Матрицын нэмэлт:
Матрицыг хасах ба нэмэхтэдгээрийн элементүүд дээр харгалзах үйлдлүүдийг багасгадаг. Матриц нэмэх үйлдэлзөвхөн зориулж оруулсан матрицуудижил хэмжээтэй, өөрөөр хэлбэл матрицууд, мөр ба баганын тоо тус тус тэнцүү байна. Матрицуудын нийлбэр A ба B гэж нэрлэдэг матриц C, тэдгээрийн элементүүд нь харгалзах элементүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна. C = A + B c ij = a ij + b ij Үүнтэй адилаар тодорхойлогддог матрицын ялгаа.
Матрицыг тоогоор үржүүлэх:
Матрицыг үржүүлэх (хуваах) үйлдэлДурын хэмжээтэй дурын тоо нь элемент бүрийг үржүүлэх (хуваах) хүртэл буурдаг матрицуудэнэ дугаарын хувьд. Матрицын бүтээгдэхүүнМөн k тоог дууддаг матрицБ, тийм
b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Матриц- A = (-1) × A-г эсрэгээр нь гэж нэрлэдэг матрицА.
Матриц нэмэх, матрицыг тоогоор үржүүлэх шинж чанарууд:
Матриц нэмэх үйлдлүүдТэгээд матрицын үржүүлэхтоо нь дараах шинж чанартай байна: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , энд A, B, C нь матрицууд, α ба β нь тоонууд юм.
Матрицын үржүүлэх (Матрицын үржвэр):
Хоёр матрицыг үржүүлэх үйлдэлзөвхөн эхний баганын тоо гарсан тохиолдолд л оруулна матрицуудхоёр дахь мөрийн тоотой тэнцүү байна матрицууд. Матрицын бүтээгдэхүүнМөн m×n дээр матриц n×p-д гэж нэрлэдэг матриц ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk байхаар m×p-тэй, өөрөөр хэлбэл i-р эгнээний элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр олддог. матрицуудМөн j-р баганын харгалзах элементүүдэд матрицууд B. Хэрэв матрицууд A ба B нь ижил хэмжээтэй квадратууд бөгөөд AB ба BA бүтээгдэхүүнүүд үргэлж байдаг. A × E = E × A = A гэдгийг харуулахад хялбар бөгөөд энд А квадрат байна матриц, E - нэгж матрицижил хэмжээтэй.
Матрицыг үржүүлэх шинж чанарууд:
Матрицын үржүүлэхсолигддоггүй, i.e. Хоёр бүтээгдэхүүн тодорхойлогдсон ч AB ≠ BA. Гэсэн хэдий ч хэрэв байгаа бол матрицууд AB=BA хамаарал хангагдсан бол ийм байна матрицуудкоммутатив гэж нэрлэдэг. Хамгийн энгийн жишээ бол ганц бие матриц, аль аль нь бусадтай хамт зорчих матрицижил хэмжээтэй. Зөвхөн дөрвөлжин нь солигдох боломжтой матрицуудижил дарааллаар. A × E = E × A = A
Матрицын үржүүлэхдараах шинж чанаруудтай: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;
2. 2 ба 3-р эрэмбийн тодорхойлогч. Тодорхойлогчдын шинж чанарууд.
Матрицын тодорхойлогчхоёр дахь захиалга, эсвэл тодорхойлогчХоёрдахь дараалал нь дараах томъёогоор тооцоолсон тоо юм.
Матрицын тодорхойлогчгурав дахь дараалал, эсвэл тодорхойлогчГурав дахь дараалал нь дараах томъёогоор тооцоолсон тоо юм.
Энэ тоо нь зургаан гишүүнээс бүрдэх алгебрийн нийлбэрийг илэрхийлнэ. Нэр томьёо бүр нь мөр, багана бүрээс яг нэг элемент агуулдаг матрицууд. Нэр томьёо бүр нь гурван хүчин зүйлийн үржвэрээс бүрдэнэ.
Ямар гишүүдтэй гарын үсэг зурна матрицын тодорхойлогчтомъёонд багтсан матрицын тодорхойлогчийг олохГурав дахь дарааллыг гурвалжны дүрэм эсвэл Саррусын дүрэм гэж нэрлэдэг өгөгдсөн схемийг ашиглан тодорхойлж болно. Эхний гурван гишүүнийг нэмэх тэмдгээр авч зүүн талын зургаас, дараагийн гурван гишүүнийг хасах тэмдгээр авч баруун зургаас тодорхойлно.
Хайх нэр томъёоны тоог тодорхойл матрицын тодорхойлогч, алгебрийн нийлбэрээр та хүчин зүйлийг тооцоолж болно: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6
Матриц тодорхойлогчдын шинж чанарууд
Матриц тодорхойлогчийн шинж чанарууд:
Үл хөдлөх хөрөнгө №1:
Матрицын тодорхойлогчмөрүүдийг баганаар, мөр бүрийг ижил дугаартай баганаар сольж, эсрэгээр нь солигдвол өөрчлөгдөхгүй. |А| = |A| Т
Үр дагавар:
Багана ба мөр матрицын тодорхойлогчтэнцүү тул мөрүүдэд хамаарах шинж чанарууд нь баганад мөн хамаарна.
Үл хөдлөх хөрөнгө №2:
2 мөр эсвэл баганыг дахин зохион байгуулах үед матриц тодорхойлогчүнэмлэхүй утгыг хадгалж, тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх болно, өөрөөр хэлбэл:
Үл хөдлөх хөрөнгө №3:
Матрицын тодорхойлогчхоёр ижил мөртэй байх нь тэгтэй тэнцүү байна.
Үл хөдлөх хөрөнгө №4:
Аливаа цувралын элементүүдийн нийтлэг хүчин зүйл матрицын тодорхойлогчтэмдэг болгон авч болно тодорхойлогч.
3 ба 4-р үл хөдлөх хөрөнгийн дүгнэлт:
Хэрэв тодорхой цувралын бүх элементүүд (мөр эсвэл багана) зэрэгцээ цувралын харгалзах элементүүдтэй пропорциональ байвал ийм байна. матриц тодорхойлогчтэгтэй тэнцүү.
Үл хөдлөх хөрөнгө №5:
матрицын тодорхойлогчтэгтэй тэнцүү байна матриц тодорхойлогчтэгтэй тэнцүү.
Үл хөдлөх хөрөнгө №6:
Хэрэв мөр эсвэл баганын бүх элементүүд тодорхойлогч 2 нөхцлийн нийлбэр байдлаар танилцуулсан бол тодорхойлогч матрицууд 2-ын нийлбэрээр илэрхийлж болно тодорхойлогч хүчин зүйлүүдтомъёоны дагуу:
Өмч №7:
Хэрэв аль нэг мөр (эсвэл багана) руу тодорхойлогчөөр мөр (эсвэл баганын) харгалзах элементүүдийг нэмж, ижил тоогоор үржүүлж, дараа нь матриц тодорхойлогчүнэ цэнийг нь өөрчлөхгүй.
Тооцоолохдоо шинж чанарыг ашиглах жишээ матрицын тодорхойлогч:
Энэхүү гарын авлага нь танд хэрхэн гүйцэтгэх талаар сурахад тусална матрицтай үйлдлүүд: матрицыг нэмэх (хасах), матрицыг шилжүүлэх, матрицыг үржүүлэх, урвуу матрицыг олох. Бүх материалыг энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлбэрээр танилцуулж, холбогдох жишээг өгсөн тул бэлтгэлгүй хүн ч матрицаар хэрхэн үйлдэл хийхийг сурч чадна.
Өөрийгөө хянах, өөрийгөө шалгах зорилгоор матрицын тооцоолуурыг үнэгүй татаж авах боломжтой >>>. Би онолын тооцоог багасгахыг хичээх болно, зарим газар "хуруунд" тайлбар хийх, шинжлэх ухааны бус нэр томъёо ашиглах боломжтой. Хатуу онолд дурлагсад, шүүмжлэлд бүү оролц, бидний үүрэг бол.
матрицтай үйлдэл хийж сурах Сэдвийн талаар СУПЕР ХУРДАН бэлтгэхийн тулд ("гал асаж байгаа" хүн) эрчимжүүлсэн pdf курс байдаг
Матриц, тодорхойлогч ба тест! Матриц бол заримынх нь тэгш өнцөгт хүснэгт юмэлементүүд Матриц бол заримынх нь тэгш өнцөгт хүснэгт юм. гэх мэт бид тоонууд, өөрөөр хэлбэл тоон матрицуудыг авч үзэх болно.ЭЛЕМЕНТ
нэр томъёо юм. Энэ нэр томъёог санаж байхыг зөвлөж байна, энэ нь байнга гарч ирдэг, би үүнийг тодруулахын тулд тод фонт ашигласан нь тохиолдлын хэрэг биш юм.Зориулалт:
матрицыг ихэвчлэн том латин үсгээр тэмдэглэдэгЖишээ:
Хоёроос гурав матрицыг авч үзье: Матриц бол заримынх нь тэгш өнцөгт хүснэгт юм:
Энэ матриц нь зургаагаас бүрдэнэ 
Матриц доторх бүх тоонууд (элементүүд) дангаараа байдаг, өөрөөр хэлбэл хасах ямар ч асуудал байхгүй.
Энэ бол зүгээр л тооны хүснэгт (багц) юм! Бид ч бас зөвшөөрнөдахин бүү зохион байгуул
тайлбарт өөрөөр заагаагүй бол тоо. Дугаар бүр өөрийн гэсэн байршилтай бөгөөд холих боломжгүй! 
Энэ матриц нь хоёр эгнээтэй байна: 
ба гурван багана:СТАНДАРТ : матрицын хэмжээсийн тухай ярихдааэхэндээ
мөрийн тоог, зөвхөн дараа нь баганын тоог зааж өгнө. Бид дөнгөж сая хоёроос гурав матрицыг задлав. Хэрэв матрицын мөр, баганын тоо ижил байвал матриц гэж нэрлэдэг.дөрвөлжин 
, Жишээ нь:
– гурваас гурван матриц. Хэрэв матриц нь нэг багана эсвэл нэг мөртэй бол ийм матрицыг бас нэрлэдэг.
векторууд
Үнэн хэрэгтээ бид матрицын тухай ойлголтыг сургуулиас хойш мэддэг байсан, жишээлбэл, "x" ба "y" координаттай цэгийг авч үзье: . Үндсэндээ цэгийн координатыг нэг нэгээр нь хоёр матрицад бичдэг. Дашрамд хэлэхэд, тоонуудын дараалал яагаад чухал болохыг жишээ болгон харуулав: ба энэ нь хавтгай дээрх огт өөр хоёр цэг юм. Одоо хичээлээ үргэлжлүүлье:
матрицтай үйлдлүүд.
1) Нэгдүгээр үйлдэл. Матрицаас хасахыг арилгах (матрицад хасахыг оруулах) 
. Энэ матрицад хэт олон сөрөг тоо байгааг та анзаарсан байх. Энэ нь матрицаар янз бүрийн үйлдэл хийх үүднээс маш тохиромжгүй, маш олон хасах зүйл бичихэд тохиромжгүй, дизайны хувьд зүгээр л муухай харагдаж байна.
Матрицын элемент БҮР-ийн тэмдгийг өөрчилснөөр хасахыг матрицаас гадагш гаргая:
Тэг үед, таны ойлгож байгаагаар, тэг нь Африкт тэг болно.
Урвуу жишээ: 
. Муухай харагдаж байна.
Матрицын элемент БҮР-ийн тэмдгийг өөрчилснөөр матрицад хасахыг оруулъя:
За, энэ нь илүү сайхан болсон. Хамгийн гол нь матрицын тусламжтайгаар аливаа үйлдлийг хийхэд ИЛҮҮ АМАРХАН байх болно. Учир нь ийм математикийн ардын тэмдэг байдаг: Илүү их хасах тусам төөрөгдөл, алдаа их байх болно.
2) Хоёрдугаар үйлдэл. Матрицыг тоогоор үржүүлэх.
матрицыг ихэвчлэн том латин үсгээр тэмдэглэдэг
Энэ нь энгийн бөгөөд матрицыг тоогоор үржүүлэхийн тулд танд хэрэгтэй бүрматрицын элементийг өгөгдсөн тоогоор үржүүлсэн. Энэ тохиолдолд - гурав.
Өөр нэг хэрэгтэй жишээ:
– матрицыг бутархайгаар үржүүлэх
Эхлээд юу хийхээ харцгаая ШААРДЛАГАГҮЙ:
Матрицад бутархай оруулах шаардлага байхгүй, нэгдүгээрт, энэ нь зөвхөн матрицтай хийх цаашдын үйлдлүүдийг хүндрүүлдэг, хоёрдугаарт, энэ нь багшийн шийдлийг шалгахад хэцүү болгодог (ялангуяа бол; 
– даалгаврын эцсийн хариулт).
Мөн үүнээс гадна, ШААРДЛАГАГҮЙматрицын элемент бүрийг хасах долоогоор хуваана:
Нийтлэлээс Дэмжигчдэд зориулсан математик эсвэл хаанаас эхлэх вэ, дээд математикт тэд таслал бүхий аравтын бутархайг аль болох зайлсхийхийг хичээдэг гэдгийг бид санаж байна.
Ганц зүйл бол болж өгвөлЭнэ жишээн дээр юу хийх вэ гэвэл матрицад хасах нэмэх:
Гэхдээ хэрвээ БҮГДматрицын элементүүдийг 7-д хуваасан ул мөргүй, тэгвэл хуваах боломжтой (мөн шаардлагатай!) болно.
матрицыг ихэвчлэн том латин үсгээр тэмдэглэдэг
Энэ тохиолдолд та чадна ХЭРЭГТЭЙБүх матрицын тоо 2-т хуваагддаг тул бүх матрицын элементүүдийг үржүүлнэ ул мөргүй.
Жич: Дээд сургуулийн математикийн онолд "хуваах" гэсэн ойлголт байдаггүй. "Үүнийг үүн дээр хуваасан" гэж хэлэхийн оронд та үргэлж "энэ нь бутархайгаар үржсэн" гэж хэлж болно. Өөрөөр хэлбэл хуваах нь үржүүлэх онцгой тохиолдол юм.
3) Гуравдугаар үйлдэл. Матрицын шилжүүлэг.
Матрицыг шилжүүлэхийн тулд түүний мөрүүдийг шилжүүлсэн матрицын баганууд руу бичих хэрэгтэй.
матрицыг ихэвчлэн том латин үсгээр тэмдэглэдэг
Матрицыг шилжүүлэх
Энд зөвхөн нэг мөр байгаа бөгөөд дүрмийн дагуу үүнийг баганад бичих шаардлагатай.
– шилжүүлсэн матриц.
Шилжүүлсэн матрицыг ихэвчлэн баруун дээд талд байрлах дээд тэмдэгт эсвэл үндсэн тоогоор заадаг.
Алхам алхмаар жишээ:
Матрицыг шилжүүлэх 
Эхлээд бид эхний мөрийг эхний баганад дахин бичнэ:
Дараа нь бид хоёр дахь мөрийг хоёр дахь баганад дахин бичнэ. 
Эцэст нь бид гурав дахь мөрийг гурав дахь баганад дахин бичнэ.
Бэлэн. Бүдүүлэгээр хэлбэл, шилжүүлэн суулгах гэдэг нь матрицыг хажуу тийш нь эргүүлэх гэсэн үг юм.
4) Дөрөвдүгээр үйлдэл. Матрицуудын нийлбэр (ялгаа)..
Матрицуудын нийлбэр нь энгийн үйлдэл юм.
БҮХ матрицыг нугалах боломжгүй. Матрицуудыг нэмэх (хасах) үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд тэдгээр нь Ижил Хэмжээтэй байх шаардлагатай.
Жишээлбэл, хэрэв хоёр-хоёр матриц өгөгдсөн бол түүнийг зөвхөн хоёр-хоёр матрицаар нэмж болно, өөр ямар ч биш! 
матрицыг ихэвчлэн том латин үсгээр тэмдэглэдэг
Матриц нэмэх 
Тэгээд 
Матриц нэмэхийн тулд тэдгээрийн харгалзах элементүүдийг нэмэх шаардлагатай:
Матрицын ялгааны хувьд дүрэм ижил байна, харгалзах элементүүдийн ялгааг олох шаардлагатай.
матрицыг ихэвчлэн том латин үсгээр тэмдэглэдэг
Матрицын ялгааг ол 
, 
Төөрөгдөлд орохгүйн тулд энэ жишээг хэрхэн хялбархан шийдэх вэ? Үүнийг хийхийн тулд шаардлагагүй хасах зүйлсээс салахыг зөвлөж байна, матрицад хасах:
Жич: Дээд сургуулийн математикийн онолд "хасах" гэсэн ойлголт байдаггүй. "Үүнээс хас" гэж хэлэхийн оронд "үүн дээр сөрөг тоог нэм" гэж үргэлж хэлж болно. Өөрөөр хэлбэл хасах нь нэмэхийн онцгой тохиолдол юм.
5) Тавдугаар үйлдэл. Матрицын үржүүлэх.
Ямар матрицыг үржүүлж болох вэ?
Матрицыг матрицаар үржүүлэхийн тулд зайлшгүй шаардлагатай Ингэснээр матрицын баганын тоо нь матрицын мөрийн тоотой тэнцүү байна.
матрицыг ихэвчлэн том латин үсгээр тэмдэглэдэг
Матрицыг матрицаар үржүүлэх боломжтой юу?
Энэ нь матрицын өгөгдлийг үржүүлэх боломжтой гэсэн үг юм.
Гэхдээ хэрэв матрицуудыг дахин зохион байгуулвал энэ тохиолдолд үржүүлэх боломжгүй болно!
Тиймээс үржүүлэх боломжгүй:
Оюутнаас матрицыг үржүүлэхийг хүсэхэд, үржүүлэх нь мэдээжийн хэрэг боломжгүй тул заль мэхтэй даалгавартай тулгарах нь тийм ч ховор биш юм.
Зарим тохиолдолд матрицыг хоёр аргаар үржүүлэх боломжтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Жишээлбэл, матрицын хувьд үржүүлэх, үржүүлэх аль аль нь боломжтой
1-р курс, дээд математик, сурдаг матрицуудболон тэдгээрийн үндсэн үйлдлүүд. Энд бид матрицаар хийж болох үндсэн үйлдлүүдийг системчилсэн. Матрицтай танилцаж хаанаас эхлэх вэ? Мэдээжийн хэрэг, хамгийн энгийн зүйлээс - тодорхойлолт, үндсэн ойлголт, энгийн үйлдлүүд. Матрицыг тэдэнд бага ч болов цаг зарцуулдаг хүн бүр ойлгох болно гэдгийг бид танд баталж байна!
Матрицын тодорхойлолт
Матрицэлементүүдийн тэгш өнцөгт хүснэгт юм. Энгийнээр хэлбэл, тоон хүснэгт.
Ихэвчлэн матрицыг латин том үсгээр тэмдэглэдэг. Жишээлбэл, матриц А , матриц Б гэх мэт. Матрицууд өөр өөр хэмжээтэй байж болно: тэгш өнцөгт, дөрвөлжин, мөн вектор гэж нэрлэгддэг мөр, баганын матрицууд байдаг. Матрицын хэмжээг мөр, баганын тоогоор тодорхойлно. Жишээлбэл, хэмжээтэй тэгш өнцөгт матриц бичье м дээр n , Хаана м – мөрийн тоо, ба n - баганын тоо.
Үүнд зориулагдсан зүйлс i=j (a11, a22, .. ) матрицын гол диагональ үүсгэдэг ба диагональ гэж нэрлэдэг.
Та матрицаар юу хийж чадах вэ? Нэмэх/хасах, тоогоор үржүүлнэ, өөр хоорондоо үрждэг, шилжүүлэн суулгах. Одоо матрицууд дээрх эдгээр бүх үндсэн үйлдлүүдийг дарааллаар нь авч үзье.
Матриц нэмэх, хасах үйлдлүүд
Та зөвхөн ижил хэмжээтэй матрицыг нэмж болно гэдгийг нэн даруй анхааруулъя. Үр дүн нь ижил хэмжээтэй матриц байх болно. Матриц нэмэх (эсвэл хасах) нь энгийн зүйл юм. Та зүгээр л тэдгээрийн холбогдох элементүүдийг нэмэх хэрэгтэй . Нэг жишээ хэлье. А, В хоёр матрицыг хоёроор хоёроор нэмэх ажлыг гүйцэтгье.
Хасах үйлдлийг аналогийн дагуу, зөвхөн эсрэг тэмдгээр гүйцэтгэдэг.
Аливаа матрицыг дурын тоогоор үржүүлж болно. Үүнийг хийхийн тулд та түүний элемент бүрийг энэ тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, эхний жишээний А матрицыг 5 тоогоор үржүүлье.
Матрицыг үржүүлэх үйлдэл
Бүх матрицуудыг хамтад нь үржүүлж болохгүй. Жишээлбэл, бид хоёр матрицтай - A ба B. А матрицын баганын тоо нь В матрицын мөрүүдийн тоотой тэнцүү байвал тэдгээрийг өөр хоорондоо үржүүлж болно. Энэ тохиолдолд i-р мөр ба j-р баганад байрлах үр дүнгийн матрицын элемент бүр нь эхний хүчин зүйлийн i-р эгнээ ба j-р баганын харгалзах элементүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. хоёр дахь. Энэ алгоритмыг ойлгохын тулд хоёр квадрат матрицыг хэрхэн үржүүлж байгааг бичье.
Мөн бодит тоонуудын жишээ. Матрицуудыг үржүүлье:
Матрицын шилжүүлгийн үйлдэл
Матрицын шилжүүлэг нь харгалзах мөр, баганыг солих үйлдэл юм. Жишээлбэл, эхний жишээнээс А матрицыг шилжүүлье.
Матрицын тодорхойлогч
Тодорхойлогч буюу тодорхойлогч нь шугаман алгебрийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Хэзээ нэгэн цагт хүмүүс шугаман тэгшитгэлийг гаргаж ирсэн бөгөөд түүний дараа тодорхойлогчийг гаргаж ирэх ёстой байв. Эцсийн эцэст энэ бүхнийг шийдэх нь танаас шалтгаална, тиймээс сүүлчийн түлхэлт!
Тодорхойлогч нь квадрат матрицын тоон шинж чанар бөгөөд олон асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай байдаг.
Хамгийн энгийн квадрат матрицын тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд үндсэн ба хоёрдогч диагональуудын элементүүдийн үржвэрийн зөрүүг тооцоолох хэрэгтэй.
Нэгдүгээр эрэмбийн матрицын тодорхойлогч, өөрөөр хэлбэл нэг элементээс бүрдэх нь энэ элементтэй тэнцүү байна.
Хэрэв матриц гурваас гурав бол яах вэ? Энэ нь илүү хэцүү, гэхдээ та үүнийг зохицуулж чадна.
Ийм матрицын хувьд тодорхойлогчийн утга нь үндсэн диагональтай параллель нүүртэй гурвалжин дээр байрлах элементүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд үүнээс гол диагональтай параллель нүүртэй гурвалжингууд дээр байрладаг элементүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. хоёрдогч диагональын элементүүд ба зэрэгцээ хоёрдогч диагональ нүүртэй гурвалжин дээр байрлах элементүүдийн үржвэрийг хасна.
Аз болоход практикт том хэмжээтэй матрицын тодорхойлогчдыг тооцоолох шаардлагагүй байдаг.
Энд бид матриц дээрх үндсэн үйлдлүүдийг авч үзсэн. Мэдээжийн хэрэг, бодит амьдрал дээр та матрицын тэгшитгэлийн системийн сэдвүүдтэй хэзээ ч таарахгүй, эсвэл эсрэгээр, та үнэхээр тархиа гашилгах шаардлагатай болсон илүү төвөгтэй тохиолдлуудтай тулгарч магадгүй юм. Ийм тохиолдолд мэргэжлийн оюутны үйлчилгээ байдаг. Тусламж хүсч, өндөр чанартай, нарийвчилсан шийдлийг олж, сурлагын амжилт, чөлөөт цагаа өнгөрүүлээрэй.
