Нормальная матрица. Смотреть значение Нормальная Матрица в других словарях

Normalioji matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normal matrix vok. normale Matrix, f; Normalmatrix, f rus. нормальная матрица, f pranc. matrice normale, f … Fizikos terminų žodynas

Квадратная матрица, перестановочная со своей сопряженной (т. е.) … Математическая энциклопедия

Нормальная (жорданова) форма матриц. С каждой квадратной матрицей связан целый класс матриц, подобных матрице А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Н. (ж.) ф. м.»… …

Матрица в математике, система элементов aij (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной схемы. Если схема имеет m строк и n столбцов, то говорят о (m n) матрице.… … Большая советская энциклопедия

Прямоугольная таблица состоящая из т строк и n столбцов; её паз. M. размера Элементами(первый индекс указывает номер строки, второй номер столбца) M. могут быть числа, ф ции пли др. величины, над к рыми можно производить алгебраич. операции. M.… … Физическая энциклопедия

1) Н. ф. матрицы A матрица Nзаранее определенного специального вида, получаемая из Ас помощью преобразований определенного типа. В зависимости от рассматриваемого типа преобразований, от области K, к к рой принадлежат коэффициенты А, от вида Аи … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Нормальная форма (значения). Нормальная форма в математике простейший либо канонический вид, к которому объект приводится эквивалентными преобразованиями. Содержание 1 Жорданова… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… … Википедия

Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

I Матрица (нем. Matrize, от латинского matrix матка, источник, начало) в полиграфии, 1) сменный элемент литейной формы с углублённым (иногда фотографическим) изображением буквы или знака, используемый при отливке типографских… … Большая советская энциклопедия

Матрицы A выполняется A ∗ = A T , и поэтому она нормальна, если A T A = AA T .

Нормальность является удобным тестом для приводимости к диагональной форме - матрица нормальна тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице , а потому любая матрица A , удовлетворяющая уравнению A ∗ A = AA ∗ , допускает приведение к диагональной форме. (Две матрицы A и B называются унитарно подобными, если существует унитарная матрица S , для которой A = S -1 BS .)

Понятие нормальной матрицы можно распространить на нормальные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах и нормальные элементы в C*-алгебрах .

Энциклопедичный YouTube

1 / 5
Среди комплексных матриц все унитарные , эрмитовы и косоэрмитовы матрицы нормальны. Среди вещественных матриц все ортогональные , симметричные и кососимметричные матрицы нормальны. Однако неверно, что все нормальные матрицы либо унитарны, либо эрмитовы, либо косоэрмитовы. Например,
A = (1 1 0 0 1 1 1 0 1) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}}
не является ни унитарной, ни эрмитовой, ни косоэрмитовой, хотя и нормальна, поскольку
A A ∗ = (2 1 1 1 2 1 1 1 2) = A ∗ A . {\displaystyle AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A.}
Следствия

Предложение. Нормальная треугольная матрица диагональна .
Пусть A - нормальная верхне-треугольная матрица. Поскольку (A ∗ A ) ii = (AA ∗) ii , первая строка должна иметь ту же норму, что и первый столбец:
‖ A e 1 ‖ 2 = ‖ A ∗ e 1 ‖ 2 . {\displaystyle \left\|Ae_{1}\right\|^{2}=\left\|A^{*}e_{1}\right\|^{2}.}
Первые элементы первой строки и первого столбца совпадают, а остаток первого столбца состоит из нулей. Из этого следует, что и в строке все элементы от 2 до n должны быть нулевыми. Продолжая эти рассуждения для пар строка/столбец с номерами от 2 до n , получим, что A диагональна.
Понятие нормальности важно, поскольку нормальные матрицы - это в точности те, которых касается спектральная теорема :
Предложение. Матрица A нормальна тогда и только тогда, когда существует диагональная матрица Λ и унитарная матрица U , такие что A = U ΛU ∗ .
Диагональные элементы матрицы Λ являются собственными числами , а столбцы U - собственными векторами матрицы A . (собственные значения в Λ идут в том же порядке, что и соответствующие им собственные вектора в U ).
Другим способом высказать утверждение спектральной теоремы является утверждение, что нормальные матрицы - это в точности те матрицы, которые можно представить в виде диагональной матрицы путём выбора подходящего ортонормального базиса пространства C n . Также можно утверждать, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда её собственное пространство совпадает с C n и собственные вектора ортогональны по стандартному скалярному произведению в C n .
Спектральная теорема для нормальных матриц является специальным случаем более общего разложения Шура , которое выполняется для всех квадратных матриц. Пусть A - квадратная матрица. Тогда, согласно разложению Шура, она унитарно подобна верхней треугольной матрице, скажем, B . Если A нормальна, то и B нормальна тоже. Но тогда B должна быть диагональной по причине, изложенной выше.
Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы в терминах спектра, например:
Предложение. Нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда её спектр лежит на единичном круге комплексной плоскости. Предложение. Нормальная матрица является самосопряжённой тогда и только тогда, когда её спектр содержится в R .
В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно будет нормальной матрицей. Однако выполняется следующее:
Предложение. Если A и B нормальны и выполняется AB = BA , то и AB , и A + B также нормальны. Более того, существует унитарная матрица U , такая, что UAU ∗ и UBU ∗ диагональны. Другими словами, A и B совместно приводимы к диагональной форме .
В этом частном случае столбцы матрицы U ∗ являются собственными векторами, как A , так и B , и образуют ортонормальный базис в C n . Утверждение следует из теорем, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы совместно приводимы к треугольному виду и что нормальная матрица приводима к диагональной, в последнем случае с дополнением, что это можно сделать одновременно.

Эквивалентные определения

Можно дать довольно длинный список эквивалентных определений нормальной матрицы. Пусть A - n × n комплексная матрица. Следующие высказывания эквивалентны:
1. A нормальна.
2. A является приводимой к диагональной форме с помощью унитарной матрицы.
3. Все точки пространства можно получить как линейные комбинации некоторого набора ортонормальных собственных векторов матрицы A .
4. ||Ax || = ||A ∗ x || для любого x .
5. Норму Фробениуса матрицы A можно вычислить по собственным значениям матрицы A : tr ⁡ (A ∗ A) = ∑ j | λ j | 2 . {\displaystyle \operatorname {tr} (A^{*}A)=\sum \nolimits _{j}|\lambda _{j}|^{2}.}
6. Эрмитова часть (A + A ∗) / 2 {\displaystyle (A+A^{\ast })/2} и косоэрмитова часть (A − A ∗) / 2 {\displaystyle (A-A^{\ast })/2} матрицы A коммутируют.
7. A ∗ является многочленом (степени ≤ n − 1 ) от A .
8. A ∗ = AU для некоторой унитарной матрицы U .
9. U и P коммутируют, где U и P представляют полярное разложение A = UP на унитарную матрицу U и некую положительно определённую матрицу P .
10. A коммутирует с некоторой нормальной матрицей N , имеющей различные собственные значения.
11. σ i = |λ i | для всех 1 ≤ i ≤ n , где A имеет сингулярные собственные значения
Нормальную матрицу можно представлять как организационный инструмент, картотеку, содержащую все возможные записи в пространстве n -кортежей, в которой ничего не упущено и не продублировано. На первый взгляд может показаться, что выгода от использования этого инструмента ограничена малыми блочными кодами, поскольку для кодов длиной более n =20 пространство n -кортежей насчитывает миллионы элементов. Впрочем, даже для больших кодов нормальная матрица позволяет определить важные исходные характеристики, такие как возможные компромиссы между обнаружением и исправлением ошибок и пределы возможностей кода в коррекции ошибок. Одно из таких ограничений, называемое пределом Хэмминга , описывается следующим образом.

Количество бит четности: (6.52,а)

Количество классов смежности: (6.52,6)

Здесь величина , определяемая уравнением (6.16), представляет число способов выбора из п бит j ошибочных. Заметим, что сумма членов уравнения (6.52), находящихся в квадратных скобках, дает минимальное количество строк, которое должно присутствовать в нормальной матрице для исправления всех комбинаций ошибок, вплоть до t -битовых ошибок. Неравенство определяет нижнюю границу числа п- k бит четности (или классов смежности) как функцию возможностей кода в коррекции t -битовых ошибок. Аналогичным образом можно сказать, что неравенство дает верхнюю границу возможностей кода в коррекции t -битовых ошибок как функцию числа n - k бит четности (или классов смежности). Для обеспечения возможности коррекции t -битовых ошибок произвольных линейных блочных кодов (п, k ) необходимым условием является удовлетворение предела Хэмминга.

Чтобы показать, как нормальная матрица может обеспечить визуальное представление этого предела, возьмем в качестве примера код БХЧ (127,106). Матрица содержит все = 2127= 1,70 х 10 38 n - кортежей пространства. Верхняя строка матрицы содержит = 2106 = 8,11 x 10 31 кодовых слов; следовательно, это число столбцов в матрице. Крайний левый столбец содержит 2 097 152 образующих элемента классов смежности; следовательно, это количество строк в матрице. Несмотря на то что число n -кортежей и кодовых слов просто огромно, нас не интересует конкретный вид каждого элемента матрицы. Основной интерес представляет количество классов смежности. Существует 2 097 152 класса смежности и, следовательно, 2 097 151 ошибочная комбинация, которую способен исправить, этот код. Далее показано, каким образом это число классов смежности определяет верхний предел возможностей кода в коррекции t -битовых ошибок.

Поскольку каждое кодовое слово содержит 127 бит, существует 127 возможностей допустить ошибку в одном бите. Рассчитываем количество возможностей появления двух ошибок - = 8 001. Затем переходим к трехбитовым ошибкам, поскольку ошибки, упомянутые выше, - это лишь незначительная часть всех 2 097 151 ошибочных комбинаций. Итак, существует = 333 375 возможностей совершить трехбитовую ошибку.

Эти расчеты приведены в табл. 6.3; там же показано, что нулевая ошибочная комбинация требует наличия первого класса смежности. Затем перечислены требования одно-, двух- и трехбитовых ошибок. Также показывается количество классов смежности, необходимое для коррекции каждого типа ошибок, и общее количество классов смежности, необходимых для коррекции ошибок всех типов, вплоть до требуемого типа ошибки. Из этой таблицы можно видеть, что код (127,106) способен исправить все комбинации, содержащие 1, 2 или 3 ошибочных бита, причем это составляет только 341504 из 2 097 152 возможных классов смежности. Неиспользованные 1 755 648 строк говорят о больших потенциальных возможностях в коррекции ошибок, чем было использовано. Действительно, в матрицу можно попытаться втиснуть все возможные 4-битовые ошибки. Но при взгляде на табл. 6.3 становится совершенно ясно, что это невозможно, поскольку, как показывает последняя строка таблицы, число оставшихся в матрице классов смежности значительно меньше общего числа классов смежности, требуемого для коррекции 4-битовых ошибок. Следовательно, предел Хэмминга описанного кода (127,106) гарантирует исправление всех ошибок вплоть до 3-битовых.

Таблица 6.3. Предел возможностей коррекции для кода (127, 106)

Количество битовых ошибок Количество необходимых Общее число необходимых

классов смежности классов смежности

1. Пусть дан некоторый многочлен с коэффициентами из поля
Рассмотрим квадратную матрицу -го порядка
. (36)
Нетрудно проверить, что многочлен является характеристическим многочленом матрицы :
.
С другой стороны, минор элемента в характеристическом определителе равен . Поэтому и , .
Таким образом, матрица имеет единственный отличный от единицы инвариантный многочлен, равный .
Матрицу мы будем называть сопровождающей матрицей для многочлена .
Пусть дана матрица с инвариантными многочленами
Здесь все многочлены имеют степень выше пулевой, причем каждый из этих многочленов, начиная со второго, является делителем предыдущего. Сопровождающие матрицы для этих многочленов обозначим через .
Тогда квазидиагональная матрица -го порядка
(38)
имеет своими инвариантными многочленами многочлены (37) (см. теорему 4 на стр. 145). Поскольку матрицы и имеют одни и те же инвариантные многочлены, они подобны, т. е. существует всегда такая неособенная матрица , что
Матрица называется первой естественной нормальной формой для матрицы . Эта нормальная форма характеризуется: 1) квазидиагональным видом (38), 2) специальной структурой диагональных клеток (36) и 3) дополнительным условием: в ряду характеристических многочленов диагональных клеток каждый многочлен, начиная со второго, является делителем предыдущего.
2. Обозначим теперь через
(39)
элементарные делители матрицы в числовом поле . Соответствующие сопровождающие матрицы обозначим через
.
Поскольку – единственный элементарный делитель матрицы , то согласно теореме 5 квазидиагональная матрица
(40)
имеет своими элементарными делителями многочлены (39).
Матрицы и имеют одни и те же элементарные делители в поле . Поэтому эти матрицы подобны, т. е. существует всегда такая неособенная матрица , что
Матрица называется второй естественной нормальной формой для матрицы . Эта нормальная форма характеризуется: 1) квазидиагональным видом (40), 2) специальной структурой диагональных клеток (36) и 3) дополнительным условием: характеристический многочлен каждой диагональной клетки представляет собой степень неприводимого в поле многочлена.
Замечание. Элементарные делители матрицы в отличие от инвариантных многочленов существенно связаны с данным числовым полем . Если мы вместо исходного числового поля возьмем другое числовое поле (которому также принадлежат элементы данной матрицы ), то элементарные делители могут измениться. Вместе с элементарными делителями изменится и вторая естественная нормальная форма матрицы.
Так, например, пусть дана матрица с вещественными элементами. Характеристический многочлен этой матрицы будет иметь вещественные коэффициенты. В то же время этот многочлен может иметь комплексные корни. Если – поле вещественных чисел, то среди элементарных делителей могут быть и степени неприводимых квадратных трехчленов с вещественными коэффициентами. Если – поле комплексных чисел, то каждый элементарный делитель имеет вид .
3. Допустим теперь, что числовое поле содержит не только элементы матрицы , но и все характеристические числа этой матрицы. Тогда элементарные делители матрицы имеют вид
. (41)
Рассмотрим один из таких элементарных делителей
и поставим ему в соответствие следующую матрицу порядка :
. (42)
Нетрудно проверить, что эта матрица имеет только один элементарный делитель . Матрицу (42) мы будем называть жордановой клеткой, соответствующей элементарному делителю .
Жордановы клетки, соответствующие элементарным делителям (41), обозначим через
Тогда квазидиагональная матрица
имеет своими элементарными делителями степени (41).
Матрицу можно еще записать так:
Поскольку матрицы и имеют одни и те же элементарные делители, они подобны между собой, т. е. существует такая неособенная матрица , что
Матрица называется жордановой нормальной формой или просто жордановой формой матрицы . Жорданова форма характеризуется квазидиагональным видом и специальной структурой (42) диагональных клеток.-го порядка
Заметим еще, что если , то каждая из матриц
,
имеет только один элементарный делитель: . Поэтому для неособенной матрицы , имеющей элементарные делители (41), наряду с (III) и (IV) имеют место представления

Квадратная матрица, перестановочная со своей сопряженной (т. е.)

Смотреть значение Нормальная Матрица в других словарях

Матрица — ж. изложница, льяло, льяк, гнездо, форма для отливки печатальных букв. Матрицовый или матричный, относящийся к матрице.
Толковый словарь Даля

Матрица — матрицы, ж. (нем. Matrize) (тех.). 1. Пластинка с выдавленными, вырезанными обратными знаками или изображениями чего-н., служащая формой для отливки или штамповки. С матриц отливают........
Толковый словарь Ушакова

Матрица Ж. — 1. Углубленная металлическая форма, применяемая при штамповке металла, при отливке типографских литер и т.п. 2. Обратная углубленная копия, снимаемая с набора на картоне,........
Толковый словарь Ефремовой

Матрица — -ы; ж. [от лат. matrix (matricis) - матка]
1. Техн. Углублённая металлическая форма, применяемая при отливке металла под давлением, при отливке типографских литер и т.п. Линотипная........
Толковый словарь Кузнецова

Вариационно-ковариационная Матрица (variance-covariance Matrix) — симметричная таблица ковариаций между некоторым числом случайных переменных. Дисперсии случайных переменных представлены на диагонали матрицы, а ковариаций выше и ниже диагонали.
Экономический словарь

Единица Нормальная Торговая — См. Единица биржевая
Экономический словарь

Калькуляции Себестоимости Нормальная (normal Costing) — Процесс калькуляции себестоимости, когда на объект учета затрат относится сумма потребленных материалов и людских ресурсов плюс сумма распределенных на базе нормальной........
Экономический словарь

Ковариационная Матрица — (variance-covariance matrix) – симметричная
матрица, содержащая
коэффициенты ковариации случайных величин, составляющих некоторый случайный вектор.
Экономический словарь

Логарифмически Нормальная Классификация — Классификация, при которой логарифмическое значение переменной следует за нормальной классификацией. Логарифмически нормальные классификации используются для описания........
Экономический словарь

Матрица — пространственная совокупность числовых значений, расположенных в узлах условной решетки.
Экономический словарь

Матрица Доля Рынка - Рост Рынка — матрица из четырех квадрантов, по которой рассчитывается
модель стратегического поведения компании. В матрице используется
вероятность
успеха при различных........
Экономический словарь

Матрица Инвестиционного Стиля Фонда, Специализирующегося На Акциях Внутреннего Рынка — Матрица инвестиционного стиля
фонда представляет собой -9-ячеечный квадрат, позволяющий определить как инвестиционную стратегию фонда, так и
размер компаний,........
Экономический словарь

Матрица Инвестиционного Стиля Фонда, Специализирующегося На Акциях Международных Рынков — , составляется на основе показателей, которые рассчитываются несколько иным способом, нежели для фондов, специализирующихся на акциях внутреннего рынка. На вертикальной........
Экономический словарь

Матрица Инвестиционного Стиля Фонда, Специализирующегося На Бумагах С Фиксированным Доходом — В матрице инвестиционного стиля фонда, специализирующегося на бумагах с фиксированным доходом и работающего либо на внутреннем, либо на международном рынках, представлены........
Экономический словарь

Матрица Маркетинговая Стратегическая — пространственная модель, образуемая пересечением координат двух факторов, дающая возможность оценить положение компании, фирмы на рынке и разработать маркетинговую........
Экономический словарь

Матрица Потребностей — матрица, благодаря которой можно произвести классификацию потребностей по признакам, характеризующим виды потребляемых товаров и категориям их потребителей.
Экономический словарь

Матрица Ресурсно-целевая — матрица, дающая возможность рассчитать объем необходимых ресурсов и их распределение по намечаемым программам.
Экономический словарь

Матрица Социальных Счетов — Матрица социальных счетов – это
набор взаимосвязанных статистических таблиц, представляющий схематическое изображение круговорота доходов в экономике в определенный........
Экономический словарь

Нормальная Взаимосвязь — (normal backwardation) – ожидаемое соотношение между текущей фьючерсной ценой и ценой
спот на
момент поставки, когда
фьючерсная цена меньше ожидаемой
цены спот.
Экономический словарь

Нормальная Инвестиционная Практика — Сведения об
инвестициях на
счете
клиента, находящиеся у
дилера-члена Национальной ассоциации дилеров по ценным
бумагам (National Association of Securities Dealers),........
Экономический словарь

Нормальная Мощность (normal Capacity) — Средний уровень выпуска, который необходимо обеспечить для удовлетворения потребностей заказчиков на срок в несколько периодов.
Экономический словарь

Нормальная Прибыль — -
прибыль, равная вмененным издержкам, вложенным в
производство владельцем фирмы
Экономический словарь

Нормальная Прибыль (норма Прибыли От Инвестиций) — - прибыль и норма прибыли от инвестиций, которые близки к средним показателям всех фирм.
Экономический словарь

Нормальная Продолжительность Рабочего Времени — См.
Продолжительность рабочего времени нормальная
Экономический словарь

Нормальная Производственная Мощность Оборудования — Объем производства, который ожидается получить в среднем на протяжении нескольких периодов или сезонов при нормальных
условиях, с учетом потерь
мощности в........
Экономический словарь

Нормальная Случайная Переменная — Случайная переменная с нормальным распределением вероятностей.
Экономический словарь

Нормальная Цена — цена, устанавливающаяся в результате долговременного
процесса
роста эластичности
предложения.
Экономический словарь

Платежная Матрица — - статистический
метод принятия решения, помогающий руководителю выбирать из возможных альтернатив.
Экономический словарь

Прибыль Нормальная — издержки предпринимателя, не включенные в
затраты, не отраженные в предпринимательских издержках согласно бухгалтерской документации, условно включенные в бухгалтерскую
прибыль.
Экономический словарь

Прибыль, Нормальная — - 1. часть предпринимательского дохода, платежи, которые должна делать фирма, чтобы приобрести и удержать предпринимательские способности, минимальная плата (доход),........
Экономический словарь