Myslíte si, že do Jednotnej štátnej skúšky je ešte čas a stihnete sa pripraviť? Možno je to tak. Ale v každom prípade, čím skôr študent začne s prípravou, tým úspešnejšie zloží skúšky. Dnes sme sa rozhodli venovať článok logaritmickým nerovnostiam. Toto je jedna z úloh, ktorá znamená možnosť získať kredit navyše.
Už viete, čo je logaritmus? Naozaj dúfame. Ale aj keď na túto otázku nemáte odpoveď, nie je to problém. Pochopenie toho, čo je logaritmus, je veľmi jednoduché.
Prečo 4? Ak chcete získať 81, musíte zvýšiť číslo 3 na túto mocninu. Keď pochopíte princíp, môžete pristúpiť k zložitejším výpočtom.
Pred pár rokmi ste prešli nerovnosťami. A odvtedy sa s nimi neustále stretávate v matematike. Ak máte problémy s riešením nerovností, pozrite si príslušnú sekciu.
Teraz, keď sme sa zoznámili s pojmami jednotlivo, prejdime k ich všeobecnému zváženiu.
Najjednoduchšia logaritmická nerovnosť.
Najjednoduchšie logaritmické nerovnosti nie sú obmedzené na tento príklad, existujú tri ďalšie, len s rôznymi znamienkami. Prečo je to potrebné? Aby sme lepšie pochopili, ako riešiť nerovnosti pomocou logaritmov. Teraz uveďme použiteľnejší príklad, stále celkom jednoduchý, zložité logaritmické nerovnosti si necháme na neskôr.
Ako to vyriešiť? Všetko to začína ODZ. Stojí za to vedieť o tom viac, ak chcete vždy ľahko vyriešiť akúkoľvek nerovnosť.
čo je ODZ? ODZ pre logaritmické nerovnosti
Skratka znamená oblasť prijateľné hodnoty. Táto formulácia sa často objavuje v úlohách jednotnej štátnej skúšky. ODZ sa vám bude hodiť nielen v prípade logaritmické nerovnosti.
Pozrite sa znova na vyššie uvedený príklad. Na základe toho zvážime ODZ, aby ste pochopili princíp a riešenie logaritmických nerovností nevyvoláva otázky. Z definície logaritmu vyplýva, že musí byť 2x+4 Nad nulou. V našom prípade to znamená nasledovné.
Toto číslo musí byť podľa definície kladné. Vyriešte vyššie uvedenú nerovnosť. Dá sa to urobiť aj ústne, tu je jasné, že X nemôže byť menšie ako 2. Riešením nerovnosti bude definovanie rozsahu prijateľných hodnôt.
Teraz prejdime k riešeniu najjednoduchšej logaritmickej nerovnosti.
Samotné logaritmy z oboch strán nerovnosti zahodíme. Čo nám to zanecháva? Jednoduchá nerovnosť.
Nie je ťažké to vyriešiť. X musí byť väčšie ako -0,5. Teraz skombinujeme dve získané hodnoty do systému. teda
Toto bude rozsah prijateľných hodnôt pre uvažovanú logaritmickú nerovnosť.
Prečo vôbec potrebujeme ODZ? Toto je príležitosť vyradiť nesprávne a nemožné odpovede. Ak odpoveď nie je v rozmedzí prijateľných hodnôt, potom odpoveď jednoducho nedáva zmysel. Toto stojí za to pamätať na dlhú dobu, pretože v jednotnej štátnej skúške je často potrebné hľadať ODZ, a to nielen logaritmických nerovností.
Algoritmus na riešenie logaritmickej nerovnosti
Riešenie pozostáva z niekoľkých etáp. Najprv musíte nájsť rozsah prijateľných hodnôt. V ODZ budú dva významy, ako sme diskutovali vyššie. Ďalej musíme vyriešiť samotnú nerovnosť. Metódy riešenia sú nasledovné:
- metóda náhrady multiplikátora;
- rozklad;
- racionalizačná metóda.
V závislosti od situácie sa oplatí použiť jednu z vyššie uvedených metód. Prejdime priamo k riešeniu. Prezradíme najobľúbenejšiu metódu, ktorá je vhodná na riešenie úloh Jednotnej štátnej skúšky takmer vo všetkých prípadoch. Ďalej sa pozrieme na metódu rozkladu. Môže vám pomôcť, ak narazíte na obzvlášť zákernú nerovnosť. Takže algoritmus na riešenie logaritmickej nerovnosti.
Príklady riešení :
Nie nadarmo sme zobrali presne túto nerovnosť! Venujte pozornosť základni. Pamätajte: ak je väčšie ako jedna, znamienko zostáva rovnaké pri hľadaní rozsahu prijateľných hodnôt; v opačnom prípade musíte zmeniť znamienko nerovnosti.
V dôsledku toho dostaneme nerovnosť:
Teraz uvádzame ľavá strana do tvaru rovnice, rovná nule. Namiesto znamienka „menej ako“ dáme „rovná sa“ a vyriešime rovnicu. Nájdeme teda ODZ. Dúfame, že s riešením tohto jednoduchá rovnica nebudete mať žiadne problémy. Odpovede sú -4 a -2. To nie je všetko. Tieto body musíte zobraziť na grafe umiestnením „+“ a „-“. Čo je pre to potrebné urobiť? Do výrazu dosaďte čísla z intervalov. Ak sú hodnoty kladné, dáme tam „+“.
Odpoveď: x nemôže byť väčšie ako -4 a menšie ako -2.
Našli sme rozsah prijateľných hodnôt iba pre ľavú stranu, teraz musíme nájsť rozsah prijateľných hodnôt pre pravú stranu. Toto je oveľa jednoduchšie. odpoveď: -2. Pretíname obe výsledné oblasti.
A až teraz sa začíname zaoberať samotnou nerovnosťou.
Zjednodušme si to čo najviac, aby sa to ľahšie riešilo.
Aplikujte znova intervalová metóda v rozhodnutí. Preskočme výpočty; všetko je jasné z predchádzajúceho príkladu. Odpoveď.
Táto metóda je však vhodná, ak má logaritmická nerovnosť rovnaké základy.
Riešenie logaritmických rovníc a nerovníc s z rôznych dôvodov predpokladá počiatočnú redukciu na jeden základ. Ďalej použite metódu opísanú vyššie. Ale je toho viac ťažký prípad. Uvažujme o jednom z najviac komplexné druhy logaritmické nerovnosti.
Logaritmické nerovnosti s premenlivou základňou
Ako vyriešiť nerovnosti s takýmito charakteristikami? Áno, a takýchto ľudí možno nájsť v Jednotnej štátnej skúške. Vyriešenie nerovností nasledujúcim spôsobom vám tiež prospeje vzdelávací proces. Pozrime sa na problematiku podrobne. Zahoďme teóriu a prejdime rovno k praxi. Na vyriešenie logaritmických nerovností sa stačí zoznámiť s príkladom raz.
Na vyriešenie logaritmickej nerovnosti prezentovaného tvaru je potrebné dať pravá strana na logaritmus s rovnakým základom. Princíp pripomína ekvivalentné prechody. V dôsledku toho bude nerovnosť vyzerať takto.
V skutočnosti zostáva len vytvoriť systém nerovností bez logaritmov. Pomocou racionalizačnej metódy sa dostávame k ekvivalentnému systému nerovností. Samotnému pravidlu porozumiete, keď nahradíte príslušné hodnoty a budete sledovať ich zmeny. Systém bude mať nasledujúce nerovnosti.
Pri používaní racionalizačnej metódy pri riešení nerovností si musíte zapamätať nasledovné: jeden musí byť odčítaný od základne, x sa podľa definície logaritmu odčíta od oboch strán nerovnosti (sprava zľava), dva výrazy sa násobia a nastavte pod pôvodným znamienkom vo vzťahu k nule.
Ďalšie riešenie sa vykonáva pomocou intervalovej metódy, tu je všetko jednoduché. Je dôležité, aby ste pochopili rozdiely v metódach riešenia, potom všetko začne ľahko fungovať.
V logaritmických nerovnostiach je veľa nuancií. Najjednoduchšie z nich sa dajú celkom ľahko vyriešiť. Ako môžete vyriešiť každý z nich bez problémov? Všetky odpovede ste už dostali v tomto článku. Teraz máte pred sebou dlhú prax. Neustále trénujte riešenie najviac rôzne úlohy ako súčasť skúšky a budete môcť získať najvyššie skóre. Veľa šťastia vo vašej ťažkej úlohe!
Logaritmické nerovnosti
V predchádzajúcich lekciách sme sa zoznámili s logaritmickými rovnicami a teraz vieme, čo sú a ako ich riešiť. Dnešná lekcia bude venovaná štúdiu logaritmických nerovností. Aké sú tieto nerovnosti a aký je rozdiel medzi riešením logaritmickej rovnice a nerovnicou?
Logaritmické nerovnosti sú nerovnosti, ktoré majú premennú vystupujúcu pod logaritmickým znamienkom alebo na jeho základni.
Alebo môžeme tiež povedať, že logaritmická nerovnosť je nerovnosť, v ktorej sa jej neznáma hodnota, ako v logaritmickej rovnici, objaví pod znamienkom logaritmu.
Najjednoduchšie logaritmické nerovnosti majú nasledujúci tvar:
kde f(x) a g(x) sú nejaké výrazy, ktoré závisia od x.
Pozrime sa na to pomocou tohto príkladu: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Riešenie logaritmických nerovností
Pred riešením logaritmických nerovností je potrebné poznamenať, že pri riešení sú podobné exponenciálne nerovnosti, menovite:
Po prvé, keď prechádzame od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znamienkom, musíme tiež porovnať základ logaritmu s jedným;
Po druhé, pri riešení logaritmickej nerovnosti pomocou zmeny premenných musíme riešiť nerovnosti vzhľadom na zmenu, kým nedostaneme najjednoduchšiu nerovnosť.
Ale vy a ja sme zvažovali podobné aspekty riešenia logaritmických nerovností. Teraz sa pozrime na pomerne významný rozdiel. Vy a ja vieme, že logaritmická funkcia má obmedzená oblasť definície, preto pri prechode od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znakom musíte vziať do úvahy rozsah povolených hodnôt (APV).
To znamená, že to treba brať do úvahy pri rozhodovaní logaritmická rovnica Vy a ja môžeme najprv nájsť korene rovnice a potom skontrolovať toto riešenie. Riešenie logaritmickej nerovnosti však nebude fungovať týmto spôsobom, pretože pri prechode z logaritmov na výrazy pod logaritmickým znamienkom bude potrebné zapísať DZ nerovnosť.
Okrem toho je potrebné pripomenúť, že teória nerovností pozostáva z reálne čísla, ktoré sú pozitívne a záporné čísla, ako aj číslo 0.
Napríklad, keď je číslo „a“ kladné, musíte použiť nasledujúci zápis: a >0. V tomto prípade bude súčet aj súčin týchto čísel kladné.
Hlavným princípom riešenia nerovnosti je nahradiť ju jednoduchšou nerovnicou, ale hlavné je, že je ekvivalentná danej. Ďalej sme tiež získali nerovnosť a opäť sme ju nahradili nerovnosťou, ktorá má jednoduchší tvar atď.
Pri riešení nerovností s premennou je potrebné nájsť všetky jej riešenia. Ak majú dve nerovnosti rovnakú premennú x, potom sú takéto nerovnosti ekvivalentné za predpokladu, že sa ich riešenia zhodujú.
Pri vykonávaní úloh na riešenie logaritmických nerovností si musíte pamätať, že keď a > 1, potom sa logaritmická funkcia zvýši a keď 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Metódy riešenia logaritmických nerovností
Teraz sa pozrime na niektoré metódy, ktoré sa používajú pri riešení logaritmických nerovností. Pre lepšie pochopenie a asimiláciu sa ich pokúsime pochopiť na konkrétnych príkladoch.
Všetci vieme, že najjednoduchšia logaritmická nerovnosť má nasledujúci tvar:
V tejto nerovnosti je V – jedným z nasledujúcich znakov nerovnosti:<,>, ≤ alebo ≥.
Keď je základ daného logaritmu väčší ako jedna (a>1), pri prechode z logaritmov na výrazy pod logaritmickým znakom sa v tejto verzii zachová znak nerovnosti a nerovnosť bude mať nasledujúci tvar:
ktorý je ekvivalentný tomuto systému:
V prípade, že základ logaritmu je väčší ako nula a menší ako jedna (0 Toto je ekvivalentné tomuto systému: Pozrime sa na ďalšie príklady riešenia najjednoduchších logaritmických nerovností znázornených na obrázku nižšie: Cvičenie. Pokúsme sa vyriešiť túto nerovnosť: Riešenie rozsahu prijateľných hodnôt. Teraz skúsme vynásobiť jeho pravú stranu: Pozrime sa, čo môžeme vymyslieť: Teraz prejdime ku konverzii sublogaritmických výrazov. Vzhľadom k tomu, že základ logaritmu je 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; A z toho vyplýva, že interval, ktorý sme získali úplne patrí do ODZ a je riešením takejto nerovnosti. Tu je odpoveď, ktorú sme dostali: Teraz sa pokúsme analyzovať, čo potrebujeme na úspešné vyriešenie logaritmických nerovností? Najprv sústreďte všetku svoju pozornosť a snažte sa nerobiť chyby pri vykonávaní transformácií, ktoré sú dané v tejto nerovnosti. Treba tiež pamätať na to, že pri riešení takýchto nerovností je potrebné vyhnúť sa rozširovaniu a zmršťovaniu nerovností, čo môže viesť k strate alebo získaniu cudzích riešení. Po druhé, pri riešení logaritmických nerovností sa musíte naučiť logicky myslieť a pochopiť rozdiel medzi pojmami, ako je systém nerovností a množina nerovníc, aby ste mohli ľahko vyberať riešenia nerovnosti, pričom sa riadite jej DL. Po tretie, na úspešné vyriešenie takýchto nerovností musí každý z vás dokonale poznať všetky vlastnosti elementárne funkcie a jasne pochopiť ich význam. Medzi takéto funkcie patria nielen logaritmické, ale aj racionálne, mocenské, trigonometrické atď., jedným slovom, všetky tie, ktoré ste študovali. školstvo algebra. Ako vidíte, po preštudovaní témy logaritmických nerovností nie je pri riešení týchto nerovností nič ťažké, za predpokladu, že ste opatrní a vytrvalí pri dosahovaní svojich cieľov. Aby ste sa vyhli akýmkoľvek problémom pri riešení nerovností, musíte čo najviac trénovať, riešenie rôzne úlohy a zároveň si zapamätať základné metódy riešenia takýchto nerovností a ich sústavy. o zlé rozhodnutia logaritmických nerovností, mali by ste svoje chyby dôkladne analyzovať, aby ste sa k nim v budúcnosti nevrátili. Ak chcete lepšie porozumieť téme a konsolidovať preberaný materiál, vyriešte nasledujúce nerovnosti: Nerovnosť sa nazýva logaritmická, ak obsahuje logaritmickú funkciu. Metódy riešenia logaritmických nerovností sa nelíšia od, až na dve veci. Po prvé, pri prechode od logaritmickej nerovnosti k nerovnosti pod logaritmické funkcie by mal sledujte znamienko výslednej nerovnosti. Dodržiava nasledujúce pravidlo. Ak je základ logaritmickej funkcie väčší ako $1$, potom pri prechode z logaritmickej nerovnosti na nerovnosť sublogaritmických funkcií sa znamienko nerovnosti zachová, ale ak je menšie ako $1$, zmení sa na opačný . Po druhé, riešením akejkoľvek nerovnosti je interval, a preto na konci riešenia nerovnosti sublogaritmických funkcií je potrebné vytvoriť systém dvoch nerovností: prvou nerovnosťou tohto systému bude nerovnosť sublogaritmických funkcií, a druhý bude interval oblasti definície logaritmických funkcií zahrnutých v logaritmickej nerovnosti. Poďme vyriešiť nerovnosti: 1.
$\log_(2)((x+3)) \geq 3.$ $D(y): \x+3>0,$ $x \in (-3;+\infty)$ Základ logaritmu je $2>1$, takže znamienko sa nemení. Použitím definície logaritmu dostaneme: $x+3 \geq 2^(3),$ $ x \in )
Príklady riešenia
3x > 24;
x > 8. 
Čo je potrebné na riešenie logaritmických nerovností?
Domáca úloha
Prax.
