некоторых функций. Если восстановить функцию по ее полному дифференциалу, то найдем общий интеграл дифференциального уравнения. Ниже поговорим о методе восстановления функции по ее полному дифференциалу .
Левая часть дифференциального уравнения - это полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0 , если выполняется условие .
Т.к. полный дифференциал функции U(x, y) = 0 это , значит, при выполнении условия утверждают, что .
Тогда, .
Из первого уравнения системы получаем . Функцию находим, воспользовавшись вторым уравнением системы:
Таким образом мы найдем искомую функцию U(x, y) = 0 .
Пример.
Найдем общее решение ДУ .
Решение.
В нашем примере . Условие выполняется, потому что:
Тогда, левая часть начального ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) = 0 . Нам необходимо найти эту функцию.
Т.к. является полным дифференциалом функции U(x, y) = 0 , значит:
.
Интегрируем по x 1-е уравнение системы и дифференцируем по y результат:
.
Из 2-го уравнения системы получаем . Значит:
Где С - произвольная постоянная.
Т.о., и общим интегралом заданного уравнения будет .
Есть второй метод вычисления функции по ее полному дифференциалу . Он состоит во взятии криволинейного интеграла от фиксированной точки (x 0 , y 0) до точки с переменными координатами (x, y) : . В таком случае значение интеграла не зависимо от пути интегрирования. Удобно брать в качестве пути интегрирования ломаную, звенья которой параллельны осям координат.
Пример.
Найдем общее решение ДУ .
Решение.
Проверяем выполнение условия :
Т.о., левая часть ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) = 0 . Найдем эту функцию, вычислив криволинейный интеграл от точки (1; 1) до (x, y) . Как путь интегрирования берем ломаную: первый участок ломаной пройдем по прямой y = 1 от точки (1, 1) до(x, 1) , вторым участком пути берем отрезок прямой от точки (x, 1) до (x, y) :
Значит, общее решение ДУ выглядит так: .
Пример.
Определим общее решение ДУ .
Решение.
Т.к. , значит, условие не выполняется, тогда, левая часть ДУ не будет полным дифференциалом функции и нужно использовать второй способ решения (это уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными).
Дифференциальным называется уравнение вида
P (x,y )dx + Q (x,y )dy = 0 ,
где левая часть является полным дифференциалом какой-либо функции двух переменных.
Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней.
Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.
Второе - должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Эта проверка является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.
Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F . Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по определению
dF = P (x,y )dx + Q (x,y )dy .
Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:
Решая два последних равенства, можем записать
.
Первое равенство дифференцируем по переменной "игрек", второе - по переменной "икс":
.
что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой уравнение в полных дифференциалах.
Алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Шаг 1. Убедиться, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции F (x, y ) , необходимо и достаточно, чтобы . Иными словами, нужно взять частную производную по x и частную производную по y другого слагаемого и, если эти производные равны, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F :
Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы - по x (y F :
,
y
.
Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) - проинтегрировать второе уравнение системы - по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом так же восстанавливается функция F :
,
где - пока неизвестная функция от х
.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y (в альтернативном варианте - по x ) и приравнять ко второму уравнению системы:
,
а в альтернативном варианте - к первому уравнению системы:
.
Из полученного уравнения определяем (в альтернативном варианте )
Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти (в альтернативном варианте найти ).
Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием функцию F . Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства - в правой части уравнения. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет вид F (x, y ) = C .
Примеры решений дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Пример 1.
Шаг 1.
уравнением в полных дифференциалах
x
одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по y
другого слагаемого
уравнением в полных дифференциалах
.
Шаг 2. F :
Шаг 3. по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F :
где - пока неизвестная функция от y
.
Шаг 4.
y
.
.
Шаг 5.
Шаг 6.
F
. Произвольную постоянную C
:
.
Какая ошибка возможна здесь с наибольшей вероятностью? Самые распространённые ошибки - принять частный интеграл по одной из переменных за обычный интеграл произведения функций и пытаться интегрировать по частям или заменной переменной а также принять частную производную двух сомножителей за производную произведения функций и искать производную по соответствующей формуле.
Это надо запомнить: при вычислении частного интеграла по одной из переменной другая является константой и выносится за знак интеграла, а при вычислении частной производной по одной из переменной другая также является константой и производная выражения находится как производная "действующей" переменной, умноженной на константу.
Среди уравнений в полных дифференциалах не редкость - примеры с экспонентой. Таков следующий пример. Он же примечателен и тем, что в его решении используется альтернативный вариант.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
.
Шаг 1.
Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах
. Для
этого находим частную производную по x
одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по y
другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах
.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F :
Шаг 3. Проинтегрируем второе уравнение системы - по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F :
где - пока неизвестная функция от х
.
Шаг 4.
Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по х
и приравняем к первому уравнению системы:
Из полученного уравнения определяем :
.
Шаг 5.
Результат шага 4 интегрируем и находим :
.
Шаг 6.
Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием
функцию F
. Произвольную постоянную C
записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах
:
.
В следующем примере возвращаемся от альтернативного варианта к основному.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение
Шаг 1.
Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах
. Для
этого находим частную производную по y
одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по x
другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах
.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F :
Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы - по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F :
где - пока неизвестная функция от y
.
Шаг 4.
Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y
и приравняем ко второму уравнению системы:
Из полученного уравнения определяем :
.
Шаг 5.
Результат шага 4 интегрируем и находим :
Шаг 6.
Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием
функцию F
. Произвольную постоянную C
записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах
:
.
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение
Шаг 1.
Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах
. Для
этого находим частную производную по y
одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по x
другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F :
Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы - по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F :
где - пока неизвестная функция от y
.
Шаг 4.
Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y
и приравняем ко второму уравнению системы:
Из полученного уравнения определяем :
.
Шаг 5.
Результат шага 4 интегрируем и находим :
Шаг 6.
Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием
функцию F
. Произвольную постоянную C
записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах
:
.
Пример 5. Решить дифференциальное уравнение
.
Шаг 1.
Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах
. Для
этого находим частную производную по y
одного слагаемого в левой части выражения
и частную
производную по x
другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах
.
Показано как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Даны методы его решения. Приводится пример решения уравнения в полных дифференциалах двумя способами.
СодержаниеВведение
Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах - это уравнение вида:(1) ,
где левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) от переменных x, y :
.
При этом .
Если найдена такая функция U(x, y)
,
то уравнение принимает вид:
dU(x, y) = 0
.
Его общий интеграл:
U(x, y)
= C
,
где C
- постоянная.
Если дифференциальное уравнение первого порядка записано через производную:
,
то его легко привести к форме (1)
. Для этого умножим уравнение на dx
.
Тогда .
В результате получаем уравнение, выраженное через дифференциалы:
(1)
.
Свойство дифференциального уравнения в полных дифференциалах
Для того, чтобы уравнение (1)
было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
(2)
.
Доказательство
Далее мы полагаем, что все функции, используемые в доказательстве, определены и имеют соответствующие производные в некоторой области значений переменных x и y . Точка x 0 , y 0 также принадлежит этой области.
Докажем необходимость условия (2)
.
Пусть левая часть уравнения (1)
является дифференциалом некоторой функции U(x, y)
:
.
Тогда
;
.
Поскольку вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, то
;
.
Отсюда следует, что .
Необходимость условия (2)
доказана.
Докажем достаточность условия (2)
.
Пусть выполняется условие (2)
:
(2)
.
Покажем, что можно найти такую функцию U(x, y)
,
что ее дифференциал:
.
Это означает, что существует такая функция U(x, y)
,
которая удовлетворяет уравнениям:
(3)
;
(4)
.
Найдем такую функцию. Проинтегрируем уравнение (3)
по x
от x 0
до x
,
считая что y
- это постоянная:
;
;
(5)
.
Дифференцируем по y
считая, что x
- это постоянная и применим (2)
:
.
Уравнение (4)
будет выполнено, если
.
Интегрируем по y
от y 0
до y
:
;
;
.
Подставляем в (5)
:
(6)
.
Итак, мы нашли функцию, дифференциал которой
.
Достаточность доказана.
В формуле (6) , U(x 0 , y 0) является постоянной - значением функции U(x, y) в точке x 0 , y 0 . Ей можно присвоить любое значение.
Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах
Рассмотрим дифференциальное уравнение:
(1)
.
Чтобы определить, является ли это уравнение в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение условия (2)
:
(2)
.
Если оно выполняется, то это уравнение в полных дифференциалах. Если нет - то это не уравнение в полных дифференциалах.
Пример
Проверить, является ли уравнение в полных дифференциалах:
.
Здесь
,
.
Дифференцируем по y
,
считая x
постоянной:
.
Дифференцируем
.
Поскольку:
,
то заданное уравнение - в полных дифференциалах.
Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Метод последовательного выделения дифференциала
Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
du ± dv = d(u ± v)
;
v du + u dv = d(uv)
;
;
.
В этих формулах u
и v
- произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.
Пример 1
Решить уравнение:
.
Ранее мы нашли, что это уравнение - в полных дифференциалах. Преобразуем его:
(П1)
.
Решаем уравнение, последовательно выделяя дифференциал.
;
;
;
;
.
Подставляем в (П1)
:
;
.
Метод последовательного интегрирования
В этом методе мы ищем функцию U(x, y)
,
удовлетворяющую уравнениям:
(3)
;
(4)
.
Проинтегрируем уравнение (3)
по x
,
считая y
постоянной:
.
Здесь φ(y)
- произвольная функция от y
,
которую нужно определить. Она является постоянной интегрирования. Подставляем в уравнение (4)
:
.
Отсюда:
.
Интегрируя, находим φ(y)
и, тем самым, U(x, y)
.
Пример 2
Решить уравнение в полных дифференциалах:
.
Ранее мы нашли, что это уравнение - в полных дифференциалах. Введем обозначения:
,
.
Ищем Функцию U(x, y)
,
дифференциал которой является левой частью уравнения:
.
Тогда:
(3)
;
(4)
.
Проинтегрируем уравнение (3)
по x
,
считая y
постоянной:
(П2)
.
Дифференцируем по y
:
.
Подставим в (4)
:
;
.
Интегрируем:
.
Подставим в (П2)
:
.
Общий интеграл уравнения:
U(x, y)
= const
.
Объединяем две постоянные в одну.
Метод интегрирования вдоль кривой
Функцию U
,
определяемую соотношением:
dU = p(x, y)
dx + q(x, y)
dy
,
можно найти, если проинтегрировать это уравнение вдоль кривой, соединяющей точки (x 0
, y 0)
и (x, y)
:
(7)
.
Поскольку
(8)
,
то интеграл зависит только от координат начальной (x 0
, y 0)
и конечной (x, y)
точек и не зависит от формы кривой. Из (7)
и (8)
находим:
(9)
.
Здесь x 0
и y 0
- постоянные. Поэтому U(x 0
, y 0)
- также постоянная.
Пример такого определения U
был получен при доказательстве :
(6)
.
Здесь интегрирование производится сначала по отрезку, параллельному оси y
,
от точки (x 0
, y 0
)
до точки (x 0
, y)
.
Затем интегрирование производится по отрезку, параллельному оси x
,
от точки (x 0
, y)
до точки (x, y)
.
В более общем случае, нужно представить уравнение кривой, соединяющей точки (x 0
, y 0
)
и (x, y)
в параметрическом виде:
x 1
= s(t 1)
;
y 1
= r(t 1)
;
x 0
= s(t 0)
;
y 0
= r(t 0)
;
x = s(t)
;
y = r(t)
;
и интегрировать по t 1
от t 0
до t
.
Наиболее просто выполняется интегрирование по отрезку, соединяющим точки (x 0
, y 0
)
и (x, y)
.
В этом случае:
x 1
= x 0 + (x - x 0)
t 1
;
y 1
= y 0 + (y - y 0)
t 1
;
t 0 = 0
;
t = 1
;
dx 1
= (x - x 0)
dt 1
;
dy 1
= (y - y 0)
dt 1
.
После подстановки, получается интеграл по t
от 0
до 1
.
Данный способ, однако, приводит к довольно громоздким вычислениям.
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Определение 8.4. Дифференциальное уравнение вида
где
называется
уравнением в полных дифференциалах.
Заметим,
что левая часть такого уравнения есть
полный дифференциал некоторой функции
.
В общем случае, уравнение (8.4) можно представить в виде
Вместо уравнения (8.5) можно рассматривать уравнение
,
решение которого есть
общим интегралом уравнения (8.4). Таким
образом, для решения уравнения (8.4)
необходимо найти функцию
.
В соответствии с определением уравнения
(8.4), имеем
(8.6)
Функцию
будем отыскивать, как функцию,
удовлетворяющую одному из этих условий
(8.6):
где - произвольная функция, не зависящая от.
Функция
определяется так, чтобы выполнялось
второе условие выражения (8.6)
(8.7)
Из
выражения (8.7) и определяется функция
.
Подставляя ее в выражение для
и получают общий интеграл исходного
уравнения.
Задача 8.3. Проинтегрировать уравнение
Здесь
.
Следовательно,
данное уравнение относится к типу
дифференциальных уравнений в полных
дифференциалах. Функцию
будем отыскивать в виде
.
С другой стороны,
.
В
ряде случаев условие
может не выполняться.
Тогда такие уравнения к рассматриваемому типу приводятся умножением на так называемый интегрирующий множитель, который, в общем случае, является функцией только или.
Если у некоторого уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от , то он определяется по формуле
где отношение должно быть только функцией.
Аналогично, интегрирующий множитель, зависящий только от , определяется по формуле
где
отношение
должно быть только функцией.
Отсутствие в приведенных соотношениях, в первом случае переменной , а во втором - переменной, являются признаком существования интегрирующего множителя для данного уравнения.
Задача 8.4. Привести данное уравнение к уравнению в полных дифференциалах.
.
Рассмотрим отношение:
.
Тема 8.2. Линейные дифференциальные уравнения
Определение
8.5
. Дифференциальное
уравнение
называется линейным, если оно линейно
относительно искомой функции,
ее производнойи не содержит произведения искомой
функции и ее производной.
Общий вид линейного дифференциального уравнения представляется следующим соотношением:
(8.8)
Если в соотношении (8.8) правая
часть
,
то такое уравнение называется линейным
однородным. В случае, когда правая часть
,
то такое уравнение называется линейным
неоднородным.
Покажем, что уравнение (8.8) интегрируется в квадратурах.
На первом этапе рассмотрим линейное однородное уравнение.
Такое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Действительно,
;
/
Последнее соотношение и определяет общее решение линейного однородного уравнения.
Для
отыскания общего решения линейного
неоднородного уравнения применяется
метод вариации производной постоянной.
Идея метода состоит в том, что общее
решение линейного неоднородного
уравнения в том же виде, что и решение
соответствующего однородного уравнения,
однако произвольная постоянная
заменяется некоторой функцией
,
подлежащей определению. Итак, имеем:
(8.9)
Подставляя
в соотношение (8.8) выражения, соответствующие
и
,
получим
Подставляя последнее выражение в соотношение (8.9), получают общий интеграл линейного неоднородного уравнения.
Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения определяется двумя квадратурами: общего решения линейного однородного уравнения и частного решения линейного неоднородного уравнения.
Задача
8.5.
Проинтегрировать
уравнение
Таким образом, исходное уравнение относится к типу линейных неоднородных дифференциальных уравнений.
На первом этапе найдем общее решение линейного однородного уравнения.
;
На втором этапе определим общее решение линейного неоднородного уравнения, которое отыскивают в виде-
,
где
- функция, подлежащая определению.
Итак, имеем:
Подставляя соотношения для ив исходное линейное неоднородное уравнение получим:
;
;
.
Общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:
.
Имеющее стандартный вид $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, в котором левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции $F\left(x,y\right)$, называется уравнением в полных дифференциалах.
Уравнение в полных дифференциалах всегда можно переписать в виде $dF\left(x,y\right)=0$, где $F\left(x,y\right)$ -- такая функция, что $dF\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.
Проинтегрируем обе части уравнения $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; интеграл от нулевой правой части равен произвольной постоянной $C$. Таким образом, общее решение данного уравнения в неявной форме имеет вид $F\left(x,y\right)=C$.
Для того, чтобы данное дифференциальное уравнение представляло собой уравнение в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} $. Если указанное условие выполнено, то существует такая функция $F\left(x,y\right)$, для которой можно записать: $dF=\frac{\partial F}{\partial x} \cdot dx+\frac{\partial F}{\partial y} \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, откуда получаем два соотношения: $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ и $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$.
Интегрируем первое соотношение $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ по $x$ и получаем $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, где $U\left(y\right)$ -- произвольная функция от $y$.
Подберем её так, чтобы удовлетворялось второе соотношение $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$. Для этого продифференцируем полученное соотношение для $F\left(x,y\right)$ по $y$ и приравняем результат к $Q\left(x,y\right)$. Получаем: $\frac{\partial }{\partial y} \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left(x,y\right)$.
Дальнейшее решение таково:
- из последнего равенства находим $U"\left(y\right)$;
- интегрируем $U"\left(y\right)$ и находим $U\left(y\right)$;
- подставляем $U\left(y\right)$ в равенство $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ и окончательно получаем функцию $F\left(x,y\right)$.
Находим разность:
Интегрируем $U"\left(y\right)$ по $y$ и находим $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.
Находим результат: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^{2} +3\cdot x\cdot y-2\cdot y$.
Записываем общее решение в виде $F\left(x,y\right)=C$, а именно:
Находим частное решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_{0} ,y_{0} \right)$, где $y_{0} =3$, $x_{0} =2$:
Частное решение имеет вид: $5\cdot x\cdot y^{2} +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.