Pri vytáčaní telefónneho čísla účastník zabudol 4 číslice. Výpočet pravdepodobností bez konštrukcie priestoru elementárnych udalostí

V urne je päť loptičiek rôznych veľkostí. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia všetkých guľôčok vo vzostupnom poradí, ak je známe, že neexistujú žiadne rovnaké gule?

Riešenie. Celkový počet možné elementárne výsledky skúsenosť sa rovná počtu permutácií piatich prvkov a počet výsledkov priaznivých pre udalosť sa rovná jednej.

Požadovaná pravdepodobnosť:

.

Problém 17.

Pri vytáčaní telefónneho čísla účastník zabudol posledné dve číslice a keď si spomenul, že sú odlišné, vytočil ich pre šťastie. Aká je pravdepodobnosť, že vytočil správne číslo?

Riešenie. Celkový počet možných výsledkov experimentu sa rovná počtu umiestnení od 10 do 2, t.j. . Počet výsledkov priaznivých pre udalosť sa rovná jednému.

Požadovaná pravdepodobnosť:

.

Problém 18.

V zásuvke písacieho stola je 15 zošitov, z toho 8 štvorcových. Zobrali sme náhodne tri zošity. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky tri zobraté zošity budú najvyššej kvality.

Riešenie. Keďže poradie tu nehrá rolu, celkový počet všetkých možných výsledkov sa bude rovnať počtu kombinácií 15 krát 3, t.j. počet priaznivých udalostí sa bude rovnať aj počtu kombinácií 8 krát 3.

Požadovaná pravdepodobnosť:

.

Problém 19.

V skupine je 15 žiakov, z toho 8 výborných žiakov. Náhodne bolo povolaných 6 študentov (podľa zoznamu). Nájdite pravdepodobnosť, že 4 z volaných študentov budú vynikajúci študenti.

Riešenie. Počet možných výsledkov experimentu sa tu rovná počtu kombinácií 15 x 6, .

Kombináciu považujeme za priaznivú, ak sú 4 výborní študenti a 2 nie. Z 8 vynikajúcich študentov možno spôsobmi vybrať 4 vynikajúcich študentov, pričom zvyšných 6-4 = 2 študentov (nie vynikajúci študenti) vyberáme z 15-8 = 7 študentov spôsobmi.

Ak ku štyrom výborným žiakom pripočítame jedného z párov

študentov, ktorí nie sú vynikajúcimi študentmi, dostaneme „výhodné“ skupiny 6 ľudí. Ich počet sa rovná m =.

Požadovaná pravdepodobnosť:

Problém 20.

Prvým problémom, ktorý Pascal prekonal vo svojej korešpondencii s Chevalier de Marais, bol presný počet prípadov. Išlo o hru, v ktorej sa hádžu tri kocky a jeden z hráčov vsadí, že súčet na hodených stranách bude väčší ako 10 a druhý, že bude rovný alebo menší ako 10. Je ľahké vidieť, že šance oboch hráčov sú rovnaké. Ale problém spočíval v tomto. Účtovníctvo pacienta je veľmi veľké číslo hry ukázali Chevalier de Marais, že tí, ktorí vsadili viac ako 10, častejšie vyhrávajú s 11 ako s 12 bodmi. Mere však tvrdil, že 11 bodov možno získať šiestimi rôznymi spôsobmi (6-4-1; 6-3-2; 5-5-1; 5-4-2; 5-3-3; 4-4-3 ) a 12 bodov je možné získať aj šiestimi spôsobmi (6-5-1; 6-4-2; 6-3-3; 5-5-2; 5-4-3; 4-4-4). Pascalova odpoveď je veľmi jednoduchá: kombinácia 6-4-1 nie je prvočíslo, ale šesťnásobné, pretože ak sú kocky očíslované, alebo ak je každá z troch kociek odlišne zafarbená, aby sa dali rozlíšiť, možno získať hodnotu 6. na každej z troch kociek a hodnota 4 je na každej zo zvyšných dvoch, čo už tvorí šesť kombinácií. Naproti tomu kombináciu ako 5-5-1 možno dosiahnuť len tromi rôznymi spôsobmi a kombináciu ako 4-4-4 možno dosiahnuť iba jediným spôsobom.

Preto, ak chcete vedieť Reálne číslo rôznymi spôsobmi získajte 11 alebo získajte 12 bodov, potom pre každý z týchto prípadov musíte spočítať súčet týchto šiestich čísel, ktoré zodpovedajú kombináciám,

zatiaľ čo pre prípad 12 bodov máme

Z toho usudzujeme, že v priemere získame 11 bodov 27-krát, zatiaľ čo 12 bodov dostaneme 25-krát, a tento výsledok dokonale súhlasí s pozorovaniami Chevalier de Mere.

Príklad 4. Pri vytáčaní telefónneho čísla účastník zabudol jednu číslicu a vytočil ju náhodne. Nájdite pravdepodobnosť, že je vytočené správne číslo.

Riešenie. Označme podľa A udalosť – bolo vytočené požadované číslo. Účastník mohol vytočiť ktorúkoľvek z 10 číslic. Preto je celkový počet možných elementárnych výsledkov 10. Tieto výsledky sú rovnako možné (číslo je vytočené náhodne) a tvoria celá skupina(aspoň jedna číslica sa určite vytočí), tzn. Potrebné je len jedno číslo. Preto na akciu A A .

Príklad 5. Pri vytáčaní telefónneho čísla účastník zabudol posledné dve číslice a pamätal si iba to, že sú odlišné, náhodne ich vytočil. Nájdite pravdepodobnosť, že potrebné čísla.

Riešenie. Označme podľa IN udalosť – boli vytočené dve požadované čísla. Existuje len toľko párov, ktoré môžete zbierať rôzne čísla, koľko umiestnení môže byť vytvorených z 10 číslic na 2, tzn . Celkový počet rovnako možných elementárnych výsledkov je teda . Potrebná je len jedna kombinácia dvoch čísel. Preto na akciu A len jeden výsledok je priaznivý. Požadovaná pravdepodobnosť sa rovná pomeru počtu výsledkov priaznivých pre danú udalosť A k počtu všetkých elementárnych výsledkov: .

Príklad 6. V dávke 10 dielov je 7 štandardných. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi šiestimi náhodne vybratými časťami sú práve 4 štandardné.

Riešenie. Nechajte udalosť A– spomedzi 6 odobratých dielov sú presne 4 štandardné. Celkový počet možných výsledkov elementárneho testu sa rovná počtu spôsobov, ktorými je možné extrahovať 6 častí z 10, teda počtu kombinácií 10 prvkov zo 6 (). Spočítajme počet výsledkov priaznivých pre udalosť A: 4 štandardné diely je možné odobrať zo 7 štandardných dielov rôznymi spôsobmi. V tomto prípade musia byť zvyšné 6-4=2 časti neštandardné. Môžu byť odoberané z 10-7=3 neštandardných častí spôsobmi. Preto je počet priaznivých výsledkov . Požadovaná pravdepodobnosť sa rovná pomeru počtu výsledkov priaznivých pre danú udalosť A, do počtu všetkých elementárnych výsledkov.

Pri vytáčaní telefónneho čísla účastník zabudol posledné dve číslice a pamätajúc si iba to, že tieto číslice sú odlišné, ich vytočil náhodne. Nájdite pravdepodobnosť, že sa vytočia požadované čísla.

Úloha č.2

Daná diferenciálna funkcia spojitého náhodná premenná X:

Nájsť integrálna funkcia F(x)

Úloha č.3

V urne sú 3 biele a 3 čierne gule. Po jednej guľôčke sa z urny vyberie dvakrát bez toho, aby sa vymenili. Nájdite pravdepodobnosť výskytu biela guľa v druhom pokuse (udalosť B), ak bola čierna guľa vytiahnutá v prvom pokuse (udalosť A).

Úloha č.4

K dispozícii sú 3 krabice po 10 dielov. Prvý box obsahuje 8, druhý 7 a tretí 9 štandardných dielov. Z každej krabice sa náhodne vyberie jedna časť. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky tri tieto odstránené časti sa ukážu ako štandardné.

Úloha č.5
Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri streľbe z troch zbraní je nasledovná: = 0,8; = 0,7; = 0,9. Nájdite pravdepodobnosť aspoň jedného zásahu (udalosť A) jednou salvou zo všetkých zbraní.

Úloha č.6

Existujú dve sady častí. Pravdepodobnosť, že časť prvého súboru je štandardná, je 0,8 a druhá je 0,9. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybratá časť (z náhodne vybratej množiny) je štandardná.

Úloha č.7

Na účasť v kvalifikačných športových súťažiach študentov boli pridelení 4 študenti z prvej skupiny kurzu, 6 z druhej a 5 z tretej skupiny. Pravdepodobnosť, že sa študent prvej, druhej a tretej skupiny dostane do tímu inštitútu, sa rovná 0,9; 0,7 a 0,8. Náhodne vybraný študent skončil v dôsledku súťaže v národnom tíme. Do ktorej skupiny tento študent s najväčšou pravdepodobnosťou patril?

Úloha č.8

Pravdepodobnosť, že spotreba elektriny počas jedného dňa neprekročí stanovenú normu, je 0,75. Nájdite pravdepodobnosť, že v nasledujúcich 6 dňoch spotreba elektriny počas 4 dní neprekročí normu.

Úloha č.9

Nájdite pravdepodobnosť, že udalosť A nastane presne 80-krát v 400 pokusoch, ak pravdepodobnosť výskytu tejto udalosti v každom pokuse je 0,2.

Úloha č.10

Pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ jednou ranou, je 0,75. Nájdite pravdepodobnosť, že pri 100 výstreloch bude cieľ zasiahnutý: a) nie menej ako 70 a nie viac ako 80 krát; b) nie viac ako 70-krát.

Úloha č.11

Obchodník skúma 24 vzoriek tovaru. Pravdepodobnosť, že každá zo vzoriek bude považovaná za vhodnú na predaj, je 0,6. Nájdite najpravdepodobnejší počet vzoriek, ktoré obchodník rozpozná ako vhodné na predaj.

Pravdepodobnosť udalosti, ktorá sa vyskytne v každom zo 400 nezávislé testy rovná 0,8. Nájdite jednu kladné číslo E, takže s pravdepodobnosťou 0,9876 absolútna hodnota odchýlka relatívnej frekvencie výskytu udalosti od jej pravdepodobnosti 0,8 nepresiahla E.

Úloha č.13

Minca sa hodí 5-krát. Nájdite pravdepodobnosť, že sa objaví „erb“:

a) menej ako dvakrát;

b) najmenej dvakrát.

Úloha č.14

Prvá urna obsahuje 10 loptičiek, z ktorých 8 je bielych; Druhá urna obsahuje 20 loptičiek, z toho 4 biele. Z každej urny sa náhodne vyžrebuje jedna loptička a potom sa z týchto dvoch loptičiek náhodne vyžrebuje jedna loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že je vytiahnutá biela guľa.

Úloha č.15

Koľko nezávislých pokusov sa musí vykonať s pravdepodobnosťou výskytu udalosti v každom pokuse rovnajúcou sa 0,4, aby sa najpravdepodobnejší počet výskytu udalosti v týchto pokusoch rovnal 25?

Úloha č.16

Diskrétna náhodná premenná X je špecifikovaná distribučným zákonom.

Nájdite: rozptyl D(X), priemer smerodajná odchýlka(X) a zostrojte distribučný polygón.

Úloha č.17

Učebnica vyšla v náklade 100 000 kusov. Pravdepodobnosť, že učebnica je zviazaná nesprávne, je 0,0001. Nájdite pravdepodobnosť, že náklad obsahuje presne 5 chybných kníh.

Úloha č.18

Je uvedený zoznam možných hodnôt diskrétnej náhodnej premennej X: a tiež známy matematické očakávania toto množstvo a jeho druhé mocniny:

M(X) = 2,3 a M(X )=5,9.

Nájdite zodpovedajúce pravdepodobnosti možné hodnoty X.

Úloha č.19

Náhodná premenná X je špecifikovaná integrálnou funkciou

Nájdite pravdepodobnosť, že v dôsledku testu hodnota X nadobudne hodnotu obsiahnutú v intervale (-1;1)

Úloha č.20
Diskrétna náhodná premenná je špecifikovaná distribučným zákonom

Nájdite integrálnu funkciu a nakreslite jej graf.

Úloha č.21

Je daná spojitá náhodná premenná X diferenciálna funkcia
v intervale (0; π/3); mimo tohto intervalu f(x)=0. Nájdite pravdepodobnosť, že X nadobudne hodnotu patriacu do intervalu (
)

Úloha č.22

Diskrétna náhodná premenná X je špecifikovaná distribučným zákonom:

Nájsť centrálne body prvý, druhý, tretí a štvrtý rád

Úloha č.23

Napíšte binomický zákon pre rozdelenie diskrétnej náhodnej premennej X - počet výskytov párneho počtu bodov na dvoch kockách.

Úloha č.24

Nájdite rozptyl a smerodajnú odchýlku diskrétnej náhodnej premennej X špecifikovanej distribučným zákonom:

Pravdepodobnosť výskytu udalosti a v každom pokuse je ½. Pomocou Čebyševovej nerovnosti odhadnite pravdepodobnosť, že počet X výskytov udalosti A bude v rozsahu od 40 do 60, ak sa vykoná 100 nezávislých pokusov.

Úloha č.27

Vytvorte histogram relatívnych frekvencií Autor: danej distribúcii vzorky

Vzorka je špecifikovaná ako frekvenčné rozdelenie

Úloha č.29

Pre postavené intervalové série vypočítať interval spoľahlivosti pri y = 0,99 a t = 2,861

Úloha č.30

Vzorka je špecifikovaná ako frekvenčné rozdelenie