Презентация на тему "Логарифмы. Свойства логарифмов"

ДЖОН НЕПЕР (1550-1617)

Шотландский математик –

изобретатель логарифмов.

В 1590-х годах пришел к идее

логарифмических вычислений

и составил первые таблицы

логарифмов, однако свой знаменитый

труд “Описание удивительных таблиц логарифмов” опубликовал лишь в 1614 году.

Ему принадлежит определение логарифмов, объяснение их свойств, таблицы логарифмов, синусов, косинусов, тангенсов и приложения логарифмов в сферической тригонометрии.

Из истории логарифмов

Логарифмы появились 350 лет назад в связи с потребностями вычислительной практики.

В те времена для решения задач астрономии и мореплавания приходилось производить весьма громоздкие вычисления.

Известный астроном Иоганн Кеплер первым ввел в1624 году знак логарифма – log. Он применил логарифмы для нахождения орбиты Марса.

Слово « логарифм» - греческого происхождения, что в переводе означает – отношение чисел

0, а ≠1 называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b. " width="640"

Определение

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где а0, а ≠1 называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.

Вычислить:

log 2 16; log 2 64; log 2 2;

log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

log 3 27; log 3 81; log 3 3;

log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;

Log 0,5 (1/2); log 0,5 1; log 1/2 2.

Основное логарифмическое тождество

По определению логарифма

Вычислите:

3 log 3 18 ; 3 5log 3 2 ;

5 log 5 16 ; 0,3 2log 0,3 6 ;

10 log 10 2 ; (1/4) log (1/4) 6 ;

8 log 2 5 ; 9 log 3 12 .

3 X X X R Не существует ни при каком х " width="640"

При каких значениях х существует логарифм

Не существует ни при

каком х

1. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

log a (bc) = log a b + log a c

( b

c )

a log a (bc) =

a log a b

= a log a b + log a c

a log a c

a log a b

a log a c

1. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. log a (bc) = log a b + log a c

Пример:

log a

= log a b - log a c

= a log a b - log a c

a log a b

a log a

a log a c

b = a log a b

c = a log a c

0; a ≠ 1; b 0; c 0. Пример: 1 " width="640"

2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

log a

= log a b – log a c,

a 0; a ≠ 1; b 0; c 0.

Пример:

0; b 0; r R log a b r = r log a b Пример a log a b =b 1,5 (a log a b) r =b r a rlog a b =b r " width="640"

3. Логарифм степени с положительным основанием равен показателю степени, умноженному на логарифм основания

log a b r = r log a b

Пример

a log a b =b

(a log a b ) r =b r

a rlog a b =b r

Формула перехода от одного основания

логарифма к другому, примеры.

Слайд 2

Цели урока:

Образовательные: Повторить определение логарифма; познакомиться со свойствами логарифмов; научиться применять свойства логарифмов при решении упражнений.

Слайд 3

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию а,где а >0 и а≠ 1, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b. Основное логарифмическое тождество alogab=b (где a>0, a≠1, b>0)

Слайд 4

История возникновения логарифмов

Слово логарифм происходит из двух греческих слов и оно переводится, как отношение чисел. В течение ХVI в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (при определения положения судов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали при выполнении операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложению большого успеха не приносили.

Слайд 5

Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т.е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений. Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером (1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 - 1632). В таблицы Непера вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 900 с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамечеными. Непер Джон (1550-1617)

Слайд 6

Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлила ему жизнь. П. С. Лаплас Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.

Слайд 7

Свойства степени

ах · ау = ах +у = ax –y (x)y = ax·y

Слайд 8

Вычислите:

Слайд 9

Проверьте:

Слайд 10

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ

Слайд 11

Применениеизученного материала

а) log 153 + log 155 = log 15(3 · 5) = log 1515 =1,б) log 1545 – log 153 = log 15 = log 1515 = 1 в) log 243 = log 226 = 6 log 22 = 6,г) log 7494 = log 7(72)4 = log 7 78 = 8 log 77 = 8. Стр. 93; № 290,291 - 294, 296* (нечётные примеры)

Слайд 12

Найдите вторую половину формулы

Слайд 13

Проверьте:

Слайд 14

Домашнее задание: 1. Выучить свойства логарифмов 2. Учебник: § 16 стр. 92-93; 3. Задачник: № 290 ,291 ,296 (чётные примеры)

Слайд 15

Продолжите фразу: “Сегодня на уроке я узнал…” “Сегодня на уроке я научился…” “Сегодня на уроке я познакомился…” “Сегодня на уроке я повторил…” “Сегодня на уроке я закрепил…” Урок закончен!

Слайд 16

Используемые учебники и учебные пособия: Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс: учебник профильного уровня / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов и др. – М.: Мнемозина, 2007. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс: задачник профильного уровня / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов и др. – М.: Мнемозина, 2007. Используемая методическая литература: Мордкович А.Г. Алгебра. 10-11: методическое пособие для учителя. – М.: Мнемозина, 2000 (Калининград: Янтарный сказ, ГИПП). Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября».

Определение производной. Средняя линия. Исследование функции на монотонность. Работы: Закрепление изученного материала. Вычислить приближенно с помощью дифференциала. Наименьшие значения функций. Производная и ее применение в алгебре, геометрии. Рассматриваемая функция. Задача. Неравенство. Признаки возрастания и убывания функции. Точка. Определение. Нахождение дифференциала. Доказательство неравенств.

««Интеграл» 11 класс» - Как ты поверженный лежал числом обычным на странице. Интеграл в литературе. Определенный интеграл, ты мне ночами начал сниться. Составьте фразу. Какое счастие познал я в выборе первообразной. Замятин Евгений Иванович (1884-1937). Найти первообразные для функций. Эпиграф. Роман «Мы» (1920 год). Замен и подстановок ряд привел к решению задачи. Иллюстрация к роману «Мы». Интеграл. Группа «Интеграл». Урок алгебры и начал анализа.

«Применение логарифмов» - Со времен древнегреческого астронома Гиппарха (II в. до н.э.) используется понятие «звездная величина». Как, видим, логарифмы вторгаются в область психологии. Из таблицы найдем звездную величину Капеллы (m1 = +0,2т) и Денеба (m2 = +1,3т). Единица громкости. Звёзды, шум и логарифмы. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и производстве труда. Тема: «ЛОГАРИФМЫ В АСТРОНОМИИ». Непером (1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 - 1632).

««Функции» алгебра» - Вычислить. Составим таблицу. Исследование функций и построение их графиков. Понятие об интеграле. Функция F называется первообразной для функции f. Площадь криволинейной трапеции. Функция есть первообразная для функции. Вычислим площадь S криволинейной трапеции. «Интеграл от a до b эф от икс дэ икс». Метод интервалов. Найдем точки пересечения графика с Ох (у = 0). Правила дифференцирования. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

«Примеры логарифмических неравенств» - Готовимся к ЕГЭ! Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими? Итог урока. Найдите верное решение. Возрастающая. Алгебра 11 класс. Задание: решить логарифмические неравенства, предложенные в заданиях ЕГЭ-2010 г. Удачи на ЕГЭ! Кластер для заполнения в течение урока: Цели урока: Найти область определения функции. Между числами m и n поставить знак > или <.(m, n > 0). Графики логарифмических функций.

«Геометрический смысл производной функции» - Значение производной функции. Алгоритм составления уравнения касательной. Геометрический смысл производной. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнения касательной. Составь пару. Секущая. Словарь урока. У меня всё получилось. Правильная математическая идея. Результаты вычисления. Предельное положение секущей. Определение. Найдите угловой коэффициент. Напишите уравнение касательной к графику функции.

Тема урока:

Логарифмы и их свойства.

Есмаганбетов К.С. Учитель математики.

Цель урока:

1.Отработка умений систематизировать, обобщать свойства логарифмов; применять их при упрощении выражений.

2. Развитие сознательного восприятия учебного материала, зрительной памяти, математической речи учащихся, формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки, способствовать развитию творческой деятельности учащихся.

3. Воспитание познавательной активности, воспитать у учащихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.

I.Мозговой штурм:

1) Что такое первообразная?

2) Какие виды интегралов вы знаете?

3) Чем отличается определенный интеграл от неопределенного?

4) Какие уравнения называются иррациональными?

5) Сколько существует правил для нахождения первообразных?

Вопросы:

Работа в группах

Определите тему урока с помощью анаграммы:
ЫМФИРАОЛ И ХИ АВТСЙОВС
Критерии оценивания угадывания анаграммы (за правильный ответ-1балл,за неправильный ответ-0 балл)

Логарифмы и их свойства

Логарифмом положительного числа b по основанию a , где a>0, a≠1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b.
Основное логарифмическое тождество:

alogab= b,

Если основание логарифма равно 10,то такой логарифм называется десятичным.
Если основание логарифма равно числу е,то такой логарифм называется натуральным

Свойства логарифмов

Логарифм самого основания равен 1:
Логарифм единицы по любому основанию равен нулю:
Логарифм произведения двух или нескольких положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей:
Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя:
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:
Формула перехода от основания b к основанию а:

Критерии оценивания технологической карты:

Предоставлять математическую информацию ясно и логично-1балл;
Учащийся показывает знание математических символов-1балл;

Вычислите устно:

Критерии оценивания устного вычисления

за правильное устное вычисление-1балл
за неправильное устное вычисление-0 баллов

Физминутка

Две половинки

loga(x/y) loga x -loga y

Групповая работа:

Задание 1-й группе

Групповая работа: Задание 2-й группе В технологической карте урока стрелками соедините формулы

logax +logay

Групповая работа: Задание 3-й группе В технологической карте урока закончите формулы Взаимооценивание Критерии взаимооценивания

за правильное нахождения формул-по1баллу группе;
За неправильное нахождения формул-0балл.

Индивидуальная письменная работа по дифференцированным заданиям


	log 26 - log 2 (6/32)
	log 3 5 - log 3 135
	2 log 27 - log 2 49
	log 93+ log 9243

Решение Индивидуальной работы по дифференцированным заданиям

		lg(8∙125) = lg 1000 = 3
	log 26 - log 2 (6/32)	log 2 (6: (6/32)) = log 232 = 5
	log 3 5 - log 3 135	log 3 (5: 135)= log 3 (1:27)= -3
	2 log 27 - log 2 49	log 272 - log 249 = log 2(49:49) = log 2 1 = 0
	log 93+ log 9243	log 9(3∙243) = log 9729=3

Критерии оценивания индивидуальной письменной работы

за правильное решение примеров полностью-5баллов;
За правильное написание математических символов-1балл;

Разработка критериев оценивания результатов работы:

Критерии оценок: за 20 баллов и выше – оценка «5»
за 16-19 баллов и выше – оценка «4»
за9 -15 баллов и выше – оценка «3»

Создание кластеров и их защита Критерии оценивания кластеров:

За правильное создание кластера-1балл;
За изящность оформления кластера-0,5балл;
За хорошую защиту кластера-1балл

Рефлексия

1. Что я знаю о____
2. Что я хочу знать_____
3. Что я узнал(а) ____
4. Оцени свою работу на уроке_____

Домашнее задание

1. Составить синквейн «Логарифмы»

2. Задание по учебнику:№241,№242

Цели урока :

Отработка умений систематизировать, обобщать свойства логарифмов; применять их при упрощении выражений.
Развитие сознательного восприятия учебного материала, зрительной памяти, математической речи учащихся, формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки, способствовать развитию творческой деятельности учащихся.
Воспитание познавательной активности, воспитать у учащихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.

Оборудование:

Интерактивная доска (StarBoard Software)
Компьютеры
Презентация 1 «Логарифмы. Свойства логарифмов»
Презентация 2 «Логарифмы и музыка»
Технологическая карта урока

Тип урока : урок обобщения и систематизации знаний. (Подготовка к экзаменам)

Ход урока

I. Орг. момент

1. Мотивация

Дорогие ребята! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением: Математика – интересный предмет. Эпиграфом урока будут слова Аристотеля « Лучше в совершенстве выполнить небольшую часть дела, чем сделать плохо в десять раз более».

(Слайд 1. Интерактивная доска или презентация 1) . Как вы понимаете эти слова?

2. Постановка проблемы.

На слайде 2 вы видите Портрет Пифагора, ноты и логарифмы. Что их объединяет? (Слайд 2 на интерактивной доске или слайд 2-3 презентации 1).

3. Логарифмы в музыке

(Слайд 3 на интерактивной доске или слайд 4 презентации 1).

В своем стихотворении «Физики и лирики» поэт Борис Слуцкий написал.

Даже изящные искусства питаются ею.

Разве музыкальная гамма не есть набор передовых логарифмов?

(Сообщение ученика – презентация прилагается)

4. Тема урока (Слайд 4 на интерактивной доске или слайд 5 презентации 1). Класс разбит на три группы у каждого ученика технологическая карта.

II. Повторение

1 группа	2 группа	3 группа
1. Повторение теории
Вставить пропущенные слова: Логарифмом числа b по………………………. а называется …………….. степени, в которую нужно……………. основание а, чтобы получить число b . возвести, основанию, показатель	В технологической карте урока – Задание 1 На компьютере собрать определение логарифма	В технологической карте урока – Задание 1 Записать определение логарифма на математическом языке.
2. Самопроверка (Слайд 5 на интерактивной доске или слайд 7 презентации 1)
3. Повторение свойств логарифма (Слайд 6-7 на интерактивной доске или слайд 8-9 презентации 1)
Задание 2. На компьютере стрелками соедините формулы	Задание 2. В технологической карте урока стрелками соедините формулы	Задание 2. В технологической карте урока закончите формулы
4. Взаимопроверка (Слайд 8 на интерактивной доске или слайд 10 презентации 1)
5. Применение свойств
а) Устно (Слайд 9-10 на интерактивной доске или слайд 11-12 презентации 1) Вычислить и поставить в соответствии ответы
б) Найди ошибки (Слайд 11 на интерактивной доске или слайд 13 презентации 1)
в) Работа в группах
Работа у доски. Вычислить	Выполнение теста в технологической карте Вычислить:	Выполнение теста на компьютере
6. Повторение свойств (Слайд 12 на интерактивной доске или слайд 14 презентации 1)
7. Применение свойств (Слайд 13 на интерактивной доске или слайд 15 презентации 1)
Вычислить:
8. Софизм (Слайд 14 на интерактивной доске или слайд 16 презентации 1)
(от греч. sophisma - уловка, выдумка, головоломка), рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и служащее для придания видимости истинности ложному утверждению. Обычно софизм обосновывает какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям
8. Логарифмический софизм 2>3 .(Слайд 15 на интерактивной доске или слайд 17 презентации 1)
Начнем с неравенства , бесспорно верного. Затем следует преобразование , тоже не вызывающее сомнений. Большему значению соответствует больший логарифм, значит, , т.е. . После сокращения на , имеем 2>3.

III. Домашнее задание

В папке для экзаменов

Тема: «Свойства логарифмов»

1-я группа- 1 вариант
2-я группа- 2 вариант
3-я группа- 3 вариант

IV. Итог урока

(Слайд 16 на интерактивной доске или слайд 18 презентации 1)

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
а математика способна достичь всех этих целей”.
Так сказал американский математик Морис Клайн.

Спасибо за работу!