Prvá úroveň

Opísaný kruh. Vizuálny sprievodca (2019)

Prvá otázka, ktorá môže vzniknúť, je: čo je popísané – okolo čoho?

V skutočnosti sa to niekedy deje okolo čohokoľvek, ale budeme hovoriť o kruhu opísanom okolo (niekedy sa hovorí aj „okolo“) trojuholníka. Čo je to?

A len si predstavte, stane sa úžasná skutočnosť:

Prečo je táto skutočnosť prekvapujúca?

Ale trojuholníky sú iné!

A pre každého je tu kruh, ktorým prejde cez všetky tri vrcholy, teda opísaný kruh.

Dôkaz toho úžasný fakt možno nájsť v nasledujúcich rovinách teórie, ale tu len poznamenáme, že ak si vezmeme napríklad štvoruholník, tak nie pre každého bude kruh prechádzajúci cez štyri vrcholy. Napríklad rovnobežník je vynikajúci štvoruholník, ale cez všetky jeho štyri vrcholy neprechádza žiadna kružnica!

A existuje len pre obdĺžnik:

Nech sa páči, a každý trojuholník má vždy svoju kružnicu opísanú! A dokonca je vždy celkom ľahké nájsť stred tohto kruhu.

Vieš čo to je? kolmica?

Teraz sa pozrime, čo sa stane, ak vezmeme do úvahy až tri kolmice na strany trojuholníka.

Ukazuje sa (a to je presne to, čo treba dokázať, hoci to neurobíme), že všetky tri kolmice sa pretínajú v jednom bode. Pozrite sa na obrázok - všetky tri kolmé osi sa pretínajú v jednom bode.

Myslíte si, že stred opísanej kružnice vždy leží vo vnútri trojuholníka? Predstavte si - nie vždy!

Ale ak ostrý uhol, potom - vnútri:

Čo robiť s pravouhlým trojuholníkom?

A s bonusom navyše:

Keďže hovoríme o polomere opísanej kružnice: čomu sa rovná ľubovoľný trojuholník? A na túto otázku existuje odpoveď: tzv.

menovite:

A samozrejme,

1. Existencia a stred opísanej kružnice

Tu vyvstáva otázka: existuje taký kruh pre každý trojuholník? Ukazuje sa, že áno, pre všetkých. A navyše teraz sformulujeme vetu, ktorá odpovedá aj na otázku, kde sa nachádza stred kružnice opísanej.

Pozri, takto:

Buďme odvážni a dokážme túto vetu. Ak ste si už prečítali tému „“ a pochopili ste, prečo sa tri osi pretínajú v jednom bode, bude to pre vás jednoduchšie, ale ak ste to nečítali, nebojte sa: teraz na to prídeme.

Dôkaz vykonáme pomocou konceptu lokusu bodov (GLP).

Napríklad súprava loptičiek - “ lokus» okrúhle predmety? Nie, samozrejme, pretože sú tu okrúhle... vodné melóny. Je to súbor ľudí, „geometrické miesto“, ktorí môžu hovoriť? Ani nie, pretože sú deti, ktoré nevedia rozprávať. V živote je vo všeobecnosti ťažké nájsť príklad skutočného „geometrického umiestnenia bodov“. V geometrii je to jednoduchšie. Tu je napríklad presne to, čo potrebujeme:

Tu je množina kolmica a vlastnosť „ “ je „byť v rovnakej vzdialenosti (bod) od koncov segmentu.

Skontrolujeme? Takže sa musíte uistiť o dvoch veciach:

1. Akýkoľvek bod, ktorý je rovnako vzdialený od koncov segmentu, je umiestnený na kolmici k nemu.

Spojme c a c. Potom je čiara stredom a výškou b. To znamená - rovnoramenné - dbali sme na to, aby každý bod ležiaci na odvesne bol rovnako vzdialený od bodov a.

Vezmeme stred a spojíme a. Výsledkom je medián. Ale podľa podmienky nie je rovnoramenný len stred, ale aj výška, teda odvesna. To znamená, že bod presne leží na kolmici.

Všetky! Túto skutočnosť sme si plne overili Kolmica úsečky je miestom bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od koncov úsečky.

To je všetko v poriadku, ale zabudli sme na opísaný kruh? Vôbec nie, práve sme si pripravili „odrazový mostík pre útok“.

Zvážte trojuholník. Narysujme dve kolmice na osi a povedzme na segmenty a. V určitom bode sa pretnú, ktorý pomenujeme.

Teraz dávajte pozor!

Bod leží na kolmici;
bod leží na kolmici.
A to znamená, a.

Z toho vyplýva niekoľko vecí:

Po prvé, bod musí ležať na tretej osi kolmo na segment.

To znamená, že bodom musí prechádzať aj odvesna a všetky tri odvesnice sa pretínajú v jednom bode.

Po druhé: ak nakreslíme kružnicu so stredom v bode a polomerom, tak aj táto kružnica bude prechádzať bodom aj bodom, čiže pôjde o kružnicu opísanú. To znamená, že už existuje priesečník troch kolmé osi- stred opísanej kružnice pre ľubovoľný trojuholník.

A posledná vec: o jedinečnosti. Je jasné (takmer), že bod sa dá získať jedinečným spôsobom, preto je kruh jedinečný. „Takmer“ necháme na vaše zamyslenie. Tak sme dokázali vetu. Môžete kričať "Hurá!"

Čo ak sa problém pýta „nájdite polomer opísanej kružnice“? Alebo naopak, rádius je daný, ale potrebujete nájsť niečo iné? Existuje vzorec, ktorý spája polomer kružnice opísanej s ostatnými prvkami trojuholníka?

Poznámka: Sínusová veta to hovorí aby ste našli polomer opísanej kružnice, potrebujete jednu stranu (akúkoľvek!) a uhol oproti nej. To je všetko!

3. Stred kruhu - vnútri alebo vonku

Teraz otázka znie: môže stred kružnice opísanej ležať mimo trojuholníka?
Odpoveď: čo najviac. Navyše sa to vždy deje v tupom trojuholníku.

A všeobecne povedané:

CIRCULAR CIRCLE. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

1. Kružnica opísaná trojuholníku

Toto je kruh, ktorý prechádza všetkými tromi vrcholmi tohto trojuholníka.

2. Existencia a stred opísanej kružnice

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Pre úspešné zloženie jednotnej štátnej skúšky, na prijatie na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí dostali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nedostali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že je pred nimi oveľa otvorenejšie viac možností a život bude jasnejší? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy s časom.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nevyhnutne s riešeniami, podrobná analýza a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Aby ste mohli lepšie využívať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku - 299 rubľov.
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - 999 rubľov.

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

V druhom prípade dáme vám simulátor „6000 problémov s riešeniami a odpoveďami pre každú tému na všetkých úrovniach zložitosti“. Určite bude stačiť dostať do rúk riešenie problémov na akúkoľvek tému.

V skutočnosti je to oveľa viac ako len simulátor - celý tréningový program. V prípade potreby ho môžete využiť aj ZADARMO.

Prístup ku všetkým textom a programom je poskytovaný po CELÚ dobu existencie stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Kruh opísaný pravouhlým trojuholníkom. V tejto publikácii sa pozrieme na dôkaz jedného „ matematický fakt“, ktorý je široko používaný pri riešení geometrických problémov. V niektorých zdrojoch je táto skutočnosť označená ako veta, v iných ako vlastnosť, existujú rôzne formulácie, ale ich podstata je rovnaká:

Akýkoľvek trojuholník zostrojený na priemere kruhu, ktorého tretí vrchol leží na tejto kružnici, je pravouhlý!

To znamená, že vzor v tomto geometrickom vzore je taký, že kdekoľvek umiestnite vrchol trojuholníka, uhol v tomto vrchole bude vždy správny:

Na skúške z matematiky je pomerne veľa úloh, pri riešení ktorých sa táto vlastnosť využíva.

Štandardný dôkaz považujem za veľmi mätúci a preťažený matematické symboly, nájdete v učebnici. Budeme brať do úvahy jednoduché a intuitívne. Objavil som to v nádhernej eseji s názvom „ Výkrik matematika“, odporúčam prečítať učiteľom a žiakom.

Najprv si pripomeňme niekoľko teoretických bodov:

Paralelogramový znak. Rovnobežník má protiľahlé strany, ktoré sú rovnaké. To znamená, že ak má štvoruholník oba páry protiľahlých strán rovnaké, potom tento štvoruholník je rovnobežník.

Obdĺžnikový znak. Obdĺžnik je rovnobežník a jeho uhlopriečky sú rovnaké. To znamená, že ak má rovnobežník rovnaké uhlopriečky, potom je to obdĺžnik.

*Obdĺžnik je rovnobežník; toto je jeho špeciálny prípad.

Takže začnime:

Vezmime trojuholník a otočíme ho o 180 0 vzhľadom na stred kruhu (otočíme ho). Dostaneme štvoruholník vpísaný do kruhu:

Keďže sme trojuholník jednoducho otočili, protiľahlé strany štvoruholníka sú rovnaké, čo znamená, že ide o rovnobežník. Keďže trojuholník je otočený presne o 180 stupňov, jeho vrchol je diametrálne opačný ako vrchol „pôvodného“ trojuholníka.

Ukazuje sa, že uhlopriečky štvoruholníka sú rovnaké, takže sú to priemery. Máme štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnaké a uhlopriečky sú rovnaké, preto je to obdĺžnik a všetky jeho uhly sú pravé.

To je celý dôkaz!

Môžete tiež zvážiť toto, tiež jednoduché a zrozumiteľné:

Pozrite si ďalší dôkaz =>>

Z bodu C zostrojíme úsečku prechádzajúcu stredom kružnice, ktorej druhý koniec bude ležať na opačnom bode kružnice (bod D). Pripojte bod D k vrcholom A a B:Dostali sme štvoruholník. Trojuholník AOD rovný trojuholníku SOVA na dvoch stranách a uhol medzi nimi:

Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že AD = CB.

Podobne AC = DB.

Môžeme konštatovať, že štvoruholník je rovnobežník. Okrem toho sú jeho uhlopriečky rovnaké - AB sa na začiatku udáva ako priemer, CD je tiež priemer (prechádza bodom O).

ACBD je teda obdĺžnik, čo znamená, že všetky jeho uhly sú správne. Osvedčené!

Ďalší pozoruhodný prístup, ktorý nám jasne a „krásne“ hovorí, že daný uhol je vždy správny.

Pozrite si a zapamätajte si informácie o. Teraz sa pozrite na náčrt:

Uhol AOB nie je nič iné ako stredový uhol založený na oblúku ADB a rovná sa 180 stupňom. Áno, AB je priemer kruhu, ale nič nám nebráni počítať AOB stredový uhol(toto je priamy uhol). Je pre ňu vpísaný uhol ACB, ktorý tiež spočíva na rovnakom oblúku na ADB.

A vieme, že vpísaný uhol rovná polovici stredový, teda bez ohľadu na to, ako umiestnime bod C na kružnicu, uhol ACB bude vždy rovný 90 stupňom, čo znamená, že je rovný.

Aké závery možno vyvodiť v súvislosti s riešením problémov, najmä tých, ktoré sú súčasťou skúšky?

Ak je podmienka o trojuholníku vpísanom do kruhu a postavenom na priemere tohto kruhu, potom tento trojuholník je určite pravouhlý trojuholník.

Ak sa povie, že pravouhlý trojuholník je vpísaný do kruhu, potom to znamená, že jeho prepona sa zhoduje s jeho priemerom (jemu rovným) a stred prepony sa zhoduje so stredom kruhu.

To je všetko. Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

Kolmica na úsečku

Definícia 1. Kolmica na úsečku nazývaná priamka kolmá na tento segment a prechádzajúca jeho stredom (obr. 1).

Veta 1. Každý bod kolmice na úsečku je umiestnený v rovnakej vzdialenosti od koncov tento segment.

Dôkaz . Uvažujme ľubovoľný bod D, ležiace na odvesne k úsečke AB (obr. 2) a dokážte, že trojuholníky ADC a BDC sú rovnaké.

V skutočnosti sú tieto trojuholníky pravouhlé trojuholníky, v ktorých sú vetvy AC a BC rovnaké a vetva DC je spoločná. Rovnosť trojuholníkov ADC a BDC znamená rovnosť segmentov AD a DB. Veta 1 je dokázaná.

Veta 2 (premeniť sa na vetu 1). Ak je bod v rovnakej vzdialenosti od koncov segmentu, potom leží na kolmici na tento segment.

Dôkaz . Dokážme vetu 2 protirečením. Na tento účel predpokladajme, že nejaký bod E je v rovnakej vzdialenosti od koncov úsečky, ale neleží na kolmici na túto úsečku. Dostaňme tento predpoklad do rozporu. Zoberme si najprv prípad, keď body E a A ležia pozdĺž rôzne strany od strednej kolmice (obr. 3). V tomto prípade úsečka EA v určitom bode pretína odvesnicu, ktorú označíme písmenom D.

Dokážme, že segment AE je dlhší ako segment EB. naozaj,

Teda v prípade, keď body E a A ležia na opačných stranách odvesny, máme rozpor.

Teraz zvážte prípad, keď body E a A ležia na rovnakej strane odvesny (obr. 4). Dokážme, že segment EB je dlhší ako segment AE. naozaj,

Výsledný rozpor dopĺňa dôkaz vety 2

Kružnica opísaná trojuholníku

Definícia 2. Kruh opísaný okolo trojuholníka, sa nazýva kružnica prechádzajúca všetkými tromi vrcholmi trojuholníka (obr. 5). V tomto prípade sa nazýva trojuholník trojuholník vpísaný do kruhu alebo vpísaný trojuholník.

Vlastnosti kružnice opísanej trojuholníku. Sínusová veta

Obrázok	Kreslenie	Nehnuteľnosť
Kolmé osi do strán trojuholníka		pretínajú v jednom bode .
centrum popísané o ostrý trojuholník kruh		Centrum popísané o ostrý uhlový vnútri trojuholník.
centrum kružnica opísaná okolo pravouhlého trojuholníka		Stred popísal o pravouhlý stred prepony .
centrum kruh opísaný okolo tupého trojuholníka		Centrum popísané o tupo-uhlové trojuholník kruh leží vonku trojuholník.
		,
Námestie trojuholník		S= 2R 2 hriech A hriech B hriech C ,
Circumradius		Pre každý trojuholník platí rovnosť:

Kolmice na strany trojuholníka

Všetky kolmice , nakreslený na strany ľubovoľného trojuholníka, pretínajú v jednom bode .

Kružnica opísaná trojuholníku

Akýkoľvek trojuholník môže byť obklopený kruhom . Stred kružnice opísanej trojuholníku je bod, v ktorom sa pretínajú všetky odvesny nakreslené na strany trojuholníka.

Stred kružnice opísanej v ostrom trojuholníku

Centrum popísané o ostrý uhlový trojuholník kruh leží vnútri trojuholník.

Stred kružnice opísanej pravouhlého trojuholníka

Stred popísal o pravouhlý trojuholníkový kruh je stred prepony .

Stred opísanej kružnice tupého trojuholníka

Centrum popísané o tupo-uhlové trojuholník kruh leží vonku trojuholník.

Pre každý trojuholník platia nasledujúce rovnosti (sínusová veta): , kde a, b, c sú strany trojuholníka, A, B, C sú uhly trojuholníka, R je polomer kružnice opísanej.

Oblasť trojuholníka

Pre každý trojuholník platí rovnosť: S= 2R 2 hriech A hriech B hriech C , kde A, B, C sú uhly trojuholníka, S je plocha trojuholníka, R je polomer opísanej kružnice.

Circumradius

Pre každý trojuholník platí rovnosť: kde a, b, c sú strany trojuholníka, S je plocha trojuholníka, R je polomer opísanej kružnice.

Dôkazy viet o vlastnostiach kružnice opísanej trojuholníku

Veta 3. Všetky kolmice nakreslené na strany ľubovoľného trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz . Uvažujme dve kolmé osi nakreslené na strany AC a AB trojuholník ABC, a bod ich priesečníka označte písmenom O (obr. 6).

Pretože bod O leží na kolmici na úsečku AC, potom na základe vety 1 platí rovnosť:

Keďže bod O leží na kolmici na úsečku AB, potom na základe vety 1 platí nasledujúca rovnosť:

Preto platí rovnosť:

z čoho pomocou vety 2 dospejeme k záveru, že bod O leží na kolmici na úsečku BC. Všetky tri kolmé osi prechádzajú tým istým bodom, ako je potrebné dokázať.

Dôsledok. Akýkoľvek trojuholník môže byť obklopený kruhom . Stred kružnice opísanej trojuholníku je bod, v ktorom sa pretínajú všetky odvesny nakreslené na strany trojuholníka.

Dôkaz . Uvažujme bod O, v ktorom sa pretínajú všetky osi nakreslené na strany trojuholníka ABC (obr. 6).

Pri dokazovaní vety 3 sa získala nasledujúca rovnosť:

z čoho vyplýva, že cez všetky tri vrcholy trojuholníka ABC prechádza kružnica so stredom v bode O a polomermi OA, OB, OC, čo bolo potrebné dokázať.

Trojuholník je najjednoduchšia z plochých rovín. polygonálne postavy. Ak je hodnota ktoréhokoľvek uhla v jeho vrcholoch 90°, potom sa trojuholník nazýva pravouhlý trojuholník. Okolo takéhoto mnohouholníka je možné nakresliť kružnicu tak, že každý z 3 vrcholov má jeden spoločný bod so svojou hranicou (kružnicou). Tento kruh sa bude nazývať ohraničený a prítomnosť pravý uhol značne zjednodušuje úlohu pri jeho konštrukcii.

Budete potrebovať

• Pravítko, kompas, kalkulačka.

Inštrukcie

1. Začnite určením polomeru kruhu, ktorý budete musieť zostrojiť. Ak je možné zmerať dĺžky strán trojuholníka, venujte pozornosť jeho prepone - strane ležiacej oproti pravému uhla. Zmerajte to a rozdeľte výslednú hodnotu na polovicu - to bude polomer kruhu opísaného okolo pravého trojuholníka.

2. Ak dĺžka prepony nie je známa, ale existujú dĺžky (a a b) ramien (2 strany susediace s pravým uhlom), potom nájdite polomer (R) pomocou Pytagorovej vety. Z toho vyplýva, že tento parameter sa bude rovnať polovici druhej odmocniny extrahovanej zo súčtu druhých mocnín dĺžok ramien: R=?*?(a?+b?).

3. Ak je známa dĺžka iba jedného z ramien (a) a veľkosť susedného ostrého uhla (?), potom na určenie polomeru opísanej kružnice (R) použite goniometrická funkcia– kosínus. V pravouhlom trojuholníku určuje pomer dĺžok prepony a tohto ramena. Vypočítajte polovicu podielu dĺžky ramena vydeleného kosínusom známeho uhla: R=?*a/cos(?).

4. Ak je okrem dĺžky jednej z ramien (a) známa aj hodnota ostrého uhla (?) ležiaceho oproti nej, potom na výpočet polomeru (R) použite inú goniometrickú funkciu - sínus. Okrem nahradenia funkcie a strany sa vo vzorci nič nezmení - vydeľte dĺžku nohy sínusom známeho ostrého uhla a výsledok vydeľte na polovicu: R=?*b/sin(?).

5. Po nájdení polomeru ktorýmkoľvek z uvedené metódy určiť stred opísanej kružnice. Za týmto účelom vložte výslednú hodnotu na kompas a nastavte ju na každý vrchol trojuholníka. Popíšte plný kruh nie je potrebné, ľahko označte miesto, kde sa pretína s preponou - tento bod bude stredom kruhu. Toto je kvalita pravouhlého trojuholníka - stred kruhu, ktorý je okolo neho opísaný, je vždy v strede jeho najdlhšej strany. Nakreslite kružnicu s polomerom na kompase so stredom v zistenom bode. Tým sa stavba dokončí.

Občas o konvexný mnohouholník Je dovolené nakresliť kružnicu tak, aby na nej ležali vrcholy všetkých uhlov. Takýto kruh vo vzťahu k mnohouholníku by sa mal nazývať opísaný. jej stred sa nemusí nevyhnutne nachádzať vo vnútri obvodu vpísaného obrazca, ale s využitím vlastností opísaných kruh, objavenie tohto bodu, ako obvykle, nie je veľmi ťažké.

Budete potrebovať

• Pravítko, ceruzka, uhlomer alebo štvorec, kružidlo.

Inštrukcie

1. Ak je mnohouholník, okolo ktorého je potrebné opísať kruh, nakreslený na papieri, nájsť stred a kruh stačí s pravítkom, ceruzkou a uhlomerom alebo štvorcom. Zmerajte dĺžku každej strany obrazca, určte jeho stred a na toto miesto na výkrese umiestnite pomocný bod. S podporou štvorca alebo uhlomeru nakreslite segment vo vnútri mnohouholníka kolmo na túto stranu, kým sa nepretína s opačnou stranou.

2. Vykonajte rovnakú operáciu s každou druhou stranou mnohouholníka. Požadovaným bodom bude priesečník 2 zostrojených segmentov. Vyplýva to z hlavnej vlastnosti opísaného kruh- jej stred v konvexnom mnohouholníku s ľubovoľným počtom strán vždy leží v priesečníku kolmic nakreslených na tieto strany.

3. Pre pravidelné polygóny, definícia stred a zapísané kruh mohlo by to byť oveľa jednoduchšie. Povedzme, že ak je to štvorec, nakreslite dve uhlopriečky - ich priesečník bude stred ohm vpísané kruh. V kladnom polygóne s ľubovoľným párnym počtom strán stačí spojiť dva páry protiľahlých uhlov s pomocnými segmentmi - stred popísané kruh sa musia zhodovať s bodom ich priesečníka. V pravouhlom trojuholníku na vyriešenie problému jednoducho určte stred najdlhšej strany obrázku - preponu.

4. Ak z podmienok nie je jasné, či je v práci dovolené nakresliť pre daný mnohouholník kružnicu opísanú, po určení polohy bodu stred a môžete to zistiť pomocou ktorejkoľvek z opísaných metód. Označte na kompase vzdialenosť medzi detekovaným bodom a každým z vrcholov, nastavte kompas na požadovanú hodnotu stred kruh a nakreslite kruh - na ňom by mal ležať celý vrchol kruh. Ak tomu tak nie je, potom nie je splnená jedna zo základných vlastností a nie je možné opísať kruh okolo tohto mnohouholníka.

Podľa definície, popísané kruh musí prejsť cez všetky rohové vrcholy daný polygón. V tomto prípade je v ideálnom prípade jedno, o aký polygón ide – trojuholník, štvorec, obdĺžnik, lichobežník alebo niečo iné. Nezáleží ani na tom, či je polygón pravdivý alebo nepravdivý. Musíte len zvážiť, že okolo nich sú polygóny kruh nemožné opísať. Je vždy dovolené popisovať kruh okolo trojuholníka. Pokiaľ ide o štvoruholníky, potom kruh Môžete opísať štvorec alebo obdĺžnik alebo rovnoramenný lichobežník.

Budete potrebovať

• Zadaný mnohouholník
• Pravítko
• Námestie
• Ceruzka
• Kompas
• Uhlomer
• Sínusové a kosínusové tabuľky
• Matematické reprezentácie a vzorce
• Pytagorova veta
• Sínusová veta
• Kosínusová veta
• Znaky podobnosti trojuholníkov

Inštrukcie

1. Zostrojte mnohouholník s dané parametre a určiť, či je dovolené okolo neho popisovať kruh. Ak je vám daný štvoruholník, vypočítajte jeho súčty protiľahlé rohy. Každý z nich sa musí rovnať 180°.

2. Aby som opísal kruh, musíte vypočítať jeho polomer. Pamätajte, kde leží stred opísanej kružnice v rôznych mnohouholníkoch. V trojuholníku sa nachádza v priesečníku všetkých výšok daný trojuholník. V štvorci a obdĺžnikoch - v bode priesečníka uhlopriečok, pre lichobežník - v bode priesečníka osi symetrie s čiarou spájajúcou stredy bočných strán a pre akýkoľvek iný konvexný mnohouholník - v bode priesečníka stredových kolmíc na strany.

3. Vypočítajte priemer kružnice opísanej okolo štvorca a obdĺžnika pomocou Pytagorovej vety. Bude to rovné odmocnina zo súčtu štvorcov strán obdĺžnika. Pre štvorec so všetkými rovnakými stranami sa uhlopriečka rovná druhej odmocnine dvojnásobku druhej mocniny strany. Vydelením priemeru 2 získate polomer.

4. Vypočítajte obvod trojuholníka. Keďže parametre trojuholníka sú uvedené v podmienkach, vypočítajte polomer pomocou vzorca R = a/(2·sinA), kde a je jedna zo strán trojuholníka, ? - uhol oproti nemu. Namiesto tejto strany si môžete vziať akúkoľvek inú stranu a uhol oproti nej.

5. Vypočítajte polomer kružnice opísanej okolo lichobežníka. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) V tomto vzorci sú a a b základne lichobežníka, h je výška, d je uhlopriečka, p = 1/2*(a+d+c). Vypočítajte chýbajúce hodnoty. Výšku možno vypočítať pomocou vety o sínusoch alebo kosínusoch, pretože dĺžky strán lichobežníka a uhly sú špecifikované v podmienkach úlohy. Keď poznáte výšku a beriete do úvahy znaky podobnosti trojuholníkov, vypočítajte uhlopriečku. Potom už zostáva len vypočítať polomer pomocou vyššie uvedeného vzorca.

Video k téme

Užitočné rady
Ak chcete vypočítať polomer kružnice opísanej okolo iného mnohouholníka, vykonajte sériu doplnkové konštrukcie. Získajte primitívnejšie figúrky, ktorých parametre poznáte.

Tip 4: Ako nakresliť pravouhlý trojuholník pomocou ostrého uhla a prepony

Trojuholník sa nazýva pravouhlý, ak uhol v jednom z jeho vrcholov je 90°. Strana protiľahlá k tomuto uhlu sa nazýva prepona a strany oproti dvom ostrým uhlom trojuholníka sa nazývajú nohy. Ak je dĺžka prepony a veľkosť jednej z prepony ostré rohy, potom tieto údaje stačia na zostrojenie trojuholníka pomocou aspoň dvoch metód.

Budete potrebovať

• List papiera, ceruzka, pravítko, kompas, kalkulačka.

Inštrukcie

1. 1. spôsob vyžaduje okrem ceruzky a papiera aj pravítko, uhlomer a štvorec. Najprv nakreslite stranu, ktorá je preponou - dajte bod A, vyčleňte z neho známu dĺžku prepony, dajte bod C a body spojte.

2. Pripevnite uhlomer k nakreslenému segmentu tak, aby sa nulová značka zhodovala s bodom A, zmerajte hodnotu známeho ostrého uhla a umiestnite pomocný bod. Nakreslite čiaru, ktorá bude začínať v bode A a bude prechádzať pomocným bodom.

3. Štvorec pripevnite k úsečke AC tak, aby pravý uhol začínal od bodu C. Bod, v ktorom štvorec pretína čiaru nakreslenú v predchádzajúcom kroku, označte písmenom B a spojte ho s bodom C. Tým je konštrukcia dokončená. bude dokončený pravouhlý trojuholník so známou dĺžkou strany AC (hypotenúza) a ostrým uhlom pri vrchole A.

4. Ďalšia metóda, okrem ceruzky a papiera, bude vyžadovať pravítko, kompas a kalkulačku. Začnite výpočtom dĺžok nôh – na to úplne stačí poznať veľkosť jedného ostrého uhla a dĺžku prepony.

5. Vypočítajte dĺžku tej nohy (AB), ktorá leží oproti uhlu známej veličiny (β) - bude to rovná produktu dĺžka prepony (AC) o sínus známeho uhla AB=AC*sin(β).

6. Určte dĺžku druhého ramena (BC) - bude sa rovnať súčinu dĺžky prepony a kosínusu daného uhla BC=AC*cos(β).

7. Umiestnite bod A, zmerajte z neho dĺžku prepony, umiestnite bod C a nakreslite medzi nimi čiaru.

8. Odložte na kružidlo dĺžku nohy AB vypočítanú v piatom kroku a nakreslite pomocný polkruh so stredom v bode A.

9. Dĺžku nohy BC, vypočítanú v šiestom kroku, odložte na kružidlo a nakreslite pomocný polkruh so stredom v bode C.

10. Priesečník 2 polkruhov označte písmenom B a nakreslite segmenty medzi bodmi A a B, C a B. Tým sa dokončí konštrukcia pravouhlého trojuholníka.

Tip 5: Ako sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka

Ľudia sa začali zaujímať o úžasné vlastnosti pravouhlých trojuholníkov už v staroveku. Mnohé z týchto vlastností opísal starogrécky vedec Pytagoras. V starovekom Grécku sa objavili aj názvy strán pravouhlého trojuholníka.

Ktorý trojuholník sa nazýva pravouhlý trojuholník?

Existuje niekoľko typov trojuholníkov. Niektoré majú všetky ostré uhly, iné majú jeden tupý a dva ostré a ďalšie majú dva ostré a jeden rovný. Podľa tohto znamenia každý typ týchto geometrické tvary a dostal názov: ostrý-uhlový, tupo-uhlový a pravouhlý. To znamená, že trojuholník, v ktorom je jeden z uhlov 90°, sa nazýva pravouhlý trojuholník. Existuje ďalšia definícia podobná prvej. Trojuholník, ktorého dve strany sú kolmé, sa nazýva pravouhlý trojuholník.

Hypotenzia a nohy

Ostrouhlé a tupé trojuholníky segmenty spájajúce vrcholy rohov sa nazývajú primitívne strany. Pri trojuholníku pravouhlou stranou Majú aj iné mená. Tie, ktoré susedia s pravým uhlom, sa nazývajú nohy. Strana oproti pravému uhlu sa nazýva prepona. Preložené z Grécke slovo„hypotenza“ znamená „tesná“ a „noha“ znamená „kolmá“.

Vzťahy medzi preponou a nohami

Strany pravouhlého trojuholníka sú spojené určitými vzťahmi, ktoré značne uľahčujú výpočty. Napríklad, ak poznáte rozmery nôh, môžete vypočítať dĺžku prepony. Tento vzťah, pomenovaný po matematikovi, ktorý ho objavil, sa nazýval Pytagorova veta a vyzerá takto: c2 = a2 + b2, kde c je prepona, a a b sú nohy. To znamená, že prepona sa bude rovnať druhej odmocnine súčtu štvorcov nôh. Na objavenie každej z nôh stačí odčítať druhú mocninu druhej odmocniny od druhej mocniny prepony a odmocninu z výsledného rozdielu.

Susedná a opačná noha

Nakreslite pravouhlý trojuholník DIA. Písmeno C zvyčajne označuje vrchol pravého uhla, A a B - vrcholy ostrých uhlov. Je vhodné nazývať strany protiľahlé k celému uhlu a, b a c podľa názvov uhlov ležiacich oproti nim. Pozrite sa na uhol A. Noha a bude protiľahlá, noha b bude susedná. Pomer opačnej strany k prepone sa nazýva sínus. Túto goniometrickú funkciu možno vypočítať pomocou vzorca: sinA=a/c. Pomer priľahlej nohy k prepone sa nazýva kosínus. Vypočíta sa pomocou vzorca: cosA=b/c. Keď teda poznáme uhol a jednu zo strán, je možné pomocou týchto vzorcov vypočítať druhú stranu. Goniometrické vzťahy Obe strany sú tiež spojené. Pomer protiľahlej k susednej sa nazýva dotyčnica a pomer priľahlej k protiľahlej sa nazýva kotangens. Tieto vzťahy možno vyjadriť vzorcami tgA=a/b alebo ctgA=b/a.