Магадлалын геометрийн тодорхойлолт. Шийдэлтэй холбоотой асуудлууд

Гадаа намрын эхэн өдрүүд болж, модны шар навчис нь уянгалаг, бага зэрэг гунигтай уур амьсгалыг төрүүлдэг. Гэхдээ бүхэл бүтэн хичээлийн жил байгаа бөгөөд ийм мөчид та үр бүтээлтэй ажилд бэлтгэх хэрэгтэй! Биеийн аяыг хурдан нэмэгдүүлэх боломжийг олгодог өөрийн гарын үсгийн жороор бүх шүршигч уншигчдыг баярлуулахыг яаравчлав. Үүнийг хийхийн тулд бага зэрэг санах хэрэгтэй геометр… … үгүй, заримдаа энэ нь таныг унтуулдаг гэдгийг би зөвшөөрч байна, гэхдээ бага тунгаар хэрэглэхэд энэ нь маш их эрч хүч өгдөг! Хамгийн гол нь энэ нь маш үр дүнтэй байдаг - мэдлэгийн амьдралыг авч эхэлмэгц та улирлын чанартай сэтгэлийн хямралыг шууд мэдрэхгүй болно!

Энэ сэдвийн эхний хичээл дээр бид уулзсан магадлалын сонгодог тодорхойлолтТуршилтанд ямар нэг үйл явдал тохиолдох ба хамгийн энгийн томьёо , нийт тоо хаана байна бүх боломжтой адил боломжтой , анхан шатны өгөгдсөн тестийн үр дүн ба тухайн үйл явдалд таатай үндсэн үр дүнгийн тоо юм.

Нэр томьёо болон/эсвэл ойлгоход асуудалтай байна уу? -ээс эхэлье магадлалын онолын үндэс.

Үргэлжлүүлье: магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь бүхэл бүтэн асуудлыг шийдвэрлэхэд үр дүнтэй байдаг ч нөгөө талаар олон сул талуудтай байдаг. Дутагдал биш, хязгаарлагдмал гэж хэлэх нь бүр зөв байх. Ийм хязгаарлалтуудын нэг нь энэ нь хязгааргүй тооны үр дүн бүхий туршилтуудад хамаарахгүй явдал юм. Хамгийн энгийн жишээ:

Өлсгөлөн цэгийг сегмент дээр санамсаргүй байдлаар шиддэг. -ийн хооронд унах магадлал хэд вэ?

Нэг сегмент дээр хязгааргүй олон цэг байдаг тул томъёог энд хэрэглэх боломжгүй ("en"-ийн хязгааргүй их утгын улмаас)гэх мэт өөр нэг арга аврах ажилд ирдэг магадлалын геометрийн тодорхойлолт.

Бүх зүйл маш төстэй: туршилтанд ямар нэгэн үйл явдал тохиолдох магадлал нь харьцаатай тэнцүү бөгөөд энд - геометрийн хэмжүүр, нийт тоог илэрхийлнэ бүх боломжтойТэгээд адил боломжтойЭнэ туршилтын үр дүн, ба - хэмжүүр, үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог илэрхийлэх. Практикт ийм геометрийн хэмжүүр нь ихэвчлэн урт эсвэл талбай, бага ихэвчлэн эзэлхүүнтэй байдаг.

Үйл явдлыг авч үзье: – хэрчим дээр шидэгдсэн цэг интервалд унана. Мэдээжийн хэрэг, үр дүнгийн нийт тоог том сегментийн уртаар илэрхийлнэ. , мөн үйл явдалд таатай үр дүн нь суулгагдсан сегментийн урт юм: Магадлалын геометрийн тодорхойлолтын дагуу:

Хэт амархан уу? Үүний нэгэн адил сонгодог тодорхойлолт, энэ бол төөрөгдүүлсэн сэтгэгдэл юм. Бид практик жишээнүүдийг сайтар, ухамсартайгаар ойлгодог.

Асуудал 1

Тоолуурын соронзон хальс нь хайчаар санамсаргүй байдлаар таслагдана. Зүсэх урт нь 80 см-ээс багагүй байх магадлалыг ол.

Шийдэл: "Юу нь тийм төвөгтэй юм бэ? Магадлал нь 1/5” гэж хэлжээ. Энэ бол хайхрамжгүй байдлаас үүдэлтэй автомат алдаа юм. Тийм ээ, энэ нь үнэхээр зөв - хэрэв та туузаас 20 см-ээс ихгүй зайд огтолж авбал зүсэх урт нь дор хаяж 80 см байх болно. Гэхдээ энд тэд хүссэн зүслэгээ хийж болно гэдгийг мартдаг нэгээс гэх мэтсоронзон хальсны төгсгөл болон нөгөө талаас:

Үйл явдлыг авч үзье: - зүсэх урт нь дор хаяж 0.8 м байх болно.

Соронзон хальсыг хаана ч таслах боломжтой тул үр дүнгийн нийт тоо нь түүний урттай тохирч байна: Тухайн үйл явдалд тохиромжтой зүсэлтийн хэсгүүдийг улаанаар зурж тэмдэглэсэн бөгөөд тэдгээрийн нийт урт нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна.

Хариулт: 0,4

Юу гэж дүгнэж болох вэ? Хэдийгээр даалгавар танд маш энгийн мэт санагдаж байсан ч БИТГИЙ ЯАР. Ерөнхийдөө импульсив бол муу зүйл - энэ нь алдаа, шаардлагагүй худалдан авалт, арьсны эвдрэл гэх мэтийг хэлдэг ... гэхдээ гунигтай зүйлсийн талаар ярихаа больё!

Даалгавруудыг бэлтгэхдээ хэмжээсийг зааж өгөх хэрэгтэй (нэгж, метр, квадрат нэгж, квадрат метр гэх мэт). Дашрамд хэлэхэд, тооцооллын эцсийн шатанд геометрийн хэмжигдэхүүн буурч байгааг анхаарна уу. Тиймээс авч үзсэн жишээн дээр тоолуурыг багасгасан: , үр дүнд нь ердийн хэмжээсгүй магадлал бий болсон.

Асуудал 2

Шуурганы дараа утасны шугамын 40-70 дахь километрийн хооронд утас тасарсан байна. Энэ нь шугамын 50-55-р километрийн хооронд болсон байх магадлал хэд вэ?

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Илүү нийтлэг зүйл бол аль хэсэгт харагдах жишээ юм:

Асуудал 3

Хажуу талуудтай гурвалжинд тойрог бичээстэй байна. Гурвалжинд цэгийг дур мэдэн байрлуулна. Тухайн цэг тойрог дотор унах магадлалыг ол.

Бичсэн тойрог нь гурвалжин дотор орших ба түүний талуудыг 3 цэгт хүрч байгааг сануулъя

Шийдэл: цэгийг гурвалжинд байрлуулж, тойрог дотор байрладаг тул үр дүнгийн нийт тоо нь гурвалжны талбайтай, таатай үр дүнгийн багц нь бичээстэй тойргийн талбайтай тохирч байна. Би юу хэлж чадах вэ? Бид дараах газруудыг хайж байна:

Хэрэв гурвалжны талуудын уртыг өгсөн бол түүний талбайг ашиглан олоход тохиромжтой Хероны томъёо:
, гурвалжны талуудын уртууд хаана байна, хагас периметр.

Эхлээд гурвалжны хагас периметрийг тооцоолъё. , дараа нь түүний талбай:

Эрт дээр үед үндэснээсээ хүчин зүйл гаргаж авах аргыг би анхан шатны хичээл дээр авч үзсэн аналитик геометр.

Бид бичээстэй тойргийн талбайг түүний радиус хаана байгааг томъёогоор олдог.

Та геометрийн томъёог хаанаас авдаг вэ? Шаардлагатай томъёог сургуулийн сурах бичиг эсвэл бусад мэдээллийн эх сурвалжаас олж болно. Үүний зэрэгцээ тэдгээрийг тусгайлан сурах шаардлагагүй, би зөвхөн өөрийн биеэр санаж, бусад бүх зүйлийг Википедиагаас хэдхэн минутын дотор олсон. Хэдхэн минутын дараа би энэ бүгдийг баяртайгаар мартах болно =)

Тиймээс, бичээстэй тойргийн талбай нь:

Геометрийн тодорхойлолтоор:
– тухайн цэг бичээстэй тойрогт унах магадлал.

Хариулт:

Өөрөө шийдэх энгийн жишээ:

Асуудал 4

10 см радиустай тойрогт 12 ба 7 см хэмжээтэй тэгш өнцөгт гурвалжин байдаг. Өгөгдсөн гурвалжинд орохгүй байх магадлалыг ол.

Энэ асуудалд гурвалжин нь тойрогт ямар нэгэн байдлаар хүрэх шаардлагагүй, зүгээр л тойрог дотор байрладаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Болгоомжтой байгаарай!

Одоо сайн мэддэг уулзалтын асуудлыг авч үзье.

Асуудал 5

19.00-20.30 цагийн хооронд хоёр машин ирж ачих боломжтой. Эхний машиныг ачихад 10 минут, хоёр дахь нь 15 минут болно. Нэг машин нөгөөг нь ачаалж дуустал хүлээх магадлал хэд вэ?

Нөхцөл байдлын талаар бага зэрэг бодож үзье. Нэгдүгээрт, машинууд ямар ч дарааллаар, хоёрдугаарт, нэг цаг хагасын дотор хүссэн үедээ ирж болно. Эхлээд харахад шийдвэр нь нэлээд хэцүү юм шиг санагддаг. Мөн бэлтгэлгүй хүний ​​хувьд энэ нь үнэхээр хэцүү байх болно. Энэ асуудлыг шийдэх аргын нарийвчилсан дүн шинжилгээг жишээлбэл, Гмурманы сурах бичгээс олж болно, гэхдээ би албан ёсны алгоритмаар тодорхой хэмжээгээр хязгаарлах болно.

Шийдэл: Эхлээд бид уулзалт хийх боломжтой хугацааны хугацааг олж мэдье. Энэ тохиолдолд дээр дурдсанчлан нэг цаг хагас буюу 90 минут болно. Үүний зэрэгцээ, бодит цаг хугацаа энд тийм ч чухал биш юм - машин ачих нь жишээлбэл, өглөө 8.30-10.00 цаг хүртэл явагдах бөгөөд шийдвэр нь яг адилхан байх болно.

Тооцооллыг нэг цагийн хуваарь, минутаар хийж болно. Миний бодлоор ихэнх тохиолдолд минуттай ажиллах нь илүү тохиромжтой байдаг - төөрөгдөл бага байдаг.

Интеграцийн доод хязгаарыг аналитик байдлаар тодруулъя (гиперболын огтлолцох цэгийг олъё ба шулуун):

Сегмент дээр шулуун шугам байрладаг доогуур бишгипербол,
зохих томъёоны дагуу:

Геометрийн тодорхойлолтоор:
- 0-ээс 5-ын хооронд таамагласан хоёр тооны үржвэр нь хоёроос их байх магадлал.

Хариулт:

Бие даасан шийдлийн ижил төстэй жишээ.

Би R радиустай тойрогт жигд санамсаргүй цэг үүсгэх хэрэгтэй.

Би зүгээр л интервал дахь жигд санамсаргүй өнцгийг сонгож, төвөөс зайг өгснөөр ойлгодог. Манай гурвалжин нимгэн тууз тул AB ба BC нь үндсэндээ параллель байна. Тэгэхээр Z цэг нь эх цэгээс ердөө x+y зай юм. Хэрэв x + y > R байвал бид буцааж хаяна.

R = 1-ийн иж бүрэн алгоритм энд байна. Та үүнийг маш энгийн гэж бодож байна гэж найдаж байна. Энэ нь гох ашигладаг, гэхдээ та татгалзсан түүврээс ялгаатай нь хэр удаан үргэлжлэх, хэр их random() хэрэгтэй болох талаар баталгаа өгч болно.

T = 2*pi*random() u = random()+random() r = хэрэв u>1 бол 2-u өөрөөр u

Энэ нь Математикт байдаг.

F := Блок[(u, t, r), u = Санамсаргүй + Санамсаргүй;

t = Санамсаргүй 2 Pi;

r = Хэрэв;< a , замените их. Ваша точка (b*R*cos(2*pi*a/b), b*R*sin(2*pi*a/b)) .

(r Cos[t], r Sin[t]) ] ListPlot, AspectRatio -> Автомат]

Энд хурдан бөгөөд хялбар шийдэл байна.

(0, 1) мужид санамсаргүй хоёр тоог, тухайлбал a ба b-г сонгоно уу. Хэрэв b

Та энэ шийдлийн талаар дараах байдлаар бодож болно. Хэрэв та тойрог авч, зүсэж, дараа нь шулуун болговол тэгш өнцөгт гурвалжин болно. Гурвалжны хэмжээг багасгавал (0, 0)-ээс (1, 0) (1, 1) хүртэл, буцаад (0, 0) гурвалжин бий болно. Эдгээр бүх өөрчлөлтүүд нь нягтралыг жигд өөрчилдөг. Таны хийсэн зүйл бол гурвалжны санамсаргүй цэгийг жигд сонгож, тойрог дотор цэг авахын тулд үйл явцыг эргүүлэх явдал байв.

Цэгийн нягт нь радиусын урвуу квадраттай пропорциональ байдгийг анхаарна уу, тиймээс r-г сонгохын оронд -аас сонгоод координатаа дараах байдлаар тооцоолно уу.

X = sqrt(r) * cos(өнцөг) y = sqrt(r) * sin(өнцөг)

Үндсэн суурь нь хуримтлагдсан тархалтын функцийн нэг төрлийн урвуу хувийг хүссэн магадлалын нягтын функцэд тохируулснаар нэг төрлийн тархалттай хувьсагчийг үүсгэж болно. Юуны төлөө? Зүгээр л энгийн зүйл мэт хүлээж ав, гэхдээ энэ бол баримт.

Математикийн талаархи миний бага зэрэг ойлгомжтой тайлбар энд байна. r-тэй холбоотой f(r) нягтын функц нь r-тэй пропорциональ байх ёстой. Энэ баримтыг ойлгох нь аливаа үндсэн тооцооллын номын нэг хэсэг юм. Туйлын элементүүдийн хэсгүүдийг үзнэ үү. Бусад зарим зурагт хуудаснууд энэ тухай дурдсан байдаг.

Тиймээс үүнийг f (r) = C * r гэж нэрлэе;

Энэ нь ажлын томоохон хэсэг болж хувирдаг. Одоо f(r) нь магадлалын нягт байх ёстой тул (0, R) интервалаар f(r)-ийг интеграцилах нь C = 2/R^2 (энэ нь уншигчдад зориулсан дасгал юм) гэдгийг ойлгоход хялбар юм. .)

Тэгэхээр f(r) = 2 * r/R^2

Дараа нь эцсийн хэсэг нь (0,1) дахь жигд санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс гарч ирдэг бөгөөд үүнийг та f(r) шаардлагатай нягтралаас хуримтлагдсан тархалтын функцийн урвуутай харьцуулах ёстой. Яагаад ийм байдгийг ойлгохын тулд та Papulis шиг магадлалын дэвшилтэт текстийг олох хэрэгтэй (эсвэл өөрөө авах).

f(r)-ийг нэгтгэснээр F(r) = r^2/R^2 болно

Үүний урвуу функцийг олохын тулд та u = r^2/R^2 гэж өгөөд дараа нь r-ийг шийдвэл r = R * sqrt(u) болно.

Энэ нь утга учиртай, u=0-ийг r=0-д буулгах нь зүйтэй. Мөн u=1 shoudl-ийн зураглал нь r=R-тэй нийцдэг.

Гэнэн шийдэл нь ажиллахгүй байгаагийн шалтгаан нь тойргийн төв рүү ойртох цэгүүдэд өндөр магадлалын нягтыг өгдөгт оршино. Өөрөөр хэлбэл r/2 радиустай тойрог нь сонгосон цэгийг авах магадлал r/2 боловч талбай (цэгийн тоо) pi * r^2/4 байна.

Тиймээс бид радиусын магадлалын нягтыг дараах шинж чанартай байлгахыг хүсч байна.

Өгөгдсөн r-ээс бага буюу тэнцүү радиусыг сонгох магадлал нь r радиустай тойргийн талбайтай пропорциональ байх ёстой. (учир нь бид цэгүүдэд жигд хуваарилалт хийхийг хүсдэг бөгөөд том талбайнууд нь илүү олон оноо гэсэн үг)

Өөрөөр хэлбэл, бид хоёрын хоорондох радиусыг сонгох магадлалыг тойргийн нийт талбайн эзлэх хувьтай тэнцүү байхыг хүсч байна. Тойргийн нийт талбай нь pi * R^2 бөгөөд r радиустай тойргийн талбай нь pi * r^2 байна 2)/(pi * R^2 ) = r^2/R^2.

Одоо математик ирж байна:

Энэ хооронд радиусыг сонгох магадлал нь p(r)dr-ийн 0-ээс r хүртэлх интеграл юм (энэ нь бид жижиг радиусуудын бүх магадлалыг нэмж байгаа учраас л). Тиймээс бид (p(r)dr) = r^2/R^2 интегралыг авахыг хүсч байна, бид R^2 нь тогтмол гэдгийг тодорхой харж байгаа тул бид зөвхөн p(r)-ийн аль нь интеграл болохыг олж мэдэх хэрэгтэй. бидэнд r^2 гэх мэт зүйлийг өг. Хариулт нь r* тогтмол байна. интеграл (r * const dr) = r ^ 2/2 * тогтмол. Энэ нь r^2/R^2-тэй тэнцүү байх ёстой, тиймээс тогтмол нь = 2/R^2. Тэгэхээр та магадлалын тархалт p(r) = r*2/R^2 байна

Анхаарна уу.Асуудлын талаар бодох өөр нэг зөн совинтой арга бол магадлалын радиусын тойрог бүрт тойргийн уртад байгаа цэгүүдийн тооны харьцаатай тэнцэх магадлалын магадлалыг өгөхийг оролдож байна гэж төсөөлөх явдал юм. Тэгэхээр r радиустай тойрог нь тойргийнхоо дагуу 2 * pi * r "цэгтэй" байх болно. Нийт оноо нь pi * R^2 тул та r тойрогт (2 * pi * r)/(pi * R^2) = 2 * r/R^2 гэсэн магадлалыг өгөх хэрэгтэй ойлгомжтой, илүү мэдрэмжтэй, гэхдээ энэ нь математикийн хувьд тийм ч эрүүл биш юм.

Энэ нь "нэгдмэл санамсаргүй" гэж юу хэлэхээс хамаарна. Энэ бол маш сайн зүйл бөгөөд та энэ тухай вики хуудаснаас эндээс уншиж болно: http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_%28probability%29, энд "нэгдмэл санамсаргүй" гэсэн янз бүрийн тайлбартай ижил асуудал гардаг. өөр хариулт!

Оноо хэрхэн сонгохоос хамааран хуваарилалт нь бага зэрэг жигд боловч өөрчлөгдөж болно.

Блогын оруулга нь дараах утгаараа үүнийг жигд санамсаргүй болгохыг оролдож байгаа бололтой: хэрэв та ижил төвтэй тойргийн дэд тойргийг авбал тухайн бүс нутагт цэг унах магадлал нь тухайн бүс нутгийн талбайтай пропорциональ байна. . Энэ нь бүс нутгуудыг тодорхойлсон 2 хэмжээст бүсүүдийн одоогийн стандарт "нэг жигд санамсаргүй" тайлбарыг дагаж мөрдөхийг хичээж байна гэж би бодож байна: аль ч бүсэд (сайн тодорхойлсон бүстэй) цэг унах магадлал нь талбайн хэмжээтэй пропорциональ байна. тэр бүс нутаг.

Рад радиустай тойргоос санамсаргүй тооны цэгүүдийг үүсгэх миний Python код энд байна:

Import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np rad = 10 num = 1000 t = np.random.uniform(0.0, 2.0*np.pi, num) r = rad * np.sqrt(np.random.uniform(0.0,) 1.0, тоо)) x = r * np.cos(t) y = r * np.sin(t) plt.plot(x, y, "ro", ms=1) plt.axis([-15, 15 , -15, 15]) plt.show()

Тойрог доторх дурын цэгийн туйлын координатад харгалзах ρ (радиус) ба φ (азимут) хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг. Хэрэв цэгүүд жигд тархсан бол ρ ба φ функцүүдийн тархалтын функц хэд вэ?

Аливаа r-ийн хувьд: 0

P[ρ

Энд S1 ба S0 нь r ба R радиустай тойргийн талбайнууд юм. Тиймээс CDF-ийг дараах байдлаар тодорхойлж болно.

0 бол r<=0 CDF = (r/R)**2 if 0 < r <= R 1 if r >Р

PDF = d/dr(CDF) = 2 * (r/R**2) (0< r <= R).

R = 1-ийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн sqrt (X) болохыг анхаарна уу, X нь 0-д = P = y * * 2 дээр жигд байна.

φ-ийн тархалт 0-ээс 2 * π хооронд жигд байна. Одоо та санамсаргүй туйлын координатуудыг үүсгэж, тригонометрийн тэгшитгэлийг ашиглан декарт руу хөрвүүлэх боломжтой.

X = ρ * cos(φ) y = ρ * sin(φ)

R=1-ийн питон кодыг нийтлэхээс татгалзаж чадахгүй.

Matplotlib-ээс импортын pyplot as plt import numpy as np rho = np.sqrt(np.random.uniform(0, 1, 5000)) phi = np.random.uniform(0, 2*np.pi, 5000) x = rho * np.cos(phi) y = rho * np.sin(phi) plt.scatter(x, y, s = 4)

Та хүлээн авах болно

Java шийдэл ба тархалтын жишээ (2000 оноо)

Нийтийн хүчингүй болгох getRandomPointInCircle() ( double t = 2 * Math.PI * Math.random(); double r = Math.sqrt(Math.random()); double x = r * Math.cos(t); double y = r * Math.sin(t) System.out.println(x);

Эхлээд бид cdf[x] үүсгэх болно

Тухайн цэг нь тойргийн төвөөс х зайнаас бага байх магадлал. Тойрог R радиустай гэж үзье.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв x тэг бол cdf = 0

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв x нь R-тэй тэнцүү бол cdf [R] = 1

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв x = r бол cdf [r] = (Pi r ^ 2)/(Pi R ^ 2)

Учир нь тойрог дээрх "жижиг талбай" бүр сонгогдох магадлал ижил байдаг тул магадлал нь тухайн бүстэй пропорциональ байна. Мөн тойргийн төвөөс x зайд өгөгдсөн талбай нь Pi r^2 байна

тиймээс cdf[x] = x^2/R^2 учир нь Pi бие биенээ цуцалдаг

бидэнд cdf[x] = x^2/R^2 байгаа бөгөөд x нь 0-ээс R хүртэл явдаг

Тиймээс бид x-г шийднэ

R^2 cdf[x] = x^2 x = R Sqrt[ cdf[x] ]

Одоо бид cdf-г 0-ээс 1 хүртэлх санамсаргүй тоогоор сольж болно

X = R Sqrt[ RandomReal[(0,1)] ]

R = R Sqrt[ RandomReal[(0,1)] ]; тета = 360 градус * RandomReal[(0,1)]; (р, тета)

Бид туйлын координатуудыг авдаг (0.601168 R, 311.915 градус)

Би энэ аргыг ашигласан: Энэ нь бүрэн оновчгүй байж болох юм (өөрөөр хэлбэл массив цэг ашигладаг тул том тойрогт тохиромжгүй), гэхдээ санамсаргүй хуваарилалтыг өгдөг. Хэрэв та хүсвэл матриц үүсгэхээ алгасаад шууд зурж болно. Энэ арга нь тойрог дотор унасан тэгш өнцөгтийн бүх цэгүүдийг санамсаргүй байдлаар хуваарилах явдал юм.

Bool[,] getMatrix(System.Drawing.Rectangle r) ( bool[,] матриц = шинэ bool; буцах матриц; ) хүчингүй дүүргэхMatrix(ref bool[,] матриц, Вектор төв) ( давхар радиус = төв.X; Санамсаргүй r = new Random(); for (int y = 0; y< matrix.GetLength(0); y++) { for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++) { double distance = (center - new Vector(x, y)).Length; if (distance < radius) { matrix = r.NextDouble() >0.5;< matrix.GetLength(0); y++) { for (int x = 0; x < matrix.GetLength(1); x++) { if (matrix) { g.DrawImage(pixel, new PointF((float)(centerPoint.X - radius + x), (float)(centerPoint.Y - radius + y))); } } } g.Dispose(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { System.Drawing.Rectangle r = new System.Drawing.Rectangle(100,100,200,200); double radius = r.Width / 2; Vector center = new Vector(r.Left + radius, r.Top + radius); Vector normalizedCenter = new Vector(radius, radius); bool[,] matrix = getMatrix(r); fillMatrix(ref matrix, normalizedCenter); drawMatrix(center, radius, matrix); }

) ) ) ) private void drawMatrix(Vector centerPoint, давхар радиус, bool[,] матриц) ( var g = this.CreateGraphics(); Bitmap пиксел = шинэ Bitmap(1,1); pixel.SetPixel(0, 0, Өнгө .Black for (int y = 0; y).

Тойрог дахь талбайн элемент нь dA = rdr * dphi байна. Энэ нэмэлт хүчин зүйл нь r болон phi-г санамсаргүй байдлаар сонгох санааг тань сүйрүүлсэн. phi нь тэгш хуваарилагдсан байхад r нь 1/r-д тэгш биш, хавтгай байна (чи бухын нүднээс илүү хил хязгаарыг давах магадлалтай гэсэн үг).

Тиймээс тойрогт жигд тархсан цэгүүдийг үүсгэхийн тулд хавтгай тархалтаас phi, 1/r тархалтаас r-ийг сонгоно.

Альтернатив хувилбар бол Мехрдадын санал болгосон Монте Карлогийн аргыг ашиглах явдал юм.

ӨӨРЧЛӨЛТ

1/r дээр санамсаргүй r хавтгайг сонгохын тулд интервалаас санамсаргүй х-г сонгоод r = 1/x-ийг тооцоолж болно. Дараа нь r нь 1/r-т нягт тархсан байна.

Санамсаргүй phi-г тооцоолохын тулд интервалаас санамсаргүй х-г сонгоод phi = 2 * pi * x-ийг тооцоолно.

Та мөн өөрийн зөн совингоо ашиглаж болно.

Тойргийн талбай нь pi*r^2

Энэ нь бидэнд pi талбайг өгдөг. Тойрог дотор N=10 цэгийг жигд хуваарилах f функц байна гэж үзье. Энд байгаа харьцаа нь 10/pi байна

Одоо бид талбай болон онооны тоог хоёр дахин нэмэгдүүлнэ

r=2 ба N=20 үед

Энэ нь 4pi талбайг өгөх бөгөөд харьцаа нь одоо 20/4pi эсвэл 10/2pi байна. Радиус томрох тусам харьцаа багасч, багасна, учир нь түүний өсөлт квадрат, N нь шугаман байна.

Үүнийг засахын тулд бид зүгээр л хэлж чадна

X = r^2 sqrt(x) = r

Хэрэв та ийм туйлын координатаар вектор үүсгэвэл

Товч төлөвлөгөө боловсруулсан

Трофимова Людмила Алексеевна

Геометрийн магадлалЗорилго, зорилтууд:

1) Оюутнуудыг даалгаврын боломжит аргуудын нэгтэй танилцуулах

магадлал;

2) Сурсан зүйлээ давтах, албажуулах ур чадварыг нэгтгэх

геометрийн дүрс ашиглан үгийн магадлалын бодлого.

1) Цэг сонгох геометрийн магадлалын тодорхойлолтыг мэдэх

хавтгай ба шулуун шугам дээрх дүрс дотор;

2) Геометрийн магадлалын энгийн бодлогуудыг шийдвэрлэх чадвартай байх,

тоонуудын талбайг мэдэх эсвэл тэдгээрийг тооцоолох чадвартай байх.

I. Хавтгай дээрх дүрсээс цэг сонгох.

Жишээ 1.Бодлын туршилтыг авч үзье: тал нь 1-тэй тэнцүү квадрат дээр цэгийг санамсаргүй байдлаар шидэв. Асуулт нь энэ цэгээс квадратын хамгийн ойрын тал хүртэлх зай нь 1-ээс ихгүй байх үйл явдлын магадлал хэд вэ гэсэн асуулт юм. ?

Энэ асуудалд бид гэж нэрлэгддэг зүйлийн талаар ярьж байна геометрийн магадлал.

Дүрс рүү санамсаргүй байдлаар цэг шиддэг Фонгоцонд. Тодорхой дүрст цэг унах магадлал хэд вэ Г,зурагт агуулагдаж байгаа Ф.

Хариулт нь бид "санамсаргүй байдлаар цэг шидэх" гэсэн илэрхийлэлд ямар утгатай байгаагаас хамаарна.

Энэ илэрхийллийг ихэвчлэн дараах байдлаар тайлбарладаг.

1. Шидсэн цэг нь зургийн аль ч хэсгийг онож болно Ф.

2. Тодорхой дүрст цэг унах магадлал Гзураг дотор F,зургийн талбайтай шууд пропорциональ Г.

Дүгнэж хэлэхэд: тоонуудын талбайг байг ФТэгээд Г. Үйл явдлын магадлал А"Х цэг нь зурагт хамаарна Г,зурагт агуулагдаж байгаа Ф", тэнцүү байна

Зургийн талбайг анхаарна уу Гзургийн талбайгаас хэтрэхгүй F,Тийм ч учраас

Даалгавар руугаа буцаж орцгооё. Зураг Фэнэ жишээнд 1 талтай квадрат. Тиймээс =1.

Зурган дээрх сүүдэрт туссан цэг нь квадратын хилээс -ээс ихгүй хэмжээгээр хасагдана. Г.Талбайг олохын тулд та зургийн талбайгаас авах хэрэгтэй Фдотоод квадратын талбайг хажуу талтай нь хас.

Дараа нь тухайн цэг нь зурагт орох магадлал Г,тэнцүү байна

Жишээ 2. X цэгийг ABC гурвалжнаас санамсаргүй байдлаар сонгосон. Орой нь талуудын дунд цэгүүд болох гурвалжинд хамаарах магадлалыг ол.

Шийдэл:Гурвалжны дунд шугамууд нь 4 тэнцүү гурвалжинд хуваагдана. гэсэн үг,

X цэг KMN гурвалжинд хамаарах магадлал:

Дүгнэлт. Тодорхой дүрст цэг унах магадлал нь энэ зургийн талбайтай шууд пропорциональ байна.

Даалгавар. Тэвчээргүй тулаанчид.

Анхааруулга хотод болсон тулаанууд харамсалтайгаар дуусах нь ховор. Баримт нь дуалист бүр өглөөний 5-6 цагийн хооронд санамсаргүй цагт цугларсан газартаа ирж, өрсөлдөгчөө 5 минут хүлээсний дараа орхидог. Хэрэв сүүлийнх нь энэ 5 минутын дотор ирвэл дуэль болно. Дуэлийн хэдэн хувь нь тулаанаар төгсдөг вэ?

Шийдэл:Болъё XТэгээд цагт 1 ба 2-р тулаанчдын ирэх цагийг 5 цагаас эхлэн цагийн хуваариар хэмжинэ.

Дуэлистууд уулздаг бол, i.e. x - < y< x + .

Үүнийг зураг дээр дүрсэлцгээе.

Талбайн сүүдэртэй хэсэг нь тулаанчид уулзахтай тохирч байна.

Бүхэл дөрвөлжингийн талбай нь 1, сүүдэртэй хэсгийн талбай нь:

.

Энэ нь тулааны боломж тэнцүү гэсэн үг.

II. Тойргийн сегмент ба нумаас цэг сонгох.

Тодорхой MN сегментээс нэг X цэгийг санамсаргүй байдлаар сонгохоос бүрдэх бодлын туршилтыг авч үзье.

Үүнийг X цэгийг сегмент рүү санамсаргүй байдлаар "шидсэн" гэж ойлгож болно. Энэ туршилтын энгийн үйл явдал нь сегментийн аль ч цэгийн сонголт байж болно.

CD сегментийг MN сегментэд агуулъя. Бид үйл явдлыг сонирхож байна А , сонгосон X цэг нь CD сегментэд хамаарахаас бүрддэг.

Энэ магадлалыг тооцоолох арга нь хавтгай дээрх тоонуудтай адил байна: магадлал нь CD сегментийн урттай пропорциональ байна.

Тиймээс үйл явдлын магадлал А “X цэг нь MN сегментэд агуулагдах CD сегментэд хамаарна” гэсэн утгатай тэнцүү байна.

Жишээ 1. MN сегмент дотор санамсаргүй байдлаар X цэгийг сонгосон. X цэг нь M цэгээс N цэгт ойр байх магадлалыг ол.

Шийдэл: O цэгийг MN сегментийн дунд цэг гэж үзье. X цэг ON сегмент дотор байрлах үед бидний үйл явдал тохиолдох болно.

Дараа нь .

X цэгийг хэрчмээс биш, харин зарим муруй шугамын нумаас сонговол юу ч өөрчлөгдөхгүй.

Жишээ 2.А ба В цэгүүд нь тойрог дээр өгөгдсөн бөгөөд эдгээр цэгүүд нь диаметрийн эсрэг биш юм. С цэгийг ижил тойрог дээр сонгосон ВС сегмент нь А цэгийг дайран өнгөрөх тойргийн диаметртэй огтлолцох магадлалыг ол.

Шийдэл:Тойрог нь L. Бидний сонирхсон үйл явдал TO “ВС сегмент нь DA диаметртэй огтлолцдог” нь зөвхөн В цэгийг агуулаагүй DA хагас тойрог дээр байрлах С цэг нь үүснэ. Энэ хагас тойргийн урт нь L байна.

.

Жишээ 3.А цэгийг тойрог дээр авав. Б цэгийг тойрог дээр "шидэв" AB хөвчний урт нь тойргийн радиусаас бага байх магадлал хэд вэ.

Шийдэл:Тойргийн радиусыг r гэж үзье.

AB хөвч нь тойргийн радиусаас богино байхын тулд В цэг нь тойргийн урттай тэнцүү урт нь B1AB2 нуман дээр унах ёстой.

AB хөвчний урт нь тойргийн радиусаас бага байх магадлал нь:

III. Тоон шулуунаас цэг сонгох

Геометрийн магадлалыг тоон интервалд хэрэглэж болно. нөхцөлийг хангасан X тоог санамсаргүй байдлаар сонгосон гэж бодъё. Энэ туршилтыг тоон шулуун дээрх хэрчмээс X координаттай цэгийг сонгох туршилтаар сольж болно.

Х координаттай цэгийг сегмент дэх сегментээс сонгосон үйл явдлыг авч үзье. Энэ үйл явдлыг тэмдэглэе. Түүний магадлал нь хэрчмүүдийн уртын харьцаатай тэнцүү ба .

.

Жишээ 1.Хэсэгтээс санамсаргүй байдлаар сонгосон цэг сегментэд хамаарах магадлалыг ол.

Шийдэл:Геометрийн магадлалын томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

.

Жишээ 2.Замын хөдөлгөөний дүрмийн дагуу явган зорчигч нь харагдах орчинд явган хүний ​​гарцгүй тохиолдолд тодорхойгүй газраар гудамжаар гарч болно. Миргород хотод Солнечная гудамжинд явган хүний ​​гарц хоорондын зай 1 км байна. Явган зорчигч Солнечная гудамжаар хоёр гарам дундуур явж байна. Тэрээр өөрөөсөө 100 метрийн зайд гарах гарцыг харж чаддаг. Явган зорчигч дүрэм зөрчөөгүй байх магадлалыг ол.

Шийдэл:Геометрийн аргыг ашиглацгаая. Гудамжны уулзваруудын хоорондох хэсэг нь сегмент болж хувирах үүднээс тооны шугамыг зохион байгуулъя. Явган зорчигчийг гудамжинд X координатаар ойртуулна. Явган зорчигч гарц бүрээс 0,1 км-ээс дээш зайд, өөрөөр хэлбэл 0,1 зайд байвал дүрэм зөрчөөгүй.

.

Жишээ 3.Галт тэрэг хагас минутын дотор платформыг өнгөрдөг. Хэзээ нэгэн цагт Иван Иванович галт тэрэгний тавцангийн хажуугаар өнгөрч байгааг санамсаргүй байдлаар купеээсээ цонхоор харав. Иван Иванович яг 10 секундын турш цонхоор харан эргэж харав. Тэр тавцангийн яг голд зогсож байсан Иван Никифоровичийг харсан байх магадлалыг ол.

Шийдэл:Геометрийн аргыг ашиглацгаая. Бид хэдхэн секундын дотор тоолох болно. Иван Иванович тавцангийн эхлэлийг гүйцэх мөчийг 0 секунд зарцуулъя. Дараа нь тэр тавцангийн төгсгөлд 30 секундэд хүрэв. X секундын турш. Иван Иванович цонхоор харж байсан тэр мөчийг тэмдэглэе. Тиймээс X тоог сегментээс санамсаргүй байдлаар сонгоно. Би Иваныг 15 секундэд гүйцэв. Тэр Иван Никифоровичийг тэр мөчөөс хойш биш, харин 10 секундын өмнө цонхоор харвал л харав. Тиймээс та үйл явдлын геометрийн магадлалыг олох хэрэгтэй. Томьёог ашиглан бид олдог

.

"Магадлалын суурь"

"Үхсэн сүнснүүд" шүлгийн эхэнд хоёр хүн Чичиковын тэрэгний дугуй хэр хол явах талаар маргаж байна.

“... Зочид буудлын эсрэг талын зоогийн газрын үүдэнд зогсож байсан хоёр орос эр зарим тайлбар хийсэн боловч энэ нь сууж буй хүмүүсээс илүүтэй сүйх тэрэгтэй холбоотой байв. "Хараач" гэж нэг нь нөгөөдөө хэлэв, "ямар дугуй вэ! Чи юу гэж бодож байна, хэрвээ тэр дугуй ийм зүйл тохиолдвол Москвад хүрэх үү, үгүй ​​юу?" "Тэнд очно" гэж нөгөө нь хариулав. "Гэхдээ би түүнийг Казаньд хүрэхгүй гэж бодож байна уу?" "Тэр Казань хүрэхгүй" гэж өөр нэг нь хариулав.

Шийдэх асуудлууд.

1. 4 талтай ABCD дөрвөлжинд санамсаргүй байдлаар шидсэн цэг ABCD дөрвөлжин дотор байрлах 3 талтай A1B1C1D1 дөрвөлжин болж төгсөх магадлалыг ол.

Хариулт. 9/16.

2. А, Б хоёр хүн 900-1000 цагийн хооронд тодорхой газар уулзахаар тохиролцов.Тэд тус бүр нь санамсаргүй байдлаар (заасан хугацааны интервалаар) нөгөөгөөсөө үл хамааран ирж, 10 минут хүлээдэг. Тэд уулзах магадлал хэд вэ?

Хариулт. 11/36.

3. 3 урттай AB хэрчимд C цэг санамсаргүй байдлаар гарч ирэх C цэгээс В цэг хүртэлх зай 1-ээс хэтрэх магадлалыг тодорхойл.

Хариулт. 2/3.

4. Хамгийн том талбайтай гурвалжинг 5 радиустай тойрогт бичжээ. Тойрог руу санамсаргүй шидсэн цэг гурвалжинд унах магадлалыг тодорхойл.

5. Буратино 20 см х 25 см хэмжээтэй тэгш өнцөгт хуудсан дээр 1 см-ийн радиустай дугуй толбыг тарьсны дараа Буратино өөр нэг ижил толбо тарьсан бөгөөд энэ нь бүхэлдээ хуудсан дээр дуусав. Энэ хоёр толбо хүрэхгүй байх магадлалыг ол.

6. ABCD дөрвөлжин тойрог дотор бичээстэй байна. Энэ тойрог дээр санамсаргүй байдлаар M цэгийг сонгосон. Энэ цэг дээр байрлах магадлалыг ол: a) бага AB нуман; б) том нуман AB.

Хариулт. a) 1/4; б) 3/4.

7. Х цэгийг хэрчим дээр санамсаргүй байдлаар шидэхэд тэгш бус байдал ямар байх магадлалтай вэ: a) ; б) ; V)?

Хариулт. a) 1/3; б) 1/3; в) 1/3.

8. Иваново тосгоны талаар мэддэг бүх зүйл бол Миргород, Старгород хоёрын хоорондох хурдны замын хаа нэгтээ байрладаг. Хурдны замын урт нь 200 км. Магадлалыг ол:

а) Миргородоос Иваново хүртэл хурдны зам дагуу 20 км-ээс бага зайтай;

б) Старгородоос Иваново хүртэл хурдны зам дагуу 130 гаруй км;

в) Иваново хотуудын дундах цэгээс 5 км хүрэхгүй зайд оршдог.

Хариулт. a) 0.1; b) 0.35; в) 0.05.

Нэмэлт материал

Үйл явдлын магадлалын геометрийн хандлага нь геометрийн орон зайн хэмжилтийн төрлөөс хамаардаггүй: гагцхүү энгийн үзэгдэл F болон А үйл явдлыг илэрхийлэх G олонлог ижил төрлийн, ижил хэмжээстэй байх нь чухал юм.

2. Санамсаргүй X цэг нь квадратад жигд тархсан . Координатын тэнхлэгүүдтэй параллель X төвтэй, талууд нь b урттай квадратыг бүхэлд нь А квадратад багтаах магадлалыг ол.

Уран зохиол:

1. Магадлалын онол, статистик / , . – 2-р хэвлэл, шинэчилсэн. – М.: МЦНМО: сурах бичиг,” 2008. – 256 х.: өвчтэй.

2. Магадлалын онол, математик статистикийн жишээн дээр Excel програмыг ашигласан бодлого / , . – Эд. 4 дэх. – Ростов н/д: Финикс, 2006. – 475 х.: өвчтэй. – (Дээд боловсрол).

3. Шийдэл бүхий тавин хөгжилтэй магадлалын бодлого. Пер. Англи хэлнээс / Ed. . 3-р хэвлэл. – М.: Наука, Физик-математикийн уран зохиолын ерөнхий редакц, 1985. – 88 х.

4. Магадлалын онолын бодлогын цуглуулга: Сурах бичиг. Их дээд сургуулиудад зориулсан гарын авлага./, – 2-р хэвлэл, шинэчилсэн найруулга. Мөн нэмэлт - М .: Шинжлэх ухаан. Ч. ed. Физик-математик. Гэрэл. – 1989. – 320 х.

5. Математикийн нэмэлт хичээл: Магадлалын онол: Прок. 9-11 ангийн гарын авлага. дундаж сургууль/ – 3-р хэвлэл. дахин боловсруулсан – М.: Боловсрол, 1990. – 160 х.

Магадлал гэдэг нь аливаа үйл явдал тохиолдох магадлалын зэрэг (хэмжих, тоон үнэлгээ) юм.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт. А санамсаргүй үзэгдлийн магадлал нь А үйл явдлыг бүрдүүлдэг үл нийцэх, ижил магадлалтай энгийн үзэгдлүүдийн n тоог боломжит бүх энгийн үзэгдлийн N тоонд харьцуулсан харьцаа юм.

Магадлалын геометрийн тодорхойлолт. Сонгодог тодорхойлолт нь зөн совингийн шинж чанартай бөгөөд практик дээр тулгуурладаг хэдий ч ядаж ижил боломжтой үр дүнгийн тоо хязгааргүй тохиолдолд шууд хэрэглэх боломжгүй юм. Хязгааргүй тооны боломжит үр дагаврын тод жишээ бол геометрийн хязгаарлагдмал G муж, жишээлбэл, хавтгай дээр, S талбайтай. Санамсаргүй байдлаар "шидэгдсэн" ижил магадлалтай "цэг" нь энэ бүсийн аль ч цэгт хүрч болно. Асуудал нь s талбайтай g тодорхой дэд мужид цэг унах магадлалыг тодорхойлох явдал юм. Энэ тохиолдолд сонгодог тодорхойлолтыг нэгтгэн дүгнэж үзвэл бид магадлалын геометрийн тодорхойлолтыг s ба S-ийн харьцаагаар илэрхийлж болно.

Хэрэв В ба С үйл явдлууд нэгэн зэрэг тохиолдох боломжгүй бол В эсвэл С үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

P(A + B) = P(A) + P(B).

Хэрэв В үйл явдал С үйл явдлаас хамаарахгүй бол В ба С үйл явдал хоёулаа тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

P(A · B) = P(A) · P(B).

Магадлалыг олох асуудлыг шийдэхдээ комбинаторикийн мэдээлэл, ялангуяа нийлбэр ба бүтээгдэхүүний дүрмийг ашиглах нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг.

Нийлбэрийн дүрэм. Хэрэв зарим нэг А объектыг олон тооны объектоос m аргаар, өөр нэг В объектыг n аргаар сонгож чадвал A эсвэл B объектыг m + n аргаар сонгож болно.

Бүтээгдэхүүний дүрэм. Хэрэв зарим нэг А объектыг олон тооны объектуудаас m-ээр сонгож болох ба ийм сонголт бүрийн дараа өөр В объектыг n аргаар сонгох боломжтой бол заасан дарааллын дагуу хос объектыг (A, B) m-ээр сонгож болно. n арга зам.

Шийдэлтэй холбоотой асуудлууд

1. Шоо өнхрүүлэх.

Энгийн үхрийн нүүрэн дээр 1, 2, 3, 4, 5, 6 гэсэн тоонууд байдаг бөгөөд шидэлтийн үеэр өнхрүүлсэн нийт оноо 12-оос хэтрэхгүй бол санамсаргүй байдлаар шиддэг. оноо?

Эцсийн өмнөх шидэлтийг харцгаая. Үүний дараа нийт дүн нь дараах утгуудын аль нэгийг авах ёстой: 12, 11, 10, 9, 8, 7. Хэрэв энэ нь 12 бол нийт үр дүн нь 13, 14, 15, 16, 17, 18. Үүний нэгэн адил нийлбэр нь 11 бол эцсийн үр дүн нь 13, 14, 15, 16, 17 гэх мэт утгыг авах магадлалтай. 13 тоо нь тухайн тохиолдол бүрт ижил тэнцүү нэр дэвшигч болж харагддаг бөгөөд энэ төрлийн цорын ганц тоо юм. Тиймээс 13 тоо хамгийн их магадлалтай.

Ерөнхийдөө ижил аргументууд нь анх удаа n-ээс хэтрэх хамгийн их магадлалтай нийлбэр (n нь 6 ба түүнээс дээш) n+1 гэдгийг харуулж байна.

2. Хөнгөмсөг тангарагтны гишүүн.

Гурван хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй тангарагтны шүүгчдийн бүрэлдэхүүнд хоёр гишүүн бие даан p магадлалтайгаар зөв шийдвэр гаргаж, гурав дахь нь зоос шидэж шийдвэр гаргадаг (эцсийн шийдвэрийг олонхийн саналаар гаргадаг). Нэг хүнээс бүрдсэн тангарагтны шүүгчид p магадлалтайгаар шударга шийдвэр гаргадаг. Эдгээр шүүгчдийн аль нь шударга шийдвэр гаргах магадлал өндөр вэ?

p (1 – p) + (1 – p) p = 2p (1–p),

дараа нь зөв шийдийн магадлалыг олохын тулд энэ тоог 1/2-оор үржүүлэх шаардлагатай. Ийнхүү гурван хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй тангарагтны шүүх шударга шийдвэр гаргах магадлал нийт байна

p 2 + p (1–p) = p,

Энэ нь нэг хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй тангарагтны шүүгчдийн харгалзах магадлалтай ижил байна.

Хариулт: Хоёр төрлийн тангарагтны шүүгчид зөв шийдвэр гаргах магадлал ижил байна.

3. Салангид гурвалжин.

Энгийн n өнцөгтийн (n>5) оройнуудаас санамсаргүй байдлаар өөр өөр цэгийн хоёр гурвалсан хэсгийг сонгоно. Орой нь сонгосон гурвалсан хоёр гурвалжин огтлолцохгүй байх магадлал хэд вэ?

Бүх боломжит хос гурвалсан оройг C n 6 бүлэгт хувааж, зөвхөн ижил зургаан оройг үүсгэдэг гурвалсан гурвалсан хосуудыг нэг бүлэгт цуглуулъя. Нэг талаас, ийм бүлэг бүр нь зургаан тогтмол оройг хоёр гурвалсан хэлбэрээр хэдэн аргаар хуваах боломжтой, өөрөөр хэлбэл C 6 3 = 20 элемент агуулдаг. Нөгөөтэйгүүр, зургааг хоёр гурав болгон хуваах яг 6 арга байдаг бөгөөд энэ нь бодлогод шаардагдах нөхцөлийг хангадаг. Тиймээс хүссэн магадлал нь 6/20 = 0.3 байна.

Хариулт: 0.3.

4. Цагаан ба хар бөмбөг.

Хоёр савны тус бүр нь цагаан, хар бөмбөлөгтэй бөгөөд хоёр саванд байгаа бөмбөгний нийт тоо 25. Нэг бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар сугалж авдаг. Тассан бөмбөг хоёулаа цагаан байх магадлал 0.54 гэдгийг мэдээд сугалсан бөмбөг хоёулаа хар өнгөтэй байх магадлалыг ол.

Эхний болон хоёр дахь бөмбөлгүүдийн нийт тоог m 1 ба m 2-тай тэнцүү болго (тодорхой байдлын хувьд m 1 нь м 2-аас ихгүй гэж үздэг), эдгээр саванд байгаа цагаан бөмбөлгүүдийн тоо тэнцүү байна. k 1 ба k 2 хүртэл тус тус. Дараа нь зурсан бөмбөг хоёулаа цагаан байх магадлал тэнцүү байна

(k 1 / м 1)· (k 2 / м 2).

Бид харьцааг авдаг:

(k 1 / м 1)· (k 2 / м 2) = 0.54 = 27/50,

27м 1 м 2 = 50к 1 к 2,

тэгвэл m 1, m 2 тоонуудын ядаж нэг нь 5-д хуваагдана. Гэхдээ m 1 + m 2 нийлбэр нь мөн 5-д хуваагддаг тул m 1, m 2 тоо бүр 5-д хуваагддаг. Тиймээс бид 5-т хуваагддаг. зөвхөн хоёр боломж:

эсвэл m 1 = 5, m 2 = 20,

эсвэл m 1 = 10, м 2 = 15.

m 1 = 5, m 2 = 20 тохиолдолд бид k 1 k 2 = 54-ийг олж авдаг бөгөөд k 1 нь 5-аас хэтрэхгүй, k 2 нь 20-оос хэтрэхгүй. Ki-ийн бүх боломжит утгыг шалгасны дараа, бид k 1 = 3, k 2 = 18-ыг олно. Дараа нь эхний урна 2 хар бөмбөлөгтэй, хоёр дахь нь мөн 2 хар бөмбөгтэй, хоёр хар бөмбөг зурах магадлал (2/5)·(2/20)=0.04 байна.

Үүний нэгэн адил m 1 = 10, m 2 = 15 тохиолдолд бид k 1 = 9, k 2 =9-ийг олно. Дараа нь эхний саванд 1 хар бөмбөг, хоёрдугаарт 6 хар бөмбөг байх ба хоёр хар бөмбөг зурах магадлал (1/10)·(6/15) = 0.04 (хоёр тохиолдолд хариултууд ижил байна).

Хариулт: 0.04.

5. Гурван талын тулаан.

А, В, С гурван мэргэн бууч нэгэн зэрэг тулаан хийхээр шийдэв. Тэд өөрсдийгөө тэгш талт гурвалжны оройн хэсэгт байрлуулж, дараахь зүйлийг тохиролцов: эхний сумыг А, хоёр дахь нь В, гурав дахь нь С гэх мэт тойрог хэлбэрээр; Хэрэв шидэгчдийн аль нэг нь тэмцээнээ орхивол үлдсэн хоёрын хооронд тулаан үргэлжилнэ. Буудагч А нь 0,3, С 0,5 магадлалтай, Б буудагч ерөөсөө алддаггүй нь мэдэгдэж байна. Дуэльд ялах магадлал хамгийн өндөр байхаар тус бүр нөгөө хоёрын аль нэг рүү нь эсвэл агаарт шиднэ. А мэргэн бууч эхний цохилтоо хаашаа онох ёстой вэ: С шидэгч рүү, В шидэгч рүү эсвэл агаарт уу?

Буудагч А-гийн эхний буудлагын дараа тохиолдож болох гурван үйл явдлыг авч үзье.

Дараа нь 1-ийн магадлалтайгаар шидэгч А Б-ийн эхний суманд оногдоно.

Дараа нь V цохив.

эсвэл 0,5 магадлалтайгаар мэргэн бууч С эхний цохилтоороо А-г онох,

эсвэл (1 – 0,5) 0,3 магадлалтайгаар мэргэн бууч А хоёр дахь сумаараа С-г онох болно.

эсвэл магадлалаар (1 – 0,5) · (1 – 0,3) · 0,5 шидэгч С хоёр дахь цохилтоороо А-г онох,

эсвэл магадлалаар (1 – 0,5) · (1 – 0,3) · (1 – 0,5) · 0,3 шидэгч А гурав дахь сумаараа С-г онох гэх мэт.

Тиймээс энэ тохиолдолд А-гийн дуэльд ялах магадлал тэнцүү байна

0.5 · 0.3 + 0.5 · 0.7 · 0.5 · 0.3 + 0.5 · 0.7 · 0.5 · 0.7 · 0.5 · 0.3 + . . . =

0.15 (1 + 0.35 + 0.35 2 + ..) = 0.15 1/(1 – 0.35) = (15/100) (100/65) = 3/13.

3) Хэн ч гайхдаггүй. Үүний дараа В нь С руу буудаж (өрсөлдөгчдөөсөө илүү нарийвчлалтай) түүнийг цохино. Дараа нь А нь В-г 0.3 магадлалтай цохиж, дуэльд ялна. Тиймээс 0.3 > 3/13-аас хойш мэргэн бууч А-д хамгийн ашигтай нөхцөл бол түүний цохилтын дараа хэн ч оногдохгүй байх явдал юм. Энэ нь тэр анх удаа агаарт буудах ёстой гэсэн үг юм.

Хариулт: Анх удаа агаарт буудах ёстой.

6. Улаан, ногоон бөмбөг.

Цүнхэнд 6 улаан, 8 ногоон бөмбөг байна. Тэдгээрийн 5-ыг санамсаргүй байдлаар зурж, улаан хайрцагт, үлдсэн 9 бөмбөгийг ногоон хайрцагт хийнэ. Ногоон хайрцагт байгаа улаан бөмбөгний тоог нэмээд улаан хайрцагт байгаа ногоон бөмбөгний тоог анхны тоо биш байх магадлал хэд вэ?

Улаан хайрцагт байгаа ногоон бөмбөгний тоог G-ээр тэмдэглэе. 6 улаан, 8 ногоон бөмбөлөг байгаа тул өнгийг хайрцагнуудад дараах байдлаар хуваарилна.

Улаан хайрцаг: G ногоон, (5 - G) улаан;

Ногоон хайрцаг: (8 – G) ногоон, (G + 1) улаан.

Тиймээс ногоон хайрцагт байгаа улаан бөмбөлгүүдийн тоо дээр улаан хайрцагт байгаа ногоон бөмбөгний тоог нэмбэл (G + 1) + G = 2G + 1 сондгой тоотой тэнцүү байна. G тоо нь 5-аас хэтрэхгүй - улаан хайрцагт байгаа бөмбөгний нийт тоо. Тиймээс 2G + 1 нийлбэр нь 1 (G = 0) -ээс 11 (G = 5) хүртэлх утгыг авч болно.

Эдгээр хязгаар доторх цорын ганц сондгой нийлмэл тоо нь 9. Гэсэн хэдий ч бид анхны болон нийлмэл биш 1-ийн тоог оруулах ёстой. Тиймээс 2G + 1 нь 0 эсвэл 9-тэй тэнцүү байх ёстой бөгөөд энэ нь G = 0 эсвэл G = 4 байх боломжтой.

G = 0-тэй дээж авах магадлал (нийт дээжийн тоонд хуваагдсан 5 улаан байх аргын тоо) C 6 5 /C 14 5-тай тэнцүү байна.

G = 4-тэй дээж авах магадлал (4 ногоон, 1 улааныг нийт дээжийн тоонд хуваах аргын тоо) C 8 4 C 6 1 /C 14 5-тай тэнцүү байна.

Бид хүссэн үйл явдлын магадлалыг заасан магадлалын нийлбэрээр олно.

(C 6 5 + C 8 4 C 6 1) / C 14 5 = (6 + 420) / 2002 = 213 / 1001.

Хариулт: 213/1001.

7. Толгой эсвэл сүүл үү?

А, В хоёр тоглогч байнга зоос шидэж буй хүүг харж байна. Шидэх үр дүнг үсэг ашиглан дарааллаар бичнэ: дарааллын k-р байранд O үсэг эсвэл P үсэг байрлана, энэ нь k-р шидэх үед гарч ирэх зүйлээс хамаарна - "толгой" эсвэл "сүүл", тус тус. Тоглогч А нь OOO гурвалсан нь ORO гурваас өмнө бичлэгт гарч ирнэ гэж мэдэгджээ. Б тоглогч эсрэгээрээ болно гэж мөрийцсөн. Энэ бооцоонд аль тоглогч хожих магадлал өндөр вэ?

Эхний O үсгийг (хүүгийн ажиглалт эхэлснээс хойш дор хаяж нэг удаа О үсэг гарч ирэх магадлал 1 байна) дараах хослолуудын аль нэгээр 1/4-ийн тэнцүү магадлалаар дагаж болно.

RO, OO, RR, OR.

Эхний тохиолдолд В тоглогч хожиж, хоёр дахь тохиолдолд А тоглогч хожиж, гурав дахь тохиолдол хэрэгжсэн тохиолдолд дараа нь тоглогчид тоглолтын эхэн үеийнхтэй адил боломжуудтай болно. Дөрөв дэх тохиолдолд 1/2 магадлалтай бол О үсэг дагаж, B тоглогч ялах ба 1/2 магадлалтай бол P үсэг дагах бөгөөд үүний дараа тоглогчид тоглолтын эхэн үеийнхтэй адил боломжуудтай болно. Тиймээс 1/4 А магадлалаар ялах магадлалтай

1/4 + 1/4 1/2 = 3/8

B ялах ба 3/8 магадлалаар тоглогчид тоглолтын эхэн үеийнхтэй адил боломж бүхий нөхцөл байдал үүснэ. Тиймээс В тоглогч А тоглогчоос илүү хожих магадлал өндөр байна.

Хариулт: тоглогч Б.

8. Театрт.

Найман хүү, долоон охин хоёр 15 суудалтай ижил театрт нэг тасалбар худалдаж авсан. Энэ эгнээнд хосууд эзлэгдсэн зэргэлдээх газруудын дундаж тоо хэд вэ?

Жишээлбэл, мөрийг дараах байдлаар бөглөсөн бол: YUDDYYUDYUDYUDD (энд Y нь хүү, D нь охин гэсэн үг) байвал YUD, DYU 9 хос байна. Ийм хосуудын дундаж тоог бид сонирхож байна. Хэрэв эхний хоёр байрыг өөр өөр хүйсийн хүмүүс эзэлдэг бол бид аль хэдийн хүссэн хостой болсон байна. Энэ үйл явдлын магадлал

(8/15) · (7/14) + (7/15) · (8/14) = 8/15.

Түүнээс гадна 8/15 нь эхний хоёр байранд орсон хосуудын дундаж тоо юм

(8/15) 1 + (7/15) 0 = 8/15.

Үүнтэй ижил үндэслэл нь зэргэлдээх байршил бүрт хамаарна.

Залуу хүмүүсийн дундаж хосын тоог тодорхойлохын тулд энэ утгыг зэргэлдээх газруудын тоогоор 14-тэй тэнцүү үржүүлж, 112/15-ыг өгдөг.

Ерөнхийдөө, хэрэв санамсаргүй байдлаар дараалан байрлуулсан нэг төрлийн b, өөр m объект байвал өөр өөр объектуудаас бүрдэх хосуудын дундаж тоо нь тэнцүү байна.

Бидний жишээнд b = 8, m = 7, хариулт нь 112/15 байна.

Энд бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна гэсэн баримтыг үндсэндээ ашигласан. Бид зэргэлдээх хоёр газар тус бүрийн JD эсвэл DJ хосуудын дундаж тоог олж, эдгээр бүх хосуудад нэгтгэн дүгнэв.

Хариулт: 112/15.

9. Америкт алдартай тоглоомуудын нэгэнд тоглогч нэлээн хол зайнаас нэг инчийн квадрат болгон зүссэн ширээний гадаргуу руу зоос шиддэг. Хэрэв зоос (диаметр нь 3/4 инч) талбайн дотор бүрэн буувал тоглогч шагнал авна, эс тэгвээс зоосоо алдах болно. Хэрэв зоос ширээн дээр буувал ялах боломж хэр байдаг вэ?

Ширээн дээр зоос шидэх үед зоосны хүндийн төвийн зарим хэсэг нь бусдаас илүү байх магадлалтай боловч квадрат нь хангалттай жижиг бол магадлалын тархалт жигд байна гэж үзэж болно. Энэ нь төв талбайн аль ч хэсэгт унах магадлал нь тухайн талбайн талбайтай пропорциональ байна гэсэн үг юм; Энэ нь талбайн талбайг талбайн талбайд хуваасантай тэнцүү байна. Зоосны радиус нь 3/8 инч тул тоглогч хожихын тулд төв нь талбайн хажуу талаас 3/8 инчээс ойр байж болохгүй.

Энэ хязгаарлалтыг 1/4 инч талтай квадратаар хангасан бөгөөд зоосны төв хэсэг нь байх ёстой. Магадлал нь талбайнуудтай пропорциональ байдаг тул хожих магадлал (1/4) 2 = 1/16 байна.

Мэдээжийн хэрэг, зоос ширээн дээр огт хүрэхгүй байж магадгүй бөгөөд хожих магадлал үнэндээ бүр бага байна. Мөн хуваах шугамыг өтгөрүүлэх замаар квадратуудыг жижигрүүлж болно. Хэрэв эдгээр зураас нь 1/16 инч зузаантай бол ялалтын талбай (3/16)2 = 9/256 буюу 1/28-аас бага байх магадлалтай.

Хариулт: 1/16.

10. Зоос шидэх.

А тоглогч зоос n+1 удаа, В тоглогч n удаа зоос шиддэг. А тоглогч В тоглогчоос илүү толгойтой байх магадлал хэд вэ?

А ба В тоглогчид m ба k толгойг тус тус ав. Тэгвэл m>k үйл явдлын хүссэн p магадлал нь үйл явдлын q магадлалтай тэнцүү байна

(n + 1) – m > n – k,

өөрөөр хэлбэл, А тоглогч В тоглогчоос илүү толгой авах магадлал (зоос шидэх болгонд толгой, сүүл нь адил тэгш газардах магадлалтай).

Нөгөөтэйгүүр, m>k үйл явдал зөвхөн болон зөвхөн тохиолдолд л тохиолддог

өөрөөр хэлбэл (n+1)–m нь n–k-ээс хэтрэхгүй (n–m ба n–k бүхэл тоо учраас). Тиймээс p=1–q, эндээс бид p=q=1/2 байна.

Хариулт: 1/2.

Шийдэлгүй асуудлууд

1. Дараалсан ялалтууд.

Хүүгээ теннис тоглоход амжилтанд хүргэхийн тулд аав нь аав - аварга - аав эсвэл аварга - аав гэсэн схемийн дагуу аав, клубын аваргын эсрэг дор хаяж хоёр теннисний тэмцээнд дараалан ялбал шагналыг амлаж байна. - Хүүгийн сонголтоор аварга. Аварга ааваасаа илүү тоглодог. Миний хүү аль схемийг сонгох ёстой вэ?

2. "Азаа турш"

“Азаа үзээрэй” бол бооцоот тоглоомын газрууд болон олон нийтийн баяр наадмын үеэр ихэвчлэн тоглодог тоглоом юм. Тоглогч 1, 2, 3, 4, 5, 6 гэсэн тоонуудын аль нэгэнд бооцоо тавьсны дараа гурван шоо шиднэ. Хэрэв тоглогчийн дугаар нэг, хоёр, гурван шоо дээр гарч байвал энэ дугаар гарч ирэх бүрт тоглогч анхны бооцоогоо төлж, өөрийн мөнгийг мөн буцааж өгнө. Үгүй бол тоглогч бооцоо алдах болно. Нэг мөрий тавьсан тоглогчийн дундаж алдагдал хэд вэ? (Үнэндээ та хэд хэдэн тоон дээр нэгэн зэрэг мөрий тавьж болно, гэхдээ мөрий бүрийг тусад нь авч үзнэ.)

3. Хөзрийн тавцан.

Санамсаргүй дарааллаар байрлуулсан n өөр тоглоомын хөзрийн тавцан нь гурван хөзрийг агуулдаг. Хоёрдахь хөзрийг арилгах хүртэл тавцангийн дээд картуудыг нэг нэгээр нь хасдаг. Сугалсан картын дундаж тоо (n + 1)/2 гэдгийг батал.

4. Цэцгийн баглаа

Нэг баглаа цэцэг нь 5 мандарваа цэцэг, 10 эрдэнэ шишийн цэцэгс бүрдэнэ. Энэ баглаанаас санамсаргүй байдлаар 3 ширхэг цэцгийн баглаа хийсэн. Жижиг баглаа бүрд нэг Daisy байх магадлал хэд вэ?

5. Хурц гурвалжин.

A, B, C гурван цэгийг тойрог дээр санамсаргүй байдлаар сонгосон ABC гурвалжин хурц байх магадлал хэд вэ?

Үсчин ба диагональ маргааны тухай Рассел биш, харин Жозеф Луис Франсуагийн бичсэн. Дараахаас бүрдэнэ.
Асуудал: тойрог байна, бид тэнд санамсаргүй байдлаар хөвч зурдаг. Үйл явдлын магадлал хэд вэ
A = (хөвч нь тойрог дотор бичигдсэн тэгш талт гурвалжны талаас урт болсон)?

Хариулт нь бид энэ хөвчийг яг хэрхэн сонгохоос хамаарна. Тухайлбал, гурван арга байдаг (илүү их боломжтой, гэхдээ энэ нь одоогоор хангалттай байх болно):

Арга 1: Аккорд - энэ юу вэ? Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон шугамын хэсэг. Хэлэлцүүлэггүйгээр энэ тойрог дээрх санамсаргүй хоёр цэгийг (бие даасан байдлаар) авч, тэдгээрийн хооронд хөвч зурцгаая. Энд бүх зүйл тэгш хэмтэй байдаг тул BOOMS эхний цэг нь хойд туйл дээр шууд унах бөгөөд үйл явдал АХоёрдахь цэг нь зурган дээрх улаан нуман дээр хүрэх үед тохиолдох болно (энэ нийтлэл дэх бүх хөвч цэнхэр өнгөтэй):

Энэ нь мэдээжийн хэрэг хүссэн магадлал нь 1/3 байна.

Арга 2. Одоо үүнийг аваад хөвчийг ингэж зурцгаая. Эхлээд санамсаргүй радиусыг сонгоцгооё (өөрөөр хэлбэл, төвийг тойрог дээрх санамсаргүй цэгээр холбоно), дараа нь санамсаргүй цэгийг сонгож, перпендикуляр зурж, хөвчийг авцгаая. Дахин хэлэхэд, BOOMS энэ радиус нь хойд туйл руу хөтөлдөг (мөн яагаад би хойд туйл руу тэгтлээ татагдсан юм бэ...), тэгш талт гурвалжны тал (түүний орой нь өмнөд туйлд байдаг) нь энэ радиусыг хоёр хуваадаг. мөн зургийг дахин эргэцүүлэн бодохоос

(радиус дээрх санамсаргүй цэг нь улаан сегмент дээр унах шаардлагатай) хүссэн магадлал нь 1/2-тэй тэнцүү байх нь тодорхой байна.

Арга 3. Ерөнхийдөө бид тойрог дотроос санамсаргүй нэг цэгийг сонгох болно. Бид яг төв рүүгээ хүрч чадахгүй нь тодорхой бөгөөд энэ нь сонгосон цэгтэй төв цэг нь давхцаж буй ганц хөвч байна гэсэн үг юм. Үүнийг авч үзье. Өөрөөр хэлбэл, зургийг харцгаая

Хүссэн магадлал нь 1/4-тэй тэнцүү байгааг бид тодорхой харж байна (сонгосон цэг унах ёстой дотоод тойргийн радиус нь анхныхынхаа хагас юм).

Энд. Нэг бодлого, гурван өөр хариулт, 1/3, 1/2, 1/4. Эндээс ихэвчлэн "санамсаргүй хөвч сонгох" гэдэг нь яг юу гэсэн үг болохыг зааж өгөх ёстой гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна. Тэгэхээр?

Гэхдээ энэ нь тийм биш юм! Бүр тодруулбал тийм биш. Энд нэг зүйл байна: хэрэв бид бүх магадлалын бодлогыг туйлын хатуу бөгөөд нарийн томъёолохыг хүсч байвал, жишээ нь, "арван хүнээс бид хоёрыг санамсаргүй байдлаар сонгодог" гэхийн оронд "... олонлогийн янз бүрийн элементүүдийн бүх эрэмблэгдээгүй хосуудын багцаас (1, ...,10) магадлалын жигд тархалттай нэг хосыг сонгоно." Яахав, тэд "бид санамсаргүй байдлаар сонгох болно" гэж нэмэлт тайлбаргүйгээр хэлэхэд энэ нь сонголт ижил магадлалтай, өөрөөр хэлбэл жигд хуваарилалтаар хийгдсэн гэсэн үг юм.

OK. Сайн байна. Гэхдээ энд тэд намайг тэр утгаараа эсэргүүцэх болно

Олонлогийн санамсаргүй элементийг сонгох нь хэрхэн адилхан магадлалтай болох нь ойлгомжтой Нэлементүүд (тус бүрийг магадлалаар авна 1/Н)

Түүнчлэн хавтгайд (тойрог, дөрвөлжин, ...) аль ч хэсэгт жигд хуваарилалт гэж юу болох нь ойлгомжтой байдаг.

Гэхдээ илүү төвөгтэй объектуудын талаар юу хэлэх вэ?

Тэгээд бид ингэж хариулна. Хамгийн гол нь би хэлэх болно, онцлогЭнэ бол жигд хуваарилалтын өмч юм. Болъё Х- багцын зарим дэд хэсэг Г, мөн нэг объектыг сонгоно уу Гадил магадлалтай байдлаар. Тиймээс, үр дүн нь буурсан тохиолдолд Х- энэ нь тэнд жигд тархалттай байдаг тул ийм хувирамтгай байдлыг олж авдаг. Жишээлбэл, хэрэв та 5 эрэгтэй / 5 эмэгтэйгээс бүрдсэн нэг хүнийг санамсаргүй байдлаар сонгосон бөгөөд энэ нь эмэгтэй хүн гэдгийг мэддэг бол эдгээр тавын аль нь ч сонгогдох боломж (1/5) тэнцүү байна. Мөн энэ бүхэн нь бүс нутгаас цэгийг жигд сонгоход хамаарна.

Тэгэхээр бид санамсаргүй хөвчөөс юу хүсэх вэ? Дээр дурдсан зүйлсээс харахад бидний хүсч буй зүйл бол дараахь зүйл юм.

санамсаргүй хөвч байх тохиолдолд ABжижиг тойрогтой огтлолцдог (тэнд хөвч үүсгэнэ A"B"), энэ хөвч A"B"нь жижиг тойрог доторх "санамсаргүй хөвч" (одоохондоо юу гэсэн үг вэ) адил магадлалын тархалттай.

Тэгэхээр санамсаргүй хөвчийг бүтээх дээрх гурван аргын зөвхөн 2-р арга нь ийм шинж чанартай байдаг нь харагдаж байна! Түүнээс өөр хэн ч биш; бусад нь сайн биш. Энэ бүхэн удаан хугацааны туршид мэдэгдэж байсан, нийтлэлийг үзнэ үү, би үүнийг маш их зөвлөж байна.

Гэсэн хэдий ч бидний энд ярьсан зүйл нь ийм бодлыг санал болгож байна. За, бид одоо тойргийн санамсаргүй хөвч байгааг мэдэж байна. Яаж
Жинхэнэ математикчид бид үүнийг тойргоос эхлээд эллипс, квадрат, гиперкуб гэх мэтээр ерөнхийд нь хэлэхийг хүсч байна. За, оролдоод үзье.

Хийсэн зүйлийг давтан хэлэхэд хөвч нь манай бүс нутгийн хилийн хоёр цэгийг холбосон хэсэг юм. Энэ хоёр цэгийг нэн даруй сонгохын оронд үүнийг өөрөөр хийхийг хичээцгээе: эхлээд хил дээрх нэг цэгийг (ямар нэгэн байдлаар), дараа нь энэ цэгээс хөвч явах чиглэлийг (өөр замаар) сонго. Тэгээд хилтэй огтлолцтол явна, хаана ч ирсэн хоёр дахь цэг нь тэнд байх болно.

Сургуулийн планиметрийн мэдлэгийн энгийн дасгалын нэгэн адил 1-р арга нь энэ процедуртай тэнцэж байгааг нотлох хэрэгтэй: эхлээд бид тойрог дээр нэг цэгийг жигд авч, дараа нь хөвчний чиглэлийг бүх чиглэлд жигд хуваарилах замаар сонгоно. адил магадлалтай.

Мөн бидний үнэт аргын 2-р нөхцөл байдал ийм байна: хөвчний чиглэлийг косинусын хуулийн дагуу сонгосон, өөрөөр хэлбэл. Энэ чиглэлийн тархалтын нягт нь түүний болон радиусын хоорондох өнцгийн косинустай пропорциональ байна (үүнийг батал!). Хэрэв үүнтэй төстэй процедурыг илүү их эсвэл бага дурын бүсээр хийвэл юу болох вэ (бид энд түүний хилийн хангалттай тэгш байдлын талаар уйтгартай тайлбар бичихгүй), тухайлбал

(a) эхлээд хил дээрх жигд цэгийг сонгоно

(б) бид тэндээс косинусын хуулийн дагуу чиглэлийг сонгоход (өнцөг нь энэ цэгийн хилийн нормальтай байна), хөвч нь явдаг.

Энэ бүхэн үнэхээр ажилладаг бөгөөд ямар ч хэмжигдэхүүнтэй адил юм! Үүнийг баталж болно


(бараг хуулж буулгана, анхаарна уу) үүнийг өгсөн, энэ нь санамсаргүй хөвч юм ABдотоод бүсийг огтолж (тэнд хөвч үүсгэдэг A"B"), энэ хөвч A"B"нь дотоод муж дахь энгийн санамсаргүй хөвчтэй адил магадлалын тархалттай байдаг (энд байгаа гадаад муж нь илүү их эсвэл бага дур зоргоороо байдаг, гэхдээ дотоод хэсэг нь гүдгэр байдаг тул "индукцлагдсан" хөвч нь үргэлж өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог). Бид зарим газарт дугуйг дахин зохион бүтээсэн ч гэсэн би энэ боломжийг ашиглан нийтлэлийг энд сурталчлах болно. Та ядаж эхлээд номыг унших ёстой (би үүнийг маш их зөвлөж байна, тийм ээ).

________________________________________ _____________________________________

Жейнс, Э.Т. (1973). "Сайн тавьсан асуудал". Олдсон. Физик. 3 (4): 477-492.

Ф.Сүүлт од, С.Попов, Г.М. Schütz, M. Vachkovskaya (2009)
Санамсаргүй тусгал бүхий ерөнхий домайн дахь бильярд.
Рационал механик ба анализын архив, 193 (3), х. 737-738,
http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-008-0120-x?LI=true
Эрратумыг эндээс үзнэ үү: http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00205-009-0236-7?LI=true, учир нь тэд заваарсан.
Эндээс унших нь дээр: http://arxiv.org/abs/math/0612799, тэнд бүх зүйл аль хэдийн засагдсан бөгөөд нэвтрэх эрх чөлөөтэй.

Кендалл, Моран. (1972)
Геометрийн магадлал.
Хүн бүр хаанаас татаж авахаа олно гэж бодож байна :)