Тэгшитгэлийн системийн жишээ. Нэмэлтийг ашиглан хялбар асуудлыг шийдвэрлэх

Энэ нийтлэл дэх материал нь тэгшитгэлийн системтэй анх удаа танилцахад зориулагдсан болно. Энд бид тэгшитгэлийн системийн тодорхойлолт, түүний шийдлүүдийг танилцуулж, тэгшитгэлийн системийн хамгийн түгээмэл төрлүүдийг авч үзэх болно. Ердийнх шигээ бид тайлбарлах жишээг өгөх болно.

Хуудасны навигаци.

Тэгшитгэлийн систем гэж юу вэ?

Бид тэгшитгэлийн системийн тодорхойлолтод аажмаар хандах болно. Нэгдүгээрт, үүнийг өгөх нь тохиромжтой гэж хоёр зүйлийг зааж өгье: нэгдүгээрт, бичлэгийн төрөл, хоёрдугаарт, энэ бичлэгт оруулсан утга. Тэдгээрийг ээлжлэн авч үзээд дараа нь тэгшитгэлийн системийн тодорхойлолтод үндэслэлийг нэгтгэж үзье.

Тэдний хэд хэдэн бидний өмнө байх болтугай. Жишээлбэл, 2 x+y=−3 ба x=5 гэсэн хоёр тэгшитгэлийг авч үзье. Тэдгээрийг нөгөөгийнхөө доор бичээд зүүн талд нь буржгар хаалтаар нэгтгэе.

Багананд байрлуулсан, зүүн талд нь буржгар хаалтаар нэгтгэсэн хэд хэдэн тэгшитгэл болох ийм төрлийн бичлэгүүд нь тэгшитгэлийн системийн бүртгэл юм.

Ийм оруулгууд нь юу гэсэн үг вэ? Тэд тэгшитгэл бүрийн шийдэл болох системийн тэгшитгэлийн бүх шийдлүүдийн багцыг тодорхойлдог.

Үүнийг өөрөөр тайлбарлавал гэмгүй. Эхний тэгшитгэлийн зарим шийд нь системийн бусад бүх тэгшитгэлийн шийдэл байна гэж бодъё. Тиймээс системийн бүртгэл нь тэднийг л илэрхийлдэг.

Одоо бид тэгшитгэлийн системийн тодорхойлолтыг зохих ёсоор хүлээн авахад бэлэн байна.

Тодорхойлолт.

Тэгшитгэлийн системүүдСистемийн тэгшитгэл бүрийн шийдэл болох тэгшитгэлийн бүх шийдийн багцыг илэрхийлдэг буржгар хаалтаар зүүн талд нь нэг дор байрлах тэгшитгэлүүд болох бичлэгүүдийг дуудна.

Сурах бичигт ижил төстэй тодорхойлолтыг өгсөн боловч ерөнхий тохиолдолд биш, харин хоёр хувьсагчтай хоёр оновчтой тэгшитгэлийн хувьд энд өгөгдсөн болно.

Үндсэн төрлүүд

Хязгааргүй олон янзын тэгшитгэл байгаа нь ойлгомжтой. Мэдээжийн хэрэг, тэдгээрийг ашиглан эмхэтгэсэн тэгшитгэлийн системүүд хязгааргүй олон байдаг. Тиймээс тэгшитгэлийн системийг судлах, ажиллахад хялбар байхын тулд тэдгээрийг ижил төстэй шинж чанарын дагуу бүлэгт хувааж, дараа нь бие даасан төрлийн тэгшитгэлийн системийг авч үзэх нь зүйтэй юм.

Эхний хуваагдал нь системд багтсан тэгшитгэлийн тоогоор өөрийгөө харуулж байна. Хэрэв хоёр тэгшитгэл байгаа бол бид хоёр тэгшитгэлийн системтэй гэж хэлж болно, хэрэв гурав байвал гурван тэгшитгэлийн систем гэх мэт. Нэг тэгшитгэлийн системийн тухай ярих нь утгагүй болох нь ойлгомжтой, учир нь энэ тохиолдолд бид системтэй биш харин тэгшитгэлтэй өөрөө харьцаж байна.

Дараагийн хуваалт нь системийн тэгшитгэлийг бичихэд оролцсон хувьсагчдын тоонд тулгуурладаг. Хэрэв нэг хувьсагч байгаа бол бид нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийн системтэй (тэд бас нэг үл мэдэгдэх гэж хэлдэг), хэрэв хоёр хувьсагчтай бол хоёр хувьсагчтай (хоёр үл мэдэгдэх) тэгшитгэлийн системтэй харьцаж байна. Жишээлбэл, нь x ба y хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн систем юм.

Энэ нь бичлэгт хамаарах бүх өөр өөр хувьсагчийн тоог хэлнэ. Тэдгээрийг тэгшитгэл бүрийн бүртгэлд нэг дор оруулах шаардлагагүй, дор хаяж нэг тэгшитгэлд байх нь хангалттай. Жишээлбэл, x, y, z гэсэн гурван хувьсагчтай тэгшитгэлийн систем юм. Эхний тэгшитгэлд х хувьсагч тодорхой, y ба z нь далд (бид эдгээр хувьсагчид тэгтэй гэж таамаглаж болно), хоёр дахь тэгшитгэлд x ба z байгаа боловч y хувьсагч нь тодорхой илэрхийлэгдээгүй байна. Өөрөөр хэлбэл, эхний тэгшитгэлийг гэж үзэж болно , хоёр дахь нь – x+0·y−3·z=0 байна.

Тэгшитгэлийн системүүд ялгаатай байдаг гурав дахь цэг бол тэгшитгэлийн төрөл юм.

Сургуульд тэгшитгэлийн системийг судлах нь эхэлдэг хоёр хувьсагчтай хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем. Өөрөөр хэлбэл, ийм системүүд нь хоёр шугаман тэгшитгэлийг бүрдүүлдэг. Энд хэд хэдэн жишээ байна: Тэгээд . Тэд тэгшитгэлийн системтэй ажиллах үндсийг сурдаг.

Илүү нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдэхдээ гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системтэй тулгарч болно.

Цаашид 9-р ангид шугаман бус тэгшитгэлийг хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системд нэмдэг, ихэвчлэн хоёрдугаар зэргийн бүхэл тэгшитгэлүүд, бага зэрэг нь өндөр зэрэгтэй байдаг. Эдгээр системийг шугаман бус тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв шаардлагатай бол тэгшитгэл, үл мэдэгдэх тоог зааж өгдөг. Ийм шугаман бус тэгшитгэлийн системийн жишээг үзүүлье. Мөн .

Тэгээд дараа нь системд бас байдаг, жишээлбэл, . Тэдгээрийг ихэвчлэн тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг бөгөөд ямар тэгшитгэлийг заагаагүй. Ихэнхдээ тэгшитгэлийн системийг зүгээр л "тэгшитгэлийн систем" гэж нэрлэдэг бөгөөд шаардлагатай бол тодруулга нэмж оруулдаг гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй.

Ахлах сургуульд материалыг судлах явцад иррационал, тригонометр, логарифм, экспоненциал тэгшитгэлүүд системд нэвтэрдэг. , , .

Хэрэв бид нэгдүгээр курсын их сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийг цааш нь авч үзвэл шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн (SLAEs) системийг судлах, шийдвэрлэхэд гол анхаарал хандуулдаг, өөрөөр хэлбэл зүүн тал нь нэгдүгээр зэрэглэлийн олон гишүүнт агуулсан тэгшитгэлүүд, баруун гар тал нь тодорхой тоонуудыг агуулдаг. Гэхдээ тэнд сургуулиас ялгаатай нь тэд хоёр хувьсагчтай хоёр шугаман тэгшитгэл авахаа больсон, харин дурын тооны хувьсагчтай дурын тооны тэгшитгэлийг авахаа больсон бөгөөд энэ нь ихэвчлэн тэгшитгэлийн тоотой давхцдаггүй.

Тэгшитгэлийн системийн шийдэл юу вэ?

"Тэгшитгэлийн системийн шийдэл" гэсэн нэр томъёо нь тэгшитгэлийн системийг шууд хэлдэг. Сургуульд хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийг шийдэх тодорхойлолтыг өгдөг :

Тодорхойлолт.

Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхнь системийн тэгшитгэл бүрийг зөв болгон хувиргадаг эдгээр хувьсагчийн хос утгууд гэж нэрлэгддэг, өөрөөр хэлбэл системийн тэгшитгэл бүрийн шийдэл юм.

Жишээлбэл, x=5, y=2 хувьсагчийн хос утгууд (үүнийг (5, 2) гэж бичиж болно) нь тодорхойлолтоор тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм, учир нь системийн тэгшитгэл нь x= ​​байх үед. 5, y=2-ыг тэдгээрт орлуулж, 5+2=7 ба 5−2=3 зөв тоон тэгшитгэл болгон хувиргана. Гэхдээ x=3, y=0 хос утгууд нь энэ системийн шийдэл биш, учир нь эдгээр утгыг тэгшитгэлд орлуулах үед тэдгээрийн эхнийх нь 3+0=7 буруу тэгшитгэл болж хувирна.

Үүнтэй төстэй тодорхойлолтыг нэг хувьсагчтай систем, мөн гурав, дөрөв гэх мэт системүүдийн хувьд томъёолж болно. хувьсагч.

Тодорхойлолт.

Нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхсистемийн бүх тэгшитгэлийн үндэс болох хувьсагчийн утга байх болно, өөрөөр хэлбэл бүх тэгшитгэлийг зөв тоон тэгшитгэл болгон хувиргана.

Нэг жишээ хэлье. Хэлбэрийн нэг хувьсагч t-тэй тэгшитгэлийн системийг авч үзье . (−2) 2 =4 ба 5·(−2+2)=0 хоёулаа жинхэнэ тоон тэгшитгэл учраас −2 тоо нь түүний шийдэл юм. Энэ утгыг орлуулснаар 1 2 =4 ба 5·(1+2)=0 гэсэн хоёр буруу тэгшитгэл гарах тул t=1 нь системийн шийдэл биш юм.

Тодорхойлолт.

Гурав, дөрөв гэх мэт системийг шийдвэрлэх. хувьсагчгурав, дөрөв гэх мэт. Хувьсагчдын утгууд нь системийн бүх тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргадаг.

Тиймээс, тодорхойлолтоор x=1, y=2, z=0 хувьсагчдын утгын гурвалсан нь системийн шийдэл юм. , учир нь 2·1=2, 5·2=10 ба 1+2+0=3 нь үнэн тоон тэнцүү байна. Мөн (1, 0, 5) нь энэ системийн шийдэл биш, учир нь эдгээр хувьсагчдын утгыг системийн тэгшитгэлд орлуулах үед хоёр дахь нь 5·0=10 буруу тэгшитгэл болж хувирдаг. Гурав дахь нь бас 1+0+5=3.

Тэгшитгэлийн систем нь шийдэлгүй байж болно, хязгаарлагдмал тооны шийдтэй байж болно, жишээлбэл, нэг, хоёр, ... эсвэл хязгааргүй олон шийдтэй байж болно. Та энэ сэдвийг гүнзгийрүүлэн судлах тусам үүнийг харах болно.

Тэгшитгэлийн системийн тодорхойлолт ба тэдгээрийн шийдлүүдийг харгалзан үзвэл тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь түүний бүх тэгшитгэлийн шийдүүдийн олонлогийн огтлолцол юм гэж бид дүгнэж болно.

Эцэст нь хэлэхэд, хэд хэдэн холбогдох тодорхойлолтууд энд байна:

Тодорхойлолт.

хамтарсан бус, хэрэв шийдэл байхгүй бол систем дуудагдана хамтарсан.

Тодорхойлолт.

Тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг тодорхойгүй, хэрэв энэ нь хязгааргүй олон шийдэлтэй бол, ба тодорхой, хэрэв энэ нь хязгаарлагдмал тооны шийдэлтэй эсвэл огт байхгүй бол.

Эдгээр нэр томъёог жишээлбэл, сурах бичигт оруулсан боловч сургуульд маш ховор хэрэглэгддэг;

Лавлагаа.

1. Алгебр:сурах бичиг 7-р ангийн хувьд ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 17 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 240 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Алгебр: 9-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2009. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Мордкович A.G.Алгебр. 7-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 17 дахь хэвлэл, нэмэх. - М.: Mnemosyne, 2013. - 175 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Мордкович A.G.Алгебр. 9-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13 дахь хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2011. - 222 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Мордкович A.G.Алгебр ба математик анализын эхлэл. 11-р анги. 2 хэсэгтэй. 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан сурах бичиг (профайлын түвшин) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2008. - 287 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Алгебрба шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, P. Dudnitsyn болон бусад; Эд. A. N. Kolmogorov - 14-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2004. - 384 х.: ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. Дээд алгебрийн курс.
8. Ильин В.А., Позняк Е.Г. Аналитик геометр:Сурах бичиг: Их дээд сургуулиудад зориулсан. - 5 дахь хэвлэл. - М .: Шинжлэх ухаан. Физматлит, 1999. – 224 х. – (Дээд математик, математикийн физикийн курс). – ISBN 5-02-015234 – X (Дугаар 3)

Энэ хичээлээр бид шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзэх болно. Дээд математикийн хичээлийн хувьд шугаман тэгшитгэлийн системийг тусдаа даалгаврын хэлбэрээр, жишээлбэл, "Крамерын томъёог ашиглан системийг шийдвэрлэх" болон бусад асуудлыг шийдвэрлэх явцад хоёуланг нь шийдвэрлэх шаардлагатай. Шугаман тэгшитгэлийн системийг дээд математикийн бараг бүх салбарт авч үзэх шаардлагатай болдог.

Нэгдүгээрт, бага зэрэг онол. Энэ тохиолдолд "шугаман" гэсэн математик үг юу гэсэн үг вэ? Энэ нь системийн тэгшитгэлүүд гэсэн үг юм Бүгдхувьсагчдыг оруулсан болно нэгдүгээр зэрэгт: гэх мэт ямар ч гоёмсог зүйлгүйгээр гэх мэт, үүнд зөвхөн математикийн олимпиадад оролцогчид баяртай байдаг.

Дээд математикт хувьсагчдыг тэмдэглэхийн тулд зөвхөн бага наснаасаа мэддэг үсгийг ашигладаггүй.
Нэлээд алдартай сонголт бол индекс бүхий хувьсагч юм: .
Эсвэл латин цагаан толгойн жижиг, том эхний үсгүүд:
Грек үсгийг олох нь тийм ч ховор биш юм: - "альфа, бета, гамма" гэж олон хүн мэддэг. Мөн түүнчлэн "mu" үсэг бүхий индекс бүхий багц:

Нэг буюу өөр үсгийн хэрэглээ нь шугаман тэгшитгэлийн системтэй тулгарч буй дээд математикийн хэсгээс хамаарна. Жишээлбэл, интеграл ба дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тохиолддог шугаман тэгшитгэлийн системд тэмдэглэгээг ашигладаг.

Гэхдээ хувьсагчдыг хэрхэн тодорхойлсон ч шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх зарчим, арга, аргууд өөрчлөгддөггүй. Тиймээс, хэрэв танд ийм аймшигтай зүйл тохиолдвол айсандаа асуудлын номыг хаах гэж яарах хэрэггүй, үүний оронд та нар, оронд нь шувуу, оронд нь нүүр (багш) зурж болно. Инээдтэй мэт санагдаж байгаа ч эдгээр тэмдэглэгээ бүхий шугаман тэгшитгэлийн системийг бас шийдэж болно.

Нийтлэл нэлээд урт байх болно гэж би бодож байна, тиймээс жижиг агуулгын хүснэгт. Тиймээс, дараалсан "брифинг" нь иймэрхүү байх болно.

– Шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах аргыг ашиглан шийдвэрлэх (“сургуулийн арга”);
– Системийн тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх (хасах) аргаар системийг шийдвэрлэх;
– Крамерын томъёог ашиглан системийн шийдэл;
– Урвуу матриц ашиглан системийг шийдэх;
– Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх.

Сургуулийн математикийн хичээлээс шугаман тэгшитгэлийн системийг хүн бүр мэддэг. Үндсэндээ бид давталтаас эхэлдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах аргыг ашиглан шийдвэрлэх

Энэ аргыг "сургуулийн арга" эсвэл үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах арга гэж нэрлэж болно. Дүрслэн хэлэхэд үүнийг "дуусаагүй Гауссын арга" гэж нэрлэж болно.

Жишээ 1

Энд бидэнд хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг өгсөн. Чөлөөт нөхцөлүүд (тоо 5 ба 7) тэгшитгэлийн зүүн талд байрлана гэдгийг анхаарна уу. Ерөнхийдөө тэд хаана, зүүн эсвэл баруун талд байх нь хамаагүй, зөвхөн дээд математикийн бодлогод тэдгээр нь ихэвчлэн ийм байдлаар байршдаг. Ийм бүртгэл нь төөрөгдөл үүсгэх ёсгүй; шаардлагатай бол системийг "ердийнх шигээ" гэж бичиж болно. Нэр томьёог хэсгээс нөгөө хэсэг рүү шилжүүлэхдээ тэмдэгээ өөрчлөх шаардлагатай гэдгийг бүү мартаарай.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийднэ гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Тэгшитгэлийн системийг шийднэ гэдэг нь түүний олон шийдлийг олно гэсэн үг. Системийн шийдэл нь түүнд багтсан бүх хувьсагчийн утгуудын багц юм. Энэ нь системийн тэгшитгэл бүрийг зөв тэгшитгэл болгон хувиргадаг. Үүнээс гадна, систем байж болно хамтарсан бус (шийдэл байхгүй).Ичих хэрэггүй, энэ бол ерөнхий тодорхойлолт =) Бид c-we тэгшитгэл бүрийг хангадаг зөвхөн нэг “x” утга, нэг “y” утгатай байх болно.

Системийг шийдвэрлэх график арга байдаг бөгөөд та үүнийг ангидаа мэдэж болно. Шугамтай холбоотой хамгийн энгийн асуудлууд. Тэнд би ярьсан геометрийн мэдрэмжХоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем. Харин одоо энэ бол алгебрийн эрин үе бөгөөд тоо-тоо, үйлдэл-үйлдэл.

Шийдье: эхний тэгшитгэлээс бид дараахыг илэрхийлнэ:
Бид үүссэн илэрхийллийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна.

Бид хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог нэмж, утгыг олно:

Дараа нь бид юу бүжиглэж байснаа санаж байна:
Бид үнэ цэнийг аль хэдийн мэдэж байгаа тул зөвхөн олох л үлдлээ.

Хариулах:

Аливаа тэгшитгэлийн системийг ямар ч аргаар шийдэж дууссаны дараа шалгахыг зөвлөж байна (амаар, ноорог эсвэл тооны машин дээр). Аз болоход энэ нь амархан бөгөөд хурдан хийгддэг.

1) Олдсон хариултыг эхний тэгшитгэлд орлуулна уу:

- зөв тэгш байдал бий болсон.

2) Олсон хариултыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу.

- зөв тэгш байдал бий болсон.

Эсвэл илүү энгийнээр хэлбэл, "бүх зүйл нийлсэн"

Шийдвэрлэх арга нь цорын ганц биш бөгөөд эхний тэгшитгэлээс үүнийг илэрхийлэх боломжтой байсан.
Та эсрэгээр нь хийж болно - хоёр дахь тэгшитгэлээс ямар нэг зүйлийг илэрхийлж, эхний тэгшитгэлд орлуулж болно. Дашрамд хэлэхэд, дөрвөн аргын хамгийн сул тал нь хоёр дахь тэгшитгэлээс илэрхийлэх явдал гэдгийг анхаарна уу.

Үр дүн нь бутархай, гэхдээ яагаад? Илүү оновчтой шийдэл бий.

Гэсэн хэдий ч зарим тохиолдолд та бутархайгүйгээр хийх боломжгүй хэвээр байна. Үүнтэй холбогдуулан би илэрхийллийг ХЭРХЭН бичсэнийг та бүхний анхаарлыг татахыг хүсч байна. Ийм биш: ямар ч тохиолдолд ийм биш: .

Хэрэв та дээд математикийн хувьд бутархай тоонуудтай харьцаж байгаа бол бүх тооцоог энгийн буруу бутархайгаар хийхийг хичээ.

Яг, бас үгүй ​​эсвэл!

Таслалыг зөвхөн заримдаа ашиглаж болно, ялангуяа энэ нь зарим асуудлын эцсийн хариулт бөгөөд энэ тоогоор цаашид ямар ч үйлдэл хийх шаардлагагүй.

Олон уншигчид "Яагаад залруулгын хичээлийн талаар ийм дэлгэрэнгүй тайлбар өгөв, бүх зүйл тодорхой байна" гэж бодсон байх. Ийм зүйл байхгүй, энэ нь сургуулийн энгийн жишээ юм шиг санагдаж байна, гэхдээ маш олон МАШ чухал дүгнэлтүүд байна! Энд өөр нэг нь байна:

Та аливаа ажлыг хамгийн оновчтой байдлаар гүйцэтгэхийг хичээх хэрэгтэй. Зөвхөн цаг хугацаа, мэдрэлийг хэмнэж, алдаа гаргах магадлалыг бууруулдаг бол.

Хэрэв та дээд математикийн асуудалд хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системтэй тулгарвал та орлуулах аргыг үргэлж ашиглаж болно (энэ нь системийг өөр аргаар шийдвэрлэх шаардлагатай гэж заагаагүй бол ямар ч багш таныг тийм гэж бодохгүй). сорогч бөгөөд "сургуулийн арга" -ыг ашигласан үнэлгээг чинь бууруулах болно "
Түүнээс гадна зарим тохиолдолд илүү олон тооны хувьсагчтай орлуулах аргыг ашиглах нь зүйтэй.

Жишээ 2

Гурван үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Бутархай рационал функцийн интегралыг олох үед тодорхойгүй коэффициент гэж нэрлэгддэг аргыг ашиглах үед ижил төстэй тэгшитгэлийн систем ихэвчлэн үүсдэг. Тэр системийг би тэндээс авсан.

Интегралыг олохдоо зорилго нь хурданКрамерын томъёо, урвуу матрицын арга гэх мэтийг ашиглахын оронд коэффициентүүдийн утгыг олох. Тиймээс энэ тохиолдолд орлуулах арга тохиромжтой.

Аливаа тэгшитгэлийн системийг өгөхдөө юуны түрүүнд үүнийг ямар нэгэн байдлаар хялбарчлах боломжтой эсэхийг олж мэдэх нь зүйтэй болов уу? Системийн тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийхдээ системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг 2-т хувааж болохыг бид анзаарч, бид үүнийг хийдэг.

Лавлагаа:Математик тэмдэг нь "Үүнээс үүдэн" гэсэн утгатай бөгөөд асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашиглагддаг.

Одоо бид зарим хувьсагчийг бусдын хувьд илэрхийлэх шаардлагатай тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийцгээе. Би аль тэгшитгэлийг сонгох ёстой вэ? Энэ зорилгоор хамгийн хялбар арга бол системийн эхний тэгшитгэлийг авах явдал гэдгийг та аль хэдийн таамагласан байх.

Энд ямар ч хувьсагчийг илэрхийлэх нь хамаагүй, эсвэл .

Дараа нь бид системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийн илэрхийлэлийг орлуулна.

Бид хаалт нээж, ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна:

Гурав дахь тэгшитгэлийг 2-т хуваа.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид илэрхийлж, гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна.

Гурав дахь тэгшитгэлээс бид бараг бүх зүйл бэлэн болсон.
Хоёр дахь тэгшитгэлээс:
Эхний тэгшитгэлээс:

Шалгах: Системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд хувьсагчийн олсон утгыг орлуулна.

1)
2)
3)

Тэгшитгэлийн баруун талын харгалзах талуудыг олж авсан тул шийдэл нь зөв олддог.

Жишээ 3

4 үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах).

Системийн тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх (хасах) аргаар системийг шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ та "сургуулийн арга" биш харин системийн тэгшитгэлийг улирал бүрээр нэмэх (хасах) аргыг ашиглахыг хичээх хэрэгтэй. Яагаад? Энэ нь цаг хугацаа хэмнэж, тооцооллыг хялбаршуулдаг боловч одоо бүх зүйл илүү тодорхой болно.

Жишээ 4

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд:

Би эхний жишээн дээрхтэй ижил системийг авсан.
Тэгшитгэлийн системд дүн шинжилгээ хийхдээ хувьсагчийн коэффициентүүд нь ижил хэмжээтэй, эсрэгээрээ тэмдэгтэй (–1 ба 1) байгааг анзаарч байна. Ийм нөхцөлд тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нэмж болно:

Улаанаар дугуйлсан үйлдлүүдийг СЭТГЭЛЭЭР гүйцэтгэдэг.
Таны харж байгаагаар нэр томьёо нэмсний үр дүнд бид хувьсагчаа алдсан. Энэ бол үнэндээ юу юм аргын мөн чанар нь аль нэг хувьсагчаас салах явдал юм.

Өмнөх догол мөрөнд авч үзсэн график аргаас илүү найдвартай.

Орлуулах арга

Бид энэ аргыг 7-р ангид шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашигласан. 7-р ангид боловсруулсан алгоритм нь x ба y хоёр хувьсагчтай дурын хоёр тэгшитгэлийн системийг (заавал шугаман биш) шийдвэрлэхэд тохиромжтой (мэдээжийн хэрэг, хувьсагчдыг бусад үсгээр тэмдэглэж болно, энэ нь хамаагүй). Үнэн хэрэгтээ бид энэ алгоритмыг өмнөх догол мөрөнд хоёр оронтой тооны бодлого нь тэгшитгэлийн систем болох математик загвар гаргахад ашигласан. Бид дээрх тэгшитгэлийн системийг орлуулах аргыг ашиглан шийдсэн (§ 4-ийн жишээ 1-ийг үзнэ үү).

х, у хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед орлуулах аргыг ашиглах алгоритм.

1. Системийн нэг тэгшитгэлээс у-г х-ээр илэрхийл.
2. Ү-ийн оронд үүссэн илэрхийллийг системийн өөр тэгшитгэлд орлуулна.
3. Үүссэн тэгшитгэлийг x-ийн хувьд шийд.
4. Гурав дахь алхамд олдсон тэгшитгэлийн язгуур тус бүрийг эхний алхамд олж авсан y-ээс x гэсэн илэрхийлэлд х-ийн оронд ээлжлэн орлуулна.
5. Хариултыг гурав, дөрөв дэх алхамд олсон хос утгын (x; y) хэлбэрээр бичнэ үү.

4) X = 5 - 3 томъёонд y-ийн олсон утгуудыг нэг нэгээр нь орлуулна. Хэрэв тэгвэл
5) Өгөгдсөн тэгшитгэлийн системийн хос (2; 1) ба шийдлүүд.

Хариулт: (2; 1);

Алгебрийн нэмэх арга

Энэ аргыг орлуулалтын аргын нэгэн адил шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж байсан 7-р ангийн алгебрийн хичээлээс мэддэг болсон. Дараах жишээг ашиглан аргын мөн чанарыг эргэн санацгаая.

Жишээ 2.Тэгшитгэлийн системийг шийдэх

Системийн эхний тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг 3-аар үржүүлж, хоёр дахь тэгшитгэлийг өөрчлөхгүй орхиё.
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг эхний тэгшитгэлээс хас.

Анхны системийн хоёр тэгшитгэлийг алгебрийн аргаар нэмсний үр дүнд өгөгдсөн системийн нэг ба хоёр дахь тэгшитгэлээс хялбар тэгшитгэл гарч ирэв. Энэхүү энгийн тэгшитгэлийн тусламжтайгаар бид өгөгдсөн системийн дурын тэгшитгэлийг, жишээлбэл, хоёр дахь тэгшитгэлийг орлуулах эрхтэй. Дараа нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн системийг илүү энгийн системээр солино.

Энэ системийг орлуулах аргыг ашиглан шийдэж болно. Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид системийн эхний тэгшитгэлд y-ийн оронд энэ илэрхийлэлийг олно

Олдсон x утгуудыг томъёонд орлуулах хэвээр байна

Хэрэв x = 2 бол

Тиймээс бид системийн хоёр шийдлийг олсон:

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга

Та 8-р ангийн алгебрийн хичээлээр нэг хувьсагчтай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ шинэ хувьсагч нэвтрүүлэх аргачлалтай танилцсан. Тэгшитгэлийн системийг шийдэх энэ аргын мөн чанар нь ижил боловч техникийн үүднээс авч үзвэл бид дараах жишээн дээр авч үзэх зарим шинж чанарууд байдаг.

Жишээ 3.Тэгшитгэлийн системийг шийдэх

Шинэ хувьсагчийг оруулъя Дараа нь системийн эхний тэгшитгэлийг илүү энгийн хэлбэрээр дахин бичиж болно: Энэ тэгшитгэлийг t хувьсагчтай холбож шийдье.

Эдгээр хоёр утга нь нөхцөлийг хангаж байгаа тул t хувьсагчтай оновчтой тэгшитгэлийн үндэс болно. Гэхдээ энэ нь бид x = 2y гэдгийг хаанаас олох вэ, эсвэл гэсэн үг юм
Тиймээс бид шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх аргыг ашиглан гадаад төрхөөрөө нэлээд төвөгтэй байсан системийн эхний тэгшитгэлийг хоёр энгийн тэгшитгэл болгон "давхаргаж" чадсан.

x = 2 y; у - 2х.

Дараа нь яах вэ? Дараа нь олж авсан хоёр энгийн тэгшитгэл бүрийг бидний санахгүй байгаа x 2 - y 2 = 3 тэгшитгэлтэй системд ээлжлэн авч үзэх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, асуудал нь тэгшитгэлийн хоёр системийг шийдвэрлэхэд ирдэг.

Бид эхний систем, хоёр дахь системийн шийдлийг хайж олох хэрэгтэй бөгөөд хариултанд бүх хос утгыг оруулах хэрэгтэй. Эхний тэгшитгэлийн системийг шийдье.

Орлуулах аргыг ашиглая, ялангуяа энд бүх зүйл бэлэн болсон тул системийн хоёр дахь тэгшитгэлд x-ийн оронд 2y илэрхийлэлийг орлъё. Бид авдаг

x = 2y тул бид тус тусад нь x 1 = 2, x 2 = 2-ыг олно. Ийнхүү өгөгдсөн системийн хоёр шийд гарна: (2; 1) ба (-2; -1). Хоёр дахь тэгшитгэлийн системийг шийдье.

Орлуулах аргыг дахин ашиглая: системийн хоёр дахь тэгшитгэлд y-ийн оронд 2x илэрхийллийг орлуулна. Бид авдаг

Энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй гэсэн үг юм. Тиймээс хариултанд зөвхөн эхний системийн шийдлүүдийг оруулах шаардлагатай.

Хариулт: (2; 1); (-2;-1).

Хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх аргыг хоёр хувилбарт ашигладаг. Эхний сонголт: нэг шинэ хувьсагчийг системийн зөвхөн нэг тэгшитгэлд нэвтрүүлж ашигладаг. Жишээ 3-т яг ийм зүйл тохиолдсон. Хоёр дахь хувилбар: системийн хоёр тэгшитгэлд хоёр шинэ хувьсагчийг нэгэн зэрэг нэвтрүүлж, ашигладаг. Энэ нь жишээ 4-т байх болно.

Жишээ 4.Тэгшитгэлийн системийг шийдэх

Хоёр шинэ хувьсагчийг танилцуулъя:

Тэгвэл үүнийг анхаарч үзье

Энэ нь танд өгөгдсөн системийг илүү хялбар хэлбэрээр дахин бичих боломжийг олгоно, гэхдээ a, b шинэ хувьсагчдын хувьд:

a = 1 тул a + 6 = 2 тэгшитгэлээс бид олно: 1 + 6 = 2; 6=1. Тиймээс a ба b хувьсагчийн хувьд бид нэг шийдлийг олж авлаа:

Х ба у хувьсагч руу буцаж очоод тэгшитгэлийн системийг олж авна

Энэ системийг шийдэхийн тулд алгебрийн нэмэх аргыг хэрэглэцгээе.

Үүнээс хойш 2x + y = 3 тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг оллоо.
Тиймээс, x ба y хувьсагчдын хувьд бид нэг шийдлийг олж авсан:

Энэ догол мөрийг товч боловч нэлээд нухацтай онолын хэлэлцүүлгээр дуусгая. Та шугаман, квадрат, рациональ, иррациональ гэсэн янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх туршлага хуримтлуулсан байна. Тэгшитгэлийг шийдэх гол санаа нь нэг тэгшитгэлээс нөгөөд аажмаар шилжих, илүү энгийн, гэхдээ өгөгдсөнтэй тэнцэх явдал гэдгийг та мэднэ. Өмнөх догол мөрөнд бид хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн эквивалент гэсэн ойлголтыг танилцуулсан. Энэ ойлголтыг тэгшитгэлийн системд бас ашигладаг.

Тодорхойлолт.

Х ба у хувьсагчтай тэгшитгэлийн хоёр системийг ижил шийдтэй эсвэл хоёр систем нь шийдэлгүй бол тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг.

Энэ хэсэгт бидний авч үзсэн гурван арга (орлуулах, алгебрийн нэмэх, шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх) нь эквивалентийн үүднээс туйлын зөв юм. Өөрөөр хэлбэл, эдгээр аргуудыг ашиглан бид нэг тэгшитгэлийн системийг өөр, илүү энгийн, гэхдээ анхны системтэй тэнцэх системээр сольдог.

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх график арга

Орлуулах арга, алгебрийн нэмэх, шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх гэх мэт нийтлэг бөгөөд найдвартай аргаар тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид аль хэдийн сурсан. Одоо өмнөх хичээл дээр аль хэдийн судалж байсан аргыг санацгаая. Өөрөөр хэлбэл, график шийдлийн аргын талаар мэддэг зүйлээ давтъя.

Графикийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга нь тухайн системд багтсан, ижил координатын хавтгайд байрладаг тодорхой тэгшитгэл тус бүрийн графикийг байгуулах, түүнчлэн тэдгээрийн цэгүүдийн огтлолцлыг олох шаардлагатай газруудыг хамарна. графикууд. Энэ тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд энэ цэгийн координатууд (x; y) байна.

График тэгшитгэлийн систем нь нэг зөв шийдэлтэй, эсвэл хязгааргүй олон тооны шийдтэй байх, эсвэл огт шийдэлгүй байх нь түгээмэл гэдгийг санах нь зүйтэй.

Одоо эдгээр шийдэл бүрийг илүү нарийвчлан авч үзье. Тиймээс, системийн тэгшитгэлийн графикууд болох шугамууд огтлолцож байвал тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байж болно. Хэрэв эдгээр шугамууд параллель байвал ийм тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй болно. Хэрэв системийн тэгшитгэлийн шууд графикууд давхцаж байвал ийм систем нь олон шийдлийг олох боломжийг олгодог.

За, одоо 2 үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг график аргаар шийдвэрлэх алгоритмыг харцгаая.

Эхлээд бид 1-р тэгшитгэлийн графикийг байгуулна;
Хоёрдахь алхам нь хоёр дахь тэгшитгэлтэй холбоотой графикийг бүтээх явдал юм;
Гуравдугаарт, бид графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олох хэрэгтэй.
Үүний үр дүнд бид огтлолцлын цэг бүрийн координатыг олж авдаг бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийн системийн шийдэл болно.

Энэ аргыг жишээ ашиглан илүү дэлгэрэнгүй авч үзье. Бидэнд шийдэх ёстой тэгшитгэлийн системийг өгсөн.

Тэгшитгэл шийдвэрлэх

1. Эхлээд бид энэ тэгшитгэлийн графикийг байгуулна: x2+y2=9.

Гэхдээ энэ тэгшитгэлийн график нь эхэн дээрээ төвтэй тойрог байх бөгөөд түүний радиус нь гуравтай тэнцүү байх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

2. Бидний дараагийн алхам бол y = x – 3 гэх мэт тэгшитгэлийн графикийг зурах явдал юм.

Энэ тохиолдолд бид шулуун шугам барьж (0;−3) ба (3;0) цэгүүдийг олох ёстой.

3. Бид юу авснаа харцгаая. Шулуун шугам нь тойрогтой А ба В хоёр цэг дээр огтлолцож байгааг бид харж байна.

Одоо бид эдгээр цэгүүдийн координатыг хайж байна. (3;0) координатууд нь А цэгтэй, координатууд (0;−3) нь В цэгтэй тохирч байгааг бид харж байна.

Үүний үр дүнд бид юу авах вэ?

Шугаман тойрогтой огтлолцох үед олж авсан (3;0) ба (0;−3) тоонууд нь системийн хоёр тэгшитгэлийн яг шийдэл юм. Эндээс харахад эдгээр тоонууд нь энэ тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм.

Өөрөөр хэлбэл, энэ шийдлийн хариулт нь тоонууд юм: (3;0) ба (0;−3).

1. Орлуулах аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх.
2. Системийн тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх (хасах) аргаар системийг шийдвэрлэх.

Тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд орлуулах аргаарТа энгийн алгоритмыг дагах хэрэгтэй:
1. Экспресс. Аливаа тэгшитгэлээс бид нэг хувьсагчийг илэрхийлдэг.
2. Орлуулах. Бид гарсан утгыг илэрхийлсэн хувьсагчийн оронд өөр тэгшитгэлд орлуулна.
3. Үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийд. Бид системийн шийдлийг олдог.

Шийдвэрлэх нэр томъёог нэмэх (хасах) аргаар системхэрэгтэй:
1. Бид ижил коэффициент гаргах хувьсагчийг сонго.
2. Бид тэгшитгэлийг нэмэх буюу хасахын үр дүнд нэг хувьсагчтай тэгшитгэл үүсдэг.
3. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийг шийд. Бид системийн шийдлийг олдог.

Системийн шийдэл нь функцийн графикуудын огтлолцох цэгүүд юм.

Жишээнүүдийг ашиглан системийн шийдлийг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ №1:

Орлуулах аргаар шийдье

2x+5y=1 (1 тэгшитгэл)
x-10y=3 (2-р тэгшитгэл)

1. Экспресс
Хоёр дахь тэгшитгэлд 1 коэффициенттэй х хувьсагч байгааг харж болно, энэ нь хоёр дахь тэгшитгэлээс х хувьсагчийг илэрхийлэхэд хамгийн хялбар гэсэн үг юм.
x=3+10y

2.Бид үүнийг илэрхийлсний дараа эхний тэгшитгэлд х хувьсагчийн оронд 3+10y-г орлуулна.
2(3+10y)+5y=1

3. Үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийд.
2(3+10y)+5y=1 (хаалт нээх)
6+20ж+5у=1
25 нас=1-6
25y=-5 |: (25)
у=-5:25
y=-0.2

Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь графикуудын огтлолцох цэгүүд тул бид x ба y-ийг олох хэрэгтэй, учир нь огтлолцлын цэг нь x ба y-ээс бүрддэг тул бид үүнийг илэрхийлсэн эхний цэг дээр y-г орлоно.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Нэгдүгээрт бид x хувьсагч, хоёрдугаарт у хувьсагчийг бичдэг цэгүүдийг бичдэг заншилтай.
Хариулт: (1; -0.2)

Жишээ №2:

Нэр томьёогоор нэмэх (хасах) аргыг ашиглан шийдье.

3x-2y=1 (1 тэгшитгэл)
2x-3y=-10 (2-р тэгшитгэл)

1. Бид хувьсагчийг сонгосон, x-г сонгосон гэж бодъё. Эхний тэгшитгэлд х хувьсагч нь 3 коэффициенттэй, хоёр дахь нь - 2. Бид коэффициентүүдийг ижил болгох хэрэгтэй, үүний тулд бид тэгшитгэлийг үржүүлэх эсвэл дурын тоогоор хуваах эрхтэй. Бид эхний тэгшитгэлийг 2-оор, хоёр дахь нь 3-аар үржүүлж, нийт 6 коэффициентийг авна.

3x-2y=1 |*2
6х-4у=2

2х-3у=-10 |*3
6х-9у=-30

2. Х хувьсагчаас салахын тулд эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасаад шугаман тэгшитгэлийг шийд.
__6x-4y=2

5у=32 | :5
y=6.4

3. x-г ол. Бид олсон y-г аль нэг тэгшитгэлд орлуулж, эхний тэгшитгэлд оруулъя.
3х-2у=1
3х-2*6.4=1
3х-12.8=1
3х=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Уулзвар цэг нь x=4.6; y=6.4
Хариулт: (4.6; 6.4)

Та шалгалтандаа үнэ төлбөргүй бэлдмээр байна уу? Онлайн багш үнэгүй. Тохиолдолгүй.

"Тэгшитгэлийн систем. Орлуулах арга, нэмэх арга, шинэ хувьсагч нэвтрүүлэх арга" сэдэвт хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

9-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрийн сургалтын хэрэглэгдэхүүн, симуляторууд
Атанасян Л.С.-ийн сурах бичгийн симулятор. Сурах бичгийн симулятор Погорелова А.В.

Тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх аргууд

Орлуулах арга

Шийдвэр гаргахдаа яаж ажиллах ёстой вэ?
1. Хувьсагчийн аль нэгийг нөгөөгөөр илэрхийл. Тэгшитгэлд хамгийн их хэрэглэгддэг хувьсагч нь x ба y юм. Тэгшитгэлийн аль нэгэнд бид нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлдэг. Зөвлөмж: Шийдэж эхлэхээсээ өмнө тэгшитгэлийг хоёуланг нь анхааралтай ажиглаж, хувьсагчийг илэрхийлэхэд илүү хялбар хувилбарыг сонго.
2. Үүссэн илэрхийлэлийг хоёр дахь тэгшитгэлд илэрхийлсэн хувьсагчийн оронд орлуулна.
3. Бидний олж авсан тэгшитгэлийг шийд.
4. Гарсан уусмалыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна. Хэрэв хэд хэдэн шийдэл байгаа бол хэд хэдэн шийдлийг алдахгүйн тулд тэдгээрийг дараалан орлуулах хэрэгтэй.
5. Үүний үр дүнд та $(x;y)$ гэсэн хос тоог хүлээн авах бөгөөд үүнийг хариулт болгон бичих ёстой.

Жишээ.
Орлуулах аргыг ашиглан хоёр хувьсагчтай системийг шийд: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Шийдэл.
Бидний тэгшитгэлүүдийг нарийвчлан авч үзье. Эхний тэгшитгэлд y-г х-ээр илэрхийлэх нь илүү хялбар болох нь ойлгомжтой.
$\эхлэх(тохиолдол)y=5-x, \\xy=6\төгсгөх(тохиолдол)$.
$\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$ хоёр дахь тэгшитгэлд эхний илэрхийллийг орлъё.
Хоёр дахь тэгшитгэлийг тусад нь шийдье:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Бид $x_1=2$ ба $x_2=3$ хоёр дахь тэгшитгэлийн хоёр шийдлийг олж авсан.
Хоёр дахь тэгшитгэлд дарааллаар орлуулна.
Хэрэв $x=2$ бол $y=3$. Хэрэв $x=3$ бол $y=2$.
Хариулт нь хоёр хос тоо байх болно.
Хариулт: $(2;3)$ ба $(3;2)$.

Алгебрийн нэмэх арга

Жишээ.
Системийг шийд: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(case)$.

Шийдэл.
Эхний тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлье.
$\begin(тохиолдол)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\төгсгөл(тохиолдол)$.
Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хасъя.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Таны харж байгаагаар үүссэн тэгшитгэлийн хэлбэр нь анхныхаас хамаагүй хялбар юм. Одоо бид орлуулах аргыг ашиглаж болно.
$\begin(тохиолдол)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\төгсгөл(тохиолдол)$.
Үүссэн тэгшитгэлд х-г y-ээр илэрхийлье.
$\эхлэх(тохиолдол)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\төгсгөх(тохиолдлууд)$.
$\begin(тохиолдол)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\ end(тохиолдол)$.
$\эхлэх(тохиолдлууд)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\ end(тохиолдлууд)$.
$\эхлэх(тохиолдлууд)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(тохиолдлууд)$.
$\begin(тохиолдол)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(тохиолдол)$.
$\begin(тохиолдол)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\ end(тохиолдол)$.
Бид $y=-1$ ба $y=-3$ авсан.
Эдгээр утгыг эхний тэгшитгэлд дараалан орлъё. Бид $(1;-1)$ ба $(-1;-3)$ гэсэн хоёр хос тоо авдаг.
Хариулт: $(1;-1)$ ба $(-1;-3)$.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга

Жишээ.
Системийг шийд: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Шийдэл.
$t=\frac(x)(y)$ орлуулалтыг танилцуулъя.
$t+\frac(2)(t)=3$ гэсэн шинэ хувьсагчтай эхний тэгшитгэлийг дахин бичье.
Үүссэн тэгшитгэлийг шийдье:
$\фрак(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Бид $t=2$ эсвэл $t=1$ авсан. $t=\frac(x)(y)$ урвуу өөрчлөлтийг танилцуулъя.
Бид авсан: $x=2y$ ба $x=y$.

Илэрхийлэл бүрийн хувьд анхны системийг тусад нь шийдэх ёстой.
$\эхлэх(тохиолдлууд)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(тохиолдлууд)$.   
$\эхлэх(тохиолдол)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(тохиолдол)$.
$\эхлэх(тохиолдлууд)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(тохиолдлууд)$.   
$\эхлэх(тохиолдлууд)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(тохиолдлууд)$.
$\эхлэх(тохиолдол)x=2y, \\7y^2=1\end(тохиолдол)$.      
$\эхлэх(тохиолдол)x=2y, \\y^2=1\төгсгөх(тохиолдол)$.
$\begin(тохиолдол)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\төгсгөл(тохиолдлууд)$.     

Жишээ.
$\эхлэх(тохиолдол)x=y, \\y=±1\төгсгөх(тохиолдол)$.

Шийдэл.
$\begin(тохиолдол)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\төгсгөл(тохиолдол)$.    
$\эхлэх(тохиолдол)x=±1, \\y=±1\төгсгөх(тохиолдол)$.
Бид дөрвөн хос шийдлийг хүлээн авсан.
Хариулт: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Системийг шийд: $\begin(case)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2,\\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\төгсгөл(тохиолдол)$.
Орлуулахыг танилцуулъя: $z=\frac(2)(x-3y)$ болон $t=\frac(3)(2x+y)$.
Анхны тэгшитгэлийг шинэ хувьсагчтай дахин бичье.
$\begin(тохиолдол)z+t=2, \\4z-3t=1\төгсгөл(тохиолдол)$.
Алгебрийн нэмэх аргыг ашиглая:
$\эхлэх(тохиолдол)3z+3t=6, \\4z-3t=1\төгсгөх(тохиолдол)$.
$\эхлэх(тохиолдол)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\төгсгөх(тохиолдол)$.
$\эхлэх(тохиолдол)7z=7, \\4z-3t=1\төгсгөх(тохиолдол)$.
$\эхлэх(тохиолдол)z=1, \\-3t=1-4\төгсгөх(тохиолдол)$.
$\begin(тохиолдол)z=1, \\t=1\төгсгөл(тохиолдол)$.
Урвуу орлуулалтыг танилцуулъя:
$\begin(тохиолдол)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\ end(тохиолдол)$.
$\эхлэх(тохиолдлууд)x-3y=2, \\2x+y=3\ end(тохиолдлууд)$.
Орлуулах аргыг ашиглая:

$\эхлэх(тохиолдлууд)x=2+3y, \\4+6y+y=3\төгсгөх(тохиолдлууд)$.