтгэцийн эмгэг, эсвэл сэтгэцийн эмгэгийн зарим хэлбэрийг өдөөдөг. хүний сэтгэл зүй. Дээр дурдсан бүхнээс харахад худал (ихэвчлэн худал) байр сууринд тулгуурлан "шинэ нэр томъёо" гаргах оролдлого нь туршилт хийж буй хүнийг алдаатай (эсвэл яаран) мэдэгдэл олж авахад хүргэдэг нь тодорхой байна.
1960 оны туршилтуудын лавлагаа (туршилтанд оролцогчдын байршил, нэрс, субъектуудын түүвэр, хамгийн чухал нь туршилтын зорилгыг заагаагүй) нь зөөлөн, үнэмшилгүй харагдаж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тархи нь бүх мэдрэхүйн эрхтнүүдийг тойрон мэдээллийг хүлээн авдаг гэсэн мэдэгдэл (энэ тохиолдолд "нөлөөлөлд өртсөн" гэсэн хэллэг илүү органик байдлаар багтах болно) нь мэдэгдлийн зохиогчийн итгэл үнэмшил, шүүмжлэлтэй байдлын талаар бодоход хүргэдэг.
Дүгнэлтийн оронд
Шинжлэх ухаан, математикийн хатан хаан индукц ба дедукцийн аргын боломжит бүх нөөцийг ашигладаг нь хоосон биш юм. Үзэж буй жишээнүүд нь хамгийн үнэн зөв, найдвартай аргуудыг өнгөцхөн, чадваргүй (тэдний хэлснээр бодолгүй) хэрэглэх нь үргэлж алдаатай үр дүнд хүргэдэг гэж дүгнэх боломжийг бидэнд олгодог.
Олон нийтийн ухамсарт дедукцийн арга нь алдартай Шерлок Холмстой холбоотой байдаг бөгөөд тэрээр логик бүтэцдээ индукцийн жишээг илүү олон удаа ашигладаг, зөв нөхцөлд дедукцийг ашигладаг.
Энэхүү нийтлэлд эдгээр аргыг янз бүрийн шинжлэх ухаан, хүний үйл ажиллагааны салбарт ашиглах жишээг авч үзсэн.
Математикийн индукц нь математик нотлох хамгийн түгээмэл аргуудын нэг юм. Үүний тусламжтайгаар та натурал n тоо бүхий ихэнх томьёо, жишээлбэл, S n = 2 a 1 + n - 1 d 2 · n, Ньютоны бином томъёоны эхний гишүүний нийлбэрийг олох томъёог баталж чадна. a + b n = C n 0 · a n · C n 1 · a n - 1 · b + . . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n .
Эхний догол мөрөнд бид үндсэн ойлголтуудад дүн шинжилгээ хийж, дараа нь аргын үндсийг авч үзээд тэгш байдал, тэгш бус байдлыг нотлохын тулд үүнийг хэрхэн ашиглахыг танд хэлэх болно.
Индукц ба дедукцийн тухай ойлголт
Эхлээд индукц, дедукц гэж юу болохыг ерөнхийд нь авч үзье.
Тодорхойлолт 1
Индукцтодорхойоос ерөнхий рүү шилжих шилжилт бөгөөд хасалтэсрэгээр - ерөнхийөөс тусгай хүртэл.
Жишээлбэл, бид 254-ийг хоёр хувааж болно гэсэн мэдэгдэл байна. Үүнээс бид үнэн, худал зэрэг олон дүгнэлт хийж болно. Жишээ нь: 4 тоогоор төгссөн бүх бүхэл тоог үлдэгдэлгүйгээр хоёр хувааж болно гэсэн нь үнэн боловч гурван оронтой аль ч тоо 2-т хуваагдана гэсэн үг худал.
Ерөнхийдөө индуктив үндэслэлийн тусламжтайгаар мэдэгдэж байгаа эсвэл тодорхой нэг үндэслэлээр олон дүгнэлт хийж болно гэж хэлж болно. Математикийн индукц нь эдгээр дүгнэлтүүд хэр үндэслэлтэй болохыг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог.
1 1 2, 1 2 3, 1 3 4, 1 4 5, гэх мэт тоонуудын дараалал байна гэж бодъё. . . , 1 n (n + 1) , энд n нь зарим натурал тоог илэрхийлдэг. Энэ тохиолдолд дарааллын эхний элементүүдийг нэмэхэд бид дараахь зүйлийг авна.
S 1 = 1 1 2 = 1 2, S 2 = 1 1 2 + 1 2 3 = 2 3, S 3 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 = 3 4, S 4 = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + 1 3 · 4 + 1 4 · 5 = 4 5, . . .
Индукцийг ашиглан бид S n = n n + 1 гэж дүгнэж болно. Гурав дахь хэсэгт бид энэ томъёог батлах болно.
Математик индукцийн арга юу вэ?
Энэ арга нь ижил нэртэй зарчим дээр суурилдаг. Үүнийг дараах байдлаар томъёолсон болно.
Тодорхойлолт 2
1) n = 1-ийн хувьд үнэн байх ба 2) энэ илэрхийлэл дурын натурал n = k утгын хувьд хүчинтэй байх үед тодорхой мэдэгдэл нь n байгалийн утгын хувьд үнэн байх болно. n = k + 1.
Математик индукцийн аргыг хэрэглэх нь 3 үе шаттайгаар явагдана.
- Эхлээд бид n-ийн дурын байгалийн утгыг (ихэвчлэн шалгалтыг нэгдмэл байдлаар хийдэг) тохиолдолд анхны мэдэгдлийн үнэн зөвийг шалгадаг.
- Үүний дараа бид n = k үед хүчинтэй эсэхийг шалгана.
- Дараа нь бид n = k + 1 бол мэдэгдлийн үнэн зөвийг нотолж байна.
Тэгшитгэл ба тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд математикийн индукцийн аргыг хэрхэн ашиглах вэ
Өмнө нь ярьсан жишээгээ авч үзье.
Жишээ 1
S n = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + томьёог батал. . . + 1 n (n + 1) = n n + 1.
Шийдэл
Бидний мэдэж байгаагаар математик индукцийн аргыг хэрэглэхийн тулд дараалсан гурван үйлдлийг гүйцэтгэх ёстой.
- Эхлээд бид энэ тэгшитгэл нь n-тэй тэнцүү байх эсэхийг шалгана. Бид S 1 = 1 1 · 2 = 1 1 + 1 = 1 2 болно. Энд бүх зүйл зөв байна.
- Дараа нь бид S k = k k + 1 томъёог зөв гэж таамаглаж байна.
- Гурав дахь алхамд бид өмнөх тэгш байдлын хүчинтэй байдалд үндэслэн S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2 гэдгийг батлах хэрэгтэй.
Бид k + 1-ийг анхны дарааллын эхний гишүүний нийлбэр ба k + 1 гэж илэрхийлж болно.
S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)
Хоёрдахь үйлдэлд бид S k = k k + 1 гэдгийг хүлээн авсан тул бид дараах зүйлийг бичиж болно.
S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) .
Одоо бид шаардлагатай өөрчлөлтүүдийг хийж байна. Бид бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, ижил төстэй нэр томъёог багасгаж, үржүүлэх товчилсон томъёог хэрэглэж, олж авсан зүйлээ багасгах хэрэгтэй болно.
S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = k k + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = k 2 + 2 k + 1 k + 1 (k + 2) = (k + 1) 2 k + 1 (k + 2) = k + 1 k + 2
Тиймээс бид математикийн индукцийн аргын бүх гурван алхамыг гүйцэтгэснээр гурав дахь цэг дэх тэгш байдлыг нотолсон.
Хариулт: S n = n n + 1 томъёоны талаархи таамаглал зөв.
Тригонометрийн функцтэй илүү төвөгтэй бодлогыг авч үзье.
Жишээ 2
cos 2 α · cos 4 α · гэдгийг нотлох баримт бичнэ үү. . . · cos 2 n α = sin 2 n + 1 α 2 n sin 2 α .
Шийдэл
Бидний санаж байгаагаар эхний алхам бол n нь нэгтэй тэнцүү байх үед тэгш байдлын үнэн зөв эсэхийг шалгах явдал юм. Үүнийг мэдэхийн тулд бид тригонометрийн үндсэн томъёог санах хэрэгтэй.
cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α
Тиймээс нэгтэй тэнцүү n-ийн хувьд таних тэмдэг нь үнэн байх болно.
Одоо түүний хүчинтэй байдал n = k-ийн хувьд үнэн хэвээр байна гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. cos 2 α · cos 4 α · гэдэг нь үнэн байх болно. . . · cos 2 k α = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α .
Бид cos 2 α · cos 4 α · тэгш байдлыг баталж байна. . . · Өмнөх таамаглалыг үндэс болгон n = k + 1 байх тохиолдолд cos 2 k + 1 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α.
Тригонометрийн томъёоны дагуу
sin 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (нүгэл (2 к + 1 α + 2 к + 1 α) + нүгэл (2 к + 1 α - 2 к + 1 α)) = = 1 2 нүгэл (2 2 к + 1 α) + нүгэл 0 = 1 2 нүгэл 2 к + 2 α
Тиймээс,
cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k α · cos 2 k + 1 α = = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α · cos 2 k + 1 α = 1 2 · sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 нүгэл 2 α
Бид энэ аргыг ашиглан тэгш бус байдлыг батлах асуудлыг шийдэх жишээг хамгийн бага квадратын аргын тухай өгүүлэлд өгсөн. Ойролцоо коэффициентийг олох томьёог гаргаж авсан догол мөрийг уншина уу.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Англи:Википедиа сайтыг илүү аюулгүй болгож байна. Та ирээдүйд Википедиа руу холбогдох боломжгүй хуучин вэб хөтөч ашиглаж байна. Төхөөрөмжөө шинэчлэх эсвэл мэдээллийн технологийн админтайгаа холбогдоно уу.
中文: The 以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。
Испани: Wikipedia сайтад нэвтэрч болно. Wikipedia-д холбогдох вэб сайтыг ашиглах боломжгүй. Мэдээллийн администратортай холбоо барих эсвэл бодит байдлыг шалгах. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.
ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.
Франц:Википедиа болон хоёр талын аюулгүй байдлыг нэмэгдүүлэх сайт. Википедиа руу холбогчийг ашиглан вэб хөтөчийг ашиглах боломжтой. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des information supplémentaires plus техник болон en anglais sont disponibles ci-dessous.
日本語: ???す るか情報は以下に英語で提供しています。
Герман:Википедиа Sicherheit der Webseite-г ашиглах боломжгүй. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator болон. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise Du unten-ийг englischer Sprache хэл дээр олжээ.
италио: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stay usando un browser web che non sarà in grado di connettersi in Futuro in Wikipedia. Хэрэв та дуртай бол, мэдээллийн хэрэгслийн удирдлага эсвэл холбогдох боломжтой. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico англи хэл дээр.
Мажар:Википедиа бидтонсагосаб lesz. А бөнгэсзо, амит хаснальсз, нем лесз кепес капчсолодни а жөвөбен. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (анголул).
Свенска: Wikipedia gor sidan mer saker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Мэдээллийн технологийн администраторыг шинэчлэх боломжтой. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.
हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।
Бид таны хөтчийн программ хангамжийг манай сайтуудтай холбоход тулгуурласан TLSv1.0 болон TLSv1.1 гэсэн аюулгүй TLS протоколын хувилбаруудын дэмжлэгийг устгаж байна. Энэ нь ихэвчлэн хуучирсан хөтчүүд эсвэл хуучин Android ухаалаг гар утаснуудаас болдог. Эсвэл энэ нь корпорацийн эсвэл хувийн "Вэб аюулгүй байдлын" програм хангамжийн хөндлөнгийн оролцоо байж болох бөгөөд энэ нь холболтын аюулгүй байдлын түвшинг бууруулдаг.
Та манай сайтад нэвтрэхийн тулд вэб хөтчөө шинэчлэх эсвэл энэ асуудлыг засах ёстой. Энэ зурвас 2020 оны 1-р сарын 1 хүртэл үргэлжилнэ. Энэ өдрөөс хойш таны хөтөч манай серверүүдтэй холбогдох боломжгүй болно.
Лекц 6. Математикийн индукцийн арга.
Шинжлэх ухаан, амьдрал дахь шинэ мэдлэгийг янз бүрийн аргаар олж авдаг боловч бүгдийг нь (хэрэв та нарийвчилсан мэдээлэл өгөхгүй бол) ерөнхийөөс тодорхой, өвөрмөцөөс ерөнхий рүү шилжих гэсэн хоёр төрөлд хуваадаг. Эхнийх нь дедукци, хоёр дахь нь индукц юм. Дедуктив үндэслэлийг математикт түгээмэл гэж нэрлэдэг. логик үндэслэл, мөн математикийн шинжлэх ухаанд хасалт нь мөрдөн байцаалтын цорын ганц хууль ёсны арга юм. Логик сэтгэхүйн дүрмийг хоёр мянга хагас жилийн өмнө эртний Грекийн эрдэмтэн Аристотель томъёолжээ. Тэрээр хамгийн энгийн зөв үндэслэлүүдийн бүрэн жагсаалтыг гаргасан. силлогизмууд- логикийн "барилгын блок" нь зөвтэй маш төстэй боловч буруу ердийн үндэслэлийг нэгэн зэрэг харуулж байна (бид ийм "псевдологийн" үндэслэлүүд хэвлэл мэдээллийн хэрэгслээр ихэвчлэн тулгардаг).
Индукц (индукц - Латинаар удирдамж) Исаак Ньютон толгой дээр нь алим унасны дараа дэлхийн таталцлын хуулийг хэрхэн томъёолсон тухай алдартай домогт тодорхой дүрслэгдсэн байдаг. Физикийн өөр нэг жишээ: цахилгаан соронзон индукц гэх мэт үзэгдлийн үед цахилгаан орон нь соронзон орон үүсгэдэг, "өдөрүүлдэг". "Ньютоны алим" нь нэг буюу хэд хэдэн онцгой тохиолдлуудад тохиолддог ердийн жишээ юм. ажиглалт, "санал болгох" ерөнхий мэдэгдлийг тодорхой тохиолдлуудад үндэслэн ерөнхий дүгнэлт гаргадаг. Индуктив арга нь байгалийн болон хүний шинжлэх ухааны аль алинд нь ерөнхий хэв маягийг олж авах гол арга юм. Гэхдээ энэ нь маш чухал сул талтай: тодорхой жишээн дээр үндэслэн буруу дүгнэлт хийж болно. Хувийн ажиглалтаас үүссэн таамаглал нь үргэлж зөв байдаггүй. Эйлерээс үүдэлтэй жишээг авч үзье.
Бид эхний утгуудын хувьд гурвалсан утгыг тооцоолох болно n:
|
|
Тооцооллын үр дүнд олж авсан тоонууд нь анхны тоо гэдгийг анхаарна уу. Үүнийг тус бүрээр нь шууд шалгаж болно n 1-ээс 39 хүртэлх олон гишүүнт утга 
анхны тоо юм. Гэсэн хэдий ч хэзээ n=40 бид анхны биш 1681=41 2 тоог авна. Тиймээс энд үүсч болох таамаглал, өөрөөр хэлбэл тус бүрийн хувьд гэсэн таамаглал nтоо 
энгийн, худал болж хувирав.
Лейбниц 17-р зуунд эерэг бүхэл бүрийн хувьд гэдгийг нотолсон nтоо 
3-т хуваагддаг тоо 
5-д хуваагддаг гэх мэт. Үүний үндсэн дээр тэрээр ямар ч хачирхалтай гэж үзсэн кболон аливаа байгалийн nтоо 
хуваасан к, гэхдээ удалгүй би үүнийг анзаарсан 
9-д хуваагддаггүй.
Үзсэн жишээнүүд нь чухал дүгнэлт гаргах боломжийг бидэнд олгодог: мэдэгдэл нь хэд хэдэн онцгой тохиолдлуудад шударга байж болох ба ерөнхийдөө шударга бус байж болно. Ерөнхий тохиолдолд мэдэгдлийн хүчинтэй эсэх асуудлыг тусгай үндэслэлийн аргыг ашиглан шийдэж болно математикийн индукцээр(бүрэн индукц, төгс индукц).
6.1. Математик индукцийн зарчим.
♦ Математикийн индукцийн аргыг үндэслэнэ Математик индукцийн зарчим , энэ нь дараах байдалтай байна.
1) энэ мэдэгдлийн хүчинтэй эсэхийг шалганаn=1 (индукцийн үндэс) ,
2) энэ мэдэгдлийн хүчинтэй гэж үзнэn= к, Хаанак- дурын натурал тоо 1(индукцийн таамаглал) , мөн энэ таамаглалыг харгалзан үзэхэд түүний хүчинтэй байдлыг тогтоосон болноn= к+1.
Баталгаа. Үүний эсрэгээр, өөрөөр хэлбэл, уг мэдэгдэл нь байгалийн бүхний хувьд үнэн биш гэж бодъё n. Дараа нь ийм байгалиас заяасан зүйл байдаг м, Юу:
1) мэдэгдэл n=мшударга бус,
2) хүн бүрт n, жижиг м, мэдэгдэл үнэн (өөрөөр хэлбэл, мнь үнэн биш байгаа анхны натурал тоо).
Энэ нь ойлгомжтой м>1, учир нь Учир нь n=1 мэдэгдэл үнэн (нөхцөл 1). Тиймээс, 
- натурал тоо. Натурал тооны хувьд энэ нь харагдаж байна 
мэдэгдэл үнэн бөгөөд дараагийн натурал тооны хувьд мшударга бус байна. Энэ нь 2-р нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. ■
Аливаа натурал тооны багц хамгийн бага тоог агуулна гэсэн аксиомыг нотлох баримтад ашигласан болохыг анхаарна уу.
Математикийн индукцийн зарчимд суурилсан нотолгоог нэрлэнэ бүрэн математикийн индукцийн аргаар .
Жишээ6.1.
Үүнийг ямар ч байгалийн жамаар нотол nтоо 
3-т хуваагддаг.
Шийдэл.
1) Хэзээ n=1, тэгэхээр а 1 нь 3-т хуваагддаг бөгөөд энэ нь үнэн байх үед n=1.
2) Энэ мэдэгдэл нь үнэн гэж бодъё n=к,
, тэр тоо 
нь 3-т хуваагддаг бөгөөд хэзээ гэдгийг бид тогтоодог n=к+1 тоо 3-т хуваагдана.
Үнэндээ,
Учир нь Гишүүн бүр 3-т хуваагддаг бол тэдгээрийн нийлбэр нь мөн 3-т хуваагдана. ■
Жишээ6.2. Эхнийх нь нийлбэр гэдгийг батал nбайгалийн сондгой тоо нь тэдний тооны квадраттай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.
Шийдэл.Бүрэн математикийн индукцийн аргыг ашиглая.
1) Бид энэ мэдэгдлийн хүчинтэй эсэхийг шалгадаг n=1: 1=1 2 – энэ үнэн.
2) Эхнийх нь нийлбэр гэж бодъё к
(
) сондгой тоо нь эдгээр тоонуудын тооны квадраттай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. Энэ тэгш байдал дээр үндэслэн бид эхний нийлбэрийг тогтооно к+1 сондгой тоо нь тэнцүү байна 
, тэр нь .
Бид таамаглалаа ашиглаж, авдаг
. ■
Зарим тэгш бус байдлыг батлахын тулд бүрэн математикийн индукцийн аргыг ашигладаг. Бернуллигийн тэгш бус байдлыг баталъя.
Жишээ6.3.
Үүнийг хэзээ нотлох 
болон аливаа байгалийн nтэгш бус байдал нь үнэн юм 
(Бернуллигийн тэгш бус байдал).
Шийдэл. 1) Хэзээ n=1 бид авна 
, энэ нь үнэн.
2) Бид хэзээ гэж таамаглаж байна n=ктэгш бус байдал бий 
(*). Энэ таамаглалыг ашиглан бид үүнийг баталж байна 
. Хэзээ гэдгийг анхаарна уу 
Энэ тэгш бус байдал хэвээр байгаа тул хэргийг авч үзэхэд хангалттай 
.
Тэгш бус байдлын хоёр талыг (*) тоогоор үржүүлье 
мөн бид авах:
Энэ нь (1+ 
.
■
Арга замаар нотлох бүрэн бус математикийн индукц
хамааран зарим мэдэгдэл n, Хаана 
ижил төстэй байдлаар хийгдсэн боловч эхэндээ шударга ёсыг хамгийн бага үнээр тогтоодог n.
Зарим бодлогод математикийн индукцаар нотлогдож болох мэдэгдлийг тодорхой заагаагүй болно. Ийм тохиолдолд та загвараа өөрөө тогтоож, энэ хэв маягийн бодит байдлын талаар таамаглал дэвшүүлж, дараа нь санал болгож буй таамаглалыг шалгахын тулд математик индукцийн аргыг ашиглах хэрэгтэй.
Жишээ6.4.
Хэмжээг нь ол 
.
Шийдэл.Нийлбэрүүдийг олцгооё С 1 ,
С 2 ,
С 3. Бидэнд байна 
,
,
. Бид ямар ч байгалийн хувьд үүнийг таамаглаж байна nтомъёо хүчинтэй байна 
. Энэ таамаглалыг шалгахын тулд бид бүрэн математикийн индукцийн аргыг ашиглана.
1) Хэзээ n=1 таамаглал зөв, учир нь 
.
2) Таамаглал нь үнэн гэж бодъё n=к,
, тэр нь 
. Энэ томьёог ашигласнаар бид таамаглал хэдий ч үнэн болохыг тогтоох болно n=к+1, өөрөөр хэлбэл
Үнэндээ,
Тиймээс, таамаглал хэзээ үнэн байх болно гэсэн таамаглал дээр үндэслэн n=к,
, энэ нь бас үнэн болох нь батлагдсан n=к+1 бөгөөд математик индукцийн зарчимд үндэслэн бид томъёо нь ямар ч натурал тоонд хүчинтэй гэж дүгнэж байна. n.
■
Жишээ6.5.
Математикийн хувьд нэгэн жигд тасралтгүй функцийн нийлбэр нь жигд тасралтгүй функц болох нь батлагдсан. Энэ мэдэгдэлд үндэслэн та ямар ч тооны нийлбэр болохыг батлах хэрэгтэй 
жигд тасралтгүй функцүүдийн нэг жигд тасралтгүй функц юм. Гэхдээ бид "нэгдмэл тасралтгүй функц" гэсэн ойлголтыг хараахан нэвтрүүлээгүй байгаа тул асуудлыг илүү хийсвэр байдлаар тавьцгаая: ямар нэгэн өмчтэй хоёр функцийн нийлбэр гэдгийг мэдье. С, өөрөө өмчтэй С. Дурын тооны функцын нийлбэр нь өмчтэй болохыг баталцгаая С.
Шийдэл.Энд индукцийн үндэс нь асуудлыг өөрөө боловсруулахад агуулагддаг. Индукцийн таамаглалыг хийсний дараа бодоорой 
функцууд е 1 ,
е 2 ,
…, е n ,
е nөмчтэй +1 С. Дараа нь . Баруун талд эхний нэр томъёо нь өмчтэй Синдукцийн таамаглалаар хоёр дахь гишүүн нь өмчтэй Снөхцөл байдлын дагуу. Тиймээс тэдний нийлбэр өмчтэй байдаг С– хоёр нэр томъёоны хувьд индукцийн суурь нь "ажилладаг".
Энэ нь мэдэгдлийг баталж байгаа бөгөөд бид үүнийг цаашид ашиглах болно. ■
Жишээ6.6. Байгалийн бүх зүйлийг олоорой n, үүний хувьд тэгш бус байдал үнэн
.
Шийдэл.Ингээд авч үзье n=1, 2, 3, 4, 5, 6. Бидэнд: 2 1 >1 2, 2 2 =2 2, 2 3<3 2 ,
2 4 =4 2 ,
2 5 >5 2, 2 6 >6 2. Тиймээс бид таамаглал дэвшүүлж болно: тэгш бус байдал 
хүн бүрт зориулсан газартай 
. Энэхүү таамаглалын үнэнийг батлахын тулд бид бүрэн бус математик индукцийн зарчмыг ашиглана.
1) Дээр дурдсанчлан энэ таамаглал нь үнэн юм n=5.
2) Энэ нь үнэн гэж бодъё n=к,
, өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдал хүчинтэй байна 
. Энэ таамаглалыг ашиглан бид тэгш бус байдлыг нотолж байна 
.
Учир нь 
болон цагт 
тэгш бус байдал бий 
цагт 
,
тэгвэл бид үүнийг олж авна 
. Тиймээс, таамаглалын үнэн нь n=кХэзээ үнэн гэсэн таамаглалаас +1 гарна n=к,
.
Догол мөрүүдээс. Бүрэн бус математик индукцийн зарчимд үндэслэн 1 ба 2-т тэгш бус байдал үүсдэг. 
бүх байгалийн хувьд үнэн 
.
■
Жишээ6.7.
Дурын натурал тооны хувьд үүнийг батал nялгах томъёо хүчинтэй байна 
.
Шийдэл. At n=1 энэ томьёо иймэрхүү харагдаж байна 
, эсвэл 1=1, өөрөөр хэлбэл зөв байна. Индукцийн таамаглалыг хийснээр бид:
Q.E.D. ■
Жишээ6.8.
-аас бүрдэх олонлогийг батал nэлементүүд, байна 
дэд олонлогууд
Шийдэл.Нэг элементээс бүрдсэн багц А, хоёр дэд олонлогтой. Энэ нь үнэн, учир нь түүний бүх дэд олонлогууд нь хоосон олонлог ба хоосон олонлогууд бөгөөд 2 1 =2.
Бүх багц гэж үзье nэлементүүд байна 
дэд олонлогууд Хэрэв А олонлогоос бүрдэх бол n+1 элементүүд, дараа нь бид дотор нь нэг элементийг засна - бид үүнийг тэмдэглэнэ г, мөн бүх дэд олонлогуудыг агуулаагүй гэсэн хоёр ангилалд хуваана гболон агуулсан г. Нэгдүгээр ангиллын бүх дэд олонлогууд нь элементийг хассанаар А-аас олж авсан В олонлогийн дэд олонлогууд юм г.
B багц нь дараахь зүйлээс бүрдэнэ nэлементүүд, тиймийн тул, индукцаар, тэр байна 
дэд олонлогууд, тиймээс нэгдүгээр ангид 
дэд олонлогууд
Гэхдээ хоёрдугаар ангид ижил тооны дэд олонлогууд байдаг: тэдгээр нь тус бүрийг элемент нэмэх замаар эхний ангийн яг нэг дэд олонлогоос олж авдаг. г. Тиймээс нийтдээ А багц 
дэд олонлогууд
Ийнхүү мэдэгдэл нотлогдож байна. Энэ нь 0 элементээс бүрдэх хоосон олонлогийн хувьд бас үнэн болохыг анхаарна уу: энэ нь нэг дэд олонлогтой - өөрөө, 2 0 = 1 байна. ■
МАТЕМАТИК ИНДУКЦИЙН АРГА
Орос хэл дээрх индукц гэдэг үг нь удирдамж гэсэн утгатай бөгөөд ажиглалт, туршилт дээр үндэслэсэн дүгнэлтийг индуктив гэж нэрлэдэг. тодорхой зүйлээс ерөнхий рүү хийсэн дүгнэлтээр олж авсан.
Жишээлбэл, нар зүүн зүгээс мандаж байгааг бид өдөр бүр ажигладаг. Тиймээс маргааш баруунд биш, зүүн талд гарч ирнэ гэдэгт итгэлтэй байж болно. Бид нар тэнгэрийг тойрон хөдөлсөн шалтгааны талаар ямар ч таамаглал дэвшүүлэлгүйгээр ийм дүгнэлтийг хийж байна (түүнээс гадна энэ хөдөлгөөн нь өөрөө илт харагдаж байна, учир нь бөмбөрцөг үнэхээр хөдөлж байна). Гэсэн хэдий ч энэхүү индуктив дүгнэлт нь бидний маргааш хийх ажиглалтыг зөв тайлбарлаж байна.
Туршилтын шинжлэх ухаанд индуктив дүгнэлтийн үүрэг маш их байдаг. Тэд хасалт хийх замаар цаашдын дүгнэлт хийх заалтуудыг өгдөг. Хэдийгээр онолын механик нь Ньютоны хөдөлгөөний гурван хуулинд суурилдаг ч эдгээр хуулиуд нь туршилтын өгөгдөл, ялангуяа Данийн одон орон судлаач Тихогийн олон жилийн ажиглалтын боловсруулалтаас олж авсан Кеплерийн гаригуудын хөдөлгөөний тухай хуулиудыг гүн гүнзгий тунгаан бодохын үр дүн юм. Брахе. Ирээдүйд ажиглалт ба индукц нь хийсэн таамаглалыг тодруулахад хэрэгтэй болно. Мишельсон хөдөлж буй орчин дахь гэрлийн хурдыг хэмжих туршилт хийсний дараа физикийн хуулиудыг тодруулж, харьцангуйн онолыг бий болгох шаардлагатай болсон.
Математикийн хувьд индукцийн үүрэг нь сонгосон аксиоматикийн үндэс суурь болдог. Шулуун зам нь муруй эсвэл эвдэрсэн замаас үргэлж богино байдгийг удаан хугацааны туршлагын дагуу харуулсны дараа аксиомыг томъёолох нь зүйн хэрэг байв: A, B, C гурван цэгийн хувьд тэгш бус байдал.
Арифметикийн үндэс болсон дагах тухай ойлголт нь цэрэг, хөлөг онгоц болон бусад захиалгат багц бий болсон ажиглалтаас гарч ирсэн.
Гэсэн хэдий ч энэ нь математик дахь индукцийн үүргийг шавхаж байна гэж бодож болохгүй. Мэдээжийн хэрэг, бид аксиомоос логикоор гаргасан теоремуудыг туршилтаар шалгах ёсгүй: хэрэв гарган авах явцад логик алдаа гараагүй бол бидний хүлээн зөвшөөрсөн аксиомууд үнэн байхын хэрээр тэдгээр нь үнэн юм. Гэхдээ энэ аксиомын системээс маш олон мэдэгдлийг гаргаж болно. Мөн нотлох шаардлагатай мэдэгдлүүдийг сонгохыг индукцээр дахин санал болгож байна. Энэ нь танд хэрэгтэй теоремуудыг хэрэггүй зүйлээс салгах боломжийг олгодог бөгөөд аль теоремууд үнэн болохыг харуулж, нотлох замыг тодорхойлоход тусалдаг.
Математик индукцийн аргын мөн чанар
Арифметик, алгебр, геометр, анализын олон салбаруудад байгалийн хувьсагчаас хамааран A(n) өгүүлбэрийн үнэнийг батлах шаардлагатай байдаг. Хувьсагчийн бүх утгын хувьд A(n) саналын үнэнийг нотлох баримтыг ихэвчлэн дараах зарчимд суурилсан математик индукцийн аргаар хийж болно.
Дараах хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд A(n) саналыг хувьсагчийн бүх натурал утгын хувьд үнэн гэж үзнэ.
n=1-ийн хувьд A(n) санал үнэн.
n=k-ийн хувьд A(n) нь үнэн гэсэн таамаглалаас (үүнд k нь дурын натурал тоо) дараагийн n=k+1 утгын хувьд үнэн болно.
Энэ зарчмыг математикийн индукцийн зарчим гэж нэрлэдэг. Энэ нь ихэвчлэн тоонуудын натурал цувралыг тодорхойлох аксиомуудын нэг болгон сонгогддог тул нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг.
Математик индукцийн арга гэдэг нь дараах нотлох аргыг хэлнэ. Хэрэв та бүх натурал n-ийн хувьд A(n) өгүүлбэрийн үнэнийг батлахыг хүсвэл нэгдүгээрт, A(1) өгүүлбэрийн үнэнийг шалгах, хоёрдугаарт, A(k) мэдэгдлийн үнэнийг үзэх хэрэгтэй. A(k +1) мэдэгдлийг үнэн гэдгийг батлахыг хичээ. Хэрэв энэ нь нотлогдож болох бөгөөд нотолгоо нь k-ийн байгалийн утга бүрт хүчинтэй хэвээр байвал математик индукцийн зарчмын дагуу A(n) саналыг n-ийн бүх утгын хувьд үнэн гэж хүлээн зөвшөөрнө.
Математикийн индукцийн аргыг теорем, адилтгал, тэгш бус байдлыг батлах, хуваагдах бодлого, зарим геометрийн болон бусад олон асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг.
Асуудлыг шийдвэрлэх математикийн индукцийн арга
хуваагдах чадвар
Математик индукцийн аргыг ашиглан та натурал тоон хуваагдах байдлын талаархи янз бүрийн мэдэгдлийг баталж чадна.
Дараах мэдэгдлийг харьцангуй энгийнээр баталж болно. Математик индукцийн аргыг ашиглан үүнийг хэрхэн олж авахыг харуулъя.
Жишээ 1. Хэрэв n нь натурал тоо бол энэ тоо тэгш байна.
n=1 үед бидний мэдэгдэл үнэн: - тэгш тоо. Энэ нь тэгш тоо гэж бодъё. -ээс хойш 2к нь тэгш тоо юм 
бүр. Тэгэхээр n=1-ээр паритет нотлогдож, паритетаас паритет гарна 
.Энэ нь n-ийн бүх байгалийн утгын хувьд жигд байна гэсэн үг.
Жишээ 2.Өгүүлбэрийн үнэнийг нотлох
A(n)=(5 тоо нь 19-ийн үржвэр), n нь натурал тоо.
Шийдэл.
A(1)=(19-д хуваагдах тоо) гэсэн үг үнэн.
Зарим утгын хувьд n=k гэж бодъё
A(k)=(19-д хуваагдах тоо) үнэн. Дараа нь, түүнээс хойш
Мэдээжийн хэрэг, A(k+1) нь бас үнэн. Үнэн хэрэгтээ, эхний гишүүн нь A(k) үнэн гэсэн таамаглалаас болж 19-д хуваагддаг; Хоёрдахь гишүүн нь 19-ийн хүчин зүйлийг агуулдаг тул 19-д хуваагддаг. Математик индукцийн зарчмын хоёр нөхцөл хангагдсан тул n-ийн бүх утгын хувьд A(n) санал үнэн байна.
Математик индукцийн аргыг ашиглах
хураангуй цуврал
Жишээ 1.Томьёог нотлох
, n нь натурал тоо юм.
Шийдэл.
n=1 байх үед тэгш байдлын хоёр тал нэг болж хувирах тул математик индукцийн зарчмын эхний нөхцөл хангагдана.
Томьёог n=k хувьд зөв гэж үзье, өөрөөр хэлбэл.
.
Энэ тэгш байдлын хоёр тал дээр нэмээд баруун талыг нь өөрчилье. Дараа нь бид авна
Иймд n=k-ийн хувьд томьёо үнэн байхаас үзэхэд n=k+1-д ч гэсэн үнэн байна гэсэн үг. Энэ мэдэгдэл k-ийн аливаа байгалийн утгын хувьд үнэн юм. Тиймээс математикийн индукцийн зарчмын хоёр дахь нөхцөл бас хангагдана. Томъёо нь батлагдсан.
Жишээ 2.Натурал цувааны эхний n тооны нийлбэр нь тэнцүү болохыг батал.
Шийдэл.
Шаардлагатай хэмжээг зааж өгье, өөрөөр хэлбэл. 
.
n=1 үед таамаглал үнэн болно.
Болъё 
. Үүнийг харуулъя 
.
Үнэндээ,
Асуудал шийдэгдсэн.
Жишээ 3.Натурал цувралын эхний n тооны квадратуудын нийлбэр тэнцүү болохыг батал 
.
Шийдэл.
Let .
.
Ингэж бодъё 
. Дараа нь
Тэгээд эцэст нь.
Жишээ 4.Үүнийг батлах.
Шийдэл.
Хэрэв бол
Жишээ 5.Үүнийг нотол
Шийдэл.
n=1 үед таамаглал үнэн байх нь ойлгомжтой.
Let .
Үүнийг баталцгаая.
Үнэхээр,
Математик индукцийн аргыг ашиглах жишээ
тэгш бус байдлын нотолгоо
Жишээ 1.Дурын натурал тоо n>1 гэдгийг батал
.
Шийдэл.
Тэгш бус байдлын зүүн талыг -ээр тэмдэглэе.
Тиймээс n=2-ын хувьд тэгш бус байдал хүчинтэй байна.
Жаахан к. Үүнийг баталцгаая. Бидэнд байна 
, .
Харьцуулбал , бид байна 
, өөрөөр хэлбэл 
.
Аливаа эерэг бүхэл тооны k-ийн хувьд сүүлчийн тэгшитгэлийн баруун тал эерэг байна. Тийм ч учраас . Гэхдээ энэ нь бас гэсэн үг юм.
Жишээ 2.Үндэслэл дэх алдааг ол.
Мэдэгдэл. Аливаа натурал n тооны хувьд тэгш бус байдал нь үнэн юм.
Баталгаа.
. (1)
Тэгтэл тэгш бус байдал нь n=k+1-д бас хүчинтэй гэдгийг баталцгаая, өөрөөр хэлбэл.
.
Үнэн хэрэгтээ аливаа байгалийн k-д 2-оос багагүй байна. Тэгш бус байдлын зүүн талд (1) баруун талд 2-ыг нэмье. Шударга тэгш бус байдлыг олж авна, эсвэл 
. Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.
Жишээ 3.Үүнийг нотол 
, энд >-1, , n нь 1-ээс их натурал тоо юм.
Шийдэл.
n=2-ын хувьд тэгш бус байдал үнэн, учир нь .
n=k хувьд тэгш бус байдал үнэн байг, энд k нь зарим натурал тоо, өөрөөр хэлбэл.
. (1)
Тэгвэл тэгш бус байдал нь n=k+1-д мөн хүчинтэй болохыг харуулъя, өөрөөр хэлбэл.
. (2)
Үнэн хэрэгтээ, нөхцөлөөр, тиймээс тэгш бус байдал нь үнэн юм
, (3)
тэгш бус байдлаас (1) хэсэг бүрийг үржүүлж гаргана. Тэгш бус байдлыг (3) дараах байдлаар дахин бичье: . Сүүлийн тэгш бус байдлын баруун талд байгаа эерэг нэр томъёог хаяснаар бид шударга тэгш бус байдлыг олж авна (2).
Жишээ 4.Үүнийг нотол
(1)
Энд , , n нь 1-ээс их натурал тоо юм.
Шийдэл.
n=2 тэгш бус байдлын хувьд (1) хэлбэрийг авна
. (2)
-ээс хойш тэгш бус байдал үнэн болно
. (3)
Тэгш бус байдлын хэсэг бүр дээр (3) нэмснээр бид тэгш бус байдлыг (2) олж авна.
Энэ нь n=2 (1) тэгш бус байдлын хувьд үнэн болохыг баталж байна.
n=k хувьд тэгш бус байдал (1) үнэн байг, энд k нь зарим натурал тоо, өөрөөр хэлбэл.
. (4)
Тэгвэл n=k+1-д (1) тэгш бус байдал бас үнэн байх ёстойг баталцгаая, өөрөөр хэлбэл.
(5)
(4) тэгш бус байдлын хоёр талыг a+b-ээр үржүүлье. Нөхцөлөөр бид дараахь тэгш бус байдлыг олж авна.
. (6)
Тэгш бус байдлын (5) үнэн зөвийг батлахын тулд үүнийг харуулахад хангалттай
, (7)
эсвэл ижил зүйл юу вэ,
. (8)
Тэгш бус байдал (8) нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна
. (9)
Хэрэв , тэгвэл , мөн тэгш бус байдлын зүүн талд (9) хоёр эерэг тооны үржвэр байна. Хэрэв , тэгвэл , мөн тэгш бус байдлын зүүн талд (9) хоёр сөрөг тооны үржвэр байна. Хоёр тохиолдолд (9) тэгш бус байдал үнэн байна.
Энэ нь n=k-ийн хувьд (1) тэгш бус байдлын хүчинтэй байх нь n=k+1-ийн хувьд түүний хүчин төгөлдөр болохыг харуулж байна.
Математикийн индукцийн аргыг бусдад хэрэглэсэн
даалгавар
Энэ аргыг тооны онол, алгебрт ашиглахтай ойролцоо геометрийн математикийн индукцийн аргын хамгийн байгалийн хэрэглээ нь геометрийн тооцооллын асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах явдал юм. Хэд хэдэн жишээг харцгаая.
Жишээ 1.R радиустай тойрогт сийлсэн ердийн квадратын талыг тооцоол.
Шийдэл.
n=2 байвал зөв 2 n - дөрвөлжин бол дөрвөлжин; түүний тал. Цаашилбал, хоёр дахин нэмэгдүүлэх томъёоны дагуу
Бид энгийн найман өнцөгтийн тал гэдгийг олж мэднэ 
, ердийн зургаан өнцөгтийн тал 
, энгийн гучин хоёр гурвалжны тал 
. Тиймээс бид зөв бичсэн тал нь 2 гэж үзэж болно n - аль ч тэнцүү квадрат
. (1)
Ердийн бичээстэй гурвалжны талыг (1) томъёогоор илэрхийлнэ гэж үзье. Энэ тохиолдолд хоёр дахин нэмэгдүүлэх томъёоны дагуу
,
Эндээс (1) томъёо нь бүх n-д хүчинтэй байна.
Жишээ 2.n өнцөгт (заавал гүдгэр биш) салангид диагональуудаар хэдэн гурвалжинд хуваагдах вэ?
Шийдэл.
Гурвалжны хувьд энэ тоо нэгтэй тэнцүү байна (гурвалжинд нэг диагональ зурж болохгүй); Дөрвөн өнцөгтийн хувьд энэ тоо нь мэдээж хоёр.
Бид аль хэдийн k-gon бүр, хаана k гэдгийг мэддэг гэж бодъё
А н
A 1 A 2
A 1 A k нь энэ хуваалтын диагональуудын нэг байг; энэ нь n-gon A 1 A 2 ...A n-ийг k-gon A 1 A 2 ...A k ба (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 ..-д хуваана. .А н . Хийсэн таамаглалаас шалтгаалан хуваалт дахь гурвалжны нийт тоо тэнцүү байх болно
(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;
Тиймээс бидний мэдэгдэл бүх n-д нотлогдсон.
Жишээ 3.Гүдгэр n өнцөгтийг салангид диагональаар гурвалжинд хуваах аргын P(n) тоог тооцоолох дүрмийг хэл.
Шийдэл.
Гурвалжны хувьд энэ тоо нэгтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой: P(3)=1.
Бүх k-ийн P(k) тоог аль хэдийн тодорхойлсон гэж үзье
Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n) -1).
Энэ томъёог ашигласнаар бид байнга олж авдаг:
P(4)=P(3)+P(3)=2,
P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,
P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14
гэх мэт.
Та мөн математикийн индукцийн аргыг ашиглан графиктай холбоотой асуудлыг шийдэж болно.
Хавтгай дээр зарим цэгүүдийг холбосон, өөр цэггүй шугамын сүлжээ байг. Ийм шугамын сүлжээг бид газрын зураг гэж нэрлэх болно, түүний оройн цэгүүд, хоёр зэргэлдээ оройн хоорондох муруйн сегментүүд - газрын зургийн хил хязгаар, хилээр хуваагдсан хавтгайн хэсгүүд - газрын зургийн улсууд.
Онгоцонд газрын зураг өгье. Улс бүрийг тодорхой өнгөөр будаж, нийтлэг хилтэй аль ч хоёр улсыг өөр өнгөөр будсан бол бид зөв өнгөтэй гэж хэлэх болно.
Жишээ 4.Онгоцонд n тойрог байна. Эдгээр тойргийн аль ч зохицуулалтын хувьд тэдгээрийн үүсгэсэн газрын зургийг хоёр өнгөөр зөв будаж болохыг нотол.
Шийдэл.
n=1-ийн хувьд бидний мэдэгдэл тодорхой байна.
n тойргоор үүсгэсэн газрын зургийн хувьд бидний мэдэгдэл үнэн гэж үзээд хавтгай дээр n+1 тойрог байна гэж үзье. Эдгээр тойргийн аль нэгийг арилгаснаар бид хийсэн таамаглалын дагуу хар, цагаан гэх мэт хоёр өнгөөр зөв будаж болох газрын зургийг олж авна.
