Распределение потенциала поля точечного заряда. Дипольное приближение для произвольного распределения

Поглощает 99,965 % падающего на него излучения в диапазонах видимого света, микроволн и радиоволн.

Термин «абсолютно чёрное тело» был введён Густавом Кирхгофом в 1862 году .

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Физика для чайников. Лекция 59. Абсолютно чёрное тело

✪ Абсолютно чёрное тело

✪ Излучение абсолютно черного тела

✪ Элементарные частицы | абсолютно чёрное тело

✪ Абсолютно черное тело

Субтитры

Практическая модель

Изучение законов излучения абсолютно чёрного тела явилось одной из предпосылок появления квантовой механики .

Первый закон излучения Вина

k - постоянная Больцмана , c - скорость света в вакууме.

Закон Рэлея - Джинса

Попытка описать излучение абсолютно чёрного тела исходя из классических принципов термодинамики и электродинамики приводит к закону Рэлея - Джинса:

u (ω , T) = k T ω 2 π 2 c 3 {\displaystyle u(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}}

Эта формула предполагает квадратичное возрастание спектральной плотности излучения в зависимости от его частоты. На практике такой закон означал бы невозможность термодинамического равновесия между веществом и излучением , поскольку согласно ему вся тепловая энергия должна была бы перейти в энергию излучения коротковолновой области спектра. Такое гипотетическое явление было названо ультрафиолетовой катастрофой .

Тем не менее закон излучения Рэлея - Джинса справедлив для длинноволновой области спектра и адекватно описывает характер излучения. Объяснить факт такого соответствия можно лишь при использовании квантово-механического подхода, согласно которому излучение происходит дискретно. Исходя из квантовых законов можно получить формулу Планка , которая будет совпадать с формулой Рэлея - Джинса при ℏ ω / k T ≪ 1 {\displaystyle \hbar \omega /kT\ll 1} .

Этот факт является прекрасной иллюстрацией действия принципа соответствия , согласно которому новая физическая теория должна объяснять всё то, что была в состоянии объяснить старая.

Закон Планка

Интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от температуры и частоты определяется законом Планка :

R (ν , T) = 2 π h ν 3 c 2 1 e h ν / k T − 1 , {\displaystyle R(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}},}

где R (ν , T) {\displaystyle R(\nu ,T)} - мощность излучения на единицу площади излучающей поверхности в единичном интервале частот (размерность в СИ: Дж·с −1 ·м −2 ·Гц −1).

Что эквивалентно,

R (λ , T) = 2 π h c 2 λ 5 1 e h c / λ k T − 1 , {\displaystyle R(\lambda ,T)={2\pi h{c^{2}} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1},}

где R (λ , T) {\displaystyle R(\lambda ,T)} - мощность излучения на единицу площади излучающей поверхности в единичном интервале длин волн (размерность в СИ: Дж·с −1 ·м −2 ·м −1).

Закон Стефана - Больцмана

Общая энергия теплового излучения определяется законом Стефана - Больцмана, который гласит:

j = σ T 4 , {\displaystyle j=\sigma T^{4},}

где j {\displaystyle j} - мощность на единицу площади излучающей поверхности, а

σ = 2 π 5 k 4 15 c 2 h 3 = π 2 k 4 60 ℏ 3 c 2 ≃ 5,670 400 (40) ⋅ 10 − 8 {\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}\simeq 5{,}670400(40)\cdot 10^{-8}} Вт/(м²·К 4) - постоянная Стефана - Больцмана .

Таким образом, абсолютно чёрное тело при T {\displaystyle T} = 100 K излучает 5,67 ватт с квадратного метра своей поверхности. При температуре 1000 К мощность излучения увеличивается до 56,7 киловатт с квадратного метра.

Для нечёрных тел можно приближённо записать:

j = ϵ σ T 4 , {\displaystyle j=\epsilon \sigma T^{4},\ }

где ϵ {\displaystyle \epsilon } - степень черноты. Для всех веществ ϵ < 1 {\displaystyle \epsilon <1} , для абсолютно чёрного тела ϵ = 1 {\displaystyle \epsilon =1} , для других объектов в силу закона Кирхгофа степень черноты равна коэффициенту поглощения : ϵ = α = 1 − ρ − τ {\displaystyle \epsilon =\alpha =1-\rho -\tau } , где α {\displaystyle \alpha } - коэффициент поглощщения, ρ {\displaystyle \rho } - коэффициент отражения, а τ {\displaystyle \tau } - коэффициент пропускания. Именно поэтому для уменьшения тепловой радиации поверхность окрашивают в белый цвет или наносят блестящее покрытие, а для увеличения - затемняют.

Константу Стефана - Больцмана σ {\displaystyle \sigma } можно теоретически вычислить только из квантовых соображений, воспользовавшись формулой Планка. В то же время общий вид формулы может быть получен из классических соображений (что не снимает проблемы ультрафиолетовой катастрофы).

Закон смещения Вина

Длина волны, при которой энергия излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина :

λ max = 0,002 8999 T {\displaystyle \lambda _{\max }={\frac {0{,}0028999}{T}}}

где T {\displaystyle T} - температура в кельвинах , а λ max {\displaystyle \lambda _{\max }} - длина волны с максимальной интенсивностью в метрах .

Так, если считать в первом приближении, что кожа человека близка по свойствам к абсолютно чёрному телу, то максимум спектра излучения при температуре 36 °C (309 К) лежит на длине волны 9400 нм (в инфракрасной области спектра).

P = a 3 T 4 , {\displaystyle P={\frac {a}{3}}T^{4},}

(Термическое уравнение состояния)

U = a V T 4 , {\displaystyle U=aVT^{4},}

(Калорическое уравнение состояния для внутренней энергии)

U = a V (3 S 4 a V) 4 3 , {\displaystyle U=aV\left({\frac {3S}{4aV}}\right)^{\mathsf {\frac {4}{3}}},}

(Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии)

H = (3 P a) 1 4 S , {\displaystyle H=\left({\frac {3P}{a}}\right)^{\mathsf {\frac {1}{4}}}S,}

энтальпии)

F = − 1 3 a V T 4 , {\displaystyle F=-{\frac {1}{3}}aVT^{4},}

(Каноническое уравнение состояния для потенциала Гельмгольца)

Ω = − 1 3 α V T 4 , {\displaystyle \Omega =-{\frac {1}{3}}\alpha VT^{4},}

(Каноническое уравнение состояния для потенциала Ландау)

S = 4 a 3 V T 3 , {\displaystyle S={\frac {4a}{3}}VT^{3},}

(Энтропия)

C V = 4 a V T 3 , {\displaystyle C_{V}=4aVT^{3},}

(Теплоёмкость при постоянном объёме)

γ = ∞ , {\displaystyle \gamma =\infty ,}

(

33.Тепловое излучение. Спектры излучения абсолютно черного тела при разных температурах. Законы теплового излучения (Кирхгофа, Вина и Больцмана). Формула Планка.

ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ТЕЛ

Излучение электромагнитных волн веществом происходит благодаря внутриатомным и внутримолекулярным процессам Источники энергии и, следовательно, вид свечения могут быть разными: экран телевизора, лампа дневного света, лампа накаливания, гниющее дерево, светлячок и т.д. Из всего многообразия электромагнитных излучений, видимых или не видимых человеческим глазом, можно выделить одно, которое присуще всем телам Это излучение нагретых тел, или тепловое излучение. Оно возникает при любых температурах выше О К, поэтому испускается всеми телами. В зависимости от температуры тела изменяются интенсивность излучения и спектральный состав, поэтому далеко не всегда тепловое излучение воспринимается глазом как свечение.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ. ЧЕРНОЕ ТЕЛО

Среднюю мощность излучения за время, значительно большее периода световых колебаний, принимают за поток излучения Ф. В системе СИ он выражается в ваттах (Вт).

Поток излучения, испускаемый 1 м 2 поверхности, называют энергетической светимостью R e . Она выражается в ваттах на квадратный метр (Вт/м 2).

Нагретое тело излучает электромагнитные волны различной длины волны. Выделим небольшой интервал длин волн от גּ до גּ + dגּ. Энергетическая светимость, соответствующая этому интервалу, пропорциональна ширине интервала:

где г, - спектральная плотность энергетической светимости

тела, равная отношению энергетической светимости узкого участка спектра к ширине этого участка, Вт/м 3 .

Зависимость спектральной плотности энергетической светимости от длины волны называют спектром излучения тела.

Проинтегрировав, получим выражение для энергетической светимости тела:

Способность тела поглощать энергию излучения характеризуют коэффициентом поглощения, равным отношению потока излучения, поглощенного данным телом, к потоку излучения, упавшего на него: а = Ф погл /Ф пад

Так как коэффициент поглощения зависит от длины волны, то (27.3) записывают для потоков монохроматического излучения, и тогда это отношение определяет монохроматически» коэффициент поглощения: а גּ = Ф погл(גּ)/ Ф пад(גּ) .

Следует, что коэффициенты поглощения могут принимать значения от 0 до 1. Особенно хорошо поглощают излучение тела черного цвета: черная бумага, ткани, бархат, сажа, платиновая чернь и т.п.; плохо поглощают тела с белой поверхностью и зеркала.

Тело, коэффициент поглощения которого равен единице для всех частот, называют черным. Оно поглощает все падающее на него излучение. Черных тел в природе нет, это понятие - физическая абстракция. Моделью черного тела является маленькое отверстие в замкнутой непрозрачной полости. Луч, попавший в это отверстие, многократно отразившись от стенок, почти полностью будет поглощен. В дальнейшем именно эту модель будем принимать за черное тело. Тело, коэффициент поглощения которого меньше единицы и не зависит от длины волны света, падающего на него, называют серым.

Серых тел в природе нет, однако некоторые тела в определенном интервале длин волн излучают и поглощают как серые. Так, например, тело человека иногда считают серым, имеющим коэффициент поглощения приблизительно 0,9 для инфракрасной области спектра.

ЗАКОН КИРХГОФА

Между спектральной плотностью энергетической светимости и монохроматическим коэффициентом поглощения тел существует определенная связь, которую можно пояснить на следующем примере.

В замкнутой адиабатной оболочке находятся два разных тела в условиях термодинамического равновесия, при этом их температуры одинаковы. Так как состояние тел не изменяется, то каждое из них излучает и поглощает одинаковую энергию. Спектр излучения каждого тела должен совпадать со спектром электромагнитных волн, поглощаемых им, иначе нарушилось бы термодинамическое равновесие. Это означает, что если одно из тел излучает какие-либо волны, например красные, больше, чем другое, то оно должно больше их и поглощать.

Количественная связь между излучением и поглощением была установлена Г.Кирхгофом в 1859 г.: при одинаковой температуре отношение спектральной плотности энергетической светимости к монохроматическому коэффициенту поглощения одинаково для любых тел, в том числе и для черных (закон Кирхгофа).

Пользуясь законом Кирхгофа и зная из эксперимента спектр черного тела и зависимость монохроматического коэффициента поглощения тела от длины волны, можно найти спектр излучения тела r גּ = f(גּ).

ЗАКОНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРНОГО ТЕЛА

Излучение черного тела имеет сплошной спектр. Графики спектров излучения для разных температур приведены на рис. Существует максимум спектральной плотности энергетической светимости, который с повышением температуры смещается в сторону коротких волн.

В классической физике испускание и поглощение излучения, телом рассматривались как непрерывный процесс. Планк пришел к V выводу, что именно эти основные положения не позволяют получить правильную зависимость. Он высказал гипотезу, из которой следовало, что черное тело излучает и поглощает энергию не непрерывно, а определенными дискретными порциями - квантами.

Закон Стефана- Болъцмана : энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры. Величину а называют постоянной Стефана - Болъцмана. Закон Стефана- Больцмана можно качественно проиллюстрировать на разных телах (печь, электроплита, металлическая болванка и т.д.): по мере их нагревания ощущается все более интенсивное излучение.

Отсюда находим закон смещения Вина : גּ m ах =b/Т, где גּ m ах - длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости черного тела; Ь = = 0, 28978*10 -2 м-К - постоянная Вина. Этот закон выполняется и для серых тел.

Проявление закона Вина известно из обыденных наблюдений. При комнатной температуре тепловое излучение тел в основном приходится на инфракрасную область и человеческим глазом не воспринимается. Если температура повышается, то тела начинают светиться темно-красным светом, а при очень высокой температуре - белым с голубоватым оттенком, возрастает ощущение нагретости тела.

Законы Стефана - Больцмана и Вина позволяют, измеряя излучение тел, определять их температуры (оптическая пирометрия).

Формула- закон Кулона

где к коэффициент пропорциональности

q1,q2 неподвижные точечные заряды

r расстояние между зарядами

3. Напряжённость электри́ческого по́ля - векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке и численно равная отношению силы действующей на неподвижный пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда : .

Напряжённость электрического поля точечного заряда

[править]В единицах СИ

Для точечного заряда в электростатике верен закона Кулона

Напряженность электрического поля произвольного распределения зарядов

По принципу суперпозиции для напряженности поля совокупности дискретных источников имеем:

где каждое

4. При́нцип суперпози́ции - один из самых общих законов во многих разделах физики. В самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит:

· результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил.

Наиболее известен принцип суперпозиции в электростатике, в которой он утверждает, что напряженность электростатического поля, создаваемого в данной точке системой зарядов, есть сумма напряженностей полей отдельных зарядов .

Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, которые полностью эквивалентны приведённой выше:

· Взаимодействие между двумя частицами не изменяется при внесении третьей частицы, также взаимодействующей с первыми двумя.

· Энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц. В системе нет многочастичных взаимодействий .

· Уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.

Именно линейность фундаментальной теории в рассматриваемой области физики есть причина возникновения в ней принципа суперпозиции.

В электростатике принцип суперпозиции есть следствие того факта, что уравнения Максвелла в вакууме линейны. Именно из этого следует, что потенциальную энергию электростатического взаимодействия системы зарядов можно легко сосчитать, вычислив потенциальную энергию каждой пары зарядов.

5. Работа электрического поля.

6. Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

Напряжённость электростатического поля и потенциал связаны соотношением

7. Принцип суперпозиции электростатических полей.Силы или поля от различных зарядов складываются с учетом их позиции или направленности (вектора). Это выражает принцип “суперпозиции” поля или потенциалов:потенциал поля нескольких зарядов равен алгебраической сумме потенциалов отдельных зарядов, φ=φ 1+φ2+…+φn= ∑i nφi. Знак потенциала совпадает со знаком заряда,φ=kq/r .

8. Потенциальная энергия заряда в электрическом поле. Продолжим сравнение гравитационного взаимодействия тел и электростатического взаимодействия зарядов. Тело массойm в поле тяжести Земли обладает потенциальной энергией.
Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

A = - (W p2 - W p1 ) = mgh .

(Здесь и далее мы будем обозначать энергию буквой W .)
Точно так же, как тело массой m в поле силы тяжести обладает потенциальной энергией, пропорциональной массе тела, электрический заряд в электростатическом поле обладает потенциальной энергией W p , пропорциональной заряду q . Работа сил электростатического поля А равна изменению потенциальной энергии заряда в электрическом поле, взятому с противоположным знаком:

9. Теорема о циркуляции вектора напряженности в интегральной форме:

В дифференциальной форме:

10. Связь потенциала и напряженности. E = - grad = -Ñ .

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком . Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала

11. Поток вектора напряженности .

Теорема Гаусса в интегральной форме: где

· - поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность .

· - полный заряд, содержащийся в объёме, который ограничивает поверхность .

· - электрическая постоянная.

Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме.

В дифференциальной форме: Здесь - объёмная плотность заряда (в случае присутствия среды - суммарная плотность свободных и связанных зарядов), а - оператор набла.

12. Применение закона Гаусса. 1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью .

Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда в любой точке сферы будет одинакова.

a. Заключим нашу сферическую поверхность в симметричную поверхность S с радиусом r>R. Поток вектора напряженности через поверхность S будет равен

По теореме Гаусса

Следовательно

c. Проведем через точку В, находящуюся внутри заряженной сферической поверхности, сферу S радиусом г

Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью .

Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса Поток вектора напряженности через эту поверхность

По теореме Гаусса

Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:

В это выражение не входят координаты, следовательно электростатическое поле будет однородным, а напряженность его в любой точке поля одинакова.

13. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ .

Электрический диполь - система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (), расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля.
Плечо диполя - вектор , направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между зарядами.
Электрический момент диполя (дипольный момент):
.

Потенциал поля диполя:

Напряженность поля диполя в произвольной точке (согласно принципу суперпозиции):

где и - напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами.

Напряженность поля диполя на продолжении оси диполя в точке А :
.
Напряженность поля диполя на перпендикуляре, восставленном к оси из его середины в точке B :
.

Поле точечного заряда.

Пусть имеется один точечный заряд q . Это частный случай сферической симметрии. У нас есть формула: , где
– заряд внутри сферы радиусаr , но если заряд точки, то для точечного заряда
, при любомr . Понятно почему, на любом радиусе внутри сферы точка остаётся точкой. И для точечного заряда
. Это поле точечного заряда. Потенциал поля точечного заряда:
.

Поле системы точечных зарядов. Принцип суперпозиции.

Пусть мы имеем систему зарядов
, тогда напряжённость поля, создаваемая системой точечных зарядов, в любой точке равна сумме напряжённостей, создаваемых каждым из зарядов. Я мог бы сразу написать
, если бы вы свободно читали формулы. Учитесь читать формулы повествовательно. Зарядумножьте на вектор
, и разделите на модуль этого вектора, а что такое модуль вектора это длина. Эта вся штука даёт вектор, направленный вдоль вектора
.

То, что поля складываются это совершенно не очевидно. Это следствие линейности уравнений Максвелла. Уравнения линейны по . Это означает, что, если вы нашли два решения, то они складываются. Бывают ли поля, для которых не выполняется принцип суперпозиции? Бывают. Гравитационное поле не в ньютоновской теории, а в правильной, не удовлетворяет принципу суперпозиции. Земля создаёт в некоторой точке определённую напряжённость. Луна тоже. Поставили Землю и Луну, напряжённость в точке не равна сумме напряжённостей. Уравнение поля не линейно, физически это означат, что гравитационное поле является само себе источником. Так. Всё, конец.

В прошлый раз мы остановились на обсуждении поля, создаваемом системой зарядов. И мы видели, что поля, создаваемые каждым зарядом в отдельности в данной точке, складываются. При этом я подчеркнул, что это не самая очевидная вещь, - это свойство электромагнитного взаимодействия. Физически оно связано с тем, что поле само для себя не является источником, формально это следствие того, что уравнения линейны. Есть примеры физических полей, которые сами для себя являются источником. То есть, если в каком-то объёме это поле есть, так оно создаёт само поле в окружающем пространстве, формально это проявляется в том, что уравнения не линейны. Я там написал формулу для напряжённости
, напишем ещё формулу для потенциала.

Потенциал системы точечных зарядов.

Имеется система зарядов
и т.д. И тогда для некоторой точкимы напишем такую формулу:
. Значит, вот такой рецепт для потенциала. Напряжённость равна сумме напряжённостей, потенциал равен сумме потенциалов.

Замечание. Практически всегда удобнее вычислять потенциал, а не напряжённость, по понятным причинам: напряжённость – это вектор, и векторы надо складывать по правилу сложения векторов, ну, правилу параллелограмма, это занятие, конечно, более скучное, чем складывать числа, потенциал – это скалярная величина. Поэтому, практически всегда, когда мы имеем достаточно плотное распределение заряда, ищем потенциал, напряжённость поля потом находим по формуле:
. 1)

Поле, создаваемое произвольным ограниченным распределением заряда 1).

Ну, что тут означает эпитет «ограниченный»? То, что заряд локализован в конечной области пространства, то есть мы можем охватить этот заряд замкнутой поверхностью такой, что вне этой поверхности заряда нет. Понятно, что с точки зрения физики это не ограничение, ну, и, действительно, мы имеем дело практически всегда только с ограниченными распределениями, нет такой ситуации, чтобы заряд был размазан по всей вселенной, он концентрируется в определённых областях.

В

от такая проблема: областьзанята зарядом, по этой области размазан электрический заряд, мы должны полностью охарактеризовать этот заряд и найти создаваемое им поле. Что значит полностью охарактеризовать распределение заряда? Возьмём элемент объёма
, положение этого элемента задаётся радиус-вектором, в этом элементе сидит заряд
. Для того, чтобы найти поле, нам нужно знать заряд каждого элемента объёма, это означает, что нам нужно знать плотность заряда в каждой точке. Вот эта функция
предъявлена, она для нашей цели исчерпывающе характеризует распределение заряда, больше ничего знать не надо.

Пусть нас интересует поле в точке . А дальше принцип суперпозиции. Мы можем считать зарядdq , который сидит в этом элементе объёма, точечным 2). Мы можем написать сразу выражение для потенциала, который создаёт этот элемент в этой точке:
, это потенциал, создаваемый элементом в точке. А теперь понятно, что полный потенциал в этой точке мы найдём суммированием по всем элементам. Ну, и напишем эту сумму как интеграл:
. 3)

Этот рецепт срабатывает железно для любого предъявленного распределения заряда, никаких проблем, кроме вычисления интеграла, нет, но компьютер такую сумму посчитает. Напряжённость поля находится:
. Когда интеграл вычислен, то напряжённость находится просто дифференцированием.