Povinný znak konvergencia radov (dokázať).
Veta 1.(nevyhnutná podmienka pre konvergenciu číselný rad). Ak číselný rad konverguje, To .
Dôkaz. Rad konverguje, t.j. existuje limit. Všimni si .
Uvažujme. Potom . Odtiaľ, .
Dôsledok 1.Ak nie je splnená podmienka, potom séria sa rozchádza.
Poznámka 1. Podmienka nestačí na konvergenciu číselného radu. Napríklad, harmonický rad sa rozchádza, hoci sa vyskytuje.
Definícia 1.Číselný rad a n +1 +a n+2 +…=, získané z daného riadku vyradením prvého Pčlenov sa volá n- m zvyšok tohto riadku a je určený Rn.
Veta 2.Ak číselný rad konverguje, potom konverguje akýkoľvek zvyšok. späť:Ak aspoň jeden zvyšok radu konverguje, potom konverguje aj samotný rad. Navyše pre akékoľvek n ON rovnosť S=S n+Rn .
Dôsledok 2. Konvergencia alebo divergencia číselného radu sa nezmení, ak odstránite alebo pridáte niekoľko prvých výrazov.
Dôsledok 3..
32. Porovnávacie kritériá a znamienko pre kladné série
Veta 1(znak porovnávania radov s kladnými členmi v nerovnostiach) . NechajA - séria s nezápornými členmi, a pre každé n ON podmienka a n je splnenᣠmld. Potom:
1) z konvergencie radus veľkými členmi rad konvergujes menšími členmi;
2) z divergencie séries menšími členmi sa séria rozchádzas veľkými vtákmi.
Poznámka 1. Veta je pravdivá, ak je podmienka a n£ b n vykonaný z nejakého čísla NÎ N .
Veta 2(znak porovnania radov s kladnými členmi v limitnom tvare) .
NechajA - séria s nezápornými členmi a existuje 
. Potom tieto rady súčasne konvergujú alebo divergujú .
33. D'Alembertov test na konvergenciu radov s kladným znamienkom
Veta 1(D'Alembertov znak). Nechaj - existuje séria s kladnými výrazmi .
Potom rad konverguje v q<1 a diverguje pri q>1 .
Dôkaz. Nechaj q<1. Зафиксируем число R také že q<p< 1. По определению
limit číselného radu, od nejakého čísla NÎ N nerovnosť platí a n +1
/a n<p, tie. a n +1 <p×a n . Potom N +1 < p×a N, a N +2 <p 2 ×a N . Indukciou sa dá ľahko ukázať, že pre akékoľvek kÎ N nerovnosť pravdivá , N + k<p k ×a N . Ale rad konverguje ako geometrický rad ( p<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд 
tiež konverguje. V dôsledku toho rad tiež konverguje (podľa vety 2.2).
Nechaj q>1. Potom z nejakého čísla NÎ N nerovnosť pravdivá a n +1 /a n>1, t.j. a n +1 >a n. Preto z čísla N podsekvencia ( a n) sa zvyšuje a podmienka nie je splnená. Odtiaľ, dôsledkom 2.1, vyplýva, že séria sa rozchádza q>1.
Poznámka 1. Pomocou integrálneho testu je ľahké skontrolovať, či je číselný rad konverguje ak A>1, a diverguje, ak a 1 £. riadok volal harmonický rad , a seriál s ľubovoľným aÎ R volal zovšeobecnený harmonický rad.
34. Striedanie riadkov. Leibnizov test na konvergenciu znamienka striedavých radov
Štúdium sérií s členmi ľubovoľných znakov je náročnejšia úloha, ale v dvoch prípadoch existujú vhodné znaky: pre rady striedavých znakov - Leibnizova veta; Pre absolútne konvergentné rady použijeme akékoľvek znamienko skúmania radov s nezápornými členmi.
Definícia 1.Číselný rad sa volá striedanie signálov, ak akékoľvek dva susedné pojmy majú opačné znamienka, t.j. séria má tvar alebo , kde a n>0 pre každého nÎ N .
Veta 1(Leibniz). Striedavý rad konverguje, ak:
1) (a n) - nezvyšujúca sa postupnosť;
2) pri.
V tomto prípade modul súčtu striedavého radu nepresahuje modul jeho prvého členu, t.j.|S|£ a 1 .
1.1. Číselný rad a jeho súčet
Definícia 1. Nech je daný číselný rad. Utvorme si výraz
(1)
ktorá sa volá číselný rad.
čísla 
sa volajú členov čísla a výraz 
spoločný člen riadok .
Príklad 1 Nájdite spoločný termín série 
.
pri 
,
pri 
Je ľahké vidieť, že spoločný termín série .
Požadovaný rad je preto možné zapísať nasledovne
.
Zostavme postupnosť z členov radu (1) týmto spôsobom :
;
;
;
Každý člen tejto postupnosti predstavuje súčet zodpovedajúceho počtu prvých členov číselného radu.
Definícia 2. Súčet prvého Pčlenov radu (1) sa nazýva n - čiastková čiastkačíselný rad .
Definícia 3.Číselný rad 
volal konvergentné, Ak 
, kde je číslo 
volal súčet série a napíšte 
.
Ak
limita čiastkových súčtov je nekonečná alebo neexistuje, potom sa rad nazýva divergentný.
Príklad 2
Skontrolujte konvergenciu radov 
.
Aby bolo možné vypočítať n- čiastková čiastka 
predstavme si spoločný pojem 
rad vo forme súčtu jednoduchých zlomkov
Porovnanie koeficientov na rovnakých stupňoch n, získame sústavu lineárnych algebraických rovníc pre neznáme koeficienty A A IN
Odtiaľ to nájdeme 
, A 
.
Preto má všeobecný pojem série formu 
Potom čiastočná suma 
môžu byť zastúpené vo forme
Po otvorení zátvoriek a prinesení podobných výrazov nadobudne formu
.
Vypočítajme súčet série
Keďže limita sa rovná konečnému číslu, tento rad konverguje .
Príklad 2 Skontrolujte konvergenciu radov
- nekonečná geometrická postupnosť.
Ako je známe, súčet prvého Pčlenov geometrickej progresie at q
1 sa rovná 
.
Potom tu máme nasledujúce prípady :
1. Ak 
, To
2. Ak 
, To 
, t.j. rad sa rozchádza.
3. Ak 
, potom treba seriál vidieť 
, t.j. rad sa rozchádza.
4. Ak 
, potom treba seriál vidieť 
, ak má čiastkový súčet párny počet členov a 
, ak je číslo nepárne, t.j. 
neexistuje, preto sa séria rozchádza.
Definícia 4. Rozdiel medzi súčtom série S a čiastočná suma 
volal zvyšok série a je určený 
, t.j. 
.
Pretože pre konvergentné rady 
, To 
,
tie. 
bude b.m.v. pri 
. Takže hodnota 
je približná hodnota súčtu radu.
Z definície súčtu radu vyplývajú vlastnosti konvergentných radov:
1.
Ak riadky 
A 
konvergovať, t.j. majú zodpovedajúce sumy S A Q, potom rad konverguje, kde 
a jeho súčet sa rovná A
S
+
B
Q.
2.
Ak rad konverguje 
, potom rad získaný z tohto konverguje
rad vypustením alebo pridaním konečného počtu členov. Platí to aj naopak.
1.2. Nevyhnutný znak konvergencie. Harmonická séria
Veta. Ak riadok 
konverguje, potom má spoločný člen radu tendenciu k nule ako 
, t.j. 
.
Naozaj, máme
Potom , čo bolo potrebné dokázať.
Dôsledok. Ak 
, potom sa séria rozchádza .
Opak, všeobecne povedané, nie je pravda, ako bude uvedené nižšie.
Definícia 5. Zobraziť sériu 
volal harmonický.
Pre túto sériu je splnená potrebná charakteristika, pretože 
.
Zároveň je divergentná. Ukážme to
Harmonický rad sa teda rozchádza.
Téma 2 : Dostatočné znaky konvergencie radov
s pozitívnymi podmienkami
2.1. Známky porovnávania
Nech sú uvedené dve série s kladnými členmi:
Znak porovnávania. Ak pre všetky členy radu (1) a (2), počnúc od určitého čísla, nerovnosť 
a rad (2) konverguje, potom rad (1) tiež konverguje. Rovnako tak, ak 
a séria (2) diverguje, potom séria (1) tiež diverguje.
Nechaj 
A 
v tomto poradí, čiastočné súčty riadkov (1-2), a Q súčet sérií (2). Potom pre dostatočne veľké P máme
Pretože 
a teda obmedzené 
, t.j. rad (1) konverguje.
Druhá časť znaku sa preukazuje podobným spôsobom.
Príklad 3 Preskúmajte konvergenciu radu
.
Porovnajme s členmi série 
.
Počnúc 
, máme 
.
Od série 
konverguje 
, potom tento rad tiež konverguje.
V praxi je často vhodnejšie použiť na porovnanie tzv. limitujúce kritérium, ktoré vyplýva z predchádzajúceho.
Hranica porovnania. Ak pre dve série (1-2) s kladnými členmi je podmienka splnená 
, To
z konvergencie radu (1) vyplýva konvergencia radu (2) a z divergencie radu (1) vyplýva divergencia radu (2) , tie. riadky sa správajú rovnako.
Príklad 4. Preskúmajte konvergenciu radu 
.
Ako sériu na porovnanie si vezmime harmonickú sériu,
ktorý je divergentný.
a preto sa naša séria rozchádza.
Komentujte.Často je vhodné použiť tzv zovšeobecnená harmonická riadok 
, ktorá, ako bude ukázané nižšie, konverguje na 
a rozchádza sa pri 
.
alebo
alebo
Z predchádzajúceho je zrejmé, že harmonický rad je rad divergentný, t.j. súčet jeho prvých n členov rastie neobmedzene s počtom prijatých členov. Na rozdiel od iných divergentných radov sa však tempo rastu súčtu s narastajúcim počtom členov spomaľuje. Harmonický rad je údajne slabo divergentný v porovnaní s rastom n. Dokážme nasledujúcu vetu charakterizujúcu harmonický rad v tomto ohľade.
Veta. Pre každé n existuje približná rovnosť
kde 0< g
n < 1.
Dôkaz. Nech je daná plocha krivočiareho lichobežníka aABb, ohraničená rovnostrannou hyperbolou súvisiacou s asymptotami, ktorej rovnica je y = 1/x podľa jej dvoch ordinát aA a bB, ktorých rovnice sú x = 1 a x = n a os x. Pomocou „vzorcov obdĺžnikov“ vypočítame túto plochu s nedostatkom (obr. 2) a s prebytkom (obr. 1). Rozdelením základne na n rovnakých častí zistíme, že plocha aABb sa rovná
alebo
|
|
|
|
S rastúcim počtom členov harmonického radu rastie hodnota g n. Ale 0< g n < 1- 1/n. Поэтому существует предел g n , меньший или равный единицы, т.е.
Táto hranica sa nazýva „eulerovská konštanta“. Pomocou výpočtov H n- 1 a ln(n) bolo možné s veľkou presnosťou nájsť hodnotu tohto čísla a získať C = 0,57721566490...
Harmonická séria- suma zložená z nekonečné čísločleny inverzné k postupným číslam prirodzeného radu:
texvc nenájdené; Pozrite si math/README - pomoc s nastavením.): \sum_(k=1)^\mathcal(\infty) \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1 ) (3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(k) + \cdots
.
Súčet prvých n členov radu
Jednotliví členovia série majú tendenciu k nule, ale ich súčet sa líši. N-tý čiastkový súčet s n harmonického radu je n-tým harmonickým číslom:
Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbortexvc nenájdené; Pozrite si math/README - pomoc s nastavením.): s_n=\sum_(k=1)^n \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1)(3 ) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(n)
Niektoré čiastkové hodnoty súčtu
Eulerov vzorec
O Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc význam Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozrite si math/README - pomoc s nastavením.): \varepsilon _n \rightarrow 0, teda pre veľké Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc
:
texvc nenájdené; Pozrite si math/README - pomoc s nastavením.): s_n\approx \ln(n) + \gamma- Eulerov vzorec pre súčet prvého Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): nčlenov harmonického radu. Presnejší asymptotický vzorec pre čiastočný súčet harmonického radu:
Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbortexvc nenájdené; Pozrite si math/README - pomoc s nastavením.): s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \frac(1)(12n^2) + \frac(1)( 120n ^4) - \frac(1)(252n^6) \dots = \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \sum_(k=1)^(\infty) \frac ( B_(2k))(2k\,n^(2k)), Kde Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri matematiku/README - pomoc s nastavením.): B_(2k)- Bernoulliho čísla. Táto séria sa rozchádza, ale chyba v jeho výpočtoch nikdy nepresiahne polovicu prvého vyradeného termínu.
Číselno-teoretické vlastnosti parciálnych súčtov
Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozrite si math/README - pomoc s nastavením.): \forall n>1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb(N)
Divergencia sérií
Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbortexvc nenájdené; Pozri math/README - pomoc s nastavením.): s_n\rightarrow \infty pri Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): n\rightarrow \infty
Harmonický rad sa rozchádza veľmi pomaly (na to, aby čiastkový súčet presiahol 100, je potrebných asi 10 43 prvkov série).
Divergenciu harmonických sérií možno demonštrovať porovnaním s teleskopickou sériou:
Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbortexvc nenájdené; Pozrite si math/README - pomoc s nastavením.): v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac(1)(n)\right)\underset(+\infty ) (\sim)\frac (1) (n)
,
ktorých čiastočný súčet sa očividne rovná:
Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbortexvc nenájdené; Pozri math/README - pomoc s nastavením.): \sum_(i=1)^(n-1) v_i= \ln n \sim H_n
.
Oresmeov dôkaz
Dôkaz divergencie možno zostaviť zoskupením pojmov takto:
Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbortexvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \begin(align) \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k) & () = 1 + \left[\frac(1)( 2) \right] + \left[\frac(1)(3) + \frac(1)(4)\right] + \left[\frac(1)(5) + \frac(1)(6) + \ frac(1)(7) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(9)+\cdots\right] +\cdots \\ & () > 1 + \left [\frac(1)(2)\right] + \left[\frac(1)(4) + \frac(1)(4)\right] + \left[\frac(1)(8) + \ frac(1)(8) + \frac(1)(8) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(16)+\cdots\right] +\ cdots \ \ & () = 1 + \ \frac(1)(2)\ \ \ + \quad \frac(1)(2) \ \quad + \ \qquad\quad\frac(1)(2)\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac(1)(2) \ \quad + \ \cdots. \end(zarovnať)
Posledný riadok sa zjavne rozchádza. Tento dôkaz pochádza od stredovekého vedca Nicholasa Orema (okolo roku 1350).
Alternatívny dôkaz odlišnosti
Rozdiel medzi Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): n harmonické číslo a prirodzený logaritmus Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): n konverguje k Eulerovej-Mascheroniho konštante.
Rozdiel medzi rôznymi harmonickými číslami sa nikdy nerovná celému číslu a žiadnemu harmonickému číslu okrem Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri matematiku/README - pomoc s nastavením.): H_1=1, nie je celé číslo.
Súvisiaci seriál
séria Dirichlet
Zovšeobecnený harmonický rad (alebo Dirichletov rad) je rad
Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbortexvc nenájdené; Pozrite si math/README – pomoc s nastavením.): \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k^\alpha)=1 + \frac(1)(2^\alpha) + \frac ( 1)(3^\alpha) + \frac(1)(4^\alpha) + \cdots +\frac(1)(k^\alpha) + \cdots
.
Zovšeobecnený harmonický rad sa rozchádza pri Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \alpha \leqslant 1 a konverguje pri Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \alpha > 1
.
Súčet zovšeobecnených harmonických radov rádu Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \alpha rovná hodnote Riemannovej zeta funkcie:
texvc nenájdené; Pozrite si math/README – pomoc s nastavením.): \sum_(k=1)^\mathcal(1) \frac(1)(k^\alpha)=\zeta(\alpha)
Pre párne čísla je táto hodnota explicitne vyjadrená ako pi, napr. Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \zeta(2)=\frac(\pi^2)(6) a už pre α=3 je jeho hodnota analyticky neznáma.
Ďalšou ilustráciou divergencie harmonického radu môže byť vzťah Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): \zeta(1+\frac(1)(n)) \sim n
.
Striedavé série
Na rozdiel od harmonického radu, v ktorom sa všetky pojmy berú so znamienkom „+“, rad
Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbortexvc nenájdené; Pozri math/README - pomoc s nastavením.): \sum_(n = 1)^\infty \frac((-1)^(n + 1))(n) \;=\; 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \,+\, \frac(1) (5) \,-\, \cdots
Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti math/README.): 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)( 4) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.
Tento vzorec je špeciálny prípad Mercatorova séria ( Angličtina), Taylorov rad pre prirodzený logaritmus.
Podobný rad možno odvodiť z Taylorovho radu pre arkustangens:
Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbortexvc nenájdené; Pozri math/README - pomoc s nastavením.): \sum_(n = 0)^\infty \frac((-1)^(n))(2n+1) \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac(1)(3) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \frac(1)(7) \,+\, \cdots \;\ ;=\;\; \frac(\pi)(4).
Tento vzťah je známy ako Leibnizova séria.
Náhodný harmonický rad
V roku 2003 boli skúmané vlastnosti náhodné série
Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbortexvc nenájdené; Pozrite si math/README - pomoc s nastavením.): \sum_(n=1)^(\infty)\frac(s_(n))(n),
Kde Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pozri math/README - pomoc s nastavením.): s_n- nezávislé, identicky rozdelené náhodné premenné, ktoré nadobúdajú hodnoty +1 a -1 s rovnakou pravdepodobnosťou ½. Je ukázané, že tento rad konverguje s pravdepodobnosťou 1 a súčet radu je náhodná premenná s zaujímavé vlastnosti. Napríklad funkcia hustoty pravdepodobnosti vypočítaná v bodoch +2 alebo -2 má hodnotu:
líšiace sa od ⅛ o menej ako 10 -42.
„Preriedené“ harmonické série
Séria Kempner ( Angličtina)Ak vezmeme do úvahy harmonický rad, v ktorom ostali len členy, ktorých menovateľ neobsahoval číslo 9, potom sa ukáže, že zostávajúci súčet konverguje k číslu<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе Nedá sa analyzovať výraz (spustiteľný súbor texvc nenájdené; Pomoc s nastavením nájdete v časti matematika/README.): n, za súčet „preriedeného“ radu sa berie čoraz menej výrazov. To znamená, že v konečnom dôsledku je prevažná väčšina členov tvoriacich súčet harmonického radu vyradená, aby sa neprekročila hranica geometrickej postupnosti zhora.
Napíšte recenziu na článok "Harmonická séria"
Poznámky
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Úryvok charakterizujúci sériu Harmonic
Hrozný deň sa blížil ku koncu. Sedela som pri otvorenom okne a nič som necítila a nepočula. Svet sa pre mňa stal zmrazeným a neradostným. Zdalo sa, že existuje oddelene, neprediera sa do môjho unaveného mozgu a nijako sa ma nedotýka... Na parapete, hrajúce sa, neposedné „rímske“ vrabce stále kvičali. Dole boli ľudské hlasy a zvyčajný denný hluk rušného mesta. Ale toto všetko sa ku mne dostalo cez nejakú veľmi hustú „stenu“, ktorá takmer neprepúšťala zvuky... Môj obvyklý vnútorný svet bol prázdny a hluchý. Stal sa úplne cudzím a temným... Sladký, láskavý otec už neexistoval. Nasledoval Girolamo...Ale stále som mal Annu. A vedel som, že musím žiť, aby som zachránil aspoň ju pred rafinovaným vrahom, ktorý sa nazýval „Boží vikár“, svätý pápež... Bolo ťažké si čo i len predstaviť, keby bol Caraffa len jeho „miestokráľom, “ aká šelma sa teda musí stať týmto jeho milovaným Bohom?!. Snažil som sa dostať zo svojho „zamrznutého“ stavu, ale ako sa ukázalo, nebolo to také ľahké - telo vôbec neposlúchalo, nechcelo ožiť a unavená Duša hľadala len pokoj. Potom, keď som videl, že nič dobré nefunguje, rozhodol som sa nechať samú seba a nechať všetko voľný priebeh.
Bez toho, aby som myslel na čokoľvek iné a bez toho, aby som sa o niečom rozhodoval, som jednoducho „odletel“ tam, kde sa snažila moja zranená Duša, aby som bol zachránený... Oddýchnuť si a aspoň trochu zabudnúť, ďaleko od zlého „pozemského“ sveta tam kde vládlo len svetlo...
Vedel som, že Caraffa ma napriek tomu, čo som práve prežil, nenechá dlho na pokoji, práve naopak – uváži, že bolesť ma oslabila a odzbrojila, a možno sa ma v tejto chvíli pokúsi prinútiť, aby som sa vzdal zasadil nejakú - ďalšiu strašnú ranu...
Dni plynuli. Ale na moje najväčšie prekvapenie sa Caraffa neobjavil... Bola to obrovská úľava, ale, žiaľ, nedovolilo mi to uvoľniť sa. Pretože každú chvíľu som očakával, akú novú podlosť na mňa jeho temná, zlá duša vymyslí...
Bolesť postupne ustupovala každý deň, najmä vďaka nečakanej a radostnej udalosti, ktorá sa stala pred pár týždňami a úplne ma ohromila - mala som možnosť vypočuť si svojho zosnulého otca!...
Nevidel som ho, ale počul som a rozumel som každému slovu veľmi jasne, akoby bol môj otec vedľa mňa. Najprv som tomu neveril, myslel som si, že som len blúdil od úplného vyčerpania. Ale hovor sa opakoval... Bol to skutočne otec.
Od radosti som sa nevedel spamätať a stále som sa bál, že zrazu, práve teraz, vstane a zmizne!... Ale môj otec nezmizol. A keď som sa trochu upokojil, konečne som mu mohol odpovedať...
– Si to naozaj ty!? Kde si teraz?... Prečo ťa nevidím?
– Moja dcéra... Nevidíš, lebo si úplne vyčerpaná, drahá. Anna vidí, že som bol s ňou. A uvidíš, drahá. Potrebujete len čas na upokojenie.
Čisté, známe teplo sa šírilo po celom mojom tele a zahalilo ma do radosti a svetla...
-Ako sa máš, otec!? Povedz mi, ako to vyzerá, tento iný život?... Aký to je?
- Je úžasná, drahá!... Len je stále nezvyčajná. A tak odlišný od nášho bývalého pozemského!.. Tu ľudia žijú vo svojich vlastných svetoch. A sú také krásne, tieto „svety“!... Ale stále to nedokážem. Zjavne je na mňa ešte priskoro... – hlas na sekundu stíchol, akoby sa rozhodoval, či mám hovoriť ďalej.
- Tvoj Girolamo ma stretol, dcéra... Je živý a milujúci ako na Zemi... Veľmi mu chýbaš a túži po tebe. A poprosil ma, aby som ti povedal, že ťa tam rovnako ľúbi... A čaká na teba, keď prídeš... A tvoja mama je s nami tiež. Všetci ťa milujeme a čakáme na teba, drahá. Veľmi nám chýbaš... Dávaj na seba pozor, dcéra. Nedovoľte, aby sa vám Karaffa posmieval.
– Prídeš ešte ku mne, otec? Budem ťa ešte počuť? – zo strachu, že zrazu zmizne, som sa modlil.
- Upokoj sa, dcéra. Toto je môj svet. A Caraffova moc sa na neho nevzťahuje. Nikdy neopustím teba ani Annu. Prídem za tebou kedykoľvek zavoláš. Upokoj sa, drahá.
- Ako sa cítiš, otec? Cítiš niečo?.. – trochu zahanbený mojou naivnou otázkou som sa ešte spýtal.
– Cítim všetko, čo som cítil na Zemi, len oveľa jasnejšie. Predstavte si kresbu ceruzkou, ktorá je zrazu plná farieb – všetky moje pocity, všetky moje myšlienky sú oveľa silnejšie a farebnejšie. A ešte niečo... Ten pocit slobody je úžasný!.. Zdá sa, že som taký istý, aký som vždy bol, no zároveň úplne iný... Neviem, ako ti to vysvetliť presnejšie, drahá... Akoby som mohol okamžite objať všetko na svete, alebo len letieť ďaleko, ďaleko, ku hviezdam... Všetko sa zdá možné, akoby som mohol robiť čokoľvek, čo chcem! Je to veľmi ťažké povedať, vyjadriť slovami... Ale ver mi, dcéra, je to úžasné! A ešte jedna vec... Teraz si pamätám celý svoj život! Pamätám si všetko, čo sa mi raz stalo... Je to úžasné. Tento „iný“ život, ako sa ukázalo, nie je až taký zlý... Preto sa neboj, dcéra, ak sem musíš prísť, všetci ťa budeme čakať.
– Povedz mi, otec... Naozaj tam aj na ľudí ako Caraffa čaká úžasný život?... Ale, v tom prípade je to opäť strašná nespravodlivosť!... Naozaj bude opäť všetko ako na Zemi?!. Naozaj nikdy nedostane odplatu?!!
- Ach nie, moja radosť, tu nie je miesto pre Karaffu. Počul som ľudí ako on ísť do hrozného sveta, ale ešte som tam nebol. Hovoria, že toto si zaslúžia!... Chcel som to vidieť, ale ešte som nemal čas. Neboj sa dcéra, keď sem príde, dostane, čo si zaslúži.
"Môžeš mi odtiaľto pomôcť, otec?" spýtal som sa so skrytou nádejou.
– Neviem, drahý... Ešte som tomuto svetu nerozumel. Som ako dieťa, ktoré robí prvé kroky... Najprv sa musím „naučiť chodiť“, aby som vám mohol odpovedať... A teraz musím ísť. Prepáč, zlatko. Najprv sa musím naučiť žiť medzi našimi dvoma svetmi. A potom k vám prídem častejšie. Naber odvahu, Isidora, a nikdy sa nevzdávaj Karaffovi. Určite dostane, čo si zaslúži, verte mi.
Otcov hlas stíchol, až úplne zoslabol a nezmizol... Moja duša sa upokojila. Naozaj to bol ON!.. A žil znova, len teraz vo svojom vlastnom, pre mňa ešte neznámom, posmrtnom svete... Ale stále myslel a cítil, ako práve povedal – ešte oveľa jasnejšie, ako keď žil ďalej. Zem. Už som sa nemohla báť, že sa o ňom nikdy nedozviem... Že ma navždy opustil.
Ale moja ženská duša za ním napriek všetkému stále smútila... O tom, že som ho nemohla len tak objať ako človeka, keď som sa cítila osamelá... Že som nedokázala skryť svoju melanchóliu a strach na jeho široká hruď, túžiaca po pokoji... Že jeho silná, jemná dlaň už nemôže hladkať moju unavenú hlavu, akoby hovorila, že všetko dobre dopadne a určite bude všetko v poriadku... Zúfalo mi chýbali tieto malé a zdanlivo bezvýznamné, ale také milé, čisto „ľudské“ radosti a duša po nich hladovala, nevedela nájsť pokoj. Áno, bola som bojovníčka... Ale bola som aj žena. Jeho jediná dcéra, ktorá vždy vedela, že aj keby sa stalo to najhoršie, môj otec tu vždy bude, bude vždy so mnou... A toto všetko mi bolestne chýbalo...
Nejako som zo seba striasol narastajúci smútok a prinútil som sa myslieť na Karaffu. Takéto myšlienky ma okamžite vytriezveli a prinútili ma vnútorne sa pozbierať, pretože som dokonale pochopil, že tento „pokoj“ je len dočasný oddych...
Ale na moje najväčšie prekvapenie sa Caraffa stále neobjavil...
Dni plynuli a úzkosť rástla. Snažil som sa vymyslieť nejaké vysvetlenie jeho neprítomnosti, ale, žiaľ, nič vážne ma nenapadlo... Cítil som, že niečo pripravuje, ale nevedel som odhadnúť, čo. Vyčerpané nervy povolili. A aby som sa z čakania úplne nezbláznil, začal som každý deň chodiť po paláci. Nemal som zákaz vychádzať, ale ani schválený, preto, keďže som nechcel byť ďalej zavretý, rozhodol som sa sám, že pôjdem na prechádzku... napriek tomu, že sa to možno niekomu nebude páčiť. Palác sa ukázal byť obrovský a nezvyčajne bohatý. Krása izieb ohromila predstavivosť, ale osobne by som nikdy nedokázal žiť v takom oku lahodiacom luxuse... Pozlátenie stien a stropov bolo tiesnivé, narúšalo remeselnú zručnosť úžasných fresiek, dusilo v iskrivom prostredí zlatej tóny. S potešením som vzdal hold talentu umelcov, ktorí maľovali tento nádherný dom, hodiny obdivovali ich výtvory a úprimne obdivovali to najlepšie remeselné spracovanie. Doteraz ma nikto neotravoval, nikto ma nezastavil. Hoci sa vždy našli ľudia, ktorí sa stretli, úctivo sa poklonili a išli ďalej, pričom každý sa ponáhľal za svojím. Napriek takejto falošnej „slobode“ to všetko bolo alarmujúce a každý nový deň prinášal viac a viac úzkosti. Tento „pokoj“ nemohol trvať večne. A bola som si takmer istá, že sa mi z toho určite „zrodí“ nejaké hrozné a bolestivé nešťastie...
Plán:
- Úvod
- 1
Súčet prvých n členov radu
- 1.1 Niektoré čiastkové hodnoty súčtu
- 1.2 Eulerov vzorec
- 1.3 Číselno-teoretické vlastnosti parciálnych súčtov
- 2 Konvergencia radov
- 2.1 Oresmeov dôkaz
- 2.2 Alternatívny dôkaz odlišnosti
- 3 Čiastkové sumy
- 4 prepojené riadky
- 4.1 séria Dirichlet
- 4.2 Striedavé série
- 4.3 Náhodný harmonický rad
- 4.4 „Preriedené“ harmonické série
Poznámky
Úvod
V matematike je harmonický rad súčet tvorený nekonečným počtom členov, prevrátenými číslami postupných čísel prirodzeného radu:
.Séria je pomenovaná harmonický, pretože každý z jeho členov, počnúc druhým, je harmonickým priemerom dvoch susedných členov.
1. Súčet prvých n členov radu
Jednotliví členovia série majú tendenciu k nule, ale ich súčet sa líši. N-tý čiastkový súčet s n harmonického radu je n-tým harmonickým číslom:
1.1. Niektoré čiastkové hodnoty súčtu
1.2. Eulerov vzorec
V roku 1740 L. Euler získal asymptotický výraz pre súčet prvých n členov radu:
,kde je Euler-Mascheroniho konštanta a ln je prirodzený logaritmus.
Keď je teda hodnota , pre veľké n:
- Eulerov vzorec pre súčet prvých n členov harmonického radu.1.3. Číselno-teoretické vlastnosti parciálnych súčtov
2. Konvergencia radu
priHarmonický rad diverguje veľmi pomaly (na to, aby čiastkový súčet presiahol 100, je potrebných asi 10 43 prvkov radu).
Divergenciu harmonických sérií možno demonštrovať porovnaním s teleskopickou sériou:
,ktorých čiastočný súčet sa očividne rovná:
.2.1. Oresmeov dôkaz
Dôkaz divergencie možno zostaviť zoskupením pojmov takto:
Posledný riadok sa zjavne rozchádza. Tento dôkaz pochádza od stredovekého vedca Nicholasa Orema (okolo roku 1350).
2.2. Alternatívny dôkaz odlišnosti
Predpokladajme, že harmonický rad konverguje k súčtu:
Potom preskupením zlomkov dostaneme:
Vyberme to z druhej zátvorky:
Vymeňte druhú konzolu za:
Presuňme to na ľavú stranu:
Dosadíme späť súčet série:
Táto rovnica je zjavne nepravdivá, pretože jedna je väčšia ako jedna polovica, jedna tretina je väčšia ako jedna štvrtina atď. Náš predpoklad o konvergencii radu je teda nesprávny a rad sa rozchádza.
nerovná sa 0, pretože každá zo zátvoriek je kladná.To znamená, že S je nekonečno a naše operácie sčítania alebo odčítania od oboch strán rovnosti sú neprijateľné.
3. Čiastkové sumy
nčiastkový súčet harmonického radu,
volal n-th harmonické číslo.
Rozdiel medzi n harmonické číslo a prirodzený logaritmus n konverguje k Eulerovej-Mascheroniho konštante.
Rozdiel medzi rôznymi harmonickými číslami sa nikdy nerovná celému číslu a žiadnemu harmonickému číslu okrem H 1 = 1 nie je celé číslo.
4. Prepojené riadky
4.1. séria Dirichlet
Zovšeobecnený harmonický rad (alebo Dirichletov rad) je rad
.Zovšeobecnený harmonický rad diverguje pre α≤1 a konverguje pre α>1.
Súčet zovšeobecneného harmonického radu rádu α sa rovná hodnote Riemannovej zeta funkcie:
Pre párne čísla je táto hodnota jasne vyjadrená číslom pi, napríklad , a už pre α=3 je jej hodnota analyticky neznáma.
4.2. Striedavé série
Prvých 14 čiastkových súčtov striedavého harmonického radu (čierne segmenty), ktoré vykazujú konvergenciu k prirodzený logaritmus od 2 (červená čiara).
Na rozdiel od harmonického radu, v ktorom sa všetky pojmy berú so znamienkom „+“, rad
konverguje podľa Leibnizovho kritéria. Preto hovoria, že takáto séria má podmienená konvergencia . Jeho súčet sa rovná prirodzenému logaritmu 2:
Tento vzorec je špeciálnym prípadom radu Mercator ( Angličtina), Taylorov rad pre prirodzený logaritmus.
Podobný rad možno získať z Taylorovho radu pre arkustangens:
Toto je známe ako Leibnizova séria.
4.3. Náhodný harmonický rad
Biron Shmuland z University of Alberta skúmal vlastnosti náhodnej série
Kde s n nezávislé, identicky rozdelené náhodné premenné, ktoré nadobúdajú hodnoty +1 a -1 s rovnakou pravdepodobnosťou ½. Ukazuje sa, že tento súčet má pravdepodobnosť 1 a súčet radu je náhodná hodnota so zaujímavými vlastnosťami. Napríklad funkcia hustoty pravdepodobnosti vypočítaná v bodoch +2 alebo −2 má hodnotu 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 ..., ktorá sa líši od menej ako 2 10 −4. Shmulandova práca vysvetľuje, prečo je táto hodnota blízka, ale nie rovná 1/8.
4.4. „Preriedené“ harmonické série
Séria Kempner ( Angličtina)Ak vezmeme do úvahy harmonický rad, v ktorom ostali len členy, ktorých menovateľ neobsahoval číslo 9, potom sa ukáže, že zostávajúci súčet konverguje k číslu<80. , точнее - к 22,92067 66192 64150 34816. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.
