Тодорхойлолт.

Энэ бол зургаан өнцөгт бөгөөд суурь нь хоёр тэнцүү квадрат, хажуугийн нүүр нь тэнцүү тэгш өнцөгт юм.

Хажуугийн хавирга- хоёр зэргэлдээх хажуугийн нүүрний нийтлэг тал юм

Призмийн өндөр- энэ бол призмийн суурийн перпендикуляр сегмент юм

Призм диагональ- нэг нүүрэнд хамаарахгүй суурийн хоёр оройг холбосон сегмент

Диагональ хавтгай- призмийн диагональ ба түүний хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгай

Диагональ хэсэг- призм ба диагональ хавтгайн огтлолцлын хил хязгаар. Ердийн дөрвөлжин призмийн диагональ хөндлөн огтлол нь тэгш өнцөгт юм

Перпендикуляр огтлол (orthogonal хэсэг)- энэ бол призм ба түүний хажуугийн ирмэгүүдэд перпендикуляр татсан хавтгайн огтлолцол юм.

Энгийн дөрвөлжин призмийн элементүүд

Зураг дээр хоёр ердийн дөрвөлжин призмийг харуулсан бөгөөд тэдгээрийг харгалзах үсгээр тэмдэглэсэн болно.

• ABCD ба A 1 B 1 C 1 D 1 суурь нь хоорондоо тэнцүү ба параллель байна
• Хажуугийн нүүрнүүд AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ба CC 1 D 1 D, тус бүр нь тэгш өнцөгт юм
• Хажуугийн гадаргуу - призмийн бүх хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэр
• Нийт гадаргуу - бүх суурь ба хажуугийн гадаргуугийн нийлбэр (хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайн нийлбэр)
• Хажуугийн хавирга AA 1, BB 1, CC 1 ба DD 1.
• Диагональ B 1 D
• Үндсэн диагональ BD
• Диагональ хэсэг BB 1 D 1 D
• Перпендикуляр огтлол A 2 B 2 C 2 D 2.

Энгийн дөрвөлжин призмийн шинж чанарууд

• Суурь нь хоёр тэнцүү квадрат юм
• Суурь нь хоорондоо параллель байна
• Хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна
• Хажуугийн ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү байна
• Хажуугийн нүүр нь суурьтай перпендикуляр байна
• Хажуугийн хавирга нь хоорондоо параллель, тэнцүү байна
• Хажуугийн бүх хавиргатай перпендикуляр, суурьтай параллель перпендикуляр хэсэг
• Перпендикуляр огтлолын өнцөг - шулуун
• Ердийн дөрвөлжин призмийн диагональ хөндлөн огтлол нь тэгш өнцөгт юм
• Суурьтай параллель перпендикуляр (ортогональ хэсэг).

Энгийн дөрвөлжин призмийн томъёо

Асуудлыг шийдвэрлэх заавар

Зөв призм- суурь нь ердийн олон өнцөгт байрладаг, хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байдаг призм. Өөрөөр хэлбэл ердийн дөрвөлжин призм нь түүний сууринд байдаг дөрвөлжин. (дээрх ердийн дөрвөлжин призмийн шинж чанарыг харна уу) Анхаарна уу. Энэ бол геометрийн асуудлууд (хэсэг стереометр - призм) бүхий хичээлийн нэг хэсэг юм. Энд шийдвэрлэхэд хэцүү асуудлууд байна. Хэрэв та энд байхгүй геометрийн асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол энэ талаар форум дээр бичээрэй. Бодлого шийдвэрлэхдээ квадрат язгуурыг гаргаж авах үйлдлийг тэмдэглэхийн тулд тэмдэглэгээг ашиглана√ .

Даалгавар.

Энгийн призмийн диагональ нь суурийн диагональ ба призмийн өндөртэй тэгш өнцөгт гурвалжинг үүсгэдэг. Үүний дагуу Пифагорын теоремын дагуу өгөгдсөн ердийн дөрвөлжин призмийн диагональ нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна.
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Хариулах: 22 см

Даалгавар

Шийдэл.
Энгийн дөрвөлжин призмийн суурь нь дөрвөлжин тул суурийн талыг (а гэж тэмдэглэсэн) Пифагорын теоремыг ашиглан олно.

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Хажуугийн нүүрний өндөр (h гэж тэмдэглэсэн) нь дараахтай тэнцүү байна.

H 2 + 12.5 = 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 = 3.5
h = √3.5

Гадаргуугийн нийт талбай нь хажуугийн гадаргуугийн нийлбэр ба суурийн талбайгаас хоёр дахин их хэмжээтэй тэнцүү байна

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51.46 см 2.

Хариулт: 25 + 10√7 ≈ 51.46 см 2.

Эдгээр нь өдөр тутмын амьдрал, байгальд байдаг ижил төстэй дүрсүүдийн дунд хамгийн түгээмэл гурван хэмжээст дүрсүүд юм. Стереометр буюу орон зайн геометр нь тэдгээрийн шинж чанарыг судалдаг. Энэ нийтлэлд бид ердийн гурвалжин призм, түүнчлэн дөрвөлжин ба зургаан өнцөгтийн хажуугийн гадаргууг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултыг авч үзэх болно.

Призм гэж юу вэ?

Ердийн гурвалжин призм болон бусад хэлбэрийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолохын өмнө тэдгээр нь юу болохыг ойлгох хэрэгтэй. Дараа нь бид сонирхлын хэмжээг тодорхойлж сурах болно.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл призм нь дурын хоёр ижил олон өнцөгт ба n параллелограммаар хүрээлэгдсэн эзэлхүүнтэй биет бөгөөд энд n нь нэг олон өнцөгтийн талуудын тоо юм. Ийм дүрс зурах нь амархан, та ямар нэгэн олон өнцөгт зурах хэрэгтэй. Дараа нь түүний орой бүрээс уртаараа тэнцүү, бусадтай параллель байх сегментийг зур. Дараа нь та эдгээр шугамын төгсгөлийг хооронд нь холбох хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр та анхныхтай тэнцүү өөр олон өнцөгт авах болно.

Дээрх зураг нь хоёр таван өнцөгт (тэдгээрийг зургийн доод ба дээд суурь гэж нэрлэдэг) болон зураг дээрх тэгш өнцөгтүүдтэй тохирох таван параллелограммаар хязгаарлагдаж байгааг харж болно.

Бүх призмүүд нь бие биенээсээ хоёр үндсэн параметрээр ялгаатай байдаг.

• зургийн доор байрлах олон өнцөгтийн төрөл;
• параллелограмм ба суурийн хоорондох өнцөг.

Тэгш өнцөгтийн талуудын тоо нь призмийн нэрийг өгдөг. Эндээс бид дээр дурдсан гурвалжин, зургаан өнцөгт, дөрвөн өнцөгт дүрсүүдийг олж авдаг.

Тэд мөн налуугийн хэмжээгээр ялгаатай байдаг. Тэмдэглэгдсэн өнцгүүдийн хувьд хэрэв тэдгээр нь 90 o-тэй тэнцүү бол ийм призмийг шулуун эсвэл тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг (налуугийн өнцөг нь тэг). Хэрэв зарим өнцөг нь зөв биш бол зургийг ташуу гэж нэрлэдэг. Тэдний хоорондох ялгаа нь эхлээд харахад тодорхой харагдаж байна. Доорх зураг нь эдгээр сортуудыг харуулж байна.

Таны харж байгаагаар h өндөр нь түүний хажуугийн ирмэгийн урттай давхцаж байна. Ташуу өнцгийн хувьд энэ параметр нь үргэлж бага байдаг.

Аль призмийг зөв гэж нэрлэдэг вэ?

Ердийн призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг (гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт) хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд хариулах ёстой тул бид энэ төрлийн эзэлхүүний дүрсийг тодорхойлох хэрэгтэй. Материалыг илүү нарийвчлан авч үзье.

Энгийн призм нь ердийн олон өнцөгт нь ижил суурийг үүсгэдэг тэгш өнцөгт дүрс юм. Энэ зураг нь тэгш талт гурвалжин, дөрвөлжин эсвэл бусад байж болно. Хажуугийн урт ба өнцөг нь бүгд ижил n-gon нь тогтмол байх болно.

Хэд хэдэн ийм призмийг доорх зурагт схемээр үзүүлэв.

Призмийн хажуугийн гадаргуу

Энэ зураг дээр дурдсанчлан n + 2 хавтгайгаас бүрдэх бөгөөд тэдгээр нь огтлолцохдоо n + 2 нүүрийг үүсгэдэг. Тэдгээрийн хоёр нь суурьт хамаардаг, үлдсэн хэсэг нь параллелограммуудаар үүсгэгддэг. Бүх гадаргуугийн талбай нь заасан нүүрний талбайн нийлбэрээс бүрдэнэ. Хэрэв бид хоёр суурийн утгыг оруулахгүй бол призмийн хажуугийн гадаргууг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултын хариултыг авна. Тиймээс та түүний утга, суурийг бие биенээсээ тусад нь тодорхойлж болно.

Хажуугийн гадаргуу нь гурван дөрвөлжин хэлбэртэй байгааг доор харуулав.

Тооцооллын процессыг цааш нь авч үзье. Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь харгалзах параллелограммын n талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна. Энд n нь зургийн суурийг бүрдүүлж буй олон өнцөгтийн талуудын тоо юм. Параллелограмм бүрийн талбайг хажуугийн уртыг өндрөөр нь үржүүлэх замаар олж болно. Энэ нь ерөнхий тохиолдолд хамаарна.

Хэрэв судалж буй призм нь шулуун байвал түүний хажуугийн S b гадаргуугийн талбайг тодорхойлох журам нь тэгш өнцөгтөөс бүрддэг тул маш хялбаршуулсан болно. Энэ тохиолдолд та дараах томъёог ашиглаж болно.

Энд h нь зургийн өндөр, P o нь суурийн периметр юм

Тогтмол призм ба түүний хажуугийн гадаргуу

Ийм зураг байгаа тохиолдолд дээрх догол мөрөнд өгөгдсөн томъёо нь маш тодорхой хэлбэртэй байна. N-gon-ийн периметр нь түүний талуудын тоо ба нэгийн уртын үржвэртэй тэнцүү тул дараах томъёог олно.

Энд a нь харгалзах n-gon-ийн хажуугийн урт юм.

Хажуугийн гадаргуугийн талбай нь дөрвөлжин ба зургаан өнцөгт хэлбэртэй

Дээрх томъёог ашиглан тэмдэглэсэн гурван төрлийн дүрсийн шаардлагатай утгыг тодорхойлно. Тооцоолол нь дараах байдлаар харагдах болно.

Гурвалжин томъёоны хувьд дараах хэлбэрийг авна.

Жишээлбэл, гурвалжны тал нь 10 см, зургийн өндөр нь 7 см, тэгвэл:

S 3 b = 3*10*7 = 210 см 2

Дөрвөн өнцөгт призмийн хувьд хүссэн илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Хэрэв бид өмнөх жишээн дээрхтэй ижил уртын утгыг авбал бид дараахь зүйлийг авна.

S 4 b = 4*10*7 = 280 см 2

Зургаан өнцөгт призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Өмнөх тохиолдлуудтай ижил тоонуудыг орлуулахад бид дараах байдалтай байна.

S 6 b = 6*10*7 = 420 см 2

Аливаа төрлийн ердийн призмийн хувьд түүний хажуугийн гадаргуу нь ижил тэгш өнцөгтүүдээс бүрддэг гэдгийг анхаарна уу. Дээрх жишээнүүдэд тус бүрийн талбай нь a*h = 70 см 2 байв.

Ташуу призмийн тооцоо

Өгөгдсөн зургийн хажуугийн гадаргуугийн хэмжээг тодорхойлох нь тэгш өнцөгттэй харьцуулахад арай илүү хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч дээрх томъёо нь ижил хэвээр байгаа бөгөөд зөвхөн суурийн периметрийн оронд перпендикуляр зүсэлтийн периметрийг, өндрийн оронд хажуугийн ирмэгийн уртыг авах шаардлагатай.

Дээрх зураг нь дөрвөлжин ташуу призмийг харуулж байна. Сүүдэрлэсэн параллелограмм нь P sr периметрийг тооцоолох шаардлагатай перпендикуляр зүсмэл юм. Зураг дээрх хажуугийн ирмэгийн уртыг C үсгээр тэмдэглэв. Дараа нь бид томъёог авна.

Хажуугийн гадаргууг бүрдүүлж буй параллелограммын өнцгийг мэдэж байвал зүсэлтийн периметрийг олж болно.

Орон зайн геометрийн хувьд призмтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхдээ эдгээр эзэлхүүний дүрсийг бүрдүүлж буй талууд эсвэл нүүрний талбайг тооцоолоход асуудал гардаг. Энэ нийтлэл нь призмийн суурийн талбай ба түүний хажуугийн гадаргууг тодорхойлох асуудалд зориулагдсан болно.

Призмийн дүрс

Нэг төрлийн призмийн суурь ба гадаргуугийн томъёог авч үзэхээсээ өмнө бид ямар дүрсийн тухай ярьж байгааг ойлгох хэрэгтэй.

Геометрийн призм гэдэг нь хоорондоо тэнцүү хоёр зэрэгцээ олон өнцөгт, хэд хэдэн дөрвөлжин эсвэл параллелограммаас бүрдэх орон зайн дүрс юм. Сүүлчийн тоо нь нэг олон өнцөгтийн оройн тоотой үргэлж тэнцүү байна. Жишээлбэл, хэрэв дүрс нь хоёр зэрэгцээ n-гоноор үүсгэгдсэн бол параллелограммын тоо n болно.

N-gons-ыг холбосон параллелограммуудыг призмийн хажуу талууд гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн нийт талбай нь зургийн хажуугийн гадаргуугийн талбай юм. n-гонуудыг өөрсдөө суурь гэж нэрлэдэг.

Дээрх зурагт цаасаар хийсэн призмийн жишээг үзүүлэв. Шар тэгш өнцөгт нь түүний дээд суурь юм. Зураг нь ижил төстэй хоёр дахь суурин дээр байрладаг. Улаан, ногоон тэгш өнцөгтүүд нь хажуугийн нүүр юм.

Ямар төрлийн призмүүд байдаг вэ?

Хэд хэдэн төрлийн призмүүд байдаг. Тэд бүгд бие биенээсээ зөвхөн хоёр үзүүлэлтээр ялгаатай:

• суурийг бүрдүүлж буй n-gon-ийн төрөл;
• n-gon болон хажуугийн нүүрний хоорондох өнцөг.

Жишээлбэл, хэрэв сууриуд нь гурвалжин бол призмийг гурвалжин гэж нэрлэнэ, хэрэв энэ нь өмнөх зурган дээрх шиг дөрвөлжин бол уг дүрсийг дөрвөлжин призм гэх мэт. Нэмж дурдахад, n-gon нь гүдгэр эсвэл хотгор байж болно, дараа нь энэ шинж чанарыг призмийн нэр дээр нэмдэг.

Хажуугийн нүүр ба суурийн хоорондох өнцөг нь шулуун, хурц эсвэл мохоо байж болно. Эхний тохиолдолд тэд тэгш өнцөгт призм, хоёр дахь нь налуу эсвэл ташуу гэж ярьдаг.

Ердийн призмийг тусгай төрлийн дүрс гэж ангилдаг. Тэд бусад призмүүдээс хамгийн өндөр тэгш хэмтэй байдаг. Энэ нь тэгш өнцөгт, суурь нь ердийн n-gon байвал л тогтмол байх болно. Доорх зурагт n-gon-ийн талуудын тоо 3-8 хооронд хэлбэлздэг ердийн призмүүдийн багцыг үзүүлэв.

Призмийн гадаргуу

Харгалзан үзэж буй дурын хэлбэрийн зургийн гадаргуу нь призмийн нүүрэнд хамаарах бүх цэгүүдийн багц гэж ойлгогддог. Призмийн гадаргуугийн хөгжлийг судлах замаар судлах нь тохиромжтой. Гурвалжин призмийн ийм хөгжлийн жишээг доор харуулав.

Эндээс харахад бүх гадаргуу нь хоёр гурвалжин, гурван тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Ерөнхий призмийн хувьд түүний гадаргуу нь хоёр n өнцөгт суурь ба n дөрвөн өнцөгтөөс бүрдэнэ.

Төрөл бүрийн призмийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох асуудлыг илүү нарийвчлан авч үзье.

Ердийн призмийн суурийн талбай

Призмтэй ажиллахад хамгийн энгийн асуудал бол ердийн дүрсийн суурийн талбайг олох асуудал байж магадгүй юм. Энэ нь бүх өнцөг ба хажуугийн урт нь ижил байх n-гоноор үүсгэгддэг тул өнцөг болон талууд нь мэдэгдэж байгаа ижил гурвалжинд үргэлж хуваагдаж болно. Гурвалжны нийт талбай нь n-gon-ийн талбай байх болно.

Призмийн (суурь) гадаргуугийн хэсгийг тодорхойлох өөр нэг арга бол сайн мэддэг томъёог ашиглах явдал юм. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

Өөрөөр хэлбэл, n-gon-ийн S n талбайг түүний хажуугийн уртын талаарх мэдлэг дээр үндэслэн өвөрмөц байдлаар тодорхойлно. Томьёог ашиглан тооцоолоход зарим хүндрэл гардаг нь котангентын тооцоолол байж болно, ялангуяа n>4 (n≤4-ийн хувьд котангентын утгууд нь хүснэгтэн өгөгдөл юм). Энэхүү тригонометрийн функцийг тодорхойлохын тулд тооцоолуур ашиглахыг зөвлөж байна.

Геометрийн асуудал тавихдаа болгоомжтой байх хэрэгтэй, учир нь та призмийн суурийн талбайг олох шаардлагатай байж магадгүй юм. Дараа нь томъёоноос олж авсан утгыг хоёроор үржүүлэх хэрэгтэй.

Гурвалжин призмийн суурийн талбай

Гурвалжин призмийн жишээг ашиглан энэ зургийн суурийн талбайг хэрхэн олохыг харцгаая.

Эхлээд энгийн призмийг авч үзье. Суурийн талбайг дээрх догол мөрөнд өгөгдсөн томъёог ашиглан тооцоолно, та n = 3-ийг орлуулах хэрэгтэй. Бид авах:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Нэг суурийн талбайг олж авахын тулд тэгш талт гурвалжны а талын уртын тодорхой утгыг илэрхийлэл болгон орлуулахад л үлддэг.

Суурь нь дурын гурвалжин болох призм байна гэж бодъё. Түүний a ба b хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох α өнцөг нь мэдэгдэж байна. Энэ зургийг доор харуулав.

Энэ тохиолдолд гурвалжин призмийн суурийн талбайг хэрхэн олох вэ? Аливаа гурвалжны талбай нь хажуугийн бүтээгдэхүүн ба энэ тал руу буулгасан өндөртэй тэнцүү гэдгийг санах нь зүйтэй. Зураг дээр h өндрийг b тал руу зурсан байна. h урт нь альфа өнцгийн синусын үржвэр ба а талын урттай тохирч байна. Дараа нь бүхэл гурвалжны талбай нь:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Энэ бол гурвалжин призмийн суурь талбай юм.

Хажуугийн гадаргуу

Бид призмийн суурийн талбайг хэрхэн олохыг авч үзсэн. Энэ зургийн хажуугийн гадаргуу нь үргэлж параллелограммуудаас бүрддэг. Шулуун призмийн хувьд параллелограммууд тэгш өнцөгт болдог тул тэдгээрийн нийт талбайг тооцоолоход хялбар байдаг.

S = ∑ i=1 n (a i *b)

Энд b нь хажуугийн ирмэгийн урт, a i нь n-гоны хажуугийн урттай давхцаж буй i-р тэгш өнцөгтийн хажуугийн урт юм. Энгийн n өнцөгт призмийн хувьд бид энгийн илэрхийлэлийг олж авна.

Хэрэв призм нь налуу байвал түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайг тодорхойлохын тулд перпендикуляр зүсэлт хийж, түүний периметр P sr-ийг тооцоолж, хажуугийн ирмэгийн уртаар үржүүлнэ.

Дээрх зураг нь налуу таван өнцөгт призмийн хувьд энэ зүсэлтийг хэрхэн хийх ёстойг харуулж байна.

Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай. Сайн байна уу! Энэ нийтлэлд бид стереометрийн бүлгийн асуудлыг шинжлэх болно. Призм ба цилиндр гэсэн биетүүдийн хослолыг авч үзье. Одоогийн байдлаар энэ нийтлэл нь стереометрийн даалгаврын төрлийг авч үзэхтэй холбоотой бүхэл бүтэн цуврал нийтлэлийг дуусгасан болно.

Хэрэв ажлын банкинд шинэ зүйл гарч ирвэл мэдээжийн хэрэг, ирээдүйд блогт нэмэлтүүд орох болно. Гэхдээ аль хэдийн байгаа зүйл нь шалгалтын нэг хэсэг болох богино хариултаар бүх асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахад хангалттай юм. Ирэх жилүүдэд хангалттай материал байх болно (математикийн хөтөлбөр нь статик).

Оруулсан даалгаврууд нь призмийн талбайг тооцоолох явдал юм. Доор бид шулуун призмийг (мөн үүний дагуу шулуун цилиндрийг) авч үзэж байгааг би тэмдэглэж байна.

Ямар ч томьёог мэдэхгүй бол бид призмийн хажуугийн гадаргуу нь түүний бүх хажуугийн гадаргуу гэдгийг ойлгодог. Шулуун призм нь тэгш өнцөгт хажуугийн нүүртэй.

Ийм призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь түүний бүх хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна (өөрөөр хэлбэл тэгш өнцөгт). Хэрэв бид цилиндрийг сийлсэн ердийн призмийн тухай ярьж байгаа бол энэ призмийн бүх нүүр нь ТЭГШ тэгш өнцөгт байх нь тодорхой байна.

Албан ёсоор ердийн призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг дараах байдлаар тусгаж болно.

27064. Суурийн радиус ба өндөр нь 1-тэй тэнцүү цилиндрийн эргэн тойронд ердийн дөрвөлжин призмийг хүрээлсэн байна. Призмийн хажуугийн гадаргууг ол.

Энэ призмийн хажуугийн гадаргуу нь тэнцүү талбайтай дөрвөн тэгш өнцөгтөөс бүрдэнэ. Нүүрний өндөр нь 1, призмийн суурийн ирмэг нь 2 (эдгээр нь цилиндрийн хоёр радиус) тул хажуугийн нүүрний талбай нь тэнцүү байна.

Хажуугийн гадаргуугийн талбай:

73023. Суурийн радиус нь √0.12, өндөр нь 3 бол цилиндрийг тойруулан хүрээлэгдсэн энгийн гурвалжин призмийн хажуугийн гадаргууг ол.

Өгөгдсөн призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь гурван хажуугийн нүүрний (тэгш өнцөгт) талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна. Хажуугийн нүүрний талбайг олохын тулд та түүний өндөр, суурийн ирмэгийн уртыг мэдэх хэрэгтэй. Өндөр нь гурван. Суурийн ирмэгийн уртыг олъё. Төсөөллийг анхаарч үзээрэй (дээд харагдах байдал):

Бидэнд √0.12 радиустай тойрог сийлсэн ердийн гурвалжин бий. AOC тэгш өнцөгт гурвалжнаас бид хувьсах гүйдлийг олж болно. Тэгээд дараа нь AD (AD=2AC). Тангенсийн тодорхойлолтоор:

Энэ нь AD = 2AC = 1.2 гэсэн үг бөгөөд ингэснээр хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:

27066. Суурийн радиус нь √75, өндөр нь 1 бол цилиндрийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн ердийн зургаан өнцөгт призмийн хажуугийн гадаргууг ол.

Шаардлагатай талбай нь бүх талын нүүрний талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна. Ердийн зургаан өнцөгт призм нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй хажуугийн нүүртэй байдаг.

Нүүрний талбайг олохын тулд та түүний өндөр, суурь ирмэгийн уртыг мэдэх хэрэгтэй. Өндөр нь мэдэгдэж байгаа, энэ нь 1-тэй тэнцүү байна.

Суурийн ирмэгийн уртыг олъё. Төсөөллийг анхаарч үзээрэй (дээд харагдах байдал):

Бидэнд √75 радиустай тойрог сийлсэн ердийн зургаан өнцөгт байна.

АВО тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Бид OB хөлийг мэддэг (энэ нь цилиндрийн радиус юм). Бид мөн AOB өнцгийг тодорхойлж болно, энэ нь 300-тай тэнцүү байна (AOC гурвалжин нь тэнцүү талт, OB нь биссектрис).

Тэгш өнцөгт гурвалжинд шүргэгчийн тодорхойлолтыг ашиглая:

AC = 2AB, учир нь OB нь медиан, өөрөөр хэлбэл энэ нь АС-ийг хагасаар хуваадаг бөгөөд энэ нь AC = 10 гэсэн үг юм.

Тиймээс хажуугийн нүүрний талбай нь 1∙10=10, хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:

76485. Суурийн радиус нь 8√3, өндөр нь 6 бол цилиндрт сийлсэн ердийн гурвалжин призмийн хажуугийн гадаргууг ол.

Гурван ижил хэмжээтэй нүүрний (тэгш өнцөгт) заасан призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай. Талбайг олохын тулд та призмийн суурийн ирмэгийн уртыг мэдэх хэрэгтэй (бид өндрийг нь мэднэ). Хэрэв бид хэтийн төлөвийг (дээд харагдах байдал) авч үзвэл тойрог дотор бичээстэй ердийн гурвалжин байна. Энэ гурвалжны талыг радиусаар дараах байдлаар илэрхийлнэ.

Энэ харилцааны дэлгэрэнгүй мэдээлэл. Тиймээс тэнцүү байх болно

Дараа нь хажуугийн нүүрний талбай: 24∙6=144. Мөн шаардлагатай талбай:

245354. Суурийн радиус нь 2. Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай 48. Цилиндрийн өндрийг олоорой.

"А авах" видео хичээл нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг 60-65 оноотой амжилттай өгөхөд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-13 дугаар бүх даалгаврыг гүйцээнэ үү. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсэг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Улсын нэгдсэн шалгалтын хурдан шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаврын онол, лавлах материал, дүн шинжилгээ. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын тодорхой тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Улсын нэгдсэн шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.