pomocou distribučnej funkcie. Spojitá náhodná veličina, distribučná funkcia a hustota pravdepodobnosti

Spolu so štúdiom variácií vlastnosti v celej populácii ako celku je často potrebné vysledovať kvantitatívnych zmien vlastnosť podľa skupín, do ktorých je populácia rozdelená, ako aj medzi skupinami. Táto štúdia variácie sa dosiahne výpočtom a analýzou rôzne druhy disperzia.
Rozlišujte medzi celkovým, medziskupinovým a vnútroskupinovým rozptylom.
Celkový rozptyl σ 2 meria variácie vlastnosti v celej populácii pod vplyvom všetkých faktorov, ktoré túto variáciu spôsobili, .

Medziskupinová variácia (δ) charakterizuje systematickú variáciu, t.j. rozdiely vo veľkosti skúmaného znaku, vznikajúce pod vplyvom znaku-faktora, ktorý je základom zoskupenia. Vypočítava sa podľa vzorca:
.

Rozptyl v rámci skupiny (σ) odráža náhodné variácie, t.j. časť variácie, ktorá sa vyskytuje pod vplyvom nezohľadnených faktorov a nezávisí od znaku-faktora, ktorý je základom zoskupenia. Vypočítava sa podľa vzorca:
.

Priemer odchýlok v rámci skupiny: .

Existuje zákon spájajúci 3 typy rozptylu. Celkový rozptyl sa rovná súčtu priemeru vnútroskupinových a medziskupinový rozptyl: .
Tento pomer sa nazýva pravidlo sčítania rozptylu.

V analýze sa široko používa miera, ktorou je podiel rozptylu medzi skupinami na celkovom rozptyle. Nesie meno empirický koeficient determinácie (η 2): .
Druhá odmocnina empirického koeficientu determinácie sa nazýva empirický korelačný pomer (η):
.
Charakterizuje vplyv atribútu, ktorý je základom zoskupenia, na variáciu výsledného atribútu. Empirický korelačný pomer sa pohybuje od 0 do 1.
Ukážme to praktické využitie na ďalší príklad(Stôl 1).

Príklad #1. Tabuľka 1 - Produktivita práce dvoch skupín pracovníkov jednej z dielní NPO "Cyclone"

Počiatočné údaje na výpočet priemeru vnútroskupinového a medziskupinového rozptylu sú uvedené v tabuľke. 2.
tabuľka 2
Výpočet a δ 2 pre dve skupiny pracovníkov.

Spolu s variáciou kvantitatívnych znakov možno pozorovať aj variáciu. kvalitatívne vlastnosti. Táto štúdia variácií sa dosiahne výpočtom nasledujúcich typov rozptylov:

Vnútroskupinový rozptyl podielu je určený vzorcom

Tento pomer odchýlok sa nazýva teorém sčítania rozdielov v zdieľaní funkcií.

V predchádzajúcom sme uviedli množstvo vzorcov, ktoré nám umožňujú nájsť číselné charakteristiky funkcií, keď sú známe zákony rozloženia argumentov. Na nájdenie číselných charakteristík funkcií však v mnohých prípadoch ani nepotrebujeme poznať zákony rozloženia argumentov, ale stačí poznať len niektoré ich číselné charakteristiky; v tomto prípade sa zaobídeme bez akýchkoľvek zákonov distribúcie. Stanovenie číselných charakteristík funkcií podľa zadaných číselné charakteristiky argumenty sú široko používané v teórii pravdepodobnosti a môžu výrazne zjednodušiť riešenie množstva problémov. Z väčšej časti sa takéto zjednodušené metódy týkajú lineárnych funkcií; tento prístup však umožňujú aj niektoré elementárne nelineárne funkcie.

V súčasnosti uvádzame množstvo teorémov o numerických charakteristikách funkcií, ktoré vo svojom súhrne predstavujú veľmi jednoduchý aparát na výpočet týchto charakteristík, použiteľný v širokom spektre podmienok.

1. Matematické očakávanie nie je náhodná premenná

Uvedená vlastnosť je dosť zrejmá; dá sa to dokázať tak, že sa nenáhodná premenná považuje za konkrétny typ náhodnej premennej s jednotkou možný význam s pravdepodobnosťou jedna; potom všeobecným vzorcom pre matematické očakávanie:

.

2. Disperzia nenáhodnej premennej

Ak je hodnota nenáhodná, potom

3. Odstránenie nenáhodnej premennej za znakom matematického očakávania

, (10.2.1)

t.j. zo znaku očakávania možno vybrať nenáhodnú hodnotu.

Dôkaz.

a) Pre nespojité množstvá

b) Pre spojité množstvá

.

4. Odstránenie nenáhodnej hodnoty pre znamienko rozptylu a štandardnú odchýlku

Ak je nenáhodná premenná a je náhodná, potom

, (10.2.2)

t.j. nenáhodnú hodnotu možno zo znamienka rozptylu vybrať jeho umocnením.

Dôkaz. Podľa definície rozptylu

Dôsledok

,

t.j. nenáhodná hodnota môže byť vyňatá zo znamienka jej štandardnej odchýlky absolútna hodnota. Dôkaz získame extrakciou druhej odmocniny zo vzorca (10.2.2) a berieme do úvahy, že r.s.c. je v podstate kladná hodnota.

5. Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných

Dokážme, že pre ľubovoľné dve náhodné premenné a

t.j. matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní.

Táto vlastnosť je známa ako teorém sčítania očakávaní.

Dôkaz.

a) Nech je systém nespojitých náhodných premenných. Aplikovateľné na súčet náhodných premenných všeobecný vzorec(10.1.6) pre očakávanie funkcie dvoch argumentov:

.

Ho nie je nič iné ako celková pravdepodobnosť, že hodnota nadobudne hodnotu:

;

teda,

.

Podobným spôsobom to dokážeme

,

a veta je dokázaná.

b) Nech je sústava spojitých náhodných veličín. Podľa vzorca (10.1.7)

. (10.2.4)

Transformujeme prvý z integrálov (10.2.4):

;

podobne

,

a veta je dokázaná.

Osobitne treba poznamenať, že teorém o sčítaní matematických očakávaní platí pre všetky náhodné premenné – závislé aj nezávislé.

Veta o sčítaní očakávaní je zovšeobecnená na ľubovoľné číslo podmienky:

, (10.2.5)

t.j. matematické očakávanie súčtu niekoľkých náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní.

Na preukázanie stačí použiť metódu plná indukcia.

6. Matematické očakávanie lineárna funkcia

Zvážte lineárnu funkciu niekoľkých náhodné argumenty :

kde sú nenáhodné koeficienty. Dokážme to

, (10.2.6)

t.j. priemer lineárnej funkcie sa rovná rovnakej lineárnej funkcii priemeru argumentov.

Dôkaz. Pomocou vety o sčítaní m.o. a pravidlo vyňatia nenáhodnej premennej zo znamienka m. o., dostaneme:

.

7. Dispeptento súčet náhodných premenných

Rozptyl súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu ich rozptylov plus dvojnásobok korelačného momentu:

Dôkaz. Označiť

Podľa vety o sčítaní matematických očakávaní

Prejdime od náhodných premenných k zodpovedajúcim centrovaným premenným. Odčítaním člena po člene od rovnosti (10.2.8) rovnosti (10.2.9) máme:

Podľa definície rozptylu

Q.E.D.

Vzorec (10.2.7) pre rozptyl súčtu možno zovšeobecniť na ľubovoľný počet výrazov:

, (10.2.10)

kde je korelačný moment hodnôt, znamienko pod súčtom znamená, že súčet platí pre všetky možné párové kombinácie náhodných premenných .

Dôkaz je podobný predchádzajúcemu a vyplýva zo vzorca pre druhú mocninu polynómu.

Vzorec (10.2.10) môže byť napísaný v inej forme:

, (10.2.11)

kde dvojnásobný súčet platí pre všetky prvky korelačnej matice systémy veličín , ktorý obsahuje korelačné momenty aj odchýlky.

Ak všetky náhodné premenné , zahrnuté v systéme, sú nekorelované (t. j. na ), vzorec (10.2.10) má tvar:

, (10.2.12)

t.j. rozptyl súčtu nekorelovaných náhodných premenných sa rovná súčtu rozptylov členov.

Tento návrh je známy ako teorém sčítania rozptylu.

8. Disperzia lineárnej funkcie

Uvažujme lineárnu funkciu niekoľkých náhodných premenných.

kde sú nenáhodné premenné.

Dokážme, že disperziu tejto lineárnej funkcie vyjadruje vzorec

, (10.2.13)

kde je korelačný moment veličín , .

Dôkaz. Predstavme si notáciu:

. (10.2.14)

Aplikovaním vzorca (10.2.10) na rozptyl súčtu k pravej strane výrazu (10.2.14) a berúc do úvahy to dostaneme:

kde je korelačný moment veličín:

.

Vypočítajme tento moment. Máme:

;

podobne

Dosadením tohto výrazu do (10.2.15) dostaneme vzorec (10.2.13).

V konkrétnom prípade, keď všetky množstvá nekorelovaný, vzorec (10.2.13) má tvar:

, (10.2.16)

t.j. rozptyl lineárnej funkcie nekorelovaných náhodných premenných sa rovná súčtu súčinov druhých mocnín koeficientov a rozptylov zodpovedajúcich argumentov.

9. Matematické očakávanie súčinu náhodných veličín

Matematické očakávanie súčinu dvoch náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní plus korelačný moment:

Dôkaz. Začneme od definície korelačný moment:

Tento výraz transformujeme pomocou vlastností matematického očakávania:

ktorý je zjavne ekvivalentný vzorcu (10.2.17).

Ak náhodné premenné nekorelujú, vzorec (10.2.17) má tvar:

t.j. priemer súčinu dvoch nekorelovaných náhodných premenných sa rovná súčinu ich priemeru.

Toto tvrdenie je známe ako teorém násobenia očakávaní.

Vzorec (10.2.17) nie je nič iné ako vyjadrenie druhého zmiešaného centrálneho momentu systému v zmysle druhého zmiešaného počiatočný moment a matematické očakávania:

. (10.2.19)

Tento výraz sa v praxi často používa pri výpočte korelačného momentu rovnakým spôsobom, že pre jednu náhodnú premennú sa rozptyl často počíta cez druhý počiatočný moment a matematické očakávanie.

Veta o násobení očakávania sa dá zovšeobecniť aj na ľubovoľný počet faktorov, len v tomto prípade na jej aplikáciu nestačí, že veličiny sú nekorelované, ale vyžaduje sa, aby zanikli aj niektoré vyššie zmiešané momenty, ktorých počet závisí od počet výrazov v produkte. Tieto podmienky sú určite splnené, ak sú náhodné premenné zahrnuté v produkte nezávislé. V tomto prípade

, (10.2.20)

t.j. matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní.

Toto tvrdenie možno ľahko dokázať úplnou indukciou.

10. Disperzia súčinu nezávislých náhodných veličín

Dokážme to pre nezávislé premenné

Dôkaz. Označme . Podľa definície rozptylu

Keďže množstvá sú nezávislé, a

o nezávislé veličiny tiež nezávislý; teda,

,

Neexistuje však nič iné ako druhý počiatočný moment množstva, a preto sa vyjadruje v zmysle rozptylu:

;

podobne

.

Nahradením týchto výrazov do vzorca (10.2.22) a uvedením podobní členovia, dospejeme k vzorcu (10.2.21).

V prípade, že sa násobia centrované náhodné premenné (hodnoty s matematickými očakávaniami rovné nule), vzorec (10.2.21) má tvar:

, (10.2.23)

t.j. rozptyl súčinu nezávislých centrovaných náhodných premenných sa rovná súčinu ich rozptylov.

11. Vyššie momenty súčtu náhodných veličín

V niektorých prípadoch je potrebné vypočítať vyššie momenty súčtu nezávislých náhodných veličín. Dokážme niektoré súvisiace vzťahy.

1) Ak sú množstvá nezávislé, potom

Dôkaz.

odkiaľ teorémom o násobení očakávaní

Ale prvý ústredný moment pre akékoľvek množstvo nula; dva stredné členy zmiznú a vzorec (10.2.24) je dokázaný.

Vzťah (10.2.24) možno jednoducho zovšeobecniť indukciou na ľubovoľný počet nezávislých členov:

. (10.2.25)

2) Štvrtý centrálny moment súčtu dvoch nezávislých náhodných veličín vyjadruje vzorec

kde sú disperzie a .

Dôkaz je úplne rovnaký ako ten predchádzajúci.

Pomocou metódy úplnej indukcie je ľahké dokázať zovšeobecnenie vzorca (10.2.26) na ľubovoľný počet nezávislých členov.

Disperzia je miera disperzie, ktorá popisuje relatívnu odchýlku medzi hodnotami údajov a priemerom. Je to najpoužívanejšia miera rozptylu v štatistike, ktorá sa vypočítava súčtom a druhou mocninou odchýlky každej hodnoty údajov stredná veľkosť. Vzorec na výpočet rozptylu je uvedený nižšie:

s 2 - výberový rozptyl;

x cf je stredná hodnota vzorky;

n — veľkosť vzorky (počet hodnôt údajov),

(x i – x cf) je odchýlka od strednej hodnoty pre každú hodnotu súboru údajov.

Aby sme lepšie pochopili vzorec, pozrime sa na príklad. Nemám veľmi rád varenie, takže to robím len zriedka. Aby som však nezomrel od hladu, z času na čas musím zájsť k sporáku, aby som zrealizoval plán nasýtiť svoje telo bielkovinami, tukmi a sacharidmi. Nižšie uvedený súbor údajov ukazuje, koľkokrát Renat varí jedlo každý mesiac:

Prvým krokom pri výpočte rozptylu je určenie výberového priemeru, ktorý je v našom príklade 7,8-krát za mesiac. Zostávajúce výpočty si môžete uľahčiť pomocou nasledujúcej tabuľky.

Záverečná fáza výpočtu rozptylu vyzerá takto:

Pre tých, ktorí radi robia všetky výpočty naraz, bude rovnica vyzerať takto:

Použitie metódy surového počtu (príklad varenia)

Je toho viac efektívna metóda výpočet rozptylu, známy ako metóda „surového počítania“. Aj keď sa na prvý pohľad môže zdať rovnica dosť ťažkopádna, v skutočnosti nie je až taká desivá. Môžete si to overiť a potom sa rozhodnúť, ktorá metóda sa vám najviac páči.

je súčet každej hodnoty údajov po kvadratúre,

je druhá mocnina súčtu všetkých hodnôt údajov.

Nestrácaj hlavu hneď teraz. Uveďme to všetko vo forme tabuľky a potom uvidíte, že je tu menej výpočtov ako v predchádzajúcom príklade.

Ako vidíte, výsledok je rovnaký ako pri použití predchádzajúcej metódy. Výhody túto metódu sa prejavia, keď veľkosť vzorky (n) rastie.

Výpočet rozptylu v Exceli

Ako ste už pravdepodobne uhádli, Excel má vzorec, ktorý vám umožňuje vypočítať rozptyl. Okrem toho od Excelu 2010 nájdete 4 druhy disperzného vzorca:

1) VAR.V - Vráti rozptyl vzorky. Booleovské hodnoty a text sa ignorujú.

2) VAR.G - Vráti rozptyl nad populácia. Booleovské hodnoty a text sa ignorujú.

3) VASP – Vráti vzorový rozptyl, berúc do úvahy boolovské a textové hodnoty.

4) VARP – Vracia rozptyl populácie, berúc do úvahy logické a textové hodnoty.

Najprv sa pozrime na rozdiel medzi vzorkou a populáciou. Účel deskriptívna štatistika je zhrnúť alebo zobraziť údaje tak, aby ste rýchlo získali celkový obraz, takpovediac, prehľad. Štatistická inferencia vám umožňuje robiť závery o populácii na základe vzorky údajov z tejto populácie. Populácia predstavuje všetky možné výsledky alebo merania, ktoré nás zaujímajú. Vzorka je podmnožinou populácie.

Napríklad nás zaujíma celá skupina študentov jedného z ruské univerzity a musíme určiť priemerné skóre skupiny. Vieme vypočítať priemerný výkon žiakov a výsledný údaj bude potom parametrom, keďže do našich výpočtov bude zapojená celá populácia. Ak však chceme vypočítať GPA všetkých študentov u nás, tak táto skupina bude našou vzorkou.

Rozdiel vo vzorci na výpočet rozptylu medzi vzorkou a populáciou je v menovateli. Kde pre vzorku sa bude rovnať (n-1) a pre všeobecnú populáciu iba n.

Teraz sa poďme zaoberať funkciami výpočtu rozptylu s koncovkami A, v popise ktorého sa hovorí, že výpočet zohľadňuje textové a logické hodnoty. IN tento prípad pri výpočte rozptylu určitého súboru údajov, kde nie sú číselné hodnoty, Excel bude interpretovať text a nepravdivé boolovské hodnoty ako 0 a skutočné boolovské hodnoty ako 1.

Takže, ak máte pole údajov, nebude ťažké vypočítať ich rozptyl pomocou jednej z vyššie uvedených funkcií Excelu.

Disperzia ja Disperzia (z lat. disperzio - rozptyl)

V matematickej štatistiky a teória pravdepodobnosti, najčastejšie používaná miera disperzie, t.j. odchýlok od priemeru. V štatistickom zmysle D.

je aritmetický priemer druhej mocniny odchýlok hodnôt x i z ich aritmetického priemeru

V teórii pravdepodobnosti rozdelenie náhodnej premennej X sa nazýva očakávanie E ( X - m x) 2 štvorcová odchýlka X z jej matematického očakávania m x= E ( X). D. náhodná premenná X označené D ( X) alebo cez σ 2 X. Odmocnina z D. (t. j. σ, ak D. je σ 2) sa nazýva priemer smerodajná odchýlka(pozri Štvorcová odchýlka).

Pre náhodnú premennú X s nepretržitá distribúcia pravdepodobnosti charakterizované hustotou pravdepodobnosti (pozri Hustota pravdepodobnosti) R(X), D. sa vypočíta podľa vzorca

V teórii pravdepodobnosti veľký význam má vetu: D. súčet nezávislých členov sa rovná súčtu ich D. Nemenej dôležitá je Čebyševova nerovnosť, ktorá umožňuje odhadnúť pravdepodobnosť veľkých odchýlok náhodnej veličiny. X z jeho matematického očakávania.

Veľký sovietska encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. 1969-1978 .

Pozrite sa, čo je „Disperzia“ v iných slovníkoch:

disperzia- Rozptýliť niečo. V matematike rozptyl meria odchýlku hodnôt od priemeru. Disperzia bieleho svetla vedie k jeho rozkladu na zložky. Rozptyl zvuku je príčinou jeho šírenia. Rozptyľovanie uložených údajov medzi…… Technická príručka prekladateľa

Moderná encyklopédia

- (rozptyl) Miera rozptylu údajov. Rozptyl množiny N členov sa zistí sčítaním druhých mocnín ich odchýlok od priemeru a delením N. Ak sú teda členy xi v i = 1, 2, ..., N a ich priemer je m , rozptyl...... Ekonomický slovník

Disperzia- (z lat. disperzio rozptyl) vlnenie, závislosť rýchlosti šírenia vlnenia v látke od vlnovej dĺžky (frekvencie). Stanoví sa disperzia fyzikálne vlastnosti prostredie, v ktorom sa vlny šíria. Napríklad vo vákuu ...... Ilustrované encyklopedický slovník

- (z lat. disperzio rozptyl) v matematickej štatistike a teórii pravdepodobnosti miera disperzie (odchýlky od priemeru). V štatistike je rozptyl aritmetický priemer druhej mocniny odchýlok pozorovaných hodnôt (x1, x2,...,xn) náhodného ... ... Veľký encyklopedický slovník

V teórii pravdepodobnosti najčastejšie používaná miera odchýlky od priemeru (miera rozptylu). Angličtina: Disperzia Synonymá: Statistical Dispersion Anglické synonymá: Statistical Dispersion Pozri tiež: Vzorové populácie Finančné…… Finančná slovná zásoba

- [lat. disperzus rozptýlený, rozptýlený] 1) rozptyl; 2) chem., fyzik. rozklad látky na veľmi malé častice. D. svetelný rozklad bieleho svetla pomocou hranola do spektra; 3) mat. odchýlka od priemeru. Slovník cudzie slová. Komlev N.G., … … Slovník cudzích slov ruského jazyka

disperzia- (rozptyl) ukazovateľ rozptylu údajov, ktorý zodpovedá strednej štvorci odchýlky týchto údajov od aritmetického priemeru. Rovná sa štvorcu smerodajná odchýlka. Slovník praktický psychológ. Moskva: AST, Harvest. S. Yu Golovin. 1998... Veľká psychologická encyklopédia

Rozptyl, rozptyl Slovník ruských synoným. disperzia podstatného mena, počet synoným: 6 nanodisperzia (1) … Slovník synonym

Disperzia je rozptylová charakteristika hodnôt náhodnej premennej, meraná druhou mocninou ich odchýlok od strednej hodnoty (označenej d2). D. sa líši teoretickou (spojitou alebo diskrétnou) a empirickou (tiež spojitou a ... ... Ekonomický a matematický slovník

Disperzia- * disperzia * disperzia 1. Rozptyl; rozptyl; variácia (pozri). 2. Teoretické pravdepodobnostný koncept charakterizujúca mieru odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania. V biometrickej praxi sa používa rozptyl vzorky s2... genetika. encyklopedický slovník

knihy

• Anomálna disperzia v širokých absorpčných pásmach, D.S. Vianoce. Reprodukované v pôvodnom autorskom pravopise vydania z roku 1934 (vydavateľstvo `Zborník Akadémie vied ZSSR`). V…

Ak je populácia rozdelená do skupín podľa skúmaného znaku, potom je možné pre túto populáciu vypočítať tieto typy rozptylu: celkový, skupinový (vnútroskupinový), skupinový priemer (priemer z vnútroskupiny), medziskupinový.

Na úvod vypočíta koeficient determinácie, ktorý ukazuje, akú časť celkovej variácie skúmaného znaku tvorí medziskupinová variácia, t.j. kvôli zoskupovaniu:

Empirický korelačný pomer charakterizuje tesnosť spojenia medzi zoskupením (faktoriálne) a efektívnymi znakmi.

Empirický korelačný pomer môže nadobúdať hodnoty od 0 do 1.

Na posúdenie blízkosti vzťahu na základe empirického korelačného pomeru môžete použiť Chaddockove vzťahy:

Príklad 4 K dispozícii sú nasledujúce údaje o výkone práce projektovými a prieskumnými organizáciami rôzne tvary nehnuteľnosť:

Definuj:

1) celkový rozptyl;

2) skupinové disperzie;

3) priemer skupinových disperzií;

4) medziskupinová disperzia;

5) celkový rozptyl založený na pravidle sčítania rozptylov;

6) koeficient determinácie a empirická korelácia.

Urobte si vlastné závery.

Riešenie:

1. Definujte priemerný objem výkon prác podnikov dvoch foriem vlastníctva:

Vypočítajte celkový rozptyl:

2. Definujte skupinové priemery:

milión rubľov;

mln rub.

Skupinové odchýlky:

;

3. Vypočítajte priemer skupinových rozptylov:

4. Určite medziskupinový rozptyl:

5. Vypočítajte celkový rozptyl na základe pravidla pre sčítanie rozptylov:

6. Určte koeficient determinácie:

.

Množstvo práce vykonanej projekčnými a prieskumnými organizáciami teda o 22% závisí od formy vlastníctva podnikov.

Empirický korelačný pomer sa vypočíta podľa vzorca

.

Hodnota vypočítaného ukazovateľa naznačuje, že závislosť množstva práce od formy vlastníctva podniku je malá.

Príklad 5 Ako výsledok prieskumu technologická disciplína výrobné miesta dostali tieto údaje:

Určte koeficient determinácie