Jednotkový vektor- Toto vektor, ktorého absolútna hodnota (modul). rovný jednej. Na označenie jednotkového vektora použijeme dolný index e, ak je daný vektor A, potom jeho jednotkovým vektorom bude vektor A e jednotkový vektor je nasmerovaný rovnakým smerom ako samotný vektor A a jeho modul sa rovná jednej, teda a e = 1.

samozrejme, A= a A e (a - vektorový modul A). Vyplýva to z pravidla, podľa ktorého sa vykonáva operácia násobenia skaláru vektorom.

Jednotkové vektoryčasto spojené so súradnicovými osami súradnicového systému (najmä s osami karteziánskeho súradnicového systému). Smery týchto vektory sa zhodujú so smermi zodpovedajúcich osí a ich počiatky sú často kombinované s počiatkom súradnicového systému.

Dovoľte mi, aby som vám to pripomenul Kartézsky súradnicový systém v priestore sa tradične nazýva trojica vzájomne kolmých osí pretínajúcich sa v bode nazývanom počiatok súradníc. Súradnicové osi zvyčajne sa označujú písmenami X, Y, Z a nazývajú sa os x, ordináta a aplikačná os. Samotný Descartes použil iba jednu os, na ktorej boli vynesené úsečky. Prednosť použitia systémov sekery patrí jeho žiakom. Preto tá veta karteziánsky systém súradnice historicky nesprávne. Je lepšie hovoriť pravouhlý súradnicový systém alebo ortogonálny súradnicový systém. Tradície však nezmeníme a v budúcnosti budeme predpokladať, že karteziánske a pravouhlé (ortogonálne) súradnicové systémy sú jedno a to isté.

Jednotkový vektor, nasmerovaný pozdĺž osi X, je označený i, jednotkový vektor, nasmerovaný pozdĺž osi Y, je označený j, A jednotkový vektor, nasmerovaný pozdĺž osi Z, je označený k. vektory i, j, k sa volajú orts(obr. 12, vľavo), majú jednotlivé moduly, tj
i = 1, j = 1, k = 1.

Sekery a jednotkové vektory pravouhlý súradnicový systém v niektorých prípadoch majú rôzne názvy a označenia. Os x x možno teda nazvať os dotyčnice a jej jednotkový vektor je označený τ (malé grécke písmeno tau), ordináta je normálna os, jej orta sa označuje n, os aplikácie je binormálna os, označuje sa jej jednotkový vektor b. Prečo meniť mená, ak podstata zostáva rovnaká?

Faktom je, že napríklad v mechanike sa pri štúdiu pohybu telies veľmi často používa pravouhlý súradnicový systém. Ak je teda samotný súradnicový systém stacionárny a zmena súradníc pohybujúceho sa objektu je sledovaná v tomto stacionárnom systéme, potom sú zvyčajne osi označené X, Y, Z a ich jednotkové vektory resp i, j, k.

Ale často, keď sa objekt pohybuje pozdĺž niektorých krivočiara trajektória(napríklad v kruhu) môže byť vhodnejšie zvážiť mechanické procesy v súradnicovom systéme pohybujúcom sa s týmto objektom. Práve pre takýto pohyblivý súradnicový systém sa používajú iné názvy osí a ich jednotkové vektory. Je to proste tak, ako to je. V tomto prípade je os X nasmerovaná tangenciálne k trajektórii v bode, v ktorom tento moment tento objekt sa nachádza. A potom sa táto os už nenazýva os X, ale os dotyčnice a jej jednotkový vektor už nie je určený i, A τ . Os Y smeruje pozdĺž polomeru zakrivenia trajektórie (v prípade pohybu v kruhu - do stredu kruhu). A keďže polomer je kolmý na dotyčnicu, os sa nazýva normálna os (kolmá a normála sú to isté). Jednotkový vektor tejto osi sa už neoznačuje j, A n. Tretia os (predtým Z) je kolmá na predchádzajúce dve. Toto je binormál s ortom b(obr. 12, vpravo). Mimochodom, v tomto prípade takých pravouhlý systém súradnicečasto označované ako „prírodné“ alebo prirodzené.

Definícia Objednaný odber (x 1 , x 2 , ... , x n) č reálne čísla volal n-rozmerný vektor a čísla x i (i = ) - komponenty, alebo súradnice,

Príklad. Ak napríklad určitá automobilka musí vyrobiť 50 osobných automobilov, 100 nákladných áut, 10 autobusov, 50 súprav náhradných dielov na osobné automobily a 150 súprav na kamióny a autobusy, potom výrobný program tohto závodu môže byť napísaný vo forme vektora (50, 100, 10, 50, 150) s piatimi komponentmi.

Notový zápis. Vektory sú označené tučným písmom malé písmená alebo písmená s pruhom alebo šípkou v hornej časti, napr. a alebo. Tieto dva vektory sa nazývajú rovný ak majú rovnaké číslo komponent a im zodpovedajúce komponenty sú rovnaké.

Vektorové komponenty nemožno zamieňať, napríklad (3, 2, 5, 0, 1) a (2, 3, 5, 0, 1) rôzne vektory.
Operácie na vektoroch. Práca X= (x 1 , x 2 , ... , x n) reálnym číslomλ nazývaný vektorλ X= (A x 1, A x 2, ..., A x n).

SumaX= (x 1, x 2, ..., x n) a r= (y 1 , y 2 , ... ,y n) sa nazýva vektor x+y= (x1 + y1, x 2 + y2, ..., x n + + y n).

Vektorový priestor. N -rozmerný vektorový priestor R n je definované ako množina všetkých n-rozmerných vektorov, pre ktoré sú operácie násobenia pomocou reálne čísla a doplnenie.

Ekonomická ilustrácia. Ekonomická ilustrácia n-rozmeru vektorový priestor: priestor tovaru (tovar). Pod tovar pochopíme nejaký tovar alebo službu, ktorá sa predáva v určitý čas na určitom mieste. Predpokladajme, že existuje konečné číslo dostupný tovar n; množstvá každého z nich zakúpené spotrebiteľom sú charakterizované súborom tovaru

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

kde x i označuje množstvo i-tého tovaru zakúpeného spotrebiteľom. Budeme predpokladať, že všetok tovar má vlastnosť ľubovoľnej deliteľnosti, takže je možné zakúpiť ľubovoľné nezáporné množstvo každého z nich. Potom všetky možné množiny tovarov sú vektormi tovarového priestoru C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i =).

Lineárna nezávislosť. Systém e 1 , e 2 , ... , e m sa nazývajú n-rozmerné vektory lineárne závislé, ak sú také číslaλ1, λ2, ..., λm , z ktorých aspoň jedna je nenulová, taká, že rovnosťλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; inak tento systém vektorov sa nazýva lineárne nezávislé, to znamená, že uvedená rovnosť je možná len v prípade, keď všetky . Geometrický význam lineárna závislosť vektory v R 3, interpretované ako riadené segmenty, vysvetlite nasledujúce vety.

Veta 1. Systém pozostávajúci z jedného vektora je lineárne závislý práve vtedy, ak je tento vektor nulový.

Veta 2. Aby boli dva vektory lineárne závislé, je potrebné a postačujúce, aby boli kolineárne (paralelné).

Veta 3 . Aby boli tri vektory lineárne závislé, je potrebné a postačujúce, aby boli koplanárne (ležali v rovnakej rovine).

Ľavá a pravá trojica vektorov. Trojica nekoplanárnych vektorov a, b, c volal správny, ak pozorovateľ z nich spoločný začiatok prechádzanie koncami vektorov a, b, c V v uvedenom poradí Zdá sa, že sa to deje v smere hodinových ručičiek. Inak a, b, c -zostali tri. Všetky pravé (alebo ľavé) trojice vektorov sa nazývajú rovnaký orientovaný.

Základ a súradnice. Trojka e 1, e 2 , e 3 nekoplanárne vektory v R 3 sa nazýva základ a samotné vektory e 1, e 2 , e 3 - základné. Akýkoľvek vektor a môžu byť jedinečne rozšírené na základné vektory, to znamená reprezentované vo forme

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

volajú sa čísla x 1 , x 2 , x 3 v expanzii (1.1). súradnicea v základe e 1, e 2 , e 3 a sú určené a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormálny základ. Ak vektory e 1, e 2 , e 3 sú párovo kolmé a dĺžka každého z nich je rovná jednej, potom sa základ nazýva ortonormálny a súradnice x 1 , x 2 , x 3 - pravouhlý. Základné vektory ortonormálnej bázy budú označené i, j, k.

Budeme predpokladať, že vo vesmíre R 3 je vybraný pravý karteziánsky systém pravouhlé súradnice {0, i, j, k}.

Vektorové umelecké dielo. Vektorové umelecké dielo A na vektor b nazývaný vektor c, ktorý je určený týmito tromi podmienkami:

1. Dĺžka vektora cčíselne sa rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a A b, t.j.
c= |a||b| hriech( a^b).

2. Vektor c kolmo na každý z vektorov a A b.

3. Vektory a, b A c, brané v uvedenom poradí, tvoria pravú trojicu.

Pre krížový produkt c uvádza sa označenie c =[ab] alebo
c = a × b.

Ak vektory a A b sú kolineárne, potom hriech( a^b) = 0 a [ ab] = 0, najmä [ aa] = 0. Vektorové produkty jednotkových vektorov: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Ak vektory a A bšpecifikované v základe i, j, k súradnice a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), potom

Zmiešaná práca. Ak je vektorový súčin dvoch vektorov A A b skalárne vynásobené tretím vektorom c, potom sa takýto súčin troch vektorov nazýva zmiešaná práca a je označený symbolom a b c.

Ak vektory a, b A c v základe i, j, k dané ich súradnicami
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), potom

.

Zmiešaný produkt má jednoduchú geometrickú interpretáciu – ide o skalár, podľa absolútna hodnota rovný objemu rovnobežnostena postaveného na týchto troch vektoroch.

Ak vektory tvoria pravú trojicu, potom ich zmiešaná práca existuje kladné číslo rovnajúce sa určenému objemu; ak je to trojka a, b, c - vľavo teda a b c<0 и V = - a b c, teda V =|a b c|.

Predpokladá sa, že súradnice vektorov, s ktorými sa stretávame v úlohách prvej kapitoly, sú dané relatívne k pravej ortonormálnej báze. Jednotkový vektor kosmerný s vektorom A, označené symbolom A O. Symbol r=OM označený polomerovým vektorom bodu M, symbolmi a, AB alebo|a|, | AB|moduly vektorov sú označené A A AB.

Príklad 1.2. Nájdite uhol medzi vektormi a= 2m+4n A b= m-n, Kde m A n- jednotkové vektory a uhol medzi nimi m A n rovný 120 o.

Riešenie. Máme: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = -2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, čo znamená a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, čo znamená b = . Nakoniec tu máme: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Príklad 1.3.Poznanie vektorov AB(-3,-2,6) a B.C.(-2,4,4),vypočítajte dĺžku nadmorskej výšky AD trojuholníka ABC.

Riešenie. Označením oblasti trojuholníka ABC pomocou S dostaneme:
S = 1/2 pred Kristom. Potom AD = 2S/BC, BC = = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, čo znamená vektor A.C. má súradnice
. .

Príklad 1.4 . Sú uvedené dva vektory a(11,10,2) a b(4,0,3). Nájdite jednotkový vektor c, ortogonálne k vektorom a A b a nasmerované tak, aby usporiadaná trojica vektorov a, b, c mal pravdu.

Riešenie.Označme súradnice vektora c vzhľadom na daný pravý ortonormálny základ v zmysle x, y, z.

Pretože c ⊥ a, c ⊥b, To cca= 0,cb= 0. Podľa podmienok úlohy sa vyžaduje, aby c = 1 a a b c >0.

Máme systém rovníc pre nájdenie x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x + 3z = 0, x 2 + y2 + z2 = 0.

Z prvej a druhej rovnice sústavy získame z = -4/3 x, y = -5/6 x. Dosadením y a z do tretej rovnice máme: x 2 = 36/125, odkiaľ
x =± . Použitie podmienky a b c > 0, dostaneme nerovnosť

S prihliadnutím na výrazy pre z a y prepíšeme výslednú nerovnosť v tvare: 625/6 x > 0, čo znamená, že x>0. Takže x =, y = -, z =-.

Definícia. Vektorový súčin vektora a (multiplikand) a nekolineárneho vektora (multiplikand) je tretí vektor c (súčin), ktorý je skonštruovaný takto:

1) jeho modul je číselný rovná ploche rovnobežník na obr. 155), postavené na vektoroch, t.j sa rovná smeru kolmá na rovinu uvedeného rovnobežníka;

3) v tomto prípade sa zvolí smer vektora c (z dvoch možných) tak, aby vektory c boli správny systém(§ 110).

Označenie: alebo

Dodatok k definícii. Ak sú vektory kolineárne, potom vzhľadom na obrázok (podmienečne) rovnobežník je prirodzené priradiť nulovú plochu. Preto sa vektorový súčin kolineárnych vektorov považuje za rovný nulovému vektoru.

Keďže nulovému vektoru možno priradiť akýkoľvek smer, táto dohoda nie je v rozpore s odsekmi 2 a 3 definície.

Poznámka 1. V termíne „krížový produkt“ prvé slovo označuje, že výsledkom akcie je vektor (na rozdiel od skalárny produkt; St § 104 poznámka 1).

Príklad 1. Nájdite vektorový súčin, kde sú hlavné vektory pravého súradnicového systému (obr. 156).

1. Keďže dĺžky hlavných vektorov sa rovnajú jednej mierkovej jednotke, plocha rovnobežníka (štvorca) sa číselne rovná jednej. To znamená, že modul vektorového súčinu sa rovná jednej.

2. Keďže kolmica na rovinu je os, požadovaný vektorový súčin je vektor kolineárny s vektorom k; a keďže obe majú modul 1, požadovaný vektorový súčin sa rovná buď k alebo -k.

3. Z týchto dvoch možných vektorov treba zvoliť prvý, keďže vektory k tvoria pravotočivý systém (a vektory ľavotočivý).

Príklad 2. Nájdite krížový súčin

Riešenie. Ako v príklade 1 sme dospeli k záveru, že vektor sa rovná buď k alebo -k. Teraz však musíme zvoliť -k, pretože vektory tvoria pravotočivý systém (a vektory tvoria ľavotočivý). takže,

Príklad 3. Vektory majú dĺžku 80 a 50 cm a zvierajú uhol 30°. Ak použijete meter ako jednotku dĺžky, nájdite dĺžku vektorového súčinu a

Riešenie. Plocha rovnobežníka postaveného na vektoroch sa rovná Dĺžka požadovaného vektorového produktu sa rovná

Príklad 4. Nájdite dĺžku vektorového súčinu tých istých vektorov, pričom ako jednotku dĺžky vezmite centimetre.

Riešenie. Pretože plocha rovnobežníka postaveného na vektoroch je rovnaká, dĺžka vektorového súčinu sa rovná 2000 cm, t.j.

Z porovnania príkladov 3 a 4 je zrejmé, že dĺžka vektora závisí nielen od dĺžok faktorov, ale aj od voľby jednotky dĺžky.

Fyzikálny význam vektorového produktu. Z mnohých fyzikálnych veličín, reprezentovaný vektorovým súčinom, uvažujeme len moment sily.

Nech A je bod pôsobenia sily Moment sily vzhľadom na bod O sa nazýva vektorový súčin, pretože modul tohto vektorového súčinu sa numericky rovná ploche rovnobežníka (obr. 157). modul momentu sa rovná súčinu základne a výšky, t.j. sily vynásobenej vzdialenosťou od bodu O k priamke, pozdĺž ktorej sila pôsobí.

V mechanike je dokázané, že pre rovnováhu pevný Je potrebné, aby sa nule rovnal nielen súčet vektorov reprezentujúcich sily pôsobiace na teleso, ale aj súčet momentov síl. V prípade, že sú všetky sily rovnobežné s jednou rovinou, možno sčítanie vektorov reprezentujúcich momenty nahradiť sčítaním a odčítaním ich veľkostí. Ale pri ľubovoľných smeroch síl je takáto náhrada nemožná. V súlade s tým je vektorový produkt definovaný presne ako vektor a nie ako číslo.

7.1. Definícia krížového produktu

Tri nekoplanárne vektory a, b a c v uvedenom poradí tvoria pravotočivý triplet, ak od konca tretieho vektora c najkratší obrat z prvého vektora a do druhého vektora b byť proti smeru hodinových ručičiek a ľavotočivá trojica v smere hodinových ručičiek (pozri obr. 16).

Vektorový súčin vektora a a vektora b sa nazýva vektor c, ktorý:

1. Kolmo na vektory a a b, teda c ^ a a c ^ b;

2. Má dĺžku, ktorá sa číselne rovná ploche rovnobežníka skonštruovaného na vektoroch a ab ako na bokoch (pozri obr. 17), t.j.

3. Vektory a, b a c tvoria pravotočivú trojicu.

Krížový súčin sa označuje axb alebo [a,b]. Nasledujúce vzťahy medzi jednotkovými vektormi priamo vyplývajú z definície vektorového súčinu: j A k(pozri obr. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokážme to napríklad i xj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, ale | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektory i, ja k tvoria pravú trojicu (pozri obr. 16).

7.2. Vlastnosti krížového produktu

1. Pri preusporiadaní faktorov vektorový súčin zmeny znamienka, t.j. a xb = (b xa) (pozri obr. 19).

Vektory a xb a b xa sú kolineárne, majú rovnaké moduly (plocha rovnobežníka zostáva nezmenená), ale sú opačne orientované (trojice a, b, a xb a a, b, b x a opačnej orientácie). Teda axb = -(b xa).

2. Vektorový súčin má kombinačná vlastnosť vzhľadom na skalárny faktor, t.j. l ​​(a xb) = (la) x b = a x (l b).

Nech l >0. Vektor l (a xb) je kolmý na vektory a a b. vektor ( l a)x b je tiež kolmá na vektory a a b(vektory a, l ale ležia v rovnakej rovine). To znamená, že vektory l(a xb) a ( l a)x b kolineárne. Je zrejmé, že ich smery sa zhodujú. Majú rovnakú dĺžku:

Preto l(a xb)= l a xb. Dokazuje sa to podobným spôsobom pre l<0.

3. Dva nenulové vektory a a b sú kolineárne vtedy a len vtedy, ak sa ich vektorový súčin rovná nulovému vektoru, t.j. a ||b<=>a xb = 0.

Konkrétne i*i=j*j=k*k=0.

4. Vektorový súčin má distribučnú vlastnosť:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Prijmeme bez dôkazu.

7.3. Vyjadrenie krížového súčinu pomocou súradníc

Použijeme tabuľku krížových súčinov vektorov i, j a k:

ak sa smer najkratšej cesty z prvého vektora do druhého zhoduje so smerom šípky, potom sa súčin rovná tretiemu vektoru, ak sa nezhoduje, tretí vektor sa berie so znamienkom mínus.

Nech sú dané dva vektory a =a x i +a y j+a z k a b = b x i+b y j+b z k. Nájdite vektorový súčin týchto vektorov ich vynásobením ako polynómy (podľa vlastností vektorového súčinu):

Výsledný vzorec možno napísať ešte stručnejšie:

keďže pravá strana rovnosti (7.1) zodpovedá rozšíreniu determinantu tretieho rádu z hľadiska prvkov prvého riadku Rovnosť (7.2) je ľahko zapamätateľná.

7.4. Niektoré aplikácie krížového produktu

Stanovenie kolinearity vektorov

Nájdenie oblasti rovnobežníka a trojuholníka

Podľa definície vektorového súčinu vektorov A a b |a xb | =|a | * |b |sin g, teda S párov = |a x b |. A preto D S = 1/2|a x b |.

Určenie momentu sily okolo bodu

Nech v bode A pôsobí sila F = AB nechaj to tak O- nejaký bod v priestore (pozri obr. 20).

Z fyziky je známe, že moment sily F vzhľadom na bod O nazývaný vektor M, ktorý prechádza cez bod O a:

1) kolmo na rovinu prechádzajúcu bodmi O, A, B;

2) číselne sa rovná súčinu sily na rameno

3) tvorí pravú trojicu s vektormi OA a A B.

Preto M = OA x F.

Nájdenie lineárnej rýchlosti otáčania

Rýchlosť v bod M tuhého telesa rotujúceho uhlovou rýchlosťou w okolo pevnej osi, je určený Eulerovým vzorcom v =w xr, kde r =OM, kde O je nejaký pevný bod osi (pozri obr. 21).

V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve operácie s vektormi: vektorový súčin vektorov A zmiešaný súčin vektorov (okamžitý odkaz pre tých, ktorí to potrebujú). To je v poriadku, niekedy sa stane, že pre úplné šťastie, navyše skalárny súčin vektorov, sú potrebné ďalšie a ďalšie. Toto je vektorová závislosť. Môže sa zdať, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. Toto je nesprávne. V tejto časti vyššej matematiky je vo všeobecnosti málo dreva, možno až na Pinocchia. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva komplikovanejší ako ten istý skalárny produkt, bude dokonca menej typických úloh. Hlavná vec v analytickej geometrii, ako sa mnohí presvedčia alebo už presvedčili, je NEROBIŤ CHYBY VO VÝPOČTOCH. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)

Ak niekde ďaleko zažiaria vektory ako blesky na obzore, nevadí, začnite s lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo znovu získať základné vedomosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu zoznámiť s informáciami selektívne. Snažil som sa zhromaždiť čo najkompletnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často vyskytujú v praktickej práci

Čo vás hneď poteší? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvoma a dokonca aj s tromi loptičkami. Dobre to dopadlo. Teraz už nebudete musieť vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a ploché vektory s dvoma súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie – vektor a zmiešaný súčin vektorov sú definované a fungujú v trojrozmernom priestore. Už je to jednoduchšie!

Táto operácia, rovnako ako skalárny súčin, zahŕňa dva vektory. Nech sú to nezničiteľné písmená.

Samotná akcia označené nasledujúcim spôsobom: . Existujú aj iné možnosti, ale ja som zvyknutý označovať vektorový súčin vektorov týmto spôsobom v hranatých zátvorkách s krížikom.

A hneď otázka: ak je v skalárny súčin vektorov sú zapojené dva vektory a tu sa teda dva vektory tiež vynásobia v čom je rozdiel? Zjavný rozdiel je predovšetkým vo VÝSLEDKU:

Výsledkom skalárneho súčinu vektorov je ČÍSLO:

Výsledkom krížového súčinu vektorov je VEKTOR: , čiže vektory vynásobíme a opäť dostaneme vektor. Uzavretý klub. Odtiaľ vlastne pochádza aj názov operácie. V rôznej náučnej literatúre sa môžu líšiť aj označenia budem používať písm.

Definícia krížového produktu

Najprv bude definícia s obrázkom, potom komentáre.

Definícia: Vektorový produkt nekolineárne vektory, prijaté v tomto poradí, s názvom VECTOR, dĺžkačo je číselne rovná ploche rovnobežníka, postavený na týchto vektoroch; vektor ortogonálne k vektorom a je nasmerovaný tak, aby základ mal správnu orientáciu:

Poďme si rozobrať definíciu, je tu veľa zaujímavých vecí!

Preto je možné zdôrazniť nasledujúce dôležité body:

1) Pôvodné vektory označené červenými šípkami podľa definície nie kolineárne. O niečo neskôr bude vhodné zvážiť prípad kolineárnych vektorov.

2) Zoberú sa vektory v presne stanovenom poradí: – "a" sa vynásobí "byť" a nie „byť“ s „a“. Výsledok násobenia vektorov je VEKTOR, ktorý je označený modrou farbou. Ak sa vektory vynásobia v opačnom poradí, získame vektor rovnakej dĺžky a opačného smeru (malinová farba). To znamená, že rovnosť je pravdivá .

3) Teraz sa zoznámime s geometrickým významom vektorového súčinu. Toto je veľmi dôležitý bod! DĹŽKA modrého vektora (a teda karmínového vektora) sa číselne rovná PLOHE rovnobežníka postaveného na vektoroch. Na obrázku je tento rovnobežník zatienený čiernou farbou.

Poznámka : výkres je schematický a nominálna dĺžka vektorového produktu sa prirodzene nerovná ploche rovnobežníka.

Pripomeňme si jeden z geometrických vzorcov: Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu susedných strán a sínusu uhla medzi nimi. Preto na základe vyššie uvedeného platí vzorec na výpočet DĹŽKY vektorového produktu:

Zdôrazňujem, že vzorec je o DĹŽKE vektora, a nie o vektore samotnom. Aký je praktický význam? A význam je, že v problémoch analytickej geometrie sa oblasť rovnobežníka často nachádza prostredníctvom konceptu vektorového produktu:

Získame druhý dôležitý vzorec. Uhlopriečka rovnobežníka (červená bodkovaná čiara) ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky. Preto oblasť trojuholníka postavená na vektoroch (červené tieňovanie) možno nájsť pomocou vzorca:

4) Nemenej dôležitým faktom je, že vektor je k vektorom ortogonálny, tzn . Opačný vektor (malinová šípka) je samozrejme tiež ortogonálny k pôvodným vektorom.

5) Vektor smeruje tak, že základ Má správny orientácia. V lekcii o prechod na nový základ Hovoril som dostatočne podrobne o rovinná orientácia a teraz zistíme, aká je orientácia v priestore. Vysvetlím na vašich prstoch pravá ruka. Mentálne kombinovať ukazovák s vektorom a prostredník s vektorom. Prstenník a malíček stlačte ho do dlane. Ako výsledok palec– vektorový produkt sa vyhľadá. Toto je správne orientovaný základ (je to tento na obrázku). Teraz zmeňte vektory ( ukazovákom a prostredníkom) na niektorých miestach sa palec otočí a vektorový súčin sa už bude pozerať nadol. To je tiež správne orientovaný základ. Môžete mať otázku: ktorý základ opustil orientáciu? „Priradiť“ rovnakým prstom ľavá ruka vektory a získajte ľavú základňu a ľavú orientáciu priestoru (v tomto prípade bude palec umiestnený v smere spodného vektora). Obrazne povedané, tieto základy „krútia“ alebo orientujú priestor v rôznych smeroch. A tento koncept by sa nemal považovať za niečo pritiahnuté za vlasy alebo abstraktné - napríklad orientácia priestoru sa zmení najbežnejším zrkadlom a ak „vytiahnete odrazený objekt zo zrkadla“, potom to vo všeobecnosti nebude možné kombinovať s „originálom“. Mimochodom, držte tri prsty hore k zrkadlu a analyzujte odraz ;-)

...aké je dobré, že o tom teraz viete orientované vpravo a vľavo základy, lebo vyjadrenia niektorých lektorov o zmene orientácie sú desivé =)

Krížový súčin kolineárnych vektorov

Definícia bola podrobne prediskutovaná, zostáva zistiť, čo sa stane, keď sú vektory kolineárne. Ak sú vektory kolineárne, potom môžu byť umiestnené na jednej priamke a náš rovnobežník sa tiež „zloží“ do jednej priamky. Oblasť takých, ako hovoria matematici, degenerovať rovnobežník sa rovná nule. To isté vyplýva zo vzorca - sínus nuly alebo 180 stupňov sa rovná nule, čo znamená, že plocha je nula

Teda ak , tak . Presne povedané, samotný vektorový súčin sa rovná nulovému vektoru, ale v praxi sa to často zanedbáva a píše sa, že sa jednoducho rovná nule.

Špeciálnym prípadom je vektorový súčin vektora so sebou samým:

Pomocou vektorového súčinu môžete skontrolovať kolinearitu trojrozmerných vektorov a okrem iného budeme analyzovať aj tento problém.

Na riešenie praktických príkladov budete možno potrebovať trigonometrická tabuľka nájsť z neho hodnoty sínusov.

No, zapálime oheň:

Príklad 1

a) Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov ak

b) Nájdite oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nie, toto nie je preklep, schválne som urobil rovnaké počiatočné údaje vo vetách podmienky. Pretože dizajn riešení bude iný!

a) Podľa stavu musíte nájsť dĺžka vektor (krížový produkt). Podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

Keďže otázka sa týkala dĺžky, v odpovedi uvádzame rozmer – jednotky.

b) Podľa stavu treba nájsť námestie rovnobežník postavený na vektoroch. Plocha tohto rovnobežníka sa číselne rovná dĺžke vektorového produktu:

Odpoveď:

Upozorňujeme, že odpoveď vôbec nehovorí o vektorovom produkte, na ktorý sme sa pýtali oblasť postavy, teda rozmer je štvorcových jednotiek.

Vždy sa pozeráme na to, ČO potrebujeme nájsť podľa podmienky a na základe toho formulujeme jasný odpoveď. Môže sa to zdať ako doslovnosť, ale medzi učiteľmi je dosť doslovníkov a zadanie má veľkú šancu vrátiť sa na prepracovanie. Aj keď to nie je príliš pritiahnutá hádka – ak je odpoveď nesprávna, človek má dojem, že daný človek nerozumie jednoduchým veciam a/alebo nepochopil podstatu úlohy. Tento bod treba mať vždy pod kontrolou pri riešení akéhokoľvek problému vo vyššej matematike, ale aj v iných predmetoch.

Kam zmizlo veľké písmeno „en“? V zásade to mohlo byť dodatočne priložené k riešeniu, ale v záujme skrátenia zápisu som to neurobil. Dúfam, že to každý chápe a je to označenie pre to isté.

Populárny príklad riešenia DIY:

Príklad 2

Nájdite oblasť trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka cez vektorový produkt je uvedený v komentároch k definícii. Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie.

V praxi je úloha skutočne veľmi bežná, trojuholníky vás môžu vo všeobecnosti potrápiť.

Na vyriešenie ďalších problémov budeme potrebovať:

Vlastnosti vektorového súčinu vektorov

Niektoré vlastnosti vektorového súčinu sme už zvažovali, do tohto zoznamu ich však zaradím.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) V iných zdrojoch informácií táto položka zvyčajne nie je zvýraznená vo vlastnostiach, ale z praktického hľadiska je veľmi dôležitá. Tak nech je.

2) – o majetku sa hovorí aj vyššie, niekedy je tzv antikomutatívnosť. Inými slovami, na poradí vektorov záleží.

3) – priraďovacie resp asociatívne zákony o vektorových produktoch. Konštanty sa dajú ľahko presunúť mimo vektorového súčinu. Ozaj, čo by tam mali robiť?

4) – distribúcia resp distributívny zákony o vektorových produktoch. Problémy nie sú ani s otváraním držiakov.

Aby sme to demonštrovali, pozrime sa na krátky príklad:

Príklad 3

Nájdite ak

Riešenie: Podmienka opäť vyžaduje zistenie dĺžky vektorového súčinu. Namaľujeme si našu miniatúru:

(1) Podľa asociatívnych zákonov berieme konštanty mimo rozsah vektorového súčinu.

(2) Konštantu presunieme mimo modul a modul „zožerie“ znamienko mínus. Dĺžka nemôže byť záporná.

(3) Zvyšok je jasný.

Odpoveď:

Je čas pridať viac dreva do ohňa:

Príklad 4

Vypočítajte obsah trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nájdite oblasť trojuholníka pomocou vzorca . Háčik je v tom, že samotné vektory „tse“ a „de“ sú prezentované ako súčty vektorov. Algoritmus je tu štandardný a trochu pripomína príklady č. 3 a 4 z lekcie Bodový súčin vektorov. Pre prehľadnosť rozdelíme riešenie do troch etáp:

1) V prvom kroku vyjadríme vektorový produkt prostredníctvom vektorového produktu, v skutočnosti, vyjadrime vektor pomocou vektora. O dĺžkach zatiaľ ani slovo!

(1) Náhradné výrazy za vektory.

(2) Pomocou distributívnych zákonov otvárame zátvorky podľa pravidla násobenia polynómov.

(3) Pomocou asociatívnych zákonov presunieme všetky konštanty za vektorové súčiny. S trochou skúseností možno kroky 2 a 3 vykonať súčasne.

(4) Prvý a posledný člen sa rovnajú nule (nulový vektor) kvôli vlastnosti nice. V druhom člene využívame vlastnosť antikomutatívnosti vektorového súčinu:

(5) Uvádzame podobné výrazy.

V dôsledku toho sa ukázalo, že vektor je vyjadrený prostredníctvom vektora, čo bolo potrebné na dosiahnutie:

2) V druhom kroku nájdeme dĺžku vektorového súčinu, ktorý potrebujeme. Táto akcia je podobná ako v príklade 3:

3) Nájdite oblasť požadovaného trojuholníka:

Fázy 2-3 riešenia mohli byť napísané v jednom riadku.

Odpoveď:

Uvažovaný problém je v testoch celkom bežný, tu je príklad, ako ho vyriešiť sami:

Príklad 5

Nájdite ak

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny. Pozrime sa, aký pozorný ste boli pri štúdiu predchádzajúcich príkladov ;-)

Krížový súčin vektorov v súradniciach

Vzorec je naozaj jednoduchý: do horného riadku determinantu napíšeme súradnicové vektory, do druhého a tretieho riadku „vložíme“ súradnice vektorov a dáme v prísnom poradí– najprv súradnice vektora „ve“, potom súradnice vektora „double-ve“. Ak je potrebné vektory vynásobiť v inom poradí, riadky by sa mali vymeniť:

Príklad 10

Skontrolujte, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:
A)
b)

Riešenie: Kontrola je založená na jednom z tvrdení v tejto lekcii: ak sú vektory kolineárne, ich vektorový súčin sa rovná nule (nulový vektor): .

a) Nájdite vektorový súčin:

Vektory teda nie sú kolineárne.

b) Nájdite vektorový súčin:

Odpoveď: a) nie kolineárne, b)

Tu sú snáď všetky základné informácie o vektorovom súčine vektorov.

Táto časť nebude príliš veľká, pretože existuje len málo problémov, kde sa používa zmiešaný súčin vektorov. V skutočnosti bude všetko závisieť od definície, geometrického významu a niekoľkých pracovných vzorcov.

Zmiešaný súčin vektorov je súčinom troch vektorov:

Zoradili sa teda ako vlak a nevedia sa dočkať, kedy budú identifikovaní.

Najprv opäť definícia a obrázok:

Definícia: Zmiešaná práca nekoplanárne vektory, prijaté v tomto poradí, volal objem rovnobežnostenu, postavené na týchto vektoroch, vybavené znamienkom „+“, ak je základ pravý, a znamienkom „–“, ak je základ ľavý.

Urobme kresbu. Pre nás neviditeľné čiary sú nakreslené bodkovanými čiarami:

Poďme sa ponoriť do definície:

2) Zoberú sa vektory v určitom poradí, to znamená, že preskupenie vektorov v produkte, ako by ste mohli hádať, neprebehne bez následkov.

3) Pred komentovaním geometrického významu si všimnem zrejmú skutočnosť: zmiešaný súčin vektorov je ČÍSLO: . V náučnej literatúre môže byť dizajn mierne odlišný. Zmiešaný produkt zvyknem označovať a výsledok výpočtov písmenom „pe“.

A-priorstvo zmiešaný produkt je objem kvádra, postavený na vektoroch (postava je nakreslená červenými vektormi a čiernymi čiarami). To znamená, že číslo sa rovná objemu daného rovnobežnostena.

Poznámka : Výkres je schematický.

4) Netrápme sa znova konceptom orientácie základne a priestoru. Význam záverečnej časti je, že k objemu možno pridať znamienko mínus. Jednoducho povedané, zmiešaný produkt môže byť negatívny: .

Priamo z definície vyplýva vzorec na výpočet objemu kvádra postaveného na vektoroch.