Derivácia funkcie je jednou z ťažké témy v školské osnovy. Nie každý absolvent odpovie na otázku, čo je derivát.
Tento článok jednoducho a jasne vysvetľuje, čo je derivát a prečo je potrebný.. Teraz sa nebudeme snažiť o matematickú prísnosť prezentácie. Najdôležitejšie je pochopiť význam.
Pripomeňme si definíciu:
Derivácia je rýchlosť zmeny funkcie.
Na obrázku sú znázornené grafy troch funkcií. Ktorá podľa vás rastie najrýchlejšie?
Odpoveď je zrejmá - tretia. Má najvyššiu mieru zmeny, teda najväčší derivát.
Tu je ďalší príklad.
Kostya, Grisha a Matvey dostali prácu v rovnakom čase. Pozrime sa, ako sa zmenili ich príjmy v priebehu roka:
Všetko na grafe vidíte hneď, však? Kosťov príjem sa za šesť mesiacov viac ako zdvojnásobil. A Grishov príjem sa tiež zvýšil, ale len trochu. A Matejov príjem sa znížil na nulu. Východiskové podmienky sú rovnaké, ale rýchlosť zmeny funkcie, t.j. derivát, - rôzne. Pokiaľ ide o Matveyho, derivát jeho príjmu je vo všeobecnosti negatívny.
Intuitívne môžeme ľahko odhadnúť rýchlosť zmeny funkcie. Ale ako to urobíme?
V skutočnosti sa pozeráme na to, ako strmo stúpa graf funkcie nahor (alebo nadol). Inými slovami, ako rýchlo sa y mení s x. Je zrejmé, že rovnaká funkcia v rôzne body môžu mať iný význam derivát - to znamená, že sa môže meniť rýchlejšie alebo pomalšie.
Derivácia funkcie sa označuje ako .
Ukážme si, ako nájsť pomocou grafu.
Nakreslí sa graf nejakej funkcie. Označte na ňom bod úsečkou. V tomto bode nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie. Chceme vyhodnotiť, ako strmo stúpa graf funkcie. Šikovná hodnota za to je dotyčnica sklonu dotyčnice.
Derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.
Upozorňujeme - ako uhol sklonu dotyčnice berieme uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi.
Niekedy sa študenti pýtajú, aká je dotyčnica ku grafu funkcie. Ide o priamku, ktorá má jedinú spoločný bod s grafom a ako je znázornené na našom obrázku. Vyzerá to ako dotyčnica ku kruhu.
Poďme nájsť. Pamätáme si, že dotyčnica ostrého uhla v správny trojuholník sa rovná pomeru opačná noha do susednej. Z trojuholníka:
Našli sme deriváciu pomocou grafu bez toho, aby sme poznali vzorec funkcie. Takéto úlohy sa často nachádzajú na skúške z matematiky pod číslom.
Je tu ešte jedna dôležitá súvislosť. Pripomeňme, že priamka je daná rovnicou
Množstvo v tejto rovnici sa nazýva sklon priamky. Rovná sa dotyčnici uhla sklonu priamky k osi.
.
Chápeme to
Zapamätajme si tento vzorec. Vyjadruje geometrický význam derivácie.
Derivácia funkcie v bode sa rovná sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.
Inými slovami, derivácia sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice.
Už sme povedali, že tá istá funkcia môže mať v rôznych bodoch rôzne derivácie. Pozrime sa, ako derivácia súvisí so správaním funkcie.
Nakreslíme graf nejakej funkcie. Nech sa táto funkcia v niektorých oblastiach zvýši, v iných zníži a s iná rýchlosť. A nech má táto funkcia maximálny a minimálny počet bodov.
V určitom bode sa funkcia zvyšuje. Tvorí sa dotyčnica ku grafu nakreslenému v bode ostrý roh; s kladným smerom osi. Takže derivácia je v bode kladná.
V tomto bode naša funkcia klesá. Dotyčnica v tomto bode zviera tupý uhol; s kladným smerom osi. Od dotyčnice Tupý uhol je záporná, derivácia je v bode záporná.
Čo sa stane:
Ak je funkcia rastúca, jej derivácia je kladná.
Ak klesá, jeho derivácia je záporná.
A čo sa stane pri maximálnom a minime bodov? Vidíme, že v (maximálnom bode) a (minimálnom bode) je dotyčnica vodorovná. Preto dotyčnica sklonu dotyčnice v týchto bodoch nula a derivácia je tiež nula.
Bod je maximálny bod. V tomto bode je zvýšenie funkcie nahradené poklesom. V dôsledku toho sa znamienko derivácie mení v bode z „plus“ na „mínus“.
V bode - minimálnom bode - sa derivácia tiež rovná nule, ale jej znamienko sa mení z "mínus" na "plus".
Záver: pomocou derivácie môžete zistiť všetko, čo nás o správaní funkcie zaujíma.
Ak je derivácia kladná, funkcia je rastúca.
Ak je derivácia záporná, funkcia je klesajúca.
V maximálnom bode je derivácia nula a mení znamienko z plus na mínus.
V minimálnom bode je derivácia tiež nulová a mení znamienko z mínus na plus.
Tieto zistenia zapíšeme vo forme tabuľky:
| zvyšuje | maximálny bod | klesajúci | minimálny bod | zvyšuje | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Urobme dve malé upresnenia. Pri riešení problému budete potrebovať jeden z nich. Ďalší - v prvom ročníku, s vážnejším štúdiom funkcií a derivátov.
Je možný prípad, keď sa derivácia funkcie v určitom bode rovná nule, ale funkcia v tomto bode nemá ani maximum, ani minimum. Tento tzv :
V bode je dotyčnica ku grafu vodorovná a derivácia je nula. Pred bodom sa však funkcia zvýšila - a po bode sa naďalej zvyšuje. Znamienko derivátu sa nemení – zostalo kladné tak, ako bolo.
Stáva sa tiež, že v bode maxima alebo minima derivácia neexistuje. Na grafe to zodpovedá prudkému zlomu, keď nie je možné nakresliť dotyčnicu v danom bode.
Ako však nájsť deriváciu, ak funkcia nie je daná grafom, ale vzorcom? V tomto prípade platí
V úlohe B9 je uvedený graf funkcie alebo derivácie, z ktorého je potrebné určiť jednu z nasledujúcich veličín:
- Hodnota derivátu v určitom bode x 0,
- Vysoké alebo nízke body (extrémne body),
- Intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií (intervaly monotónnosti).
Funkcie a derivácie uvedené v tejto úlohe sú vždy spojité, čo značne zjednodušuje riešenie. Napriek tomu, že úloha patrí do oddielu matematická analýza, je to celkom v silách aj tých najslabších študentov, keďže žiadne hlboké teoretické poznatky tu sa nevyžaduje.
Na nájdenie hodnoty derivácie, extrémnych bodov a intervalov monotónnosti existujú jednoduché a univerzálne algoritmy – o všetkých sa bude diskutovať nižšie.
Pozorne si prečítajte stav problému B9, aby ste neurobili hlúpe chyby: niekedy sa objavia dosť objemné texty, ale dôležité podmienky, ktoré ovplyvňujú priebeh riešenia, je málo.
Výpočet hodnoty derivátu. Dvojbodová metóda
Ak je problému daný graf funkcie f(x), dotyčnica k tomuto grafu v určitom bode x 0 , a je potrebné nájsť hodnotu derivácie v tomto bode, použije sa nasledujúci algoritmus:
- Nájdite dva „adekvátne“ body na grafe dotyčníc: ich súradnice musia byť celé číslo. Označme tieto body ako A (x 1 ; y 1) a B (x 2 ; y 2). Správne napíšte súradnice - to je kľúčový moment riešenia a akákoľvek chyba tu vedie k nesprávnej odpovedi.
- Keď poznáme súradnice, je ľahké vypočítať prírastok argumentu Δx = x 2 − x 1 a prírastok funkcie Δy = y 2 − y 1 .
- Nakoniec nájdeme hodnotu derivácie D = Δy/Δx. Inými slovami, musíte vydeliť prírastok funkcie prírastkom argumentu - a toto bude odpoveď.
Ešte raz poznamenávame: body A a B treba hľadať presne na dotyčnici, a nie na grafe funkcie f(x), ako sa to často stáva. Dotyčnica bude nevyhnutne obsahovať aspoň dva takéto body, inak je problém formulovaný nesprávne.
Zvážte body A (−3; 2) a B (−1; 6) a nájdite prírastky:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.
Zistime hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Úloha. Obrázok ukazuje graf funkcie y \u003d f (x) a dotyčnicu k nej v bode s os x 0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x 0 .
Zvážte body A (0; 3) a B (3; 0), nájdite prírastky:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.
Teraz nájdeme hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Úloha. Obrázok ukazuje graf funkcie y \u003d f (x) a dotyčnicu k nej v bode s os x 0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x 0 .
Zvážte body A (0; 2) a B (5; 2) a nájdite prírastky:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Ay = y2 - y1 = 2 - 2 = 0.
Zostáva nájsť hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Od posledný príklad môžeme sformulovať pravidlo: ak je dotyčnica rovnobežná s osou OX, derivácia funkcie v bode dotyku sa rovná nule. V tomto prípade ani nemusíte nič počítať - stačí sa pozrieť na graf.
Výpočet vysokých a nízkych bodov
Niekedy sa namiesto grafu funkcie v úlohe B9 uvádza derivačný graf a je potrebné nájsť maximálny alebo minimálny bod funkcie. V tomto scenári je dvojbodová metóda zbytočná, ale existuje iný, ešte jednoduchší algoritmus. Najprv si definujme terminológiu:
- Bod x 0 sa nazýva maximálny bod funkcie f(x), ak v niektorom okolí tohto bodu platí nerovnosť: f(x 0) ≥ f(x).
- Bod x 0 sa nazýva minimálny bod funkcie f(x), ak v niektorom okolí tohto bodu platí nerovnosť: f(x 0) ≤ f(x).
Aby ste našli maximum a minimum bodov na grafe derivácie, stačí vykonať nasledujúce kroky:
- Prekreslite graf derivácie a odstráňte všetky nepotrebné informácie. Ako ukazuje prax, dodatočné údaje len narúšajú riešenie. Preto označujeme súradnicová os nuly derivácie - a je to.
- Zistite znamienka derivácie na intervaloch medzi nulami. Ak je pre nejaký bod x 0 známe, že f'(x 0) ≠ 0, potom sú možné len dve možnosti: f'(x 0) ≥ 0 alebo f'(x 0) ≤ 0. Znamienko derivácie je ľahko určiť z pôvodného nákresu: ak derivačný graf leží nad osou OX, potom f'(x) ≥ 0. Naopak, ak derivačný graf leží pod osou OX, potom f'(x) ≤ 0.
- Opäť skontrolujeme nuly a znamienka derivácie. Tam, kde sa znamienko zmení z mínus na plus, je minimálny bod. Naopak, ak sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus, ide o maximálny bod. Počítanie sa vždy vykonáva zľava doprava.
Táto schéma funguje len pre spojité funkcie - v probléme B9 nie sú žiadne iné.
Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−5; 5]. Nájdite minimálny bod funkcie f(x) na tomto segmente.
Zbavme sa nepotrebných informácií – ponecháme len hranice [−5; 5] a nuly derivácie x = −3 a x = 2,5. Všimnite si tiež znaky:
Je zrejmé, že v bode x = −3 sa znamienko derivácie zmení z mínus na plus. Toto je minimálny bod.
Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na segmente [−3; 7]. Nájdite maximálny bod funkcie f(x) na tomto segmente.
Prekreslíme graf a ponecháme len hranice [−3; 7] a nuly derivácie x = −1,7 a x = 5. Všimnite si znamienka derivácie na výslednom grafe. Máme:
Je zrejmé, že v bode x = 5 sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus - to je maximálny bod.
Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−6; štyri]. Nájdite maximálny počet bodov funkcie f(x), ktoré patria do intervalu [−4; 3].
Z podmienok úlohy vyplýva, že stačí uvažovať len časť grafu ohraničenú úsečkou [−4; 3]. Preto staviame nový rozvrh, na ktorom vyznačíme len hranice [−4; 3] a nuly derivácie v ňom. Konkrétne body x = −3,5 a x = 2. Dostaneme:
Na tomto grafe je len jeden maximálny bod x = 2. Práve v ňom sa mení znamienko derivácie z plusu na mínus.
Malá poznámka o bodoch s neceločíselnými súradnicami. Napríklad v posledná úloha bod x = −3,5 bol uvažovaný, ale s rovnakým úspechom môžeme vziať x = −3,4. Ak je problém formulovaný správne, takéto zmeny by nemali ovplyvniť odpoveď, pretože body „bez trvalého bydliska“ neakceptujú priama účasť pri riešení problémov. Samozrejme, s celočíselnými bodmi takýto trik nebude fungovať.
Hľadanie intervalov nárastu a poklesu funkcie
V takomto probléme, ako sú body maxima a minima, sa navrhuje nájsť oblasti, v ktorých samotná funkcia rastie alebo klesá z grafu derivácie. Najprv definujme, čo sú vzostupné a zostupné:
- Funkcia f(x) sa nazýva rastúca na segmente, ak pre ľubovoľné dva body x 1 a x 2 z tohto segmentu platí tvrdenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Inými slovami, čím väčšia je hodnota argumentu, tým väčšia je hodnota funkcie.
- Funkciu f(x) na úsečke nazývame klesajúcou, ak pre ľubovoľné dva body x 1 a x 2 z tejto úsečky platí: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tie. väčšiu hodnotu zhody argumentov nižšia hodnota funkcie.
Poďme formulovať dostatočné podmienky vzostupne a zostupne:
- Komu nepretržitá funkcia f(x) rastie na segmente , stačí, aby jeho derivácia vo vnútri segmentu bola kladná, t.j. f'(x) ≥ 0.
- Aby sa spojitá funkcia f(x) znížila na segmente , stačí, aby jej derivácia v segmente bola záporná, t.j. f'(x) ≤ 0.
Tieto tvrdenia prijímame bez dôkazov. Získame tak schému na nájdenie intervalov nárastu a poklesu, ktorá je v mnohom podobná algoritmu na výpočet extrémnych bodov:
- Odstráňte všetky nadbytočné informácie. Na pôvodnom grafe derivácie nás primárne zaujímajú nuly funkcie, preto necháme len tie.
- Označte znamienka derivácie v intervaloch medzi nulami. Kde f'(x) ≥ 0, funkcia rastie, a kde f'(x) ≤ 0, klesá. Ak má problém obmedzenia na premennú x, dodatočne ich označíme na novom grafe.
- Teraz, keď poznáme správanie funkcie a obmedzenie, zostáva vypočítať požadovanú hodnotu v úlohe.
Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−3; 7,5]. Nájdite intervaly klesajúcej funkcie f(x). Vo svojej odpovedi napíšte súčet celých čísel zahrnutých v týchto intervaloch.
Ako obvykle prekreslíme graf a označíme hranice [−3; 7,5], ako aj nuly derivácie x = −1,5 a x = 5,3. Potom označíme znamienka derivácie. Máme:
Keďže derivácia je záporná na intervale (− 1,5), ide o interval klesajúcej funkcie. Zostáva sčítať všetky celé čísla, ktoré sú v tomto intervale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na segmente [−10; štyri]. Nájdite intervaly rastúcej funkcie f(x). Vo svojej odpovedi napíšte dĺžku najväčšieho z nich.
Zbavme sa nadbytočných informácií. Necháme len hranice [−10; 4] a nuly derivácie, ktoré sa tentokrát ukázali ako štyri: x = −8, x = −6, x = −3 a x = 2. Všimnite si znamienka derivácie a získajte nasledujúci obrázok:
Zaujímajú nás intervaly rastúcej funkcie, t.j. kde f'(x) ≥ 0. Na grafe sú dva takéto intervaly: (−8; −6) a (−3; 2). Vypočítajme ich dĺžku:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l2 = 2 − (−3) = 5.
Keďže je potrebné nájsť dĺžku najväčšieho z intervalov, zapíšeme ako odpoveď hodnotu l 2 = 5.
Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [–5; 6]. Nájdite počet bodov grafu f (x), v každom z nich dotyčnica nakreslená ku grafu funkcie sa zhoduje alebo je rovnobežná s osou x
Na obrázku je znázornený graf derivácie diferencovateľnej funkcie y = f(x).
Nájdite počet bodov v grafe funkcie, ktoré patria do segmentu [–7; 7], v ktorom dotyčnica ku grafu funkcie je rovnobežná s priamkou danou rovnicou y = –3x.
Materiálny bod M začína z bodu A a pohybuje sa v priamom smere počas 12 sekúnd. Graf ukazuje, ako sa v priebehu času menila vzdialenosť z bodu A do bodu M. Na vodorovnej osi je čas t v sekundách, na osi y je vzdialenosť s v metroch. Určte, koľkokrát počas pohybu klesla rýchlosť bodu M na nulu (začiatok a koniec pohybu ignorujte).
Obrázok znázorňuje úseky grafu funkcie y \u003d f (x) a dotyčnicu k nej v bode s úsečkou x \u003d 0. Je známe, že táto dotyčnica je rovnobežná s priamkou prechádzajúcou bodmi graf s úsečkami x \u003d -2 a x \u003d 3. Pomocou toho nájdite hodnotu derivácie f "(o).
Na obrázku je znázornený graf y = f'(x) - derivácia funkcie f(x), definovaná na segmente (−11; 2). Nájdite úsečku bodu, v ktorom dotyčnica ku grafu funkcie y = f(x) je rovnobežná s osou x alebo sa s ňou zhoduje.
Hmotný bod sa pohybuje priamočiaro podľa zákona x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, kde x je vzdialenosť od referenčného bodu v metroch, t je nameraný čas v sekundách od začiatku hnutia. V ktorom časovom bode (v sekundách) sa jej rýchlosť rovnala 2 m/s?
Hmotný bod sa pohybuje po priamke z počiatočnej do konečnej polohy. Na obrázku je znázornený graf jeho pohybu. Na vodorovnej osi je čas v sekundách, na zvislej osi vzdialenosť od počiatočná poloha bodov (v metroch). Nájsť priemerná rýchlosť bodkový pohyb. Uveďte svoju odpoveď v metroch za sekundu.
Funkcia y \u003d f (x) je definovaná na intervale [-4; štyri]. Na obrázku je znázornený graf jeho derivácie. Nájdite počet bodov v grafe funkcie y \u003d f (x), dotyčnica, v ktorej zviera uhol 45 ° s kladným smerom osi Ox.
Funkcia y \u003d f (x) je definovaná na segmente [-2; štyri]. Na obrázku je znázornený graf jeho derivácie. Nájdite abscisu bodu grafu funkcie y \u003d f (x), v ktorej trvá najmenšia hodnota na intervale [-2; -0,001].
Obrázok znázorňuje graf funkcie y \u003d f (x) a dotyčnicu k tomuto grafu nakreslenú v bode x0. Dotyčnica je daná rovnicou y = -2x + 15. Nájdite hodnotu derivácie funkcie y = -(1/4)f(x) + 5 v bode x0.
Na grafe diferencovateľnej funkcie y = f(x) je vyznačených sedem bodov: x1,..,x7. Nájdite všetky označené body, kde je derivácia funkcie f(x) Nad nulou. Zadajte počet týchto bodov vo svojej odpovedi.
Obrázok ukazuje graf y \u003d f "(x) derivácie funkcie f (x), definovanej na intervale (-10; 2). Nájdite počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie f (x) je rovnobežné s čiarou y \u003d -2x-11 alebo sa s ňou zhoduje.
Obrázok znázorňuje graf y \u003d f "(x) - derivácia funkcie f (x). Na osi x je vyznačených deväť bodov: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7 , x8, x9.
Koľko z týchto bodov patrí do intervalov klesajúcej funkcie f(x) ?
Obrázok znázorňuje graf funkcie y \u003d f (x) a dotyčnicu k tomuto grafu nakreslenú v bode x0. Dotyčnica je daná rovnicou y = 1,5x + 3,5. Nájdite hodnotu derivácie funkcie y \u003d 2f (x) - 1 v bode x0.
Obrázok ukazuje graf y=F(x) jedného z primitívne funkcie f(x). Na grafe je vyznačených šesť bodov s úsečkami x1, x2, ..., x6. V koľkých z týchto bodov má funkcia y=f(x) záporné hodnoty?
Obrázok ukazuje cestovný poriadok auta na trase. Čas je vynesený na osi x (v hodinách), na osi y - prejdená vzdialenosť (v kilometroch). Nájdite priemernú rýchlosť auta na tejto trase. Svoju odpoveď uveďte v km/h
Hmotný bod sa pohybuje priamočiaro podľa zákona x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, kde x je vzdialenosť od referenčného bodu (v metroch), t je čas pohybu (v sekundách). Nájdite jeho rýchlosť (v metroch za sekundu) v čase t=6 s
Obrázok ukazuje graf primitívnej funkcie y \u003d F (x) nejakej funkcie y \u003d f (x), definovanej na intervale (-6; 7). Pomocou obrázku určte počet núl funkcie f(x) v danom intervale.
Na obrázku je znázornený graf y = F(x) jednej z primitív nejakej funkcie f(x) definovanej na intervale (-7; 5). Pomocou obrázku určte počet riešení rovnice f(x) = 0 na úsečke [- 5; 2].
Na obrázku je znázornený graf diferencovateľnej funkcie y=f(x). Na osi x je vyznačených deväť bodov: x1, x2, ... x9. Nájdite všetky označené body, v ktorých je derivácia f(x) záporná. Zadajte počet týchto bodov vo svojej odpovedi.
Hmotný bod sa pohybuje priamočiaro podľa zákona x(t)=12t^3−3t^2+2t, kde x je vzdialenosť od referenčného bodu v metroch, t je čas v sekundách meraný od začiatku pohybu. Nájdite jeho rýchlosť (v metroch za sekundu) v čase t=6 s.
Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k tomuto grafu nakreslená v bode x0. Rovnica dotyčnice je znázornená na obrázku. nájdite hodnotu derivácie funkcie y=4*f(x)-3 v bode x0.
Ahoj! Udierajme do blížiaceho sa POUŽITIA kvalitným systematickým tréningom a vytrvalosťou v brúsení žuly vedy !!! ATNa konci príspevku je súťažná úloha, buď prvý! V jednom z článkov v tejto sekcii vy a ja, v ktorom bol uvedený graf funkcie a nastavený rôzne otázky týkajúce sa extrémov, intervalov nárastu (zníženia) a iné.
V tomto článku zvážime úlohy zahrnuté v USE v matematike, v ktorých je uvedený graf derivácie funkcie a sú položené nasledujúce otázky:
1. V ktorom bode daného segmentu nadobudne funkcia najväčšiu (alebo najmenšiu) hodnotu.
2. Nájdite počet maximálnych (alebo minimálnych) bodov funkcie, ktoré patria do daného segmentu.
3. Nájdite počet extrémnych bodov funkcie, ktoré patria do daného segmentu.
4. Nájdite extrémny bod funkcie, ktorý patrí do daného segmentu.
5. Nájdite intervaly nárastu (alebo poklesu) funkcie a v odpovedi uveďte súčet celočíselných bodov zahrnutých v týchto intervaloch.
6. Nájdite intervaly nárastu (alebo poklesu) funkcie. Vo svojej odpovedi uveďte dĺžku najväčšieho z týchto intervalov.
7. Nájdite počet bodov, v ktorých dotyčnica ku grafu funkcie je rovnobežná s priamkou y = kx + b alebo sa s ňou zhoduje.
8. Nájdite úsečku bodu, v ktorom dotyčnica ku grafu funkcie je rovnobežná s osou úsečky alebo sa s ňou zhoduje.
Môžu existovať ďalšie otázky, ale nebudú vám spôsobovať ťažkosti, ak pochopíte a (uvádzame odkazy na články, ktoré poskytujú informácie potrebné na riešenie, odporúčam zopakovať).
Základné informácie (stručne):
1. Derivácia na rastúcich intervaloch má kladné znamienko.
Ak derivácia v určitom bode z nejakého intervalu má kladná hodnota, potom sa graf funkcie na tomto intervale zväčší.
2. Na klesajúcich intervaloch má derivácia záporné znamienko.
Ak derivácia v určitom bode z nejakého intervalu má negatívny význam, potom graf funkcie na tomto intervale klesá.
3. Derivácia v bode x sa rovná sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tom istom bode.
4. V bodoch extrému (maxima-minima) funkcie sa derivácia rovná nule. Dotyčnica ku grafu funkcie je v tomto bode rovnobežná s osou x.
Toto treba jasne pochopiť a zapamätať!!!
Graf derivácie „mätie“ veľa ľudí. Niektorí to nechtiac berú za graf samotnej funkcie. Preto v takých budovách, kde vidíte, že je daný graf, okamžite zamerajte svoju pozornosť v stave na to, čo je dané: graf funkcie alebo graf derivácie funkcie?
Ak ide o graf derivácie funkcie, potom s ním zaobchádzajte ako s „odrazom“ samotnej funkcie, ktorý vám jednoducho poskytne informácie o tejto funkcii.
Zvážte úlohu:
Na obrázku je znázornený graf y=f'(X)- derivačná funkcia f(X), definovaný na intervale (–2;21).
Odpovieme na nasledujúce otázky:
1. V ktorom bode segmentu je funkcia f(X) prijíma najvyššia hodnota.
Na danom segmente je derivácia funkcie záporná, čo znamená, že funkcia na tomto segmente klesá (klesá od ľavej hranice intervalu doprava). Maximálna hodnota funkcie je teda dosiahnutá na ľavej hranici segmentu, t.j. v bode 7.
odpoveď: 7
2. V ktorom bode segmentu je funkcia f(X)
Autor: tento rozvrh derivát môžeme povedať nasledovné. Na danom segmente je derivácia funkcie kladná, čo znamená, že funkcia na tomto segmente rastie (rastie od ľavej hranice intervalu k pravej). Najmenšia hodnota funkcie sa teda dosiahne na ľavej hranici segmentu, teda v bode x = 3.
odpoveď: 3
3. Nájdite maximálny počet bodov funkcie f(X)
Maximálny počet bodov zodpovedá bodom, kde sa znamienko derivácie mení z kladného na záporné. Zvážte, kde sa znak týmto spôsobom mení.
Na segmente (3;6) je derivácia kladná, na segmente (6;16) záporná.
Na segmente (16;18) je derivácia kladná, na segmente (18;20) záporná.
Na danom segmente má teda funkcia dva maximálne body x = 6 a x = 18.
odpoveď: 2
4. Nájdite minimálny počet bodov funkcie f(X) patriaci do segmentu .
Minimálny počet bodov zodpovedá bodom, kde sa znamienko derivácie mení zo záporného na kladné. Máme negatívnu deriváciu na intervale (0; 3) a kladnú na intervale (3; 4).
Na segmente má teda funkcia iba jeden minimálny bod x = 3.
*Pri písaní odpovede dávajte pozor - zaznamenáva sa počet bodov, nie hodnota x, k takejto chybe môže dôjsť nepozornosťou.
odpoveď: 1
5. Nájdite počet extrémnych bodov funkcie f(X) patriaci do segmentu .
Upozorňujeme, že musíte nájsť čiastka extrémne body (sú to maximálne aj minimálne body).
Extrémne body zodpovedajú bodom, kde sa mení znamienko derivácie (z kladného na záporné alebo naopak). Na grafe uvedenom v podmienke sú to nuly funkcie. Derivát zmizne v bodoch 3, 6, 16, 18.
Funkcia má teda 4 extrémne body na segmente.
odpoveď: 4
6. Nájdite intervaly rastúcej funkcie f(X)
Intervaly zvyšovania tejto funkcie f(X) zodpovedajú intervalom, na ktorých je jeho derivácia kladná, teda intervalom (3;6) a (16;18). Všimnite si, že hranice intervalu v ňom nie sú zahrnuté ( okrúhle zátvorky– hranice nie sú zahrnuté v intervale, sú zahrnuté štvorcové). Tieto intervaly obsahujú celočíselné body 4, 5, 17. Ich súčet je: 4 + 5 + 17 = 26
odpoveď: 26
7. Nájdite intervaly klesajúcej funkcie f(X) v danom intervale. Vo svojej odpovedi uveďte súčet celočíselných bodov zahrnutých v týchto intervaloch.
Intervaly znižovania funkcie f(X) zodpovedajú intervalom, na ktorých je derivácia funkcie záporná. V tejto úlohe sú to intervaly (–2;3), (6;16), (18;21).
Tieto intervaly obsahujú nasledujúce celočíselné body: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Ich súčet je:
(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +
11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140
odpoveď: 140
*Venujte pozornosť podmienke: či sú hranice zahrnuté v intervale alebo nie. Ak sú zahrnuté hranice, potom sa tieto hranice musia brať do úvahy aj v intervaloch uvažovaných v procese riešenia.
8. Nájdite intervaly rastúcej funkcie f(X)
Intervaly zvyšovania funkcií f(X) zodpovedajú intervalom, na ktorých je derivácia funkcie kladná. Už sme ich naznačili: (3;6) a (16;18). Najväčší z nich je interval (3;6), jeho dĺžka je 3.
odpoveď: 3
9. Nájdite intervaly klesajúcej funkcie f(X). Vo svojej odpovedi napíšte dĺžku najväčšieho z nich.
Intervaly znižovania funkcie f(X) zodpovedajú intervalom, na ktorých je derivácia funkcie záporná. Už sme ich naznačili, ide o intervaly (–2; 3), (6; 16), (18; 21), ich dĺžky sa rovnajú 5, 10, 3.
Dĺžka najväčšieho je 10.
odpoveď: 10
10. Nájdite počet bodov, kde je dotyčnica ku grafu funkcie f(X) rovnobežne s čiarou y \u003d 2x + 3 alebo sa s ňou zhoduje.
Hodnota derivácie v bode dotyku sa rovná sklonu dotyčnice. Keďže dotyčnica je rovnobežná s priamkou y \u003d 2x + 3 alebo sa s ňou zhoduje, potom sa ich sklony rovnajú 2. Preto je potrebné nájsť počet bodov, v ktorých je y (x 0) \u003d 2. Geometricky , to zodpovedá počtu priesečníkov derivačného grafu s priamkou y = 2. Na tomto intervale sú 4 také body.
odpoveď: 4
11. Nájdite extrémny bod funkcie f(X) patriaci do segmentu .
Extrémny bod funkcie je bod, v ktorom sa jej derivácia rovná nule a v blízkosti tohto bodu derivácia mení znamienko (z kladného na záporné alebo naopak). Na segmente graf derivácie pretína os x, derivácia mení znamienko zo záporného na kladné. Preto bod x = 3 je extrémny bod.
odpoveď: 3
12. Nájdite úsečky bodov, kde dotyčnice ku grafu y \u003d f (x) sú rovnobežné s osou úsečky alebo sa s ňou zhodujú. Vo svojej odpovedi uveďte najväčšiu z nich.
Dotyčnica ku grafu y \u003d f (x) môže byť rovnobežná s osou x alebo sa s ňou zhodovať, iba v bodoch, kde je derivácia nula (môžu to byť extrémne body alebo stacionárne body, v blízkosti ktorého derivát nemení svoje znamienko). Tento graf ukazuje, že derivácia je nulová v bodoch 3, 6, 16,18. Najväčší je 18.
Argument môže byť štruktúrovaný takto:
Hodnota derivácie v bode dotyku sa rovná sklonu dotyčnice. Keďže dotyčnica je rovnobežná s osou x alebo sa s ňou zhoduje, jej sklon je 0 (v skutočnosti dotyčnica uhla nula stupňov je nula). Preto hľadáme bod, v ktorom je sklon rovný nule, čo znamená, že derivácia sa rovná nule. Derivácia sa rovná nule v bode, kde jej graf pretína os x, a to sú body 3, 6, 16,18.
odpoveď: 18
Na obrázku je znázornený graf y=f'(X)- derivačná funkcia f(X) definované na intervale (–8;4). V ktorom bode segmentu [–7;–3] je funkcia f(X) má najmenšiu hodnotu.
Na obrázku je znázornený graf y=f'(X)- derivačná funkcia f(X), definovaný na intervale (–7;14). Nájdite maximálny počet bodov funkcie f(X) patriace do segmentu [–6;9].
Na obrázku je znázornený graf y=f'(X)- derivačná funkcia f(X) definované na intervale (–18;6). Nájdite minimálny počet bodov funkcie f(X) patriace do segmentu [–13;1].
Na obrázku je znázornený graf y=f'(X)- derivačná funkcia f(X), definovaný na intervale (–11; –11). Nájdite počet extrémnych bodov funkcie f(X), patriace do segmentu [–10; -desať].
Na obrázku je znázornený graf y=f'(X)- derivačná funkcia f(X) definované na intervale (–7;4). Nájdite intervaly rastúcej funkcie f(X). Vo svojej odpovedi uveďte súčet celočíselných bodov zahrnutých v týchto intervaloch.
Na obrázku je znázornený graf y=f'(X)- derivačná funkcia f(X), definovaný na intervale (–5; 7). Nájdite intervaly klesajúcej funkcie f(X). Vo svojej odpovedi uveďte súčet celočíselných bodov zahrnutých v týchto intervaloch.
Na obrázku je znázornený graf y=f'(X)- derivačná funkcia f(X) definované na intervale (–11;3). Nájdite intervaly rastúcej funkcie f(X). Vo svojej odpovedi napíšte dĺžku najväčšieho z nich.
F Na obrázku je znázornený graf
Podmienka problému je rovnaká (ktorú sme zvažovali). Nájdite súčet troch čísel:
1. Súčet druhých mocnín extrémov funkcie f (x).
2. Rozdiel druhých mocnín súčtu maximálnych bodov a súčtu minimálnych bodov funkcie f (x).
3. Počet dotyčníc k f (x) rovnobežných s priamkou y \u003d -3x + 5.
Prvý, kto dá správnu odpoveď, získa motivačnú cenu - 150 rubľov. Svoje odpovede píšte do komentárov. Ak je toto váš prvý komentár na blogu, potom sa nezobrazí okamžite, o niečo neskôr (nebojte sa, čas napísania komentára je zaznamenaný).
Veľa šťastia!
S pozdravom Alexander Krutitsikh.
P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.
