1. Všeobecná rovnica kriviek druhého rádu.
Ľubovoľná rovnica druhého stupňa vzhľadom na x a y, teda rovnica tvaru
kde sú dané konštantné kurzy, a 
, definuje priamku v rovine, ktorá sa zvyčajne nazýva krivka druhého rádu. Platí to aj naopak. Existujú štyri typy kriviek druhého rádu: kružnica, elipsa, hyperbola a parabola. Všetky sa dajú získať vyrezaním kužeľa rovinou a preto sa nazývajú aj poschodové postele.
Rovnice kriviek možno získať na základe ich geometrické vlastnosti ako nejaký geometrický bod bodov spĺňajúci určité podmienky.
2. Kruh. Volá sa kruh lokus rovinné body, rovnako vzdialené od daného bodu nazývaného stred.
Ak r je polomer kruhu a bod C() je jeho stred, potom rovnica kruhu má tvar:
. (12.2)
Ak sa stred kruhu zhoduje s počiatkom súradníc, potom rovnica kruhu má najjednoduchší – kanonický tvar: 
.
Príklad 14. Napíšte rovnicu pre kružnicu prechádzajúcu bodmi
A(5; 0) a B(1; 4), ak jeho stred leží na priamke x – y – 3 = 0.
Nájdite súradnice bodu M - stredu tetivy AB:
to znamená M(3; 2).
Stred kruhu je na kolmici obnovenej zo stredu segmentu AB. Vytvorme rovnicu pre priamku AB:
alebo x + y – 5 = 0.
Uhlový koeficient priamky AB je rovný -1, teda uhlový koeficient kolmice 
. Kolmá rovnica
y – 2 = 1 (x – 3) alebo x – y – 1 = 0.
Stred kružnice C leží na priamke x + y – 3 = 0 podľa podmienok úlohy, ako aj na kolmici x – y – 1 = 0, čiže súradnice stredu spĺňajú sústavu rovníc. :
x – y – 3 = 0
x – y – 1 = 0.
Preto x = 2, y = 1 a bod C(2; 1).
Polomer kruhu rovná dĺžke segment CA:
Kruhová rovnica: (x – 2) 2 + (y-1) 2 = 10.
3. Elipsa. Elipsa je geometrické miesto bodov v rovine, ktorej súčet vzdialeností dvoch daných bodov, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota rovnajúca sa , väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami. Kanonická rovnica elipsy má tvar:
. (12.3)
Tu je polohlavná os elipsy a je to vedľajšia os, a ak je vzdialenosť medzi ohniskami 2c, potom 
. Rozsah 
sa nazýva excentricita elipsy a charakterizuje mieru kompresie. Keďže s< , то < 1. Расстояния от некоторой точки М, расположенной на эллипсе, до фокусов называются фокальными радиус-векторами этой точки. Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам: .
Priamy 
A 
sa nazývajú smerové čiary elipsy. Smerové čiary elipsy majú nasledujúcu vlastnosť: ak r je vektor ohniskového polomeru bodu M, d je vzdialenosť od tohto bodu k jednostrannej priamke s ohniskom, potom .
Príklad 15. Napíšte rovnicu pre elipsu, ktorej ohniská ležia na osi x, symetricky podľa počiatku, pričom viete, že hlavná os je 8 a vzdialenosť medzi osami je 16.
Podľa podmienok problému 
Directrix rovnica 
; vzdialenosť medzi osami 
, odtiaľ 
; pretože 
, To 
, teda c = 2.
Pretože 
, To 
.
Elipsová rovnica: 
.
Poznámka: ak v kanonickej rovnici elipsy , potom ohniská elipsy ležia na osi y a ; priamkové rovnice: 
; vektory ohniskových polomerov sú určené vzorcami: .
Príklad 16. Napíšte rovnicu pre elipsu, ktorej ohniská ležia na ordináte symetricky vzhľadom na počiatok, pričom viete, že vzdialenosť medzi ohniskami je 2с = 24, excentricita 
.
Kanonická rovnica elipsy má tvar: 
.
Podľa podmienok úlohy c = 12. odkedy 
, To 
, teda 
.
Pretože 
, To .
Elipsová rovnica: 
.
4. Hyperbola. Hyperbola je ťažisko bodov v rovine, pre ktorú absolútna hodnota rozdiel vo vzdialenostiach dvoch pevných bodov tej istej roviny, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota rovná , menšia ako vzdialenosť medzi ohniskami ( 
).
Kanonická rovnica hyperboly má tvar:
, (12.4)
Kde 
.
Hyperbola pozostáva z dvoch vetiev a je umiestnená symetricky vzhľadom na súradnicové osi. Body 
A 
sa nazývajú vrcholy hyperboly. Segment čiary 
sa nazýva reálna os hyperboly a segment 
, spájajúce body 
A 
, - pomyselná os. Hyperbola má dve asymptoty, ktorých rovnice sú 
. Postoj 
sa nazýva excentricita hyperboly. rovno, dané rovnicami 
sa nazývajú smerové čiary hyperboly. Vektory ohniskových polomerov pravej vetvy hyperboly: .
Vektory ohniskových polomerov ľavej vetvy hyperboly: .
Rovnica 
je tiež rovnica hyperboly, ale skutočná os tejto hyperboly je segmentom osi OY dĺžky . Body 
A 
slúžia ako vrcholy hyperboly. Vetvy hyperboly sa nachádzajú v hornej a dolnej časti súradnicová rovina. Dve hyperboly 
A 
sa nazývajú konjugované hyperboly.
Príklad 17. Excentricita hyperboly sa rovná . Zostavte najjednoduchšiu rovnicu hyperboly prechádzajúcej bodom M( 
).
Podľa definície výstrednosti máme 
, alebo 
.
ale 
, teda . Od bodu M( 
) je teda na hyperbole 
. Odtiaľ 
.
Rovnica požadovanej hyperboly má teda tvar: 
.
Príklad 18. Uhol medzi asymptotami hyperboly je 60°. Vypočítajte excentricitu hyperboly.
Uhlový koeficient asymptoty hyperboly 
. Excentricita hyperboly 
.
Nahradením hodnoty sklon, dostaneme
.
Príklad 19. Napíšte rovnicu pre hyperbolu prechádzajúcu bodom
M(9; 8), ak sú asymptoty hyperboly dané rovnicami 
.
Z asymptotnej rovnice máme 
. Keďže bod M(9; 8) patrí hyperbole, jeho súradnice spĺňajú rovnicu hyperboly, tj. 
.
Aby sme našli poloosi hyperboly, máme systém:
Po vyriešení systému dostaneme 
Požadovaná rovnica hyperboly má tvar: 
.
5. Parabola. Parabola je ťažisko bodov v rovine, ktoré sú rovnako vzdialené od daného bodu, nazývaného ohnisko, a od danej priamky, nazývanej priamka. Ak je smerová čiara daná rovnicou 
a ohnisko je v bode F(), potom rovnica paraboly má tvar:
Táto parabola je umiestnená symetricky vzhľadom na os x.
Rovnica 
je rovnica paraboly symetrickej podľa ordináty.
Dĺžka vektora ohniskového polomeru paraboly 
určený vzorcom 
.
Príklad 20. Vytvorte rovnicu pre parabolu s vrcholom v počiatku, symetrickou okolo osi OY a odrezanou v priesečníku prvej a tretej súradnicové uhly akord dĺžky 8.
Požadovaná parabolická rovnica má tvar 
.
Rovnica osy y = x. Určme priesečníky paraboly a osi: 
Po vyriešení systému dostaneme O(0; 0) a M(2p; 2p).
Dĺžka akordu OM = 
.
Podľa podmienky máme: OM = 8, odkiaľ 2р = 8.
Požadovaná parabolická rovnica 
.
Rovinná rovnica
IN Kartézske súradnice každá rovina je definovaná rovnicou prvého stupňa v neznámych x, y a z a každá rovnica prvého stupňa s tromi neznámymi definuje rovinu.
Zoberme si ľubovoľný vektor 
počnúc bodom 
. Odvoďme rovnicu lokusu bodov M(x,y,z), pre každý z nich je vektor 
je kolmá na vektor. Zapíšme si podmienku kolmosti vektorov:
Výsledná rovnica je lineárna vzhľadom na x, y, z, teda definuje rovinu prechádzajúcu bodom kolmým na vektor. Vektor 
nazývaný normálový vektor roviny. Otvorenie zátvoriek vo výslednej rovnici roviny a označenie čísla 
písmeno D, predstavme si ho v tvare:
Ax + By + Cz + D = 0. (13.2)
Táto rovnica sa nazýva všeobecná rovinná rovnica. A, B, C a D sú koeficienty rovnice, A 2 + B 2 + C 2 0.
1. Neúplné rovnice lietadlo.
Ak sa vo všeobecnej rovnici roviny jeden, dva alebo tri koeficienty rovnajú nule, potom sa rovnica roviny nazýva neúplná. Môžu nastať tieto prípady:
1) D = 0 – rovina prechádza počiatkom;
2) A = 0 – rovina je rovnobežná s osou Ox;
3) B = 0 – rovina je rovnobežná s osou Oy;
4) C = 0 – rovina je rovnobežná s osou Oz;
5) A = B = 0 – rovina je rovnobežná s rovinou XOY;
6) A = C = 0 – rovina je rovnobežná s rovinou XOZ;
7) B = C = 0 – rovina je rovnobežná s rovinou YOZ;
8) A = D = 0 – rovina prechádza cez os Ox;
9) B = D = 0 – rovina prechádza osou Oy;
10) C = D = 0 – rovina prechádza osou Oz;
11) A = B = D = 0 – rovina sa zhoduje s rovinou XOY;
12) A = C = D = 0 – rovina sa zhoduje s rovinou XOZ;
13) C = B = D = 0 – rovina sa zhoduje s rovinou YOZ.
2. Rovnica roviny v segmentoch.
Ak je vo všeobecnej rovnici roviny D 0, potom sa môže transformovať do tvaru
, (13.3)
ktorá sa nazýva rovinná rovnica v segmentoch. 
- určiť dĺžky segmentov odrezaných rovinou na súradnicových osiach.
3. Rovnica normálnej roviny.
Rovnica
Kde 
- smerové kosínusy normálového vektora roviny 
, volal normálna rovnica lietadlo. Zmenšiť všeobecnú rovnicu roviny na normálne vyzerajúce musí sa vynásobiť normalizačným faktorom: 
,
v tomto prípade sa znamienko pred koreňom vyberá z podmienky 
.
Vzdialenosť d od bodu 
do roviny je určená vzorcom: .
4. Rovnica roviny prechádzajúcej tromi bodmi
Zoberme si ľubovoľný bod roviny M(x,y,z) a spojme bod M 1 s každým z troch zostávajúcich. Získame tri vektory. Aby tri vektory patrili do tej istej roviny, je potrebné a postačujúce, aby boli koplanárne. Podmienkou koplanarity troch vektorov je, že sa rovnajú nule zmiešaný produkt, teda .
Zapísaním tejto rovnosti cez súradnice bodov získame požadovanú rovnicu:
. (13.5)
5. Uhol medzi rovinami.
Roviny môžu byť rovnobežné, zhodné alebo sa pretínajú, tvoriace dihedrálny uhol. Nech sú dané dve roviny všeobecné rovnice A . Aby sa roviny zhodovali, je potrebné, aby súradnice ktoréhokoľvek bodu vyhovujúceho prvej rovnici vyhovovali aj druhej rovnici.
To bude prípad, ak .
Ak 
, potom sú roviny rovnobežné.
Uhol, ktorý zvierajú dve pretínajúce sa roviny je rovný uhlu tvorené ich normálnymi vektormi. Kosínus uhla medzi vektormi je určený vzorcom: 
Ak , potom sú roviny kolmé.
Príklad 21. Napíšte rovnicu pre rovinu, ktorá prechádza dvoma bodmi 
A 
kolmo na rovinu.
Napíšme požadovanú rovnicu všeobecný pohľad: . Keďže rovina musí prechádzať bodmi a , súradnice bodov musia spĺňať rovnicu roviny. Dosadením súradníc bodov a dostaneme: a .
Z podmienky kolmosti rovín máme: 
. Vektor 
umiestnené v požadovanej rovine, a teda kolmé na normálový vektor: .
Spojením výsledných rovníc dostaneme:
Po vyriešení systému dostaneme: 
, 
, 
, 
.
Požadovaná rovnica má tvar: .
Druhý spôsob. Normálny vektor danej rovine má súradnice 
. Vektor 
. Normálny vektor požadovanej roviny je kolmý na vektor a vektor 
, t.j. kolineárne ku krížovému súčinu 
. Poďme počítať vektorový produkt: 
.
Vektor 
. Napíšme rovnicu roviny prechádzajúcej bodom kolmým na vektor:
Alebo požadovaná rovnica.
Definícia . Hyperbola je ťažisko bodov, rozdiel od každého z nich k dvom daným bodom, nazývaným ohniská, je konštantná hodnota
Zoberme si súradnicový systém tak, že ohniská ležia na osi x a počiatok súradníc rozdeľuje segment F 1 F 2 na polovicu (obr. 30). Označme F 1 F 2 = 2c. Potom F1 (c; 0); F2 (-c; 0)
MF 2 = r 2, MF 1 = r 1 – ohniskové polomery hyperboly.
Podľa definície hyperboly r 1 – r 2 = konšt.
Označme ho 2a
Potom r 2 - r 1 = ± 2a, takže:
=>
rovnica kanonickej hyperboly
Keďže rovnica hyperboly x a y je v párnych mocninách, tak ak bod M 0 (x 0; y 0) leží na hyperbole, potom body M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0) aj ležať na ňom -y 0) M 3 (-x 0; -y 0).
Preto je hyperbola symetrická okolo oboch súradnicových osí.
Keď y = 0 x 2 = a 2 x = ± a. Vrcholy hyperboly budú body A 1 (a; 0); A2 (-a; 0).
. Kvôli symetrii robíme výskum v prvom štvrťroku 
1) pri 
y má imaginárnu hodnotu, teda body hyperboly s úsečkami 
neexistuje
2) pre x = a; y = 0 A 1 (a; 0) patrí do hyperboly
3) pre x > a; y > 0. Navyše s neobmedzeným nárastom x ide vetva hyperboly do nekonečna.
Z toho vyplýva, že hyperbola je krivka pozostávajúca z dvoch nekonečných vetiev.
P 6. Asymptoty hyperboly
Uvažujme spolu s rovnicou 
rovnica priamky 
TO 
krivka bude ležať pod priamkou (obr. 31). Uvažujme body N (x, Y) a M (x, y), ktorých úsečky sú rovnaké a Y - y = MN. Zvážte dĺžku segmentu MN
nájdeme 
Ak sa teda bod M, pohybujúci sa pozdĺž hyperboly v prvej štvrtine, vzďaľuje do nekonečna, potom jeho vzdialenosť od priamky 
klesá a má tendenciu k nule.
Rovnaká línia má vďaka symetrii rovnakú vlastnosť 
.
Definícia. Priamo ku ktorému pri
Krivka sa približuje neurčito a nazýva sa asymptoty.
A 
teda rovnica asymptot hyperboly 
.
Asymptoty hyperboly sú umiestnené pozdĺž uhlopriečok obdĺžnika, ktorého jedna strana je rovnobežná s osou x a rovná sa 2a a druhá je rovnobežná s osou oy a rovná sa 2b a stred leží v počiatok súradníc (obr. 32).
P 7. Excentricita a smerové čiary hyperboly
r 2 – r 1 = ± 2a znamienko + sa vzťahuje na pravú vetvu hyperboly
znak – označuje ľavú vetvu hyperboly
Definícia. Excentricita hyperboly je pomer vzdialenosti medzi ohniskami tejto hyperboly k vzdialenosti medzi jej vrcholmi.
. Pretože c > a, ε > 1
Vyjadrime ohniskové polomery hyperboly pomocou excentricity:
Definícia
. Nazvime rovné čiary
, kolmé na ohniskovú os hyperboly a umiestnené v určitej vzdialenostiod jeho stredu osami hyperbol zodpovedajúcich pravému a ľavému ohnisku.
T 
čo sa týka hyperboly 
preto sú smerové čiary hyperboly umiestnené medzi jej vrcholmi (obr. 33). Ukážme, že pomer vzdialeností ktoréhokoľvek bodu hyperboly k ohnisku a zodpovedajúcej priamke je konštantná hodnota a rovná sa ε.
S. 8 Parabola a jej rovnica
O 
rozhodnosť.
Parabola je miesto bodov rovnako vzdialených od daného bodu, nazývaného ohnisko, a od danej priamky, nazývanej priamka.
Na zostavenie rovnice paraboly berieme ako os x priamku prechádzajúcu ohniskom F 1 kolmo na smerovú čiaru a predpokladáme, že os x smeruje zo smerovej čiary do ohniska. Za počiatok súradníc vezmeme stred O úsečky z bodu F po túto priamku, ktorej dĺžku označíme p (obr. 34). Hodnotu p nazveme parametrom paraboly. Súradnicový bod zaostrenia 
.
Nech M (x, y) – ľubovoľný bod paraboly.
Podľa definície 
pri 2 = 2px – kanonická rovnica paraboly
Aby sme určili typ paraboly, transformujeme jej rovnicu 
to znamená. Preto je vrchol paraboly v počiatku a os symetrie paraboly je oh. Rovnica y 2 = -2px s kladným p sa redukuje na rovnicu y 2 = 2px nahradením x za –x a jej graf vyzerá takto (obr. 35).
U 
Rovnica x2 = 2py je rovnica paraboly s vrcholom v bode O (0; 0), ktorej vetvy smerujú nahor.
X 
2 = -2ру – rovnica paraboly so stredom v počiatku, symetrická podľa osi y, ktorej vetvy smerujú nadol (obr. 36).
Parabola má jednu os symetrie.
Ak je x k prvej mocnine a y k druhej, potom os symetrie je x.
Ak x je druhá mocnina a y je prvá mocnina, potom os symetrie je os y.
Poznámka 1.
Rovnica smerovej čiary paraboly má tvar
.
Poznámka 2.
Keďže pre parabolu
, Toε
parabola sa rovná 1.ε
= 1
.
Je daná rovnica elipsy.
Riešenie:
Napíšme rovnicu elipsy v kanonickom tvare: 
.
Odtiaľ 
. Použitie vzťahu 
, nájdeme 
. teda 
.
Podľa vzorca 
nájdeme 
.
Directrix rovnice 
vyzerať ako 
, vzdialenosť medzi nimi 
.
Podľa vzorca 
nájdite úsečku bodov, vzdialenosť od ktorej k bodu 
rovná sa 12:
. Nahradením hodnoty X do rovnice elipsy nájdeme súradnice týchto bodov:.
Bod A(7;0) teda spĺňa podmienky úlohy.
Problém 56.
Napíšte rovnicu pre elipsu prechádzajúcu bodmi.
Riešenie:
Hľadáme rovnicu elipsy vo forme 
.
Keďže elipsa prechádza bodmi 
, potom ich súradnice spĺňajú rovnicu elipsy: 
. Vynásobením druhej rovnosti (-4) a sčítaním s prvou nájdeme 
.
Nahradením zistenej hodnoty 
do prvej rovnice nájdeme 
. Teda požadovaná rovnica 
.
Problém 57.
;
.
Hyperbola
Hyperbola nazývaná priamka pozostávajúca zo všetkých bodov roviny, modul rozdielu vzdialeností, z ktorých k dvom daným bodom 
A 
je konštantná hodnota (nerovná sa nule a je menšia ako vzdialenosť medzi bodmi 
A 
).
Body 
A 
sa volajú triky hyperbola. Predpokladajme, že vzdialenosť medzi ohniskami je stále rovnaká 
. Modul vzdialeností od bodov hyperboly k ohniskám 
A 
označovať podľa 
. Podľa podmienok, 
.
,
Kde 
- súradnice ľubovoľného bodu hyperboly,
.
Rovnica 
volal kanonická rovnica hyperbola.
Hyperbola má dve asymptoty
.
Výstrednosť hyperbola sa nazýva číslo 
. Pre akúkoľvek hyperbolu 
.
Ohniskové polomery bodu hyperboly sa nazývajú úsečky spájajúce tento bod s ohniskami 
A 
. Ich dĺžky 
A 
sú dané vzorcami:
Priamy 
sa nazývajú smerové čiary hyperboly. Rovnako ako v prípade elipsy sú body hyperboly charakterizované vzťahom 
.
Problém 58.
Nájdite vzdialenosť medzi ohniskami a excentricitou hyperboly 
.
odpoveď:
.
Problém 59.
Napíšte kanonickú rovnicu hyperboly, ak ( 
). Určte excentricitu hyperboly.
odpoveď:
.
Problém 60.
Napíšte kanonickú rovnicu hyperboly, ktorá je symetrická podľa súradnicových osí, ak prechádza bodom 
a excentricita sa rovná 
.
odpoveď:
.
Problém 61.
Nájdite rovnice hyperboly, ktorej vrcholy sú v ohniskách a ohniská sú vo vrcholoch elipsy 
.
odpoveď:
.
Problém 62.
Určte geometrické umiestnenie bodov 
, vzdialenosti od ktorých k priamke 
o polovicu menej ako do bodky 
.
odpoveď:
.
Problém 63.
Napíšte rovnicu pre hyperbolu, ktorá je symetrická vzhľadom na súradnicový systém, ak prechádza bodmi 
,
.
odpoveď:
.
Problém 64.
Napíšte rovnicu pre hyperbolu, ak sú jej asymptoty dané rovnicou 
a hyperbola prechádza bodom 
.
odpoveď:
.
Problém 65.
Ako sa nachádzajú body v rovine, ktorých súradnice spĺňajú podmienky:
.
Parabola
Parabola nazývaná priamka pozostávajúca zo všetkých bodov roviny rovnako vzdialených od daného bodu 
(zameranie) a daný riadok 
(riaditeľky).
Na odvodenie kanonickej rovnice paraboly, os 
prejsť ohniskom 
kolmo na riaditeľa 
v smere od riaditeľa k ohnisku; počiatok súradníc sa odoberie v strede segmentu medzi ohniskom 
a bodka 
priesečníky osí 
s pani riaditeľkou 
. Ak označíme podľa 
ohnisková vzdialenosť od smerovej čiary, potom 
a priamková rovnica bude mať tvar 
.
Vo zvolenom súradnicovom systéme má rovnica paraboly tvar: 
. Táto rovnica sa nazýva rovnica kanonickej paraboly.
Kapitola III. Krivky druhého rádu
§ 40. Hyperbola.
Hyperbola je množina bodov v rovine, pre každý z nich je modul rozdielu vzdialeností k dvom daným bodom v rovine konštantný a menší ako vzdialenosť medzi týmito bodmi.
Tieto body sa nazývajú triky hyperboly a vzdialenosť medzi nimi je ohniskové vzdialenosť.
Ohniská hyperboly označme písmenami F 1 a F 2.
Nech ohnisková vzdialenosť | Ž 1 Ž 2 | = 2 s.
Ak M je ľubovoľný bod hyperboly (obr. 112), potom podľa definície hyperboly modul rozdielu | F 1 M | - | F 2 M | trvalé Označuje to 2 A, dostaneme
| | F 1 M | - | F 2 M | | = 2 a. (1)
Všimnite si, že podľa definície hyperboly 2 A< 2s, t.j. A< с .
Rovnosť (1) je rovnica hyperboly.
Zvoľme súradnicový systém tak, aby os x prechádzala cez ohniská hyperboly; Narysujme os súradnice stredom úsečky F 1 F 2 kolmo na ňu (obr. 113).
Potom ohniská hyperboly budú body F 1 (- c; 0) a F 2 ( c; 0).
Nechaj M( X; pri) - teda ľubovoľný bod hyperboly
| F 1 M | = √( x+c) 2 + r 2 a | F 2 M | = √( x - c) 2 + r 2 .
Nahradenie hodnôt | F 1 M | a | F 2 M | do rovnice (1), dostaneme
| √(x+c) 2 + r 2 - √(x - c) 2 + r 2 | = 2A. (2)
Rovnica, ktorú sme získali, je rovnica hyperboly vo zvolenom súradnicovom systéme. Táto rovnica sa dá zredukovať na jednoduchšiu formu.
Nechaj X > 0, potom možno rovnicu (2) zapísať bez znamienka modulu takto:
√(x+c) 2 + r 2 - √(x - c) 2 + r 2 = 2A,
√(x+c) 2 + r 2 =2A + √(x - c) 2 + r 2 (3)
Odmocnime obe strany výslednej rovnosti:
(x + c) 2 + pri 2 = 4A 2 + 4A √(x - c) 2 + r 2 + (x - s) 2 + pri 2 .
Po príslušných zjednodušeniach a transformáciách:
√(x - c) 2 + r 2 = c / a x - a, (4)
(x - s) 2 + pri 2 = (c / a x - a) 2 ,
dostávame sa k rovnici
(5)
Podľa definície hyperboly A< s, Preto s 2 - a 2 - kladné číslo. Označme to podľa b 2, t.j. dáme b 2 = s 2 - a 2. Potom bude mať tvar rovnica (5).
Rozdelenie termínu po termíne na b 2, dostaneme rovnicu
Ak X < 0, то уравнение (2) переписывается без знака модуля следующим образом:
√(x - c) 2 + r 2 - √(x+c) 2 + r 2 = 2A,
a presne to iste ako v pripade X > 0, sa prevedie do tvaru (6).
Rovnica (6) sa nazýva rovnica kanonickej hyperboly.
Komentujte. Umocnenie oboch strán rovníc (3) a (4) neporušilo ekvivalenciu rovníc. Obe strany rovnice (3) sú zjavne nezáporné pre všetky hodnoty X A pri. Ľavá strana rovnica (4) je tiež vždy nezáporná. o X > A pravá časť rovnica (4) je kladná, pretože
c / a x - a > c / a a-a = s - a > 0
Takže cudzie body sa môžu objaviť iba pod podmienkou 0 < X< а , ale z rovnice (6) vyplýva, že X 2 /a 2 > 1, t.j. | X | > A.
Úloha 1. Napíšte kanonickú rovnicu hyperboly prechádzajúcej bodom
M (-5; 9/4), ak je ohnisková vzdialenosť hyperboly 10.
Keďže |F 1 F 2 |= 10, potom s= 5. Napíšme kanonickú rovnicu hyperboly
Podľa podmienky bod M (-5; 9 / 4) patrí do hyperboly, preto
Druhá rovnica na určenie A 2 a b 2 uvádza pomer
b 2 = s 2 - a 2 = 25 - a 2 .
Po vyriešení systému
nájdeme a 2 =16, b 2 = 9. Požadovaná rovnica je rovnica
Úloha 2. Dokážte, že rovnica
20X 2 - 29r 2 = 580
je rovnica hyperboly. Nájdite súradnice ohniskov.
Vydelením oboch strán rovnice číslom 580 dostaneme
Toto je rovnica hyperboly, pre ktorú a 2 = 29, b 2 = 20.
Zo vzťahu c 2 = a 2 + b 2 nájdeme c 2 = 29 + 20 = 49, s= 7. V dôsledku toho sú ohniská hyperboly v bodoch F 1 (-7; 0) a F 2 (7; 0).
