Гурвалжны талбай - томъёо, асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Доор байна дурын гурвалжны талбайг олох томъёошинж чанар, өнцөг, хэмжээ зэргээс үл хамааран аливаа гурвалжны талбайг олоход тохиромжтой. Томъёо нь зураг хэлбэрээр, тэдгээрийн хэрэглээний тайлбар эсвэл тэдгээрийн зөв байдлын үндэслэлийг харуулсан болно. Мөн тусдаа зураг нь томьёо дахь үсгийн тэмдэг болон зураг дээрх график тэмдэгтүүдийн хоорондын захидал харилцааг харуулж байна.

Анхаарна уу . Хэрэв гурвалжин нь тусгай шинж чанартай (исс өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт) байвал доор өгөгдсөн томьёо болон зөвхөн эдгээр шинж чанартай гурвалжинд хүчинтэй нэмэлт тусгай томъёог ашиглаж болно.

"Тэгш талт гурвалжны талбайн томъёо"

Гурвалжингийн талбайн томъёо

Томъёоны тайлбар:
a, b, c- талбайг нь олохыг хүсч буй гурвалжны талуудын урт
r- гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус
Р- гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус
h- хажуу тийшээ доошлуулсан гурвалжны өндөр
х- гурвалжны хагас периметр, талуудын нийлбэрийн 1/2 (периметр)
α - гурвалжны а талын эсрэг талын өнцөг
β - гурвалжны b талын эсрэг талын өнцөг
γ - гурвалжны в талын эсрэг талын өнцөг
h а, h б , h в- гурвалжны өндрийг a, b, c тал руу буулгасан

Өгөгдсөн тэмдэглэгээ нь дээрх зурагтай тохирч байгаа тул геометрийн бодит асуудлыг шийдэхдээ томьёоны зөв газарт зөв утгыг орлуулах нь нүдэнд харагдахуйц хялбар байх болно гэдгийг анхаарна уу.

Гурвалжны талбай нь гурвалжны өндрийн хагас үржвэр ба энэ өндрийг доошлуулах талын урт(Формула 1). Энэ томъёоны зөвийг логикоор ойлгож болно. Суурь руу буулгасан өндөр нь дурын гурвалжинг хоёр тэгш өнцөгт болгон хуваах болно. Хэрэв та тэдгээрийг тус бүрийг b ба h хэмжээтэй тэгш өнцөгт болгон барьвал эдгээр гурвалжны талбай нь тэгш өнцөгтийн талбайн яг хагастай тэнцүү байх болно (Spr = bh)
Гурвалжны талбай нь түүний хоёр талын хагасын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синус(Формула 2) (энэ томъёог ашиглан асуудлыг шийдэх жишээг доороос үзнэ үү). Хэдийгээр өмнөхөөсөө ялгаатай мэт боловч амархан хувирч болно. Хэрэв бид өндрийг B өнцгөөс b тал руу буулгавал тэгш өнцөгт гурвалжны синусын шинж чанарын дагуу а тал ба γ өнцгийн синусын үржвэр нь бидний зурсан гурвалжны өндөртэй тэнцүү байна. , энэ нь бидэнд өмнөх томьёог өгдөг
Дурын гурвалжны талбайг олж болно дамжуулан ажилдотор нь бичсэн тойргийн радиусын хагасыг түүний бүх талуудын уртын нийлбэрээр илэрхийлнэ(Формула 3), энгийнээр хэлбэл, та гурвалжны хагас периметрийг бичээстэй тойргийн радиусаар үржүүлэх хэрэгтэй (үүнийг санахад хялбар)
Дурын гурвалжны талбайг түүний бүх талуудын үржвэрийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн 4 радиусаар хуваах замаар олж болно (Формула 4)
Формула 5 нь гурвалжны талбайг талуудын урт ба хагас периметрээр нь (бүх талуудын нийлбэрийн хагас) олох явдал юм.
Хероны томъёо(6) нь хагас периметрийн ойлголтыг ашиглахгүйгээр зөвхөн талуудын уртаар дамжуулан ижил томьёоны дүрслэл юм.
Дурын гурвалжны талбай нь гурвалжны хажуугийн квадрат ба энэ талтай зэргэлдээх өнцгийн синусын үржвэрийг энэ талын эсрэг талын өнцгийн давхар синусанд хуваасантай тэнцүү байна (Формула 7)
Дурын гурвалжны талбайг түүний өнцөг бүрийн синусаар тойрсон тойргийн хоёр квадратын үржвэрээр олж болно. (Формула 8)
Хэрэв нэг талын урт ба зэргэлдээ хоёр өнцгийн утгууд мэдэгдэж байвал гурвалжны талбайг энэ талын квадратыг эдгээр өнцгийн котангентын давхар нийлбэрт хуваасан хэлбэрээр олж болно (Формула 9)
Хэрэв гурвалжны өндөр тус бүрийн уртыг л мэддэг бол (Формула 10) ийм гурвалжны талбай нь Хероны томъёоны дагуу эдгээр өндрийн урттай урвуу пропорциональ байна.
Формула 11 нь тооцоолох боломжийг танд олгоно оройнуудын координат дээр үндэслэн гурвалжны талбай, орой тус бүрийн хувьд (x;y) утгуудаар тодорхойлогддог. Хувь хүний (эсвэл бүр бүх) оройн координатууд сөрөг утгын бүсэд байж болох тул үр дүнгийн утгыг модулаар авах ёстойг анхаарна уу.

Анхаарна уу. Гурвалжны талбайг олохын тулд геометрийн асуудлыг шийдэх жишээг доор харуулав. Хэрэв та энд төстэй биш геометрийн асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол энэ талаар форум дээр бичээрэй. Шийдэлд "квадрат язгуур" тэмдгийн оронд sqrt() функцийг ашиглаж болох бөгөөд үүнд sqrt нь квадрат язгуур тэмдэг, радикал илэрхийллийг хаалтанд заасан болно..Заримдаа энгийн радикал илэрхийлэлд энэ тэмдгийг ашиглаж болно √

Даалгавар. Өгөгдсөн хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ол

Гурвалжны талууд нь 5 ба 6 см, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 60 градус байна. Гурвалжны талбайг ол.

Шийдэл.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид хичээлийн онолын хэсгээс хоёр дахь томьёог ашигладаг.
Гурвалжны талбайг хоёр талын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар олж болох ба тэнцүү байх болно.
S=1/2 ab sin γ

Бидэнд шийдэлд шаардлагатай бүх өгөгдөл байгаа тул (томъёоны дагуу) бид асуудлын нөхцлийн утгыг зөвхөн томъёонд орлуулж болно.
S = 1/2 * 5 * 6 * нүгэл 60

Тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтэд бид синусын 60 градусын утгыг олж, илэрхийлэлд орлуулах болно. Энэ нь гурвыг хоёр удаа үржүүлсэн үндэстэй тэнцүү байх болно.
S = 15 √3 / 2

Хариулах: 7.5 √3 (багшийн шаардлагаас хамааран та 15 √3/2 үлдээж болно)

Даалгавар. Тэгш талт гурвалжны талбайг ол

3 см талтай тэгш талт гурвалжны талбайг ол.

Шийдэл.

Гурвалжны талбайг Хероны томъёог ашиглан олж болно.

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c тул тэгш талт гурвалжны талбайн томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Хариулах: 9 √3 / 4.

Даалгавар. Хажуугийн уртыг өөрчлөх үед талбайг өөрчил

Гурвалжны талуудыг 4 дахин нэмэгдүүлбэл түүний талбай хэд дахин нэмэгдэх вэ?

Шийдэл.

Гурвалжны талуудын хэмжээс нь бидэнд тодорхойгүй тул асуудлыг шийдэхийн тулд талуудын уртыг дурын тоонуудтай тэнцүү гэж үзнэ a, b, c. Дараа нь асуудлын асуултанд хариулахын тулд бид өгөгдсөн гурвалжны талбайг олж, дараа нь талууд нь дөрөв дахин том гурвалжны талбайг олох болно. Эдгээр гурвалжны талбайн харьцаа нь бидэнд асуудлын хариултыг өгөх болно.

Доор бид асуудлын шийдлийг алхам алхмаар текст хэлбэрээр тайлбарласан болно. Гэсэн хэдий ч эцэст нь ижил шийдлийг илүү тохиромжтой график хэлбэрээр үзүүлэв. Сонирхсон хүмүүс шийдлүүдийг нэн даруй буулгаж болно.

Шийдвэрлэхийн тулд бид Хероны томъёог ашигладаг (хичээлийн онолын хэсгээс үзнэ үү). Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(доорх зургийн эхний мөрийг үзнэ үү)

Дурын гурвалжны талуудын уртыг a, b, c хувьсагчаар тодорхойлно.
Хэрэв талуудыг 4 дахин нэмэгдүүлбэл шинэ c гурвалжны талбай нь:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(доорх зурган дээрх хоёр дахь мөрийг харна уу)

Таны харж байгаагаар 4 нь математикийн ерөнхий дүрмийн дагуу бүх дөрвөн илэрхийллээс хаалтнаас гаргаж болох нийтлэг хүчин зүйл юм.
Дараа нь

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - зургийн гурав дахь мөрөнд
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - дөрөв дэх мөр

256 тооны язгуурыг төгс гаргаж авсан тул язгуураас нь гаргая
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(доорх зургийн тав дахь мөрийг харна уу)

Асуудлын асуултанд хариулахын тулд бид үүссэн гурвалжны талбайг анхны гурвалжны талбайд хуваах хэрэгтэй.
Илэрхийлэлүүдийг хооронд нь хувааж, үүссэн бутархайг багасгах замаар талбайн харьцааг тодорхойлъё.

Талбайн тухай ойлголт

Аливаа геометрийн дүрс, тухайлбал гурвалжингийн талбайн тухай ойлголт нь дөрвөлжин гэх мэт дүрстэй холбоотой байх болно. Аливаа геометрийн дүрсийн нэгж талбайн хувьд бид тал нь нэгтэй тэнцүү квадратын талбайг авна. Бүрэн гүйцэд болгохын тулд геометрийн дүрсүүдийн талбайн тухай ойлголтын хоёр үндсэн шинж чанарыг эргэн санацгаая.

Өмч 1:Хэрэв геометрийн дүрсүүд тэнцүү бол тэдгээрийн талбайнууд нь тэнцүү байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2:Аливаа дүрсийг хэд хэдэн тоонд хувааж болно. Түүнээс гадна анхны зургийн талбай нь түүнийг бүрдүүлэгч бүх дүрсийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Нэг жишээ авч үзье.

Жишээ 1

Мэдээжийн хэрэг, гурвалжны нэг тал нь тэгш өнцөгтийн диагональ бөгөөд нэг тал нь $5$ урттай ($5$ нүд байгаа тул), нөгөө тал нь $6$ ($6$ нүдтэй тул) байна. Тиймээс энэ гурвалжны талбай нь ийм тэгш өнцөгтийн талтай тэнцүү байх болно. Тэгш өнцөгтийн талбай нь

Дараа нь гурвалжны талбай тэнцүү байна

Хариулт: 15 доллар.

Дараа нь бид гурвалжны талбайг олох хэд хэдэн аргыг авч үзэх болно, тухайлбал өндөр ба суурийг ашиглан Хероны томъёо ба тэгш талт гурвалжны талбайг ашиглан.

Гурвалжны талбайг түүний өндөр ба суурийг ашиглан хэрхэн олох вэ

Теорем 1

Гурвалжны талбайг хажуугийн урт ба тэр тал хүртэлх өндрийн үржвэрийн хагасаар олж болно.

Математикийн хувьд иймэрхүү харагдаж байна

$S=\frac(1)(2)αh$

$a$ нь хажуугийн урт, $h$ нь түүн рүү татсан өндөр юм.

Баталгаа.

$AC=α$ байх $ABC$ гурвалжинг авч үзье. $BH$ өндрийг энэ тал руу татсан бөгөөд энэ нь $h$-тай тэнцүү байна. Зураг 2-т үзүүлсэн шиг $AXYC$ квадрат хүртэл бүтээцгээе.

$AXBH$ тэгш өнцөгтийн талбай нь $h\cdot AH$, $HBYC$ тэгш өнцөгтийн талбай нь $h\cdot HC$ байна. Дараа нь

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Тиймээс гурвалжны шаардагдах талбай нь 2-р шинж чанараар тэнцүү байна

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ 2

Хэрэв нүд нэгтэй тэнцүү талбайтай бол доорх зураг дээрх гурвалжны талбайг ол

Энэ гурвалжны суурь нь $9$-тэй тэнцүү байна ($9$ нь $9$ квадрат тул). Өндөр нь бас 9 доллар. Дараа нь теорем 1-ээр бид олж авна

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Хариулт: 40.5 доллар.

Хероны томъёо

Теорем 2

Хэрэв бидэнд $α$, $β$, $γ$ гурвалжны гурван талыг өгвөл түүний талбайг дараах байдлаар олж болно.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

энд $ρ$ гэдэг нь энэ гурвалжны хагас периметр гэсэн үг.

Баталгаа.

Дараах зургийг авч үзье.

Пифагорын теоремоор бид $ABH$ гурвалжингаас олж авдаг

Пифагорын теоремын дагуу $CBH$ гурвалжингаас бид байна

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Эдгээр хоёр харилцаанаас бид тэгш байдлыг олж авдаг

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ тул $α+β+γ=2ρ$ гэсэн үг.

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Теорем 1-ээр бид олж авна

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Талбайн тухай ойлголт

Өмч 1:Хэрэв геометрийн дүрсүүд тэнцүү бол тэдгээрийн талбайнууд нь тэнцүү байна.

Нэг жишээ авч үзье.

Жишээ 1

Дараа нь гурвалжны талбай тэнцүү байна

Хариулт: 15 доллар.

Гурвалжны талбайг түүний өндөр ба суурийг ашиглан хэрхэн олох вэ

Теорем 1

Гурвалжны талбайг хажуугийн урт ба тэр тал хүртэлх өндрийн үржвэрийн хагасаар олж болно.

Математикийн хувьд иймэрхүү харагдаж байна

$S=\frac(1)(2)αh$

$a$ нь хажуугийн урт, $h$ нь түүн рүү татсан өндөр юм.

Баталгаа.

$AXBH$ тэгш өнцөгтийн талбай нь $h\cdot AH$, $HBYC$ тэгш өнцөгтийн талбай нь $h\cdot HC$ байна. Дараа нь

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Тиймээс гурвалжны шаардагдах талбай нь 2-р шинж чанараар тэнцүү байна

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ 2

Хэрэв нүд нэгтэй тэнцүү талбайтай бол доорх зураг дээрх гурвалжны талбайг ол

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Хариулт: 40.5 доллар.

Хероны томъёо

Теорем 2

Хэрэв бидэнд $α$, $β$, $γ$ гурвалжны гурван талыг өгвөл түүний талбайг дараах байдлаар олж болно.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

энд $ρ$ гэдэг нь энэ гурвалжны хагас периметр гэсэн үг.

Баталгаа.

Дараах зургийг авч үзье.

Пифагорын теоремоор бид $ABH$ гурвалжингаас олж авдаг

Пифагорын теоремын дагуу $CBH$ гурвалжингаас бид байна

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Эдгээр хоёр харилцаанаас бид тэгш байдлыг олж авдаг

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ тул $α+β+γ=2ρ$ гэсэн үг.

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Теорем 1-ээр бид олж авна

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Эсрэг оройноос) ба үүссэн бүтээгдэхүүнийг хоёр хуваана. Маягтын хувьд энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

S = ½ * a * h,

Хаана:
S - гурвалжны талбай,
a нь түүний хажуугийн урт,
h нь энэ тал руу буулгасан өндөр.

Хажуугийн урт ба өндрийг ижил хэмжилтийн нэгжээр харуулах ёстой. Энэ тохиолдолд гурвалжны талбайг харгалзах "" нэгжээр авна.

Жишээ.
20 см урттай скален гурвалжны нэг талд эсрэг талын оройноос 10 см урттай перпендикуляр доошлоно.
Гурвалжны талбай шаардлагатай.
Шийдэл.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (см²).

Хэрэв масштабтай гурвалжны аль ч хоёр талын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь мэдэгдэж байвал дараах томъёог ашиглана уу.

S = ½ * a * b * sinγ,

Үүнд: a, b нь дурын хоёр талын урт, γ нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг юм.

Практикт, жишээлбэл, газрын талбайг хэмжихдээ дээрх томъёог ашиглах нь заримдаа хэцүү байдаг, учир нь энэ нь нэмэлт барилгын ажил, өнцгийг хэмжих шаардлагатай байдаг.

Хэрэв та гурвалжны гурван талын уртыг мэддэг бол Хэроны томъёог ашиглана уу.

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c - гурвалжны талуудын урт;
p – хагас периметр: p = (a+b+c)/2.

Хэрэв бүх талуудын уртаас гадна гурвалжинд дүрслэгдсэн тойргийн радиус мэдэгдэж байвал дараах жижиг томьёог ашиглана уу.

Үүнд: r – бичээстэй тойргийн радиус (р – хагас периметр).

Масштабтай гурвалжны талбай ба түүний талуудын уртыг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглана уу.

Үүнд: R – хүрээлэгдсэн тойргийн радиус.

Хэрэв та гурвалжны нэг тал ба гурван өнцгийн уртыг мэддэг бол (зарчмын хувьд хоёр нь хангалттай - гурав дахь нь гурвалжны гурван өнцгийн нийлбэрийн тэгшитгэлээс тооцогдоно - 180º), дараа нь ашиглана уу. томъёо:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

энд α нь а талын эсрэг талын өнцгийн утга;
β, γ - гурвалжны үлдсэн хоёр өнцгийн утгууд.

Төрөл бүрийн элементүүд, түүний дотор талбайг олох хэрэгцээ гурвалжин, МЭӨ олон зууны үед эртний Грекийн эрдэмт одон орон судлаачдын дунд гарч ирсэн. Дөрвөлжин гурвалжинянз бүрийн томъёог ашиглан янз бүрийн аргаар тооцоолж болно. Тооцооллын арга нь аль элементээс хамаарна гурвалжинмэдэгдэж байна.

Заавар

Хэрэв нөхцөл байдлаас бид b, c хоёр тал ба тэдгээрийн үүсгэсэн өнцгийн утгыг мэдэж байгаа бол талбай гурвалжин ABC-ийг дараах томъёогоор олно.
S = (bcsin?)/2.

Хэрэв нөхцлөөс бид a, b хоёр тал ба тэдгээрийн үүсгээгүй өнцгийн утгыг мэдэж байгаа бол талбай гурвалжин ABC-ийг дараах байдлаар олно.
Өнцөг олох уу?, нүгэл үү? = bsin?/a, дараа нь хүснэгтийг ашиглан өнцгийг өөрөө тодорхойлно.
Өнцөг олох уу?, ? = 180°-?-?.
Бид талбайг өөрөө олдог S = (absin?)/2.

Хэрэв нөхцөл байдлаас бид зөвхөн гурван талын утгыг мэддэг бол гурвалжин a, b ба c, дараа нь талбай гурвалжин ABC-ийг дараах томъёогоор олно.
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , энд p – хагас периметр p = (a+b+c)/2

Хэрэв асуудлын нөхцлөөс бид өндрийг мэддэг бол гурвалжин h ба энэ өндрийг доошлуулсан тал, дараа нь талбай гурвалжинТомъёоны дагуу ABC:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Хэрэв бид талуудын утгыг мэддэг бол гурвалжин a, b, c ба энэ тухай тайлбарласан радиус гурвалжин R, дараа нь энэ талбай гурвалжин ABC-ийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.
S = abc/4R.
Хэрэв гурван тал a, b, c ба дотор нь бичээсийн радиусыг мэддэг бол талбайг тодорхойлно гурвалжин ABC-ийг дараах томъёогоор олно.
S = pr, энд p нь хагас периметр, p = (a+b+c)/2.

Хэрэв ABC тэгш талт бол талбайг дараах томъёогоор олно.
S = (a^2v3)/4.
Хэрэв ABC гурвалжин нь тэгш өнцөгт байвал талбайг дараах томъёогоор тодорхойлно.
S = (cv(4a^2-c^2))/4, энд c – гурвалжин.
Хэрэв ABC гурвалжин тэгш өнцөгт байвал талбайг дараах томъёогоор тодорхойлно.
S = ab/2, a ба b нь хөл юм гурвалжин.
Хэрэв ABC гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин бол талбайг дараах томъёогоор тодорхойлно.
S = c^2/4 = a^2/2, энд c нь гипотенуз юм гурвалжин, a=b – хөл.

Сэдвийн талаархи видео

Эх сурвалжууд:

гурвалжны талбайг хэрхэн хэмжих вэ

Зөвлөгөө 3: Хэрэв өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Зөвхөн нэг параметрийг (өнцөг) мэдэх нь талбайг олоход хангалтгүй юм tre дөрвөлжин . Хэрэв ямар нэгэн нэмэлт хэмжээс байгаа бол талбайг тодорхойлохын тулд өнцгийн утгыг мэдэгдэж буй хувьсагчийн аль нэгээр нь ашиглах томъёоны аль нэгийг сонгож болно. Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг хэд хэдэн томъёог доор өгөв.

Заавар

Хэрэв хоёр талаас үүссэн өнцөг (γ) хэмжээнээс гадна tre дөрвөлжин , эдгээр талуудын урт (A ба B) нь бас мэдэгдэж байна, тэгвэл дөрвөлжинЗургийн (S)-ийг талуудын урт ба энэ мэдэгдэж буй өнцгийн синусын үржвэрийн хагасын үржвэрээр тодорхойлж болно: S=½×A×B×sin(γ).

Заримдаа амьдралд мартагдсан сургуулийн мэдлэгийг хайж олохын тулд ой санамжаа гүнзгийрүүлэх шаардлагатай болдог. Жишээлбэл, та гурвалжин хэлбэртэй газрын талбайг тодорхойлох, эсвэл орон сууц эсвэл хувийн байшинд дахин засвар хийх цаг болсон, мөн гадаргуу дээр хэр их материал шаардагдахыг тооцоолох хэрэгтэй. гурвалжин хэлбэртэй. Та ийм асуудлыг хэдхэн минутын дотор шийдэж чаддаг байсан үе байсан, гэхдээ одоо та гурвалжингийн талбайг хэрхэн тодорхойлохоо санах гэж маш их хичээж байна уу?

Үүнд санаа зовох хэрэггүй! Эцсийн эцэст, хүний тархи удаан ашиглагдаагүй мэдлэгийг хаа нэгтээ алслагдсан булан руу шилжүүлэхээр шийдсэн нь хэвийн үзэгдэл бөгөөд заримдаа үүнийг олж авахад тийм ч хялбар байдаггүй. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд мартагдсан сургуулийн мэдлэгийг хайж олохгүйн тулд энэ нийтлэлд гурвалжингийн шаардлагатай хэсгийг олоход хялбар болгох янз бүрийн аргуудыг багтаасан болно.

Гурвалжин бол хамгийн бага боломжит талуудын тоогоор хязгаарлагддаг олон өнцөгт хэлбэр гэдгийг сайн мэддэг. Зарчмын хувьд аливаа олон өнцөгтийг оройг нь хажуу талыг нь огтолдоггүй сегментүүдээр холбосноор хэд хэдэн гурвалжинд хувааж болно. Тиймээс гурвалжинг мэддэг тул та бараг ямар ч зургийн талбайг тооцоолж болно.

Амьдралд тохиолдож болох бүх гурвалжнуудын дотроос дараахь төрлүүдийг ялгаж салгаж болно: тэгш өнцөгт.

Гурвалжны талбайг тооцоолох хамгийн хялбар арга бол түүний өнцгийн аль нэг нь зөв, өөрөөр хэлбэл тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд юм. Энэ нь хагас тэгш өнцөгт гэдгийг харахад хялбар байдаг. Тиймээс түүний талбай нь бие биентэйгээ тэгш өнцөг үүсгэдэг талуудын бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.

Хэрэв бид гурвалжны аль нэг оройгоос эсрэг тал руу буулгасан өндрийг ба суурь гэж нэрлэдэг энэ талын уртыг мэддэг бол талбайг өндөр ба суурийн үржвэрийн хагасаар тооцно. Үүнийг дараах томъёогоор бичнэ.

S = 1/2*b*h, үүнд

S - гурвалжны шаардлагатай талбай;

b, h - гурвалжны өндөр ба суурь тус тус.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолоход маш хялбар байдаг, учир нь өндөр нь эсрэг талыг хоёр хуваах бөгөөд хэмжихэд хялбар байдаг. Хэрэв талбайг тодорхойлсон бол тэгш өнцөг үүсгэгч талуудын аль нэгний уртыг өндрөөр авах нь тохиромжтой.

Энэ бүхэн мэдээж сайн, гэхдээ гурвалжны аль нэг өнцөг зөв эсэхийг хэрхэн тодорхойлох вэ? Хэрэв бидний зургийн хэмжээ бага бол бид барилгын өнцөг, зургийн гурвалжин, ил захидал эсвэл тэгш өнцөгт хэлбэртэй өөр зүйлийг ашиглаж болно.

Харин гурвалжин газартай бол яах вэ? Энэ тохиолдолд дараах байдлаар ажиллана уу: зөв өнцгийн дээд талаас нэг талаас 3-ын үржвэр (30 см, 90 см, 3 м) зайг тоолж, нөгөө талаас 4-ийн үржвэрийг ижил хэмжээгээр хэмжинэ. пропорциональ (40 см, 160 см, 4 м). Одоо та эдгээр хоёр сегментийн төгсгөлийн цэгүүдийн хоорондох зайг хэмжих хэрэгтэй. Хэрэв үр дүн нь 5-ын үржвэр (50 см, 250 см, 5 м) байвал өнцөг нь зөв гэж хэлж болно.

Хэрэв бидний зургийн гурван тал бүрийн урт нь мэдэгдэж байгаа бол гурвалжны талбайг Хероны томъёогоор тодорхойлж болно. Үүнийг илүү энгийн хэлбэртэй болгохын тулд хагас периметр гэж нэрлэгддэг шинэ утгыг ашигладаг. Энэ бол манай гурвалжны бүх талуудын нийлбэрийг хагасаар хуваасан юм. Хагас периметрийг тооцоолсны дараа та томъёог ашиглан талбайг тодорхойлж эхэлж болно.

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), хаана

sqrt - квадрат язгуур;

p - хагас периметрийн утга (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - гурвалжны ирмэг (тал).

Гэхдээ гурвалжин жигд бус хэлбэртэй байвал яах вэ? Энд хоёр боломжит арга бий. Тэдний эхнийх нь ийм дүрсийг хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин болгон хуваахыг оролдох бөгөөд тэдгээрийн талбайн нийлбэрийг тусад нь тооцож, дараа нь нэмнэ. Эсвэл хоёр талын хоорондох өнцөг болон эдгээр талуудын хэмжээ нь мэдэгдэж байгаа бол дараах томъёог хэрэглэнэ.

S = 0.5 * ab * sinC, хаана

a,b - гурвалжны талууд;

c нь эдгээр талуудын хоорондох өнцгийн хэмжээ.

Сүүлчийн тохиолдол нь практикт ховор тохиолддог боловч амьдралд бүх зүйл боломжтой байдаг тул дээрх томъёо нь илүүц байх болно. Таны тооцоололд амжилт хүсье!