ОХУ-ын Боловсролын яам

Хотын боловсролын байгууллага

"22-р дунд сургууль"

Квадрат ба дээд эрэмбийн тэгшитгэл

Дууссан:

8 "Б" ангийн сурагчид

Кузнецов Евгений, Руди Алексей нар

Удирдагч:

Зенина Алевтина Дмитриевна

математикийн багш

Танилцуулга

1.1 Эртний Вавилон дахь тэгшитгэлүүд

1.2 Арабын тэгшитгэл

1.3 Энэтхэг дэх тэгшитгэлүүд

Бүлэг 2. Квадрат тэгшитгэл ба дээд эрэмбийн тэгшитгэлийн онол

2.1 Үндсэн ойлголтууд

2.2 x цэгийн тэгш коэффициентийн томъёо

2.3 Виетийн теорем

2.4 Тодорхой шинж чанартай квадрат тэгшитгэл

2.5 Өндөр зэрэгтэй олон гишүүнт (тэгшитгэл)-ийн Виетийн теорем

2.6 Квадрат (биквадрат) болгон бууруулж болох тэгшитгэлүүд

2.7 Биквадрат тэгшитгэлийн судалгаа

2.8 Кордано томъёо

2.9 Гуравдугаар зэргийн тэгш хэмийн тэгшитгэл

2.10 Харилцан тэгшитгэл

2.11 Хорнер схем

Дүгнэлт

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

Хавсралт 1

Хавсралт 2

Хавсралт 3

Танилцуулга

Сургуулийн алгебрийн хичээлд тэгшитгэл нь тэргүүлэх байр суурийг эзэлдэг. Бусад сэдвээс илүү тэдний судалгаанд илүү их цаг зарцуулдаг. Үнэн хэрэгтээ тэгшитгэл нь онолын чухал ач холбогдолтой төдийгүй цэвэр практик зорилгоор үйлчилдэг. Бодит ертөнц дэх орон зайн хэлбэр, тоон харилцааны талаархи асар олон тооны асуудал нь янз бүрийн төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг. Тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замыг эзэмшсэнээр бид шинжлэх ухаан, технологийн (тээвэр, хөдөө аж ахуй, үйлдвэр, харилцаа холбоо гэх мэт) янз бүрийн асуултын хариултыг олдог.

Энэ эссе дээр би янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо, аргыг харуулахыг хүсч байна. Үүний тулд сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт судлаагүй тэгшитгэлүүдийг өгсөн болно. Эдгээр нь голчлон тодорхой шинж чанартай тэгшитгэлүүд ба өндөр зэрэглэлийн тэгшитгэлүүд юм. Энэ сэдвийг өргөжүүлэхийн тулд эдгээр томъёоны нотолгоог өгсөн болно.

Бидний эссений зорилго:

Тэгшитгэл шийдвэрлэх чадварыг сайжруулах

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинэ аргуудыг хөгжүүлэх

Эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим шинэ арга, томъёог олж мэд.

Судалгааны объект нь анхан шатны алгебр юм. Энэ сэдвийг сонгохдоо тэгшитгэлийг ерөнхий боловсролын сургууль, лицей, коллежийн бага ангийн сургалтын хөтөлбөр болон дараагийн анги бүрт тусгаж өгсөнд үндэслэсэн. Геометрийн олон бодлого, физик, хими, биологийн асуудлыг тэгшитгэл ашиглан шийддэг. Тэгшитгэлийг хорин таван зууны өмнө шийдсэн. Тэдгээрийг боловсролын үйл явцад ашиглах, их дээд сургуулиудын өрсөлдөөнт шалгалт, хамгийн дээд түвшний олимпиадад ашиглах зорилгоор өнөөдөр бүтээсээр байна.

Бүлэг 1. Квадрат ба дээд эрэмбийн тэгшитгэлийн түүх

1.1 Эртний Вавилон дахь тэгшитгэлүүд

Алгебр нь тэгшитгэл ашиглан янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхтэй холбоотой үүссэн. Ихэвчлэн асуудал нь хүссэн болон өгөгдсөн хэмжигдэхүүн дээр хийгдсэн зарим үйлдлийн үр дүнг мэдэхийн зэрэгцээ нэг буюу хэд хэдэн үл мэдэгдэх зүйлийг олохыг шаарддаг. Ийм асуудал нь нэг буюу хэд хэдэн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх, өгөгдсөн хэмжигдэхүүн дээр алгебрийн үйлдлүүдийг ашиглан шаардлагатайг олоход хүргэдэг. Алгебр нь хэмжигдэхүүн дээрх үйлдлүүдийн ерөнхий шинж чанарыг судалдаг.

Шугаман ба квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим алгебрийн аргуудыг 4000 жилийн өмнө эртний Вавилонд мэддэг байсан. Зөвхөн эхний төдийгүй хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэрэгцээ нь эртний үед ч газар тариалангийн газар, цэргийн шинж чанартай газрын ажлын талбайг олохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв. одон орон, математикийн хөгжил өөрөө. Өмнө дурьдсанчлан квадрат тэгшитгэлийг Вавилончууд МЭӨ 2000 онд шийдэж чадсан. Орчин үеийн алгебрийн тэмдэглэгээг ашиглан бид бүрэн бус ба бүрэн квадрат тэгшитгэлүүд хоёулаа дөрвөлжин бичвэрт байдаг гэж хэлж болно.

Вавилоны бичвэрт дурдсан эдгээр тэгшитгэлийг шийдэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ давхцаж байгаа боловч вавилончууд энэ дүрэмд хэрхэн хүрсэн нь тодорхойгүй байна. Өнөөг хүртэл олдсон бараг бүх дөрвөлжин бичвэрүүд нь зөвхөн жор хэлбэрээр гаргасан шийдлүүдийн талаархи асуудлуудыг өгдөг бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн олсон тухай ямар ч заалтгүй байдаг.

Вавилонд алгебрийн хөгжил өндөр байсан ч дөрвөлжин тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий аргууд, сөрөг тооны тухай ойлголт дутмаг дөрвөлжин бичвэрт байдаг.

1.2 Арабын тэгшитгэл

Квадрат болон дээд эрэмбийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим аргыг Арабчууд боловсруулсан. Ийнхүү Арабын нэрт математикч Аль-Хорезми "Аль-Жабар" номондоо янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдэх олон аргыг тодорхойлсон байдаг. Тэдний онцлог нь Аль-Хорезми тэгшитгэлийн үндсийг (шийдэл) олохын тулд нарийн төвөгтэй радикалуудыг ашигласан явдал байв. Өв залгамжлалыг хуваах тухай асуултуудад ийм тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгцээ шаардлагатай байв.

1.3 Энэтхэг дэх тэгшитгэлүүд

Квадрат тэгшитгэлийг Энэтхэгт мөн шийдсэн. Квадрат тэгшитгэлийн асуудлуудыг Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Арьябхаттиам" хэмээх одон орны зохиолд аль хэдийн олдсон байдаг. Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн Брахмагупта (7-р зуун) нэг конус хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг гаргажээ.

ah² + bx= c, энд a > 0

Энэ тэгшитгэлд а-аас бусад коэффициентүүд сөрөг байж болно. Брахмагуптагийн дүрэм үндсэндээ биднийхтэй адил юм.

Эртний Энэтхэгт хүнд хэцүү асуудлуудыг шийдвэрлэх олон нийтийн уралдаанууд түгээмэл байв. Энэтхэгийн хуучин номнуудын нэгэнд ийм уралдааны талаар: "Нар оддыг гялалзуулж, гялалзуулж байгаагийн хэрээр эрдэмт хүн олон нийтийн цуглаан дээр алгебрийн бодлого дэвшүүлж, шийдвэрлэх үед бусдын алдрыг гүйцэлдүүлэх болно" гэж бичсэн байдаг. Асуудлыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр танилцуулдаг байв.

Манай алс холын өвөг дээдэс янз бүрийн тэгшитгэл, квадрат болон өндөр зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдэж байсан. Эдгээр тэгшитгэлийг маш өөр, алс холын орнуудад шийдсэн. Тэгшитгэлийн хэрэгцээ маш их байсан. Тэгшитгэлийг барилга байгууламж, цэргийн хэрэг, өдөр тутмын нөхцөл байдалд ашигласан.

Бүлэг 2. Квадрат тэгшитгэл ба дээд эрэмбийн тэгшитгэл

2.1 Үндсэн ойлголтууд

Квадрат тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм

a, b, c коэффициентүүд нь аливаа бодит тоо бөгөөд a ≠ 0 байна.

Тэргүүлэх коэффициент нь 1 бол квадрат тэгшитгэлийг бууруулсан гэж нэрлэдэг.

Жишээ :

x 2 + 2x + 6 = 0.

Тэргүүлэх коэффициент нь 1-ээс ялгаатай бол квадрат тэгшитгэлийг бууруулаагүй гэж нэрлэдэг.

Жишээ :

2х 2 + 8х + 3 = 0.

Бүрэн квадрат тэгшитгэл гэдэг нь гурван гишүүн бүгд байгаа квадрат тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл b ба c коэффициентүүд нь тэгээс ялгаатай тэгшитгэл юм.

Жишээ :

3х 2 + 4х + 2 = 0.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь ядаж нэг b, c коэффициент нь тэгтэй тэнцүү байх квадрат тэгшитгэл юм.

Ийнхүү гурван төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл байдаг.

1) ax² = 0 (хоёр давхцах үндэстэй x = 0).

2) ax² + bx = 0 (х 1 = 0 ба x 2 = - хоёр үндэстэй)

Жишээ :

x 1 = 0, x 2 = -5.

Хариулах: x 1 =0, x 2 = -5.

Хэрэв -<0 - уравнение не имеет корней.

Жишээ :

Хариулах: Тэгшитгэлд үндэс байхгүй.

Хэрэв –> 0 бол x 1,2 = ± байна

Жишээ :

Хариулах: x 1.2 =±

Аливаа квадрат тэгшитгэлийг дискриминант (b² - 4ac) ашиглан шийдэж болно. Ихэвчлэн b² - 4ac илэрхийлэлийг D үсгээр тэмдэглэж, ax² + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн дискриминант (эсвэл ax² + bx + c квадрат гурван гишүүний дискриминант) гэж нэрлэдэг.

Жишээ :

x 2 +14x – 23 = 0

D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256

x 2 =

Хариулах: x 1 = 1, x 2 = - 15.

Дискриминантаас хамааран тэгшитгэл нь шийдэлтэй эсвэл үгүй ​​байж болно.

1) Хэрэв D< 0, то не имеет решения.

2) Хэрэв D = 0 бол тэгшитгэл нь х 1,2 = давхцсан хоёр шийдтэй байна

3) Хэрэв D > 0 бол томъёоны дагуу хоёр шийдэл олно.

x 1.2 =

2.2 x цэгийн тэгш коэффициентийн томъёо

Бид квадрат тэгшитгэлийн язгуурт дассан

ax² + bx + c = 0 томъёогоор олно

x 1.2 =

Гэхдээ математикчид тооцоогоо хөнгөвчлөх боломжийг хэзээ ч алдахгүй. Тэд b коэффициент b = 2k байх тохиолдолд, ялангуяа b нь тэгш тоо бол энэ томьёог хялбарчилж болохыг олж мэдэв.

Үнэн хэрэгтээ ax² + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн b коэффициентийг b = 2k гэж үзье. Томъёонд b-ийн оронд 2k тоог орлуулснаар бид дараахийг олж авна.

Тэгэхээр ax² + 2kx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

x 1.2 =

Жишээ :

5х 2 - 2х + 1 = 0

Энэ томьёоны давуу тал нь энэ квадратаас b тоо биш, харин түүний тал нь 4ac биш, харин энгийн AC-ыг хасч, эцэст нь хуваагч нь 2a биш, харин зүгээр л a-г агуулдаг; .

Хэрэв квадрат тэгшитгэлийг багасгавал бидний томъёо дараах байдлаар харагдах болно.

Жишээ :

x 2 – 4x + 3 = 0

Хариулах: x 1 = 3, x 2 = 1.

2.3 Виетийн теорем

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын маш сонирхолтой шинж чанарыг Францын математикч Франсуа Вьете нээсэн. Энэ шинж чанарыг Вьетагийн теорем гэж нэрлэдэг:

x 1 ба x 2 тоонууд нь тэгшитгэлийн үндэс болно.

ax² + bx + c = 0

тэгш байдлыг хангахад шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм

x 1 + x 2 = -b/a ба x 1 x 2 = c/a

Виетийн теорем нь квадрат тэгшитгэлийн тэмдэг ба үнэмлэхүй утгыг шүүх боломжийг бидэнд олгодог.

x² + bx + c = 0

1. b>0, c>0 бол хоёр үндэс нь сөрөг байна.

2. Хэрэв b<0, c>0 бол хоёр үндэс эерэг байна.

3. b>0 бол в<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Хэрэв b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 Тодорхой шинж чанартай квадрат тэгшитгэл

1) Хэрэв ax² + bx + c = 0 тэгшитгэлд a + b + c = 0 байвал

x 1 = 1, мөн x 2 =.

Баталгаа :

ax² + bx + c = 0 тэгшитгэлд түүний үндэс

x 1.2 = (1).

a + b + c = 0 тэгшитгэлээс b-г төлөөлүүлье

Энэ илэрхийллийг томъёогоор (1) орлуулъя:

=

Хэрэв бид тэгшитгэлийн хоёр язгуурыг тусад нь авч үзвэл дараахь зүйлийг авна.

1) x 1 =

2) x 2 =

Энэ нь дараах байдалтай байна: x 1 = 1, болон x 2 =.

1. Жишээ :

2x² - 3x + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, тиймээс

2. Жишээ :

418x² - 1254x + 836 = 0

Энэ жишээг дискриминантын тусламжтайгаар шийдвэрлэхэд маш хэцүү боловч дээрх томьёог мэдсэнээр үүнийг амархан шийдэж болно.

a = 418, b = -1254, c = 836.

x 1 = 1 x 2 = 2

2) Хэрэв a - b + c = 0 бол ax² + bx + c = 0 тэгшитгэлд:

x 1 =-1, мөн x 2 =-.

Баталгаа :

ax² + bx + c = 0 тэгшитгэлийг авч үзэхэд дараах байдалтай байна.

x 1.2 = (2).

a - b + c = 0 тэгшитгэлээс b-г төлөөлүүлье

b = a + c, томъёог (2) орлуулна:

=

Бид хоёр илэрхийлэл авдаг:

1) x 1 =

2) x 2 =

Энэ томьёо нь өмнөхтэй төстэй боловч бас чухал учир нь... Энэ төрлийн жишээнүүд нийтлэг байдаг.

1) Жишээ :

2x² + 3x + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, тиймээс

2)Жишээ :

Хариулах: x 1 = -1; x 2 = -

3) "Арга" шилжүүлэг ”

y² + by + ac = 0 ба ax² + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд дараах хамаарлаар холбогдоно.

x 1 = ба x 2 =

Баталгаа :

a) ax² + bx + c = 0 тэгшитгэлийг авч үзье

x 1.2 = =

b) y² + by + ac = 0 тэгшитгэлийг авч үзье

y 1,2 =

Эдгээр хоёр шийдлийн ялгаварлагч нь тэнцүү гэдгийг анхаарна уу. Тэд бие биенээсээ тэргүүлэх хүчин зүйлээр ялгагдана, эхний тэгшитгэлийн үндэс нь хоёр дахь язгуураас а-аар бага байна. Виетийн теорем болон дээрх дүрмийг ашиглан янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь тийм ч хэцүү биш юм.

Жишээ :

Бидэнд дурын квадрат тэгшитгэл бий

10x² - 11x + 3 = 0

Энэ тэгшитгэлийг өгөгдсөн дүрмийн дагуу хувиргацгаая

y² - 11y + 30 = 0

Бид Виетийн теоремыг ашиглан амархан шийдэж болох багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авдаг.

y 1 ба y 2 нь y² - 11y + 30 = 0 тэгшитгэлийн үндэс байг.

y 1 y 2 = 30 y 1 = 6

y 1 + y 2 = 11 y 2 = 5

Эдгээр тэгшитгэлийн язгуурууд нь бие биенээсээ а-аар ялгаатай гэдгийг мэдвэл

x 1 = 6/10 = 0.6

x 2 = 5/10 = 0.5

Зарим тохиолдолд эхлээд өгөгдсөн тэгшитгэлийг ax² + bx + c = 0 биш харин өгөгдсөн "шилжүүлэх" a коэффициентээс олж авсан бууруулсан y² + -аар + ac = 0-ийг шийдэж, дараа нь олдсоныг хуваах нь тохиромжтой байдаг. эх тэгшитгэлийг олохын тулд язгуурыг a.

2.5 Өндөр зэрэгтэй олон гишүүнт (тэгшитгэл)-ийн Виета томъёо

Квадрат тэгшитгэлийн хувьд Виетийн гаргаж авсан томьёо нь өндөр зэрэгтэй олон гишүүнтэд мөн үнэн юм.

Олон гишүүнтийг үзье

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

x 1, x 2..., x n өөр n үндэстэй.

Энэ тохиолдолд энэ нь маягтын хүчин зүйлчлэлтэй байна:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг 0 ≠ 0-д хувааж, эхний хэсгийн хаалтуудыг нээцгээе. Бид тэгш байдлыг олж авдаг:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Гэхдээ ижил түвшний коэффициентүүд тэнцүү байх тохиолдолд хоёр олон гишүүнт ижил тэнцүү байна. Үүнээс үзэхэд тэгш байдал үүсдэг

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Жишээлбэл, гуравдугаар зэргийн олон гишүүнтийн хувьд

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Бидэнд таних тэмдэг бий

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Квадрат тэгшитгэлийн нэгэн адил энэ томъёог Виетийн томъёо гэж нэрлэдэг. Эдгээр томьёоны зүүн тал нь энэ тэгшитгэлийн x 1, x 2 ..., x n язгуураас тэгш хэмтэй олон гишүүнтүүд бөгөөд баруун тал нь олон гишүүнтийн коэффициентээр илэрхийлэгдэнэ.

2.6 Квадрат (биквадрат) болгон бууруулж болох тэгшитгэлүүд

Дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл болгон бууруулна.

сүх 4 + bx 2 + c = 0,

biquadratic гэж нэрлэдэг ба a ≠ 0.

Энэ тэгшитгэлд x 2 = y-ийг тавихад хангалттай.

ay² + by + c = 0

үүссэн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олъё

y 1,2 =

x 1, x 2, x 3, x 4 үндсийг нэн даруй олохын тулд у-г х-ээр сольж, авна.

x² =

x 1,2,3,4 = .

Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлд x 1 байвал язгуур нь x 2 = -x 1,

Хэрэв x 3 байвал x 4 = - x 3 байна. Ийм тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь тэг байна.

Жишээ :

2х 4 - 9х² + 4 = 0

Биквадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёонд тэгшитгэлийг орлуулъя.

x 1,2,3,4 = ,

x 1 = -x 2, x 3 = -x 4 гэдгийг мэдвэл:

x 3.4 =

Хариулах: x 1.2 = ±2; x 1.2 =

2.7 Биквадрат тэгшитгэлийн судалгаа

Биквадрат тэгшитгэлийг авч үзье

сүх 4 + bx 2 + c = 0,

a, b, c нь бодит тоо, a > 0. Туслах үл мэдэгдэх y = x²-г оруулснаар бид энэ тэгшитгэлийн үндсийг судалж, үр дүнг хүснэгтэд оруулна (Хавсралт No1-ийг үзнэ үү).

2.8 Кардано томъёо

Хэрэв бид орчин үеийн бэлгэдлийг ашиглавал Кардано томъёоны гарал үүсэл нь дараах байдлаар харагдаж болно.

x =

Энэ томъёо нь ерөнхий гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийн үндсийг тодорхойлно.

сүх 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Энэ томъёо нь маш төвөгтэй бөгөөд төвөгтэй (хэд хэдэн нарийн төвөгтэй радикалуудыг агуулдаг). Энэ нь үргэлж хэрэгжихгүй, учир нь... бөглөхөд маш хэцүү.

2.9 Гуравдугаар зэргийн тэгш хэмийн тэгшитгэл

Гурав дахь зэрэглэлийн тэгш хэмтэй тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм

ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )

ax³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )

Энд a ба b тоонууд нь a¹0-тэй өгөгдсөн.

Тэгшитгэл хэрхэн байгааг харуулъя ( 1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax²) +(b – a)x + a).

тэгшитгэл ( 1 ) тэгшитгэлтэй тэнцүү байна

(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.

Энэ нь түүний үндэс нь тэгшитгэлийн үндэс болно гэсэн үг юм

ax² +(b – a)x + a = 0

ба тоо x = -1

тэгшитгэл ( 2 )

ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + ax + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).

1) Жишээ :

2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0

Энэ нь тодорхой байна x 1 = 1, ба

2x² + 5x + 2 = 0 тэгшитгэлийн x 2 ба x 3 үндэс,

Тэдгээрийг ялгаварлагчаар олъё:

x 1.2 =

x 2 = -, x 3 = -2

2) Жишээ :

5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0

Энэ нь тодорхой байна x 1 = -1, ба

5x² + 26x + 5 = 0 тэгшитгэлийн x 2 ба x 3 үндэс,

Тэдгээрийг ялгаварлагчаар олъё:

x 1.2 =

x 2 = -5, x 3 = -0.2.

2.10 Харилцан тэгшитгэл

Reciprocal equation – алгебрийн тэгшитгэл

a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + a n – 1 x + a n =0,

a k = a n – k, энд k = 0, 1, 2 …n, ба a ≠ 0 байна.

Харилцан тэгшитгэлийн язгуурыг олох асуудлыг доод түвшний алгебрийн тэгшитгэлийн шийдлийг олох асуудал болгон бууруулж байна. Харилцан тэгшитгэлийн нэр томъёог Л.Эйлер нэвтрүүлсэн.

Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хэлбэр:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).

Энэ тэгшитгэлийг хэлбэр болгон бууруулж байна

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, мөн y = x + m/x ба y² - 2m = x² + m²/x²,

Эндээс тэгшитгэлийг квадрат болгон бууруулсан

ay² + by + (c-2am) = 0.

3х 4 + 5х 3 – 14х 2 – 10х + 12 = 0

Үүнийг x 2-т хуваавал тэнцүү тэгшитгэл гарна

3x 2 + 5x – 14 – 5 ×, эсвэл

Хаана ба

3(y 2 - 4) + 5y – 14 = 0, эндээс

y 1 = y 2 = -2, тиймээс

Тэгээд хаанаас

Хариулт: x 1.2 = x 3.4 =.

Харилцан тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол бол тэгш хэмтэй тэгшитгэл юм. Гуравдугаар зэрэглэлийн тэгш хэмтэй тэгшитгэлийн талаар бид өмнө нь ярьсан боловч дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгш хэмтэй тэгшитгэлүүд байдаг.

Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгш хэмийн тэгшитгэл.

1) Хэрэв m = 1 бол энэ нь эхний төрлийн тэгш хэмтэй тэгшитгэл юм.

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ба шинэ орлуулалтаар шийдэгдэнэ.

2) Хэрэв m = -1 бол энэ нь хоёр дахь төрлийн тэгш хэмтэй тэгшитгэл юм.

ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 ба шинэ орлуулалтаар шийдэгдэнэ.

2.11 Хорнерийн хэлхээ

Олон гишүүнтийг хуваахын тулд "өнцөгөөр хуваах" дүрэм буюу Хорнерийн схемийг ашигладаг . Энэ зорилгоор олон гишүүнтүүдийг буурах градусаар байрлуулна Xмөн D(x) хуваагчийн тэргүүлэгч гишүүнээр үржүүлэхэд ногдол ашгийн P(x)-ын тэргүүн гишүүн гарна гэсэн нөхцөлөөс Q(x) хэсгийн тэргүүлэх гишүүнийг ол. Хэсгийн олдсон гишүүнийг хуваагчаар үржүүлж, ногдол ашгаас хасна. Хуваагчийн тэргүүлэгч гишүүнээр үржүүлбэл ялгаварын олон гишүүнтийн тэргүүлэгч гишүүнийг өгөх гэх мэт нөхцлөөс хамааран хуваагчийн тэргүүлэх гишүүнийг тодорхойлно. Ялгааны зэрэг нь хуваагчийн зэргээс бага болтол процесс үргэлжилнэ (Хавсралт No2-ыг үзнэ үү).

R = 0 тэгшитгэлийн хувьд энэ алгоритмыг Хорнерийн схемээр солино.

Жишээ :

x 3 + 4x 2 + x – 6 = 0

±1 чөлөөт гишүүний хуваагчийг ол; ± 2; ± 3; ± 6.

Тэгшитгэлийн зүүн талыг f(x) гэж тэмдэглэе. Мэдээжийн хэрэг, f(1) = 0, x1 = 1. f(x)-ийг х – 1-д хуваа. (Хавсралт No3-ыг үзнэ үү)

x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)

Бид сүүлчийн хүчин зүйлийг Q(x) гэж тэмдэглэнэ. Бид Q(x) = 0 тэгшитгэлийг шийднэ.

x 2.3 =

Хариулах : 1; -2; -3.

Энэ бүлэгт бид янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим томъёог өгсөн. Хэсэгчилсэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх эдгээр томъёоны ихэнх нь. Эдгээр шинж чанарууд нь маш тохиромжтой, учир нь ерөнхий зарчмыг ашиглахаас илүүтэйгээр энэ тэгшитгэлийн тусдаа томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь илүү хялбар байдаг. Бид арга тус бүрийн хувьд нотлох баримт, хэд хэдэн жишээг өгсөн.

Дүгнэлт

Эхний бүлэгт квадрат тэгшитгэл ба дээд эрэмбийн тэгшитгэл үүссэн түүхийг авч үзсэн. Төрөл бүрийн тэгшитгэлийг 25 зуу гаруй жилийн өмнө шийдэж байжээ. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх олон аргыг Энэтхэгийн Вавилонд бүтээжээ. Тэгшитгэлийн хэрэгцээ байсан, цаашид ч байх болно.

Хоёрдахь бүлэгт квадрат тэгшитгэл болон дээд эрэмбийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (үндэс олох) янз бүрийн аргуудыг өгдөг. Үндсэндээ эдгээр нь тодорхой шинж чанартай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд юм, өөрөөр хэлбэл зарим нийтлэг шинж чанар эсвэл төрлөөр нэгдсэн тэгшитгэлийн бүлэг бүрийн хувьд зөвхөн энэ бүлгийн тэгшитгэлд хамаарах тусгай дүрмийг өгдөг. Энэ арга (тэгшитгэл бүрийн хувьд өөрийн томъёог сонгох) нь ялгаварлагчаар үндсийг олохоос хамаагүй хялбар юм.

Энэхүү хураангуйд бүх зорилгодоо хүрч, үндсэн ажлуудыг хийж гүйцэтгэсэн, урьд өмнө мэдэгдээгүй шинэ томъёог баталж, сурсан болно. Бид жишээнүүдийг хийсвэр хэлбэрээр оруулахаасаа өмнө олон хувилбаруудыг судалж үзсэн тул зарим тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар аль хэдийн ойлголттой болсон. Шийдэл бүр нь цаашдын судалгаанд бидэнд хэрэгтэй болно. Энэхүү эссэ нь хуучин мэдлэгийг ангилж, шинийг сурахад тусалсан.

Лавлагаа

1. Виленкин Н.Я. “8-р ангийн алгебр”, М., 1995 он.

2. Галицкий М.Л. “Алгебрийн бодлогын түүвэр”, М. 2002 он.

3. Даан-Далмедико Д.“Зам ба төөрдөг зам”, М., 1986.

4. Звавич Л.И. “Алгебр 8-р анги”, М., 2002 он.

5. Кушнир И.А. "Тэгшитгэл", Киев 1996.

6. Савин Ю.П. “Залуу математикчийн нэвтэрхий толь бичиг”, М., 1985 он.

7. Мордкович А.Г. “Алгебр 8-р анги”, М., 2003 он.

8. Худобин А.И. “Алгебрийн асуудлын түүвэр”, М., 1973.

9. Шарыгин И.Ф. “Алгебрийн нэмэлт хичээл”, М., 1989.

Хавсралт 1

Биквадрат тэгшитгэлийн судалгаа

Хавсралт 2

Булангийн тусламжтайгаар олон гишүүнт олон гишүүнт хуваагдах

Хавсралт 3

Хорнерын схем

Төрөл бүрийн соёл иргэншлийн төлөөлөгчид: Эртний Египт, Эртний Вавилон, Эртний Грек, Эртний Энэтхэг, Эртний Хятад, Дундад зууны Дорнод, Европт квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга техникийг эзэмшсэн.

Эртний Египетийн математикчид анх удаа квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чаджээ. Математикийн папирусуудын нэг нь дараахь асуудлыг агуулна.

"Тэгш өнцөгт хэлбэртэй талбайн талбар нь 12, урт нь түүний өргөнтэй тэнцүү бол талуудыг ол." "Талбайн урт нь 4" гэж папирус бичжээ.

Мянган жил өнгөрч, сөрөг тоонууд алгебр руу орж ирэв. x²= 16 тэгшитгэлийг шийдэхэд бид 4, –4 гэсэн хоёр тоог авна.

Мэдээжийн хэрэг, Египетийн асуудалд бид X = 4-ийг авна, учир нь талбайн урт нь зөвхөн эерэг хэмжигдэхүүн байж болно.

Эртний эрдэмтэд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй асуудлыг шийдвэрлэх ерөнхий арга техниктэй байсныг бидэнд ирсэн эх сурвалжууд харуулж байна. Вавилоны бичвэрт дурдсан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ адилхан боловч вавилончууд хэрхэн "энэ хүртэл" хүрсэн нь тодорхойгүй байна. Гэхдээ олдсон бараг бүх папирус, дөрвөлжин бичвэрт зөвхөн шийдлийн асуудлуудыг өгдөг. Зохиогчид тоон тооцоололдоо "Хараач!", "Үүнийг хий!", "Чи зөвийг нь олсон!" гэх мэт бүдүүлэг тайлбаруудыг л хааяа гаргадаг байсан.

Грекийн математикч Диофант квадрат тэгшитгэл зохиож, шийджээ. Түүний Арифметик нь алгебрийн системчилсэн танилцуулгыг агуулаагүй боловч янз бүрийн түвшний тэгшитгэлийг бий болгох замаар шийдэгдсэн, тайлбар дагалддаг системчилсэн цуврал асуудлуудыг агуулдаг.

Квадрат тэгшитгэл зохиохтой холбоотой асуудлуудыг Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Ариа-бхатиам" хэмээх одон орны зохиолд аль хэдийн олджээ.

Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн Брахмагупта (7-р зуун) ax² + bx = c хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий дүрмийг тодорхойлсон.

Эртний Энэтхэгт хүнд хэцүү асуудлуудыг шийдвэрлэх олон нийтийн уралдаанууд түгээмэл байсан. Ийм уралдааны тухай Энэтхэгийн хуучин номнуудын нэгэнд: "Нар оддыг гялалзуулан гялалзуулж байхын хэрээр эрдэмт хүн олон нийтийн цуглаан дээр алгебрийн бодлого дэвшүүлж, шийдвэрлэхдээ бусдын алдрыг гийгүүлэх болно" гэж бичсэн байдаг. Асуудлыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр танилцуулдаг байв.

Энэ бол 12-р зууны Энэтхэгийн нэрт математикчийн асуудлын нэг юм. Бхаскарууд:

Хурдан сармагчингийн сүрэг

Хоолоо ханатлаа идчихээд хөгжилдөв.

Наймдугаар хэсэг нь талбайн цэвэрлэгээнд тоглож байсан.

Усан үзмийн мод дээр арван хоёр ... үсэрч эхлэв, дүүжлэв...​

Хэдэн сармагчин байсан бэ?

Надад хэлээч, энэ хайрцагт уу?

Бхаскарын шийдэл нь квадрат тэгшитгэлийн язгуур хоёр утгатай гэдгийг мэддэг байсныг харуулж байна.

Бидэнд хүрч ирсэн хамгийн эртний Хятадын математикийн бичвэрүүд нь 1-р зууны сүүлчээс эхэлдэг. МЭӨ II зуунд. МЭӨ Есөн номонд математик бичигдсэн. Хожим нь 7-р зуунд олон зууны турш судлагдсан "Арван сонгодог зохиол" цуглуулгад орсон. Есөн номын математик нь хоёр тооны нийлбэрийн квадратын томъёог ашиглан квадрат язгуурыг хэрхэн олохыг тайлбарладаг.

Энэ аргыг "тянь-юань" (шууд утгаараа "тэнгэрлэг элемент") гэж нэрлэдэг байсан бөгөөд Хятадууд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг ингэж тодорхойлсон байдаг.​

Асуудлыг шийдвэрлэх анхны гарын авлага бол 9-р зууны Багдадын эрдэмтний бүтээл юм. Мухаммед бин Муса аль-Хорезми. Цаг хугацаа өнгөрөхөд "ал-жабр" гэдэг үг нь "алгебр" гэсэн алдартай үг болж хувирсан бөгөөд аль-Хорезмигийн бүтээл өөрөө тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинжлэх ухааны хөгжлийн эхлэл болсон юм. Аль-Хорезмийн алгебрийн зохиолд шугаман ба квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгсөн. Зохиогч зургаан төрлийн тэгшитгэлийг тоолж, дараах байдлаар илэрхийлэв.

-квадратууд нь тэнцүү үндэстэй, өөрөөр хэлбэл, аа ² = bх;

-квадратууд тэнцүү тоо, өөрөөр хэлбэл, аа ² = s;

-үндэс нь тоотой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл сүх = c;

-квадрат ба тоо нь үндэстэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл, аа ²+ с = bх;

-квадрат ба үндэс нь тоотой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл, аа ² + bх = с;

-үндэс ба тоо нь квадраттай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл bx + c = ax ²;

Квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг системтэйгээр гаргаж, тэдгээрийн шийдлийн томьёог өгсөн бидэн рүү хүрч ирсэн анхны ном бол Аль-Хорезмийн зохиол юм.

Европт аль-Хорезмигийн загварчилсан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёог Италийн математикч Леонардо Фибоначчийн 1202 онд бичсэн Абакус номонд анх гаргажээ. Зохиогч бие даан асуудлыг шийдэх шинэ алгебрийн жишээг боловсруулж, Европт сөрөг тоог анхлан нэвтрүүлсэн. Түүний ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. 16-17-р зууны бараг бүх Европын сурах бичигт "Абакийн ном" -ын олон асуудлыг оруулсан болно. ба 18-р зууны зарим хэсэг.

Ганц каноник хэлбэр х болгон бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий дүрэм ² + bх = с, b ба с коэффициентүүдийн шинж тэмдгүүдийн боломжит бүх хослолын хувьд Европт зөвхөн 1544 онд М.Штифел томъёолсон.

Виетад квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томъёоны ерөнхий гарал үүсэлтэй боловч тэрээр зөвхөн эерэг язгуурыг хүлээн зөвшөөрдөг. Италийн математикч Тартаглиа, Кардано, Бомбелли нар 16-р зууны анхны хүмүүсийн нэг байв. Эерэг ба сөрөг үндэсээс гадна тэдгээрийг харгалзан үздэг. Зөвхөн 17-р зуунд Жирард, Декарт, Ньютон болон бусад эрдэмтдийн бүтээлийн ачаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга орчин үеийн хэлбэрээ олж авсан.

​

​

1.1. Квадрат тэгшитгэл үүссэн түүхээс

Алгебр нь тэгшитгэл ашиглан янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхтэй холбоотой үүссэн. Ихэвчлэн асуудал нь хүссэн болон өгөгдсөн хэмжигдэхүүн дээр хийгдсэн зарим үйлдлийн үр дүнг мэдэхийн зэрэгцээ нэг буюу хэд хэдэн үл мэдэгдэх зүйлийг олохыг шаарддаг. Ийм асуудал нь нэг буюу хэд хэдэн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх, өгөгдсөн хэмжигдэхүүн дээр алгебрийн үйлдлүүдийг ашиглан шаардлагатайг олоход хүргэдэг. Алгебр нь хэмжигдэхүүн дээрх үйлдлүүдийн ерөнхий шинж чанарыг судалдаг.

Шугаман ба квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим алгебрийн аргуудыг 4000 жилийн өмнө эртний Вавилонд мэддэг байсан.

Эртний Вавилон дахь квадрат тэгшитгэл

Зөвхөн эхний төдийгүй хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгцээ нь эртний үед ч газар нутгийн талбайг олох, цэргийн шинж чанартай газар шорооны ажилтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв. одон орон, математикийн хөгжлийн нэгэн адил. Вавилончууд МЭӨ 2000 онд квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадсан. Орчин үеийн алгебрийн тэмдэглэгээг ашиглан тэдгээрийн дөрвөлжин бичвэрт бүрэн бус бичвэрүүдээс гадна жишээлбэл, бүрэн квадрат тэгшитгэлүүд байдаг гэж хэлж болно.

Вавилоны бичвэрт дурдсан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ давхцаж байгаа боловч вавилончууд энэ дүрэмд хэрхэн хүрсэн нь тодорхойгүй байна. Өнөөг хүртэл олдсон бараг бүх дөрвөлжин бичвэрүүд нь зөвхөн жор хэлбэрээр гаргасан шийдлүүдийн талаархи асуудлуудыг өгдөг бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн олсон тухай ямар ч заалтгүй байдаг. Вавилонд алгебрийн хөгжил өндөр байсан ч дөрвөлжин тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий арга, сөрөг тооны тухай ойлголт дутмаг дөрвөлжин бичвэрт байдаг.

Диофантусын Арифметик нь алгебрийн системчилсэн танилцуулгыг агуулаагүй боловч янз бүрийн түвшний тэгшитгэл байгуулах замаар шийдвэрлэсэн, тайлбарын хамт олон тооны бодлоготой асуудлуудыг агуулдаг.

Диофант тэгшитгэл зохиохдоо шийдлийг хялбарчлахын тулд үл мэдэгдэх зүйлийг чадварлаг сонгодог.

Жишээлбэл, энд түүний даалгаваруудын нэг юм.

Бодлого 2. “Нийлбэр нь 20, үржвэр нь 96 гэдгийг мэдэж хоёр тоог ол.”

Диофант дараах байдлаар тайлбарлав: асуудлын нөхцлөөс харахад шаардлагатай тоонууд тэнцүү биш байна, учир нь тэдгээр нь тэнцүү байсан бол тэдгээрийн үржвэр нь 96 биш, харин 100-тай тэнцүү байх болно. Тиймээс тэдгээрийн нэг нь түүнээс их байх болно. тэдгээрийн нийлбэрийн тал хувь, өөрөөр хэлбэл 10 + x. Нөгөө нь бага, өөрөөр хэлбэл 10 - x. Тэдний хоорондох ялгаа нь 2 дахин их байна. Тиймээс тэгшитгэл:

(10+х)(10-х) =96,

Эндээс x = 2. Шаардлагатай тоонуудын нэг нь 12, нөгөө нь 8. Грекийн математик зөвхөн эерэг тоог мэддэг байсан тул x = - 2 шийдэл Диофантад байхгүй.

Хэрэв та шаардлагатай тоонуудын аль нэгийг үл мэдэгдэх тоогоор сонгосноор энэ асуудлыг шийдвэл тэгшитгэлийн шийдэлд хүрч болно.

Шаардлагатай тоонуудын хагас зөрүүг үл мэдэгдэх байдлаар сонгосноор Диофант шийдлийг хялбарчлах нь тодорхой байна; тэрээр бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд асуудлыг багасгаж чадсан.

Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэлийн асуудлуудыг Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Арьябхаттиам" хэмээх одон орны зохиолд аль хэдийн олдсон байдаг. Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн Брахмагупта (7-р зуун) нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг тодорхойлсон.

ax 2 + bx = c, a> 0. (1)

(1) тэгшитгэлд коэффициентүүд нь сөрөг байж болно. Брахмагуптагийн дүрэм үндсэндээ биднийхтэй адил юм.

Хэцүү асуудлыг шийдэх олон нийтийн тэмцээн Энэтхэгт түгээмэл байсан. Энэтхэгийн эртний номнуудын нэгэнд ийм уралдааны талаар: "Нар оддыг гялалзуулж, гялалзуулдаг шиг эрдэмт хүн олон нийтийн цуглаан дээр алгебрийн бодлого дэвшүүлж, түүгээр алдар нэрийг нь гүйцэлдүүлэх болно" гэж бичсэн байдаг. Асуудлыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр танилцуулдаг байв.

Энэ бол 12-р зууны Энэтхэгийн нэрт математикчийн асуудлын нэг юм. Бхаскарууд.

Бхаскарын шийдэл нь зохиолч квадрат тэгшитгэлийн язгуур хоёр утгатай гэдгийг мэддэг байсныг харуулж байна.

3-р асуудалд тохирох тэгшитгэл нь:

Бхашкара нэрийн дор бичжээ.

x 2 - 64x = - 768

Энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг дөрвөлжин болгож дуусгахын тулд хоёр тал дээр 32 2-ыг нэмээд дараахийг авна.

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Аль-Хорезмийн квадрат тэгшитгэл

Аль-Хорезмийн алгебрийн зохиолд шугаман ба квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгсөн. Зохиогч 6 төрлийн тэгшитгэлийг тоолж, дараах байдлаар илэрхийлэв.

1) "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү", өөрөөр хэлбэл сүх 2 = bx.

2) "Квадратууд нь тоонуудтай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл сүх 2 = c.

3) "Үндэс нь тоотой тэнцүү", өөрөөр хэлбэл сүх = c.

4) "Квадрат ба тоонууд нь язгууртай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл сүх 2 + c = bx.

5) "Квадрат ба үндэс нь тоотой тэнцүү", өөрөөр хэлбэл сүх 2 + bx = c.

6) "Үндэс ба тоонууд нь квадратуудтай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл bx + c == ax 2.

Сөрөг тоо хэрэглэхээс зайлсхийсэн Аль-Хорезмигийн хувьд эдгээр тэгшитгэл бүрийн нөхцөл нь хасах биш харин нэмэх юм. Энэ тохиолдолд эерэг шийдэлгүй тэгшитгэлийг тооцохгүй нь ойлгомжтой. Зохиогч аль-жабр ба аль-мукабалын техникийг ашиглан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг тодорхойлсон. Мэдээжийн хэрэг, түүний шийдвэр бидний шийдвэртэй бүрэн нийцэхгүй байна. Энэ нь цэвэр риторик гэдгийг дурдахгүй, жишээлбэл, нэгдүгээр төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ Аль-Хорезми 17-р зууныг хүртэлх бүх математикчдын нэгэн адил тэг шийдийг харгалздаггүй болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Магадгүй тодорхой практикт энэ нь даалгаварт хамаагүй. Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ Аль-Хорезми тодорхой тоон жишээнүүд, дараа нь геометрийн нотолгоог ашиглан тэдгээрийг шийдвэрлэх дүрмийг тодорхойлсон.

Нэг жишээ хэлье.

Бодлого 4. “Квадрат ба 21 тоо нь 10 язгууртай тэнцүү. Үндэсийг ол” (х 2 + 21 = 10х тэгшитгэлийн язгуур гэсэн үг).

Шийдэл: язгуурын тоог хоёр хуваавал 5-ыг гаргаад 5-ыг өөрөө үржүүлээд үржвэрээс 21-ийг хасаад 4-өөс үндсийг нь авбал 2-ыг авна.5-аас 2-ыг хасаад 3-ыг авна, энэ таны хайж буй үндэс байх болно. Эсвэл 2-ыг 5-д нэмбэл 7 гарна, энэ нь бас үндэс юм.

Аль-Хорезмигийн зохиол бол квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг системтэйгээр гаргаж, тэдгээрийн шийдлийн томьёог өгсөн бидэнд ирсэн анхны ном юм.

12-17-р зууны Европ дахь квадрат тэгшитгэл.

Европ дахь Аль-Хорезмигийн загвараар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэлбэрийг анх 1202 онд бичсэн "Абакийн ном"-д тусгасан болно. Италийн математикч Леонард Фибоначчи. Зохиогч нь асуудлыг шийдвэрлэх зарим шинэ алгебрийн жишээг бие даан боловсруулж, Европт анх удаа сөрөг тоог нэвтрүүлэхэд ойртжээ.

Энэхүү ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. Энэ номны олон асуудлыг 14-17-р зууны бараг бүх Европын сурах бичигт ашигласан. b, c тэмдэг, коэффициентийн боломжит бүх хослолын хувьд x 2 + bх = с нэг каноник хэлбэр болгон бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий дүрмийг Европт 1544 онд М.Штифел томъёолжээ.

Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх томъёоны гарал үүслийг Виетээс авах боломжтой боловч Виет зөвхөн эерэг язгуурыг хүлээн зөвшөөрсөн. Италийн математикч Тартаглиа, Кардано, Бомбелли нар 16-р зууны анхны хүмүүсийн нэг байв. Эерэг зүйлээс гадна сөрөг үндсийг харгалзан үздэг. Зөвхөн 17-р зуунд. Жирард, Декарт, Ньютон болон бусад эрдэмтдийн бүтээлийн ачаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга орчин үеийн хэлбэрийг олж авдаг.

Практик асуудлыг шийдвэрлэх алгебрийн аргын гарал үүсэл нь эртний ертөнцийн шинжлэх ухаантай холбоотой юм. Математикийн түүхээс мэдэгдэж байгаагаар Египет, Шумер, Вавилоны бичээч, тооны машинчдын (МЭӨ XX-VI зуун) шийдсэн математикийн асуудлын нэлээд хэсэг нь тооцооллын шинж чанартай байсан. Гэсэн хэдий ч үе үе хэмжигдэхүүний хүссэн утгыг тодорхой шууд бус нөхцлөөр тодорхойлдог тул бидний орчин үеийн үүднээс тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлэх шаардлагатай болдог. Эхэндээ ийм асуудлыг шийдэхийн тулд арифметик аргыг ашигладаг байсан. Дараа нь алгебрийн үзэл баримтлалын эхлэлүүд үүсч эхлэв. Жишээлбэл, Вавилоны тооны машинууд орчин үеийн ангиллын үүднээс авч үзвэл хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл болгон бууруулж болох асуудлыг шийдэж чадсан. Үгийн асуудлыг шийдэх аргыг бий болгосон бөгөөд энэ нь хожим алгебрийн бүрэлдэхүүн хэсгийг тусгаарлах, бие даасан судлах үндэс суурь болсон.

Энэхүү судалгааг өөр эрин үед анх Арабын математикчид (МЭ VI-X зуун) хийж, тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулах онцлог үйлдлүүдийг тодорхойлсон: ижил төстэй нэр томъёог авчрах, тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлэх. тэмдгийн өөрчлөлт. Тэгээд дараа нь Сэргэн мандалтын үеийн Европын математикчид удаан хугацааны эрэл хайгуулын үр дүнд орчин үеийн алгебрийн хэлийг бий болгож, үсэг ашиглах, арифметик үйлдлийн тэмдэг, хаалт гэх мэтийг бий болгосон. 16-р зууны зааг дээр. 17-р зуун. Математикийн тодорхой хэсэг болох алгебр нь өөрийн гэсэн сэдэв, арга, хэрэглээний талбартай нэгэнт бүрэлдэн бий болсон. Түүний цаашдын хөгжил нь бидний цаг үеийг хүртэл арга барилыг сайжруулах, хэрэглээний цар хүрээг өргөжүүлэх, ойлголт, тэдгээрийн математикийн бусад салбаруудын үзэл баримтлалтай уялдаа холбоог тодруулах явдал байв.

Тиймээс тэгшитгэлийн тухай ойлголттой холбоотой материалын ач холбогдол, өргөн цар хүрээтэй байдлыг харгалзан түүнийг орчин үеийн математикийн аргад судлах нь түүний гарал үүсэл, үйл ажиллагааны гурван үндсэн чиглэлтэй холбоотой юм.

Ковальчук Кирилл

“Зуунууд ба улс орнуудын квадрат тэгшитгэл” төсөл нь оюутнуудад шинжлэх ухаан, технологийн дэвшлийн үндэс болсон математикийн эрдэмтэдтэй танилцах, түүхэн материалтай танилцах үндсэн дээр математикийн сонирхлыг хөгжүүлэх, сурагчдын алсын харааг тэлэх, танин мэдэхүйн үйл ажиллагааг идэвхжүүлэх, шинжлэх ухаан, технологийн дэвшлийн үндэс суурь болсон математикчдыг таниулах зорилготой. бүтээлч байдал.

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд түүн рүү нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com

Слайдын тайлбар:

Борисовка тосгоны 17-р дунд сургуулийн 8-р ангийн сурагч Кирилл Ковальчукийн төслийн ажил Удирдагч Г.В

Олон зууны болон улс орнуудын квадрат тэгшитгэл

Төслийн зорилго: Оюутнуудыг шинжлэх ухаан, технологийн дэвшлийн үндэс болсон математикийн эрдэмтэдтэй танилцуулах. Геометр, физикийн хөгжилд эрдэмтдийн бүтээлийн ач холбогдлыг харуулна уу.???????????? Шинжлэх ухааны нээлтийг амьдралд хэрхэн ашиглахыг нүдээр харуулах. Түүхэн материалтай танилцсаны үндсэн дээр математикийн сонирхлыг хөгжүүлэх. Оюутнуудын алсын харааг өргөжүүлэх, тэдний танин мэдэхүйн үйл ажиллагаа, бүтээлч байдлыг идэвхжүүлэх

Зөвхөн нэгдүгээр зэрэглэлийн төдийгүй хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгцээ нь эрт дээр үед одон орон, математикийн хөгжлөөр газрын талбайн хэмжээг олохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв. Квадрат тэгшитгэлийг МЭӨ 2000 онд шийдэж болно. д. Вавилончууд. Вавилоны бичвэрт дурдсан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх дүрмүүд нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ адилхан боловч эдгээр бичвэрт сөрөг тооны тухай ойлголт, квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий аргууд дутмаг байдаг.

. (МЭӨ 365 - 300 он) - эртний Грекийн математикч, математикийн тухай бидэнд ирсэн анхны онолын зохиолын зохиогч. Евклид эсвэл Евклид

Евклидийн эхлэл Нил мөрөн далайтай нийлдэг газар, Пирамидуудын эртний халуун нутагт Грекийн математикч - Мэдлэг, Мэргэн Евклид амьдарч байжээ. Тэр геометрийн чиглэлээр суралцаж, геометрийн хичээл зааж байсан. Тэр гайхалтай бүтээл бичсэн. Энэ номын нэр нь "Эхлэл".

Евклид МЭӨ 3-р зуун Евклид квадрат тэгшитгэлийг геометрийн аргаар шийдсэн. Эртний Грекийн сургааль дээрх асуудлын нэгийг энд дурдав: "Хажуу тал нь үл мэдэгдэх дөрвөлжин хэлбэртэй хилтэй, тал бүрийн голд хаалгатай хот байдаг. Хойд хаалганаас 20бу (1бу=1,6м) зайд багана бий. 14бу урд хаалганаас шууд алхаж, баруун тийш эргээд 1775бу руу явбал багана харагдана. Асуулт нь: хотын аль талд хиллэдэг вэ? »

Квадратын үл мэдэгдэх талыг тодорхойлохын тулд бид x ² +(k+l)x-2kd =0 квадрат тэгшитгэлийг авна. Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь x ² +34x-71000=0 шиг харагдана, эндээс x=250bu l x d k

Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл Квадрат тэгшитгэлийн асуудлуудыг Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Арьябхаттиам" хэмээх одон орны зохиолд мөн олж болно. Энэтхэгийн өөр нэгэн эрдэмтэн Брахмагупта нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг гаргажээ: ax ² +bx=c , a>0 Эртний Энэтхэгт хүнд хэцүү бодлогуудыг шийдвэрлэх олон нийтийн уралдаан тэмцээнүүд түгээмэл байсан. Энэтхэгийн хуучин номнуудын нэгэнд ийм уралдааны талаар: "Нар оддыг гялалзуулж, гялалзуулж байгаагийн хэрээр эрдэмт хүн олон нийтийн цуглаан дээр алгебрийн бодлого дэвшүүлж, шийдвэрлэх үед бусдын алдрыг гүйцэлдүүлэх болно" гэж бичсэн байдаг.

12-р зууны Энэтхэгийн нэрт математикч Бхаскарагийн нэгэн бодлог. Сүррэг сармагчингууд цатгалан идэж, хөгжилдөв. Наймдугаар хэсэг нь талбай дээр би клиринг дээр хөгжилдөж байсан. Усан үзмийн мод дээр арван хоёр ... Тэд дүүжлэгдэж байхдаа үсэрч эхлэв ... Энэ сүрэгт хэдэн сармагчин байсан бэ, надад хэлээч?

Шийдэл. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, тэгвэл D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Хариулт: 16 эсвэл 48 сармагчин байсан.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог хэд хэдэн удаа "дахин нээсэн". Өнөөдрийг хүртэл хадгалагдан үлдсэн энэ томъёоны анхны гарал үүслийн нэг нь Энэтхэгийн математикч Брахмагуптагийнх юм. Төв Азийн эрдэмтэн аль-Хорезми "Китаб аль-жерб вал-мукабала" хэмээх зохиолдоо бүрэн дөрвөлжин тусгаарлах аргаар ийм томьёог гаргажээ.

Аль-Хорезми энэ тэгшитгэлийг хэрхэн шийдсэн бэ? Тэрээр бичсэн нь: "Дүрэм нь: язгуурын тоог хоёр дахин нэмэгдүүлбэл, x = 2x · 5, энэ бодлогод та тавыг олж, 5-ыг үүнтэй тэнцүү үржүүлбэл хорин тав болно, 5 · 5 = 25, үүнийг гучин дээр нэмнэ. -есөн, 25 + 39 жаран дөрөв болно, 64 нь үүнээс үндсийг авбал найм, 8 байх бөгөөд үүнээс язгуурын тоог хасвал тав, 8-5 нь гурав хэвээр үлдэнэ - энэ бол 3 болно. Таны хайж байсан дөрвөлжингийн үндэс." Хоёр дахь үндэс нь яах вэ? Сөрөг тоо тодорхойгүй байсан тул хоёр дахь үндэс олдсонгүй. x 2 +10 x = 39

13-17-р зууны Европ дахь квадрат тэгшитгэл. Европт аль-Хорезмигийн загварчилсан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёог Италийн математикч Леонардо Фибоначчийн 1202 онд бичсэн "Абакийн ном"-д анх гаргажээ. Исламын болон Эртний Грекийн математикийн нөлөөг тусгасан энэхүү том бүтээл нь бүрэн дүүрэн, ойлгомжтой байдлаараа ялгагдана. Зохиогч бие даан асуудлын шинэ алгебрийн шийдлүүдийг боловсруулж, Европт анх удаа сөрөг тоог нэвтрүүлсэн. Түүний ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. 16-17-р зууны Европын бараг бүх сурах бичигт Абакус номноос олон асуудлыг ашигласан. ба хэсэгчлэн 18.

Франсуа Виет - 16-р зууны хамгийн агуу математикч

Ф.Вьетагаас өмнө квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь өөрийн дүрмийн дагуу маш урт аман аргумент, тайлбар хэлбэрээр, нэлээд нүсэр үйлдлүүд хэлбэрээр хийгддэг. Тэд тэгшитгэлийг өөрөө бичиж чадаагүй; энэ нь нэлээд урт бөгөөд ээдрээтэй аман тайлбарыг шаарддаг. Тэрээр "коэффициент" гэсэн нэр томъёог бий болгосон. Тэрээр шаардлагатай тоо хэмжээг эгшиг, өгөгдлийг гийгүүлэгчээр тэмдэглэхийг санал болгов. Виетийн бэлгэдлийн ачаар бид квадрат тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичиж болно: ax 2 + bx + c =0. Теорем: Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй, язгууруудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Энэ теоремыг "Вьетагийн теорем" гэж нэрлэдэг байсан ч энэ нь түүний өмнө мэдэгдэж байсан бөгөөд тэрээр үүнийг зөвхөн орчин үеийн хэлбэрт шилжүүлсэн. Виетаг "алгебрийн эцэг" гэж нэрлэдэг.

Хүн төрөлхтөн мунхаг байдлаас мэдлэгт хүрэх урт замыг туулж, бүрэн бус, төгс бус мэдлэгийг улам бүр бүрэн, төгс мэдлэгээр сольж, замдаа тасралтгүй орлоо. Эцсийн үг

21-р зууны эхэн үед амьдарч буй бид эртний цаг үеийг татдаг. Бидний өвөг дээдсийн хувьд орчин үеийн үүднээс юу дутагдаж байгааг бид юуны түрүүнд анзаардаг бөгөөд тэдэнтэй харьцуулахад бид өөрсдөө юу дутагдаж байгааг анзаардаггүй.

Тэдний тухай мартаж болохгүй...

Анхаарал тавьсанд баярлалаа!