Kvadratická rovnica je rovnica, ktorá vyzerá ax 2 + dx + c = 0. Má to význam a,c A s akékoľvek čísla a A nerovná sa nule.
Všetky kvadratické rovnice sú rozdelené do niekoľkých typov, a to:
Rovnice iba s jedným koreňom.
-Rovnice s dvoma rôznymi koreňmi.
-Rovnice, v ktorých nie sú žiadne korene.
Toto je to, čo odlišuje lineárne rovnice v ktorom je koreň vždy rovnaký, od štvorca. Aby ste pochopili, koľko koreňov je vo výraze, potrebujete Diskriminant kvadratickej rovnice.
Predpokladajme našu rovnicu ax 2 + dx + c =0. Prostriedky diskriminant kvadratickej rovnice -
D = b2-4 ac
A toto si treba pamätať navždy. Pomocou tejto rovnice určíme počet koreňov v kvadratickej rovnici. A robíme to takto:
Keď D menej ako nula, v rovnici nie sú žiadne korene.
- Keď je D nula, existuje iba jeden koreň.
- Keď D Nad nulou, teda rovnica má dva korene.
Pamätajte, že diskriminant ukazuje, koľko koreňov je v rovnici bez zmeny znamienka.
Pre prehľadnosť uvažujme:
Musíme zistiť, koľko koreňov je v tejto kvadratickej rovnici.
1) x 2 - 8 x + 12 = 0
2) 5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 - 6 x + 9 = 0
Zadáme hodnoty do prvej rovnice a nájdeme diskriminant.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Diskriminant má znamienko plus, čo znamená, že táto rovnosť má dva korene.
To isté urobíme s druhou rovnicou
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Hodnota je záporná, čo znamená, že v tejto rovnosti nie sú žiadne korene.
Rozšírme nasledujúcu rovnicu analogicky.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
v dôsledku toho máme v rovnici jeden koreň.
Je dôležité, aby sme v každej rovnici vypísali koeficienty. Samozrejme, že to nie je veľa Dlhé procesy, ale pomohlo nám to nezmiasť sa a predišlo výskytu chýb. Ak budete podobné rovnice riešiť veľmi často, budete schopní vykonávať výpočty mentálne a vopred vedieť, koľko koreňov má rovnica.
Pozrime sa na ďalší príklad:
1) x 2 - 2 x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12 x + 36 = 0
Rozloženie prvého
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, čo je väčšie ako nula, čo znamená dva korene, odvodzme ich
x 1 = 2 + A 16/2 * 1 = 3, x 2 = 2 - A 16/2 * 1 = -1.
Rozložíme druhú
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, čo je väčšie ako nula a má tiež dva korene. Poďme ich na výstup:
x 1 = 2 + 64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2 - 64/2 * (-1) = 3.
Rozložíme tretiu
a = 1, b = 12, c = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 = 0, čo sa rovná nule a má jeden koreň
x = -12 + 0/2 * 1 = -6.
Riešenie týchto rovníc nie je ťažké.
Ak dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu. Ako napr
1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0
Tieto rovnice sa líšia od tých vyššie, pretože nie sú úplné, nie je v nich žiadna tretia hodnota. No napriek tomu je jednoduchšia ako úplná kvadratická rovnica a netreba v nej hľadať diskriminant.
Čo robiť, keď to súrne potrebujete absolventská práca alebo esej, ale nemáte čas ju napísať? Toto všetko a oveľa viac si môžete objednať na webovej stránke Deeplom.by (http://deeplom.by/) a získať najvyššie skóre.
Diskriminant, podobne ako kvadratické rovnice, sa začína študovať na kurze algebry v 8. ročníku. Kvadratickú rovnicu môžete vyriešiť pomocou diskriminantu a pomocou Vietovej vety. Metodika štúdia kvadratické rovnice, ako diskriminačné formulky, sú skôr neúspešne vštepované školákom, ako mnohé veci v reálnom školstve. Preto prechádzajú školské roky, vzdelávanie v ročníkoch 9-11 nahrádza „ vyššie vzdelanie"a všetci sa znova pozerajú -" "Ako vyriešiť kvadratickú rovnicu?", "Ako nájsť korene rovnice?", "Ako nájsť diskriminant?" A...
Diskriminačný vzorec
Diskriminant D kvadratickej rovnice a*x^2+bx+c=0 sa rovná D=b^2–4*a*c.
Korene (riešenia) kvadratickej rovnice závisia od znamienka diskriminantu (D):
D>0 – rovnica má 2 rôzne reálne korene;
D=0 - rovnica má 1 koreň (2 zodpovedajúce korene):
D<0
– не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве komplexné čísla rovnica so záporným diskriminantom má dva zložité korene.
Vzorec na výpočet diskriminantu je pomerne jednoduchý, preto mnohé webové stránky ponúkajú online diskriminačnú kalkulačku. Na tento druh skriptov sme ešte neprišli, takže ak niekto vie, ako to implementovať, napíšte nám e-mailom Táto e-mailová adresa je chránená pred spamovacími robotmi. Na jej zobrazenie musíte mať povolený JavaScript. .
Všeobecný vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice:
Korene rovnice nájdeme pomocou vzorca 
Ak je koeficient štvorcovej premennej spárovaný, potom je vhodné vypočítať nie diskriminant, ale jeho štvrtú časť
V takýchto prípadoch sa korene rovnice nachádzajú pomocou vzorca 
Druhý spôsob, ako nájsť korene, je Vietin teorém.
Veta je formulovaná nielen pre kvadratické rovnice, ale aj pre polynómy. Môžete si to prečítať na Wikipédii alebo iných elektronických zdrojoch. Pre zjednodušenie však uvažujme časť, ktorá sa týka vyššie uvedených kvadratických rovníc, teda rovníc tvaru (a=1)
Podstatou Vietových vzorcov je, že súčet koreňov rovnice sa rovná koeficientu premennej, braný s opačným znamienkom. Súčin koreňov rovnice sa rovná voľnému členu. Vietovu vetu je možné zapísať do vzorcov.
Odvodenie Vietinho vzorca je celkom jednoduché. Napíšme kvadratickú rovnicu cez jednoduché faktory 
Ako vidíte, všetko dômyselné je zároveň jednoduché. Je efektívne použiť Vietov vzorec, keď je rozdiel v module koreňov alebo rozdiel v moduloch koreňov 1, 2. Napríklad nasledujúce rovnice podľa Vietovej vety majú korene
Až po rovnicu 4 by analýza mala vyzerať takto. Súčin koreňov rovnice je 6, preto koreňmi môžu byť hodnoty (1, 6) a (2, 3) alebo páry s opačnými znamienkami. Súčet koreňov je 7 (koeficient premennej s opačným znamienkom). Odtiaľto sme dospeli k záveru, že riešenia kvadratickej rovnice sú x=2; x=3.
Jednoduchšie je vybrať korene rovnice medzi deliteľmi voľného termínu a upraviť ich znamienko, aby sa splnili vzorce Vieta. Spočiatku sa to zdá byť ťažké, ale s praxou na množstve kvadratických rovníc sa táto technika ukáže ako efektívnejšia ako výpočet diskriminantu a hľadanie koreňov kvadratickej rovnice klasickým spôsobom.
Ako vidíte, školská teória štúdia diskriminantu a metódy hľadania riešení rovnice nemajú praktický význam - "Prečo školáci potrebujú kvadratickú rovnicu?", "Aký je fyzikálny význam diskriminantu?"
Skúsme na to prísť Čo popisuje diskriminant?
V kurze algebra študujú funkcie, schémy na štúdium funkcií a zostavenie grafu funkcií. Zo všetkých funkcií zaujíma dôležité miesto parabola, ktorej rovnicu je možné zapísať vo forme 
Takže fyzikálny význam kvadratickej rovnice sú nuly paraboly, to znamená priesečníky grafu funkcie s osou x Ox.
Žiadam vás, aby ste si zapamätali vlastnosti parabol, ktoré sú popísané nižšie. Príde čas robiť skúšky, testy alebo prijímacie skúšky a vy budete vďační za referenčný materiál. Znamienko druhej mocniny zodpovedá tomu, či budú vetvy paraboly na grafe stúpať (a>0),
alebo parabola s vetvami dole (a<0)
.
Vrchol paraboly leží uprostred medzi koreňmi
Fyzický význam diskriminantu:
Ak je diskriminant väčší ako nula (D>0), parabola má dva priesečníky s osou Ox. 
Ak je diskriminant nulový (D=0), potom sa parabola vo vrchole dotýka osi x. 
A posledný prípad, keď je diskriminant menší ako nula (D<0)
– график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).
Neúplné kvadratické rovnice
Diskriminant je viachodnotový pojem. V tomto článku si povieme niečo o diskriminante polynómu, ktorý vám umožňuje určiť, či daný polynóm má platné riešenia. Vzorec pre kvadratický polynóm sa nachádza v školskom kurze algebry a analýzy. Ako nájsť diskriminanta? Čo je potrebné na vyriešenie rovnice?
Kvadratický polynóm alebo rovnica druhého stupňa sa nazýva i * w ^ 2 + j * w + k sa rovná 0, kde „i“ a „j“ sú prvý a druhý koeficient, „k“ je konštanta, niekedy nazývaná „odmietavý výraz“ a „w“ je premenná. Jeho koreňmi budú všetky hodnoty premennej, pri ktorej sa zmení na identitu. Takáto rovnosť môže byť prepísaná ako súčin i, (w - w1) a (w - w2) rovný 0. V tomto prípade je zrejmé, že ak koeficient „i“ nebude nulový, potom funkcia na ľavá strana sa stane nulou iba vtedy, ak x nadobudne hodnotu w1 alebo w2. Tieto hodnoty sú výsledkom nastavenia polynómu na nulu.
Na nájdenie hodnoty premennej, pri ktorej kvadratický polynóm zaniká, sa používa pomocná konštrukcia postavená na jej koeficientoch a nazývaná diskriminant. Tento dizajn sa vypočíta podľa vzorca D sa rovná j * j - 4 * i * k. Prečo sa používa?
- Hovorí, či existujú platné výsledky.
- Pomáha ich vypočítať.
Ako táto hodnota ukazuje prítomnosť skutočných koreňov:
- Ak bude pozitívny, potom môžeme v regióne nájsť dva korene reálne čísla.
- Ak je diskriminant nula, potom sú obe riešenia rovnaké. Dá sa povedať, že existuje len jedno riešenie, a to z oblasti reálnych čísel.
- Ak je diskriminant menší ako nula, potom polynóm nemá žiadne skutočné korene.
Možnosti výpočtu pre zabezpečenie materiálu
Pre súčet (7 * w^2; 3 * w; 1) rovný 0 Vypočítame D pomocou vzorca 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, dostaneme -19. Diskriminačná hodnota pod nulou znamená, že na skutočnom riadku nie sú žiadne výsledky.
Ak vezmeme do úvahy 2 * w^2 - 3 * w + 1 ekvivalentné 0, potom sa D vypočíta ako (-3) na druhú mínus súčin čísel (4; 2; 1) a rovná sa 9 - 8, teda 1. Kladná hodnota označuje dva výsledky na reálnej čiare.
Ak vezmeme súčet (w ^ 2; 2 * w; 1) a prirovnáme ho k 0, D sa vypočíta ako dve mocniny mínus súčin čísel (4; 1; 1). Tento výraz sa zjednoduší na 4 - 4 a pôjde na nulu. Ukazuje sa, že výsledky sú rovnaké. Ak sa pozriete pozorne na tento vzorec, bude jasné, že ide o „úplný štvorec“. To znamená, že rovnosť možno prepísať do tvaru (w + 1) ^ 2 = 0. Ukázalo sa, že výsledok v tejto úlohe je „-1“. V situácii, keď D je 0, ľavá strana Rovnosti je možné vždy zbaliť pomocou vzorca „druhá mocnina súčtu“.
Použitie diskriminantu pri výpočte koreňov
Táto pomocná konštrukcia ukazuje nielen počet reálnych riešení, ale pomáha ich aj nájsť. Všeobecný výpočtový vzorec pre rovnicu druhého stupňa je:
w = (-j +/- d) / (2 * i), kde d je diskriminant k mocnine 1/2.
Povedzme, že diskriminant je pod nulou, potom d je imaginárne a výsledky sú imaginárne.
D je nula, potom d rovné D mocnine 1/2 je tiež nula. Riešenie: -j / (2 * i). Ak opäť zvážime 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, nájdeme výsledky ekvivalentné -2 / (2 * 1) = -1.
Predpokladajme, že D > 0, potom d - Reálne číslo a odpoveď je rozdelená na dve časti: w1 = (-j + d) / (2 * i) a w2 = (-j - d) / (2 * i). Oba výsledky budú platné. Pozrime sa na 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Tu sú diskriminanty a d jednotky. Ukazuje sa, že w1 sa rovná (3 + 1) delené (2 * 2) alebo 1 a w2 sa rovná (3 - 1) delené 2 * 2 alebo 1/2.
Výsledok rovnice kvadratický výraz na nulu sa vypočíta podľa algoritmu:
- Stanovenie množstva platné riešenia.
- Výpočet d = D^(1/2).
- Nájdenie výsledku podľa vzorca (-j +/- d) / (2 * i).
- Nahradením získaného výsledku do pôvodnej rovnosti na overenie.
Niektoré špeciálne prípady
V závislosti od koeficientov môže byť riešenie trochu zjednodušené. Je zrejmé, že ak je koeficient premennej k druhej mocnine nula, potom sa získa lineárna rovnosť. Keď je koeficient premennej k prvej mocnine nula, potom sú možné dve možnosti:
- polynóm sa rozšíri na rozdiel druhých mocnín, keď je voľný člen záporný;
- pre kladnú konštantu nemožno nájsť žiadne skutočné riešenia.
Ak voľný člen nula, potom korene budú (0; -j)
Existujú však aj iné špeciálne prípady, ktoré zjednodušujú hľadanie riešenia.
Znížená rovnica druhého stupňa
Dané je tzv taký kvadratická trojčlenka, kde koeficient pred vedúcim výrazom je jedna. Pre túto situáciu platí Vietov teorém, ktorý hovorí, že súčet koreňov sa rovná koeficientu premennej k prvej mocnine, vynásobenému -1, a súčin zodpovedá konštante „k“.
Preto w1 + w2 sa rovná -j a w1 * w2 sa rovná k, ak je prvý koeficient jedna. Na overenie správnosti tohto zobrazenia môžete z prvého vzorca vyjadriť w2 = -j - w1 a dosadiť ho do druhej rovnosti w1 * (-j - w1) = k. Výsledkom je pôvodná rovnosť w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.
Je dôležité poznamenať, že i * w ^ 2 + j * w + k = 0 možno dosiahnuť delením „i“. Výsledok bude: w^2 + j1 * w + k1 = 0, kde j1 sa rovná j/i a k1 sa rovná k/i.
Pozrime sa na už vyriešené 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 s výsledkami w1 = 1 a w2 = 1/2. Musíme to rozdeliť na polovicu, ako výsledok w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Skontrolujte, či sú podmienky vety pravdivé pre nájdené výsledky: 1 + 1/2 = 3/ 2 a 1 x 1/2 = 1/2.
Dokonca aj druhý faktor
Ak je faktor premennej k prvej mocnine (j) deliteľný 2, potom bude možné vzorec zjednodušiť a hľadať riešenie cez štvrtinu diskriminantu D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. vyjde w = (-j +/- d/2) / i, kde d/2 = D/4 na mocninu 1/2.
Ak i = 1 a koeficient j je párny, potom riešenie bude súčinom -1 a polovice koeficientu premennej w, plus/mínus odmocnina druhej mocniny tejto polovice mínus konštanta „k“. Vzorec: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.
Vyššie diskriminačné poradie
Diskriminant trinomu druhého stupňa diskutovaný vyššie je najčastejšie používaný špeciálny prípad. Vo všeobecnom prípade je diskriminant polynómu vynásobené štvorce rozdielov koreňov tohto polynómu. Preto diskriminačný rovná nule označuje prítomnosť aspoň dvoch viacnásobných riešení.
Uvažujme i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.
D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.
Predpokladajme, že diskriminant presahuje nulu. To znamená, že v oblasti reálnych čísel sú tri korene. Pri nule existuje viacero riešení. Ak D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают negatívny význam pri kvadratúre a tiež jeden koreň je skutočný.
Video
Naše video vám podrobne povie o výpočte diskriminantu.
Nedostali ste odpoveď na svoju otázku? Navrhnite autorom tému.
Dúfam, že po preštudovaní tohto článku sa naučíte, ako nájsť korene úplnej kvadratickej rovnice.
Pomocou diskriminantu sa riešia len úplné kvadratické rovnice, na riešenie neúplných kvadratických rovníc sa používajú iné metódy, ktoré nájdete v článku „Riešenie neúplných kvadratických rovníc“.
Ktoré kvadratické rovnice sa nazývajú úplné? Toto rovnice tvaru ax 2 + b x + c = 0, kde koeficienty a, b a c sa nerovnajú nule. Aby sme teda vyriešili úplnú kvadratickú rovnicu, musíme vypočítať diskriminant D.
D = b 2 – 4ac.
Podľa hodnoty diskriminantu zapíšeme odpoveď.
Ak je diskriminant záporné číslo (D< 0),то корней нет.
Ak je diskriminant nula, potom x = (-b)/2a. Keď diskriminačný kladné číslo(D > 0),
potom x 1 = (-b - √D)/2a a x 2 = (-b + √D)/2a.
Napríklad. Vyriešte rovnicu x 2– 4x + 4 = 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
odpoveď: 2.
Vyriešte rovnicu 2 x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Odpoveď: žiadne korene.
Vyriešte rovnicu 2 x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 – √81)/(2 2)= (-5 – 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Odpoveď: – 3,5; 1.
Predstavme si teda riešenie úplných kvadratických rovníc pomocou diagramu na obrázku 1.
Pomocou týchto vzorcov môžete vyriešiť akúkoľvek úplnú kvadratickú rovnicu. Len si treba dávať pozor rovnica bola napísaná ako polynóm štandardný pohľad
A x 2 + bx + c, inak sa môžete pomýliť. Napríklad pri písaní rovnice x + 3 + 2x 2 = 0 sa môžete mylne rozhodnúť, že
a = 1, b = 3 a c = 2. Potom
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 a potom má rovnica dva korene. A to nie je pravda. (Pozri riešenie príkladu 2 vyššie).
Ak teda rovnica nie je napísaná ako polynóm štandardného tvaru, musí sa najprv úplná kvadratická rovnica napísať ako polynóm štandardného tvaru (monomial s najvyšší ukazovateľ stupňa, tj A x 2 , potom s menej – bx a potom voľný člen s.
Pri riešení redukovanej kvadratickej rovnice a kvadratickej rovnice s párnym koeficientom v druhom člene môžete použiť iné vzorce. Zoznámime sa s týmito vzorcami. Ak má v úplnej kvadratickej rovnici druhý člen párny koeficient (b = 2k), potom rovnicu môžete vyriešiť pomocou vzorcov znázornených v diagrame na obrázku 2.
Úplná kvadratická rovnica sa nazýva redukovaná, ak koeficient pri x 2 rovný jednej a rovnica bude mať tvar x 2 + px + q = 0. Takáto rovnica môže byť uvedená na riešenie, alebo môže byť získaná vydelením všetkých koeficientov rovnice koeficientom A, stojaci pri x 2 .
Obrázok 3 ukazuje schému riešenia zmenšeného štvorca 
rovnice. Pozrime sa na príklad použitia vzorcov, o ktorých sa hovorí v tomto článku.
Príklad. Vyriešte rovnicu
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Vyriešme túto rovnicu pomocou vzorcov znázornených v diagrame na obrázku 1.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 – 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Odpoveď: –1 – √3; –1 + √3
Môžete si všimnúť, že koeficient x v tejto rovnici párne číslo, teda b = 6 alebo b = 2k, odkiaľ k = 3. Potom skúsme rovnicu vyriešiť pomocou vzorcov uvedených v diagrame na obrázku D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Odpoveď: –1 – √3; –1 + √3. Keď si všimneme, že všetky koeficienty v tejto kvadratickej rovnici sú deliteľné 3 a vykonáme delenie, dostaneme redukovanú kvadratickú rovnicu x 2 + 2x – 2 = 0 Vyriešte túto rovnicu pomocou vzorcov pre redukovanú kvadratickú rovnicu 
rovnice obrázok 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Odpoveď: –1 – √3; –1 + √3.
Ako vidíme, pri riešení tejto rovnice pomocou rôzne vzorce dostali sme rovnakú odpoveď. Preto po dôkladnom zvládnutí vzorcov zobrazených v diagrame na obrázku 1 budete vždy schopní vyriešiť akúkoľvek úplnú kvadratickú rovnicu.
webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.
