Основными обобщающими показателями вариации в статистике являются дисперсии и среднее квадратическое отклонение.
Дисперсия это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается 2 . В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:
дисперсия невзвешенная (простая);
дисперсия
взвешенная.
Среднее квадратическое отклонение это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т. д.).
Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается :
среднее
квадратическое отклонение невзвешенное;
среднее
квадратическое отклонение взвешенное.
Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает всю представляемую совокупность.
Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчет дисперсии.
Порядок расчета дисперсии взвешенной следующий:
1) определяют среднюю арифметическую взвешенную:
2) рассчитывают отклонения вариантов от средней:
3) возводят в квадрат отклонение каждого варианта от средней:
4) умножают квадраты отклонений на веса (частоты):
5) суммируют полученные произведения:
6) полученную сумму делят на сумму весов:
Пример 2.1
Исчислим среднюю арифметическую взвешенную:
Значения отклонений от средней и их квадратов представлены в таблице. Определим дисперсию:
Среднее квадратическое отклонение будет равно:
Если исходные данные представлены в виде интервального ряда распределения , то сначала нужно определить дискретное значение признака, а затем применить изложенный метод.
Пример 2.2
Покажем расчет дисперсии для интервального ряда на данных о распределении посевной площади колхоза по урожайности пшеницы.
Средняя арифметическая равна:
Исчислим дисперсию:
6.3. Расчет дисперсии по формуле по индивидуальным данным
Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариантов и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойства дисперсии.
Дисперсия имеет следующие свойства.
1. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсию не изменяет.
2. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсию не изменяет.
3. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз k соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в k 2 раз, а среднее квадратическое отклонение в k раз.
4. Дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величинами:
Если А 0, то приходим к следующему равенству:
т. е. дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней.
Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими.
Порядок расчета дисперсии простой:
1) определяют среднюю арифметическую :
2) возводят в квадрат среднюю арифметическую:
3) возводят в квадрат отклонение каждого варианта ряда:
х i 2 .
4) находят сумму квадратов вариантов:
5) делят сумму квадратов вариантов на их число, т. е. определяют средний квадрат:
6) определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней:
Пример 3.1 Имеются следующие данные о производительности труда рабочих:
Произведем следующие расчеты:
В предыдущем мы привели ряд формул, позволяющих находить числовые характеристики функций, когда известны законы распределения аргументов. Однако во многих случаях для нахождения числовых характеристик функций не требуется знать даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики; при этом мы вообще обходимся без каких бы то ни было законов распределения. Определение числовых характеристик функций по заданным числовым характеристикам аргументов широко применяется в теории вероятностей и позволяет значительно упрощать решение ряда задач. По преимуществу такие упрощенные методы относятся к линейным функциям; однако некоторые элементарные нелинейные функции также допускают подобный подход.
В настоящем мы изложим ряд теорем о числовых характеристиках функций, представляющих в своей совокупности весьма простой аппарат вычисления этих характеристик, применимый в широком круге условий.
1. Математическое ожидание неслучайной величины
Сформулированное свойство является достаточно очевидным; доказать его можно, рассматривая неслучайную величину как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:
.
2. Дисперсия неслучайной величины
Если - неслучайная величина, то
3. Вынесение неслучайной величины за знак математического ожидания
, (10.2.1)
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания.
Доказательство.
а) Для прерывных величин
б) Для непрерывных величин
.
4. Вынесение неслучайной величины за знак дисперсии и среднего квадратического отклонения
Если - неслучайная величина, а - случайная, то
, (10.2.2)
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат.
Доказательство. По определению дисперсии
Следствие
,
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднего квадратического отклонения ее абсолютным значением. Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы (10.2.2) и учитывая, что с.к.о. - существенно положительная величина.
5. Математическое ожидание суммы случайных величин
Докажем, что для любых двух случайных величин и
т. е. математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Это свойство известно под названием теоремы сложения математических ожиданий.
Доказательство.
а) Пусть - система прерывных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу (10.1.6) для математического ожидания функции двух аргументов:
.
Ho представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина примет значение :
;
следовательно,
.
Аналогично докажем, что
,
и теорема доказана.
б) Пусть - система непрерывных случайных величин. По формуле (10.1.7)
. (10.2.4)
Преобразуем первый из интегралов (10.2.4):
;
аналогично
,
и теорема доказана.
Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин - как зависимых, так и независимых.
Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых:
, (10.2.5)
т. е. математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Для доказательства достаточно применить метод полной индукции.
6. Математическое ожидание линейной функции
Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных аргументов :
где - неслучайные коэффициенты. Докажем, что
, (10.2.6)
т. е. математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.
Доказательство. Пользуясь теоремой сложения м. о. и правилом вынесения неслучайной величины за знак м. о., получим:
.
7. Дисп ep сия суммы случайных величин
Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:
Доказательство. Обозначим
По теореме сложения математических ожиданий
Перейдем от случайных величин к соответствующим центрированным величинам . Вычитая почленно из равенства (10.2.8) равенство (10.2.9), имеем:
По определению дисперсии
что и требовалось доказать.
Формула (10.2.7) для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых:
,
(10.2.10)
где
-
корреляционный момент величин , знак под суммой обозначает, что суммирование
распространяется на все возможные попарные сочетания случайных величин 
.
Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена.
Формула (10.2.10) может быть записана еще в другом виде:
, (10.2.11)
где
двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы
величин ,
содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии.
Если все случайные величины , входящие в систему,
некоррелированы (т. е. при ), формула (10.2.10) принимает вид:
, (10.2.12)
т. е. дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.
Это положение известно под названием теоремы сложения дисперсий.
8. Дисперсия линейной функции
Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных величин.
где - неслучайные величины.
Докажем, что дисперсия этой линейной функции выражается формулой
, (10.2.13)
где - корреляционный момент величин , .
Доказательство. Введем обозначение:
. (10.2.14)
Применяя к правой части выражения (10.2.14) формулу (10.2.10) для дисперсии суммы и учитывая, что , получим:
где - корреляционный момент величин :
.
Вычислим этот момент. Имеем:
;
аналогично
Подставляя это выражение в (10.2.15), приходим к формуле (10.2.13).
В частном случае, когда все
величины некоррелированны,
формула (10.2.13) принимает вид:
, (10.2.16)
т. е. дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов.
9. Математическое ожидание произведения случайных величин
Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:
Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:
Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:
что, очевидно, равносильно формуле (10.2.17).
Если случайные величины некоррелированны , то формула (10.2.17) принимает вид:
т. е. математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это положение известно под названием теоремы умножения математических ожиданий.
Формула (10.2.17) представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания:
. (10.2.19)
Это выражение часто применяется на практике при вычислении корреляционного момента аналогично тому, как для одной случайной величины дисперсия часто вычисляется через второй начальный момент и математическое ожидание.
Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей, только в этом случае для ее применения недостаточно того, чтобы величины были некоррелированны, а требуется, чтобы обращались в нуль и некоторые высшие смешанные моменты, число которых зависит от числа членов в произведении. Эти условия заведомо выполнены при независимости случайных величин, входящих в произведение. В этом случае
, (10.2.20)
т. е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это положение легко доказывается методом полной индукции.
10. Дисперсия произведения независимых случайных величин
Докажем, что для независимых величин
Доказательство. Обозначим . По определению дисперсии
Так как величины независимы, и
При независимых величины тоже независимы; следовательно,
,
Но есть не что иное, как второй начальный момент величины , и, следовательно, выражается через дисперсию:
;
аналогично
.
Подставляя эти выражения в формулу (10.2.22) и приводя подобные члены, приходим к формуле (10.2.21).
В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (10.2.21) принимает вид:
, (10.2.23)
т. е. дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равна произведению их дисперсий.
11. Высшие моменты суммы случайных величин
В некоторых случаях приходится вычислять высшие моменты суммы независимых случайных величин. Докажем некоторые относящиеся сюда соотношения.
1) Если величины независимы, то
Доказательство.
откуда по теореме умножения математических ожиданий
Но первый центральный момент для любой величины равен нулю; два средних члена обращаются в нуль, и формула (10.2.24) доказана.
Соотношение (10.2.24) методом индукции легко обобщается на произвольное число независимых слагаемых:
. (10.2.25)
2) Четвертый центральный момент суммы двух независимых случайных величин выражается формулой
где - дисперсии величин и .
Доказательство совершенно аналогично предыдущему.
Методом полной индукции легко доказать обобщение формулы (10.2.26) на произвольное число независимых слагаемых.
В случае, если совокупность разбита на группы по изучаемому признаку, то для данной совокупности могут быть исчислены следующие виды дисперсии: общая, групповые (внутригрупповые), средняя из групповых (средняя из внутригрупповых), межгрупповая.
Первоначально рассчитывает коэффициент детерминации, который показывает какую часть общей вариации изучаемого признака составляет вариация межгрупповая, т.е. обусловленная группировочным признаком:
Эмпирическое корреляционное отношение характеризует тесноту связи между признаками группировочным (факторным) и результативным.
Эмпирическое корреляционное отношение может принимать значения от 0 до 1.
Для оценки тесноты связи на основе показателя эмпирического корреляционного отношения можно воспользоваться соотношениями Чеддока:
Пример 4. Имеются следующие данные о выполнении работ проектно-изыскательскими организациями разной формы собственности:
Определить:
1) общую дисперсию;
2) групповые дисперсии;
3) среднюю из групповых дисперсий;
4) межгрупповую дисперсию;
5) общую дисперсию на основе правила сложения дисперсий;
6) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
Сделайте выводы.
Решение:
1. Определим средний объём выполнения работ предприятий двух форм собственности:
Рассчитаем общую дисперсию:
2. Определим групповые средние:
млн руб.;
млн руб.
Групповые дисперсии:
;
3. Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий:
4. Определим межгрупповую дисперсию:
5. Рассчитаем общую дисперсию на основе правила сложения дисперсий:
6. Определим коэффициент детерминации:
.
Таким образом, объём работ, выполненных проектно-изыскательскими организациями на 22% зависит от формы собственности предприятий.
Эмпирическое корреляционное отношение рассчитываем по формуле
.
Величина рассчитанного показателя свидетельствует о том, что зависимость объема работ от формы собственности предприятия невелика.
Пример 5. В результате обследования технологической дисциплины производственных участков получены следующие данные:
Определите коэффициент детерминации
На данной странице описан стандартный пример нахождения дисперсии, также Вы можете посмотреть другие задачи на её нахождение
Пример 1. Определение групповой, средней из групповой, межгрупповой и общей дисперсии
Пример 2. Нахождение дисперсии и коэффициента вариации в группировочной таблице
Пример 3. Нахождение дисперсии в дискретном ряду
Пример 4. Имеются следующие данные по группе из 20 студентов заочного отделения. Нужно построить интервальный ряд распределения признака, рассчитать среднее значение признака и изучить его дисперсию
Построим интервальную группировку. Определим размах интервала по формуле:
где X max– максимальное значение группировочного признака;
X min–минимальное значение группировочного признака;
n – количество интервалов:
Принимаем n=5. Шаг равен: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6
Составим интервальную группировку
Для дальнейших расчетов построим вспомогательную таблицу:
X"i– середина интервала. (например середина интервала 159 – 165,6 = 162,3)
Среднюю величину роста студентов определим по формуле средней арифметической взвешенной:
Определим дисперсию по формуле:
Формулу можно преобразовать так:
Из этой формулы следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата и средней.
Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов может быть рассчитана следующим способом при использовании второго свойства дисперсии (разделив все варианты на величину интервала). Определении дисперсии , вычисленной по способу моментов, по следующей формуле менее трудоемок:
где i - величина интервала;
А - условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;
m1 - квадрат момента первого порядка;
m2 - момент второго порядка
Дисперсия альтернативного признака (если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:
Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем:
Виды дисперсии
Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.
Внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.
Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:
где хi - групповая средняя;
ni - число единиц в группе.
Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту же квалификацию).
Часто в статистике при анализе какого-либо явления или процесса необходимо учитывать не только информацию о средних уровнях исследуемых показателей, но и разброс или вариацию значений отдельных единиц , которая является важной характеристикой изучаемой совокупности.
В наибольшей степени вариации подвержены курсы акций, объемы спроса и предложения, процентные ставки в разные периоды времени и в разных местах.
Основными показателями, характеризующими вариацию , являются размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Размах вариации представляет собой разность максимального и минимального значений признака: R = Xmax – Xmin . Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ.
Дисперсия лишена этого недостатка. Она рассчитывается как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины:
Упрощенный способ расчета дисперсии осуществляется с помощью следующих формул (простой и взвешенной):
Примеры применения данных формул представлены в задачах 1 и 2.
Широко распространенным на практике показателем является среднее квадратическое отклонение :
Среднее квадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размеренность, что и изучаемый признак.
Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации, т.е. оценивают ее в единицах измерения исследуемого признака. В отличие от них, коэффициент вариации измеряет колеблемость в относительном выражении - относительно среднего уровня, что во многих случаях является предпочтительнее.
Формула для расчета коэффициента вариации.
Примеры решения задач по теме «Показатели вариации в статистике»
Задача 1 . При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты:
Определить:
1) для каждого банка: а) средний размер вклада за месяц; б) дисперсию вклада;
2) средний размер вклада за месяц для двух банков вместе;
3) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от рекламы;
4) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы;
5) Общую дисперсию используя правило сложения;
6) Коэффициент детерминации;
7) Корреляционное отношение.
Решение
1) Составим расчетную таблицу для банка с рекламой . Для определения среднего размера вклада за месяц найдем середины интервалов. При этом величина открытого интервала (первого) условно приравнивается к величине интервала, примыкающего к нему (второго).
Средний размер вклада найдем по формуле средней арифметической взвешенной:
29 000/50 = 580 руб.
Дисперсию вклада найдем по формуле:
23 400/50 = 468
Аналогичные действия произведем для банка без рекламы :
2) Найдем средний размер вклада для двух банков вместе. Хср =(580×50+542,8×50)/100 = 561,4 руб.
3) Дисперсию вклада, для двух банков, зависящую от рекламы найдем по формуле: σ 2 =pq (формула дисперсии альтернативного признака). Здесь р=0,5 – доля факторов, зависящих от рекламы; q=1-0,5, тогда σ 2 =0,5*0,5=0,25.
4) Поскольку доля остальных факторов равна 0,5, то дисперсия вклада для двух банков, зависящая от всех факторов кроме рекламы тоже 0,25.
5) Определим общую дисперсию, используя правило сложения.
= (468*50+636,16*50)/100=552,08
= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96
σ 2 = σ 2 факт + σ 2 ост = 552,08+345,96 = 898,04
6) Коэффициент детерминации η 2 = σ 2 факт / σ 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = 39% - размер вклада на 39% зависит от рекламы.
7) Эмпирическое корреляционное отношение η = √η 2 = √0,39 = 0,62 – связь достаточно тесная.
Задача 2 . Имеется группировка предприятий по величине товарной продукции:
Определить: 1) дисперсию величины товарной продукции; 2) среднее квадратическое отклонение; 3) коэффициент вариации.
Решение
1) По условию представлен интервальный ряд распределения. Его необходимо выразить дискретно, то есть найти середину интервала (х"). В группах закрытых интервалов середину найдем по простой средней арифметической. В группах с верхней границей - как разность между этой верхней границей и половиной размера следующего за ним интервала (200-(400-200):2=100).
В группах с нижней границей – суммой этой нижней границы и половины размера предыдущего интервала (800+(800-600):2=900).
Расчет средней величины товарной продукции делаем по формуле:
Хср = k×((Σ((х"-a):k)×f):Σf)+a. Здесь а=500 - размер варианта при наибольшей частоте, k=600-400=200 - размер интервала при наибольшей частоте. Результат поместим в таблицу:
Итак, средняя величина товарной продукции за изучаемый период в целом равна Хср = (-5:37)×200+500=472,97 тыс. руб.
2) Дисперсию найдем по следующей формуле:
σ 2 = (33/37)*2002-(472,97-500)2 = 35 675,67-730,62 = 34 945,05
3) среднее квадратическое отклонение: σ = ±√σ 2 = ±√34 945,05 ≈ ±186,94 тыс. руб.
4) коэффициент вариации: V = (σ /Хср)*100 = (186,94 / 472,97)*100 = 39,52%
