Príklad 1

Referencia: Nasledujúce spôsoby zápisu funkcie sú ekvivalentné: V niektorých úlohách je vhodné označiť funkciu ako „hra“ a v iných ako „ef z x“.

Najprv nájdeme derivát:

Príklad 2

Vypočítajte deriváciu funkcie v bode

, , úplný výskum funkcie atď.

Príklad 3

Vypočítajte deriváciu funkcie v bode. Najprv nájdime derivát:

No to je úplne iná vec. Vypočítajme hodnotu derivácie v bode:

Ak nerozumiete, ako bola derivácia nájdená, vráťte sa k prvým dvom lekciám témy. Ak máte nejaké ťažkosti (neporozumenie) s arkustangentom a jeho významom, Nevyhnutne štúdium metodický materiál Grafy a vlastnosti elementárne funkcie – úplne posledný odsek. Pretože arctangentov na študentský vek je stále dosť.

Príklad 4

Vypočítajte deriváciu funkcie v bode.

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie

Na konsolidáciu predchádzajúceho odseku zvážte problém nájdenia dotyčnice k funkčný graf v tomto bode. S touto úlohou sme sa stretli v škole a objavuje sa aj v kurze. vyššia matematika.

Pozrime sa na najjednoduchší „demonštračný“ príklad.

Napíšte rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie v bode úsečky. Hneď to prinesiem grafické riešenieúlohy (v praxi to vo väčšine prípadov nie je potrebné):

Presná definícia dotyčnice je uvedená pomocou definícia derivácie funkcie, ale zatiaľ zvládneme technickú časť problematiky. Určite takmer každý intuitívne chápe, čo je tangenta. Ak to vysvetlíte „na prstoch“, potom dotyčnica ku grafu funkcie je rovno, ktorá sa týka grafu funkcie v jediný bod. V tomto prípade sú všetky blízke body úsečky umiestnené čo najbližšie ku grafu funkcie.

Ako v našom prípade: v dotyčnici (štandardný zápis) sa graf funkcie dotýka v jednom bode.

A našou úlohou je nájsť rovnicu priamky.

Derivácia funkcie v bode

Ako nájsť deriváciu funkcie v bode? Zo znenia vyplývajú dva zrejmé body tejto úlohy:

1) Je potrebné nájsť deriváciu.

2) Je potrebné vypočítať hodnotu derivácie v danom bode.

Príklad 1

Vypočítajte deriváciu funkcie v bode

Pomoc: Nasledujúce spôsoby zápisu funkcie sú ekvivalentné:


V niektorých úlohách je vhodné označiť funkciu ako „hra“ a v iných ako „ef z x“.

Najprv nájdeme derivát:

Dúfam, že mnohí si už zvykli nachádzať takéto deriváty ústne.

V druhom kroku vypočítame hodnotu derivácie v bode:

Malý príklad na zahriatie, ako to vyriešiť sami:

Príklad 2

Vypočítajte deriváciu funkcie v bode

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Potreba nájsť deriváciu v bode vzniká pri týchto úlohách: zostrojenie dotyčnice ku grafu funkcie (ďalší odsek), štúdium funkcie pre extrém , štúdium funkcie na skloňovanie grafu , plne funkčné štúdium atď.

Ale predmetná úloha sa vyskytuje v testy a sám od seba. A spravidla je v takýchto prípadoch daná funkcia pomerne zložitá. V tejto súvislosti sa pozrime na ďalšie dva príklady.

Príklad 3

Vypočítajte deriváciu funkcie v bode .
Najprv nájdime derivát:

Derivát bol v zásade nájdený a môžete nahradiť požadovanú hodnotu. Ale naozaj sa mi nechce nič robiť. Výraz je veľmi dlhý a význam „x“ je zlomkový. Preto sa snažíme náš derivát čo najviac zjednodušiť. IN v tomto prípade skúsme viesť k spoločný menovateľ posledné tri termíny: v bode .

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.

Ako zistiť hodnotu derivácie funkcie F(x) v bode Xo? Ako to vôbec riešite?

Ak je daný vzorec, nájdite deriváciu a nahraďte X-nula namiesto X. Vypočítajte
Ak hovoríme o o b-8 Jednotná štátna skúška, graf, potom musíte nájsť dotyčnicu uhla (ostrého alebo tupého), ktorý tvorí dotyčnica k osi X (pomocou mentálnej konštrukcie pravouhlého trojuholníka a určením dotyčnice uhla)

Timur Adilkhodzhaev

Najprv sa musíte rozhodnúť pre znamenie. Ak je bod x0 na dne súradnicová rovina, potom znamienko v odpovedi bude mínus, a ak je vyššie, potom +.
Po druhé, musíte vedieť, v čom sú rozdiely obdĺžnikový obdĺžnik. A to je pomer opačnej strany (nohy) k priľahlá strana(aj nohu). Na maľbe je zvyčajne niekoľko čiernych škvŕn. Z týchto značiek urobíte správny trojuholník a nájdete tangens.

Ako zistiť hodnotu derivácie funkcie f x v bode x0?

IN všeobecný prípad Aby ste v ktoromkoľvek bode našli hodnotu derivácie ľubovoľnej funkcie vzhľadom na nejakú premennú, musíte danú funkciu vzhľadom na túto premennú diferencovať. Vo vašom prípade premennou X. Vo výslednom výraze namiesto X dajte hodnotu X v bode, pre ktorý potrebujete nájsť hodnotu derivácie, t.j. vo vašom prípade dosaďte nulu X a vypočítajte výsledný výraz.

Nuž, vaša túžba porozumieť tejto problematike si podľa mňa nepochybne zaslúži +, ktoré dávam s čistým svedomím.

Táto formulácia problému nájdenia derivátu sa často kladie na konsolidáciu materiálu geometrický význam derivát. Navrhuje sa graf určitej funkcie, úplne ľubovoľný a nie daný rovnicou a musíte nájsť hodnotu derivátu (nie samotného derivátu, pozor!) v určenom bode X0. Na tento účel zostrojte dotyčnicu k danú funkciu a nájde body jeho priesečníkov so súradnicovými osami. Potom sa rovnica tejto dotyčnice zostaví v tvare y=кx+b.

V tejto rovnici bude koeficient k a hodnota derivácie. Ostáva už len nájsť hodnotu koeficientu b. Aby sme to dosiahli, nájdeme hodnotu y v x = o, nech sa rovná 3 - to je hodnota koeficientu b. Nahradiť v pôvodná rovnica hodnoty X0 a Y0 a nájdite k - našu hodnotu derivácie v tomto bode.

Ukázanie súvislosti medzi znamienkom derivácie a povahou monotónnosti funkcie.

Prosím, buďte veľmi opatrní pri nasledujúcich veciach. Pozri, rozvrh ČOHO ti je daný! Funkcia alebo jej derivát

Ak je daný graf derivácie, potom nás budú zaujímať len znamienka a nuly funkcie. V zásade nás nezaujímajú žiadne „kopce“ alebo „dutiny“!

Úloha 1.

Na obrázku je znázornený graf funkcie definovanej na intervale. Určte počet celočíselných bodov, v ktorých je derivácia funkcie záporná.

Riešenie:

Na obrázku sú farebne zvýraznené oblasti klesajúcej funkcie:

Tieto klesajúce oblasti funkcie obsahujú 4 celočíselné hodnoty.

Úloha 2.

Na obrázku je znázornený graf funkcie definovanej na intervale. Nájdite počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s priamkou alebo sa s ňou zhoduje.

Riešenie:

Akonáhle je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná (alebo sa zhoduje) s priamkou (alebo, čo je tá istá vec), ktorá má sklon , rovná nule, potom má aj dotyčnica uhlový koeficient.

To zase znamená, že dotyčnica je rovnobežná s osou, pretože sklon je dotyčnica uhla sklonu dotyčnice k osi.

Na grafe teda nájdeme extrémne body (maximálne a minimálne body) – práve v týchto bodoch budú funkcie dotýkajúce sa grafu rovnobežné s osou.

Existujú 4 také body.

Úloha 3.

Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie definovanej na intervale. Nájdite počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s priamkou alebo sa s ňou zhoduje.

Riešenie:

Keďže dotyčnica ku grafu funkcie je rovnobežná (alebo sa zhoduje) s priamkou, ktorá má sklon, potom má aj dotyčnica sklon.

To zase znamená, že na dotykových bodoch.

Preto sa pozrieme na to, koľko bodov na grafe má súradnicu rovnú .

Ako vidíte, existujú štyri takéto body.

Úloha 4.

Na obrázku je znázornený graf funkcie definovanej na intervale. Nájdite počet bodov, v ktorých je derivácia funkcie 0.

Riešenie:

Derivácia sa rovná nule v extrémnych bodoch. Máme ich 4:

Úloha 5.

Na obrázku je znázornený graf funkcie a jedenásť bodov na osi x:. V koľkých z týchto bodov je derivácia funkcie záporná?

Riešenie:

Na intervaloch klesajúcej funkcie naberá jej derivácia záporné hodnoty. A funkcia v bodoch klesá. Existujú 4 také body.

Úloha 6.

Na obrázku je znázornený graf funkcie definovanej na intervale. Nájdite súčet extrémnych bodov funkcie.

Riešenie:

Extrémne body– ide o maximálny počet bodov (-3, -1, 1) a minimálny počet bodov (-2, 0, 3).

Súčet extrémnych bodov: -3-1+1-2+0+3=-2.

Úloha 7.

Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie definovanej na intervale. Nájdite intervaly nárastu funkcie. Vo svojej odpovedi uveďte súčet celočíselných bodov zahrnutých v týchto intervaloch.

Riešenie:

Obrázok ukazuje intervaly, v ktorých je derivácia funkcie nezáporná.

Na malom rastúcom intervale nie sú žiadne celočíselné body na rastúcom intervale sú štyri celočíselné hodnoty: , , a .

Ich súčet:

Úloha 8.

Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie definovanej na intervale. Nájdite intervaly nárastu funkcie. Vo svojej odpovedi uveďte dĺžku najväčšieho z nich.

Riešenie:

Na obrázku sú všetky intervaly, na ktorých je derivácia kladná, farebne zvýraznené, čo znamená, že samotná funkcia sa na týchto intervaloch zvyšuje.

Dĺžka najväčšieho z nich je 6.

Úloha 9.

Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie definovanej na intervale. V ktorom bode segmentu nadobúda najväčšiu hodnotu?

Riešenie:

Pozrime sa, ako sa graf správa na segmente, čo nás zaujíma iba znamienko derivátu .

Znamienko derivácie je mínus, pretože graf na tomto segmente je pod osou.

Obsah článku

DERIVÁT– derivácia funkcie r = f(X), daný v určitom intervale ( a, b) v bode X tohto intervalu sa nazýva hranica, ku ktorej smeruje pomer prírastku funkcie f v tomto bode na zodpovedajúci prírastok argumentu, keď má prírastok argumentu tendenciu k nule.

Derivát sa zvyčajne označuje takto:

Iné označenia sú tiež široko používané:

Okamžitá rýchlosť.

Nechajte bod M sa pohybuje v priamom smere. Vzdialenosť s pohyblivý bod, počítaný od nejakej počiatočnej polohy M 0 , závisí od času t, t.j. s existuje funkcia času t: s= f(t). Nech v určitom okamihu t pohyblivý bod M bol na diaľku s od počiatočná poloha M 0 a v ďalšom okamihu t+D t sa ocitla v pozícii M 1 - na diaľku s+D s z počiatočnej polohy ( pozri obr.).

Takže v priebehu času D t vzdialenosť s zmenené o sumu D s. V tomto prípade hovoria, že počas obdobia D t rozsah s dostal prírastok D s.

Priemerná rýchlosť nemôže vo všetkých prípadoch presne charakterizovať rýchlosť pohybu bodu M v určitom časovom bode t. Ak napríklad teleso na začiatku intervalu D t pohyboval sa veľmi rýchlo a na konci veľmi pomaly priemerná rýchlosť nebude schopný odrážať špecifikované vlastnosti pohybu bodu a poskytnúť predstavu o skutočnej rýchlosti jeho pohybu v súčasnosti t. Ak chcete presnejšie vyjadriť skutočnú rýchlosť pomocou priemernej rýchlosti, musíte použiť kratší časový úsek D t. Najviac plne charakterizuje rýchlosť pohybu bodu v súčasnosti t limit, ku ktorému sa priemerná rýchlosť približuje pri D t® 0. Táto hranica sa nazýva rýchlosť pohybu v tento moment:

Rýchlosť pohybu v danom momente sa teda nazýva hranica pomeru prírastku dráhy D s do časového prírastku D t, kedy má časový prírastok tendenciu k nule. Pretože

Geometrický význam derivácie. Tangenta ku grafu funkcie.

Konštrukcia dotyčníc je jedným z problémov, ktoré viedli k zrodu diferenciálneho počtu. Prvá publikovaná práca týkajúca sa diferenciálneho počtu a peruánsky Leibniz mal meno Nová metóda maximá a minimá, ako aj dotyčnice, pre ktoré nie sú prekážkou ani zlomkové, ani iracionálne veličiny a na to špeciálny typ kalkulu.

Nech krivka je grafom funkcie r =f(X) V pravouhlý systém súradnice ( cm. ryža.).

V nejakej hodnote X na funkcii záleží r =f(X). Tieto hodnoty X A r bod na krivke zodpovedá M 0(X, r). Ak argument X dať prírastok D X, potom nová hodnota argumentu X+D X zodpovedá novej hodnote funkcie y+ D r = f(X + D X). Zodpovedajúci bod krivky bude bod M 1(X+D X,r+D r). Ak nakreslíte seč M 0M 1 a označené j uhol tvorený priečkou s kladným smerom osi Vôl, z obrázku je hneď zrejmé, že .

Ak teraz D X má tendenciu k nule, potom bod M 1 sa pohybuje po krivke a približuje sa k bodu M 0 a uhol j zmeny s D X. o Dx® 0 uhol j smeruje k určitej hranici a a priamka prechádzajúca bodom M 0 a komponent s kladným smerom osi x, uhol a, bude požadovaná dotyčnica. Jeho sklon je:

teda f´( X) = tga

tie. derivátová hodnota f´( X) pri daná hodnota argument X sa rovná dotyčnici uhla, ktorý tvorí dotyčnica ku grafu funkcie f(X) v príslušnom bode M 0(X,r) s kladným smerom osi Vôl.

Diferencovateľnosť funkcií.

Definícia. Ak je funkcia r = f(X) má v bode deriváciu X = X 0, potom je funkcia v tomto bode diferencovateľná.

Spojitosť funkcie s deriváciou. Veta.

Ak je funkcia r = f(X) je v určitom bode rozlíšiteľné X = X 0, potom je v tomto bode spojitá.

Funkcia teda nemôže mať deriváciu v bodoch diskontinuity. Nesprávny je opačný záver, t.j. zo skutočnosti, že v určitom okamihu X = X 0 funkcia r = f(X) je spojitý neznamená, že je v tomto bode diferencovateľný. Napríklad funkcia r = |X| nepretržite pre každého X(–Ґ x x = 0 nemá žiadnu deriváciu. V tomto bode neexistuje dotyčnica ku grafu. Existuje pravá a ľavá dotyčnica, ale nezhodujú sa.

Niektoré vety o diferencovateľných funkciách. Veta o koreňoch derivácie (Rolleova veta). Ak je funkcia f(X) je na segmente súvislá [a,b], je diferencovateľný vo všetkých vnútorné body tohto segmentu a na koncoch X = a A X = b ide na nulu ( f(a) = f(b) = 0), potom vnútri segmentu [ a,b] je tam aspoň jeden bod X= s, a c b, v ktorom je derivát fў( X) ide na nulu, t.j. fў( c) = 0.

Veta o konečnom prírastku (Lagrangeova veta). Ak je funkcia f(X) je spojitý na intervale [ a, b] a je diferencovateľná vo všetkých vnútorných bodoch tohto segmentu, potom vo vnútri segmentu [ a, b] je tam aspoň jeden bod s, a c b to

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Veta o pomere prírastkov dvoch funkcií (Cauchyho veta). Ak f(X) A g(X) – dve funkcie súvislé na segmente [a, b] a diferencovateľné vo všetkých vnútorných bodoch tohto segmentu, a gў( X) nezmizne nikde v tomto segmente, potom vo vnútri segmentu [ a, b] je taký bod X = s, a c b to

Deriváty rôznych rádov.

Nechajte funkciu r =f(X) je diferencovateľný na určitom intervale [ a, b]. Odvodené hodnoty f ў( X), vo všeobecnosti závisí od X, t.j. derivát f ў( X) je tiež funkciou X. Pri derivácii tejto funkcie získame takzvanú druhú deriváciu funkcie f(X), ktorý je označený f ўў ( X).

Derivát n- funkčného rádu f(X) sa nazýva derivát (prvého rádu) derivátu n- 1- a je označený symbolom r(n) = (r(n– 1))ў.

Diferenciály rôznych rádov.

Funkčný diferenciál r = f(X), Kde X– nezávislá premenná, áno D Y = f ў( X)dx, nejaká funkcia z X, ale od X môže závisieť iba prvý faktor f ў( X), druhý faktor ( dx) je prírastok nezávislej premennej X a nezávisí od hodnoty tejto premennej. Pretože D Y existuje funkcia od X, potom môžeme určiť diferenciál tejto funkcie. Diferenciál diferenciálu funkcie sa nazýva druhý diferenciál alebo diferenciál druhého rádu tejto funkcie a označuje sa d 2r:

d(dx) = d 2r = f ўў( X)(dx) 2 .

Diferenciál n- prvého rádu sa nazýva prvý diferenciál diferenciálu n- 1- poradie:

d n y = d(d n–1r) = f(n)(X)dx(n).

Čiastočná derivácia.

Ak funkcia nezávisí od jedného, ​​ale od viacerých argumentov x i(i sa pohybuje od 1 do n,i= 1, 2,… n),f(X 1,X 2,… x n), potom dovnútra diferenciálny počet zavádza sa pojem parciálnej derivácie, ktorý charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie viacerých premenných, keď sa zmení len jeden argument, napr. x i. Čiastočná derivácia 1. rádu vzhľadom na x i je definovaný ako obyčajný derivát a predpokladá sa, že všetky argumenty okrem x i, uložiť konštantné hodnoty. Pre parciálne derivácie sa zavádza zápis

Takto definované parciálne derivácie 1. rádu (ako funkcie tých istých argumentov) môžu mať zasa aj parciálne derivácie, ide o parciálne derivácie 2. rádu atď. Takéto deriváty prevzaté z rôznych argumentov sa nazývajú zmiešané. Spojité zmiešané deriváty rovnakého rádu nezávisia od rádu diferenciácie a sú si navzájom rovné.

Anna Chugainová

Čo je derivát?

Tabuľka derivátov.

Derivácia je jedným z hlavných pojmov vyššej matematiky. V tejto lekcii predstavíme tento pojem. Len sa zoznámime, bez prísnych matematické formulácie a dôkazy.

Toto zoznámenie vám umožní:

Pochopiť podstatu jednoduchých úloh s odvodeninami;

Úspešne vyriešiť práve tieto problémy ťažké úlohy;

Pripravte sa na vážnejšie lekcie o derivátoch.

Po prvé - príjemné prekvapenie.)

Striktná definícia derivátu vychádza z teórie limitov a vec je dosť komplikovaná. Toto je znepokojujúce. Praktická aplikácia derivátov však spravidla nevyžaduje také rozsiahle a hlboké znalosti!

Na úspešné splnenie väčšiny úloh v škole a na univerzite stačí vedieť len pár termínov- porozumieť úlohe a len pár pravidiel- vyriešiť to. To je všetko. Toto ma robí šťastným.

Začnime sa zoznamovať?)

Termíny a označenia.

V elementárnej matematike existuje veľa rôznych matematických operácií. Sčítanie, odčítanie, násobenie, umocňovanie, logaritmus atď. Ak k týmto operáciám pridáte ešte jednu operáciu, elementárna matematika bude vyššia. Táto nová operácia sa nazýva diferenciácia. Definíciu a význam tejto operácie budeme diskutovať v samostatných lekciách.

Tu je dôležité pochopiť, že diferenciácia je jednoduchá matematická operácia nad funkciou. Berieme akúkoľvek funkciu a podľa určité pravidlá, transformovať to. Výsledkom bude Nová funkcia. Táto nová funkcia sa nazýva: derivát.

Diferenciácia- pôsobenie na funkciu.

Derivát- výsledok tejto akcie.

Tak ako napr. súčet- výsledok sčítania. Alebo súkromné- výsledok delenia.

Keď poznáte pojmy, môžete aspoň porozumieť úlohám.) Formulácie sú nasledovné: nájsť deriváciu funkcie; vziať derivát; rozlíšiť funkciu; vypočítať deriváciu a tak ďalej. To je všetko rovnaký. Samozrejme, existujú aj zložitejšie úlohy, kde nájdenie derivácie (diferenciácie) bude len jedným z krokov pri riešení úlohy.

Derivácia je označená pomlčkou v pravom hornom rohu funkcie. Páči sa ti to: y" alebo f"(x) alebo S"(t) a tak ďalej.

Čítanie ťah igrek, ťah ef od x, ťah es od te, no chápeš...)

Prvočíslo môže tiež označovať deriváciu konkrétnej funkcie, napríklad: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)" atď. Deriváty sa často označujú pomocou diferenciálov, ale v tejto lekcii sa takýmto zápisom nebudeme zaoberať.

Predpokladajme, že sme sa naučili chápať úlohy. Zostáva len naučiť sa ich riešiť.) Ešte raz vám pripomeniem: nájsť deriváciu je transformácia funkcie podľa určitých pravidiel. Prekvapivo je týchto pravidiel veľmi málo.

Ak chcete nájsť deriváciu funkcie, potrebujete vedieť iba tri veci. Tri piliere, na ktorých stojí všetka diferenciácia. Tu sú tieto tri piliere:

1. Tabuľka derivátov (diferenciačné vzorce).

3. Derivát komplexná funkcia.

Začnime pekne po poriadku. V tejto lekcii sa pozrieme na tabuľku derivátov.

Tabuľka derivátov.

Vo svete - nekonečná množina funkcie. Medzi touto odrodou sú funkcie, ktoré sú najdôležitejšie praktické uplatnenie. Tieto funkcie sa nachádzajú vo všetkých prírodných zákonoch. Z týchto funkcií, podobne ako z tehál, môžete postaviť všetky ostatné. Táto trieda funkcií sa nazýva elementárne funkcie. Práve tieto funkcie sa študujú v škole - lineárne, kvadratické, hyperbola atď.

Diferenciácia funkcií „od nuly“, t.j. Na základe definície derivátu a teórie limitov ide o pomerne pracnú vec. A matematici sú tiež ľudia, áno, áno!) Takže zjednodušili svoj (a nám) život. Pred nami vypočítali derivácie elementárnych funkcií. Výsledkom je tabuľka derivátov, kde je všetko pripravené.)

Tu je táto doska pre najobľúbenejšie funkcie. Vľavo je elementárna funkcia, vpravo jej derivácia.

	Funkcia r	Derivácia funkcie y y"
1	C ( konštantný)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - ľubovoľné číslo)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	hriech x	(hriech x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - hriech x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a X
	e X
5	log a X
	ln x ( a = e)

Odporúčam venovať pozornosť tretej skupine funkcií v tejto tabuľke derivácií. Derivát výkonová funkcia- jeden z najbežnejších vzorcov, ak nie najbežnejší! Chápete?) Áno, je vhodné poznať tabuľku derivátov naspamäť. Mimochodom, nie je to také ťažké, ako by sa mohlo zdať. Skúste vyriešiť podľa viac príkladov, tabuľka samotná sa zapamätá!)

Ako viete, nájsť tabuľkovú hodnotu derivátu nie je najťažšia úloha. Preto veľmi často v takýchto úlohách existujú ďalšie čipy. Buď v znení úlohy, alebo v pôvodnej funkcii, ktorá v tabuľke akoby nebola...

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

1. Nájdite deriváciu funkcie y = x 3

Takáto funkcia v tabuľke nie je. Existuje však derivát výkonovej funkcie všeobecný pohľad(tretia skupina). V našom prípade n=3. Namiesto n teda dosadíme tri a pozorne zapíšeme výsledok:

(X 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

To je všetko.

odpoveď: y" = 3x 2

2. Nájdite hodnotu derivácie funkcie y = sinx v bode x = 0.

Táto úloha znamená, že najprv musíte nájsť deriváciu sínusu a potom nahradiť hodnotu x = 0 do tohto derivátu. Presne v tomto poradí! V opačnom prípade sa stane, že do pôvodnej funkcie okamžite dosadia nulu... Sme vyzvaní nájsť nie hodnotu pôvodnej funkcie, ale hodnotu jeho derivát. Pripomínam vám, že derivácia je nová funkcia.

Pomocou tabuľky nájdeme sínus a zodpovedajúcu deriváciu:

y" = (hriech x)" = cosx

Do derivácie dosadíme nulu:

y"(0) = cos 0 = 1

Toto bude odpoveď.

3. Diferencujte funkciu:

Čo, inšpiruje?) V tabuľke derivátov takáto funkcia nie je.

Dovoľte mi pripomenúť, že diferencovať funkciu znamená jednoducho nájsť deriváciu tejto funkcie. Ak zabudnete na elementárnu trigonometriu, hľadanie derivácie našej funkcie je dosť problematické. Tabuľka nepomôže...

Ale ak vidíme, že naša funkcia je kosínus dvojitý uhol , potom sa všetko hneď zlepší!

Áno áno! Pamätajte, že transformácia pôvodnej funkcie pred diferenciáciou celkom prijateľné! A stáva sa, že to značne uľahčuje život. Použitie kosínusového vzorca s dvojitým uhlom:

Tie. naša zložitá funkcia nie je nič iné ako y = cosx. A toto je tabuľková funkcia. Okamžite dostaneme:

odpoveď: y" = - hriech x.

Príklad pre pokročilých absolventov a študentov:

4. Nájdite deriváciu funkcie:

V tabuľke derivátov, samozrejme, takáto funkcia neexistuje. Ale ak si pamätáte základná matematika, akcie so stupňami... Potom je celkom možné túto funkciu zjednodušiť. Páči sa ti to:

A x v mocnine jednej desatiny je už tabuľková funkcia! Tretia skupina, n=1/10. Píšeme priamo podľa vzorca:

To je všetko. Toto bude odpoveď.

Dúfam, že s prvým pilierom diferenciácie - tabuľkou derivátov je všetko jasné. Zostáva sa vysporiadať s dvoma zostávajúcimi veľrybami. V ďalšej lekcii sa naučíme pravidlá diferenciácie.

Operácia hľadania derivácie sa nazýva diferenciácia.

V dôsledku riešenia problémov hľadania derivácií najjednoduchších (a nie veľmi jednoduchých) funkcií definovaním derivácie ako limity pomeru prírastku k prírastku argumentu sa objavila tabuľka derivácií a presne definované pravidlá diferenciácie. . Prvými, ktorí pracovali v oblasti hľadania derivátov, boli Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Preto v našej dobe na nájdenie derivácie akejkoľvek funkcie nepotrebujete vypočítať vyššie uvedenú hranicu pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, ale stačí použiť tabuľku deriváty a pravidlá diferenciácie. Na nájdenie derivácie je vhodný nasledujúci algoritmus.

Ak chcete nájsť derivát, potrebujete výraz pod prvočíslom rozdeliť jednoduché funkcie na komponenty a určiť, aké akcie (produkt, súčet, podiel) tieto funkcie spolu súvisia. Ďalej nájdeme derivácie elementárnych funkcií v tabuľke derivácií a vzorce pre derivácie súčinu, súčtu a kvocientu - v pravidlách diferenciácie. Tabuľka derivácií a pravidlá diferenciácie sú uvedené po prvých dvoch príkladoch.

Príklad 1 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Z pravidiel diferenciácie zistíme, že derivácia súčtu funkcií je súčtom derivácií funkcií, t.j.

Z tabuľky derivácií zistíme, že derivácia „x“ sa rovná jednej a derivácia sínusu sa rovná kosínusu. Tieto hodnoty dosadíme do súčtu derivácií a nájdeme deriváciu požadovanú podmienkou problému:

Príklad 2 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Ako deriváciu súčtu, v ktorom má druhý člen konštantný faktor, možno ho vyňať zo znamienka derivácie:

Ak stále vznikajú otázky o tom, odkiaľ niečo pochádza, zvyčajne sa vyjasnia po oboznámení sa s tabuľkou derivátov a najjednoduchšími pravidlami diferenciácie. Práve k nim prechádzame.

Tabuľka derivácií jednoduchých funkcií

1. Derivácia konštanty (čísla). Akékoľvek číslo (1, 2, 5, 200...), ktoré je vo výraze funkcie. Vždy sa rovná nule. Toto je veľmi dôležité mať na pamäti, pretože sa to vyžaduje veľmi často
2. Derivát nezávisle premennej. Najčastejšie "X". Vždy sa rovná jednej. To je tiež dôležité mať na pamäti na dlhú dobu
3. Derivácia stupňa. Pri riešení problémov musíte premeniť iné ako odmocniny na mocniny.
4. Derivácia premennej k mocnine -1
5. Derivát odmocnina
6. Derivácia sínusu
7. Derivácia kosínusu
8. Derivácia dotyčnice
9. Derivácia kotangens
10. Derivácia arcsínusu
11. Derivácia oblúkového kosínusu
12. Derivácia arkustangens
13. Derivácia oblúkového kotangensu
14. Derivácia prirodzeného logaritmu
15. Derivácia logaritmickej funkcie
16. Derivácia exponenta
17. Derivácia exponenciálnej funkcie

Pravidlá diferenciácie

1. Derivát sumy alebo rozdielu
2. Derivát produktu
2a. Derivát výrazu vynásobený konštantným faktorom
3. Derivácia kvocientu
4. Derivácia komplexnej funkcie

Pravidlo 1.Ak funkcie

sú v určitom bode diferencovateľné, potom sú funkcie diferencovateľné v rovnakom bode

a

tie. derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraický súčet deriváty týchto funkcií.

Dôsledok. Ak sa dve diferencovateľné funkcie líšia konštantným členom, potom sú ich derivácie rovnaké, t.j.

Pravidlo 2.Ak funkcie

sú v určitom bode diferencovateľné, potom je ich produkt diferencovateľný v rovnakom bode

a

tie. Derivácia súčinu dvoch funkcií sa rovná súčtu súčinov každej z týchto funkcií a derivácie druhej.

Dôsledok 1. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie:

Dôsledok 2. Derivácia súčinu niekoľkých diferencovateľných funkcií sa rovná súčtu súčinov derivácie každého faktora a všetkých ostatných.

Napríklad pre tri multiplikátory:

Pravidlo 3.Ak funkcie

v určitom bode rozlíšiteľné A , potom v tomto bode je ich kvocient tiež diferencovateľnýu/v a

tie. derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a derivácie menovateľa a menovateľ je druhá mocnina bývalý čitateľ.

Kde hľadať veci na iných stránkach

Pri hľadaní derivátu súčinu a kvocientu v skutočné problémy Vždy je potrebné aplikovať niekoľko pravidiel diferenciácie naraz, preto je v článku viac príkladov na tieto deriváty"Derivát produktu a kvocient funkcií".

Komentujte. Nemali by ste si zamieňať konštantu (čiže číslo) ako člen v súčte a ako konštantný faktor! V prípade členu sa jeho derivácia rovná nule a v prípade konštantný faktor je vyňaté z odvodeného znamienka. Toto typická chyba, ktorý sa vyskytuje dňa počiatočná fázaštúdium derivátov, ale keďže riešia niekoľko jedno- a dvojdielnych príkladov, bežný študent už túto chybu nerobí.

A ak pri rozlišovaní produktu alebo kvocientu máte termín u"v, v ktorom u- číslo, napríklad 2 alebo 5, to znamená konštanta, potom sa derivácia tohto čísla bude rovnať nule, a preto sa celý člen bude rovnať nule (tento prípad je diskutovaný v príklade 10).

Iné častá chyba - mechanické riešenie derivácia komplexnej funkcie ako derivácia jednoduchej funkcie. Preto derivácia komplexnej funkcie je venovaný samostatný článok. Najprv sa však naučíme nájsť deriváty jednoduché funkcie.

Na ceste sa nezaobídete bez transformácie výrazov. Ak to chcete urobiť, možno budete musieť otvoriť príručku v nových oknách. Akcie so silami a koreňmi A Operácie so zlomkami .

Ak hľadáte riešenia na derivácie zlomkov s mocninou a odmocninou, teda keď funkcia vyzerá , potom postupujte podľa lekcie „Derivácia súčtu zlomkov s mocninami a odmocninami“.

Ak máte úlohu napr , potom absolvujete lekciu „Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií“.

Príklady krok za krokom - ako nájsť derivát

Príklad 3 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Definujeme časti funkčného výrazu: celý výraz predstavuje súčin a jeho faktory sú súčty, v druhom z nich jeden z výrazov obsahuje konštantný faktor. Aplikujeme pravidlo diferenciácie produktu: derivácia produktu dvoch funkcií sa rovná súčtu produktov každej z týchto funkcií deriváciou druhej:

Ďalej aplikujeme pravidlo diferenciácie súčtu: derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií týchto funkcií. V našom prípade má v každom súčte druhý člen znamienko mínus. V každom súčte vidíme ako nezávislú premennú, ktorej derivácia sa rovná jednej, tak aj konštantu (číslo), ktorej derivácia sa rovná nule. Takže „X“ sa zmení na jednotku a mínus 5 sa zmení na nulu. V druhom výraze sa "x" vynásobí 2, takže dva vynásobíme rovnakou jednotkou ako derivácia "x". Dostaneme nasledujúce hodnoty deriváty:

Nájdené derivácie dosadíme do súčtu súčinov a získame deriváciu celej funkcie, ktorú vyžaduje podmienka úlohy:

Príklad 4. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Musíme nájsť deriváciu kvocientu. Aplikujeme vzorec na derivovanie kvocientu: derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a deriváciou funkcie menovateľ a menovateľ je druhá mocnina predchádzajúceho čitateľa. Dostaneme:

Deriváciu faktorov v čitateli sme už našli v príklade 2. Nezabúdajme tiež, že súčin, ktorý je v aktuálnom príklade druhým faktorom v čitateli, sa berie so znamienkom mínus:

Ak hľadáte riešenia problémov, v ktorých potrebujete nájsť deriváciu funkcie, kde je súvislá kopa koreňov a mocnín, ako napr. , potom vitajte v triede "Derivácia súčtu zlomkov s mocninou a odmocninou" .

Ak sa potrebujete dozvedieť viac o derivátoch sínusov, kosínusov, dotyčníc a iných goniometrické funkcie, teda keď funkcia vyzerá , potom lekcia pre vás "Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií" .

Príklad 5. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. V tejto funkcii vidíme súčin, ktorého jedným z faktorov je druhá odmocnina nezávisle premennej, s deriváciou ktorej sme sa oboznámili v tabuľke derivácií. Podľa pravidla diferenciácie produktu a tabuľková hodnota deriváciou druhej odmocniny dostaneme:

Príklad 6. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. V tejto funkcii vidíme kvocient, ktorého dividenda je druhou odmocninou nezávislej premennej. Pomocou pravidla diferenciácie kvocientov, ktoré sme zopakovali a aplikovali v príklade 4, a tabuľkovej hodnoty derivácie odmocniny dostaneme:

Ak sa chcete zbaviť zlomku v čitateli, vynásobte čitateľa a menovateľa číslom .