Свойства собственных чисел. Собственные значения (числа) и собственные векторы.Примеры решений

Определение 9.3. Вектор х называется собственным вектором матрицы А , если найдется такое число λ, что выполняется равенство: Ах = λх , то есть результатом применения к х линейного преобразования, задаваемого матрицей А , является умножение этого вектора на число λ . Само число λ называетсясобственным числом матрицы А .

Подставив в формулы (9.3) x` j = λx j , получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

. (9.5)

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

получим уравнение для определения собственных чисел λ , называемое характеристическим уравнением . Кратко его можно представить так:

| A - λE | = 0, (9.6)

поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-λЕ . Многочлен относительно λ | A - λE | называется характеристическим многочленом матрицы А.

Свойства характеристического многочлена:

1) Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса. Доказательство. (см. (9.4)), но следовательно, . Таким образом, не зависит от выбора базиса. Значит, и |A-λE | не изменяется при переходе к новому базису.

2) Если матрица А линейного преобразования является симметрической (т.е. а ij =a ji ), то все корни характеристического уравнения (9.6) – действительные числа.

Свойства собственных чисел и собственных векторов:

1) Если выбрать базис из собственных векторов х 1 , х 2 , х 3 , соответствующих собственным значениям λ 1 , λ 2 , λ 3 матрицы А , то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

(9.7) Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

2) Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

3) Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы Составим характеристическое уравнение: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению λ. Из (9.5) следует, что если х (1) ={x 1 ,x 2 ,x 3 } – собственный вектор, соответствующий λ 1 =-2, то

- совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в виде х (1) ={a ,0,-a }, где а – любое число. В частности, если потребовать, чтобы |x (1) |=1, х (1) =

Подставив в систему (9.5) λ 2 =3, получим систему для определения координат второго собственного вектора - x (2) ={y 1 ,y 2 ,y 3 }:

, откуда х (2) ={b,-b,b } или, при условии |x (2) |=1, x (2) =

Для λ 3 = 6 найдем собственный вектор x (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

, x (3) ={c ,2c,c } или в нормированном варианте

х (3) = Можно заметить, что х (1) х (2) = ab – ab = 0, x (1) x (3) = ac – ac = 0, x (2) x (3) = bc - 2bc + bc = 0. Таким образом, собственные векторы этой матрицы попарно ортогональны.

Лекция 10.

Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Определение 10.1. Квадратичной формой действительных переменных х 1 , х 2 ,…,х n называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.

Примеры квадратичных форм:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Напомним данное в прошлой лекции определение симметрической матрицы:

Определение 10.2. Квадратная матрица называется симметрической , если , то есть если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали.

Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы:

1) Все собственные числа симметрической матрицы действительные.

Доказательство (для n = 2).

Пусть матрица А имеет вид: . Составим характеристическое уравнение:

(10.2) Найдем дискриминант:

Следовательно, уравнение имеет только действительные корни.

2) Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.

Доказательство (для n = 2).

Координаты собственных векторов и должны удовлетворять уравнениям.

Наиболее просто устроены матрицы диагонального вида . Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного оператора имела бы диагональный вид. Такой базис существует.
Пусть дано линейное пространство R n и действующий в нем линейный оператор A; в этом случае оператор A переводит R n в себя, то есть A:R n → R n .

Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A , если оператор A переводит x в коллинеарный ему вектор, то есть . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору x .
Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.
1. Любая линейная комбинация собственных векторов оператора A, отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы оператора A с попарно различными собственными числами λ 1 , λ 2 , …, λ m линейно независимы.
3. Если собственные числа λ 1 =λ 2 = λ m = λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов , соответствующих различным собственным числам λ 1 , λ 2 , …, λ n , то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R n . Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .
Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.
Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса - собственные векторы оператора A.

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов

. (*)

(1)
где - матрица линейного оператора.

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

Пример 12. Линейный оператор A действует в R 3 по закону , где x 1 , x 2 , .., x n - координаты вектора в базисе , , . Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Решение. Строим матрицу этого оператора:
.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Подставляя λ = -1 в систему, имеем:
или
Так как , то зависимых переменных два, а свободное одно.
Пусть x 1 - свободное неизвестное, тогда Решаем эту систему любым способом и находим общее решение этой системы: Фундаментальная система решений состоит из одного решения, так как n - r = 3 - 2 = 1.
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ = -1, имеет вид: , где x 1 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x 1 = 1: .
Рассуждая аналогично, находим собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 3: .
В пространстве R 3 базис состоит из трех линейно независимых векторов, мы же получили только два линейно независимых собственных вектора, из которых базис в R 3 составить нельзя. Следовательно, матрицу A линейного оператора привести к диагональному виду не можем.

Пример 13. Дана матрица .
1. Доказать, что вектор является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.
2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.
Решение.
1. Если , то x - собственный вектор

.
Вектор (1, 8, -1) - собственный вектор. Собственное число λ = -1.
Диагональный вид матрица имеет в базисе, состоящем из собственных векторов. Один из них известен. Найдем остальные.
Собственные векторы ищем из системы:

Характеристическое уравнение: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Найдем собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = -3:

Ранг матрицы этой системы равен двум и равен числу неизвестных, поэтому эта система имеет только нулевое решение x 1 = x 3 = 0. x 2 здесь может быть любым, отличным от нуля, например, x 2 = 1. Таким образом, вектор (0,1,0) является собственным вектором, отвечающим λ = -3. Проверим:
.
Если λ = 1, то получаем систему
Ранг матрицы равен двум. Последнее уравнение вычеркиваем.
Пусть x 3 - свободное неизвестное. Тогда x 1 = -3x 3 , 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3 , x 2 = -9x 3 .
Полагая x 3 = 1, имеем (-3,-9,1) - собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 1. Проверка:

.
Так как собственные числа действительные и различны, то векторы, им отвечающие, линейно независимы, поэтому их можно принять за базис в R 3 . Таким образом, в базисе , , матрица A имеет вид:
.
Не всякую матрицу линейного оператора A:R n → R n можно привести к диагональному виду, поскольку для некоторых линейных операторов линейно независимых собственных векторов может быть меньше n. Однако, если матрица симметрическая, то корню характеристического уравнения кратности m соответствует ровно m линейно независимых векторов.

Определение. Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой .
Замечания. 1. Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.
2. Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.
В качестве одного из многочисленных приложений изученного аппарата, рассмотрим задачу об определении вида кривой второго порядка.

Лекция 9.

Линейные преобразования координат. Собственные векторы и собственные числа матрицы, их свойства. Характеристический многочлен матрицы, его свойства.

Будем говорить, что на множестве векторов R задано преобразование А , если каждому вектору х R по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор Ах R .

Определение 9.1. Преобразование А называется линейным , если для любых векторов х и у и для любого действительного числа λ выполняются равенства:

А( х + у )=Ах + Ау ,А(λх ) = λ Ах . (9.1)

Определение 9.2. Линейное преобразование называется тождественным , если оно преобразует любой вектор х в самого себя.

Тождественное преобразование обозначается Е:Ех = х .

Рассмотрим трехмерное пространство с базисом е 1 , е 2 , е 3 , в котором задано линейное преобразование А . Применив его к базисным векторам, мы получим векторы Ае 1 , Ае 2 , Ае 3 , принадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса:

Ае 1 = а 11 е 1 + а 21 е 2 +а 31 е 3 ,

Ае 2 = а 12 е 1 + а 22 е 2 + а 32 е 3 ,(9.2)

Ае 3 = а 13 е 1 + а 23 е 2 + а 33 е 3 .

Матрица называется матрицей линейного преобразования А в базисе е 1 , е 2 , е 3 . Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах (9.2) преобразования базиса.

Замечание. Очевидно, что матрицей тождественного преобразования является единичная матрица Е .

Для произвольного вектора х =х 1 е 1 + х 2 е 2 + х 3 е 3 результатом применения к нему линейного преобразования А будет вектор Ах , который можно разложить по векторам того же базиса:Ах =х` 1 е 1 + х` 2 е 2 + х` 3 е 3 , где координаты x ` i можно найти по формулам:

х ` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 ,(9.3)

x ` 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 .

Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А .

Преобразование матрицы линейного преобразования

при переходе к новому базису.

Рассмотрим линейное преобразование А и два базиса в трехмерном пространстве: е 1 , е 2 , е 3 и е 1 , е 2 , е 3 . Пусть матрица С задает формулы перехода от базиса { e k } к базису { e k }. Если в первом из этих базисов выбранное линейное преобразование задается матрицей А , а во втором – матрицей А , то можно найти связь между этими матрицами, а именно:

А = С -1 А С(9.4)

Действительно, , тогда А . С другой стороны, результаты применения одного и того же линейного преобразования А в базисе { e k }, т.е. , и в базисе { e k }: соответственно - связаны матрицей С : , откуда следует, что СА=А С . Умножая обе части этого равенства слева на С -1 , получимС -1 СА= = С -1 А С , что доказывает справедливость формулы (9.4).

Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Определение 9.3. Вектор х называется собственным вектором матрицы А , если найдется такое число λ, что выполняется равенство: Ах = λх , то есть результатом применения к х линейного преобразования, задаваемого матрицей А , является умножение этого вектора на число λ . Само число λ называется собственным числом матрицы А .

Подставив в формулы (9.3) x ` j = λ x j , получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

.

Отсюда

.(9.5)

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

получим уравнение для определения собственных чисел λ , называемое характеристическим уравнением . Кратко его можно представить так:

| A -λ E | = 0,(9.6)

поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А- λЕ . Многочлен относительно λ| A -λ E | называется характеристическим многочленом матрицы А.

Свойства характеристического многочлена:

1) Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.Доказательство. (с м. (9.4)), но следовательно, . Таким образом, не зависит от выбора базиса. Значит, и | A -λ E | не изменяется при переходе к новому базису.

2) Если матрица А линейного преобразования является симметрической (т.е. а ij = a ji ), то все корни характеристического уравнения (9.6) – действительные числа.

Свойства собственных чисел и собственных векторов:

1) Если выбрать базис из собственных векторов х 1 , х 2 , х 3 , соответствующих собственным значениямλ 1 , λ 2 , λ 3 матрицы А , то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

(9.7)Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

2) Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

3) Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.

Пример.

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы С оставим характеристическое уравнение: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению λ. Из (9.5) следует, что если х (1) ={ x 1 , x 2 , x 3 } – собственный вектор, соответствующий λ 1 =-2, то

- совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в виде х (1) ={ a ,0,- a }, где а – любое число. В частности, если потребовать, чтобы | x (1) |=1, х (1) =

Подставив в систему (9.5) λ 2 =3, получим систему для определения координат второго собственного вектора- x (2) ={ y 1 , y 2 , y 3

Линейные преобразования координат. Собственные векторы и собственные числа матрицы, их свойства. Характеристический многочлен матрицы, его свойства.

Будем говорить, что на множестве векторов R заданопреобразование А , если каждому векторух R по некоторому правилу поставлен в соответствие векторА х R .

Определение 9.1. ПреобразованиеА называетсялинейным , если для любых векторовх иу и для любого действительного числаλ выполняются равенства:

А(х + у )=А х + А у ,А(λ х ) =λ А х . (9.1)

Определение 9.2. Линейное преобразование называетсятождественным , если оно преобразует любой векторх в самого себя.

Тождественное преобразование обозначается Е: Е х = х .

Рассмотрим трехмерное пространство с базисом е 1 , е 2 , е 3 , в котором задано линейное преобразованиеА . Применив его к базисным векторам, мы получим векторыА е 1 , А е 2 , А е 3 , принадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса:

А е 1 = а 11 е 1 + а 21 е 2 +а 31 е 3 ,

А е 2 = а 12 е 1 + а 22 е 2 + а 32 е 3 , (9.2)

А е 3 = а 13 е 1 + а 23 е 2 + а 33 е 3 .

Матрица
называетсяматрицей линейного преобразования А в базисее 1 , е 2 , е 3 . Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах (9.2) преобразования базиса.

Замечание. Очевидно, что матрицей тождественного преобразования является единичная матрица Е .

Для произвольного вектора х =х 1 е 1 + х 2 е 2 + х 3 е 3 результатом применения к нему линейного преобразованияА будет векторА х , который можно разложить по векторам того же базиса:А х =х` 1 е 1 + х` 2 е 2 + х` 3 е 3 , где координатыx ` i можно найти по формулам:

х ` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 , (9.3)

x ` 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 .

Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А .

Преобразование матрицы линейного преобразования

при переходе к новому базису.

Рассмотрим линейное преобразование А и два базиса в трехмерном пространстве: е 1 , е 2 , е 3 ие 1 , е 2 , е 3 . Пусть матрица С задает формулы перехода от базиса {e k } к базису {e k }. Если в первом из этих базисов выбранное линейное преобразование задается матрицей А, а во втором – матрицейА , то можно найти связь между этими матрицами, а именно:

А = С -1 А С (9.4)

Действительно,
, тогдаА
. С другой стороны, результаты применения одного и того же линейного преобразованияА в базисе {e k }, т.е., и в базисе {e k }: соответственно- связаны матрицейС :
, откуда следует, чтоСА= А С . Умножая обе части этого равенства слева наС -1 , получимС - 1 СА = = С -1 А С , что доказывает справедливость формулы (9.4).

Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Определение 9.3. Векторх называетсясобственным вектором матрицыА , если найдется такое числоλ, что выполняется равенство:А х = λ х , то есть результатом применения кх линейного преобразования, задаваемого матрицейА , является умножение этого вектора на числоλ . Само числоλ называетсясобственным числом матрицыА .

Подставив в формулы (9.3) x ` j = λ x j , получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

.

. (9.5)

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

получим уравнение для определения собственных чисел λ , называемоехарактеристическим уравнением . Кратко его можно представить так:

| A - λ E | = 0, (9.6)

поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-λЕ . Многочлен относительноλ | A - λ E | называетсяхарактеристическим многочленом матрицы А.

Свойства характеристического многочлена:

Свойства собственных чисел и собственных векторов:

Если выбрать базис из собственных векторов х 1 , х 2 , х 3 , соответствующих собственным значениямλ 1 , λ 2 , λ 3 матрицыА , то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

(9.7) Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрицаА имеет диагональный вид.

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы Составим характеристическое уравнение:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - 7λ ² + 36 = 0,λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению λ. Из (9.5) следует, что еслих (1) ={x 1 , x 2 , x 3 } – собственный вектор, соответствующийλ 1 =-2, то

- совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в видех (1) ={a ,0,-a }, где а – любое число. В частности, если потребовать, чтобы |x (1) |=1,х (1) =

Подставив в систему (9.5) λ 2 =3, получим систему для определения координат второго собственного вектора -x (2) ={y 1 , y 2 , y 3 }:

, откудах (2) ={b ,- b , b } или, при условии |x (2) |=1,x (2) =

Для λ 3 = 6 найдем собственный векторx (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,x (3) ={c ,2 c , c } или в нормированном варианте

х (3) =
Можно заметить, чтох (1) х (2) =ab – ab = 0,x (1) x (3) =ac – ac = 0,x (2) x (3) =bc - 2bc + bc = 0. Таким образом, собственные векторы этой матрицы попарно ортогональны.