Uvažujme zakrivený lichobežník ohraničený osou Ox, krivkou y=f(x) a dvoma priamkami: x=a a x=b (obr. 85). Zoberme si ľubovoľnú hodnotu x (len nie a a nie b). Dajme tomu prírastok h = dx a uvažujme pás ohraničený priamkami AB a CD, osou Ox a oblúkom BD patriacim do uvažovanej krivky. Tento prúžok budeme nazývať elementárny prúžok. Plocha elementárneho pruhu sa líši od plochy obdĺžnika ACQB krivočiarym trojuholníkom BQD a jeho plochou menšiu plochu obdĺžnik BQDM so stranami BQ = =h=dx) QD=Ay a plocha rovná hAy = Ay dx. Keď strana h klesá, strana Du tiež klesá a súčasne s h má tendenciu k nule. Preto je oblasť BQDM druhého rádu nekonečne malá. Plocha elementárneho pásika je prírastok plochy a plocha obdĺžnika ACQB, ktorá sa rovná AB-AC ==/(x) dx> je rozdiel plochy. Preto ja sám poďme nájsť oblasť integrujúc svoj diferenciál. V rámci uvažovaného obrázku sa nezávislá premenná l: mení z a na b, takže požadovaná plocha 5 sa bude rovnať 5= \f(x) dx. (I) Príklad 1. Vypočítajme plochu ohraničenú parabolou y - 1 -x*, priamkami X =--Fj-, x = 1 a osou O* (obr. 86). na obr. 87. Obr. 86. 1 Tu f(x) = 1 - l?, hranice integrácie sú a = - a £ = 1, teda J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Príklad 2. Vypočítajme plochu ohraničenú sínusoidou y = sinXy, osou Ox a priamkou (obr. 87). Použitím vzorca (I) dostaneme A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Príklad 3. Vypočítajte plochu ohraničenú oblúkom sínusoidy ^у = sin jc, uzavretý medzi dvoma susednými priesečníkmi s osou Ox (napríklad medzi počiatkom a bodom s osou i). Všimnite si, že z geometrických úvah je jasné, že táto plocha bude dvojnásobná viac plochy predchádzajúci príklad. Urobme však výpočty: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Náš predpoklad sa skutočne ukázal ako správny. Príklad 4. Vypočítajte plochu ohraničenú sínusoidou a osou Ox v jednej perióde (obr. 88). Predbežné výpočty naznačujú, že plocha bude štyrikrát väčšia ako v príklade 2. Po vykonaní výpočtov však dostaneme „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Tento výsledok vyžaduje vysvetlenie. Pre objasnenie podstaty veci vypočítame aj plochu ohraničenú rovnakou sínusoidou y = sin l: a osou Ox v rozsahu od l do 2i. Použitím vzorca (I) dostaneme 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Vidíme teda, že táto oblasť dopadla negatívne. Porovnaním s plochou vypočítanou v cvičení 3 zistíme, že ich absolútne hodnoty sú rovnaké, ale znamenia sú odlišné. Ak použijeme vlastnosť V (pozri kapitolu XI, § 4), dostaneme 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0To, čo sa stalo v tomto príklade, nie je náhoda. Vždy plocha nachádzajúca sa pod osou Ox, za predpokladu, že sa nezávislá premenná mení zľava doprava, sa získa pri výpočte pomocou integrálov. V tomto kurze budeme vždy brať do úvahy oblasti bez značiek. Preto odpoveď v práve diskutovanom príklade bude znieť: požadovaná plocha je 2 + |-2| = 4. Príklad 5. Vypočítajme plochu BAB znázornenú na obr. 89. Táto oblasť je ohraničená osou Ox, parabolou y = - xr a priamkou y - = -x+\. Námestie zakrivený lichobežník Požadovaná oblasť OAB pozostáva z dvoch častí: OAM a MAV. Keďže bod A je priesečníkom paraboly a priamky, jeho súradnice zistíme riešením sústavy rovníc 3 2 Y = mx. (potrebujeme nájsť iba úsečku bodu A). Pri riešení systému nájdeme l; = ~. Preto sa plocha musí vypočítať po častiach, prvý štvorec. OAM a potom pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x = 
[náhrada:
] = 
znamená, nevlastný integrál konverguje a jeho hodnota sa rovná .
