Ротор (математика)
Ро́тор , или вихрь - векторный дифференциальный оператор над векторным полем.
Обозначается
(в русскоязычной литературе) или
(в англоязычной литературе),
а также - как векторное умножение дифференциального оператора набла на векторное поле:
Результат действия этого оператора на конкретное векторное поле F называется ротором поля F или, короче, просто ротором F и представляет собой новое векторное поле:
Поле rot F (длина и направление вектора rot F в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле вращательную составляющую поля F соответственно в каждой точке.
Интуитивный образ
Если v (x,y,z) - поле скорости движения газа (или течения жидкости), то rot v - вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).
Конкретно rot v = 2 ω , где ω - эта угловая скорость.
Простую иллюстрацию этого факта - см. ниже.
Эта аналогия может быть сформулирована вполне строго (см. ниже). Основное определение через циркуляцию (данное в следующем параграфе) можно считать эквивалентным полученному таким образом.
Математическое определение
Ротор векторного поля - есть вектор, проекция которого на каждое направлениеn есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру L , являющемуся краем плоской площадки ΔS , перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:
.
Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении , контур L обходился по часовой стрелке .
В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь F - обозначено некое векторное поле с декартовыми компонентами , а - орты декартовых координат):
Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла(слева) и векторного поля:
(Последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).
Связанные определения
Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется безвихревым и является потенциальным . Поскольку эти условия являются друг для друга необходимыми и достаточными, оба термина являются практическими синонимами. (Впрочем, это верно только для случая полей, определённых на односвязной области).
Чуть подробнее о взаимной обусловленности потенциальности и безвихревого характера поля - см. ниже (Основные свойства).
Напротив, поле, ротор которого не равен нулю, называется обычно вихревым , такое поле не может быть потенциальным.
Обобщение
Наиболее прямое обобщение ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям, определённым на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) такое
при индексах m и n от 1 до размерности пространства.
Это же может быть записано как внешнее произведение:
При этом ротор есть антисимметричное тензорное поле валентности два.
В случае размерности 3 свертка этого тензора с символом Леви-Чивиты даёт обычное определение трехмерного ротора, приведённое в статье выше.
Для двумерного пространства может быть вдобавок при желании использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, совпадающим с проекцией традиционного векторного произведения на ось, ортогональную данному двумерному пространству - если считать при этом двумерное пространство вложенным в некое трехмерное, чтобы традиционное векторное произведение имело смысл).
Пусть поле - дифференцируемое поле (то есть проекции вектора поля на оси координат являются дифференцируемыми функциями).
Определение.
Вихрем векторного поля(обозначаетсяrot
)
называется вектор, проекция которого
на произвольный вектор
определяется как предел отношения
циркуляции поля
по некоторому контуру (L
),
содержащему точкуM
,
и лежащему в плоскости, перпендикулярной
вектору
,
к площади области, ограниченной этим
контуром, при условии, что этот контур
стягивается в точкуM
,
а площадь области (S
)
стремится к нулю:
.
(1.13)
В трехмерном
пространстве
через декартовы прямоугольные координаты
вектора
выражается следующим образом:
или в удобной для запоминания символической форме
.
(1.15)
Теорема Стокса.
Пусть координаты вектора+непрерывны и имеют непрерывные частные
производные. Тогда циркуляция векторного
поля
по замкнутому контуру (L
)
равна потоку вихрей поля через произвольную
поверхность (S
),
натянутую на этот контур:
.
(1.16)
Предполагается, что ориентация контура (L ) и поверхности (S ) согласованы: при положительном обходе контура нормаль направлена от “ног к голове”.
Свойства ротора: 1) ; 2) .
Определение.
Векторное поленазывается безвихревым в данной области
(V
), если.
Пример 1.
Найти
ротор поля вектора напряженности
магнитного поля.
Решение.Векторв координатной форме:
.
Вычислим ротор по формуле (1.15):
Поле напряженности
- безвихревое поле.
Пример 2.
Вычислить циркуляцию векторапо контуру
1)непосредственно, 2)по теореме Стокса.
Решение. 1)Контур (L
)
– окружность радиуса
,
лежащая в плоскостиz
=3 (см. рис.5). Выберем ориентацию на ней,
как указано на рисунке. Параметрические
уравнения линии
,
так что
,.
Для циркуляции вектора
имеем:.
2)Для вычисления циркуляции по теореме
Стокса выберем какую-нибудь поверхность
(S
), натянутую на контур
(L
).Естественно в
качестве (S
) взять
круг, имеющий линию (L
)
своей границей. Согласно выбранной
ориентации контура нормаль
к кругу необходимо взять равной
.
Вычислим ротор:
.
По теореме Стокса
.
Задачи для самостоятельного решения
Найти векторные линии плоских векторных полей:
1.
;2.
;3.
;4.
;
5.
.
Найти векторные линии:
6.
;
7.
,
где
;
8.
;
9.
,
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
,
где
-
постоянные векторы.
Найти векторные линии, проходящие через заданную точку:
14.
,
;15.
,
.
Вычислить поток векторного поля, используя поверхностный интеграл первого рода:
16.
,
(S
): верхняя сторона
треугольника, ограниченного плоскостями
,
.
17.
,
(S
): внешняя сторона
параболоида
,
ограниченного плоскостью
;
18.
,
:
боковая поверхность кругового цилиндра
,
ограниченного плоскостями
;
19.
,
(S
): внешняя сторона
части параболоида
,
расположенной в первом октанте;
20.
,
(S
): полная поверхность
конуса
,
ограниченного плоскостью
;
21.
,
(S
): замкнутая поверхность,
ограниченная параболоидоми плоскостьюz
= 0;
22.
,
(S
): полная поверхность
пирамиды, ограниченной плоскостями
,
,
,
;
23.
,
(S
): сфера
.
Вычислить поток, используя метод проектирования на все три координатные плоскости.
24.
,
(S
): верхняя сторона
круга, вырезанного конусом
на плоскости
25.
,
(S
): верхняя сторона
треугольника, полученного пересечением
плоскостис координатными плоскостями;
26.
,
(S
): часть плоскости,
ограниченная окружностью
,
в направлении орта
.
Определить поток поля, используя формулу Гаусса-Остроградского:
27.
,
(S
): произвольная
кусочно гладкая замкнутая поверхность;
28.
,
(S
): поверхность куба
,
,
;
29.
,
(S
): сфера
;
30.
,
(S
): часть параболоида
,
отсекаемая плоскостью
;
в отрицательную сторону осиOx
;
31.
,
(S
): поверхность тела
,
,
,
;
32.
,
(S
): поверхность тела,
;
33. , (S ):;
Найти линейный интеграл вектора на плоскости:
36.
верхняя половина эллипса
от точкиA
(a
,0),
до точкиB
(-a
,0);
37.
а) отрезок прямойOB
;
б) дуга параболы;
в) дуга параболы
;
г) ломанаяOAB
, гдеA
(1,0); д) ломанаяOCB
,
гдеC
(0,1);
39. от точки (-1, 1) до точки (2, 2).
Вычислить линейный интеграл:
41.
,
отрезок прямой от точки (1,1,1) до точки
(4,4,4);
44. отрезок прямой от точки (0,0,0) до точки (1,1,1).
45.
Дана
напряженностьсилового поля. Найти работу поля при
перемещении массыm
вдоль одного витка винтовой линии
,
из точки
в точкуB
(t
=2);
46.
Силовое поле
образовано силой, равной по величине
расстоянию от начала координат до точки
ее приложения и направленной к началу
координат. Найти работу поля по перемещению
единицы массы вдоль дуги параболыот точки с абсциссой
до точки с абсциссой
.
В задачах 47- 51 найти циркуляцию поля:
47. в отрицательном направлении;
48.
замкнутая
линия, образованная отрезками осей
координатOx
иOy
и другой астроиды
,
,
лежащей в первом квадранте;
51.
линия пересечения параболоидас координатными плоскостями (в первом
октанте);
52.
Твердое тело
вращается с постоянной угловой скоростьювокруг осиOz
. Вычислить
циркуляцию поля линейных скоростей
вдоль окружности радиусаR
,
центр которой лежит на оси вращения,
если плоскость окружности перпендикулярна
оси вращения (циркуляция рассматривается
в направлении вращения).
53.
Найти работу
поляпри перемещении точки единичной массы
вдоль замкнутой линии, состоящей из
трех прямолинейных отрезков, лежащих
в координатных плоскостях, отсекающих
на осях координат отрезки, равные
единице.
Найти дивергенцию нижеследующих полей:
54.
.
При какой функции
будет?
55.
;56.
- линейная скорость точек вращающейся
жидкости
- угловая скорость);
57.
напряженность магнитного поля,J
,
– постоянные;
58.
; 59.
;
60.
Вычислитьв точке (1,-1,1).
Найти поток векторного поля через указанные замкнутые поверхности: 1) непосредственно, 2) по теореме Гаусса-Остроградского в векторной формулировке:
64.
;
В задачах 73 и 74 вычислить ротор указанных векторных полей:
73.
74.
75.
Показать,
что если координаты вектораимеют непрерывные частные производные
второго порядка, то
.
76.
Показать,
что еслии
-
постоянные векторы, то
.
77.
Показать,
что.
78.
Показать,
что.
79.
Показать,
что векторное полеявляется безвихревым.
80.
Показать,
что ротор поля линейных скоростейточек вращающегося твердого тела есть
постоянный вектор, направленный
параллельно оси вращения, модуль которого
равен удвоенной угловой скорости
вращения:
.
81.
Какова должна
быть функция,
чтобы ротор векторного полясовпадал с вектором
?
Найти циркуляцию поля по указанным контурам 1)непосредственно, 2)по теореме Стокса в векторной формулировке:
84.
по контуру, образованному пересечением
плоскости
с координатными плоскостями;
15.2. Частные случаи векторных полей. Операции второго порядка
15.2.1. Потенциальное векторное поле
Определение.
Векторное поленазывается потенциальным полем, если
существует некоторая скалярная функция
,
градиент которой образует это поле:
.
(2.1)
Функция u
называется потенциалом векторного поля.
Теорема. Для того, чтобы поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым:
.
(2.2)
Формула (2.2) есть
критерий потенциальности векторного
поля
.
Свойства потенциальных полей.
1) в области непрерывности потенциала поля u линейный интеграл не зависит от пути интегрирования и равняется приращению потенциала
2)
циркуляция (1.9) вектора
по любому замкнутому контуру, целиком
лежащему в области непрерывности поля,
равна нулю:
.
(2.4)
3)
потенциал
находится по формуле (2.3):
,
(2.5)
где
(AM
)
– произвольная кривая, стягивающая
точки A
и M
.
Если путь (AM
)
взять в виде ломаной, состоящей из
отрезков, параллельных осям координат
(количество таких ломаных равно шести),
то для нахождения потенциала может быть
применена одна из формул, выражающая
потенциал
через определенные интегралы
;
):
Пример. Проверить, что поле вектора является потенциальным и найти его потенциал.
Решение. Составим для данного поля критерий потенциальности (2.2):
Поле потенциально. Найдем потенциал
по формуле (2.6): за начальную точку удобно
взять точкуA
(0,0,0):
.
Важнейшими характеристиками векторного поля являются ротор и дивергенция. В этом параграфе мы рассмотрим математическое описание этих характеристик векторных поле и методы их вычисления с помощью дифференциальных операций. При этом мы будем использовать только декартову систему координат. Более полное определение дивергенции и ротора и их физический смысл рассмотрим в следующей главе. Вычисление этих величин в криволинейных системах координат рассмотрим позже.
Рассмотрим векторное поле, заданное в трехмерном пространстве.
Определение 1. Дивергенцией векторного поля называется число, которое определяется выражением
При этом предполагается, что соответствующие частные производные существуют в рассматриваемой точке. Дивергенцию векторного поля, так же, как и градиент, можно записать, используя оператор набла
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image054.png)
Здесь дивергенция представлена как скалярное произведение векторов и F . Отметим без доказательства, что дивергенция описывает плотность источников, создающих поле.
Пример 1. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке.
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image055.png)
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image058.png)
Определение 2. Ротором векторного поля называется вектор, который определяется выражением
Отметим, что в представленной сумме индексы в соседних слагаемых изменяются согласно правилу круговой перестановки с учетом правила.
Ротор векторного поля можно записать с помощью оператора набла
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image061.png)
Ротор характеризует тенденцию к вращению или завихрению векторного поля, поэтому иногда его называют вихрем и обозначают curlF .
Пример 1. Вычислить ротор векторного поля в точке.
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image063.png)
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image064.png)
Иногда возникает необходимость вычисления градиента векторного поля. В этом случае вычисляется градиент от каждой компоненты векторного поля. В результате получается тензор второго ранга, которым и определяется градиент вектора. Этот тензор можно описать матрицей
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image067.png)
Для описания таких объектов удобно использовать тензорные обозначения
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image068.png)
полагая. Использование тензорных методов упрощает математические операции над такими объектами. Детальное изложение аппарата тензорного исчисления дается в курсе «Основы тензорного анализа», который читается параллельно курсу «Дополнительные главы высшей математики».
Пример 1. Вычислить градиент векторного поля.
Решение. Для вычислений используем тензорные обозначения. Имеем
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image071.png)
Здесь символ Кронекера, - единичная матрица.
Пример 2. Вычислить градиент скалярного поля и сравнить выражения и.
Некоторые свойства оператора набла
Ранее мы ввели оператор векторного дифференцирования
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image076.png)
С помощью этого оператора мы записали основные дифференциальные операции в тензорных полях:
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image077.png)
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image078.png)
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image079.png)
Оператор является обобщением оператора дифференцирования и обладает соответствующими свойствами производной:
1) производная суммы равна сумме производных
2) постоянный множитель можно выносить за знак оператора
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image081.png)
В переводе на язык векторных функций эти свойства имеют вид:
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image086.png)
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image087.png)
Выводятся эти формулы так же, как и соответствующие формулы для производных функции одной переменной.
Использование оператора Гамильтона позволяет упростить многие операции, связанные с дифференцированием в тензорных полях. Однако следует иметь в виду, что этот оператор векторный и с ним надо обращаться аккуратно. Рассмотрим некоторые применения этого оператора. При этом соответствующие формулы записываются как с помощью оператора Гамильтона, так и в обычных обозначениях.
Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому в соответствии с формулой (11.10) поток вектора В через замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие
Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую, поверхность равен нулю.
Заменив в соответствии с (11.41) поверхностный интеграл в (49.1) объемным, получим, что
Условие, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, магнитное поле обладает тем свойством, что его дивергенция всюду равна нулю:
Теперь обратимся к циркуляции вектора В. По определению циркуляция равна интегралу
Проще всего вычислить этот интеграл в случае поля прямого тока. Пусть замкнутый контур лежит в плоскости, перпендикулярной к току (рис. 49.1; ток перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертеж). В каждой точке контура вектор В направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку. Заменим в выражении для циркуляции через ( - проекция элемента контура на направление вектора В)
Из рисунка видно, что равно где b - расстояние от провода с током до , - угол, на который поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок Таким образом, подставив выражение (42.5) для В, получим
С учетом равенства (49.4) имеем
При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все время поворачивается в одном направлении, поэтому Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. ). В этом случае при обходе по контуру радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (участок 1-2), а затем в противоположном (участок ), вследствие чего равен нулю.
Учтя этот результат, можно написать
где под следует подразумевать ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, циркуляция вектора В равна нулю.
Знак выражения (49.6) зависит от направления обхода по контуру (в этом же направлении отсчитывается угол а). Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, величина (49.6) положительна, в противном случае - отрицательна. Знак можно учесть, полагая алгебраической величиной, причем положительным нужно считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным.
С помощью соотношения (49.6) легко восстановить в памяти формулу (42.5) для В поля прямого тока.
Представим себе плоский контур в виде окружности радиуса b (рис. 49.2). В каждой точке этого контура вектор В одинаков по величине и направлен по касательной к окружности. Следовательно, циркуляция равна произведению В на длину окружности и соотношение (49.6) имеет вид
Отсюда (ср. с (42.5)).
Случай неплоского контура (рис. 49.3) отличается от рассмотренного выше случая плоского контура лишь тем, что при перемещении вдоль контура радиальная прямая не только поворачивается вокруг провода, но и перемешается вдоль него. Все выкладки, приведшие нас к формуле (49.6), остаются справедливыми, если под подразумевать угол, на который поворачивается проекция радиальной прямой на перпендикулярную к току плоскость. Суммарный угол поворота этой проекции равен если контур охватывает ток, и нулю в противном случае.
Следовательно, мы снова приходимк формуле (49.6).
Формула (49.6) получена нами для случая прямого тока. Можно показать, что она справедлива и для тока, текущего по проводу произвольной формы, например для кругового тока.
Допустим, что некоторый контур охватывает несколько проводов с токами. В силу принципа суперпозиции (см. (40.1))
Каждый из интегралов в этой сумме равен Следовательно,
(напомним, что - алгебраическая величина).
Если токи текут во всем пространстве, где расположен контур, алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром, можно представить в виде
Интеграл берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур. Вектор есть плотность тока в той точке, где расположена площадка ; - положительная нормаль к этой площадке (т. е. нормаль, образующая с направлением обхода по контуру при вычислении циркуляции правовинтовую систему).
Заменив в (49.7) сумму токов выражением (49.8), получим
Преобразовав левую часть по теореме Стокса, придем к равенству
Полученное равенство должно выполйяться при произвольном выборе поверхности S, по которой берутся интегралы. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральные функции имеют в каждой точке одинаковые значения. Таким образом, мы приходим к выводу, что ротор вектора магнитной индукции пропорционален вектору плотности тока в данной точке:
Коэффициент пропорциональности в СИ равен .
Отметим, что формулы (49.7) и (49.9) справедливы только для поля в вакууме в отсутствие меняющихся во времени электрических полей.
Итак, мы нашли дивергенцию и ротор магнитного поля в вакууме. Сравним полученные формулы с аналогичными формулами для электростатического поля в вакууме. Согласно (13.5), (12.3), (49.2) и (49.9)
Сопоставление этих формул показывает, что электростатическое и магнитное поля имеют существенно различный характер. Ротор электростатического поля равен нулю; следовательно, электростатическое поле потенциально и может быть охарактеризовано скалярным потенциалом Поле, у которого ротор отличен от нуля, называется вихревым или соленоидальным.
Поскольку дивергенция вектора В всюду равна нулю, этот вектор можно представить в виде ротора некоторой функции А:
(дивергенция ротора всегда равна нулю; см. (11.39)). Функция А называется векторным потенциалом магнитного поля. Некоторые сведения о векторном потенциале содержатся в Приложении III (стр. 486).